Guía de ejercicios resueltos de AnálisisMatemático

Gabriel Valentin, Hugo Ruscitti

18 de abril de 2005

Trabajo Práctico Número 1

1 - Si f(x) =√

x − 1 y g(x) = x2 + 1 ¿ es (g ◦ f)(x) = x ∀x ∈ R ?

busco el dominio e imágen de f(x) busco el dominio e imágen de g(x)x − 1 ≥ 0 Df = R

Df = x ≥ 0 If = [1; +∞)If = R+

0

Para que exista (gof)(x) = g[f(x)] se debe verificar que If ⊆ Dg

en este caso se cumple, ya que: R+0 ⊆ R

(gof)(x) = g[f(x)]

(gof)(x) = g[√

x − 1]

(gof)(x) = (√

x − 1)2 + 1

(gof)(x) = x − 1 + 1

(gof)(x) = x

este útimo caso (gof)(x) ocurre, porque: g−1 = f−1 y g◦g−1 = x (función identidad)

2 - Dada f : Df ⊆ R → R definida por : f(x) =√

2 − |x − 2|:

1. Calcule Df

2. Halle los ceros de f

1

calculo el dominio de f :

2 − |x − 2| ≥ 0

−|x − 2| ≥ −2

|x − 2| ≤ 2

Utilizando la definición de entrono simétrico:

|x − a| ≤ r ⇒ −2 ≤ x − a ≤ 2

|x − a| ≥ r ⇒ −2 ≥ x − a Y x − a ≥ 2

donde a = centro r = radio

Entonces queda:

|x − 2| ≤ 2− 2 ≤ x − 2 ≤ 20 ≤ x − 2 ≤ 4

3 - Dadas f : Df ⊆ R → R y g : Dg ⊆ R → R Definidas por: f(x) = x + 1 yg(x) = x4 + 1 :

1. Halle la expresión gof

2. Determine A = {x ∈ R : (gof)(x) < 17}

Respuesta 1:

f(x) = x + 1 g(x) = x4 + 1Df = R Dg = RIf = R Ig = [0; +∞)

(gof)(x) = g[f(x)]

como If ⊆ Dg se puede componer:

(gof)(x) = (x + 1)4 + 1Respuesta 2:

(gof)(x) < 17

(x + 1)4 + 1 < 17

(x + 1)4 < 16

|x + 1| <4√

16

−2 < x + 1 < 2

−3 < x < 1

2

A = (−3; 1)

4 - Dada f : Df ⊆ R → R definida por f(x) =√

2 − log3(x − 4)

1. Calcule Df

2. Determine A = {x ∈ Df : f(x) > 1}

Respuesta 1:

x − 4 > 0 ∧ 2 − log3(x − 4) ≥ 0

x > 4 ∧ −log3(x − 4) ≥ −2

∧ log3(x − 4) ≤ 2

∧ (x − 4) ≤ 32

∧ x ≤ 9 + 4

∧ x ≤ 13

Df = (4; 13]

Respuesta 2:

√

2 − log3(x − 4) > 1

2 − log3(x − 4) >

−log3(x − 4) > 1 − 2

log3(x − 4) < 1

(x − 4) < 3

x < 7

Pero el conjuto debe pertenecer al Df ⇒ A = (4; 7)

5 - Dada f : R → R definida por : f(x) = |x − 3| + |x − 2| + 2x

1. Elimine las barras de módulo en la expresión de f

2. Halle los ceros de f

3. Determine A = {x ∈ R : f(x) > 0}

3

Respuesta 1:

Para eliminar las barras de módulo podemos:

1 - Marcar en una recta los valores que anulan cada uno de los módulos, 2 y 3 en estecaso:

2 - Evaluar la reacción de cada módulo en los intervalos de la recta anterior:

Por ejemplo, si tomamos el intervalo de 2 a 3, el módulo |x−3| queda como−(x−3)y|x − 2|como (x − 2)

−(x − 3) − (x − 2) + 2x = 5 si x ≤ 2f(x) = −(x − 3) + (x − 2) + 2x = 2x + 1 si 2 < x ≤ 3

x − 3 − 2 + 2x = 4x − 5 si x > 3

Respuesta 2:

1 - f(x) = 5 no tiene ceros

2 - f(x) = 2x − 1 no tiene ceros, ya que x = 12 no pertenece a la dominio de esa

función = (2; 3]

3 - f(x) = 4x − 5 no tiene ceros, ya que x = 54no pertenece al dominio = (3; +∞)

Respuesta 3:

A = R

6 - Dadas f : Df ⊆ R → R Definida por f(x) = sg[(x−1)(2−x)]x

1. Calcule Df

2. Halle {x ∈ Df : |f(x)| = 12}

3. Grafique f(x)

Respuesta 1:

Df : R − {0}Respuesta 2:

Por definición de la función signo (sg):

1 si x > 0

sg = 0 si x = 0

−1 si x < 0

o bien:

4

|x|x

si x 6= 0

sg =

0 si x = 0

Se obtiene:

1x

si x ∈ (1, 2)

f(x) =

− 1x

si x ∈ (−∞; 1) ∪ (2; +∞)

(x − 1)(2 − x) > 0

(x − 1) > 0 ∧ (2 − x) > 0 ∨ (x − 1) < 0 ∧ (2 − x) < 0

x > 1 ∧ x < 2 ∨ x < 1 ∧ x > 2

(1; 2) ∨ Ø

rta: x = −2

8 - Dada f : Df ⊆ R → R Definida por f(x) =√

2x2 + 2x − 12

1. Halle Df

2. Determine {x ∈ Df : f(x) ≤√

6}

Respuesta 1:

para calcular el domino, pido:

2x2 + 2x − 12 ≥ 0

2(x2 + x − 6) ≥ 0

2((x − 2)(x + 3)) ≥ 0

Df = (−∞;−3] ∪ [2; +∞)Respuestas 2:

5

√

2x2 + 2x − 12 <√

6

2x2 + 2x − 12 < 6

2x2 + 2x − 18 < 0

2(x2 + x − 9) < 0

Pero los x que verifican 2(x2 + 2x − 9) deben pertenecer al Df , entonces:

S = (−1−√

372 ;−3] ∪ [2; −1+

√37

2 )

9 - Dadas f(x) : Df ⊆ R → R y g(x) : Dg ⊆ R → R definidas por:

f(x) = log(x−1x+2 ) y g(x) = log(x − 1) − log(x + 2). Determine si son iguales

Respuesta:

para calcular el Df :

pido : x + 2 6= 0 ⇒ x 6= −2

pido : (x−1x+2 ) > 0

(x − 1) > 0 ∧ (x + 2) > 0 ∨ (x − 1) < 0 ∧ (x + 2) < 0

x > 1 ∧ x > −2 ∨ x < 1 ∧ x < −2

x > 1 ∨ x < −2

Df = (−∞;−2) ∪ (1; +∞)

Para calcular el Dg :

x − 1 > 0 ∧ x + 2 > 0

x > 1 ∧ x > −2

Dg = (1; +∞)

Rta: f y g no son iguales, sus dominios son diferentes

10 - Dada f : R → R Definida por f(x) = (x − 1)2 + 5

1. Verifique que f(x) no es inyectiva.

2. Restringiendo el dominio a los siguientes conjuntos indique en cuales de ellos esinyectiva:

6

[0; 3] [1; +∞) [−4;−3] ∪ [4; 6] (−∞; 1]

3. En los casos afirmativos de (b) indique imagen, halle la función inversa y grafique.

Respuesta 1:

f(x) =? (x − 1)2 + 5

f(x2) =? f(x1)

(x2 − 1)2 + 5 =? (x1 − 1)2 + 5

(x2 − 1)2 =? (x1 − 1)2√

(x2 − 1)2 =?√

(x1 − 1)2

|x2 − 1| =? |x1 − 1|(*)

Esta igualdad no implica que (x2 − 1) = (x1 − 1), por esa razón busco un contra-ejemplo:

si x2 = 3 y x1 = 1 se obtiene f(3) = f(−1) = 9 ,entonces, f no es inyectivaRespuesta 2-1:

Si el dominio es [0; 3], en (*) se pueden eliminar las barras de módulo:

x2 − 1 = x1 − 1

x2 = x1

entonces, es inyectivaRespuesta 2-2:

Si el dominio es [1; +∞), se pueden eliminar las barras de módulo:

x2 − 1 = x1 − 1

x2 = x1

entonces, es inyectivaRespuesta 2-3:

con Df = [−4;−3]∪ [4; 6] no es inyectivaRespuesta 2-4:

con Df = (−∞; 1] no es inyectivaRespuesta 3-1:

f(x) = (x − 1)2 + 5

f(x) = x2 − 2x + 1 + 5

f(x) = x2 − 2x + 5

7

si Df = [0; 3], If = [5; 9]

para hallar f−1,f debe ser biyectiva (inyectiva y sobreyectiva)

Inyectiva: Se restringe el dominio para que f sea estrictamente creciente e in-yectiva: Df = [1; 3]

Sobreyectiva: Se limita el conjunto de llegada a If = [5; 9]

f : [1; 3] → [5; 9] definida por f(x) = (x − 1)2 + 5 , es biyectiva, entonces ∃f−1 :[5; 9] → [1; 3] definida por:

y = (x − 1)2 + 5

y − 5 = (x − 1)2√

y − 5 =√

(x − 1)2√

y − 5 = |x − 1|

pero x ∈ [1; 3]en la ecuacion original. Por esa razón x − 1 ≥ 0 y se pueden eliminarlas barras de módulo:

x − 1 =√

y − 5

x =√

y − 5 + 1

y =√

y − 5 + 1 cambio de variable

f−1 : [5; 9] → [1; 3] definida por: f−1(x) =√

x − 5 + 1

Trabajo Práctico Número 2

1 - Dadas las funciones:

f : < → </ f(x) = −x + 3

g : <− {2} → < g(x) =−x2 + 5x − 6

x − 2

h : < → < h(x) =

{

−x + 3 si x 6= 2−1 si x = 2

8

1 - Complete el siguiente cuadro:

x 1,9 1,99 1,999 1,9999 2 2,0001 2,001 2,01 2,1f(x) 1,1 1,01 1,001 1,0001 1 0,9999 0,999 0,99 0,9g(x) 1,1 1,01 1,001 1,0001 - 0,9999 0,999 0,99 0,9h(x) 1,1 1,01 1,001 1,0001 -1 0,9999 0,999 0,99 0,9

2 - Grafique

3 - Calcule los siguientes límites

1. lımx→2 f(x) = 1

2. lımx→2 g(x) = 1

3. lımx→2 h(x) = 1

Desarrollo el punto 2:

lımx→2

g(x) =−(x2 − 5x + 6)

x − 2

lımx→2

g(x) =−(x − 2)(x − 3)

(x − 2)

lımx→2

g(x) = −x + 3

lımx→2

g(x) = 1

(*) - como es una indeterminación del tipo →0→0 con polinomios, se salva factoreando

los polinomios.

9 - Calcule los siguientes límites

a) lımx→1

x2 − 2x + 1

x3 − x

b) lımx→1

(x − 1)√

2 − x

x2 − 1

c) lımx→3

√3 −

√3 + x

x

d) lımx→−3

x2 + x − 6

x + 3

9

e) lımx→4

x − 4√x + 5 − 3

f) lımx→1

x2 − 1

x5 + x3 − 3x + 1

g) lımx→1

[

(x − 1)√

2 − x

x2 − 1

]

−x2+1

x−1

a) lımx→1x2−2x+1

x3−xes una indeterminación del tipo →0

→0 ⇒ se salva factoreando lospolinomios:

lımx→1(x − 1)(x − 1)

x(x − 1)(x + 1)

lımx→1(x − 1)

x(x + 1)

rta → 0

b) lımx→1(x−1)

√2−x

x2−1 es una indeterminación del tipo →0→0 con polinomios, se resuelve

como el anterior:

lımx→1(x − 1)

√2 − x

x2 − 1

lımx→1(x − 1)

√2 − x

(x − 1)(x + 1)

lımx→1

√2 − x

x + 1rta → 0

c) lımx→3

√3−

√3+x

x= 0

3 = 0

d) lımx→−3x2+x−6

x+3 es una indeterminación del tipo →0→0 con polinomios ⇒ se salva

factoreando los polinomios:

lımx→−3(x − 2)(x + 3)

(x + 3)

lımx→−3 (x − 2) = −5

e) lımx→4x−4√x+5−3

como la indeterminación (→0→0 ) y tenemos un binomio con raiz cua-

drada, podemos salvar la indeterminación multiplicando numerador y denominadorpor el conjugado de dicho binomio:

10

lımx→4x − 4√

x + 5 − 3

(√

x + 5 + 3)

(√

x + 5 + 3)

lımx→4(x − 4)(

√x + 5 + 3)

(x − 4)

lımx→4

√x + 5 + 3 = 6

f) lımx→1x2−1

x5+x3−3x+1 como es una indeterminación del tipo →0→0 se salva factoreando

los polinomios:

lımx→1(x − 1)(x + 1)

(x − 1)(x4 + x3 + 2x4 + 2x − 1)*aplicando Ruffini

lımx→1(x + 1)

x4 + x3 + 2x4 + 2x − 1=

2

5

g) lımx→1

[

(x−1)√

2−x

x2−1

]

−x2+1

x−1

, presenta 2 indeterminaciones con polinomios:

lımx→1

[

(x − 1)√

2 − x

x2 − 1

]

−x2+1

x−1

lımx→1

[

(x − 1)√

2 − x

(x − 1)(x + 1)

]

−(x−1)(x+1)x−1

lımx→1

[√

2 − x

(x + 1)

]

−(x+1)1

=

(

1

2

)−2

= 4

10 - Infinitésimos

1. Defina infinitésimo

2. Determine en que valores de x las siguientes funciones son infinitésimos:

a) f(x) = x3 − x

b) f(x) = ex + 1

c) f(x) = sin(πx

2

)

Respuestas:

1 - f(x) es un infinitésimo para x = a ⇐⇒ lımx→a f(x) = 0

11

2a

f(x) = x3 − x

0 = x2(x − 1)

f(x) es un infinitésimo en 0 y 1.

2b - f(x) = ex + 1 no puede ser un infinitésimo.

2c

f(x) = sin(πx

2

)

f(x) es un infinitésimo para x/x = 2k con k ∈ Z

12