Dos modelos de distribución de viajes

7/25/2019 Dos modelos de distribucin de viajes

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Modelos de Distribucin de Viajes

El hecho de poder modelar en forma adecuada la

etapa de distribucin de viajes, es un requisito funda-

mental para poder realizar una planificacin eficiente yrealista de un sistema de transporte. Conocido es que el

resultado fundamental de esta etapa es la obtencin de

las matrices origen-destino, normalmente desagregadas

por tipo de persona, motivo del viaje y hora del da.

Un primer estadio de modelos de distribucin lo com-

ponen aquellos fundamentados en la existencia de unamatriz de viajes base, generalmente obtenida de un estu-

Revista de Obras Pblicas/Enero 2006/N 3.462 3333 a 40

Dos Modelos de Distribucin de Viajes: Modelo deEntropa (Hyman) versus Triproporcional a travs deuna aplicacin en la Ciudad de Concepcin (Chile)

Recibido: abril/2005. Aprobado: noviembre/2005Se admiten comentarios a este artculo, que debern ser remitidos a la Redaccin de la ROP antes del 30 de marzo de 2006.

Resumen: En este artculo se revisan y se comparan dos modelos de distribucin de viajes, analizando lospuntos fuertes y dbiles de cada uno de ellos, fundamentando dicho anlisis en una aplicacin practica

con datos reales de la ciudad chilena de Concepcin.Los dos modelos a analizar son: un Modelo de Maximizacin de Entropa, utilizando el mtodo de Hyman en

el cual los balanceos entre filas y columnas son proporcionados por la metodologa de Furness, y un Modelo

Triproporcional.

Para un adecuado anlisis, estos modelos se han programado, resultando una aplicacin informtica que

permite evaluar ambos modelos con distintos valores en sus parmetros y obtener diferentes matrices de

Distribucin de Viajes. A partir de los datos provenientes de una Encuesta Origen Destino (EOD) en la Ciudad

de Concepcin y de la informacin sobre los niveles de servicio promedio interzonales para cada modo de

transporte se presentan conclusiones.

Abstract: In this paper, two models of distribution of trips are revised and compared, analyzing the strong andweak points of each one of them, basing this analysis in an application practices with real data of City of

Concepcin (Chile).

The two models to analyze are: a Model of Maximization of Entropy, using the method of Hyman in which the

swingings between lines and columns are provided by the methodology of Furness, and a Model

Triproportional.

For an appropriate analysis, these models have been programmed, generating a software application that

allows to evaluate both models with different values in their parameters and to obtain different matrix of

Distribution of Trips. Starting from the data coming from a Survey Origin Destination (EOD) in City of

Concepcin and with the information on the levels of service average for each mode of transport,conclusions they are presented.

Jose Luis Moura Berodia (a). Dr. Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos. [email protected] Ibeas Portilla (a). Dr. Ingeniero de Caminos, Canales y PuertosLuigi dellOlio (b). Ingeniero Civil y Dr. Ingeniero de Caminos, Canales y Puertosngel Vega Zamanillo (a). Dr. Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos(a) Departamento de Transportes y Tecnologa de Proyectos y Procesos. Universidad de [email protected](b) Departamento de Ingeniera Civil. Universidad de Burgos. Burgos.

Palabras Clave: Modelos de Demanda, Transporte y Movilidad Urbana, Modelos de Distribucin de Viajes

Keywords: Transport Demand Models, Transport and Urban Mobility, Trips Distribution Models

Ciencia y Tcnica

Two Models of Trips Distribution: Entropy Model versus Triproportional Model.Application in the city THE City de Conception (Chile)

de la Ingeniera Civil


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dio anterior. Estos son los denominados Modelos de Fac-

tor de Crecimiento, en los cuales a partir de informacinrelativa a crecimientos estimados de los propios viajes o

de alguna variable de tipo socioeconmico (poblacin,

tasa de motorizacin, renta,) se determinan los factores

de expansin o crecimiento a aplicar a la matriz original.

Las ventajas de estos mtodos se sintetizan en: facilidad

de manejo, soluciones obtenidas en pocas iteraciones y

buenos resultados a corto plazo. Por contra son inaplica-

bles en aquellas reas de estudio donde se prevea cam-

bios significativos en la red o en los usos del suelo. Por otro

lado, al aplicar los coeficientes de crecimiento los viajes

se multiplican pero la estructura de la matriz se mantiene,

por lo que un posible error en una celda no se corrige si-

no que se magnifica. Modelos dentro de este grupo son:

Mtodo del Factor Uniforme, Mtodo del Factor Prome-

dio, Modelos de Detroit y Modelo de Fratar (Ortzar,

1998).

Otro importante grupo de modelos de distribucin son

todos aquellos basados en analogas con el modelo de

gravedad. El modelo de gravedad ms general (Ortzar,1998), y uno de los de primera aparicin, se puede repre-

sentar por:

(1)

Con:

(2)

(3)

Conocido como Modelo de Gravedad Doblemenete

Acotado, donde:

Oi = Viajes originados en la zona i.

Dj= Viajes atrados en la zona j.d-n = distancia entre la zona i y j.

Un posterior avance en estos primeros modelos gravi-

tacionales fue sustituir la distancia entre las zonas, que

funcionaba relativamente muy bien en estudios de trans-

porte interurbano pero no as en mbitos urbanos donde

la congestin anula la representatividad de dicha impe-

dancia, por una funcin de coste generalizado.

Como ejemplo de este tipo de modelos esta la cono-

cida formulacin del BPR, en la cual se utilizan unos fac-tores Fij denominados funcin de separacin espacial.

Los valores que toma esta funcin de separacin depen-

den de alguna variable de impedancia como la distan-

cia, el tiempo o el coste generalizado. Por regla general

son funciones decrecientes de tipo exponencial y son di-ferentes para cada motivo de viajes estudiado.

A medida que los modelos de demanda de transpor-

te, y en consecuencia tambin los de distribucin de via-

jes, centraban su mbito de actuacin en reas urbanas,

se fue incluyendo el estudio de diferentes tipos de usua-

rios, por ejemplo usuarios con y sin acceso a auto. Asimis-

mo el mbito urbano tambin provoc el estudio simult-

neo de varios modos de transporte.

Ante este amplio escenario descrito, este artculo se

focaliza en definir y estudiar dos nicos modelos que re-

copilen estas ltimas observaciones. Es por ello que se

analiza: un Modelo de Maximizacin de Entropa, utilizan-

do el mtodo de Hyman en el cual los balanceos entre fi-

las y columnas son proporcionados por la metodologa

de Furness, y un Modelo Triproporcional. En ambos casos

se tienen en cuenta dos tipos de usuarios (con y sin acce-

so a auto) y cuatro modos de transporte (auto, bus, taxi y

taxi colectivo).

Paralelamente al desarrollo terico de ambos mode-los, estos se aplican al caso de la ciudad chilena de

Concepcin, donde a partir de los datos provenientes de

una Encuesta Origen Destino (EOD) y de informacin so-

bre los niveles de servicio para cada modo de transporte

se obtienes resultados y conclusiones.

Clculo de costes generalizados

y Costes compuestos

Previamente a la especificacin de los modelos a es-

tudiar es conveniente hacer referencia a las variables de

impedancia seleccionadas. Al tratar de evaluar dos tipos

de usuarios y cuatro modos de transporte, se recurre a es-

pecificar los conocidos costes compuestos de viaje. Estos

ltimos se forman a partir de los costes generalizados de

cada modo de transporte, los cuales vienen definidos por

funciones de coste generalizado como la siguiente (apli-

cadas al ejemplo prctico en Concepcin):

(4)

Siendo:

Ck = Coste generalizado entre la zona i y la zona j para el

tipo de usuario k (con o sin auto).

Coste = En el modo Bus y el modo Taxi Colectivo es la tari-

fa del mismo. En el caso de los modos auto y taxi, es una

valor proporcional a la distancia recorrida.tviaje = tiempo de viaje desde la zona i a la zona j para el

tipo de usuario k. Esta informacin esta disponible para to-

dos los modos estudiados (Auto, Bus, Taxi y Taxi Colectivo).

Cijk = Coste + tv tviaje + te tespera + tc tcami

Bj =1

Ai Oi dijn

i

Ai =1

BjDj dijn

j

Vij = Ai OiBjDj dijn

J. L. Moura Berodia, A. Ibeas Portilla, L. dellOlio, A. Vega Zamanillo

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ij

ij


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tespera = tiempo de espera para viajes desde la zona i a

la zona j para el tipo de usuario k. Esta informacin estadisponible nicamente para los modos estudiados Bus y

Taxi Colectivo.

tcami = tiempo de caminata para viajes desde la zona i

a la zona j para el tipo de usuario k. Esta informacin esta

disponible nicamente para los modos estudiados Bus y

Taxi Colectivo.

tv = parmetro valor del tiempo de viaje.

te = parmetro de valor del tiempo de espera.

tc = parmetro de valor del tiempo de caminata.

Como se menciono anteriormente, para poder desa-

rrollar los modelos de distribucin de viajes, se necesita

conocer el valor del costo compuesto para cada uno de

los pares (i, j) y diferenciados por tipo de usuario. Este he-

cho se debe a que el costo compuesto representa el

costo en los casos que existe ms de un modo para el

par (i,j).

Por lo tanto una vez obtenido el coste generalizado

para cada uno de los modos disponibles, se debe calcu-

lar el coste compuesto Cij que viene dado por la siguien-

te expresin logsum (Williams, 1976):

(5)

Llegados a este punto se debe proceder a calcular

el valor de n para cada uno de los dos tipos de usua-

rios definidos, como as tambin se debe encontrar las

constantes especficas k para cada modo, constantes

que sirven para que el modelo replique de forma cer-

tera las proporciones de mercado en que se utiliza ca-

da modo.

Como se puede apreciar, el hecho de poder resol-

ver este modelo de particin modal agregada es ms

bien un requisito indispensable para poder seguir con

la especificacin de los modelos de distribucin de via-

jes, ya que los costos compuestos para cada par (i,j) y

por tipo de persona son imprescindibles para poder

generar dichos modelos.

No debe dejarse de lado el hecho de que para re-

solver esta situacin debe siempre fijarse la constante

especfica de uno de los modos en cero de manera de

encontrar la de los otros modos como una diferenciacon respecto a la asignada como base.

Dichos parmetros son factibles de obtener utilizan-

do la transformada de Berkson-Theil.

(6)

Tomando logaritmos en la anterior expresin,

(7)

estamos en disposicin de aplicar regresin lineal para

obtener las penalidades modales k*n

y el valor del par-

metro . Destacar que en esta regresin lineal se debe to-

mar un modo como referencia para el clculo de los co-

cientes de viajes y las diferencias de costes generalizados

de (7), as como hacer uso de variables mudas ya que

son varios los modos de transporte estudiados (en el

ejemplo practico: Auto, Bus, Taxi y Taxi Colectivo).En resu-

men, con los datos relativos a Concepcin, los valores fi-

nalmente encontrados se muestran en la Tabla 1.

Estos datos, hacen que ahora sea posible calcular los

costos compuestos para cada par de zonas, mediante el

uso de la frmula (5). Datos imprescindibles para proce-

der a calibrar los modelos de distribucin de viajes.

Modelo de maximizacin de entropa

doblemente acotado

Entendiendo entropa como probabilidad y relacio-

nada con la incertidumbre respecto a la informacin de

que dispone el analista, se distinguen los siguientes esta-

dos:

Estados micro: Viajes de un individuo desde un ori-

gen i a un destino j. Estados meso: Los viajes realizados desde i a j. {Vij}

Estados macro: Nmero de viajes generados y atra-

dos por cada zona. O i y Dj.

logVijK*n

VijK n

=

n CijK*n Cij

K n( ) n k*n

PijK*n

PijK n

= exp n Cijk*n Cij

k n + k*n( )( )=

VijK*n

Vijkn

k

VijK n

Vijkn

k

=Vij

K*n

VijK n

Cijn =

1

nln exp n Cij

k + k( )( )k

Dos Modelos de Distribucin de Viajes: Modelo de Entropa (Hymann) versus Triproporcionala travs de una aplicacin en la Ciudad de Concepcin (Chile)

Revista de Obras Pblicas/Enero 2006/N 3.462 35

Para el caso de usuarios Para el caso de usuariossin acceso a auto con acceso a auto

-0,002806 -0,00093

auto -314,05 111,80

taxi 0 0

taxiColectivo -30,74 -114,06

bus 0 0

Tabla 1. Valores finales de las penalidades modales my el valor del parmetro para Concepcin


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La esencia del mtodo se fundamenta en la hiptesis

de que todos los estados micro son igualmente proba-bles. El nmero de estados micro asociados con un esta-

do meso (Wilson, 1971) esta dado por:

(8)

En que V es el total de viajes y las nicas matrices Vij

que se permiten son las que satisfagan las restricciones

del estado macro Oi y Dj.

(9)

As, en un estado macro, compuesto por estados me-

so, los que a su vez se componen de estados micro, y utili-

zando la aproximacin de Stirling para poder realizar la

maximizacin de la probabilidad (mximo numero de es-

tados micro), es posible obtener el modelo conocido co-mo modelo gravitacional doblemente acotado, dado

por la expresin:

(10)

Para llegar a esta expresin para el nmero de viajes

que van desde i hacia j, es necesario aadir, durante el

proceso de maximizacin (aplicando la funcin lagran-

giana), la siguiente restriccin referente a costes:

(11)

Como se puede detectar, es esencial contar con un

valor para el parmetro de manera de poder encontrar

los Vij. Este parmetro se calcula con el Metodo de Hy-

man (Ortzar, 1998).

Mtodo de Hyman

Es importante sealar que este es un procedimiento

que es utilizado para calibrar el modelo para un solo tipo

de usuario en el caso de tener la informacin desagrega-

da. Es decir, al tener dos tipos de usuarios se hace nece-

sario realizar dos veces el procedimiento detallado a

continuacin.

La informacin necesaria que este mtodo requiere,

corresponde a la matriz de viajes de la muestra y la ma-triz de costes generalizados. Estas matrices estn divididas

por tipo de usuario.

El proceso iterativo se puede sintetizar en la Figura 1.

En resumen, el mtodo consiste en dos procesos itera-

tivos, uno dentro del otro, que buscan un valor de , ba-lanceando la matriz para luego tomar otro valor de y

volver a balancear hasta que se logre igualar los costos

medios de la ltima iteracin con la de la matriz de cos-

tos original.

Modelo Gravitacional como

problema Triproporcional

Con el fin de explicar el funcionamiento de este mo-

delo es necesario recalcar que el procedimiento tiene

cierta similitud con el mtodo bi-proporcional de balan-

ceo utilizado dentro del procedimiento de Hyman para

calibrar el modelo anterior.

Es posible realizar una generalizacin del modelo, tal

que:

(12)

Ahora bien, si no se hipotetiza una forma especial pa-

ra n(Cij), se puede considerar el problema como tri-pro-

porcional. Para esto, primeramente se divide los costes

entre zonas en k intervalos, tal que el k-simo tenga su

punto medio en rk y un rango finito ek alrededor de este

valor. As, todos los viajes cuyos costes Cij cumplan que:

(13)

se asocian al intervalo k y se representan con costo rk en-

tonces, en lugar de usar una (Cij), lo que se hace es aso-

rk ek < Cij rk+ ek

Vijn = ainbjn Cij( )C Vijij Cij = 0Vij = AiOiBjDjecijOi Vijj = 0 Dj Viji = 0W Vij( )= V!Vij !ij



Fig. 1. Esquema

del modelo de

Maximizacin de

Entropa, utilizando

el mtodo de

Hyman conbalanceos

proporcionados

por la

metodologa de

Furness.


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ciar a cada uno de los puntos medios de cada intervalo

r1, r2,..., rk un factor Ck, k=1, ...., K, para el cual Ck = (rk).As, el modelo podra escribirse como:

(14)

Para la calibracin se conoce la matriz de viajes de la

muestra y la correspondiente matriz de costes. Entonces,

se debe determinar los factores Ck tales que permitan

que los viajes estimados Vij satisfagan ciertos requerimien-

tos respecto a la matriz observada {Vij}, que son:

(15)

en que Sk es el nmero de viajes en el intervalo k .

En resumen, lo que el mtodo realiza es balancear fi-

las y columnas de la misma manera que lo hara el mto-

do bi-proporcional para luego realizar un tercer balancepara las celdas de costos que se encuentran en cierto in-

tervalo (Ortzar, 1998).

Considerando la teora anterior, el modelo resultante

a ser calibrado corresponde a:

(16)

A partir de una matriz de viajes actuales y sus res-

pectivos costes compuestos, el proceso iterativo sepuede sintetizar en la Figura 2.

En resumen, el mtodo consiste en definir una pri-

mera matriz inicial M a partir de la informacin disponi-

ble de viajes y costes compuestos y amplificarla con el

factor F. A partir de esta matriz se balancea, de la mis-

ma forma que el mtodo de Hyman, por filas y colum-

nas para finalmente realizar, como se indico con ante-

rioridad, un tercer balanceo por costes.

Programa desarrollado

Para facilitar el clculo y manejo de los anteriores

algoritmos o modelos de maximizacin de entropa

aplicando el mtodo de Hyman y modelos tripropor-

cional, se ha desarrollado un programa en Borland

Delphi el cual opera en un entorno visual a partir de fi-

cheros de texto donde se toman y almacenan datos y

resultados.El programa inicia con una ventana de entrada de

datos donde se pide la siguiente informacin: Numero

de zonas, Matriz de viajes observados de usuarios sin

acceso a auto, Matriz de viajes observados de usuarios

con acceso a auto, Viajes generados por zona de

usuarios sin acceso a auto, Viajes generados por zona

de usuarios con acceso a auto, Viajes atrados por zo-

na, Costes compuestos para usuarios sin acceso a auto

y Costes compuestos para usuarios con acceso a auto.

La informacin anterior debe estar almacenada en

ficheros de texto plano. Una vez introducida esta infor-

macin el programa permite aplicar el mtodo de Ma-ximizacin de la Entropa utilizando el mtodo Hyman o

aplicar el mtodo Triproporcional.

En referencia al mtodo de Maximizacin de la En-

tropa utilizando el mtodo Hyman, la pantalla de cl-

culo es la mostrada en la Figura 3. En tres pasos y fijan-

do el criterio de convergencia entre costos medios ob-

servados y costos medios modelados en porcentaje se

determina la matriz de viajes finales de usuarios sin ac-

ceso a auto y la matriz de viajes finales para usuarios

con acceso a auto. Asimismo el programa muestra los

valores de los parmetros Ai y Bi finales, as como los

valores de los parmetros m

.

Respecto al modelo triproporcional, Figura 4, el pri-

mer paso a realizar, basado en la teora del mtodo, es

determinar los k intervalos de coste, para cada cate-

gora de usuario. La aplicacin permite valorar distintos

valores de intervalos de coste.

En cuatro pasos y fijando el criterio de convergen-

cia entre los valores que toman los parmetros ai, bj yCk respecto de 1, se determina la matriz de viajes fina-

les de usuarios sin acceso a auto y la matriz de viajes fi-

nales para usuarios con acceso a auto.

Vijn = Ai

nOinBjDj F

kn

k

ijk

Vijkk=1Kj=1j = Oi ; V ijkk=1Ki=1I = Dj ; Vijkj=1Ji=1I = SkVijk = aibjCk



Fig. 2. Esquema

del modelo de

Triproporcional.


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Anlisis de resultados y conclusiones

A partir de datos reales provenientes de una En-

cuesta Origen Destino (EOD) en la Ciudad de Con-

cepcin y de la informacin sobre los costes generali-

zados interzonales para cada modo de transporte se

aplic el software diseado obteniendo una serie de

resultados que permiten sintetizar una serie de conclu-

siones.

Realizando una primera comparacin, sin obten-

cin de resultados, entre los dos mtodos utilizados, se

pueden destacar tres diferencias bsicas:

El modelo de Mxima Entropa, utilizando el mto-

do de Hyman, estima un parmetro mientras queel mtodo Triproporcional estima parmetros Ck.

El modelo Mxima Entropa, utilizando el mtodo

de Hyman, posee una funcin de costes continua

en cambio el mtodo Triproporcional no, dado que

divide dicha funcin en intervalos.

El modelo Triproporcional mantiene los ceros de la

matriz de viajes a priori, en cambio el mtodo de

Mxima Entropa, utilizando el mtodo de Hyman,

no tiene este problema.

A partir de la aplicacin de datos de Concepcin

y observando la matrices de viajes obtenidas por M-

xima Entropa, utilizando el mtodo de Hyman (una de

usuarios sin acceso a auto y otra de usuarios con ac-

ceso a auto) se aprecia una de las caractersticas de

este modelo, que es que para una matriz inicial con

varias celdas vacas, se obtiene una matriz final sin cel-

das vacas o viajes entre cualquier origen y destino,salvo en los siguientes casos: las matrices finales no

presentan viajes en aquellas celdas donde los viajes

generados en la zona origen son nulos, donde los via-



Fig. 3. Ventana

del Mtodo de

Mxima

Entropa,

utilizando el

mtodo de

Hyman.


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jes atrados en la zona de dest ino son nulos y en cel-

das de la diagonal (no se tienen en cuenta los viajes

intrazonales).

Por el contrario, las matrices que reporta el mtodo

Triproporcional, mantiene con ceros aquellas celdas

que no tenan viajes en la matriz a priori.

Asimismo, se puede afirmar que respecto al nme-

ro de viajes, que los viajes observados y los viajes mo-

delados para ambos mtodos resultan ser del mismo

orden de magnitud. Bien es cierto, que estas diferen-

cias son mayores en el Modelo Mxima Entropa, utili-

zando el mtodo de Hyman, ya que ste enfoca sus

principales esfuerzos en estimar viajes en aquellas cel-

das con cero viajes en la matriz a priori.

Respecto a la diferencia entre los costos observa-dos y los modelados para el mtodo Triproporcional

fueron comparativamente menores que para el mo-

delo de Mxima Entropa, utilizando el mtodo de Hy-

man. Esto es debido a una caracterstica relevante del

mtodo Triproporcional. Dicha propiedad es que toma

en cuenta la estructura de los costes de los viajes origi-

nales.

Respecto al mtodo Triproporcional, un supuesto

particular que debe asumirse este mtodo es la forma

funcional de la transformada de los costes. Esta fun-

cin que define la transformada no posee parmetro

alguno a comparar; por lo tanto, la forma funcional

que se asume tiene una probabilidad no despreciable

de no ser adecuada, no teniendo capacidad de ajus-

te a travs de algn parmetro. En cambio, el mode-

lo de Mxima Entropa, utilizando el mtodo de Hy-

man, permite un parmetro de calibracin () que

mejora el problema descrito.

Con los datos de Concepcin, se ha obtenido un

valor del parmetro para ambos tipos de usuario:



Fig. 4. Ventana

del Mtodo

Triproporcional.


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USUARIOS SIN ACCESO A AUTO: Parmetro = 0,00030

USUARIOS SIN ACCESO A AUTO: Parmetro = 0,00032

Tal y como era de esperar se ha obtenido un valor

de menor que el de en ambos casos, usuarios sin

acceso a auto y con acceso a auto.

Por otro lado, el modelo Triproporcional permite en-

contrar esta funcin de costes merced a la estimacin

de un tercer factor Ck, asociado a la restriccin en el

numero de viajes observado en cada intervalo de cos-

te. Este mtodo garantiza que el numero de viajes esti-

mados sea nico, esto es que el producto de los tres

factores sea nico para las celdas observadas.

Esta caracterstica es positiva si se supone que la

estructura de costes se mantiene entre el perodo de

toma de datos originales y de reestimacin de flujos; si

la estructura de costes de la red cambia en forma no

proporcional entre pares O-D, esta caracterstica del

mtodo Triproporcional es negativa. Por lo tanto, para

decidir entre modelos se necesita mayor informacin

acerca de las caractersticas de la red en el momentocuando se desee utilizar el modelo estimado.

Por ultimo, en relacin a los supuestos utilizados,

uno de los que podra haber introducido un error en losresultados es el de suponer que el factor de balanceo

de los destinos (Bj) sera parecido para los dos tipos de

usuario (no asumir un Bjn para cada tipo de usuario);

ello se hizo ya que, en el futuro, no es factible obtener

los Dj diferenciados por categora de usuario; sin em-

bargo, no se descarta la posibilidad que esta simplifi-

cacin haya introducido un sesgo en los resultados. A

modo de ejemplo, el factor real Dj de amplificacin de

individuos con automvil puede ser muy superior para

destinos que son poco accesibles para individuos sin

automvil.

Agradecimientos

Con esta breve resea deseamos agradecer al Sr.

Juan de Dios Ortuzar, Catedrtico de Transporte de la

Pontificia Universidad Catlica de Santiago de Chile,

por las enseanzas y los consejos para la elaboracindel presente artculo.



Referencias:

Wilson, A. G. (1970). Entropy in urban and regional modelling.

Pion Limited.London.Manheim, M. L. (1973). Practical implications of some funda-

mental properties of travel-demand models Highway Research

Record 442.

Williams, H.C.W.L. (1976). A comparison of some calibration

techniques for doubly constrained models with an exponential

cost function. Transportation Research 10(2), 91-104.

Ortzar, J. de D. y Willumsen, LG. (1994). Modelling Transport.

John Wiley & Sons, Chichester.

Ortzar, J. de D. (1998). Modelos de Demanda de Transporte.

Ediciones Universidad Catlica de Chile, Santiago.

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