INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

NOTAS DE CLASE: ING. JOSÉ ALFREDO RAMOS BELTRÁN

Al escuchar el término ecuación, sin duda, nos hace pensar en la necesidad de resolver algún tipo de ecuación, por otro lado, el término diferencial, quizá, nos lleva a pensar en derivadas de funciones. La combinación, ecuaciones diferenciales, puede expresar la necesidad de resolver ciertas ecuaciones que contengan derivadas y precisamente eso es lo que en este texto se presentará. Antes de iniciar con la búsqueda de soluciones de cualquier ecuación conviene conocer la terminología y notación básica propia del tema. Definición 1.1 Si una ecuación contiene las derivadas o las diferenciales de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes, se dice que es una ecuación diferencial (E.D.). Si la ecuación contiene derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente entonces la ecuación se dice que es una ecuación diferencial ordinaria (EDO). Ejemplo 1.

3 2cosdy

x xdx

: Una variable dependiente y una variable independiente.

Ejemplo 2.

2 22 (3 ) 0x xy dx xy y dy : Una variable dependiente y una variable

independiente Ejemplo 3.

2dy dx

x y xydt dt

: Dos variables dependientes y una variable independiente

La notación para las EDO será la notación de Leibniz 2

2, ,...,

n

n

dy d y d y

dx dx dx, o la notación prima,

( ), , ,..., ny y y y .

Si la ecuación contiene derivadas parciales de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes, se dice que es una ecuación en derivadas parciales (E.D.P).

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Ejemplo 4.

2 2

2 20

u u

x y

ED parcial de segundo orden y homogénea.

Ejemplo 5.

2

22 tu uu e

x t

ED parcial de segundo orden y no homogénea.

Las ED también se suelen clasificar de acuerdo al orden de sus derivadas. Definición 1.2 (Orden). La derivada o la diferencial de más alto orden presente en una ED determina el orden de la ED. Ejemplo 6. En la ED

cuarto orden tercer orden primer ord5

4 3

4 3

en

3 5 4 sind y d y dy

y xdx dx dx

se representa una ecuación diferencial de cuarto orden. De manera simbólica, suele representarse a una EDO de n-ésimo orden como una variable dependiente de la forma

( , , , ,..., ) 0nF x y y y y

Donde F es una función con valores reales de n+2 variables: , , , ,..., nx y y y y , o expresada

en términos de n+1 variables como:

1( , , , ,..., )n

n

n

d yf x y y y y

dx

Donde f , es una función continua con valores reales. Llamamos a esta última forma, la

forma canónica o forma normal de una EDO de n-ésimo orden.

Ejemplo 7. La forma normal de una EDO de primer orden es ( , )dy

f x ydx

.

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Ejemplo 8. La forma normal de una EDO de tercer orden es 3

3( , , , )

d yf x y y y

dx

La l inealidad es otra manera de clasif icar a una ED, esto hace referencia al grado de la variable dependiente y de sus derivadas. Definición 1.3 : Se dice que una EDO de n-ésimo orden () es l ineal si F es

l ineal en , , ,..., ny y y y . Esto significa que cada una de estas variables deberán aparecer

en la ED elevadas solo a la primera potencia. En término más generales diremos que si una ED tiene la forma

1 2

1 2 1 01 2( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ( )

n n

n nn n

d y d y d y dya x a x a x a x a x y g x

dx dx dx dx

Donde es importante observar lo siguiente:

1. La variable dependiente y así como todas sus derivadas presentes del conjunto

1, , ..., ,n ny y y y y son de primer grado, es decir, la potencia de cada una de

estas variables es 1.

2. Los coeficientes 0 1 2 1, , ,..., ,n na a a a a de 1, , ,..., ,n ny y y y y , dependen a lo mucho

de la variable independiente x. 3. La expresión independiente ( )g x es solo función de la variable independiente x.

Ejemplo 9. La ecuación diferencial

22

2(2 ) (1 ) 4 3

d y dyx x x x

dx dx

cumple con los criterios mencionados, por lo cual es una EDO de segundo orden y lineal.

Ejemplo 10. La ED 3

3 2

33 2 4 sec( )

d y dyx x y x x

dx dx es lineal de tercer orden.

Ejemplo 11. La ED 3cos 2 0dy

x xydx

No es lineal

Ejemplo 12. La ED 2

22 3 4 ln

d y dyxy y y

dx dx No es lineal

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Definición 1.4. Se dice que una función ( )y x con dominio en un

intervalo I junto con sus derivadas sucesivas hasta el orden n inclusive, es solución a una E.D. en el intervalo I , si la función satisface la E.D. en el intervalo I . Se demuestra que una función es la solución de una ED cuando al sustituir dicha función y sus derivadas en la ED, la convierten en una identidad .

Ejemplo13. La función ( ) sin(2 ) cos(2 )y x x x es solución de la ED 2

24 0

d yy

dx

En efecto, derivando dos veces la función se tiene:

( ) sin(2 ) cos(2 )y x x x

( ) 2cos(2 ) 2sin(2 )y x x x

( ) 4sin(2 ) 4cos(2 )y x x x

Al sustituir en la ED

2

24 4sin(2 ) 4cos(2 ) 4 sin(2 ) cos(2 ) 0

d yy x x x x

dx

Definición. 1.5 . La gráfica de una solución de una ED se denomina curva

Integral de la ecuación.

Al hablar de la solución de una ED es necesario hablar de un intervalo de

solución. El intervalo I de la definición 1.4 suele l lamarse intervalo de

existencia de la solución o intervalo de definición o dominio de la solución,

pudiendo ser un intervalo abierto, cerrado o mixto.

Ejemplo 14 . La función 4( ) 2 xy x e es solución de la ED 4 0dy

ydx

y la

gráfica de y es la curva integral de la ED .

Al derivar la función dada se tiene

4( ) 8 xy x e

y sustituirla en la ED

4 4 4 44 8 4 2 8 8 0x x x xdyy e e e e

dx

Luego, el intervalo de solución es , .

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Curva Integral de la ED del ejemplo 14.

Teorema de existencia y unicidad de soluciones (Teorema de Picard)” Sea R una región rectangular en el plano xy definida por a x b y c y d , que

contiene al punto 0 0,x y en su interior. Si ( , )f x y y la derivada parcial f

y

son

continuas en R entonces existe un intervalo I con centro en 0x y una única

función ( )y x definida en I que satisface el problema de valor inicial:

( , )dy

f x ydx

, 0 0( )y x y

Ejemplo Mostrar que el problema de valor inicial dado por 2 2dyx y

dx , 0 0,x y

cumple el teorema de Picard. Solución:

La ED está escrita de la forma ( , )dy

f x ydx

, de donde se deduce que:

2 2( , )f x y x y : f es continua ,x y I

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2f

yy

: continua y I

Por tanto, de acuerdo con el teorema de Picard, para cada punto 0 0,x y del

plano xy, existe una solución única que cumple con los requisitos del problema de valor inicial planteado.

Ejemplo Mostrar que el problema de valor inicial dado por 2dyx y x

dx ,

0 0,x y cumple el teorema de Picard.

Solución:

La ED está escrita de la forma ( , )dy

f x ydx

, de donde se deduce que:

2( , )f x y x y x : f es continua si 2y x

2

1f

y x y

: continua si 2y x

Por tanto, de acurdo con el teorema de Picard, para cada punto 0 0,x y ubicado

en la región 2y x (puntos bajo la gráfica de la parábola 2y x ) existe un

intervalo centrado en 0x , tal que el problema planteado tiene una solución única

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Figura. Región de existencia de solución de la ED

Ejemplo Mostrar que el problema de valor inicial dado por 21dy

ydx

, 0 0,x y

cumple el teorema de Picard. Solución:

La ED está escrita de la forma ( , )dy

f x ydx

, de donde se deduce que:

2( , ) 1f x y y : f es continua si 21 0y , o bien, 1 1y

21

f y

y y

: continua si 1 1y

Por tanto, de acuerdo con el teorema de Picard, para cada punto 0 0,x y ubicado

en la región 1 1y (puntos entre las rectas 1y y 1y ) existe un intervalo

centrado en 0x , tal que el problema planteado tiene una solución única.

Figura. Región de existencia de solución de la ED