Escola Santíssima Trinitat 1r de Batxillerat Científic-TecnològicPràctica de Matemàtiques Funcions exponencials i logarítmiques

REFREDAMENT DE SUBSTÀNCIES 1a part: Presa de dades al laboratori

1. Introducció

La finalitat d’aquesta pràctica és la de veure com les Matemàtiques ajuden a altres Ciències a trobar models que puguin explicar determinats fenòmens i predir el seu comportament al variar les condicions inicials.

En aquest cas estudiarem com es refreda una determinada substància i demostrarem que, sota unes determinades condicions, existeix una relació funcional entre el temps que passa des que deixem d’aplicar calor i la temperatura de la disolució. De fet, veurem que la funció que relaciona ambdues variables és exponencial, l’equació de la qual és:

T=f(t)=A·Bt+C

on T (ºC) és la temperatura a l’instant t (s).

Es tracta, doncs, de determinar experimentalment els valors dels paràmetres A, B i C.

2. Disseny, preparació i execució de la pràctica

El disseny i preparació serà a càrrec de la professora de Química, Carme Alcalà.

Farem servir naftalina en disolució. Cada grup tindrà una quantitat diferent de substància.

En primer lloc anoteu la temperatura ambient: ___________

Indiqueu el pes de la quantiat de substància del vostre grup: __________

Un cop la naftalina assoleixi la temperatura d’ebullició, realitzarem el procés de mesura a intervals d’un minut. Anoteu les dades en les taules següents:

t

T

t

T

t

T

Activitat emmarcada dins de les 2es jornades científiques

REFREDAMENT DE SUBSTÀNCIES 2a part: Modelització

3. Introducció i manipulació de les dades

Fareu servir un full de càlcul, com l’Excel, per introduir i manipular les dades obtingudes al laboratori. Ompliu les tres primeres columnes:

- 1a columna: els valors de la variable independent (temps en minuts)

- 2a columna: els valors de la variable dependent (Temperatura en ºC)

- 3a columna: rectificació de la temperatura per convertir la funció exponencial en funció afí:

T=f(t)=A·Bt+C

C= Tambient

T=A·Bt+Tambient

ln(T-Tambient)=ln(A·Bt)=ln(A)+ln(Bt)=ln(A)+t·ln(B)

n=ln(A) i m=ln(B) són nombres reals

g(t)=ln(T-Tambient)=n+t·m és una funció afí

A B C1 t (independent) T=f(t)(dependent) g(t)=ln(T-Tambient)2 ... ... ...3 ... ... ...... ... ... ...

4. Representació gràfica i interpretació

Feu una gràfica del tipus “Dispersión XY”, on la columna A sigui la variable X i la columna B la dependent.

Interpreteu la gràfica obtinguda:_____________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

Feu una altra gràfica del tipus “Dispersión XY”, on la columna A sigui la variable X i la columna C la dependent.

Interpreteu la gràfica obtinguda:_____________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

2

Escola Santíssima Trinitat 1r de Batxillerat Científic-TecnològicPràctica de Matemàtiques Funcions exponencials i logarítmiques

5. Determinació del model

Com podreu veure a la última gràfica, aquesta és, bàsicament, una composició de tres funcions afins. Es tracta de trobar les equacions d’aquestes de la següent manera:

- Observeu la gràfica i seleccioneu aquells trossos de la gràfica que són “més rectes”.

- Feu una gràfica independent per a cada tros a partir de les dades de les columnes A i C.

- A cada gràfica seleccioneu la opció del menú “GráficoAgregar línea de tendencia”. Seleccioneu la tendencia “Lineal”. A la pestanya “Opciones” seleccioneu la opció “...ecuación...” i “...R2...”. Cliqueu en “Aceptar”.

- Us haurà d’apareixer una línea més o menys ajustada a la que ja tenieu. Si no s’ajusta massa potser o perquè no hey agafat “el tros recte adequat” o perquè l’escala de l’eix d’ordenades és massa petita. En aquest últim cas, feu-la major.

- El paràmetre R2 és un nombre entre 0 i 1. Quant més a prop estigui d’1 millor serà la selecció que haurem fet. Però si el tros seleccionat és horitzontal (paral·lel a l’eix d’abscisses), R2=0, encara que la recta s’ajusti molt a les dades experimentals.

- Anoteu les equacions de cadascun dels trossos seleccionats.

Ara cal que desfeu el canvi per convertir la función exponencial en afí, per tant cal aplicar la funció inversa del logaritme neperià: la funció exponencial ex:

g(t)=ln(T-Tambient)=n+t·m

eg(t)=eln(T-Tambient)=T-Tambient (1)

eg(t)=en+t·m=en·et·m=en·em·t=en·(em)t (2)

igualant (1) i (2) tenim

T-Tambient=en·(em)t

T=f(t)=en·(em)t+Tambient=A·Bt

per tant,

A=en i B=em

Feu aquest procediment per a cadascun del trossos i equacions trobades i indiqueu en quin interval s’ha d’aplicar cada funció:

T=f(t) interval

REFREDAMENT DE SUBSTÀNCIES 3a part: Avaluació del model

1. Càlcul de l’error mitjà del model

Una de les maneres de comprovar si el model determinat s’ajusta bé a la realitat de les dades obtingudes experimentalment, és tornar a repetir l’experiment i intentar predir el que passarà en cada moment. En quines condicions caldria repetir-lo per tal d’obtenir resultats similars? ________________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

Una altra manera és comparar les dades obtingudes experimentalment amb les que podem obtenir del model. Per portar a terme aquesta comparació cal que calculeu les imatges de la funció anterior pels valors de temps que van obtenir de l’experiment:

- Feu aquests càlculs a la columna D a partir de les fórmules que heu trobat en la 2a part.

- A la columna E calculeu la diferència, en valor absolut, entre les dades reals (columna B) i les dades modelades (columna D).

- A la cel·la F1 calculeu el promig dels valors de la columna E (feu servir la funció d’Excel PROMEDIO). Aquest serà l’error mitjà, anoteu-lo:_________

- Feu, a sobre del primer gràfic que vas dissenyar a la 2a part, un altre gràfic amb la columna A com a variable independent i la columna D com a dependent. Com són aquests dos gràfics? _____________________________

______________________________________________________________

Interpreteu-los__________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

Anoteu les conclussions que pugueu treure d’aquesta 3a part: ______________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

4