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DISEO Y PLANIFICACIN DE EXPLOTACIONES

A CIELO ABIERTO MEDIANTE ALGORITMOS DE

OPTIMIZACIN

Autor: Fernando Garca Bastante (Universidad de Vigo)bastante@uvigo.es

Son muchos los factores que intervienen en el diseo y planificacin de las

explotaciones mineras, lo que hace de sta, una formidable y complicada tarea, tal vezslo superada, por la propia operacin minera.

La geologa, la extensin y morfologa del yacimiento, la distribucin espacial de la

calidad y cantidad de los diferentes materiales, la climatologa, la hidrogeologa e

hidrologa, las caractersticas geomecnicas de los materiales, la topografa y su relacin

con el depsito, los taludes finales de la excavacin, los lmites de la concesin minera;

las leyes de corte, las leyes medias y los ratios, los ritmos de produccin en mina y en

planta, las horas anuales de trabajo, las productividades, los factores de eficiencia, la

flexibilidad de la operacin, el nmero de frentes de trabajo, su longitud, la separacin

entre ellos, el grado de selectividad requerida, la dilucin, las necesidades de mezclado;

los posibles mtodos y sistemas, el tipo, el tamao y el nmero de equipos a emplear,

sus necesidades operativas: altura de los bancos, necesidades de espacio en los frentes

de trabajo, pendientes y dimensiones de las pistas; las infraestructuras necesarias, las

inversiones y los costes, las recuperaciones, las limitaciones econmicas y financieras

de la empresa, los mercados, los precios, las incertidumbres...; y por si esto fuera poco,debemos tener en cuenta las diferentes tcnicas con las que modelamos estos factores y

sus interrelaciones y, cmo no, el criterio que prevalecer a la hora de realizar el diseo

y tomar la decisin final: maximizar el beneficio global, o el valor actualizado neto, o

las reservas, o la vida de la explotacin, o minimizar el riesgo de la inversin, etc.

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No es de extraar pues, que no exista ningn algoritmo matemtico que sea capaz de

encontrar una solucin ptima, al menos, si hablamos de este trmino en un sentido

totalmente estricto y riguroso. Lo que s que existen, son algoritmos que, una vez fijados

implcita o explcitamente un conjunto amplio de parmetros, y bajo la supervisin del

diseador o planificador minero, ofrecen distintas alternativas, que resultarn ms o

menos operativas o factibles, en funcin de la cantidad y calidad de los parmetros de

entrada que el modelo pueda aceptar. La rapidez de repuesta de los ordenadores es un

importante estimulante del uso de estos algoritmos, debido al carcter ciertamente

dinmico de los parmetros de entrada del modelo.

En definitiva, es el tcnico el que deber tomar las decisiones ms idneas, y el

responsable ltimo del diseo y planificacin de la explotacin, mientras que losalgoritmos son solamente herramientas potentes de trabajo, que ni deciden ni aceptan

responsabilidades, slo calculan.

No es objetivo de este trabajo, entrar en el debate sobre cul debe ser el criterio

econmico a seguir por la empresa, en la toma de decisiones. Asumiremos que el

sumatorio de flujos de caja descontados o valor actualizado neto (VAN), es el indicador

de rentabilidad de la empresa, y que el objetivo principal de sta, es maximizarlo (Lane,

1988; Runge, 1998; Lemieux, 2000). La definicin de las reservas y de la secuencia de

la explotacin se har conforme a esta premisa.

El empleo de algoritmos necesita de un modelo del yacimiento, en forma de bloques

rectangulares tridimensionales, que a su vez pueden estar formados por varios bloques

menores, y que pueden tener en su interior informacin muy variada concerniente a sus

dimensiones y coordenadas, al tipo y densidad del material al que representa, leyes o

cantidades de metal(es), taludes de la excavacin, costes, recuperaciones, precios, etc.

Para cada bloque, toda esta informacin se condensa finalmente en: 1) el valor neto del

mismo (VN) o suma de los ingresos menos la suma de los costes imputables a la

extraccin de ese nico bloque, supuesto que este valor es independiente de la secuencia

de extraccin; y 2) un fichero de arcos (S), que representa el conjunto de bloques que

hay que extraer, de acuerdo con los taludes de la excavacin, para posibilitar la salida

del bloque considerado.

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El problema de determinacin del hueco ptimo (aqul cuyo VAN es mximo), es en

realidad un problema de determinacin de la secuencia ptima de explotacin, que

como ya hemos mencionado, no somos capaces de resolver actualmente. Para ilustrar la

gran dificultad de su resolucin, acompaamos una formulacin del mismo, en trminos

de programacin lineal, presentada por Caccetta (2000):

( )

( )

( )

N1,2,...,i;T2,...,,1t,1,0N1,2,...,i;Sj;T2,...,,1t,

T2,3...,t,

T2,3...,t,

T1,2,...,t,

T2,3...,t,

:nesrestricciosiguienteslasaSujeto

i

1

tw

1

11

00

1

11

12 1

11

===

==

=

=

=

==

=

+=

== =

t

i

t

j

t

i

t

i

t

i

Wi

t

i

t

ii

wi

Wi

i

ttt

t

Oi

t

i

t

ii

i

Oi

i

N

i

T

i

T

i

T

t

N

i

t

i

t

i

t

i

xxx

xx

uxxt

uxt

uml

mxxt

mxt

xcxccZMaximizar

Siendo N el nmero total de bloques del depsito; T el nmero de periodos sobre el que

se planifica la explotacin; cit el valor neto, que resulta de extraer el bloque i en el

periodo t, actualizado; xit una variable que toma el valor 1 si el bloque i es extrado entre

los periodos de 1 a t, y 0 en caso contrario; O es el conjunto de bloques de mineral; W

es el conjunto de bloques de estril; ti es el tonelaje del bloque i; Si es el conjunto de

bloques que deben ser extrados antes del bloque i; mt es el mineral extrado en el

periodo t; uwt es la cantidad mxima de estril a extraer en el periodo t; l0

t y u0t son las

cantidades de mineral a extraer en el periodo t (mnima y mxima, respectivamente).

Esta formulacin plantea la bsqueda de N vectores (xi) de T componentes (ceros y

unos), que maximizan el sumatorio de valores netos actualizados, sujeto a las

restricciones de capacidad de mina y planta (las cinco primeras restricciones), y a los

taludes de la operacin (sptima restriccin). El orden de magnitud de N es 10

5

, y el deT es 10, con lo cual, el del nmero de incgnitas NT ser 10 6. El nmero de

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El algoritmo es sencillo y grfico (ahora es el ordenador el que traza las lneas gua, y en

tres dimensiones), aunque no asegura que la solucin sea ptima. Esto es debido a que

el algoritmo no tiene en cuenta la posible cooperacin entre bloques de mineral, para

pagar el estril comn a ambos; y a que por razones computacionales, la bsqueda de

bloques es continua (debiera comenzar desde el principio cada vez que se elimina un

conjunto de bloques), lo que puede extender el lmite del hueco ms all del ptimo.

La resolucin final de este problema surgi de la teora de grafos (Lerchs y Grossmann,

1965). Cada bloque del modelo representa un nodo del grafo, que a su vez est

conectado con otros nodos mediante arcos (con el mismo significado que el explicado

anteriormente). A cada nodo se le asigna un peso, en nuestro caso el valor neto del nodo

al que representa. El problema se plantea de la siguiente forma: encontrar de entre todoslos posibles subgrafos, aqul cuyo peso asociado (el sumatorio de los pesos de todos los

nodos pertenecientes al subgrafo), sea mximo. En trminos de programacin lineal

entera tendremos:

Vj

xjbjMaximizar

Donde V representa el conjunto de todos los nodos; bj es el peso del nodo j; xj es una

variable que tiene el valor de 1 si el nodo j est incluido dentro del hueco ptimo, y cero

en el caso contrario. Tendremos que aplicar la restriccin de los taludes de la

excavacin: xi xj 0, para todos los nodos i, conectados con el nodo j.

El gran logro de Lerchs y Grossmann fue, precisamente, formular este problema,

irresoluble mediante programacin lineal debido a los enormes requerimientos

computacionales, como un problema de cierre mximo en la teora de grafos.

Posteriormente aparecieron algoritmos, que transformaron el planteamiento de la teora

de grafos a uno equivalente de flujo mximo en teora de redes, que dan los mismos

resultados que el anterior (Johnson, 1968; Picard, 1976).

El incremento de la potencia de los ordenadores ocurrido en las dos dcadas posteriores

al artculo de Lerchs y Grossmann, permiti la aparicin en el mercado de Whittle 3-D

(1985), un programa que implementaba el algoritmo en tres dimensiones.

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Con la determinacin inicial de los lmites del hueco minero podemos obtener los

grficos de leyes de corte-recursos-leyes medias, informacin que realimentar al

sistema, ya que podr influir de forma directa en los ritmos de la operacin, en los

costes unitarios y en las inversiones (no olvidemos que trabajamos de forma iterativa

segn procesamos la informacin que vamos obteniendo, y por lo tanto, la definicin

del hueco final no se realizar hasta que se complete la optimizacin).

El paso siguiente es la definicin de las fases de la explotacin, que en la prctica se

resuelve mediante anlisis paramtrico (Lerchs y Grossmann, 1965). Esta tcnica

consiste en afectar el valor neto de cada bloque con un parmetro , de manera que

variando ste convenientemente y aplicando el algoritmo de optimizacin, se obtienen

contornos sucesivos del hueco, que sern la base de la planificacin minera. La idea es

que cada contorno delimitar un hueco con beneficio unitario mayor al que se generar

posteriormente, que lo englobar, de manera que extraeremos sucesivamente material de

mayor a menor valor unitario. Desde el punto de vista de maximizar el VAN esto es lo

que nos interesa, adelantar en lo posible los flujos de caja ms elevados.

Lerchs y Grossmann propusieron en su artculo, la variacin del valor de cada bloque

del modelo, de bi a (bi-) con 0. Esto es equivalente a determinar el contorno del

hueco en el que el beneficio medio de los bloques es igual o mayor que . Whittle

Technology Limited introdujo el anlisis paramtrico en 1987 con Whittle FOUR-D,

aunque con un enfoque algo distinto.

Los tres parmetros econmicos que intervienen en el clculo del valor neto de un

bloque son: el precio de venta, el coste de planta y el coste de mina. Whittle (1988)

defini el coste en metal de mina, como la cantidad de metal que hemos de vender parapagar el coste de la extraccin de una tonelada de mineral. Llamando b al valor neto de

la tonelada de mineral tendremos:

mpeccPlb =

En la que le representa la ley en metal, el rendimiento global, P el precio unitario de

venta (suponemos descontados los gastos de fundicin, afino, comercializacin...), cp el

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coste de planta y cm el coste de mina, ambos de la tonelada de mineral. Dividiendo la

expresin anterior entre cm:

1=m

p

me

m c

c

c

Pl

c

b

P/cm es la cantidad de estril que puede pagar la unidad de metal y cp/cm es un ratio

relativamente constante con el tiempo (20% segn Whittle). Si variamos P/cm

afectndolo con un parmetro que vara entre 0 y 1, obtendremos un conjunto de

cortas anidadas, en las que sucesivamente va disminuyendo el valor neto unitario por

unidad de coste minero.

La aplicacin de este parmetro directamente sobre las leyes, hace que se penalice ms,

en trminos absolutos, a aquellas leyes de mayor valor; y el efecto sobre los contornos,

comparado con la parametrizacin propuesta de Lerchs y Grossmann, es que tienden a

tener ratios menores.

Esto es importante desde el punto de vista del objetivo planteado: maximizar el valor

actualizado neto. Al no tener en cuenta de manera explcita el valor temporal del dinero,

se introduce de manera implcita, ya que, ante dos contornos de igual valor neto

unitario, la parametrizacin de Whittle escoger la de menor ratio, o sea, la que tiene

menor coste de desmonte a pagar anticipadamente.

No han sido slo dos, las direcciones en las que se ha dirigido el anlisis paramtrico,

sino que, se han propuesto a lo largo del tiempo, diferentes alternativas a las

mencionadas.

Dagdelen y Francois-Bongarcon (1982), y Francois-Bongarcon y Guibal (1982),

eliminaron todos los parmetros econmicos del anlisis y propusieron la

parametrizacin de las reservas, esto es, generar contornos de riqueza, del producto

vendible, decreciente. Ramazan y Dagdelen (1998), introdujeron, con el objetivo de

minimizar el ratio en las fases iniciales, un algoritmo que produce contornos con ratios

crecientes. Lemieux (2000), propone definir inicialmente las fases con el anlisis de

Lerchs y Grossmann, y mediante un proceso iterativo, ir redefiniendo stas, teniendo en

cuenta el ratio de cada fase, mediante la adicin de un coste del capital que depender

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Si comparamos esta expresin de la ley de corte, con la propuesta por el profesor Lasky

(1952), en la que el trmino cw no aparece, deducimos que en un principio, las reservas

totalizadas con los mtodos de optimizacin, sern mayores. Y as sera, si no

contemplsemos la componente temporal del valor del dinero que dictan las teoras que

introducen el coste de oportunidad del capital.

Lane (1988) abord la tarea de la definicin econmica de mineral, desde el punto de

vista de maximizacin del sumatorio de los flujos de caja actualizados (V), producidos

por la operacin minera. Partiendo de la hiptesis de que V es funcin del tiempo (T),

de los recursos (R) y de la poltica de leyes de corte (:1, 2...), maximiz la

funcin V con respecto a , y obtuvo que la solucin deba cumplir:

=

dT

dVVtcMax

dR

dV ***

),(

Donde V* es el mximo de V; c es el flujo de caja por unidad de recurso, siguiendo la

estrategia , durante el tiempo t; es el coste del capital y el tiempo empleado en

procesar la unidad de recurso.

Segn Lane, el trmino que acompaa a es el coste de oportunidad (F), asociado a V*

(el valor de la operacin), y afecta al flujo de caja con el coste del capital , y con las

condiciones econmicas cambiantes a lo largo de la vida de la operacin.

La nomenclatura y el modelo econmico utilizados por Lane, son:

g es la ley de corte a determinar m, h y k son los costes unitarios variables de mina, planta y comercializacin,

respectivamente; fes el coste fijo de la operacin y F el coste de oportunidad

p es el precio unitario de mineral; y es el rendimiento de la operacin M, H y K son las capacidades mximas en mina, planta y comercializacin

En el caso de estar limitada la operacin nicamente por la capacidad de planta, la ley

de corte obtenida con el modelo de Lane es:

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( ) ykpH

Ffh

g*

++

=

Suponiendo unas condiciones econmicas estables, este resultado sugiere, que elmaterial procesado deber pagar al menos, los costes derivados de su tratamiento ms el

coste de capital del activo minero V*.

Si comparamos esta ley con la de Lasky, teniendo en cuenta que ahora: cp = h+f/H y

P=(p-k), obtenemos que:

H

F

c

cc

g

l

p

mpc

+

+=

En los episodios iniciales de la vida de la explotacin, los valores de g sern mayores

que lc, y conforme avanza el tiempo, V* disminuye y, por tanto, g, hasta alcanzar el

valor marginal.

Lane extiende su trabajo con el clculo de la ley de corte en el caso de que la capacidad

de produccin est limitada por mina, y tambin cuando la restriccin viene impuesta

por la limitacin de puesta en mercado del producto final. Junto con estas tres leyes,

calcula otras tres que resultan de saturar o equilibrar las tres restricciones expuestas, dos

a dos. stas se obtienen a partir de la funcin de distribucin de la ley, de manera que, si

por ejemplo queremos saturar la capacidad de mina y la capacidad de planta, deberemos

buscar en la curva la ley de corte en la que la proporcin de material que la supera, sea

igual a H/M.

De entre estas seis leyes elegiremos la ley de corte ptima, que ser aquella con la que

se obtenga el mayor valor de V, y que satisfaga todas las restricciones impuestas.

En la fase de diseo ser muy importante, equilibrar las capacidades de mina y planta,

de manera que ambas se saturen en el entorno del ptimo econmico de planta.

Al ser g dependiente de V*, la resolucin del problema de calcular la poltica ptima de

leyes de corte, a lo largo de la vida de la explotacin, requiere la utilizacin de tcnicas

de programacin dinmica.

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Four-X Analyser (Whittle Programming Limited, 2001), incorpora un mdulo de

clculo de la poltica de leyes, integrado con los mdulos de diseo y planificacin

(anteriormente introdujo un mdulo externo Opti-Cut, 1995, compatible con Four-X).

El esquema de trabajo es el siguiente:

Se parte de la secuencia de extraccin obtenida anteriormente, agrupando lainformacin en incrementos o intervalos de un tonelaje determinado. Cada

incremento incorpora las cantidades de los diferentes tipos de rocas segn rangos

de calidades.

Se calculan las leyes de corte marginales para cada incremento. Se busca la ley de corte en el primer incremento que maximiza el VAN,

manteniendo el resto de leyes constantes.

El proceso se repite con los incrementos siguientes, secuencialmente, hasta llegaral ltimo.

Ya que la ley de corte de cada incremento habr variado, comenzamos de nuevola bsqueda de la ley de corte que maximiza el VAN, con el primer incremento, y

as sucesivamente. Iteramos todo el proceso hasta que no podamos mejorar el VAN.

Llegados a este punto, hemos culminado el primero de los ciclos de determinacin del:

lmite del hueco minero-fases de la explotacin-secuencia de operacin-leyes de corte.

Ahora debemos introducir el efecto que produce el cambio de las leyes de corte, en el

modelo. De hecho puede ocurrir que las suposiciones y estimaciones realizadas de los

parmetros principales no conserven su validez (costes, selectividad o dilucin, porejemplo), y el modelo generado no se adece a las nuevas circunstancias.

La funcin de distribucin de la ley, su ordenacin espacial y las leyes de corte son los

factores que dictarn la cantidad de reservas, su ley media y su disposicin espacial, y

en definitiva, sern los determinantes del mtodo, ritmo y secuencia de extraccin, o lo

que es lo mismo, de los costes y amortizaciones, y tambin lo sern, del beneficio de la

operacin.

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