UNA DUALIDAD DISCRETA PARA LAS ALGEBRAS DE LUKASIEWICZ TRIVALENTES

ALDO V. FIGALLO * GUSTAVO PELAITAY**

Abstract. En esta nota describimos una dualidad discreta para las algebrasde Lukasiewicz trivalentes.

1. Preliminares

El objetivo principal de este trabajo es dar una dualidad discreta para lasalgebras de Lukasiewicz trivalentes. Para esto extenderemos la dualidad discretadada en [1], para las algebras de Kleene. Recordemos que un algebra L,,,, 0, 1 es un algebra de Kleene si L,,, 0, 1 es un retculo distributivo acotadoy es una operacion unaria sobre L que satisface las identidades:

(1) (x y) = x y,(2) x = x,(3) 0 = 1,(4) x x y y.

A continuacion recordaremos la dualidad discreta descripta en [1], para lasalgebras de Kleene.

Sea X, un preorden y U X, en lo que sigue notaremos con []U alconjunto {x X : y, x y y U}. En particular, si U es el conjuntounitario {x} lo notaremos por [x). Ademas, para cada Y X, denotaremos por[Y ) ((Y ]) al conjunto {x X : y Y (y x)} ({x X : y Y (x y)}).

Por otra parte, un marco de Kleene es una estructura X,, g, donde X,es un preorden y g : X X es una funcion tal que

(1) g(g(x)) = x,(2) si x y, entonces g(y) g(x),(3) x g(x) o g(x) x.

1991 Mathematics Subject Classification. Primary 06D30, 06D50; Secondary 03B44.Key words and phrases. nvalued LukasiewiczMoisil algebras, tense LukasiewiczMoisil

algebras, tense operators, discrete duality.The support of CONICET is gratefully acknowledged by Gustavo Pelaitay.

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Sea L,,,, 0, 1 un algebra de Kleene y sea X (L) el conjunto de todos losfiltros primos de L. Es bien sabido que X (L),c, gc es un marco de Kleene,donde c es y gc : X (L) X (L) es la involucion, definida por

gc(S) = {x L : x / S}, para todo S X (L). (1.1)Ademas, si X,, g es un marco de Kleene, entonces C(X),,,c, , X es

un algebra de Kleene, donde C(X) = {U X : []U = U} y c: C(X) C(X)esta definida por

c U = X \ g(U), para todo U C(X). (1.2)Estos resultados permiten obtener una dualidad discreta para las algebras de

Kleene definiendo los sumergimientos siguientes:(E1) h : L C(X (L)), definida por h(a) = {M X (L) : a M},(E2) k : X X(C(X)), definida por k(x) = {U C(X) : x U}.

2. Una dualidad discreta para las LM3algebras

Un algebra de Lukasiewicz trivalente (o LM3algebra) es un algebra

L,,,,, 0, 1de tipo (2, 2, 1, 1, 0, 0) que satisface:

(i) El reducto L,,,, 0, 1 es un algebra de Kleene,(ii) La operacion cumple las identidades:

(L1) a a = 1,(L2) a a = a a.

Definition 2.1. Un LM3marco es una estructura X,, g, R donde X,, ges un marco de Kleene y R es una relacion binaria sobre X que satisface

(K1) R reflexiva,(K2) ( R ) R,(K3) si (x, y) R, entonces x y o g(x) y.(K4) g(x) R(x), para todo x X.

Definition 2.2. El algebra compleja de un LM3marco X,, g, R es unaestructura

C(X),,,c,c, , Xdonde C(X),,,c, , X es el algebra compleja del marco de Kleene X,, gy para todo U C(X), c(U) = {x X : R(x) U}.Definition 2.3. El marco canonico de un algebra de Lukasiewicz trivalente Les

X (L),c, gc, Rc

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donde X (L),c, gc es el marco canonico del reducto de Kleene de L y paracada S, T X (L),

(S, T ) Rc 1(S) T.Lemma 2.1. El marco canonico de un algebra de Lukasiewicz trivalente es unmarco de Lukasiewicz trivalente.

Proof. Solo debemos probar (K1) a (K4).(K1): Sea S X (L) y supongamos que x 1(S). Entonces, x S. Dadoque x x, tenemos que x S. Por lo tanto, 1(S) S, esto es, (S, S) Rc.(K2): Sean (P, F ) (c Rc c). Entonces, existe T, S X (L) tal que P T ,(T, S) Rc y S T . De estas dos ultimas afirmaciones tenemos que 1(T ) F . Por lo tanto, dado que P T inferimmos que (P, F ) Rc.(K3): Sean P,Q X (L) tal que (P,Q) Rc. Supongamos que P 6 Q yg(P ) 6 Q. Entonces P g(P ) 6 Q, pues Q es un filtro primo. As existea P g(P ) y a / Q. Entonces a / P . Como a a = a a, ya P , tenemos que a / P . As, a g(P ). Dado que a a = 0, a / g(P ), es decir, a P . As, a Q, pues (P,Q) Rc, lo cual es unacontradiccion.

(K4): Sea P X (L). Si (P, g(P )) / Rc, entonces existe a L tal que a Py a / g(P ). As, a a = 0 P , lo cual es una contradiccion.

Lemma 2.2. El algebra compleja de un marco de Lukasiewicz trivalente es unalgebra de Lukasiewicz trivalente.

Proof. De [1], C(X) es cerrado bajo las operaciones de retculo y c. Ahora,probaremos que es cerrado bajo c i.e., cU = []cU . De la reflexividad de, tenemos que []cU cU . Supongamos que x cU . Sea y X tal quex y y tomemos un z X que verifique (y, z) R. Entonces, de la reflexividadde y (K2) inferimos que (x, z) R. As, z U y por lo tanto, x []cU .Por lo tanto, cU []cU . Es claro que C(X) es un algebra de Kleene. Ahoraprobaremos que se verifican (L1) y (L2).

(L1): Supongamos que U cU 6= . Entonces, existe y U tal queR(y) U . Dado que g(y) R(y), tenemos que g(y) U , lo cual es unacontradiccion. Por lo tanto, U cU = .(L2): Es consecuencia directa de (K3).

Ahora probaremos que el sumergimiento h : L C(X (L)), definido en (E1),

preserva el operador unario , esto es,Lemma 2.3. Para cada a L, h(a) = (h(a)).

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Proof. Sea F h(a); entonces a F . Supongamos que P X (L) ver-ifica que (F, P ) Rc. Entonces, 1(F ) P y as, a P . Por lo tanto,F c(h(a)) de donde inferimos que h(a) c(h(a)). Recprocamente,supongamos que F c(h(a)). Entonces para cada P X (L), (F, P ) Rcimplica que P h(a). Supongamos que a / F . Entonces 1(F ) es un filtroy a / 1(F ). Luego, existe T X (L) tal que a / T y 1(F ) T . Estaultima afirmacion nos permite concluir que (F, T ) Rc. De esta afirmaciontenemos que T h(a) y as, a T , lo cual es una contradiccion. Por lo tanto,h(a) = c(h(a)). Por lo tanto, en virtud de los resultados establecidos en [1]la prueba esta completa.

El Lema 2.4 probaremos que el sumergimiento de orden k : X X (C(X))definido en (E2), preserva la relacion R.

Lemma 2.4. Sea X,, g, R un LM3marco y sean x, y X. Entonces(x, y) R si, y solo si, (k(x), k(y)) Rc.

Proof. Supongamos que (x, y) R y sea U C(X) que verifica cU k(x).Entonces es facil ver que y U y as, (k(x), k(y)) Rc. Recprocamente, seanx, y X tales que (k(x), k(y)) Rc. Entonces c1(k(x)) k(y). Por otraparte, notemos que [](X \ (y]) C(X) y y / [](X \ (y]). Por lo tanto,[](X \ (y]) / k(y) y as, [](X \ (y]) / c1(k(x)). Por lo tanto, c([](X \ (y])) / k(x) de donde podemos inferir que x / c([](X \ (y])). Entoncesexiste z tal que (x, z) R y z / [](X \ (y]). De esta ultima afirmacion existew tal que z w y w y, lo cual nos permite inferir que z y. Entonces, envirtud de la reflexivdad de y (K2), (x, y) R como queramos.

Por lo tanto, tenemos una dualidad discreta entre LM3algebras y LM3marcos.

Theorem 2.1.(a) Cada LM3algebra se puede sumergir en el algebra compleja de su marco

canonico.(b) Cada LM3marco se puede sumergir en el marco canonico de su algebra

compleja.

References

[1] W. Dzik, E. Orlowska and C. van Alten, Relational representation theorems for gen-eral lattices with negations, Relations and Kleene algebra in computer science, 162176,Lecture Notes in Comput. Sci., 4136, Springer, Berlin, 2006.

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* Instituto de Ciencias BasicasUniversidad Nacional de San JuanAvda. Ignacio de la Roza 230 (O)5400 San JuanArgentinaE-mail address: avfigallo@gmail.com

**Departamento de MatematicaUniversidad Nacional del SurAvda. Alem 12538000 Baha BlancaArgentinaE-mail address: gpelaitay@gmail.com