Algunas pinceladas históricas,

Sobre la resolución de lai

Ecuación de segundo grado

Pretendemos con este trabajo, dirigido a los alumnos de 4º

curso de la ESO, además de que sepan manejar la ecuación de 2º

grado, desarrollen estrategias heurísticas para su resolución y

para ello hacemos un recorrido informal, no exhaustivo, a través

de la Historia de las matemáticas que ha conducido a la popular

y conocida fórmula. Al mismo tiempo queremos resaltar el gran

esfuerzo que ha supuesto a la humanidad logros aparentemente

“de poca importancia”, para que nuestros alumnos,

acostumbrados a encontrar todo trillado sepan valorar en su

justa medida.

Material: lápiz con goma de borrar incorporada, papel

milimetrado (o cuadriculado), papel “para hacer cuentas”, regla

y compás. Recomendamos tener a mano una calculadora para

determinadas actividades.

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1. Los babilonios

La resolución de las ecuaciones cuadráticas completas parece haber

superado la capacidad algebraica de los egipcios. Sin embargo en 1930 se

descubrió (Otto Neugebauer) que tales ecuaciones habían sido ya

manejadas con gran soltura por los babilonios. Hay un problema[i] en el

que se pide “Hallar el lado de un cuadrado en el que el área menos el lado

es igual a 14,30 (en notación sexagesimal)[ii] Los babilonios operaban con

cantidades heterogéneas, sumaban longitudes con áreas, etc…)

La solución a dicho problema viene explicada por el escriba de la

forma siguiente:

“Toma la mitad de 1 (en sexagesimal 0;30) y multiplica 0;30 por 0;30 que

es 0;15, suma este número a 14,30 y lo que da 14,30;15, es el cuadrado de

29;30. Ahora suma 0;30 a 29;30, cuyo resultado es 30, que es el lado del

cuadrado”.

Naturalmente, la ecuación de segundo grado que se plantea es, con

notación moderna y sistema de numeración decimal:

x2-x-870=0

Si los alumnos resuelven esta ecuación traduciendo previamente la

notación sexagesimal a la decimal, se darán cuenta que el escriba ha

utilizado la fórmula, aunque ha obtenido sólo la solución positiva. Lógico

por otra parte al tratarse de un área.

[i] Citado en la pág. 56 de La Historia de las matemáticas, de Carl B. Boyer, Ed.

Alianza Universidad Textos [ii] El sistema de numeración sexagesimal utilizado por los babilonios, teóricamente

tendría que tener 59 dígitos, sin incluir el cero. Actualmente un número escrito en ese

sistema, se ha convenido escribirlo, separando cada dos cifras por comas y la parte

decimal por punto y coma. Nótese que no puede haber dos cifras seguidas, que formen

par, mayores que 59. Ejemplo 12,45;30,28 = 12*60+45+ 30/60+28/60

2

3

2. Euclides

En realidad este apartado, no trata directamente de dicha ecuación, sino que

aparece de rebote. Se trata de hallar la proporción áurea por el método de

Euclides.

De la edición facsímil de:

LOS SEIS LIBROS

PRIMEROS DE LA GEOMETRÍA

DE EVCLIDES.

Traduzidos en lengua Española por Rodrigo çamorano Astrólogo

y Mathemático, y Cathedrático de Cosmographía por

su Magestad en la casa de la contratación de Sevilla

Dirigidos al ilustre señor Luciano de Negrón

Canónigo de la santa iglesia de Sevilla

1576

Estudio introductorio y notas

de José María Sanz Hermida.

Ediciones Universidad de Salamanca

“En los elementos de Euclides, proposición II.11: Cortar una recta

dada, de manera que el rectángulo comprendido entre la recta entera y uno

de los segmentos sea igual al cuadrado del otro segmento".

Afortunadamente también, en la página 81 de la Historia de las

matemáticas, de Carl B. Boyer nos encontramos con este trabajo. Allí lo

vemos mejor: “En los elementos de Euclides II,11, para dividir un

segmento en media y extrema razón, en primer lugar construye Euclides el

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cuadrado ABCD del lado AB (ver figura), divide AC en dos partes iguales

mediante el punto E. Traza el segmento EB y extiende el segmento CEA

hasta F, de manera que EF=EB y, por último, obtiene el punto buscado H

completando el cuadrado AFGH; se comprueba que H nos resuelve el

problema mostrando fácilmente que AB/AH = AH/HB”.

Se llega fácilmente a la proporción áurea, considerando, si AC = 2,

Por tanto:

Cualquier estudiante aventajado de 3º de E.S.O., puede darse cuenta que

cualquiera de esas fracciones puede transformarse fácilmente en el llamado

número áureo:

¿Y dónde aparece aquí la ecuación de segundo grado? Si no utilizamos el

teorema de Pitágoras FA es desconocido, y lo llamamos x, por tanto:

5

de donde sacamos la ecuación de segundo grado,

x2-2x-4 = 0

Resolviéndola llegamos al resultado anterior, tomando la solución positiva.

No hace falta señalar, que este proceso puede hacerse para cualquier

cuadrado de lado a

3. Diofanto y Liu Hui

Vamos a dedicar este apartado a un problema planteado por

Diofanto (nacido entre 200-214, fallecido entre 284-298)

y a otro de Liu Hui, que vivió en el reino de Wei,

en el periodo de los Tres Reinos (184-283)

3.1 Diofanto

En los “Libros aritméticos” de Diofanto, (problema 26, libro I) aparece este

problema: “Dados dos números, encontrar otro que multiplicado por cada

uno de ellos dé respectivamente un cuadrado perfecto y la raíz cuadrada de

ese cuadrado perfecto”.

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“Sean 200 y 5 los números dados y en número buscado 1 aritmos[i].

Entonces, si el número buscado se multiplica por 200 unidades, da 200

aritmos, y si se multiplica por 5 unidades da 5 aritmos. Ahora bien, es

preciso que uno de esos números sea un cuadrado perfecto y que el otro sea

la raíz cuadrada de ese cuadrado perfecto; entonces, si se eleva al cuadrada

5 aritmos se obtienen 25 aritmos al cuadrado, que es igual a 200 aritmos.

Dividámoslo todo por el aritmos; se sigue de ello que 25 aritmos son

iguales a 200 unidades, y el aritmos resulta ser 8 unidades, lo que acopla el

enunciado”

Actualmente, es un problema elemental de E.S.O. Si nos dan 200 y 5 y el

número que nos piden x, tendríamos que (5x)2=200x, simplificando x

2=8x,

con lo x=8, excluyendo la solución x=0.

En el libro “Aritmética en nueve secciones”, recopilación china de trabajos

anteriores a nuestra era, comentada e interpretada por Liu Hui en el siglo II

aparece este problema: “Existe una puerta cuya altura y anchura son

desconocidas, y existe una vara de longitud también desconocida. Sólo se

sabe que la vara es 4 pies más larga que la anchura de la puerta y dos pies

más que su altura y además la vara es igual de larga que la diagonal de la

puerta. Se pide averiguar las tres longitudes”.

3.2 Liu Hui

La anchura de la puerta se obtiene sumando lo que exceda la vara de la

altura y la raíz cuadrada del doble producto de los dos excesos. Esta última

cantidad, sumada ahora a lo que exceda la vara de la anchura, nos da la

altura de la puerta, y si la sumamos a los dos excesos, nos da la longitud de

la vara:

Anchura: 2+RC(2.4.2)[ii]=2+4 = 6 pies

Altura: 4+RC(2.4.2)=4+4= 8 pies

Vara: 2+4+RC(2.4.2)=10

Con notación actual la solución, utilizando el teorema de Pitágoras es: si x

es la longitud de la vara, x-4 es la anchura de la puerta, x-2 la altura.

Luego:

x2= (x-2)

2+(x-4)

2

Operando llegamos a x2-12x+20 = 0, podíamos resolver esta ecuación y

desechar la solución x=2, por dar una solución negativa para la anchura y

una altura cero, con lo que no hay puerta; pero mejor es sumar 16 en cada

miembro, con lo cual: x2-12x+36=16, o lo que es lo mismo:

(x-6)2=16, con lo que x-6 = 4, por tanto x=10

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Trasladando de forma genérica este problema a nuestro tiempo podíamos

enunciarlo así: “La diagonal de una puerta excede en a unidades a su

anchura y en b unidades a su altura. Calcúlese sus dimensiones”.

Si x es la diagonal, planteando la ecuación por el teorema de Pitágoras,

cualquier estudiante espabilado de secundaria llega a que

x= a+b+RC(2ab)

[i] Nombre que da Diofanto a la incógnita

[ii] Raíz cuadrada

4. Al-Khowarizmi

En la traducción latina del “Álgebra” de Al-Khowarizmi se expone la

solución de los seis tipos de ecuaciones que resultan al considerar

simultáneamente en presencia de los tres posibles tipos de cantidades:

cuadrados, raíces, números, (es decir, x2, x y números (a)) tal como

expresaba Abu-Kamil Shoja ben Aslam[1], matemático ligeramente

posterior:

“La primera cosa que es necesaria para los estudiantes de esta ciencia (el

álgebra) es la de entender las tres especies que menciona Mohammed Ibn

Musa Al-Khowarizmi en su libro. Estas son las raíces, los cuadrados y los

números”.

Las ecuaciones clasificadas son las siguientes:

1. Cuadrados igual a raíces. En notación moderna 5x2=3x, x=3/5, excluye la

solución x=0

2. Cuadrados igual a números

3. Cuadrados y raíces igual a números

4. Cuadrados y números igual a raíces. En este caso se propone un

ejemplo: x2-21=10x, en el que se calculan las dos raíces, x=3 y x=7,

obtenidos a partir de la regla

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llamando la atención de lo que nosotros llamamos discriminante de la

ecuación, que tiene que ser positivo

5. Raíces y números igual a cuadrados

6. Raíces y números igual a cuadrados perfectos (el coeficiente de x2 es uno)

advirtiendo de que si este coeficiente no es uno, se debe reducir la ecuación

a esta forma dividiendo ambos miembros por este coeficiente.

En todos los casos se dan recetas para completar o modificar el cuadrado

tal como veremos a continuación: en la ecuación x2+bx=c, 0<c, traza Al-

Khowarizmi un cuadrado para representar x2 y sobre los cuatro lados,

construye cuatro rectángulos de b/4 unidades de ancho, añadiéndole cuatro

cuadrados en las esquinas, de área b2/16, cada uno. Por tanto el cuadrado

nuevo tiene de área c-b2/4,

a partir de aquí, no es difícil ver que

De hecho es lo que hacemos para resolver la ecuación de segundo grado,

obsérvese, que hemos aplicado, sin darnos cuenta, la fórmula, pues a=1.

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5. Descartes

Descartes en el primer capítulo de “la Geometrie”, propone este método geométrico,

para resolver ecuaciones de segundo grado de la forma x2-bx-c=0, b y c positivos.

Tomado de “La Historia de la matemática”, de Carl B. Boyer, Ed. Alianza

Universidad

Constrúyase el triángulo rectángulo LMN, con base , LM = Raíz

cuadrada(c), NL= b/2, constrúyase una circunferencia con centro en N y

radio NL. Esta circunferencia corta en P a NM y en O a su

prolongación (En la ilustración “a” equivale a “b” y “c” a “b2”

)

La solución a dicha ecuación es OM (PM es la otra solución, que Descartes

llama “falsa raíz”)

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5. En nuestros días

5.1 Por iteración

Supongamos conocidas las soluciones de la ecuación x 1 y x2: Si

factorizamos el trinomio, nos queda:

ax2+bx+c = a(x-x1)(x-x2) = a(x

2-(x1+x2)x+x1x2) = 0,

e identificando coeficientes, llegamos a ,

La segunda de estas dos igualdades nos servirá para intentar resolver por

iteración la ecuación, aunque hay que hacer uso de la calculadora:

Si en la ecuación general ax2+bx+c=0, pasamos al segundo miembro c y

sacamos factor común x, en el primero, nos queda: x(ax+b) = -c, hacemos

la “chapuza” de despejar x, llegamos a:

Ahora damos un valor a x en el denominador, con lo que obtenemos otro

valor a la x despejada, que llamaremos x1, con este valor hallamos x2 =

c/ax1, con este valor volveos a repetir el proceso, nos van a aparecer dos

sucesiones, con los valores de x1 y x2 respectivamente, si estas sucesiones

son convergentes, su límite es precisamente x1 y x2, si son divergentes, por

este método no podemos hallar la solución. Podríamos intentar con otro

valor inicial.

5.2 Un sencillo programa en Basic

Allá por los finales de los 80 y principio de los 90, comenzábamos a

introducir la informática en los institutos y hacíamos estas “cosillas” con

mucha ilusión. Muestro aquí un programa, muy deficiente, por cierto; pero

que funcionaba, para muestra sobre todo a las nuevas generaciones, a fin de

que valoren, que las cosas no han surgido por “generación espontánea”.

Este programa, no utiliza la fórmula, que conocen los escolares de 4º de

ESO. Es fácil encontrar programas de ese tipo, por ejemplo en Wikipedia:

https://es.wikipedia.org/wiki/QBASIC

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El que propongo, sacado de viejos apuntes, está hecho por el equipo, de

profesores, llenos de entusiasmo, al que yo pertenecía, y se basa en el

método de iteración propuesto anteriormente es el siguiente:

10 REM SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

20 INPUT “COEFICIENTES” a, b, c

30 PRINT “SI ESTE PROGRAMA NO PARA”

40 PRINT “ES QUE LA ECUACIÓN NO TIENE SOLUCION”

50 PRINT “---------------------------------------------------------“

60 PRINT “SUPONEMOS QUE X=-1610”

70 LET x=-1610

80 LET z= -c/(a*x+b)

90 IF x=z THEN PRINT “la solución x(1) es “ x

100 IF x=z THEN GOTO 150

110 LET x=z

120 GOTO 80

130 STOP

140 CLS

150 LET x2 = c/(x*a)

140 PRINT “Las soluciones son X1= “;x, “X2= “;x2

4.4 Descartes usa el compás. Este apartado, está desarrollado en la entrada,

en este mismo blog, del 13 de septiembre de 2015

EPÍLOGO

Para resolver una ecuación de segundo grado ax2+bx+c=0, procedemos así:

1.- Sacamos el coeficiente principal, a, factor común: a(x2+(b/a)x+c/a) = 0

2.- Completamos el cuadrado, compensando lo que añadimos a quitamos:

3.- Si lo que hemos compensado para completar el cuadrado es positivo,

tenemos una diferencia de cuadrados, que como es sabido es igual a “suma

por diferencia”:

No es difícil ver, que de aquí sale la famosa fórmula:

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Por el contrario si lo que hemos compensado para completar el cuadrado es

negativo, tenemos una suma de cuadrados y por consiguiente la ecuación

no tiene solución.

[1] Carl B. Boyer, Historia de las Matemáticas, pág. 298

i Este trabajo ha sido realizado por Pedro Becerro Cereceda,

profesor de secundaria, jubilado, de Matemáticas, a partir de borradores, recuperados, de su vida activa, y terminado el 24 de

Enero de 2016, festividad de Nuestra Señora de la Paz.