Dosier módulo IIminedupedia.mined.gob.sv/lib/exe/fetch.php?media=files:d...6 En el Módulo Números...

Dosier módulo II

Módulo II

Diciembre de 2014

Introducción .................................................................................................................................................. 6

Unidad I Potenciación .................................................................................................................................... 7

Ideas esenciales ................................................................................................................................... 7 ¿Por qué razón se usan los exponentes? ............................................................................................. 7 Indagando conocimientos previos ....................................................................................................... 7 Problema de la división celular .......................................................................................................... 10 Propiedades de las potencias ............................................................................................................ 13 Ejercicios y problemas 1 ................................................................................................................. 16 Ejercicios y problemas 2 ................................................................................................................. 18 Encontrando el número oculto: potencias naturales ........................................................................ 18 Potencia de base 10 ........................................................................................................................... 20 Ejercicios y problemas 3 ................................................................................................................. 21

Unidad II. Números primos y compuestos .............................................................................................. 23

Historia de los números primos ......................................................................................................... 23 Números primos y compuestos ......................................................................................................... 23 Otra forma de encontrar los números primos y compuestos mediante los arreglos rectangulares 24 Criba de Eratóstenes y los números primos ...................................................................................... 25 Algunas propiedades de los números primos .................................................................................... 27 Los primos de Mersenne .................................................................................................................... 28 Ejercicios y problemas 4 ................................................................................................................. 28 Factores primos.................................................................................................................................. 28 Descomposición factorial ................................................................................................................... 28 Teorema fundamental de la aritmética sobre los números primos .................................................. 29 Divisores de un número ..................................................................................................................... 30 Cantidad de divisores de un número natural .................................................................................... 33 Clasificación de números según la suma de sus divisores exceptuando el número.......................... 34 Ejercicios y problemas 5 ................................................................................................................. 36

Unidad III. Algoritmo de la división .............................................................................................................. 38

Construcción del concepto ................................................................................................................ 38 Saberes previos .................................................................................................................................. 38 Aplicación del algoritmo de la división en los ciclos de potencias..................................................... 40 a) Ciclo de las potencias de 2 ............................................................................................................. 40 b) El ciclo de las potencias de 3 ......................................................................................................... 41

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Ejercicios y problemas 6 ................................................................................................................. 42 Ejemplos de identificación de residuos ............................................................................................. 42 Clases residuales ................................................................................................................................ 43 Ejercicios y problemas 7 ................................................................................................................. 45 Sistemas modulares y propiedades de las congruencias ................................................................... 47 Definición de congruencia ................................................................................................................. 49 Propiedades de las congruencias ....................................................................................................... 52 Ejercicios y problemas 8 ................................................................................................................. 53 Criterios de divisibilidad ..................................................................................................................... 54 Ejercicios y problemas 9 ................................................................................................................. 54 Forma polinómica de un número ...................................................................................................... 55 Sistema de numeración binario ......................................................................................................... 56 Pasar un número binario a su equivalente en decimal ...................................................................... 58 Ejercicios y problemas 10 ............................................................................................................... 60 Divisibilidad ........................................................................................................................................ 60 Divisibilidad por 2 ............................................................................................................................... 61 Divisibilidad por 3 ............................................................................................................................... 62 Divisibilidad por 4 ............................................................................................................................... 63 Divisibilidad por 5 ............................................................................................................................... 64 Divisibilidad por 6 ............................................................................................................................... 64 Divisibilidad por 7 ............................................................................................................................... 65 Divisibilidad por 9 ............................................................................................................................... 66 Divisibilidad por 11 ............................................................................................................................. 67 Ejercicios y problemas 11 ............................................................................................................... 70

Unidad IV. Máximo común divisor ............................................................................................................. 71

Métodos para calcular el MCD ........................................................................................................... 71 Método de divisiones sucesivas o algoritmo de Euclides .................................................................. 73 Algoritmo de la división ..................................................................................................................... 74 Descomposición en factores primos .................................................................................................. 76 Ejemplos de resolución de problemas aplicando el MCD .................................................................. 77 Propiedades del Máximo Común Divisor ........................................................................................... 78 Ejercicios y problemas 12 ............................................................................................................... 79

Unidad V. Mínimo común múltiplo ............................................................................................................. 80

Conceptos .......................................................................................................................................... 80 Múltiplos de un número .................................................................................................................... 80 Cálculo del mcm conociendo el MCD y a la inversa ........................................................................... 84 Problemas resueltos sobre mcm y MCD ............................................................................................ 85 Ejercicios y problemas 13 ............................................................................................................... 86

Referencias documentales .......................................................................................................................... 87

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En el Módulo Números y operaciones II se iniciará el estudio de la Teoría del Número. Se estudiarán características de los números, diferentes formas de tratarlos, las reglas para trabajar con ellos, sus operaciones y sus propiedades. En la teoría elemental de números se estudian los números enteros sin emplear técnicas procedentes de otros campos de las matemáticas. Pertenecen a la teoría elemental de números las cuestiones de divisibilidad, el algoritmo de Euclides para calcular el máximo común divisor, la factorización de los enteros como producto de números primos, la búsqueda de los números perfectos y las congruencias. Cuando nos preguntamos si es posible repartir un conjunto de objetos en grupos iguales, o una cantidad dada en partes iguales, entonces entra en juego el concepto de divisibilidad. Además se aprenderá a encontrar múltiplos y divisores y descomponer en factores primos un determinado número natural. Aprenderemos además a como calcular de diferentes maneras el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de varios números. La Unidad 1 está dedicada a abordaje de la Potenciación, partiendo para ello de ideas esenciales, un poco de su historia, luego induciendo por medio de ejemplos prácticos la fabricación del concepto de potencia y los elementos que la componen. Se abordan las propiedades de las potencias, con pequeñas demostraciones, continuando con problemas reales cuya solución implica el uso de la potenciación. La Unidad 2 trata sobre los números primos y compuestos, revisando sus propiedades, su historia, cálculo de los divisores de un número utilizando diferentes métodos, uso de algunos métodos para encontrar los números primos, como el uso de la Criba de Eratóstenes. Se enseña además formas de determinar los factores primos de un número, el teorema fundamental de la aritmética, clasificación de los números atendiendo propiedades especiales de sus divisores como números amigos, perfectos, defectuosos o abundantes. En la Unidad 3 se aborda el ciclo de las potencias de 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10. Revisando las cifras de las unidades de estos, se procede a la identificación de residuos utilizando la división común así como el uso de las clases residuales de 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11 como introducción a las congruencias y divisibilidad. Se establece propiedades de las congruencias utilizando la aritmética del reloj, se establecen los sistemas de numeración decimal y binario. Finaliza con los criterios de divisibilidad con las propiedades observadas en las clases residuales. La Unidad 4 está dedicada al Máximo Común Divisor. Inicia con un poco de historia, se calculan los divisores de un número, el MCD mediante métodos diferentes, el algoritmo de Euclides, restas sucesivas y al final la resolución de problemas. La Unidad 5 trata del cálculo del Mínimo Común Múltiplo, su importancia, introducción de la temática mediante la resolución de problemas aplicados a la vida real para la construcción del concepto; uso de diferentes formas de calcular el mcm, establecimiento de la relación entre el MCD y el mcm finalizando con la resolución de problemas.

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Potenciación

Ideas esenciales La potenciación y la radicación eran conocidas ya desde la antigüedad, los babilonios utilizaban la elevación a potencia como auxiliar de la multiplicación. Los griegos por su parte tenían predilección por los cuadrados y los cubos. Un exponente refleja un número multiplicado por sí mismo, como 2 veces 2 es igual a 4. En forma exponencial esto se puede escribir 2², lo que se denomina como "dos al cuadrado". El elevado es el exponente 2 y el 2 inferior es el número base. Si se quiere escribir 2 x 2 x 2 se puede abreviar escribiéndolo como 2³ o "dos a la tercera potencia". Lo mismo es válido para cualquier número de base, por ejemplo, 8² es igual a 8 x 8 o 64. Como puede verse, se puede usar cualquier número como base y el número de veces que se desee multiplicar un número por sí mismo se convierte en el exponente.

¿Por qué razón se usan los exponentes?

¿Qué pasa si, por ejemplo, en una fórmula matemática compleja, es necesario calcular algo realmente importante? Podría ser cualquier cosa y se podría requerir saber a qué es igual 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8. Imagine que se deba multiplicar todo ese montón de números grandes en una ecuación. Es mucho más fácil compactar o escribir 832 que resulta más factible de averiguar si se quiere. En otras palabras, una potencia es una forma abreviada de representar productos tan largos como el anterior.

Indagando conocimientos previos

Revisión del video Exponentes y potencias. Explicaciones para niños de primaria: https://goo.gl/0ZaGI7

Resuelva los siguientes ejercicios y termine formulando con sus propias palabras el concepto de potencia.

El piso de una habitación cuadrada está enladrillado por pisos cerámicos también cuadrados, de los cuales se ve una línea. ¿Con cuántos ladrillos se ha cubierto el piso?

https://goo.gl/0ZaGI7

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El piso de otra habitación cuadrada está totalmente cubierto con 169 ladrillos de 20 cm x 20 cm ¿Cuánto mide el lado de la habitación?

Encontrar el área de un cuadrado cuyo lado mide 3 m.

Elevar un número “n” a la potencia de 2 equivale a armar un cuadrado cuyos lados miden “n”. Encuentre potencias en las siguientes figuras:

Se puede mostrar completando la siguiente tabla:

Cuadritos por lado 1 2 3 4 5 6 … n

total de cuadritos

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A las potencias de exponente dos se les acostumbra a llamar cuadrados perfectos.

Ahora calcula el volumen de un cubo cuya arista mide 6 cm: 6 cm

6 cm

6 cm Expresado de forma general se tiene:

Resolver el siguiente problema y responder a las preguntas que se proponen a acerca de la situación planteada.

1. Un día un estudioso estaba pensando y jugando con papel se planteó la siguiente situación:

Voy a tirar un papel al cesto, pero antes voy a romperlo. Lo parto en dos y superpongo las partes; vuelvo a partir en dos y a superponer las partes y así sucesivamente. Entonces, ¿cuántos trozos de papel habré tirado al cesto después de efectuar 5 veces esa operación? ¿Y si hubiera partido el papel cada vez en tres partes? ¿Y si lo hubiese partido cada vez en cuatro partes? ¿Y en cinco partes? ¿Y en diez partes? ¿Y si hubiese repetido n veces esta última operación?

Si el espesor de la hoja de papel es de aproximadamente 0.1 mm

Completar la tabla:

Nº de dobleces 1 2 3 4 … n

Nº de hojas 22

Espesor(mm) 0.2

Para contestar las interrogantes anteriores.

10

La potencia an, de base a (número real) y exponente “n” entero positivo (n=1, 2, 3…) está definida como el producto de n factores iguales a. La interpretación de an de manera inductiva es:

n – veces

De tal manera que después de romper el papel en dos y luego en otros dos y así hasta llegar a cinco veces, se tiene 25 = 32.

Problema de la división celular En algún momento de nuestras vidas hemos tenido un rasguño o nos hemos tropezado haciendo deporte. Es posible que así hayamos causado una herida en nuestra piel que a los días se cierra formando una cicatriz. También hemos observado cómo se desarrolla un bebé en el vientre de su madre. De estas y otras situaciones podrías preguntarte, ¿qué sucede en nuestro cuerpo para poder cerrar una herida?, ¿cómo es posible que de la unión de apenas dos células nazca luego un bebé de millones de células? Todos los días de nuestra vida estamos en presencia de la división celular, de ello depende nuestra salud y nuestro mantenimiento. En otros organismos como las plantas, también se llevan a cabo procesos de división celular que permiten el crecimiento de sus partes y su reproducción. Responder a la siguiente situación: ¿Si una célula se divide en dos cada quince minutos, ¿cuántas células se habrá dividido al cabo de 2 horas?, y al cabo de 4 horas y en “n” horas? Completar la tabla siguiente, calculando el número de células que habrá al cabo de 2, 4 y “n” horas:

Min. Nº de células potencia

15 2 21

30 4 22

45 8 23

60 16 24

75 32 25

120

De donde se deduce el concepto de potencia:

Una potencia es una multiplicación que tiene todos los factores iguales.

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De los siguientes productos a) 5 x 5 x 5 x 5, b) 6 x 8 x 6 ¿cuál constituye una potencia? Por supuesto que la del literal a) puesto que todos sus factores son iguales y la segunda no es una potencia pues sus tres factores no son iguales. Observar detenidamente la siguiente multiplicación: 0.3 x 0.3 x 0.3 son una clase de números decimales ¿Forman estos tres factores una potencia?, ¿por qué? Notamos que sí, porque es el producto de factores iguales. Esto significa que los factores de una potencia pueden ser también números decimales. Sabemos que la multiplicación 7 x 7 x 7 es una potencia ya que todos sus factores son iguales. En toda potencia existe un factor que se repite, en este caso el número 7 y el número de veces que se repite que en este caso es tres veces. De donde en una potencia el factor que se repite se llama base y el número de veces que se repite la base se llama exponente.

Base

En nuestro ejemplo la base será el número 7 ya que es 7 el factor que se repite y el exponente es el número 3 ya que 3 es el número de veces que se repite la base. Por lo tanto, los elementos que forman una potencia son la base y el exponente.

Si se tiene 6 x 6 x 6 x 6 x 6, ¿qué número es la base en esta potencia?, ¿y qué número es el exponente?

Efectivamente 6 es la base porque es el factor que se repite y 5 el exponente.

En la multiplicación 8 x 8 x 4 uno de sus factores es diferente a los otros. Esto quiere decir que la multiplicación no es una potencia porque sus factores no son iguales. ¿Por qué número hemos de cambiar el 4 para que esta multiplicación sea una potencia?

La multiplicación 2 x 2 x 2 x 2 = 24 se puede expresar de la siguiente forma:

Base Potenciación

Que es la forma abreviada de la multiplicación. Para escribir abreviadamente una potencia, se escribe la base y en la parte superior derecha de la misma, el exponente en menor tamaño.

Es importante señalar que la potenciación no cumple la propiedad conmutativa, porque la base y el exponente no se pueden conmutar, pues en general se obtienen números diferentes, como puede verse a continuación.

Exponente

Exponente

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¿Cómo se lee una potencia? Si se tiene 84, primero se lee la base, luego se dice elevado al exponente:

84

Se lee Base elevado exponente

Ocho elevado a cuatro Un caso particular es por ejemplo 42 que se puede leer “4 elevado a la dos” o “4 elevado al cuadrado”. De igual manera cuando el exponente de la potencia es el 3, por ejemplo 23 se lee “2 elevado a la tres” o “2 elevado al cubo”, siendo correcto leerlo de las dos formas. En la Grecia Antigua la geometría era muy usada para el estudio de muchas ideas matemáticas y, por eso, cuando se quería encontrar una representación geométrica de algo tan sencillo como el producto de dos números como 4 y 6 lo que hacían era dibujar un rectángulo de lados 4 y 6 y así veían el producto como 4 x 6 como el área de un rectángulo que acababan de dibujar. También se tiene que 23 es igual a 2 x 2 x 2, que se lee “dos al cubo” y la razón para esto proviene de la visión que los griegos tenían de la Matemática asociada a la geometría. La representación geométrica es la figura tridimensional en la que cada arista mide 2, por lo que su volumen es igual a 2 2 2 = 8. Su volumen es igual a 2 2 2 = 23, razón por la cual se lee “2 al cubo” o “2 elevado al cubo”.

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Propiedades de las potencias Propiedad 1. Producto de dos potencias de igual base. Si se tiene el producto de 24 x 26 esto equivale a tener (2 x 2 x 2 x 2). (2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2), lo que significa que se tiene el 2 multiplicándose 10 veces por el mismo: 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 210. Entonces 24 x 26 = 210 ¿Qué ha sucedido con los exponentes? Significa que multiplicar 24 x 26 equivale a 24+6 = 210 De donde la propiedad 1 dice: El producto de dos potencias de igual base es igual a la misma base elevada a la suma de los dos exponentes, que de manera general se expresa:

Propiedad 2. Cociente de dos potencias de igual base. Si se tiene el cociente de 34/32 esto equivale a tener (3 x 3 x 3 x 3)/(3 x 3), lo que significa que si se divide dos de los números 3 del numerador con los dos del denominador eso se hace 1, quedando en el numerados solamente 3 x 3 = 32

¿Qué ha sucedido con los exponentes? Significa que al dividir 34/32, equivale a 34 – 2= 32 que es lo que ha sucedido al dividir las bases 3 en parejas en el caso anterior. Es decir, se ha escrito la misma base y se han restado los exponentes. De donde se dice que para dividir potencias de la misma base, se escribe la misma base y se restan los exponentes. En general:

Propiedad 3: Potencia de una potencia. Al desarrollar la potencias (42)3 equivale a multiplicar 3 veces el 42 por el mismo, es decir, (42)3 = 42. 42. 42 Y que según la propiedad del producto de potencias de igual base, se tiene que:

Sintetizando: (42)3 = 43x2= 46 Observa que la potencia resultante tiene por exponente el producto de los dos exponentes.

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Por lo que la propiedad 3 nos dice: El resultado de elevar una potencia a otra potencia equivale a dejar la misma base y multiplicar los exponentes. Expresada de manera general:

Propiedad 4. Potencia de un producto. La potencia de un producto (a x b)n, la base en esta potencia es (a x b), el exponente es “n” y es igual a la potencia "a" a la "n" por "b" a la "n". Cada base se eleva al exponente común. Esta última igualdad es cierta porque el producto es conmutativo y asociativo, teniendo finalmente:

(4 x 4 x 5 x 5) = 42 x 52

De manera que se tiene:

(4 x 5)2 = 42 x 52 El resultado es el producto de dos potencias con un mismo exponente. Por lo que el producto de dos números elevados a un mismo exponente es igual al producto de cada uno de los factores elevado al mismo exponente. Es decir, la potencia de un producto es igual al producto de las potencias. En general:

Propiedad 5. Potencia de un cociente. La potencia de (6/7)3 = =

= 63/73 el resultado es el cociente

de dos potencias, por lo que se establece: La potencia de un cociente es igual al cociente de las dos potencias. De manera general:

Propiedad 6: Exponente cero. Si se divide dos potencias iguales, por ejemplo 24/24, equivale a:

Por otra parte si se divide 24/24, que equivale por la propiedad dos a 24-4 = 20, resulta que 20 = 1. De donde se establece que todo número elevado a la cero, es igual a 1. Por ejemplo:

100 = 34250 = 567480 = 1, 324,6090= 1

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No importa cuál sea la base, si el exponente es cero, se obtiene 1 como resultado. La razón es muy sencilla: si debe cumplirse la propiedad 1, entonces, se tiene por ejemplo: (42)(40)= 42+0 = 42, es decir, multiplicar 42 por 40 es lo mismo que multiplicarlo por 1 porque al final se obtiene como resultados el mismo número 42. Eso quiere decir que 40 = 1, por lo que:

Propiedad 7. Potencias con exponente negativo. Se tiene (3/4)-2, esto equivale a 3-2/4-2. De donde para que el exponente sea positivo se intercambian numerador y denominador. Quedando: 42/32. En general:

En general, para todos los números reales a y b, donde a ≠ 0, tenemos: a-n = 1 / an Resolver el siguiente problema utilizando potencias:

La leyenda del ajedrez

Cuenta una leyenda que alguna vez existió un rey que en cierta ocasión se encontraba muy aburrido. Así que un anciano decidió inventar un juego para el entretenimiento del rey: el ajedrez. El rey quedó tan entusiasmado con el juego que decidió premiar al anciano con lo que este le pidiera. El anciano le dijo: -Gran rey, como seguramente habrás notado, el tablero tiene 64 casillas. Me daré por recompensado si me otorgas un grano de trigo por la primera casilla, dos por la segunda, cuatro por la tercera, ocho por la cuarta y así

sucesivamente, duplicando en cada casilla la cantidad de la anterior hasta llegar a la última. El rey se extrañó de lo poco con que se conformaba el anciano pero ordenó a sus súbditos que le dieran lo que pedía. El rey quedó perplejo cuando ordenó que se hicieran los cálculos para otorgar el número de granos de trigo solicitado por el anciano, pues aunque aparentemente era poco, el número de granos por la casilla número 64 era sorprendentemente grande.

¿Podrías hacer los cálculos, utilizando potencias? ¿Cuántos granos de trigo habrá que poner en la casilla 64? Realizar el cálculo usando calculadora.

Aplicando las propiedades para calcular 231, sin usar calculadora

Basta mirar detenidamente los siguientes cálculos y convencernos de que encaminan a nuestro propósito: Obtener el valor numérico de 231.

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De esta forma solo se ha tenido que hacer 3 multiplicaciones y una división. No obstante, algunas operaciones han resultado un tanto largas.

Ejercicios y problemas 1

1. Tomando de base el ejercicio anterior, obtener el valor numérico de 263. 2. Completa la siguiente tabla.

Exp.

Base 3 5 9

2 23=8

310

6

74

3. Completa la siguiente tabla.

a b a2 b2 (a + b)2 a2 + b2

2 1 4 1 9 5

3 5

2 6

4 3

6 7

8 9

4. Completa los cuadrados mágicos multiplicativos: Es decir, que al multiplicar las potencias en filas,

columnas o diagonales el producto es el mismo.

5. Observar los resultados en los siguientes literales y responder:

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a) ¿Será (a + b)2 = a2 + b2, para cualquier valor de a y b?

b) ¿Qué número hay que sumar a a2+ b2, para que sea igual a (a + b)2?

Ejemplo 1. ¿Es posible repartir los números {12, 22, 32, 42, 52, 62, 72}, en dos grupos, de manera que la suma

de los números de cada grupo sea la misma?

Y para los números {12, 22, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92}, ¿podrá hacerse lo mismo?

Solución: Sea A = {12, 22, 32, 42, 52, 62, 72}. Sí se puede. La suma de los 7 números es 140, luego la suma de cada grupo debe ser 70. En el grupo donde está 72 = 49, se debe agregar números que sumen 21 para llegar a 70, lo cual se logra con 1, 4 y 16. Por lo tanto los grupos son {12, 22, 42, 72} y {32, 52, 62} Sea ahora B = {12, 22, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92}, en este caso no se puede hacer lo mismo que en el caso anterior porque la suma 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 + 92, tiene 5 sumandos impares y por lo tanto es impar.

Ejemplo 2. Esmeralda posicionó todos los números naturales de 1 a 2006 en el siguiente arreglo en forma

de pirámide:

21

20 13 22

19 12 7 14 23

18 11 6 3 8 15 24

17 10 5 2 1 4 9 16 25

¿En qué piso se encontraría el número 2006? (por ejemplo el 1 está en el piso 1). Solución: En la pirámide notemos:

El cuadrado más cercano al 2006 es: 442 = 1936. Vemos que 21 está en el piso 5, 13 está en el piso 4, 7 está en el piso 3. Luego: 442 + 45 = 1981, está en el piso 45. De acá 1982 está en el piso 44. Así, el 2006 está en el piso 45 – 25 = 20.

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Ejemplo 3. Luisa quiere saber cuántos bisabuelos y tatarabuelos ha tenido. Para contarlos dibuja en su

cuaderno su árbol genealógico:

Ejercicios y problemas 2 1. Las amebas, seres unicelulares, se reproducen por bipartición. Es decir, cada una se parte en dos. Cada

una de estas mitades se desarrolla y, cuando llega el momento, vuelven a partirse en dos. Partiendo de 1 ameba y suponiendo que la bipartición se produce cada hora.

a) ¿Cuántas amebas habrá a las 24 horas? b) ¿Y a la semana? c) Si el tamaño de una ameba es de 1 mm, qué longitud ocuparían si

se colocaran en fila. 2. Un secreto incontable resulta conocido por una persona. Al cuarto de hora ya se lo había contado a

otras dos, que al cuarto de hora se lo cuentan a otras dos que no lo conocían, y así sucesivamente: Indica cuánta gente conocería el secreto a las 24 horas.

Encontrando el número oculto: potencias naturales

Las operaciones con potencias de exponentes números naturales, en particular el producto y cociente de potencias de igual base, son importantes y deben ser bien asimiladas para poder después generalizarlas al caso de las potencias con exponentes enteros e incluso potencias con exponentes fraccionarios. Para consolidar estas operaciones, se propone una actividad con dos ejemplos crecientes en dificultad.

En el ejemplo 1, los alumnos deben, para obtener los "números ocultos", multiplicar potencias de igual base, colocadas en los tres vértices de los triángulos. Se trata de un ejemplo muy sencillo, para que se vayan acostumbrando a trabajar con los "números ocultos".

En el ejemplo 2, deberán en algunos casos también dividir potencias de igual base para obtener los contenidos de algunas casillas que aparecen con un punto de interrogación.

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Actividad:

Se llama número oculto de un triángulo numérico al producto de los números colocados en sus tres vértices.

De esta forma, el número oculto de este triángulo es 105.

Algunas veces, los números en el triángulo vienen expresados como potencias de una cierta base, pero el número oculto del triángulo sigue siendo el producto de los números colocados en los vértices:

Ejercicio 1: Calcula en función de la base t, los números ocultos de estos triángulos.

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Ejercicio 2: En este nuevo ejemplo, los números también vienen expresados en función de la base t, pero en algunos casos han desaparecidos los números de las casillas, y en otros los números ocultos de los triángulos.

Aplicando las propiedades de las potencias, expresa en función de la base t, todos las potencias que aparecen con un signo interrogación.

Potencia de base 10 Normalmente, las potencias con base 10, por la cantidad que represente el exponente, esa será la cantidad de ceros en el resultado. El resto de la base, para sacar el resultado el número se multiplica por sí mismo cuantas veces indique el exponente. Cuando el exponente de base diez (10) tiene su exponente positivo, es señal de una potencia cuyo punto decimal se mueve a la derecha tanta veces lo indique el número exponente: la unidad (1) seguida de ceros. Al ejemplificar se tiene que: 10+2 = 102 = 100 o 10+5 = 105 = 100000

Cuando el exponente de base diez (10) tiene su exponente negativo, es señal de una potencia cuyo punto decimal se mueve a la izquierda tanta veces lo indique el número exponente: la unidad (1) seguida de ceros. Al ejemplificar se tiene que:

10-2= 1/102 = 1/100 = 0.01 o 10-5 = 1 / 105 = 1/100000 = 0.00001 Cuando se hacen estudios, el que sea, y se involucren valores muy grandes como la distancia de separación entre ciudades: 450 km, es lo mismo decir, 450000 m, o 450000000 mm. O, por el contrario, cantidades muy pequeñas: 1 mg (que es lo mismo decir 0.001 g o también 0.000001 kg), es necesario expresarlas en potencias de base diez (10) para facilitar su manejo y escritura: esto es conocido como Notación Científica y su principio es el uso de potencias de base diez (10). Es decir: Se deja el primer número como parte entera y el resto es temporalmente la parte decimal; se coloca la potencia base diez y

Potencia de base 10

Toda potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como unidades tiene el exponente.

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el valor del exponente será el número de dígitos que hay hacia la derecha desde el punto original hasta el nuevo lugar del punto, por lo que el exponente será positivo:

450 km = 4.50 x 102 km = 4.5 x 102 km Se colocó el punto decimal luego del cuatro (4), de allí hasta el cero hay dos lugares o dos dígitos a la derecha que es donde está el punto original.

450000 m = 4.50 x 105 m = 4.5 x 105 m Se colocó el punto decimal luego del cuatro (4), de allí hasta el último cero hay cinco lugares o cinco dígitos a la derecha que es donde está el punto original.

450000000 mm = 4.50 x 108 mm = 4.5 x 108 mm Se colocó el punto decimal luego del cuatro (4), de allí hasta el último cero hay ocho lugares u ocho dígitos a la derecha que es donde está el punto original.

Ejercicios y problemas 3 1. Encontrar el número de cifras que tiene el número . 2. En un supermercado los refrescos se venden en paquetes de 4 latas. Si el dependiente apila las latas

en 4 pisos y en cada piso pone 4 paquetes de refrescos, ¿cuántas latas habrá puestos en total? Expresa el resultado en forma de potencia.

3. Los trabajadores de una obra tienen que colocar un pedido de ladrillos. Si los organizan en 16 pisos y en cada piso ponen 16 ladrillos, ¿cuántos ladrillos habrán colocado en total? Expresa el resultado en forma de potencia.

4. Una librera tiene 15 estantes, cada estante tiene 15 apartados en los que caben 15 libros. ¿Cuántos libros caben en la librear?

5. Un paquete tiene 12 cajas, cada caja 12 estuches, cada estuche 12 rotuladores. ¿Cuántos rotuladores tiene un paquete?, ¿y en 12 paquetes?

6. Un jardinero tendrá que plantar 1444 árboles formando un cuadrado. ¿Cuántos árboles tendrá cada lado?

7. Simplificar:

8. Reduce a una sola potencia:

22

9. Existe un número de dos cifras tal que, si se le agrega una unidad se consigue un cuadrado perfecto, y

si se le agrega una unidad a su mitad, también se consigue un cuadrado perfecto. ¿De qué número se trata?

10. Ordene de mayor a menor, las siguientes potencias:

11. La edad de Lucía es un número de dos cifras que acaba en 3. Además, el cuadrado de su primer dígito

es igual a su edad escrita con los dígitos cambiados de lugar. ¿Cuántos años tiene Lucía? 12. La finca A está dividida en 50 ha iguales, la finca B está dividida en 160 ha iguales y la finca C está

dividida en 40 ha iguales. ¿Cuál es la superficie en áreas de cada parcela de la finca A, de la finca B y de la finca C? ¿En metros cuadrados?

23

Números primos y compuestos

Historia de los números primos Los números primos y sus propiedades fueron estudiados de manera exhaustiva por los matemáticos de la antigua Grecia. Los matemáticos de la Escuela Pitagórica (500 a. C. a 300 a. C.) estaban interesados en los números por su misticismo y sus propiedades numerológicas. Ellos comprendían la idea de primalidad y estaban interesados en los números perfectos y amigables. Para el momento en que los Elementos Euclidianos aparecieron por el 300 a. C., ya habían sido probados varios resultados importantes acerca de números primos. En el Libro IX de los Elementos, Euclides prueba que hay infinidad de números primos. Esta es una de las primeras demostraciones conocidas en la que se utiliza el método del absurdo para establecer el resultado. Euclides también demuestra el Teorema Fundamental de Aritmética: Todo entero puede ser escrito como un producto único de primos. Euclides también demostró que si el número 2n – 1 es primo, entonces el número 2n-1(2n – 1) es un número perfecto. El matemático Euler (más tarde, en 1747) pudo demostrar que todos, aún los números perfectos, tienen esta forma. Hasta el día de hoy no se sabe si existe algún número perfecto que sea impar. Cerca del 200 a. C. el griego Eratóstenes ideó un algoritmo para calcular números primos llamado el Tamiz de Eratóstenes. Se da luego un gran vacío en la historia de los números primos que es usualmente llamado la Edad Obscura. El próximo gran descubrimiento fue realizado por Fermat en los inicios del siglo XVII. El demostró que la teoría de Albert Gerard de que cada número primo de la forma 4 n + 1 puede ser escrito de una manera única como la suma de 2 cuadrados, para el caso 5 es un número primo que puede ser escrito como 5= 1 + 4; 13 es otro número primo de la forma 4n + 1 y que es la suma de dos cuadrados, 13 = 4 + 9.

Números primos y compuestos

Se tiene una línea de casillas numeradas como la de la figura:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

24

En la posición cero se encuentra un conejo. ¿Cuántos saltos del mismo tamaño o longitud tiene que dar el conejo para llegar a la casilla 1?, ¿para llegar a la casilla 2?, ¿y a la casilla 3?, etc. ¿Y de cuántas formas puede hacer los saltos?

Construyendo una tabla de datos:

Casilla de llegada Tamaño del salto Nº de alternativas

1 1 1

2 1,2 2

3 1,2 2

4 1,2,4 3

5 1,5 2

6 1,2,3,6 4

7 1,7 2

8 1,2,4,8 4

9 1,3,9 3

10 1,2,5,10 4

11 1,11 2

12 1,2,3,4,6,12 6

16 1,2,4,8,16 5

Para llegar a la casilla 2 puede dar saltos de 1 en 1, de 2 en 2.

Para llegar a la casilla 4, puede dar saltos de tamaño 1 en 1, de 2 en 2, de 4 en 4.

¿De qué tamaño serían los saltos que tendría que dar el conejo para llegar a la casilla 28?, y la casilla 36? A las longitudes o tamaños de los saltos se les denomina divisores de un número.

Se habrá identificado ya que hay casos en que solamente aparecen dos divisores como en 2, 3, 5, 7 y 11 y esos son los números primos, en cambio los números como 4, 6, 8, 9, 12, 16 que tienen más de dos divisores se llaman números compuestos o no primos.

Así se dice que el menor número compuesto es 4.

Otra forma de encontrar los números primos y compuestos mediante los arreglos rectangulares En la tabla siguiente se muestra cómo se pueden representar los números primos y compuestos por medio de arreglos rectangulares de 2, 3, 4, 5, 6 utilizando fichas, corcholatas, botones, dentro de los cuadritos o simplemente con los cuadritos. Así el número 2 se representas por un rectángulo de 1 x 2 o de 2 x 1 que en todo caso es la misma representación.

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Número de fichas

2 3 4 5 6

Rectángulo

Dimensiones 1 x 2 2 x 1

1 x 3 3 x 1

1 x 4 4 x 2 2 x 2

1 x 5 5 x 1

1 x 6 6 x 1 2 x 3

Un rectángulo de 1 x 2 es igual a un rectángulo 2 x 1. Obsérvese que con 2, 3 y 5 solamente se puede formar un rectángulo, esto nos indica que los divisores de 2, 3, y 5 son:

2: 1, 2 3: 1, 3 5: 1, 5 Es decir, solo tienen dos divisores cada uno o solamente tienen dos arreglos rectangulares cada uno por lo que son llamados números primos. En cambio 4 y 6 tienen más de dos arreglos rectangulares y sus divisores son:

4: 1, 2, 4 6: 1, 2, 3, 6; Es decir, tienen más de dos divisores por lo que se llaman números compuestos y una de sus características es que poseen más de dos divisores.

Criba de Eratóstenes y los números primos Una técnica llamada criba de Eratóstenes en honor del matemático griego Eratóstenes (276-194 A.C.) proporciona un método eficiente aplicable a números relativamente pequeños para encontrar todos los primos menores o iguales a un entero n dado. La técnica consiste en escribir la lista de todos los enteros desde 2 hasta n y comenzar a tachar todos los múltiplos de 2 mayores que 2; al terminar, el primer número no tachado distinto de 2 es 3 que es un número primo; luego tachamos todos los múltiplos de 3 mayores de 3; al terminar, el menor número no tachado mayor que 3 es 5 que es un número primo; tachamos enseguida todos los múltiplos de 5 mayores que 5 y continuamos el proceso hasta tachar todos los múltiplos de p mayores que p para todo primo p ≤ raíz den. Los enteros no tachados al terminar este procedimiento son los números primos menores o iguales a n. La siguiente tabla muestra la criba para n = 90 (p90 < 10):

v

26

Otra forma de hacerlo es cribar o tachar en diagonales o en línea vertical todos los múltiplos de 2, de tres, cinco, 7, 11, 13 etc. Los que quedan sin tachar son los números primos menores que 100.

Observamos entonces que los números primos menores o iguales que 90 son:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89

Una observación detenida de la criba permite ver que la distribución de los primos decrece de manera constante, lo que nos podría inducir a pensar que el número de primos es finito. Sin embargo, Euclides demostró que el número de primos es infinito.

El número 2 tiene la particularidad de ser el único número primo que es par. El resto de números primos son impares.

Cuando dos números primos se diferencian en dos unidades, como 5 y 7, 11 y 13, 17 y 19... se dice que son primos gemelos.

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Algunas propiedades de los números primos Dada la importancia de los números primos, es importante saber cómo determinar rápidamente si un entero positivo es o no un número primo. Desafortunadamente no existen métodos generales que permitan decidir si un entero positivo es o no un primo y solo en casos especiales conocemos su naturaleza. Un método simple y eficiente para enteros positivos relativamente pequeños es verificar si el entero dado tiene o no divisores primos menores que él. Puesto que si n = ab entonces a ≤ raíz de n o b≤ raíz de n es suficiente determinar si algún primo menor o igual a la raíz de n es divisor de n. Veamos si 239 es o no un número primo. La raíz cuadrada de 239 está entre 15 y 16 pues 152 = 225 y 162 = 256, luego basta ver si alguno de los primos 2, 3, 5, 7, 11 o 13 son divisores de 239 y como ninguno de ellos lo es entonces 239 es primo. Verificar si los siguientes son números primos:

a) 191 b) 310 c) 241 d) 725

El número de números primos es infinito. El primero que lo demostró fue Euclides, en el Libro IX de Elementos, después lo demostraron Euler y Chebichev. La demostración es muy sencilla: Supongamos que tenemos un conjunto {p1, p2, p3...} que incluye todos los números primos. Calculemos el número N = p1.p2.p3... + 1. Evidentemente este número es primo porque no es divisible por ninguno de los números primos que hemos considerado. Por lo tanto, el conjunto del que hemos partido no incluye todos los números primos. Los números primos son, en cierto modo, como los elementos químicos. A partir de los elementos químicos se forman todos los compuestos químicos y a partir de los números primos podemos obtener el resto de los números. Sería fantástico que hubiese una fórmula que produjese números primos. Hasta 1536 se pensó que los números de la forma 2n-1 eran todos primos, pero ese año Hudalricus Regius, demostró que 211 - 1 = 2047 era el producto de 23 y 89. Sin embargo, muchos (se supone que infinitos) números primos cumplen esa condición. A los números primos que cumplen esa condición se les llama números primos de Mersenne (Marin Mersenne (1588-1648) fue un monje francés, muy famoso en su época). Mersenne en su libro Cogitata Physica-Mathematica dijo que los números de la forma 2n - 1 eran primos para n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 y 257 y compuestos para los restantes números < 257. En 1750 Euler lo demostró para n = 31, Lucas, en 1876 lo demostró para n = 127. Años más tarde Pervouchine encontró que también era primo el número para n = 61 y en 1900 Powers descubrió que también lo eran para n = 89 y n = 107. Los números primos de Mersenne y los números perfectos están relacionados. Los números primos de Mersenne son de la forma 2n - 1 y los perfectos son de la forma 2n - 1(2n - 1).

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Los primos de Mersenne

Los primos de Mersenne son los números primos que anteceden a una potencia de 2 cuyo exponente es un número primo. En la recta numérica no es fácil encontrar esta clase de números porque no todas las potencias de 2 con exponente primo son precedidas por un número primo. Entre los primeros cien mil números sólo se encuentran 5 primos de Mersenne. Estos primos son importantes para la obtención de los números perfectos. La determinación geométrica de los primos de Mersenne se verá más adelante, en el modelo tríptico.

La serie de estos primos comienza con: 3, 7, 31, 127, 8191, 131071…


1. Resuelva en forma individual:

a) ¿Cuántos números primos existen entre 4 y 38? b) ¿Cuántos divisores de 40 son números primos?

2. Practique con sus estudiantes el siguiente juego, anote sus observaciones y comparta con sus compañeros la experiencia:

Amigos

Haz un juego de tarjetas, en el que la mitad de las cartas sean números primos y la mitad de las cartas compuestos. Distribuya una carta a cada estudiante y haga que la giren alrededor de la habitación, y comparen las cartas de otros estudiantes hasta que encuentren un “amigo” compuesto, con un número de carta de número compuesto que sea un múltiplo del número primo. Haga que cada pareja pase al frente y presente la factorización del número compuesto

Factores primos

Todo número se puede expresar de manera única, como el producto de sus factores primos.

Descomposición factorial

Descomposición de números primos usando objetos manipulables

En esta actividad los estudiantes trabajan en pequeños grupos para mostrar que un factor primo realmente lo es. Proporcione frijoles u otros objetos pequeños. Deberían tener también cajitas de distintos tamaños donde poder ubicarlos (el número de cajitas debe ser siempre primo). Los estudiantes primero dividen los frijoles de forma pareja entre un número de cajitas grandes, luego las dividen entre las de tamaño mediano, luego las dividen entre las cajitas pequeñas. Cuando terminan, deberían tener una representación visual de la factorización. Por ejemplo, si están usando 60 frijoles, deberían dividirlos en dos cajitas grandes, con 30 en cada una. Luego deberían colocar cinco cajitas medianas en las grandes y dividir los frijoles de forma pareja para que haya seis frijoles en cada una. Luego deberían poner tres cajitas pequeñas dentro de las medianas y colocar dos frijoles en cada una. Entonces verán que la factorización era 2 (frijoles) x 3 (cajitas pequeñas) x 5 (cajitas medianas) x 2 (cajitas grandes).

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Descomposición de números primos en forma de árbol

Un procedimiento muy simple para factorizar o descomponer un número natural en sus factores primos, consiste en formar un árbol, cuyo tronco sería el número que va a factorizarse y las ramas representan las distintas parejas de factores en que puede descomponerse, tanto el tronco como las primeras ramas. Ej.:

O

Otra manera de encontrar los factores primos de un número, consiste en dividirlo sucesivamente entre los números naturales:

120 2

120 entre 2 60 2

60 entre 2 30 2

30 entre 2 15 3

15 entre 3 5 5

5 entre 5 1

Primer paso, se escribe el número y su primer divisor primo (el menor de ellos).

Segundo paso: se escribe el resultado de la división y su segundo divisor primo.

Tercer paso: se escribe el resultado y su tercer divisor, y así sucesivamente hasta obtener la unidad como resultado.

Teorema fundamental de la aritmética sobre los números primos La propiedad más importante de los números primos es la posibilidad de factorizar todo entero n > 1 como producto de ellos y esta factorización resulta esencialmente única. Esta propiedad fue descubierta por los griegos hace más de dos milenios, es decir, que cualquier número natural se podrá expresar por la

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multiplicación de los factores que lo conforman. ¿Cuáles son los números primos?, la respuesta es que hay una cantidad infinita de números primos. Otro aspecto importante es que es aquel que hace útiles a los números primos como: La seguridad del comercio, por vía electrónica se confía hoy a códigos construidos con el uso de estos números indivisibles; gracias a los números primos y sus propiedades se pueden hacer conexiones seguras por canales inseguros, acreditar identidades, etc. A continuación se presenta ciertos números descompuestos en sus factores primos:

18= 2 x 32 1800 = 23 x 32 x 52

3780 = 22 x 33 x 5 x 7 4900 = 23 x 52 x 72

Teorema: (Fundamental de la Aritmética, TFA). Todo entero n > 1 o es primo, o se puede factorizar como producto de primos. Este producto es único salvo por el orden de los factores.

Divisores de un número Para calcular los divisores de un número vamos a utilizar el siguiente ejemplo en el que se aplica el algoritmo de la división. Ejemplo: En un estante se tiene 15 libros, ¿cómo organizarlos en montones iguales sin que sobre ningún libro?

Iniciar por dividir 15 entre los números naturales menores o iguales a él y seleccionar aquellos para los que la división es exacta, es decir, cuyo resto es cero.

15 1

15 2

15 3

15 4

15 5

15 6

15 15

0 15

1 7

0 5

3 3

0 3

3 2

0 1

Para que este proceso sea más rápido se siguen los siguientes pasos:

a) Colocar 1 y 15 partiendo de que todo número entero es divisible por 1 y por sí mismo, significa que 1 y 15 son divisores de 15.

b) Si la división no es exacta por lo tanto ni el dividendo ni el cociente son divisores. Ejemplo:

15 2

1 7

c) De cada división exacta se puede obtener dos divisores, que son el dividendo y el cociente respectivamente:

15 3

0 5

31

En este caso 3 y 5 son divisores de 15.

d) Como el cociente es menor o igual que el divisor, ya no hay que seguir buscando:

15 4

3 3 De este modo podremos agrupar en el estante un solo bloque de 15 libros, en 3 bloques con cinco libros, en cinco bloques con tres libros y en 15 bloques de un libro cada uno. Es decir, que los divisores de 15 son: 1, 3, 5, 15. Cada vez que una de estas divisiones resulte exacta, tanto el divisor como el cociente son divisores del número dado.

De este ejemplo se obtienen las siguientes conclusiones:

El 1 es divisor de todo número. Todo número es divisor de sí mismo. Un número es divisor de otro si al dividirlo el resultado es un número natural y el residuo cero. Todo número tiene cantidad finita de divisores.

Ejercicio: Encontrar los divisores de 24 y de 18. Otro método para calcular los divisores de un número es la descomposición del número en sus factores primos. Por ejemplo para encontrar los divisores de 132. Se descompone el número en sus factores primos:

132 2

66 2

33 3

11 11

1

Luego se construye la tabla de divisores, colocando en la primera fila el 1 y los potencias de 2; luego el 3 y sus múltiplos que resultan de multiplicar 3 x 1, 3 x 2, 3 x 4, es decir el 3 por los divisores de la primera fila. En la tercera fila se coloca el 11 y sus múltiplos que se obtienen de multiplicarlo por los números de la primera fila y en la cuarta fila se toma el 33 y los múltiplos que se obtiene de multiplicar éste por los divisores de la primera fila.

1 2 4

3 6 12

11 22 44

33 66 132

De tal manera que los divisores de 132 son : 1, 2, 3, 4, 6, 11, 12, 22, 33, 44, 66, 132; teniendo 12 divisores.

32

Una tercera forma de calcular los divisores de un número es haciendo un diagrama de árbol. Se desea calcular los divisores de 32, por ejemplo. Se busca dos números que multiplicados den 32, en este caso 8 y 4, el mayor se coloca en la primera rama y el menor en la segunda.

De igual manera se descompone el 8 en dos factores y el 4 también.

Se descompone ahora el 4 y los factores 2 se dejan así porque es el factor de menor valor.

En una tabla de doble entrada, se coloca los números que vienen del factor 8 en una línea vertical y los que vienen del factor 4 en una línea horizontal, escribiendo el factor que se repite solamente una vez. Se coloca en línea los divisores, iniciando por el 1 porque 1 es divisor de todo número 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32.

Otra forma de encontrar los divisores de un número es colocando un número en la recta numérica, por ejemplo el número 20, ¿de cuántos saltos de la misma longitud se puede llegar a él?

De uno en uno:

De dos en dos:

De cuatro en cuatro:

33

De cinco en cinco:

De diez en diez:

Uno solo de veinte:

Se puede hacer saltos de 1, 2, 4, 5, 10 y 20, lo que significa que los divisores de 20 son: 1, 2, 4, 5, 10, 20. Un número a es divisor de un número b si la división de b entre a es exacta.

Cantidad de divisores de un número natural Existe una forma corta de averiguar cuantos divisores tiene un número y eso solo se logra aplicando la siguiente fórmula que se describe a continuación: Si la descomposición en factores primos de un número cualquiera es am x bn x cp, el número de divisores distintos es: (m + 1)(n + 1)(p + 1), de manera que si se quiere calcular el número de divisores de 4900, se tiene:

4900 = 23 x 52 x 72

(3 + 1)(2 + 1)(2 + 1) = 36 divisores

El número de divisores de 180 es:

180 = 22 x 32 x 5 = (2 + 1)(2 + 1)(1 + 1)= 18 divisores Calcular el número de divisores de:

a) 48 b) 56 c) 150

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Clasificación de números según la suma de sus divisores exceptuando el número Números amigos, perfectos, defectuosos y abundantes Desde muy antiguo los matemáticos se han preocupado por los distintos números y sus propiedades; así hay números pares, impares, primos, amigos, abundantes, poligonales, etc. El filósofo griego Jámblico atribuye el descubrimiento de los números amigos al propio Pitágoras, embelleciendo el relato del mismo con la siguiente anécdota: «Siendo preguntado Pitágoras –¿qué es un amigo?, contestó –Alter ego. Por analogía aplicó el término amigos a dos números cuya suma de partes alícuotas es igual al otro».

Números amigos

Dos números amigos son dos enteros positivos a y b tales que a es la suma de los divisores propios de b y b es la suma de los divisores propios de a. (la unidad se considera divisor propio, pero no lo es el mismo número).

Un ejemplo de números amigos es el par (220, 284), ya que:

Los divisores propios de 220 son 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110, que suman 284.

Los divisores propios de 284 son 1, 2, 4, 71 y 142, que suman 220.

Para los antiguos griegos (los pitagóricos) los números amigos tenían muchas propiedades intrigantes. Alrededor del año 850, el filósofo árabe Tabit ibn Qurra descubrió una fórmula con la que se podían hallar números amigos:

Decía el sabio árabe que si se cumplían las condiciones siguientes:

p = 3 × 2n-1 - 1 q = 3 × 2n - 1 r = 9 × 22n-1 - 1

Donde n > 1 es entero y p, q y r son números primos, entonces 2npq y 2nr son un par de números amigos. Esta fórmula genera los pares (220, 284), (1184, 1210), (17296, 18416) y (9363584, 9437056). Mientras que el par de números amigos (6232, 6368) no se puede hallar por la fórmula anterior. Hay que señalar que: no todos los números amigos se obtienen con el procedimiento de Tabit, pero si son amigos todos los números que se obtienen con dicho procedimiento.

Por otra parte, hay que saber que la pareja de números amigos (220 y 284) ya era conocida por los griegos. El siguiente par de números amigos fue descubierto en el siglo XIII y redescubierto por Fermat en 1636 (los números 17296 y 18416). El filósofo francés R. Descartes descubrió el siguiente par: 9363.584 y 9437.056.

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Hay que reseñar que estos grandes pensadores se saltaron el par de números amigos 1.184-1.210 que fue descubierto por un niño italiano de 16 años llamado Niccolò Paganini. Para finalizar este breve resumen no hay que olvidar al gran L. Euler, puesto que él trabajó incansablemente tratando de determinar fórmulas para encontrar números amigos. Números sociables Los números sociables son una generalización de los números amigos. Tres o más números se dice que son sociables si la suma de los divisores del primero da el segundo, los del segundo, el tercero, y los del último el primero. Números perfectos Los números perfectos tienen la particularidad de ser iguales a la suma de sus divisores propios. Por ejemplo, 28 es perfecto porque 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. Entre los primeros 30 millones de números sólo se encuentran 4 números perfectos. La serie de estas rarezas numéricas comienza con: 6, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056... Los números perfectos equivalen a la mitad del producto entre un primo de Mersenne y el número que le sigue, es decir, una potencia de 2 con exponente primo. Algunos ejemplos de obtención de números perfectos son:

3 x 4 / 2 = 12 / 2 = 6 7 x 8 / 2 = 56 / 2 = 28 31 x 32 / 2 = 992 / 2 = 496 127 x 128 / 2 = 16256 / 2 = 8128 8191 x 8192 / 2 = 67100672 / 2 = 33550336 131071 x 131072 / 2 = 17179738112 / 2 = 8589869056

Los números perfectos también son números triangulares. Obsérvese que para los números perfectos el último de los sumandos es un primo de Mersenne:

1 + 2 + 3 = 6 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 +......+ 31 = 496

Euclides demostró que todo número primo n engendra un número perfecto N por aplicación de la fórmula 2n-1(2n – 1) = N. Efectivamente:

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Siguen 8128, 33550336, 8589869056, etc. Fue Euclides quien creó la fórmula para encontrar más pero como hay muy pocos tardó muchos años en conseguir los siguientes números 33550336, 8589869056,137438691328, el octavo tiene 19 cifras y el siguiente 37 se conocen menos de 30 números perfectos y ninguno de ellos es impar. Este número, 2216090 x (2216091-1), que tiene más de cien mil dígitos, es perfecto. Los números perfectos cumplen la condición 2n-1(2n-1) siendo 2n-1 un número primo de Mersenne. Por lo tanto, los números perfectos y los números primos de Mersenne están relacionados. Números abundantes Un número es abundante si la suma de sus divisores propios es mayor que el mismo número. Por ejemplo: Los divisores propios de 12 son 1, 2, 3, 4 y 6 que al sumarlos se obtiene 16, que es mayor que 12. Teorema: cualquier múltiplo de un número abundante o perfecto es abundante, además un número abundante posee como mínimo tres factores primos. Consideremos el número 24, sus divisores son 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, la suma es igual a 60, 60 es mayor que 2(24), el número 24 es abundante, y su abundancia es 60 – 2(24) = 12 Ejemplo: ¿Cuántos números abundantes hay menores que 40?

Solución: 12, 18, 20, 24, 30, 36.

La suma de los factores de 12 es 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16; 16>12 por lo tanto 12 es abundante.



La suma de los factores de 24 es 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12 = 36; 36>24 por lo tanto 24 es abundante. Números defectuosos Un número defectuosos es un número natural que es mayor que la suma de sus divisores propios exceptuándose a sí mismo.

Todos los números primos son deficientes, y también sus potencias y los divisores propios de los números defectivos y perfectos.

Ejemplo: 8 es un número defectuoso o deficiente, ya que los divisores propios de 8 son: 1, 2, 4 por lo tanto 1 + 2 + 4 = 7 y 8 > 7.

Es fácil ver que existen infinitos números defectivos, ya que existen infinitos números primos, y éstos son sólo algunos de los números defectivos.

Ejercicios y problemas 5 1. Escriba todos los divisores en Z de los números 20, 28 y 75.

37

2. Si están jugando 132 futbolistas en distintos campos y sabemos que cada equipo tiene 11 jugadores, ¿cuántos equipos están jugando?

3. ¿Es el 15 un divisor de 65? ¿Y de 150? ¿Por qué? 4. Encuentra 4 divisores de cada número y 3 que no lo sean: 18, 45, 72. 5. ¿Podemos colocar 45 libros en 5 repisas de forma que hay en todas el mismo número de libros?

¿Y en 3 repisas? ¿Y en 4? Busca otro número de repisas que nos permita hacerlo, 6. Si sabemos que 112 es múltiplo de 8, ¿podemos averiguar dos divisores de 112 sin realizar

ninguna operación? 7. Sabiendo que a es múltiplo de b y b múltiplo de c. ¿Cuál de ellos es el mayor? Demuéstralo con

un ejemplo. 8. Encuentra todos los divisores y dos múltiplos de 12, 36 y 45. 9. María tiene en su granja 42 patitos. ¿De cuantas maneras puede colocarlos en jaulas para que

haya siempre el mismo número de patitos en cada una de ellas? Estos números, ¿son múltiplos o divisores?

10. Pedro tiene una colección de 120 minerales y quiere guardarlos en cajas de modo que en cada caja haya el mismo número de minerales. ¿De cuantas maneras puede hacerlo, si en cada caja quiere que haya más de dos minerales?

11. En un instituto hay 60 alumnos de primer año de bachillerato. Se quieren repartir de manera que haya el mismo número de alumnos en cada clase. Si hay 5 aulas ¿Cuantos alumnos habrá en cada una de ellas? ¿Y si hay 3 aulas? ¿Y si hay 7 aulas?

12. Los números 180 y 345 son múltiplos de 15. Utiliza este dato para escribir dos factores de cada uno de estos números.

13. Averiguar si el número 496 es perfecto. 14. ¿Cuántos divisores tiene 50? ¿Y 105? 15. ¿De cuantas maneras se pueden colocar en rectángulos de filas y columnas 42 árboles? 16. Calcular cuántos y cuáles son los divisores de 150. 17. Clasificar los números 200 y 496 en defectuoso, abundante o perfecto. 18. Treinta soldados pueden desfilar de 1 en 1, de 2 en 2, de 3 en 3, de 5 en 5, de 6 en 6, de 10 en 10, de

15 en 15 y los 30 enfilados, es decir, de 8 formas diferentes sin que existan números desiguales de soldados en las líneas. ¿Cuál es el menor número de soldados que debe tener una compañía para poder desfilar de 64 formas diferentes?

19. Los números primos, ¿son defectuosos, abundantes o perfectos? ¿Por qué? 20. Para cada número dado, clasificarlo en: defectuoso, abundante o perfecto.

a) 120 b) 200 c) 58 d) 16

21. Un número impar tiene 6 divisores. ¿Cuántos tiene su doble? Razone su respuesta. 22. Se entiende por número perfecto al número natural que coincide con la suma de todos sus divisores,

excluido el mismo. Encuentra un número perfecto comprendido entre 20 y 30. 23. El otro día le presenté a un amigo a mi prima Elena y me preguntó cuál era su edad. Yo le dije que si

multiplicaba su número de brazos por el de sus piernas y luego por el número primo de novios que había tenido, obtendría su edad que es un número perfecto, ya que ella es "perfecta” ¿Cuántos años tiene mi prima?

38

Algoritmo de la división

Construcción del concepto

Si se divide por ejemplo 12 entre 5 se tiene:

12 5

2 2

De donde resulta que 12 = 5 x 2 + 2, a esta forma de representar al número se le llama algoritmo de la división.

Teorema: El algoritmo de la división de Euclides nos establece que: Dados dos enteros a y b, con b > 0, existen enteros q y r tales que a = bq + r, con 0 ≤ r < b. Donde a es el dividendo, b el divisor, q el cociente y r el residuo, por lo que se establece la existencia y unicidad de cociente y resto:

Si a y b son números enteros con b > 0, entonces existen dos enteros, q y r, únicos, tales que a = bq + r, con 0 ≤ r < b. A los números a, b, q y r se les suele llamar, respectivamente, dividendo, divisor, cociente y resto.

Ejemplo 1: Al dividir −11 entre 3, se obtiene que −11 = 3 (−4) + 1, análogamente al dividir −13 entre −3, se obtiene −13 = (−3) x (5) + 2. De igual manera, al dividir 89 entre 15, se tiene que 89 = 15 x 5 + 14. Notar que en cada uno de estos casos se cumple el algoritmo de la división.

Saberes previos

Analicemos los siguientes problemas:

1. Un fin de semana llegaron 65 visitas al Cerro Verde, se distribuyen en 5 grupos para hacer el recorrido por el cerro, ¿Cuántos visitantes van en cada grupo?

2. Un electricista cortó trozos de alambre de 8 metros de largo, de un rollo de alambre que mide 424 metros ¿Cuántos pedazos de alambre pudo cortar el electricista? ¿Qué estrategia puede seguir para la solución? ¿Puede utilizar material semiconcreto?

Desarrollo de problemas planteados: El sentido de la división para el problema 1, es de reparto uno a uno porque se conoce el número de grupos que se formarán. Si se utiliza material concreto o semiconcreto de debe utilizar un espacio por grupo para ir agregando uno por uno los elementos.

39

El problema 1 es de divisor desconocido:

65 personas ÷ x personas = 5 grupos

Pero para efectos de aplicar el algoritmo se plantea de la siguiente forma:

65 x

Cuando se aprende el algoritmo, es importante plantear el proceso paso a paso como se indica:

65 5

-5 13

15 -15 0 R/ En cada grupo van 13 visitantes.

Este proceso da origen a las razones:

personas

grupos=13 personas por cada grupo

El sentido del segundo problema es de una división incluida y no puede hacerse un reparto uno a uno. Es un problema de cociente desconocido: 424 metros ÷ 8 metros = ____ pedazos.

El algoritmo se plantea de la siguiente forma:

424 8

-40 53

24 -24 0 R/ Cortó 53 pedazos de 8 metros.

De donde 424 = 8(53) + 0

Otro problema de división incluida es el siguiente:

Se tienen 12 peces y se van colocar 3 peces en cada pecera, ¿cuántas peceras se necesitan? El problema corresponde al siguiente planteamiento: 12 peces ÷ 3 peces = 4 peceras. En este caso si se usa material concreto o semiconcreto se van formando los grupos.

R/ Se necesitan 4 peceras. 12 = 3(4) + 0

40

Es decir, el algoritmo de la división es la representación del proceso de división. Si a es un entero divisible por b, q es el cociente y r el residuo se tiene que:

a = bq + r, 0 < r < b es el algoritmo de la división

Aplicación del algoritmo de la división en los ciclos de potencias a) Ciclo de las potencias de 2 ¿Cuál es la cifra de las unidades de 22015? Para calcular la cifra de las unidades es necesario encontrar el ciclo de las potencias de 2, por ejemplo:

¿Qué se observa en las cifras de las unidades de las potencias? Escribir las características.

Puede observarse que la cifra de las unidades se repite cada 4 términos, es decir cada potencia múltiplo de 24, lo que se ha obtenido aplicando el algoritmo de la división, así: Cual es la cifra de las unidades de 24 por ejemplo, se divide el exponente 4 entre 4 ciclo en que se repite la potencia y resulta:

4 4

0 1 Que se tiene 24(1)+0 = 16 siendo 6 la cifra de las unidades de 24 ¿Cuál es la cifra de las unidades de 215?

20 1

21 2

22 4

23 8

24 16

25 32

26 64

27 128

28 256

29 512

41

Dividimos el exponente 15 entre 4:

15 4

3 3 Resultando que 215 = 24(3)+3, de donde la cifra de las unidades es 23 = 8, siendo 8 la cifra de las unidades. ¿Cuál es la cifra de las unidades de 29, de igual manera que en los casos anteriores dividimos 9 entre cuatro que es el ciclo en que se repiten las potencias de 2? Dividimos el exponente 9 entre 4:

9 4

1 2 Resultando que 29 = 24(2)+1, de donde la cifra de las unidades es 21 = 2, siendo 2 la cifra de las unidades. Respuesta al problema original la cifra de las unidades de 22015 es:

24(503)+3 = 23 = 8 Reorganizando el ciclo de las potencias de 2, en una caja de valores, se tiene:

UM C D U

21 2

22 4

23 8

24 1 6

25 3 2

26 6 4

27 1 2 8

28 2 5 6

29 5 1 2

210 1 0 2 4

211 8

212 6

El ciclo en que se repiten las unidades es 2, 4, 8, 6. Cada cuatro números se repiten las mismas cifras de las unidades. Cuando el exponente es múltiplo de 4 el orden de las unidades es 24n = 6. Ejercicio: Determinar cuál es la cifra de las unidades de 21525

b) El ciclo de las potencias de 3 ¿Cuál es la cifra de las unidades de 32014?

42

UM C D U

31 3

32 9

33 2 7

34 8 1

35 2 4 3

36 7 2 9

37 2 1 8 7

38 3 5 6 1

39 3

310 9

211 7

212 1

Como las cifras de las unidades se repiten en períodos de 4, cada vez que el exponente de 3 sea 4 o múltiplo de 4 la cifra de las unidades será 1. Así las cifra de las unidades de 32014, es: 3(503)+2 = 32 = 9.

Ejercicios y problemas 6 1. Obtener el ciclo de las potencias de 5, de 6, de 7. 2. Calcular:

a) La cifra de las unidades de 51997, 7389 b) La cifra de las unidades de 1414 + 1515 + 1616 c) ¿Cuál es la cifra de las unidades de 4372248? d) ¿Cuál es la cifra de las unidades en las siguientes operaciones?

2349 + 62345 21990 + 32005 5397 + 61998 21721 x 3853

3. Desarrollar las tablas de las potencias para 4, 5, 6, 7. Verificar sus características y elaborar ejercicios.

Ejemplos de identificación de residuos Ejemplo 1. Un pastelero hornea alfajores. Hoy amasó 306 discos (hojas) y los tiene que llevar al horno en

bandejas donde caben 25 discos.

a) ¿Cuántas bandejas necesita disponer para los 306 discos? b) ¿Cuántos alfajores puede armar con 306 discos?

43

Puede observarse que el panadero necesita 12 bandejas de 25 discos cada una y le queda una bandeja con 6 discos. En este cado a 6 se le llama resto o residuo.

Ejemplo 2. Josefina colecciona servilletas. Hasta el momento tiene 128 servilletas y quiere ordenarlas en

un cuaderno. Ella sabe que en cada página puede pegar solo 3 servilletas.

a) ¿Cuántas páginas puede completar con las 128 servilletas? b) ¿Cuántas servilletas le faltan para completar una página más? c) ¿Cuál es el resto en esta división?

Determinar: ¿Qué residuos deja dividir por 2 diferentes números? Observar el siguiente proceso de algoritmo de la división:

2 2

2 = 2 x 1 + 0

0 1

3 2

3 = 2 x 1 + 1

1 1

Y así, si dividimos otros números naturales entre dos, veremos que siempre dejan resto 0 o 1. Procediendo de la misma forma determinar que residuos deja dividir por 3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 etc.

Clases residuales Hacer el siguiente juego en parejas: “Quien dice 20”. El juego consiste en decir un número y luego tu adversario le añade 1 o 2. Por ejemplo si el primer jugador dice 1 el otro añade 2 y dice 3. Pedir a los estudiantes que expliquen qué estrategia se debe seguir para que siempre el primer jugador diga 20 y gane el juego. Pasados 10 minutos se debe socializar para saber si alguien ha descubierto el juego. Y la estrategia consiste en ir de atrás hacia adelante, por ejemplo si yo digo 20, el otro dirá 18 y yo tuve que haber dicho 17 y así se va disminuyendo para saber por dónde se debe iniciar el juego para siempre ganar, porque si yo dije 17 forzosamente el otro debe decir 18 o 19 pero no 20. De manera que si yo soy el primer jugador, debí iniciar por 2. Luego decir 5, 8, 11, 14, 17, 20. Y como 20 ÷ 3 = 6 y deja resto 2 de ahí que quien desee ganar debe iniciar por 2 e ir aumentando de 3 en 3. Jugar ahora a “Quién dice 2 ” y encontrar la estrategia ganadora. Anteriormente se determinó por el algoritmo de la división que los residuos o restos que deja dividir por 2 son 0 y 1, agrupando, se tiene la CLASES RESIDUALES DE DIVIDIR POR 2.

44

CLASES RESIDUALES DE 2

0 1

2 3

4 5

6 7

8 9

10 11

12 13

2n 2n + 1

¿Qué características tienen los números de la clase residual cero?

Aumentan de 2 en 2.

Siempre terminan en las cifras 0, 2, 4, 6, 8 (cifra de las unidades) y se repite en un ciclo.

Todos los números son pares. ¿Qué características tienen los números de la clase residual uno?

Todos son números impares.

Siempre terminan en cifras 1, 3, 5, 7 o 9.

Al dividirlas entre dos dejan resto 1. En la clase residual de 2 fácilmente se puede determinar en cuál de ellas está ubicado un determinado número. Por ejemplo si se pregunta en ¿cuál de las clases residuales está ubicado el número 1028?, la respuesta es inmediata, de igual manera si se pregunta ¿en qué clase residual está ubicado el número 531? De aquí que se puede decir que los números de la clase residual cero son congruentes entre si módulo dos. Es decir que:

8 6 (mod 2) Y se lee 8 es congruente con 6 en módulo 2. O que:

12 8 (mod 2) Lo que significa que tanto 12 como 8 dejan residuo cero cuando se divide por 2 o porque al dividirlos entre 2 dejan el mismo residuo. También se puede decir que:

45

298 0 (mod 2), porque al dividir 298 entre dos nos queda residuo cero.

Lo mismo ocurre con los números de la clase residual 1 en módulo 2, así:

7 5 (mod 2) o

265 11 (mod 2)

Teorema 1. “Dos números son congruentes en módulo m si su diferencia es múltiplo de m”. Ejemplo:

6 0 (mod 2), si 6 – 0 = 6 y 6 es múltiplo de 2 9 1 (mod 2), si 9 – 1 = 8 y 8 es múltiplo de 2

¿Es 135 1 (mod 2)?

Sí, porque 135 – 1 = 134 y 134 es múltiplo de 2 porque 134 = 2 (67).

A los números congruentes con cero módulo 2 se llaman números pares. Y todos los números congruentes con 1 módulo 2, se llaman números impares.


1. Cuánto vale a si:

27a 1 (mod 2)

2. ¿Qué residuo deja 1025 en módulo 2? 3. ¿Qué residuo deja 2014 en módulo 2? 4. Clases residuales de dividir por 3


0 1 2

3 4 5

6 7 8

9 10 11

12 13 14

15 16 17

18 19 20

21 22 23

24 25 26

27 28 29

3n

Determinar cuál es la forma general de cada clase residual.

46

¿Qué características presentan los números de la clase residual 0?



¿En qué clase residual se encuentra el número 463?

5. Clases residuales de dividir por 4


0 1 2 3

4 5 6 7

8 9 10 11

12 13 14 15

16 17 18 19

20 21 22 23

24 25 26 27

28 29 30 31

32 33 34 35

36 37 38 39

40 41 42 43

4n

Calcular la forma general de cada clase residual de 4.

Determinar qué características presenta cada una de las clases.

¿En qué clase residual se encuentre el número 492?, ¿y el 2015?, ¿y el número 2000?

6. Clases residuales de dividir por 5


0 1 2 3 4

5 6 7 8 9

10 11 12 13 14

15 16 17 18 19

20 21 22 23 24

25 26 27 28 29

30 31 32 33 34

35 36 37 38 39

40 41 42 43 44

45 46 47 48 49

50 51 52 53 54

5n

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Determinar cuál es la forma general de cada clase residual.









Determinar las clases residuales para 6, 7, 9. Y encuentra las características de cada clase.

Sistemas modulares y propiedades de las congruencias Lectura: La aritmética del reloj y sistemas modulares Anteriormente, hemos estudiado el concepto de conjunto o reunión de elementos. Un conjunto en sí mismo puede no tener una estructura particular, pero cuando introducimos formas de combinar los elementos (llamados operaciones) y formas de comparar los elementos (denominados relaciones) obtenemos un sistema matemático. Un sistema matemático consta de tres partes:

a) Un conjunto de elementos; b) una o más operaciones para combinar los elementos; c) una o más relaciones para comparar los elementos.

Un ejemplo de sistema matemático, conocido por todos, es el conjunto de los enteros no negativos {0, 1, 2, 3…}, junto con la operación de suma y la relación de igualdad. El sistema matemático más primitivo incluía el conjunto de los números naturales, o inicialmente un subconjunto constituido por los números “más pequeños” utilizados para contar. El desarrollo de este sistema fue el más básico, así como uno de los más útiles de todas las ideas matemáticas. Ahora bien, existen sistemas no tan conocidos, constituidos principalmente por conjuntos finitos, como el sistema llamado del reloj de 12 horas, basado en la carátula de un reloj ordinario, con la diferencia de que el 12 es reemplazado por el 0 y se excluye el minutero.

La carátula del reloj da lugar al conjunto finito {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}. Como operación para este sistema del reloj, defina la suma como sigue: sume desplazando la manecilla de las horas en el sentido de

48

las manecillas del reloj. Por ejemplo, para sumar 5 y 2 en un reloj, primero mueva la manecilla de las horas al 5, luego para sumar 2, desplace la manecilla 2 horas más en el sentido de las manecillas del reloj. La manecilla se detiene en el 7, por lo tanto, 5 + 2 = 7 Sin embargo, si sumamos 8 + 9, movemos la manecilla de las horas al 8, luego avanzamos la manecilla en sentido de las manecillas del reloj 9 horas más. Se detiene en el 5, por lo que 8 + 9 = 5 y 11 + 3 = 2. Puesto que el sistema del reloj está constituido por un conjunto finito, se llama sistema matemático finito. Ahora extendamos las ideas de la aritmética del reloj a los sistemas modulares en general. La suma tradicional, 11 + 3 = 14, refleja el hecho que mover la manecilla del reloj 11 horas hacia adelante, desde el 0, y después 3 horas hacia adelante, equivale a moverla hacia adelante 14 horas en total. Pero, dado que la posición final de la manecilla del reloj es en el 2, vemos que 14 y 2 son, en cierto sentido, equivalentes. Formalmente decimos que 14 y 2 son congruentes módulo 12, lo cual se escribe así:

14 2 (mod 12) Observando el movimiento de la manecilla del reloj, también puede verse que, por ejemplo:

26 2 (mod 12) 38 2 (mod 12)

Y así sucesivamente. En cada caso, la congruencia es cierta, porque la diferencia de dos números congruentes es un múltiplo de 12:

14-2 = 12 = 1x12 26-2 = 24 = 2X12 38-2 = 36 = 3X12

Esto sugiere la siguiente definición:

a b (mod m), si y sólo si se obtiene el mismo residuo al dividir a y b entre m

Los enteros a y b son congruentes módulo m (donde m es un número natural mayor que 1 llamado módulo) si y sólo si la diferencia a – b es divisible entre m. Simbólicamente, esta congruencia se escribe:

a b (mod m) Por ejemplo, sabemos que:

27 9 (mod 6)

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Porque 27 – 9 = 18, que es divisible entre 6. Ahora, si 27 se divide entre 6, el cociente es igual a 4 y el residuo es 3, es decir 27 = 6 (4) + 3. También si 9 se divide entre 6, el cociente es igual a 1 y el residuo es 3, 9 = 6(1)+ 3. De acuerdo con el criterio anterior:

27 9 (mod 6) Ya que el residuo es el mismo en cada caso. Muchos de los problemas que involucran enteros muy grandes pueden simplificarse con aritmética modular, en la que se utilizan congruencias en vez de ecuaciones. La idea básica es elegir un determinado entero m, llamado módulo y sustituir cualquier entero por el resto de su división entre m. En general, los restos son pequeños y, por tanto, más fácil de trabajar con ellos. 1. Revise el siguiente problema donde se aplica la congruencia numérica: Si contamos 9378 días a partir de hoy (suponer que hoy es jueves), ¿en qué día de la semana caerá? Podemos resolverlo tomando un calendario y comenzar a contar, pero esto resulta muy tedioso. Si nos damos cuenta los días de la semana se repiten cada 7 días. Así, nuestro m es 7. Por tanto: 9378 = 1339 · 7 + 5, el resto resulta ser 5, es así que en 9378 días más, el día será Martes. Definición. Sean a y b enteros cualesquiera y n un entero positivo. Si n | (a − b) decimos que a y b son congruentes módulo n y escribimos a - b (mod n). Si a no es congruente con b módulo n, escribimos a lleva símbolo de no congruencia b (mod n).

Ejemplos de nomenclatura de congruencias:

1) 23 11 (mod 12)

2) 1 −1 (mod 2).

3) Para todo par de enteros a y b, tenemos a b (mod 1).

4) Si d | n y a b (mod n) entonces a b (mod d).

5) 17 6 10 (mod 4).

Definición de congruencia Definición. Un entero a es congruente con un entero a’ módulo un entero m si a – a’ es múltiplo de m; en este caso se escribe:

a a’ (mod m), y su negación: a a’(mod m). Así: ı: a a’ (mod m) ⇐⇒ existe z ∈ Z tal que a – a’ = m z, o bien: a a’ (mod m) ⇐⇒ a−a’ ∈ (m), donde (m) denota al conjunto (ideal) de los múltiplos de m.

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Ejemplos:

14 ≡ 2 (mod 12) 4 ≡ 19 (mod 5) 12 ≡ 12 (mod 0) 13 ≡− 2 (mod 3) 7 ≡ 4 (mod 2) 13 ≡ 12 (mod 0)

Cada entero m determina así una relación binaria en el conjunto Z de los enteros, llamada la congruencia módulo m. Se estudiarán algunas propiedades notables de estas congruencias; en primer lugar veamos algunas reducciones. (1) Si a y b son enteros, entonces las relaciones a ≡ b (mod 0) y a = b son equivalentes, de modo que la relación de congruencia módulo cero es precisamente la relación de identidad o igualdad en el conjunto Z de los enteros. (2) Cualquiera que sea m∈Z, la relación a ≡ b (mod m) equivale a la relación a ≡ b (mod −m); esto es, las congruencias con respecto a un módulo m y su opuesto – m son idénticas. (3) La relación a ≡ b (mod1) es válida cualesquiera que sean los enteros a y b. Debido a (1), (2) y (3) se suele imponer la restricción m>1. De la definición de congruencia se deriva directamente el siguiente criterio para decidir si dos enteros son congruentes módulo un entero m = 0: Sean a, a enteros, y sea rm (a−a) el resto de dividir a−a entre m si rm(a−a) = 0, entonces a ≡ a (mod m) si rm(a−a) = 0, entonces a ≡ a(mod m) Proposición. Para todo m que un entero se cumplen las propiedades: 1. a ≡ a (mod m), para todo entero a. Es decir, que todo número es congruente con el mismo en cualquier

módulo.

Ej.: 8 8 (mod 2) Puesto que se recuerda 8 deja residuo cero al dividirse por 2. O 8-8 = 0 y cero es divisible entre 2.

2. Para todo a, b ∈ Z, si a ≡ b (mod m), entonces b ≡ a (mod m).

Por ejemplo si 27 es congruente con 9 en módulo 3, entonces se dice que 9 es congruente con 27 en módulo 3, lo cual es cierto porque tanto 27 como 9 dejan el mismo residuo al dividirse por 3.

3. Para todo a, b, c ∈Z, si a ≡ b(mod m) y b ≡ c(mod m), entonces a ≡ c(mod m). Sea 7, 22, 37 enteros, se tiene que:

51

37 22 (mod 5), que 22 7 (mod 5).

Por lo tanto, también:

37 7 (mod 5)

Debido a que tanto 37, 22, y 7 dejan el mismo residuo al ser divididos por 5.

Congruencia es un término usado en la teoría de números, para designar que dos números enteros tienen el mismo resto al dividirlos por un número natural , llamado el módulo. Esto se expresa utilizando la notación:

Que se expresa diciendo que es congruente con módulo . Las siguientes expresiones son equivalentes:

es congruente con módulo .

El resto de entre es el resto de entre .

divide exactamente a la diferencia de y

se puede escribir como la suma de y un múltiplo de .

∈

El término congruencia se utiliza además con dos sentidos ligeramente diferentes: por un lado con el sentido de identidad matemática, como ejemplo de este uso tenemos el pequeño teorema de Fermat que asegura que para cada primo y cada entero no divisible por tenemos la congruencia:

Por otro lado, se utiliza en el sentido de ecuación, donde aparecen una o más incógnitas, y nos preguntamos si una congruencia tiene solución y en caso afirmativo cuáles son todas sus soluciones, por ejemplo la congruencia , tiene solución, y todas sus soluciones vienen dadas por y , es decir puede ser cualquier entero de las sucesiones y . Contrariamente la congruencia , no tiene solución.

http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_n%C3%BAmeros

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_entero

http://es.wikipedia.org/wiki/Resto

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_natural

http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo_%28matem%C3%A1tica%29

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http://es.wikipedia.org/wiki/Peque%C3%B1o_teorema_de_Fermat

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primo

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http://es.wikipedia.org/wiki/Inc%C3%B3gnita

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Resoluci%C3%B3n_de_congruencias&action=edit&redlink=1

http://es.wikipedia.org/wiki/Progresi%C3%B3n_aritm%C3%A9tica

52

Propiedades de las congruencias La relación de congruencia tiene muchas propiedades en común con la igualdad matemática, para el caso tenemos algunas de ellas: La congruencia para un módulo fijo es una relación de equivalencia ya que se verifican las propiedades:

1. Reflexividad:

2. Simetría: si entonces también

Pues ambos dejan resto 1 al ser divididos por 2

3. Transitividad: si y entonces también .

entonces Tanto 23 como 19 y 7 dejan resto 3 al ser divididos por 4. Por lo tanto la propiedad transitiva se cumple.

Si es coprimo (si el máximo común divisor entre ellos es 1) con y , entonces también es coprimo con .

Ej.: Si , 4 es coprimo con 5, ya que su MCD es 1, la propiedad establece que:

Si y es un entero, entonces también se cumple:

Puesto que ambos dejan resto 1 al ser divididos por 3.

Ambos valores dejan resto 2 al ser divididos por 4.

http://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_matem%C3%A1tica

http://es.wikipedia.org/wiki/Igualdad_matem%C3%A1tica

http://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_de_equivalencia

http://es.wikipedia.org/wiki/Coprimo

53

Si = 16, = 9, = 2 y = 7, se tiene:

En efecto:

Lo cual se hace cierto porque el dividir a 256 y 81 por 7, ambos dejan resto 4 o también si se resta:

256 – 81 resulta 175 que es múltiplo de 7 Si además es coprimo con , entonces podemos encontrar un entero , tal que:

Y entonces tiene perfecto sentido hablar de la división y también es cierto que

Donde por definición ponemos . Como consecuencia de lo anterior, si tenemos dos congruencias con igual módulo:

y Podemos sumarlas, restarlas o multiplicarlas de forma que también se verifican las congruencias

y Queda al lector diseñar ejemplos para la propiedad anterior.

Ejercicios y problemas 8 1. Hacer una lista de todos los enteros x en el intervalo [1, 100] que satisfagan x ≡ 7(17). 2. Encontrar un sistema completo de restos módulo 17 compuesto enteramente por múltiplos de

tres.

3. Determinar el valor de x en la expresión x + 3 4 4. Determinar el valor de x en cada expresión:

5 + x 2 [mod 5]

3 + x 3 [mod 9]

http://es.wikipedia.org/wiki/Coprimo

54

5. ¿Cuál proposición de las que se presentan a continuación es falsa?

a) 36 21 [mod 3] b) 38 17 [mod 3]

c) 27 13 [mod 7] d) 155 24 [mod 2]

e) 41 26 [mod 5]

6. Si x 2 [mod 3], ¿cuáles son los valores de x? (para que sea cierto).

7. Si 4235b 2 [mod 3], ¿qué valores tiene la cifra “b” para que la proposición sea cierta?

8. Si x + 1 1 [mod 2], ¿cuáles son los valores de x? 9. ¿Qué valor debe tomar la letra “a” para que los siguientes números sean congruentes con cero en

módulo 11?

a. 16a23 b. 5729a c. 473a2

Criterios de divisibilidad A manera de introducción Decimos que un número a es divisor de b, si al dividir b para a obtenemos un valor c, que multiplicado por a, nos da como resultado b, se representa a|b, donde b es el dividendo y a es el divisor; siendo a, b, c Z. Se dice también que a está contenido en b un número exacto de veces si el residuo es cero. Si leemos de derecha a izquierda diremos que b contiene a a, un número exacto de veces, o que b es múltiplo de a. Los criterios que se derivan de la divisibilidad son ampliamente conocidos por todos los docentes de matemáticas, pero ¿alguna vez ha intentado demostrarlos? Revisemos las siguientes historias sobre divisibilidad, tratando de dar respuesta a las preguntas que en ellos se hace.

Ejercicios y problemas 9 1. La escalera del castillo

Para subir al viejo castillo, hay que subir una escalera larga, larga…. Tres amigos quieren llegar al castillo. Pedro sube los escalones, despacio y de uno en uno. María de dos en dos. Pablo, veloz, salta los escalones de tres en tres. Pedro empieza a subir en el escalón primero, María en el segundo escalón y Pablo en el tercero. ¿Cuáles son los escalones que sólo pisan dos personas?

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2. La escalera de la casa de Pilar Anabel va a visitar a su amiga Pilar. Al llegar a su casa sube las escaleras saltando los escalones de forma variada de uno en uno o de dos en dos, según le da. Pilar baja a su encuentro, bajando los escalones de tres en tres. Las dos amigas se encuentran en el octavo escalón contando desde abajo, después de haber hecho cada una el mismo número de saltos. Para que se cumplan todas estas condiciones, ¿Cuántos escalones puede tener la escalera de entrada a la casa de Pilar? 3. El saco de canicas Cuatro amigos, Marcos, Iván, Francisco y Luís quieren descubrir el número de canicas que contiene este saco: Para eso tienen las siguientes informaciones: El saco tiene nada menos que entre 1300 y 1500 canicas. Marcos que las ha agrupado de dos en dos, comenta que le sobró una. En cambio Iván que las agrupó de tres en tres dijo que no le sobró

ninguna. Francisco que intentó formar grupos de cinco canicas, aseguró que le

faltaron dos canicas. Por fin Luís que formó grupos de siete en siete dijo que al final le sobraron

cuatro canicas. Averigua exactamente cuántas canicas hay en el saco.

Forma polinómica de un número A lo largo de la historia del mundo, han existido diferentes nombres, notaciones y símbolos para la palabra número, de manera que se puede hablar de varios sistemas de numeración desde la antigüedad. Así, por ejemplo, se pueden mencionar el sistema de numeración griego, el sistema numérico romano, el sistema de numeración egipcio y el sistema numérico hindú-arábigo, en este, los números están formados por yuxtaposición de los dígitos 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y sobre este se basa el sistema decimal. Es de aclarar que algunos sistemas de numeración son no posicionales, por ejemplo el sistema Egipcio y el Romano lo que complica las reglas para realizar las sumas, productos, etc., y otros son posicionales, en estos se tiene un conjunto de símbolos que se usan en el sistema para construir los números y un conjunto de reglas para formar los números, aquí cada símbolo tiene un valor diferente según la posición de dicho símbolo en la representación de un número. Al total de símbolos permitidos se le llama base del sistema. Un ejemplo familiar es el sistema de numeración y que utilizamos habitualmente es el decimal, que se compone de diez símbolos o dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9) a los que otorga un valor dependiendo de la posición que ocupen en la cifra: unidades, decenas, centenas, millares, etc.

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El valor de cada dígito está asociado al de una potencia de base 10, número que coincide con la cantidad de símbolos o dígitos del sistema decimal, y un exponente igual a la posición que ocupa el dígito menos uno, contando desde la derecha. En el sistema decimal el número 528, por ejemplo, significa:

5 centenas + 2 decenas + 8 unidades, es decir: 5*102 + 2*101 + 8*100 o, lo que es lo mismo:

500 + 20 + 8 = 528 En el caso de números con decimales, la situación es análoga aunque, en este caso, algunos exponentes de las potencias serán negativos, concretamente el de los dígitos colocados a la derecha del separador decimal. Por ejemplo, el número 8245,97 se calcularía como:

8 millares + 2 centenas + 4 decenas + 5 unidades + 9 décimos + 7 céntimos 8*103 + 2*102 + 4*101 + 5*100 + 9*10-1 + 7*10-2, es decir:

8000 + 200 + 40 + 5 + 0,9 + 0,07 = 8245,97 Un sistema de numeración está constituido por:

Un conjunto de símbolos.

Un conjunto de reglas que determinan el sistema. Nuestro sistema se llama sistema de numeración posicional decimal donde cada número es la suma de los valores de posición de sus cifras y el número de unidades de cada orden no puede ser superior a 9. Así, la expresión polinómica del número 2657 es:

2657= 2x103 + 6x102 + 5x101 + 7

La expresión polinómica del número 9038 es:

9038 = 9x103 + 0x102 + 3x101 + 8 Nuestro sistema de numeración es posicional, es decir, la posición de cada una de las cifras determina el orden que está representando. Además es de base 10 porque se usan diez símbolos para representar los números , estos son: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Diez unidades de un orden forman una unidad del siguiente orden. Sistema de numeración binario Actualmente la mayoría de las personas utilizamos el sistema decimal (de 10 dígitos) para realizar operaciones matemáticas. Este sistema se basa en la combinación de 10 dígitos (del 0 al 9). Construimos números con 10 dígitos y por eso decimos que su base es 10.

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El sistema binario es un sistema de numeración en el que los números se representan utilizando las cifras 0 y 1, es decir solo 2 dígitos, esto en informática tiene mucha importancia ya que las computadoras trabajan internamente con 2 niveles de Tensión lo que hace que su sistema de numeración natural sea binario, por ejemplo 1 para encendido y 0 para apagado. También se utiliza en electrónica y en electricidad (encendido o apagado, activado o desactivado). Se basa en la representación de cantidades utilizando los dígitos 1 y 0. Por tanto su base es 2 (número de dígitos del sistema). Cada dígito de un número en este sistema se denomina bit (contracción de binary digit). Por ejemplo el número en binario 1001 es de 4 bits. Recuerda cualquier número binario solo puede tener ceros y unos. Pasar un número en sistema Decimal a su equivalente en Binario, observar la siguiente imagen:

Para hacer la conversión de decimal a binario, hay que ir dividiendo el número decimal entre dos y anotar en una columna a la derecha el resto (un 0 si el resultado de la división es par y un 1 si es impar). Para sacar la cifra en binario cogeremos el último cociente (siempre será 1) y todos los restos de las divisiones de abajo arriba, orden ascendente.

Ejemplo: Se quiere convertir el número 28 a binario.

28 dividimos entre 2 : Resto 0 14 dividimos entre 2 : Resto 0 7 dividimos entre 2 : Resto 1 3 dividimos entre 2 : Resto 1 y cociente final 1

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Entonces el primer número del número equivalente en binario sería el cociente último que es 1, el segundo número del equivalente el resto último, que también es 1, la tercera cifra del equivalente sería el resto anterior que es 1, el anterior que es 0 y el último número de equivalente en binario sería el primer resto que es 0 quedaría el 11100. Conclusión el número 28 es equivalente en binario al 11.100. Aquí lo vemos con las operaciones de forma más sencilla de entender:

Vemos como para sacar el equivalente se coge el último cociente de las operaciones y los restos que han salido en orden ascendente (de abajo arriba) 11100. El Número 2 del final en subíndice es para indicar que es un número en base 2, pero no es necesario ponerlo. Veamos otro ejemplo el número 65 pasarlo a binario.

Pasar un número binario a su equivalente en decimal Pues ahora al revés. ¿Qué pasaría si quisiera saber cuál es el número equivalente en decimal del número binario por ejemplo 1001? Pues también hay método. PASO 1. Numeramos los bits de derecha a izquierda comenzando desde el 0 (muy importante desde 0 no

desde 1). PASO 2. Ese número asignado a cada bit o cifra binaria será el exponente que le corresponde. PASO 3. Cada número se multiplica por 2 elevado al exponente que le corresponde asignado anteriormente. PASO 4. Se suman todos los productos y el resultado será el número equivalente en decimal. Gráficamente: Ejemplo el número 1001 se desea saber cuál es su equivalente en decimal. Primeramente se asigna exponentes:

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Iniciando por el primer producto que será el primer número binario por 2 elevado a su exponente, es decir 1 x 23. El segundo y el tercer productos serán 0 por que 0 x 22 y 0 x 21 su resultado es 0 y el último producto será 1 x 20 que será 1, recordar que cualquier número elevado a la potencia cero es 1, luego 1 x 20 es 1 (no confundir y poner 0). Sumando los resultados de todos estos productos se tiene:

1 x 23 + 0 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 = 8 + 0 + 0 + 1 = 9 El equivalente en decimal del número binario 1001 es el 9. Otro ejemplo: Expresar el número 110101 binario en el sistema decimal. Se procede a asignar el exponente directamente a cada cifra, como se muestra en la siguiente figura:

Otra forma de expresar un número binario en una decimal es colocándolo de la siguiente manera.

De donde resulta que el binario 101101 es equivalente a 45 en sistema decimal.

60

Equivalencias de los primeros 15 números decimales:

Número decimal Número binario

0 0000

1 0001

2 0010

3 0011

4 0100

5 0101

6 0110

7 0111

8 1000

9 1001

10 1010

11 1011

12 1100

13 1101

14 1110

15 1111


1. Expresar en sistema binario:

a) 32 b) 68 c) 12

2. Expresar en sistema decimal:

a) 110110 b) 11001

3. Averigua cuántos números pueden representarse con 8, 10, 16 y 32 bits y cuál es el número más grande que puede escribirse en cada caso.

4. Dados dos números binarios: 01001000 y 01000100 ¿Cuál de ellos es el mayor? ¿Podrías compararlos sin necesidad de convertirlos al sistema decimal?

5. Expresa, en el sistema decimal, los siguientes números binarios:

110111, 111000, 010101, 101010, 1111110

Divisibilidad Criterios de divisibilidad Existen algunos números naturales que tienen ciertas características particulares. A muchos de ellos es posible identificarlos como múltiplos de otros números iguales o más pequeños. De aquí que sea sencillo

61

diferenciar a los que son divisibles entre los números más usuales, y con ello determinar los criterios de divisibilidad. La palabra divisibilidad, en matemáticas, se refiere a la parte de la Aritmética que estudia las condiciones que han de tener los números para ser divisibles por otros, es decir, que se puedan dividir exactamente. Este concepto es muy antiguo y surgió cuando el hombre tuvo la necesidad de repartir cosas entre varias personas u objetos El reparto, unas veces, era igual para todos (se obtenía un número exacto de cosas para cada uno), y otras veces no era igual, dependiendo de que el número de cosas a repartir se pudiera dividir, exactamente, entre el número de los que iban a recibir esas cosas.

Divisibilidad por 2

Recordando un poco sobre las clases residuales de 2


0 1

2 3

4 5

6 7

8 9

10 11

12 13

2n 2n+1

Los números divisibles por dos son los que pertenecen a la clase residual cero, es decir aquellos que tienen la forma 2n. Obsérvese en la tabla anterior que esos números terminan en 0, 2, 4 u 8. Por lo tanto se puede establecer que: “Un número natural es divisible entre 2 si su última cifra es 0, 2, 4, u 8 o su terminación es en cero o par”

Ejemplos:

500 es divisible entre 2 por terminar en 0. 844 es divisible entre 2 por terminar en número par. 977 no es divisible entre 2 por terminar en 7 y no en (0, 2, 4 ,8) como se ha dicho en la definición, o también se dice que 7 es cifra impar.

Diga si:

a) es divisible por 2 el número 25976 b) ¿y el número 3900? c) ¿y el número 1239?

62

Divisibilidad por 3 ¿Qué residuos deja dividir por 3? Cuando dividimos cualquier número por tres, obtenemos los residuos 0, 1 y 2. Al colocarlos en la tabla de clases residuales, tiene:

Clase 0 Clase 1 Clase 2

3 4 5

6 7 8

9 10 11

12 13 14

15 16 17

18 19 20

3n 3n+1 3n+2

Los números de la clase residual cero, son divisibles por 3. ¿Qué características presentan dichos números? Observar que si se suma las cifras de los números de la clase residual cero partiendo de 12 se tiene:

12: 1+2 = 3 15: 1+5 = 6 18: 1+8 = 9

Obsérvese que los valores 3, 6, 9 vuelven a repetirse, por lo tanto se dice que: Un número es divisible por 3 cuando la suma de sus cifras resulta 3, 6 o 9. Así: ¿será 390 divisible por 3? Sumando sus cifras, 3+9+0 = 12 y 1+2 = 3, como el resultado es 3, se dice que 390 es divisible por 3. Averiguar utilizando este método si los números 1256, 48, 954 son divisibles por 3. El criterio anterior puede enunciarse de la siguiente manera:

“Un entero positivo expresado en forma decimal es divisible por 3 si y solo si la suma de sus dígitos es divisible por 3. Es decir, si la suma de sus dígitos resulta un múltiplo de 3”

63

Otro ejemplo:

4452 es divisible por 3 porque si se suman sus cifras 4 + 4 + 5 + 2 = 15 y 1+5 =6 es múltiplo de 3.

27 225. Se suman sus cifras: 2 + 7 + 2 + 2 + 5 = 18

18 es 1+8 = 9 y 9 divisible entre 3.

Divisibilidad por 4

Si recordamos las clases residuales que resultan de dividir por 4, como se ve en la tabla siguiente, en la clase residual cero se ubican todos los múltiplos de 4. Es decir, 4, 8, 12, 1 , 20…

0 1 2 3

4 5 6 7

8 9 10 11

12 13 14 15

16 17 18 19

20 21 22 23

24 25 26 27

496 497 498 499

500 501 502 503

4n 4n+1 4n+2 4n+3

Si se toma el número 496 ubicado en la clase cero, al dividir 96 entre 4 se obtiene un cociente de 24 con residuo cero, por lo que se dice que 4 | 96, por lo tanto 496 es divisible entre 4.

De igual manera el número 500 es dividido por 4 de manera exacta en 4 partes de 125 cada una. Razón por la cual se dice que:

“Un entero positivo con más de un dígito es divisible por 4, si y solo si sus dos últimas cifras son cero o forman un múltiplo de 4”

Otro ejemplo: El número 624746872 es divisible por 4 pues 4 | 72, en cambio el número 321658 no es divisible por 4 pues 4 |58.

De manera general un número abcd, es divisible por 4 si sus cifras cd son ceros o múltiplo de 4.

Ejercicios: Determinar si los siguientes números son divisibles por 4:

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a) 1234 b) 276800 c) 49012

Divisibilidad por 5

Observar las clases residuales de 5.


0 1 2 3 4

5 6 7 8 9

10 11 12 13 14

15 16 17 18 19

20 21 22 23 24

25 26 27 28 29

30 31 32 33 34

35 36 37 38 39

40 41 42 43 44

45 46 47 48 49

50 51 52 53 54

5n 5n+1 5n+2 5n+3 5n+4

En la clase residual cero se puede observar que los números que dejan residuo cero al ser divididos por 5 solamente son aquellos cuya cifra de las unidades es cero o cinco. Por lo tanto se dice que:

“Un número natural es divisible entre 5 si su última cifra es 0 o 5”

Ejemplos:

45 | 5 se lee 45 es divisible por 5 porque 45 tiene el 5 en la cifra de las unidades. 70 | 5 porque 70 tiene el 0 en la cifra de las unidades. 51 | 5 porque 51 no tiene el 0 o el 5 en la cifra de las unidades.

Otros ejemplos:

40 320 sí es divisible porque termina en 0. 72 no es divisible porque es un número primo y termina en par. 593 no es divisible entre 5 porque no termina en 0 ni en 5.

Divisibilidad por 6 Partiendo también de las clases residuales de 6, se tiene: los posibles residuos que deja un número al ser dividido por 6 son:

65

Clase 0 Clase 1 Clase 2 Clase 3 Clase 4 Clase 5

6 7 8 9 10 11

12 13 14 15 16 17

18 19 20 21 22 23

24 25 26 27 28 29

30 31 32 33 34 35

6n

Los números divisibles por 6 son los de la clase residual cero, que tienen la característica de ser divisibles por 2 porque la cifra de las unidades es cero o cifra par y también son divisibles por 3 porque al sumar sus cifras nos da un múltiplo de 3. En cambio los números de las clases residuales 1, 2, 3, 4 o 5 dejan un residuo distinto de cero al ser divididos por 6 .Por lo que podemos asegurar que:

“Un número es divisible por 6 si lo es por 2 y por 3 a la vez”

Averiguar si los siguientes números son divisibles por 6:

a) 1320 b) 1452 c) 5678

Divisibilidad por 7

Si se continua de la misma forma que para los números,2,3,4,5,6, se tiene que las clases residuales que deja dividir por 7, se tiene que los residuos que deja dividir por 7 son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6:

Clase 0 Clase 1 Clase 2 Clase 3 Clase 4 Clase 5 Clase 6

7 8 9 10 11 12 13

14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27

28 29 30 31 32 33 34

35 36 37 38 39 40 41

42 43 44 45 46 47 48

49 50 51 52 53 54 55

7n

Los números de la clase residual cero son divisibles por 7, ¿observas alguna característica en especial entre los números que corresponden a esa clase? Ninguna, verdad.

66

En que clase residual está ubicado el número 247?, ¿y 2015?, y ¿298?

Pero entonces, ¿cuándo un número va a ser divisible por 7? Veamos, por ejemplo, si 35 es divisible por 7. Seguimos el siguiente procedimiento.

a. Multiplicamos por 3 el digito de las decenas: 3x3 =9 b. sumamos ahora el digito de las unidades, es decir, 5 eso resulta14 c. 14 = 7x2 +0, como no hay residuo decimos que 35 es divisible por 7; es decir pertenece a la clase

cero en módulo 7. De otra manera: 35 es congruente con 0 (mod 7)

Otro ejemplo: ¿Será 2015 divisible por 7?

a. Multiplicamos por 3x2= 6 y se le suma 0, esto resulta 6 b. Multiplicamos ahora 6 x3 y resulta 18 y se le suma 1, esto resulta 19 c. Multiplicamos 19x 3= 57 y se le suma 5 y resulta 62

Sabemos que 62 = 7x8 +6, por lo tanto 2015 no es divisible por 7.

Es decir que 2015 es congruente con 6 (mod 7)

Entonces, para averiguar si un número es divisible por 7, se multiplica la primera cifra de la izquierda por 3, se le suma la siguiente cifra, total que se vuelve a multiplicar por 3 y se le suma la tercera cifra hasta obtener cero o un múltiplo de 7.

Ejemplo:

Pruebe si 586 es divisible por 7

Realizamos el procedimiento anterior:

3x5= 15+8=23x3= 69+6= 75 y 75 = 7x10 +5

Significa que 586 es congruente con 5 (mod 7). Entonces 586 no es divisible por 7

Ejercicios:

1. ¿Cuál o cuáles son los valores de x, tales que al sumarlos con 2 sean congruentes con 3 en módulo7?

Un número es divisible por 7 cuando la diferencia entre el número sin la cifra de las unidades y el doble de la cifra de las unidades es 0 o múltiplo de 7.

Divisibilidad por 9 ¿Qué residuos se obtiene al dividir por 9?

67

Clase 0 Clase 1 Clase 2 Clase 3 Clase 4 Clase 5 Clase 6 Clase 7 Clase 8

9 10 11 12 13 14 15 16 17

18 19 20 21 22 23 24 25 26

27 28 29 30 31 32 33 34 35

36 37 38 39 40 41 42 43 44

9n

Complete la tabla escribiendo la forma general que tiene cada clase residual. Observe que en la clase residual cero se ubican los números que son divisibles por 9 pues al dividirse por 9 su residuo es cero. ¿Qué pasa si se suman los dígitos que forman los números de la clase residual cero? Cuanto resulta de sumar 1+8, 2+7, 3+6, etc.

Un número es divisible entre 9 cuando la suma de sus dígitos es 9 o múltiplo de 9

Ejemplo 1: Vamos a comprobar si 2610 es un múltiplo de 9.

2 + 6 + 1 + 0 = 9, por lo tanto 2610 es divisible por 9. Ejemplo 2: Probar si 117 es divisible por 9. Es decir si . Sumando sus dígitos 1 + 1+ 7 = 9. Esto significa que sí 117 es divisible entre 9. Ejemplo 3: ¿Será 300 divisible por 9? ¿O será ? Lo que se debe hacer es sumar sus dígitos 3 + 0 + 0 = 3 y 3 no es múltiplo de 9. Por lo tanto 300 no es divisible entre 9, pues deja residuo 3 al ser dividido por 9.

Teorema. Un entero positivo expresado en forma decimal es divisible por 9 si y solo si la suma de sus dígitos es divisible por 9.

Ejemplo. El número 35.747.826 es divisible por 3 pues la suma de sus dígitos es:

3 + 5 + 7 + 4 + 7 + 8 + 2 + 6 = 42

Sin embargo, como 9 42, el número 35747826 no es divisible por 9.

Divisibilidad por 11

Si trabajamos con las clases residuales de dividir por 11, se tiene:

Se tiene un edificio de once pisos con los cuartos numerados como en la figura.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

68

33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43

44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54

11n 11n+1

¿En qué piso localizamos el cuarto Nº 298? Tomando la clase cero como la planta baja o primer piso. Si observamos detenidamente la figura, podemos ubicar a los cuartos de la siguiente manera: No. de Piso Característica Forma Primer piso: Múltiplos de 11 11k Segundo piso: Los que exceden en una unidad a un múltiplo de 11 11k+1 Tercer piso: Los que exceden en dos unidades a un múltiplo de 11 11k+2 Cuarto piso: Los que exceden en tres unidades a un múltiplo de 11 11k+3 Quinto piso: Los que exceden en cuatro unidades a un múltiplo de 11 11k+4 Sexto piso: Los que exceden en cinco unidades a un múltiplo de 11 11k+5 Y así hasta llegar al onceavo piso donde se encuentra los cuartos que exceden en 10 unidades a los múltiplos de 11.

11k + 10

Con este análisis podemos determinar que el cuarto Nº 298 está en el segundo piso. Debido a que 298 = 27(11) + 1, es decir, al dividir 298 entre once es 27 y tiene un resto de uno. Ejercicio: Completar la tabla con la forma general para cada clase residual de 11. ¿Qué observa para los números de la clase residual cero si tanto 11, 22, 33, 44 son divisibles por 11? ¿Esto significa que todos ellos son congruentes con cero en módulo 11? Ejercicio resuelto: Probar si el número 4785 es divisible o no por 11. Lo primero que debe hacerse es colocar la posición que ocupa en él cada dígito, contando de derecha a izquierda, como se muestra en la figura:

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Como la diferencia es cero, el número 4785 es divisible por 11, por lo que establece el criterio siguiente:

Un número es divisible por 11 cuando la diferencia entre la suma de los valores absolutos de las cifras de lugar impar y la suma de los valores absolutos de sus cifras de lugar par, de derecha a izquierda, es cero o múltiplo de 11.

Ejercicio 2. Averiguar si 1421 es divisible por 11. Las posiciones de derecha a izquierda son posiciones impares 1 + 4 = 5. Posiciones pares 2 + 1 = 3, luego 5 -3 = 2, como 2 no es cero ni múltiplo de 11, entonces 1421 no es divisible por 11. Ejemplo: Si tienes el número 15037, ¿por qué cifras tienes que cambiar al cero y al 7 para que sea divisible por 3 y por 4, a la vez divisible por 12? Respuesta: Al 7 por 6 y al cero por 3.

Solución: Para que un número sea divisible por 4, debe terminar en dos ceros o las dos últimas cifras han de ser divisibles por 4. Como 37 no es divisible por 4, pero sí 36 que se halla muy cerca. Basta con cambiar el 7 por el 6.

Y queda: 15036: Revisar que la suma de sus cifras es múltiplo de 3:

1 + 5 + 3 + 3 + 6 = 18

Por tanto, este nuevo número es divisible por 3 y por 4.

Entonces se puede cambiar al cero por 3, por, 6 o 9 para que la suma de sus cifras siga dando un múltiplo de 3.Podemos tener tres respuestas:

15336 15636 15936

Como todos estos números terminan en 36, serán múltiplos de 4 también y son a la vez divisibles por 12.

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1. El cociente de un entero cualquiera x al dividirlo por 3 es 7. ¿Cuáles son los restos posibles? Deduzca cuales son los valores posibles para x.

2. La suma de dos números enteros a y b es 444. La división euclídea de a por b tiene como cociente 4 y como resto 24. Determine a y b.

3. La diferencia de dos números enteros a y b es a – b = 966. La división euclídea de a por b tiene como cociente 4 y como resto 60. Encontrar a y b.

4. ¿Cuántos números enteros positivos menores o iguales que 1000 son múltiplos de 5? 5. Indique cual será el residuo al dividir 901 + 902 + 903 + 904 entre 9. 6. ¿Cuál es el menor número que dividido por 2, 3, 4, 5 y 6 da respectivamente los restos a, 2, 3, 4, y 5? 7. El producto de tres números enteros consecutivos es siempre múltiplo de 6. Comprueba en

algunos casos y luego justifica por qué ocurre esto. 8. Dado el número 10802, ¿qué cifras hay que colocar en lugar de los ceros para obtener un número

divisible simultáneamente por 4 y por 9?

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Máximo común divisor En el siglo IV A.C. Euclides genial griego logró reunir los principales conocimientos matemáticos de su época. Todo lo relacionado con la aritmética lo expuso en los libros VII, VIII, IX, y X de sus elementos. Entre los curiosos datos aritméticos se encuentran en esa portentosa obra, aparece el método del Máximo Común Divisor (MCD) que no es más que el mayor de dos o más números que los divide a todos exactamente. La primera prueba indiscutible del conocimiento de los números primos, se remonta alrededor del año 300 A.C. se encuentra en los elementos de Euclides tomos VIII a IX. Euclides define los números primos y demuestra que hay infinitos de ellos. También define el Máximo común Divisor y el Mínimo Común Múltiplo y proporciona un método para determinar los que hoy en día se conoce como el Algoritmo de Euclides.

Métodos para calcular el MCD El máximo común divisor es un método utilizado para la factorización de los números, es decir, para conocer cuál es el divisor más grande que esos números tienen en común. A continuación se presenta el siguiente problema que debes resolver: Un mosaico está formado por ladrillos cuadrados con 54 y 36 ladrillos por lado. Queremos descomponerlo en trozos cuadrados iguales. ¿Cuál sería el mayor tamaño posible de estos trozos? Método de divisores comunes Para resolverlo es necesario calcular el MCD de 54 y 36, para ello es necesario determinar:

a) ¿Cuáles son los divisores de 54? b) ¿Cuáles son los divisores de 36? c) ¿Cuáles son los divisores comunes a 54 y 36? d) ¿Cuál es el mayor de los divisores comunes?

Encontrando los Divisores de 54: 1,2, 3, 6, 9, 18, 27 y 54 Divisores de 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 y 36 Los divisores comunes a 54 y 36 son: 1, 2, 3, 6, 9 y 18 A ese mayor de los divisores comunes se le llama Máximo Común Divisor.

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Como en este caso el mayor de los divisores comunes es 18, se dice que el MCD de 54 y 36 es 18. Lo que significa que el mosaico se puede descomponer en cuadrados iguales de 18 x 18, que es el mayor tamaño posible que pueden tener los trozos.

El máximo común divisor de dos números a y b se representa por (a, b). Este método consiste en calcular por separado los divisores comunes de ambos números para luego encontrar sus divisores comunes y luego el mayor de estos.

Método de restas sucesivas

Encontrar el MCD de 350 y 225, mediante el método de restas sucesivas: El proceso consiste en trabajar con los dos números, restando el menor del mayor hasta que ambos números sean iguales.

siendo el último resto el MCD, es decir 25

Ejemplo: Encontrar el MCD de (144,96) MCD=48

Ejemplo: Para calcular el MCD de 360 y 220:

El MCD es 20. Sin necesidad de conocer los divisores de a y b, y simplemente restando, aparece el máximo común divisor de a y b.

350 - 225 = 125

225 - 125 = 100

125 - 100 = 25 Como 100 es menor que 125 se resta de

este. 100 - 25 = 75 Como 25 es menor que 100 se resta de

este. 75 - 25 = 50

50 - 25 = 25

25 - 25 = 0

144 - 96 = 48 96 - 48 = 48

48 - 48 = 0

360 - 220 = 140

220 - 140 = 80 100 - 80 = 20 80 - 20 = 60

60 - 20 = 40

40 - 20 = 20 20 - 20 = 0

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Método de divisiones sucesivas o algoritmo de Euclides

El método consiste en efectuar con los números una serie de divisiones sucesivas. Es una forma muy sencilla de calcular el MCD de dos o más números. Trazamos unas rectas como las que tienes debajo:

Vamos a calcular el MCD (164,72). Estos dos números los colocamos en orden, primero el mayor número:

Ahora comienzas a dividir 164 entre 72 y ves que cabe a 2. El cociente lo colocas sobre 72. Como 72 x 2 = 144 le restas a 164, como si fuese una división normal, y el resto, que es 20, lo dejas debajo de 164. Lo tienes debajo:

El resto que nos ha quedado, 20, lo pasamos como nuevo divisor y continuamos haciendo la división:

Ahora tenemos que dividir 72 entre 20 y calculamos 3 como nuevo cociente que lo colocamos encima de 20. Al multiplicar 3 por 20 obtenemos 60 y lo restamos de 72. El resto, 12, lo situamos debajo de 72:

Pasamos el nuevo resto como siguiente divisor. Dividimos ahora 20 entre 12. El cociente que es 1 lo colocamos encima de 12. Al multiplicar 12 por 1 obtenemos 12 y lo restamos de 20 y el nuevo resto que es 8 lo situamos debajo de 12:

Colocamos el nuevo resto, 8, como siguiente divisor. Dividimos ahora 12 entre 8. El cociente que es 1 lo colocamos encima del 8. Al multiplicar 8 por 1 obtenemos 8 lo restamos de 12, dejando como resto 4, y este resto pasa como nuevo divisor:

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Ahora tenemos que dividir 8 entre 4 y el cociente que es 2 lo ponemos encima del 4. Como la división es exacta PORQUE EL RESTO ES CERO: EL ÚLTIMO DIVISOR QUE NOS HA QUEDADO ES EL MCD.

De este modo tan sencillo hemos calculado:

MCD (164, 72) = 4

Ejemplo: Calculamos por medio de las divisiones sucesivas el MCD (5293, 4757):

a) Dibujas las rayas. b) Colocas los números en las primeras celdas. c) Divides el número mayor entre el menor colocando el cociente encima del divisor. d) Cada resto distinto de cero lo pasas como nuevo divisor. Si es cero, se acabó. El último divisor es el

MCD.

Calculamos el MCD (5293, 4757) mostrándote el ejercicio resuelto:

1. Calcula el MCD (188, 82) por el método de divisiones sucesivas. Respuesta: 2. 2. Calcula el MCD (1025, 82) por el método de divisiones sucesivas. Respuesta: 41.

Por si has tenido dificultades tienes resueltos los dos ejercicios:

Algoritmo de la división

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Para calcular el MCD mediante el algoritmo de la división se hará aplicando el algoritmo de Euclides, sistematizando convenientemente el método anterior de diferencias sucesivas.

Se tienen dos números a y b donde a>b, para calcular el MCD de los números a y b mediante el algoritmo de Euclides, el primer paso que debemos de realizar es la división de a entre b en el numerador siempre tendremos el número de mayor tamaño, obtendremos el cociente q y el resto r y analizaremos el valor del resto obtenido:

Si el resto obtenido es igual a cero, entonces podemos afirmar que el MCD de los números a y b será b y aquí se habrá finalizado el procedimiento de Euclides, en cambio si el valor del resto obtenido es diferente de cero, se tendrá que plantear una nueva división. En esta nueva división el dividendo será el antiguo divisor, es decir, el número b y el divisor de la nueva división será el resto obtenido de la anterior división. Por ejemplo se desea encontrar el MCD (64, 28).

, 64= 28(2) + 8 28= 8(3) + 4 8 = 4(2) + 0

Quedando resto cero, se puede asegurar que el último divisor, que en este caso es 4, es el MCD de 64 y 28 Este resultado se puede comprobar utilizando el método tradicional de la factorización de ambos números.

Ejemplo 1: Para calcular el MCD de 1380 y 255:

1380 = 5 (255) + 105, 1380 entre 255 resulta 5(cociente) y de resto 105 255 = 2 (105) + 45; se divide 255 entre 105 y así sucesivamente 105 = 2 (45) + 15 45 = 3 (15) + 0 (1380:255) = 15

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Ejemplo 2: Calcular por divisiones sucesivas el MCD de 2310 y 98:

2310 : 98 = 23 de cociente y 56 de 1er resto 98 : 56 = 1 de cociente y 42 de 2o resto 56 : 42 = 1 de cociente y 14 de 3er resto 42 : 14 = 3 de cociente y 0 de 4o resto

Como el divisor 14 nos da un resto igual cero, es el MCD de los números dados. MCD (2310, 98) = 14

Ejercicio: Calcular por el algoritmo de Euclides el MCD de:

a) 36 y 24 b) 400 y 92 c) 280 y 150

Descomposición en factores primos El cálculo del máximo Común Divisor por descomposición de sus factores primos es uno de los más comunes, es decir uno de los casos que se utiliza con mayor frecuencia por los docentes y consiste en que si calculamos el MCD de los números a y b, se debe factorizar por separado cada número y luego se selecciona de ambos números los factores comunes afectados en su menor exponente y se multiplican, el producto obtenido es el MCD de ambos números. Recordar además que todo número se puede expresar, de manera única, como el producto de sus factores primos. Si los números a los que deseamos hallar el máximo común divisor son muy grandes o más de dos este procedimiento suele ser muy largo, es por eso que con más frecuencia se utilice el método por descomposición en factores primos que se expone a continuación: Determínenos para ello el máximo común divisor de los números naturales 1225 y 490. 1. Se descompone en factores a ambos números.

2. Escribamos un producto con los factores primos comunes, que son 5 y 7.

Cada factor se eleva al menor exponente que tenga en cada uno de los números En 1225 el 5 tiene exponente 2 En 490 el 5 tiene exponente 1, se escoge este 5 porque 1< 2 En 1225 el 7 tiene exponente 2 En 490 el 7 tiene exponente 2, se escoge este 72 ambos tienen el mismo exponente

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El máximo común divisor de dos números es el producto de los factores primos comunes elevados al menor exponente.

MCD (1225; 490) = 5 · 72 = 5 · 49 = 245

Si dos números sólo tienen como divisor común el 1 decimos que son primos entre sí, y entonces su Máximo Común Divisor es igual a 1.

Ejemplos de resolución de problemas aplicando el MCD 1. Tres barras de acero de 360, 480 y 540 centímetros hemos dividido en trozos de igual longitud (la

mayor posible). ¿Cuántos trozos hemos hecho y cuál es la longitud de cada uno? Respuesta: Solución: Tendremos que calcular el mayor número que puesto en el divisor, divida a la longitud de cada barra un número exacto de veces, es decir, el MCD (360, 480 y 540):

MCD (360, 480 y 540) = 60 El total de metros que miden las 3 barras es: 360 + 480 + 540 = =1380

El número de trozos será:

Resultado: 60 metros cada trozo y 23 trozos en total

2. Al dividir a 38 y 43 por un cierto número se obtienen 2 y 3 como restos de las divisiones. ¿Cuál es el

mayor divisor común para esos dos números que cumple con esta condición de dar 2 y como restos? Respuesta: Solución: Si divides 12 entre 5 verás que la división no puede ser exacta. Te queda un resto, en este caso, el resto es 2. Si al dividendo (12) le restas o le quitas el resto (2) el cociente es exacto. Si a 12 le quitas 2 te queda 10 y 10 es divisible entre 5. Volvemos al problema: Si a 38 le quitas 2: 38 – 2 = 36. Si a 36 le dividimos por ese número desconocido, la división es exacta y 36 es múltiplo de este divisor. Si a 43 le quitas: 43 – 3 = 40. Si a 40 le dividimos por ese divisor desconocido, la división es exacta. Ahora tienes que calcular el mayor divisor común a 40 y 36:

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Resultado: Vemos que el MCD

3. Si tienes tres barras de hierro que miden 40, 60 y 80 metros respectivamente y las divides en trozos

de igual longitud, pero que ésta sea la mayor posible. ¿Cuántos trozos conseguirás y cuál será la longitud de cada trozo? Respuesta: Solución: Tenemos que buscar un número, el más grande posible, que colocado como divisor, al hacer las divisiones de 40, 60 y 80 entre ese número, el resto sea cero. Calculamos el máximo divisor que sea común a esos tres números:

El MCD metros cada trozo.

El mayor divisor común a 40, 60 y 80 es 20. Cada trozo mide 20 metros. Para saber el número de trozos que podemos sacar, calculamos la longitud total de metros que tienen las tres barras: 40 + 60 + 80 = 180 metros. Si cada trozo mide 20 metros, el número de trozos será:

trozos

Resultado: Cada trozo mide 20 metros. Número de trozos: 9.

Propiedades del Máximo Común Divisor

1ª Propiedad. Todo número divisor común de dos o más números, es divisor del MCD de estos. En efecto determinemos los divisores comunes de 12, 24 y 36, tendremos:

(12, 24, 36): 1, 2, 3, 4, 6 y 12 son sus divisores comunes y el mayor de ellos es 12; pero a la vez se observa que 1, 2, 3, 4, y 6 son también divisores de 12, que es el MCD de 12, 24 y 36.

2ª propiedad. Si se multiplica dos números por un mismo número, el MCD de ellos queda multiplicado por el mismo número.

Ejemplo: Sean dos números 18 y 24 cuyo MCD es 6

18 = 6 x 3 24 = 6 x 4

Multiplicando estas dos igualdades por 5:

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18 x 5 = 6 x 3 x 5 = (6 x 5) x 3 24 x 5 = 6 x 4 x 5 = (6 x 5) x 2, observar que el MCD de ambos números queda multiplicado también por 5.

3ª propiedad. Si se divide dos números por un divisor común a ambos. Su MCD que dará también dividido por dicho número.

Ejemplo: sean los números 24 y 36 cuyo MCD es 12

24 = 12 x 2 y 36 = 12 x 3

Dividiendo ambas igualdades por 6

24/ 6 = 12 x 2/6 36/6 = 12 x 3/ 6

Ejercicios y problemas 12 1. ¿Cuál es el MCD de dos números primos? 2. Si a y b son divisores de m, ¿son a b, a + b, o a –b necesariamente divisores de m? 3. Si a y b son primos entre sí:

a) ¿Cuál es su MCD? b) ¿Serán primos entre si a2 y b2? Y ¿lo será, a y b3?

4. Un mosaico está formado por pequeñas piezas cuadradas, llamadas ladrillos. El mosaico de 540 ladrillos en un lado y 360 en el otro. Queremos descomponerlo en trozos cuadrados iguales.

a) ¿Cuál el mayor tamaños de estos trozos? b) ¿Con cuántos cuadrados distintos podríamos descomponer exactamente l mosaico?

5. Se quiere cubrir con baldosas cuadradas una habitación de 4.20 m de largo por 2.24 m de ancho. ¿Cuál es el máximo tamaño posible de las baldosas?

6. Hallar dos números cuyo producto sea 7007 y su MCD 7. 7. El producto de dos números es 10,000. Si ninguno de ellos tiene ceros, ¿cuáles son esos dos números? 8. Un vendedor de frutas tiene 300 kg de naranjas y 140 kg de manzanas, quiere colocarlos en bolsas

iguales. ¿Cuántos kilogramos podrá introducir como máximo en cada bolsa y cuantas bolsas necesitará para cada fruta?

9. Se tienen tres tablas cuyas longitudes son 240, 400, y 560 cm respectivamente. Se desea dividirlas en pedazos iguales y de la mayor longitud posible sin que a ninguna de ellas le sobre ni le falte nada.

a) ¿Cuál deberá ser la longitud de cada pedazo? b) ¿Cuántos pedazos habrá en total?

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Mínimo común múltiplo

Conceptos La importancia del mcm y del MCD radica en la aplicabilidad y en la resolución de diversos tipos de problemas matemáticos. Una de sus mayores aplicaciones la podemos percibir en la suma y resta de números racionales de diferentes denominadores, y aún en cálculo superior es muy frecuente su uso. Otro uso que se le dio es que fue utilizado por los astrofísicos o investigadores de astronomía, antes de la aparición de las computadoras fue para calcular la coincidencia de encuentros de linealidad entre uno a varios planetas, es decir para calcular en qué período de tiempo podrían encontrarse en la misma línea de visión

¿Sabías qué? No se olvidó Euclides en sus Elementos de ofrecer un método para la resolución del Mínimo Común Múltiplo, para lo que propuso la siguiente regla “El producto de dos números dividido entre el MCD de ambos números, da el mcm

El problema que se presenta a continuación es un ejemplo de lo dicho anteriormente. Problema: Tres barcos salen de un puerto: el primero cada dos días, el segundo cada seis días y el tercero cada ocho días. Si salieron juntos el 1 de mayo, ¿qué día volverá a salir juntos por primera vez? Solución: Para saber qué día vuelven a salir juntos hallamos el mcm de 2, 6 y 8, descomponiéndolos en factores primos:

2 = 2 x 1 6 = 2 x 3 x 1 8 = 23 x 1 mcm = 23 x 3 = 24 días más tarde

Vuelven a salir juntos el 25 de mayo.

Múltiplos de un número

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Si deseamos obtener los múltiplos de 4, por ejemplo, debemos recordar las clases residuales de dividir por 4 donde los múltiplos de 4 son de la forma 4n, así: Si se multiplica 4 x 1 = 4, 4 x 2 = 8, 4 x 3 = 12, 4 x 4 = 16… De modo que los primeros 10 múltiplos de 4 son: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40. Ejercicio: ¿Cuál será el múltiplo número 57?, y ¿el múltiplo número 845? Por lo tanto:

Los múltiplos de un número son los números que obtenemos cuando multiplicamos ese número por cada uno de los números naturales.

Encontrar los primeros quince múltiplos de 5, 6, 7, y 15. Ejemplo: Con el siguiente problema, determinar los múltiplos de los números incluidos en él y su mínimo común múltiplo: Juan vende pan y llega a la tienda cada 5 días, el repartidor de gaseosa llega cada 4 días, si este día llegan juntos. ¿Cuándo volverán a coincidir? Para resolver este problema es preciso obtener algunos múltiplos de 4 y de 5 y encontrar el menor se ellos, el cual constituye el mínimo común múltiplo de ambos. Siendo esta una forma de calcular el mcm de dos o más números. 1ª. Forma de calcular el mcm Listemos los múltiplos de los dos números:

Múltiplos de 5: 10, 15, 20, 2 , 30, 3 …

Múltiplos de 4: 8, 12, 16, 20, 24, 28…

Siendo 20 el menor de los múltiplos comunes, significa que Juan y el repartidor de gaseosa volverán a coincidir en 20 días. Si hoy es 15 de enero, volverán a coincidir el 4 de febrero. DEFINICIÓN

El mínimo común múltiplo (m.c.m. o mcm) de varios números es el menor de sus múltiplos comunes. 2ª forma. Factorizando los números

Tomamos todos los factores (comunes y no comunes) elevados a los mayores exponentes. El mcm es el producto de los factores anteriores

Ejemplo: Encontrar el mcm de 24, 36 y 40:

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Los factores son: 2, 3, y 5 elevados a los mayores exponentes (dentro de un recuadro) serían: 23, 32, 5 Multiplicando los factores anteriores se obtiene el mcm:

3ª. Forma. Calculando los múltiplos de dos o más números por descomposición simultánea de los números en sus factores primos.

Donde se busca factores por los cuales son divisibles cada uno de los números proporcionados, hasta que los reduzcamos todos a la unidad. Luego se multiplican entre sí todos los factores primos y su producto constituye el MCM de los números dados. Así. 2 x 2 x 3 x 3 = 36, significa que el MCM de 12, 18, 36 = 36 Esta última forma de calcular el MCM se detalla paso a paso a continuación. Ejemplo: Utilizar una cuadrícula de factores comunes para calcular el m.cm. de 18, 12 y 30.

1. Escriba los números en la parte superior de la cuadrícula. Deje un pequeño espacio a la izquierda de los números y deje el espacio que sea posible debajo de los mismos. Supongamos que va a trabajar con los números 18, 12, y 30. Simplemente escribe cada número en su propia casilla de la cuadrícula.

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2. Escribe el mínimo factor común primo de los números en el espacio a la izquierda. Solamente busca el factor primo más pequeño (como 2, 3 o 5) que puedas sacar de todos los números. Todos son pares, así que puedes utilizar el 2.

3. Divide cada número por el factor común primo. Escribe el cociente debajo de cada número. Así es cómo debes hacerlo:

18/2 = 9, escribes 9 debajo del 18. 12/2 = 6, escribes 6 debajo del 12. 30/2 = 15, escribes 15 debajo del 30.

4. Repite el proceso de sacar y dividir por el mínimo factor común, hasta que no haya más factores comunes. Repite el proceso de los pasos anteriores solo que esta vez utilizas los números 9, 6 y 15.

5. Obtén el mínimo factor primo de estos números. 3 es el mínimo factor primo (o el número primo más bajo), que es divisible por todos los números.

6. Divide los tres números por 3, y escribe el resultado debajo de cada número.

7. Multiplica todos los números de la primera columna (que contiene los factores primos comunes) con los números en la parte inferior de todas las otras columnas. Este será el MCM. En este ejemplo, el producto de la columna de factores comunes es 6 (2 x 3). Multiplica 6 por los números en la parte inferior de las otras columnas: 6 x 3 x 2 x 5 = 180.

El MCM de 18, 12, y 30 es 180.

http://es.wikihow.com/Imagen:Find-the-Least-Common-Multiple-of-Two-Numbers-Step-10Bullet2.jpg

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8. No habiendo más factores primos en común se multiplica los dos números o factores de la izquierda por los valores sobrantes debajo de los números 2x3 x3x 2x5 = 180

4ª. Forma. Otra forma de calcular el mínimo común múltiplo es utilizando la recta numérica en la que se ubica arriba de la tabla numérica los múltiplos del primer número que se pide y en la parte de abajo los múltiplos del segundo número, se trata de ubicar aquellos múltiplos en los que ambos coinciden, el menor de ellos se convierte en el mínimo común múltiplo buscado.

Como puedes ver en esta línea de números, el primer múltiplo que coincide es el 15. Respuesta: 15

En el caso mostrado le mcm de 3 y 5 es 15, se evidencia en la recta numérica que es el menor de los múltiplos comunes a ambos números.

Cálculo del mcm conociendo el MCD y a la inversa La relación más importante entre el MCD y el MCM es que el producto del máximo común divisor y el minino común múltiplo de dos números enteros positivos es igual al producto de dichos números. Esta relación es razonable debido a que para obtener el mcd tomamos la potencia mínima de un factor primo y para obtener el mcm tomamos la potencia máxima, entonces es claro que el producto del mcd por el mcm es el producto de los números a, b. De manera general: si a, b son dos números naturales, se cumple que (a, b) <a, b> = a. b, siendo (a, b) el MCD y <a, b> el mcm siendo esta una relación muy importante. Eso significa que conociendo el MCD de dos números puede ser obtenido fácilmente el mcm de los mismos. Ejemplo 1:

El MCD de 18 y 24 es 6

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El mcm de 18 y 24 es 72 (18,24)<18,24> = 18 x 24 6 x 72 = 432

¿Cómo encontrar el valor del MCD cuando se conoce el mcm de dos números a y b?

MCD mcm = a x b 72 = 432

X 72 = 432 X = 432/ 72 X = 6, siendo 6 el MCD

También a partir del MCD y del mcm podemos encontrar ambos números. Ejemplo 2: ¿Cuáles son los números cuyo MCD es 6 y su mcm es 72? Se procede a multiplicar los valores del MCD y del mcm aplicando la primera propiedad 72 x 6 = 432. Luego se descompone el 432 en sus factores primos y a través de ellos encontrar los números buscado. Ejemplo 3: ¿Cuál es el mcm de dos números cuyo MCD es 12 y su producto 4320? Aplicando la propiedad de la relación entre MCD y mcm se tiene:

12 = 4320 12 X = 4320 X = 4320/ 12 X = 360, siendo 360 el mcm

Averigüe cuales son los números.

Problemas resueltos sobre mcm y MCD María quiere dividir una cartulina de 40 cm de largo por 30 cm de ancho, en cuadrados iguales, tan grandes como sea posible de forma que no le sobre ningún trozo de cartulina. ¿Cuánto medirá el lado de cada cuadrado? Solución: Lo haremos utilizando el MCD y vamos a explicar por qué. 1º Para que no le sobre ningún trozo, calculamos los divisores del 40 y del 30: Divisores del 40: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20 y 40 Divisores del 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 y 30 2º Como el ancho y el largo de un cuadrado son iguales, buscamos los divisores comunes:

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Divisores comunes del 40 y del 30: 1, 2, 5 y 10. 3º Para que el cuadrado sea tan grande como se pueda, escogemos el máximo divisor común: MCD (30, 40) = 10 Respuesta: Cada cuadrado tendrá 10 cm de lado.

Ejercicios y problemas 13 1. Un faro se enciende cada 12 segundos, otro cada 18 segundos y un tercero cada minuto. A las 6.30 de

la tarde los tres coinciden. Averigua las veces que volverán a coincidir en los cinco minutos siguientes. 2. ¿Cuál es el menor número que al dividirlo separadamente por 15, 20, 36 y 48 en cada caso dar de resto 9? 3. Juan tiene gripe y toma un jarabe cada 8 horas y una pastilla cada 12 horas. Acaba de tomar los dos

medicamentos a la vez. ¿De aquí a cuántas horas volverá a tomárselos juntos? 4. Tres autobuses internacionales de Guatemala, Nicaragua y Costa Rica coincidieron este día, 21 de

agosto, en la Terminal de buses en San Salvador. Si cada uno de ellos viene al país cada 7, 15, y 30 días respectivamente:

a) ¿Dentro de cuántos días volverán a coincidir la próxima vez? b) ¿Qué fecha será el día en que vuelvan a coincidir?

5. Un cierto número es divisible por 3 y también por 5. Cuándo se divide po7, el residuo es 4. ¿Cuál es el

número que satisface esta condición? 6. Cinco aeronaves parten de un mismo punto y giran alrededor de La Tierra, siguiendo la misma órbita.

Una la cumple en dos días, otra en tres días, otra en seis, otra en ocho y la última en treinta y seis días. ¿Cuántos días transcurrirán hasta que se vuelvan a encontrar todas en el mismo punto?

7. Hallar dos números tales que su MCD sea 36 y su mcm 5148. 8. Tres barcos salen de un puerto: el primero cada dos días, el segundo cada seis días y el tercero cada

ocho días. Si salieron juntos el 1 de mayo, ¿qué día volverá a salir juntos por primera vez? 9. En una ciudad hay un paseo con árboles y bancos. Cada 12 metros hay un árbol plantado. Los bancos

distan entre sí 16 m. En el comienzo del paseo hay un árbol y un banco juntos.

a) Posiciones de los árboles, contando en metros desde el comienzo: 0, 12, 24… Continúa hasta los 100 metros.

b) Posiciones de los bancos: 0, 16, 32… Continúa hasta los 100 metros.

¿Cuándo vuelven a coincidir, por primera vez, un árbol y un banco? ¿Cada cuántos metros se repite esta coincidencia?

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Página Web: Algoritmos ABN. Por unas matemáticas sencillas, naturales y divertidas Enlace: http://goo.gl/NTxvBU

Descripción: Es un blog en el que se presen la difusión de materiales escolares, la colección de libros de texto para toda primaria. Muestra que es posible calcular de otra manera: más motivadora, más fácil, más conectada con el pensamiento de los niños, más adaptada a sus futuras necesidades. En definitiva, del modo más eficaz para que los alumnos alcancen competencia matemática.

Página Web: Matemática para todos Enlace: http://goo.gl/18GLYr

Descripción: Colección de fascículos que presentan la matemática en sus múltiples facetas, con un lenguaje sencillo y directo, apoyado en cientos de imágenes y gráficos de impactante colorido que ilustran los diversos conceptos desarrollados y muestran que la matemática está presente en la naturaleza, en la casa, en el mercado, en los juegos de los niños, en el deporte, en la geografía, en fin, en nuestra vida cotidiana.

Documento: Aritmética, teoría, conceptos, ejercicios resueltos y propuestos. Enlace: http://goo.gl/foUE2P

Descripción: Manual que condice al lector de una manera didáctica a lo largo de la asignatura, pasando de lo más sencillo a lo más complejo con numerosos ejercicios resueltos y propuestos.

Documento: Problemas de razonamiento matemático y cómo resolverlos Enlace: http://goo.gl/eqHGQx

Descripción: El documento plantea hábitos de lógica y de razonamiento que estimulan el pensamiento por medio de la resolución de problemas previamente clasificados.

Documento: Libro de oro de matemáticas Enlace: http://goo.gl/kXBqpV

Descripción: Un libro que trata sobre las situaciones curiosas y prácticas que aborda la Ciencia Matemática: desde la música hasta las máquinas contadoras, pasando por la trigonometría, la geometría y la reproducción de conejos.

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Vídeo: Donald en la tierra mágica de la matemática Enlace: https://goo.gl/crcbGl

Descripción: En este video (27:26), Donald hace un recorrido por el mundo histórico de las matemáticas, conociendo los conceptos y valorando la importancia de los aportes matemáticos en el desarrollo de la historia de la humanidad.

Unidad 1. Potenciación Página Web: Las potencias Enlace: http://goo.gl/lPTgOU

Descripción: Conceptualiza la potenciación utilizando para ello situaciones comunes como el árbol genealógico, la representación de la cantidad de objetos como lápices, monedas de acuerdo a los montones que hay de cada uno de ellos.

Video: Exponentes y potencias explicaciones para niños de primaria Enlace: https://goo.gl/tgHdCS

Descripción: En este video (2:37:45) se presenta la conceptualización de exponenciación, los nombres de los elementos, las s propiedades y las operaciones de la potenciación.

Video: Las aventuras de Troncho y Ponchmanidado: Potencias Enlace: https://goo.gl/xSZepo

Descripción: Animación (9:11) en la que se conceptualizan las potencias, sus elementos, sus propiedades y hay una evaluación de lo que se haya aprendido.

Unidad 2. Números primos y compuestos Presentación: La criba de Eratóstenes Enlace: http://goo.gl/sXNlZT

Descripción: Muestra el uso de la criba de Eratóstenes dejando clara esta técnica para enseñar los números primos.

Programa interactivo: Múltiplos y divisores Enlace: http://goo.gl/N7VEuV

Descripción: Presenta la conceptualización y ejercicios interactivos de múltiplos, divisores, números primos y la descomposición en factores primos. Se evalúa en forma interactiva el aprendizaje de los contenidos.

https://goo.gl/crcbGl

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Programa interactivo: Divisibilidad. Cálculo de múltiplos Enlace: http://goo.gl/DdIlxt

Descripción: Se aprende sobre múltiplo y divisor, Cálculo de múltiplos, cálculo de divisores, números primos y reglas de divisibilidad utilizando juegos como grupos iguales, la máquina de refrescos, bingos numérico, tiro al múltiplo, tiro al divisor, el constructor, elige las opciones correctas, la prisión de los números, el colegio de los primos, la caja fuerte, pesca de patos, falso o verdadero y completa la frase.

Página Web: Determinación geométrica de los números primos y perfectos. Enlace: http://goo.gl/sZ021s

Resumen: En este breve ensayo se describe la geometría que determina la distribución exacta de los números primos y también de los números perfectos. Se ilustra el texto con 16 diagramas originales dibujados (o borroneados) por el autor. A continuación se repasan algunos conceptos básicos sobre números naturales, luego se muestra el modelo principal y algunos de sus derivados con formas recreativas, posteriormente se construye una función sencilla que genera la serie de números primos y por último se describe el patrón geométrico de los números perfectos.

Unidad 3. Algoritmo de la división

Presentación: Sistemas de numeración Enlace: http://goo.gl/GuDEt6

Descripción: Plantea Sistemas de numeración (binario, octal, hexadecimal, decimal) y la conversión de uno a otro sistema de numeración.

Programa interactivo: Divisibilidad por 11 Enlace: http://goo.gl/YXcbLD

Descripción: Es un software sobre una evaluación interactiva de la divisibilidad por 11, presentando una amplia diversidad de ejercicios.

Programa interactivo: Criterios de divisibilidad Enlace: http://goo.gl/qrHWYs

Descripción: Ofrece ejercicios para practicar la divisibilidad de cada número y se incluyen videotutoriales que muestran cómo usar el programa.

Unidad 4: Máximo común divisor

Página Web: Máximo común divisor Enlace: http://goo.gl/6SQqPO

Resumen: El máximo común divisor es un método utilizado para la factorización de los números, es decir, para conocer cuál es el divisor más grande que esos números tienen en común (el que se repite, para entendernos). Para hallar esto utilizaremos el método de descomposición en factores primos, existen otros, pero este es el más básico y sencillo.

http://goo.gl/DdIlxt

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