Duhamel Ejemplo 2
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Transcript of Duhamel Ejemplo 2
Determine la respuesta de un sistema sin amortiguación, sometido a la condición forzante mostrada en la figura. Se pide la respuesta en los siguientes intervalos:
Integral de Duhamel (Ejemplo No. 1)
forzante mostrada en la figura. Se pide la respuesta en los siguientes intervalos:
πωτ 20) <<aP
B
2π/ω τ
πωτπ 42) <<bπωτ 4) >c
4π/ω
βττπω
==2BP ωπτ 20 <<
Ecuación de la recta
En el intervalo
En el intervalo( )pendiente
Bπωβ
2=v( )βττ
πω
−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −= BBBP 2
212 ωπτωπ 42 <<
( )∫ −=t
dtPsenmk
x0
1 ττ
La respuesta se calcula utilizando la siguiente expresión, que es la integral de Duhamel
( )pendiente0=P ωπτ 2≥En el intervalo
∫mk 0
( ) ( ) ( )
( )⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −
+−
=−= ∫
2
020
cos
ωβ
ωτωτ
ωτωβτττβ
tsent
ttsenmk
dtsenmk
xt
t
a) Primer intervalo
⎟⎠
⎜⎝ 2ωωmk
Sustituyendo la expresión para la pendiente y simplificando se obtiene:
( )⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
πω
πω
22tsent
kBx ωπτ 20 <<para el intervalov
b) Segundo intervalo
( ) ( ) ( )∫∫ −−+−=t
dtsenBdtsenx ωπ
ττβττττβ 221( ) ( ) ( )∫∫ + dtsenB
mkdtsen
mkx
ωπ
ττβττττ20
2
( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−=
πω
πω
222 tsent
kBx para el intervalo ωπτωπ 42 <<
c) Tercer intervalo
( ) ( ) ( )∫∫ −−+−= dtsenBmk
dtsenmk
x ωπ
ωπ
ωπ
ττβττττβ 4
2
2
0
1
21
( ) ( )∫ −+t
dtsenmk ω
πττ
401
0=x ωπτ 2≥para el intervalo