EB-Tema2

TEMA 2Álgebra booleana y puertas lógicas

Tema 2: Álgebra booleana y puertas lógicas

1) Introducción BB1, Cap 4 (Introducción)

2) Álgebra de Boole BB1, Cap 4, Ap 4.1, 4.2, 4.3

3) Concepto de función lógica y tabla de verdad. BB1, Cap 4, Ap: 4.3.1, 4.3.2

4) Funciones lógicas básicas y puertas lógicas. BB1, Cap 4, Ap: 4.3.7, 4.4, 4.4.1, 4.4.2, 4.4.3, 4.4.4, 4.4.5, 4.4.7

5) Operadores completos NAND / NOR BB1, Cap 4, Ap 4.3.7: Págs 138 –139 // BB1, Cap 5, Ap 5.2: Págs 188 – 191

BB1) Estructura de Computadores I (Gestión y Sistemas), Carlos de Mora Buendía y otros, UNED, 1ª Edición 3ª reimpresión, 2004, ISBN 843624642X

1. Introducción

2. Álgebra de Boole

3. Concepto de función lógica y tabla de verdad

4. Funciones lógicas básicas y puertas lógicas

5. Operadores completos NAND / NOR

Bibliografía:REF: Estructura y Tecnología de Computadores I (Gestión de Sistemas)AUTOR: Carlos de Mora y otros.PÁGs: Capítulo 4


3ETC – TEMA 2: Álgebra Booleana y Puertas LógicasManuel Béjar Domínguez

1. IntroducciónBLOQUE 1: CODIFICACIÓN DE LA INFORMACIÓN

Tema 1: Representación de la información. Aritmética y Representación binaria

BLOQUE 2: FUNDAMENTOS DE ELECTRÓNICA DIGITALTema 2: Álgebra booleana y puertas lógicasTema 3: Diseño de circuito combinacionalesTema 4: Circuitos combinacionales básicosTema 5: Diseño de circuitos secuencialesTema 6: Circuitos secuenciales básicos

BLOQUE 3: COMPUTADOR ELEMENTAL SÍMPLEZTema 7: Símplez. Modelo EstructuralTema 8: Símplez. Modelo Funcional (Parte I) Tema 9: Símplez. Modelo Funcional (Parte II) Tema 10: Símplez. Modelo Funcional (Parte III) Tema 11: Símplez. Modelo Estructural detallado Tema 12: Símplez. Modelo Procesal

BLOQUE 4: MICROPROCESADOR MOTOROLA 68000.Tema 13: Motorola 68000. Modelo Estructural y generalidades.Tema 14: Motorola 68000. Modelo Funcional (Parte I).Tema 15: Motorola 68000. Modelo Funcional (Parte II).Tema 16: Motorola 68000. Modelo Funcional (Parte III).Tema 17: Motorola 68000. Modelo Procesal.Tema 18: Motorola 68000. Periféricos.

ALTO NIVEL

BAJO NIVEL

MICROREAL


1. Introducción

Distintos niveles de abstracción

FÍSICA DE ESTADO SOLIDOMATERIALES SEMICONDUCTORES

DISPOSITIVO

CURVAS V/I

LEYES DE LA ELECTRICIDADCOMPONENTES ELECTRÓNICOS

CIRCUITO ELECTRÓNICO

ÁLGEBRA DE BOOLEPUERTAS LÓGICASCIRCUITO LÓGICO

BUSES

MEMORIAS

MICROPROGRAMAALUs

MICROINSTRUCCIONESREGISTROSMICROMAQUINA

PROGRAMA

CONV. REPRESENTACIÓN INFORMACIÓN

INSTRUCCIONES

LENGUAJE MAQUINACPUMAQUINA CONVENCIONAL

LLAMADAS AL 5.0. + LENGUAJE MAQUINA

MAQUINA OPERATIVA

LENGUAJES DE ALTO NIVELMAQUINA SIMBÓLICA

LENGUAJECOMPONENTESNIVEL

ALTO NIVEL

BAJO NIVEL

ETC 1)

1)

2)

3)


1. Introducción


1. Introducción

El objetivo de los siguientes temas (2 a 6) es diseñar circuitos que realicen funciones generales (suma, comparación, etc.).

Las entradas y salidas de nuestros circuitos son cables cuyos niveles de tensión/intensidad son traducidos a valores binarios (0,1).

Los valores binarios (0,1) en los circuitos estarán asociados a:Valores numéricos decimales:

110 (sin signo) 6 (decimal) | 110 (signo-magnitud) -2 (decimal)

Valores lógicos (VERDADERO,FALSO)1 (binario) VERDADERO | 0 (binario) FALSO

Utilizamos operadores lógicas para especificar los circuitos:Si se deben dar 2 condiciones a la vez OPERADOR “Y “ (AND)Si sólo se deben dar 1 de las 2 condiciones OPERADOR “O“ (OR)


1. Introducción

EJEMPLO 1 (Interruptores A y B / Luces 1,2 y 3)

Si pulso A y B no está pulsado -> Accionar Luz 1Si pulso B y A no está pulsado -> Accionar Luz 2Si pulso A o B -> Accionar Luz 3

VERDADERO = 1 // FALSO = 0

Si pulso A y B no está pulsado (A=1 Y B=0) -> Accionar Luz 1 (L1=1)Si pulso B y A no está pulsado (A=0 Y B=1) -> Accionar Luz 2 (L2=1)Si pulso A o B (A=1 O B=1) -> Accionar Luz 3 (L3=1)

EJEMPLO 2 (Sumador de 3 bits)

Entradas: 3 (011) y 2 (010) -> Salida: 5 (101)

1. Introducción








2. Álgebra de Boole.

Herramienta matemática que posteriormente servirá de base en el análisis y síntesis de circuitos digitales.

El álgebra de Boole es una estructura matemática que se construye a partir de un conjunto de elementos sobre los que se definen unos operadores que permiten realizar operaciones en ellos, estableciendo unos postulados o axiomas que relacionan tanto al conjunto de elementos como al conjunto de operadores.

El álgebra de Boole Bivalente está definida sobre un conjunto con dos elementos B = {0, 1} y las operaciones suma lógica + (OR) y producto lógico • (AND).

Álgebra de Boole Bivalente-> Operaciones lógicas, Circuitos digitales



Operaciones Álgebra de Boole Bivalente

Elementos Álgebra de Boole Bivalente

B = {0, 1}



POSTULADO IVCada operación es distributiva con respecto de la otra:

POSTULADO VExiste un elemento complementario:

a + a = 1a . a = 0POSTULADO VI

En el conjunto B existen al menos 2 elementos diferentes.

POSTULADO IEl conjunto B es cerrado con respecto a las 2 operaciones:

POSTULADO IIExiste un elemento identidad en las 2 operaciones:

a + 0 = aa . 1 = aPOSTULADO III

Las dos operaciones cumplen la propiedad conmutativa:Postulados

Sobrecualesquiera

elementos a,b,cpertenecientes a B



POSTULADO IEl conjunto B es cerrado con respecto a las 2 operaciones:

Se cumple el primer postulado ya que el conjunto B es cerrado para las dos operaciones definidas.

COMPROBACIÓNPOSTULADOS

EN ÁLGEBRA

BIVALENTE

POSTULADO IIExiste un elemento identidad en las 2 operaciones:

a + 0 = aa . 1 = a

Los postulados segundo y tercero se pueden comprobar directamente observando las tablas de la diapositiva anterior.

POSTULADO IIILas dos operaciones cumplen la propiedad conmutativa:



COMPROBACIÓNPOSTULADOS

EN ÁLGEBRA

BIVALENTE

POSTULADO IVCada operación es distributiva con respecto de la otra:

POSTULADO VExiste un elemento complementario:

a + a = 1a . a = 0



PRINCIPIO DE DUALIDADSea E una igualdad entre dos expresiones booleanas.Sea ED otra igualdad obtenida a partir de E , intercambiando los operadores + y ., y los elementos de identidad 0 y 1. Si E es una igualdad que se verifica para cualquier valor de susvariables, ED, denominada dual de E, también lo es.

TEOREMAS (Consecuencia de Postulados)

LEY DE IDEMPOTENCIAPara cualquier elemento “a” en un álgebra de Boole, se verifica que:

OPERACIONES CON ELEMENTOS IDENTIDADPara cualquier elemento “a” en un álgebra de Boole, se cumple que:



UNICIDAD DEL COMPLEMENTOEl complemento de cada elemento es único.

TEOREMAS (Consecuencia de Postulados)

LEY DE INVOLUCIÓNPara cualquier elemento “a” en un álgebra de Boole, se verifica que:

LEY DE ABSORCIÓNPara cada par de elementos a y b de un álgebra de Boole se verifica que:

LEY DE MORGANEn un álgebra de Boole se verifica que:



EJEMPLO 1: DEMOSTRACIÓN LEYES DE MORGAN



EJEMPLO 2: DEMOSTRACIÓN LEYES DE MORGAN



COMPARACIÓN: ÁLGEBRA DE BOOLE vs NÚMEROS REALES

En el álgebra de BooleNo se incluye la propiedad asociativa.La propiedad distributiva es doble:

Del operador AND con respecto al OR a • (b + c) = a • b + a • c

Del operador OR con respecto al AND.a + (b • c) = a + b • a + c

Se define el operador complemento lógico.No hay tiene operaciones de sustracción ni división.

1. Introducción








Se define una función lógica como una correspondencia entre Bny B, de tal forma que:

EJEMPLO: Función lógica f = a • (b+c) Variable “a” valores posibles: 0 y 1. Variable “b” valores posibles: 0 y 1. Variable “c” valores posibles: 0 y 1. Función lógica “f” valores posibles: 0 y 1.

3. Concepto de Funciones Lógica y de Tabla de verdad

Se define una variable lógica como un símbolo, por ejemplo “a”, que representa a cualquiera de los elementos B del álgebra de Boole bivalente.

EJEMPLO: Variable “a” valores posibles: 0 y 1.

VARIABLES LÓGICAS

FUNCIONES LÓGICAS

B = {0, 1} suma lógica + (OR) producto lógico • (AND).



EJEMPLOS DE VARIABLES Y FUNCIONES LÓGICAS

El valor de una función se determina sustituyendo las variables por sus valores en la expresión algebraica y aplicando las reglas definidas para las operaciones + y .

EVALUACIÓN DE EXPRESIONES DE ÁLGEBRA DE BOOLE

Se procede igual que en el álgebra ordinaria, de izquierda a derecha, realizando las operaciones según el siguiente orden: paréntesis, complemento, operador . y por último el operador +.



Forma de representación alternativa a las funciones lógicas.

Indican el valor que toma la función para cada una de las combinaciones de las entradas.

TABLAS DE VERDAD

1. Introducción








4. Funciones lógicas básicas y puertas asociadas.

Las 24 posibles tablas de verdad con 2 variables lógicas son:

FUNCIONES CONSTANTES

FUNCIONES VARIABLES SIMPLES



FUNCIONES CON OPERACIÓN PRODUCTO



FUNCIONES CON OPERACIÓN SUMA



FUNCIONES CON OPERACIÓN PRODUCTO Y SUMA



TABLA RESU

MEN



La implementación de funciones lógicas se realiza mediante dispositivos electrónicos denominados puertas lógicas (o digitales), siendo éstas los componentes básicos de la electrónica digital.

FUNCIONAMIENTO DE UNA PUERTA LÓGICA

Las puertas lógicas son circuitos que proporcionan como salida unos niveles de tensión en función de los niveles de tensión en sus entradas.

PUERTALÓGICA

V1 (4,5 voltios)

V2 (4,9 voltios)V3 (3,9 voltios)

CONCEPTO DE PUERTA LÓGICA

213 VVV ⋅=

??



TIPOS DE LÓGICA (según asignación rangos de tensión)Según a qué valor lógico se asocien los rangos de tensión, existen los siguientes tipos de lógica digital:

Lógica positiva: Rango tensiones altas –> “1” lógicoLógica negativa: Rango tensiones altas -> “0” lógico

Se definen 2 rangos de tensión para “clasificar” los niveles de tensión que hay en las entradas y salidas de una puerta lógica.

Rango tensiones alto: normalmente asociado al “1” lógico.Rango tensiones bajo: normalmente asociado al “0” lógico.

RANGOS DE TENSIONES



Por tanto, mediante la definición anterior, las entradas y salidas de las puertas lógicas (en principio, valores analógicos de tensión) podrán ser entendidas como “0” y “1” (valores digitales).

PUERTALÓGICA

V1 (4,5 voltios) -> “1” lógico



Definiendo en el ejemplo anterior:Rango tensiones alto (2,5 v – 5 v) -> “1” lógicoRango tensiones bajo (0 v - 2,5 v) -> “0” lógico

¿EXISTIRÍAN OTRAS POSIBLES FUNCIONES ASOCIADA A ESTA PUERTA?

213 VVV ⋅=

0

2.5

5



PUERTAS LÓGICAS NORMALIZADAS EN DISEÑO DIGITAL

Entre todas las funciones en la tabla (Conjunto de Funciones Lógicas de dos Variables Lógicas), las que realmente se implementan de forma normalizada en el diseño digital son:

AND / OR NAND / NORNOT / SEGUIDOR XOR / XNOR

Como es lógico suponer, cada una de las Funciones Lógicas de dos Variables Lógicas mencionadas anteriormente podría ser extrapolada para “n” variables de entrada (implementándose también de forma normalizada en el diseño digital).

EJ: Puerta AND de 3 entradas



La tecnología empleada caracteriza ciertos parámetros físicos:Velocidad de propagación de las señales, Niveles de tensión de funcionamiento / Consumo de energíaTamaño o el coste de los dispositivos.

Las puertas lógicas se clasifican en familias (cada una con una tecnología asociada). Los elementos de una familia tienen valores similares para los parámetros físicos comentados anteriormente.

FAMILIAS DE PUERTAS LÓGICAS



EJEMPLOS DE CARACTERIZACIÓN DE FAMILIA TTL

Correspondencia tensiones/niveles lógicos (familia de circuitos integrados TTL)

Retardos en puertas lógicas(nanosegundos en familia TTL)


CRONOGRAMA


FUNCIÓN LÓGICA PUERTA LÓGICA “AND”SÍMBOLO

TABLA DE VERDAD

La salida de una puerta AND vale 1 sólo si todas y cada una de las variables de entrada son simultáneamente 1.La función AND realiza la operación de producto lógico, siendo su símbolo algebraico «•». Se lee «por» o también «y».

baf ⋅=



PUERTA LÓGICA “AND”CIRCUITOS COMERCIALES



PUERTA LÓGICA “AND”EJEMPLO DE APLICACIÓN

Circuito para habilitar o inhabilitar el paso de una señal de reloj (tren de impulsos) mediante una entrada de control (habilitación).


CRONOGRAMA


SÍMBOLO

TABLA DE VERDAD

La salida de una puerta OR vale 1 si una cualquiera de sus variables de entrada vale 1.La función OR realiza la operación de suma lógica, siendo su símbolo algebraico +. Se lee «más» o también «o».

FUNCIÓN LÓGICA PUERTA LÓGICA “OR”baf +=



PUERTA LÓGICA “OR”EJEMPLO DE APLICACIÓN

Circuito que active una sirena S cuando cualquiera de los sensoressituados en tres ventanas (señales A, B, C) y una puerta (señal D), detecten una intrusión.

OTRA POSIBLE DISEÑO:PUERTA “OR” DE 4 ENTRADAS


CRONOGRAMA


SÍMBOLO

TABLA DE VERDAD

La salida es el complemento de la entrada, es decir, si la entrada vale 0 la salida vale 1 y si la entrada vale 1 la salida vale 0.La función NOT realiza la operación de complementación lógica.

FUNCIÓN LÓGICA PUERTA LÓGICA “NOT”af =



PUERTA LÓGICA “NOT” (Inversora)EJEMPLO DE APLICACIÓN

Circuito que realice el complemento a uno de un número binario de ocho bits.


CRONOGRAMA


SÍMBOLO

TABLA DE VERDAD

La salida es igual a la entrada.La función seguidor no realiza ninguna operación lógica sobre la entrada, se justifica su utilización en aquellas aplicaciones en las que se requiere aumentar la corriente para excitar a dispositivos que así lo requieran.

FUNCIÓN LÓGICA PUERTA LÓGICA “BUFFER”af =


CRONOGRAMA


SÍMBOLO

TABLA DE VERDAD

La salida de una puerta NAND vale 0 sólo si todas y cada una de las variables de entrada son simultáneamente 1.La función NAND realiza la operación de complementación del producto lógico.

FUNCIÓN LÓGICA PUERTA LÓGICA “NAND”baf ⋅=



PUERTA LÓGICA “NAND”EJEMPLO DE APLICACIÓN

Se quiere diseñar un circuito que detecte cuándo alguno de los 2 depósitos se encuentra por debajo del 20 % de su capacidad, visualizándose en un led de color rojo esta situación.Sensores de nivel de líquidos:”1” si depósito por encima del 20 %.


CRONOGRAMA


SÍMBOLO

TABLA DE VERDAD

La salida de una puerta NOR vale 1 sólo si todas y cada una de las variables de entrada son simultáneamente 0.La función NOR realiza la operación de complementación de la suma lógica.

FUNCIÓN LÓGICA PUERTA LÓGICA “NOR”baf +=



PUERTA LÓGICA “NOR”EJEMPLO DE APLICACIÓN

Sistema que indica si un coche circula con las puertas mal cerradas. El sistema de detección del estado de las puertas p de un automóvil entrega un nivel bajo si se encuentra alguna puerta mal cerrada. La señal m presenta nivel bajo si el coche supera los 10 Km/h.


CRONOGRAMA


SÍMBOLO

TABLA DE VERDAD

La salida de una puerta XOR vale 1 cuando el número de entradas con valor igual a 1 sea impar y su salida vale 0 en caso contrario.Para el caso particular de puertas XOR de dos entradas, su salida vale 1 cuando las variables de entrada tomen valores distintos.

FUNCIÓN LÓGICA PUERTA LÓGICA “XOR”baf ⊕=



PUERTA LÓGICA “XOR”

CIRCUITOS COMERCIALES

EQUIVALENCIA

1. Introducción









CONJUNTO DE OPERADORES FUNCIONALMENTE COMPLETO

Un conjunto de operadores es funcionalmente completo, si cualquier función lógica se puede expresar mediante los operadores de este conjunto.

{•, +, -} es funcionalmente completo.{•, -} (NAND) es funcionalmente completo.{+, -} (NOR) es funcionalmente completo.

Los operadores NOR y NAND (funcionalmente completos) son los más empleados.

yx + yx ⋅NOR NAND



EQUIVALENCIA DE (NOT, AND, OR) CON OPERADOR COMPLETO NAND

f = b + a puede ser expresado con operadores NAND (leyes de Morgan)

bbaabababaf ⋅⋅⋅=⋅=+=+=

EJEMPLO: f = b + a puede ser expresado con operadores NOR (leyes de Morgan)

babababaf +++=+=+=



EJEMPLO (OPERADOR COMPLETO NAND)

Diseño sin restricciones Diseño sólo con NAND

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