Determine el momento producido por la fuerza F que tiende a hacer rotar la barra alrededor del eje AB.

Solucin

Un vector unitario define la direccin del eje AB de la barra, siendo

Por simplicidad, elegimos rD

La fuerza esM

AB= u

B.(r

DxF)=70.0 i +36.0 j Nm

rD= {0 .6i }m

uB=r Br B

={0 . 4i+0 .2j }0 . 42+0 .22

=0 . 8944 i+0 . 4472 j

F= {300k } N

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SOLUCIN

El vector unitario en la direccin y sentido de la fuerza es ( )kjiu ++=33

La fuerza en componentes es F = 10 ( i + j + k )

Una fuerza de 17,32 k est dirigida a lo largo de la recta que va del punto de coordenadas (4,2,0) hasta el punto de coordenadas (1,5,3) tal como se muestra en la figura adjunta . Los valores de las coordenadas estn dados en metros. Determinar el momento de F respecto del origen O y los momentos de F respecto de los ejes x, y, z.

x

y

z

(4, 2, 0)

(1, 5, 3)

F

P

El momento de la fuerza respecto del origen est dado por FM 0 = OP , donde el punto P es un punto cualquiera de la recta soporte de F. Tomando el punto P ( 4 ,2 ,0 ), el momento de la fuerza respecto del origen es

M0 = 10 ( 2 i 4 j + 6 k )

El producto escalar del vector M0 por los vectores de la base i , j , k proporciona los momentos de la fuerza respecto de los ejes x , y , z . Sus valores son :

mx = 20 my = 40 mz = 60

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142 CAPTU LO 4 Resultantes de sistemas de fuerzas

x

x

F = {-40i + 20j + lOk} N

o

(a)

F

o l ll -- ---- y 120 N m

(b)

10 N 40 N

+ x (e) Fig.4-23

La fuerza F = {-40i + 20j + lOk} N acta en el punto A mostrado en la figura 4-23a. Determine los momentos de esta fuerza con respecto a los ejes x y a.

Solucin I (Anlisis vectorial) Podemos resolver este problema usando el vector posicin rA- Por qu? Como rA = {-3i + 4j + 6k} m y Dx = i, entonces al aplicar la ecuacin 4-11 ,

1 O O Mx = i (rA X F) = -3 4 6

-40 20 10 = 1[4(10)-6(20)]-0[( -3) (10)-6( -40)]+0[( -3) (20)-4( -40)] = -80 N m Resp.

El signo negativo indica que el sentido de Mx es opuesto a i . Podemos calcular tambin Ma usando rA porque rA se extiende des

de un punto sobre el eje a hasta la fuerza. Tambin, Da = -i + j . Entonces,

.

- 5

Ma = Da (rA X F) = -3

4 5 4

o 6

-40 20 10

= -[4(10)-6(20)]-[( -3)( 10)-6( -40)]+0[( -3) (20)-4( -40)] = -120 Nm Resp.

Qu indica el signo negativo? Las componentes de momento se muestran en la figura 4-23b.

Solucin 1 1 (Anlisis escalar) Como las componentes de fuerza y los brazos de momento son fciles de determinar para poder calcular Mx, puede usarse un anlisis escalar para resolver este problema. Con referencia a la figura 4-23c, slo las fuerzas de 10 y 20 N aportan momentos con respecto al eje x. (La lnea de accin de la fuerza de 40 N es paralela a este eje y, por tanto, su momento con respecto al eje x es cero). Usando la regla de la mano derecha, la suma algebraica de las componentes de momento con respecto al eje x es entonces

Mx = ( lO N) (4m) - (20 N) (6m) = -80 N m Resp.

Aunque no se requieren aqu, observe que

My = (10 N) (3m) - (40 N) (6m) = -21O Nm Mz = (40 N) (4m) - (20 N) (3m) = 100 Nm

Si hubiese que determinar Ma usando este mtodo escalar, se requerira un esfuerzo mucho mayor ya que las componentes de las fuerzas de 40 y 20 N no son perpendiculares a la direccin del eje a. El anlisis vectorial produce una solucin ms directa.

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SECCiN 4.5 Momento de una fuerza con respecto a u n eje especfico 1 43

La barra mostrada en la figura 4-24a est sostenida por dos mnsulas situadas una en A y la otra en B. Determine el momento MAS producido por F = {-60Oi + 200j - 300k} N, que tiende a girar la barra con respecto al eje AB.

Solucin Para encontrar la solucin ser considerado un anlisis vectorial usando MAS = Us (f X F), ya que el brazo de momento o distancia perpendicular desde la lnea de accin de F hasta el eje AB es difcil de determinar. Cada uno de los trminos presentes en la ecuacin ser identificado ahora.

El vector unitario Us define la direccin del eje AB de la barra, fi-gura 4-24b, donde x

fS O.4i + O.2j Us = - = , / = 0.894i + 0.447j rs V (0.4)2 + (0.2)2

El vector f est dirigido desde cualquier punto sobre el eje AB hacia cualquier punto sobre la lnea de accin de la fuerza. Por ejemplo, los vectores posicin fe Y fD son los adecuados, figura 4-24b. (Aunque no se muestran, fse o fBD tambin pueden ser usados). En aras de la sencillez, seleccionamos fD, donde

fD = {0.2j } m

La fuerza es

F = {-60Oi + 200j - 300k} N

Al sustituir estos vectores en la forma de determinante, y desarrollndolo, tenemos

0.894 0.447 MAB = US'(fD X F) = O 0.2

o O

-600 200 -300 = 0.894[0.2( -300) - 0(200)] - 0.447[0( -300) - O( -600)] +

0[0(200) - 0.2( -600)] = -53.67 Nm

El signo negativo indica que el sentido de MAS es opuesto al de UB' Al expresar M AS como un vector cartesiano resulta,

MAS = MABuB = (-53.67 N m)(0.894i + 0.447j ) = {-48.Oi - 24.0j } N . m Resp.

El resultado se muestra en la figura 4-24b. Observe que si el eje AB se define usando un vector unitario diri

gido de B hacia A, entonces -Us tendra que haber sido aplicado en la formulacin anterior. Esto conducira a MAS = +53.67 N . m. En consecuencia, MAS = MAS(-os), Y el resultado anterior sera determinado de nuevo.

D JCt--:::::::=7--'---Y

z

I D (O. 0.2 m. O) y

B (0.4 m, 0.2 m, O)

(b)

Fig.4-24

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