Documento Ejercicios Redes Pert

Universidad Arturo Prat Ingeniería Industrial

MODELOS DE PERT-CPM

Se han resuelto con éxito diversos problemas industriales, yadministrativos con la ayuda de modelos y técnicas cuantitativas los cuales seconocen como redes. Estos problemas incluyen la construcción de una presa;la determinación de la ruta de transporte más económica o más corta entre doslugares; la construcción de un avión; la planeación, programación y control dela construcción de armas militares; la determinación política de flujo máximo yde expansión optima para un sistema de gasoductos; el implante de un nuevosistema de computación; y el diseño, introducción y comercialización de unproducto nuevo. Aquí centraremos el estudio en problemas que puedenclasificarse como administración de proyectos.

PERT: Program Evaluations and Review Technique. (Técnica de revisióny evaluación de programas)

CPM: Critical Path Method (Metodode la ruta critica).

Veremos en forma específica como se utiliza el PERT para determinar:

1.- Fecha general esperada de terminación de un proyecto.2.- Fechas necesarias de inicio o término de tareas especificas que

conforman un proyecto.3.- Identificar las tareas críticas.

Veremos en forma especifica como se utiliza el CPM para

Determinar la forma en que puede reducirse el tiempo general determinación de un proyecto.

ASPECTOS GENERALES PERT

PERT se desarrollo en la década de 1950 y se utilizó en forma amplia enla administración de proyectos militares de investigación y desarrollo.

Su primera aplicación importante fue en el proyecto de los misiles Polarispara la U.S. Navy.

El PERT fue desarrollado específicamente por el Departamento de laDefensa de los Estados Unidos de Norteamérica para dar apoyo a laplaneación, programación y control de una gran cantidad de trabajos(actividades) asociados con el proyecto.

PERT también se ha implementado y utilizado en la industria de laconstrucción, empresas industriales, instalaciones de activos fijos, el diseño deplantas, la planeación y la administración de programas de investigación ydesarrollo, etc.

Una característica principal del PERT es que puede manejar lasincertidumbres que existen en los pronósticos de tiempos para determinar diversas tareas.

Departamento de ingeniería Roberto Jiménez Ramírez1


ASPECTOS GENERALES CPM

CPM fue desarrollado independientemente de PERT, pero estáestrechamente relacionado con éste, se refiere básicamente a los intercambiosentre el costo de un proyecto y su fecha de terminación.

Se aboca a la reducción del tiempo necesario parta concluir una tarea oactividad, utilizando más trabajadores y/o recursos, lo cual, en la mayoría delos casos significa mayores costos.

Con CPM, se supone que el tiempo necesario para concluir las diversasactividades del proyecto se conoce con certidumbre, al igual que la cantidad derecursos que se utilizan.

Al principio ambas técnicas se utilizan en forma independiente, pero, enla actualidad, ha desaparecido en gran medida la distinción de uso entre PERTy CPM. La mayoría de las versiones computarizadas de las técnicas incluyenopciones para manejar incertidumbres en los tiempos de las actividades, asícomo también análisis de intercambios de tiempos y costos. Además gran partede la literatura actual se refiere a la técnica en forma colectiva comoPERT/CPM.

TERMINOLOGIA PERT/CPM

Definición de actividades y relación de procedencia

La primera parte del proceso PERT/CPM consiste en identificar todas lastareas o actividades asociadas con el proyecto y sus interrelaciones. Veamosun ejemplo, un proyecto de un ajuste general de un motor.

Código deactividad

Descripción de la actividad Predecesoresinmediatos

A Sacar y desarmar motor ------

B Limpiar y pintar la base A

C Rebobinar la armadura A

D Reemplazar anillos A

EEnsamblar e instalar el motor en la

base B, C, D.

Para el ejemplo se requieren de 5 actividades; es evidente que elnúmero de actividades variará según el tipo de proyecto.

En cualquier caso, el punto clave es tener, en esta etapa de planeación,una lista precisa y exhaustiva de actividades (y las relaciones correctas deprecedencia entre ellas).

Además cabe destacar en el ejemplo anterior se tiene una columna de“Predecesores inmediatos”. Para cada actividad determinada, debenterminarse todas las precedentes inmediatas antes que poder comenzar esaactividad. En el ejemplo, las actividades B, C y D no pueden comenzar sinohasta que la actividad A se haya terminado.



Estructura de red.

Una vez que se ha elaborado una lista completa y precisa de actividadesy de sus predecesoras, es posible ilustrar en forma grafica sus relaciones. Antes del desarrollo de PERT se utilizaban diagramas de barras que fuerondiseñados por H.L. Gantt, y a los que con frecuencia se denominaba grafica ocarta Gantt.

Ejemplo

Características

Conceptualmente correcta Poco clara la relación de precedencia (ejemplo ¿las actividades E y F

dependen de B o D? ¿la actividad D depende de que se termine A y C,sólo A, solo C o ninguna de ellas?

Diagrama de red

Ejemplo

Departamento de ingeniería Roberto Jiménez Ramírez

1 3 4 52 6 7 8 9

A

C

D

E

F

G

H

B

TIEMPO (SEMANAS)

ACTIVIDADES

3

2 5 6

4

REBOBINAR LA ARMADURA

FICTICIA

ENSAMBLARE INSTALAREL MOTOR

EN LA BASE

SACARY

DESARMAREL MOTOR

LIMPIARY PINTAR

BASE

D

C A

B

E1

FICTICIA

Reemplazar los anillos

3


Características

La red consta de diversos círculos (1 al 6) e interconectadotes por flechas (A, B, C, D y E). En terminología de redes, los círculos se denominannodos, y las flechas que los conectan se denominan ramas o arcos. En una redparticular como la PERT/CPM, las flechas o ramas representan actividades ylos círculos o nodos se denominan eventos. Las actividades implican tiempo ypor lo general consumen recursos como mano de obra, material o dinero. Loseventos no consumen ni tiempo ni recursos sino que, mas bien, sirven como“puntos de referencia del proyecto y representan los puntos lógicos deconexión para asociar las diversas actividades.

Si realizamos una comparación de la carta Gantt y la red, vemosclaramente que en esta última las precedencias están representadasapropiadamente.

Elaboración de la red

(Observando la tabla en que se listan las actividades y sus relaciones deprecedencia, y el diagrama de red podemos inferir que su elaboración esbastante simple. ¡CORRECTO!)

No existe procedimiento secreto para elaborar con éxito una redadecuada; sin embargo, existen diversas reglas que deben tomarse en cuenta,al igual que algunas “sugerencias” que pueden facilitar la tarea de elaborar lared.

1.- Antes de que pueda comenzar una actividad, todas las actividadesprecedentes deben haber terminado.

2.- Las flechas indican sólo precedencia lógica; ni su longitud ni su direccióntienen significado.

3.- Cada flecha (actividad) debe comenzar y terminar en un nodo de evento.4.- Ningún par de nodos de la red puede estar directamente conectado por

más de una flecha.5.- Cuando se enumeran los nodos es aconsejable, y en particular en una

red grande, utilizar múltiplos de 10 para que sea fácil incorporar cualquier cambio o adicionen futuros.

6.- Todas las flechas de la red deben estar dirigidas, mas o menos, deizquierda a derecha.

7.- La clasificación de las actividades no debe ser más detallado que lo quese requiere para representar un plan de acción lógico y claramentedefinido.

Uno de lo errores comunes que se cometen en la lógica de las redes escolocar las actividades en la red con base en algún sentido del tiempo.



Ejemplo

Actividades ficticias

Si observamos el diagrama anterior tenemos dos actividades ficticias,las cuales se representan por flechas punteadas, estas consumen cero tiempoy cero recursos. Se utilizan las actividades ficticias para mostrar relacionescorrectas entre actividades y/o para evitar tener que conectar en forma directados nodos a través de más de una flecha.


32 4

7

PONER LADIRECCION ENLOS SOBRES

INSERTAR LOSCHEQUES ENLOS SOBRES

PONER ENEL CORREO

EXAMINAR LASFACTURAS

ELABORARLOS CHEQUES

1

COLOCAR LASESTAMPILLAS

65

DIAGRAMA SECUENCIAL DE RED PARA PAGAR FACTURAS

3

2

4

7

PONERDIRECCION EN

SOBRES

INSERTARCHEQUES EN

SOBRES

PONERSOBRE CORREO

EXAMINAR LASFACTURAS

ELABORARCHEQUES

1

PONERESTAMPILLA

6

5

ARTIFICIAL

ARTIFICIAL

5


ANALISIS DE UNA RED PERT/CPM

Sharp Company.

Código deactividad

Descripción de laactividad

Predecesoresinmediatos

Tiempo esperadopara terminar

(semanas)

A Diseñar producto --- 6

B Diseñar elenvase

--- 2

C Ordenar y recibir los materiales

para el productoA 3

D Ordenar y recibir los materialespara el envase

B 3

E Fabricar elproducto

C 4

F Fabricar elenvase

D 3

G Envasar elproducto

E 6

H Prueba demercado del

productoF 4

I Prueba demercado del

envaseG, H 1

J Entregar a losdistribuidores

I 2


32 4

ENSAMBLAR EINSTALAR ELMOTOR EN LA

BASE

SACAR YDESARMAR MOTOR

LIMPIAR Y PINTAR LA BASE

1

REEMPLAZAR LOS ANILLOS

REBOBINAR LA ARMADURA E

D

C

B

A

6


Cálculos básicos de la programación

Una vez elaborada la red PERT/CPM, puede concentrarse la atenciónen determinar la fecha esperada de terminación para el proyecto y el programade actividades.

Importancia de conocer la fecha de término

Competencia entre varias empresas Si se opera en base a incentivos por fecha de término.

Si sumamos todos los tiempos esperados de las actividades de la tabla,se tiene 34 semanas como duración del proyecto.

Ruta critica

Se calcula la duración del proyecto determinando la ruta crítica (caminocrítico) para la red.

Toda red tiene dos o más rutas, una o más de las cuales serán críticas.

Analicemos el caso de la Sharp Company

Las actividades A, C, E, G, I y J forman una ruta que conecta los nodos1, 2, 3, 4, 8, 9 y 10 de la red.

Las actividades B, D, F, H, I y J, forman una ruta que conecta los nodos1, 5, 6, 7, 8, 9 y 10 de la red.


[E]

[ ]

[D]

[B]

[A]

[H]

[F]

[G]

[3]

[I]

[ ]

ENTREGA

[J]

[ ]

PRUEBAMERCADO

[ ]

[C]

[ ]2

1

3

9

5

4

76

10

8

DISEÑARPROD.

[CODIGO]DESCRIPCION

ENVASARPROD.

FABR.ENV.ORD. Y REC.

DISEÑARENVASE

FABR.PROD.

PRUEBAPROD.

ORD. Y REC.

DURACIOND

ij

CLAVE:

7


Puesto que la terminación de un proyecto requiere que se terminentodas las rutas de la red, la duración de la ruta más larga de la red es la rutacritica.

Para el caso de la Sharp Company.

La ruta ACEGIJ requiere 22 semanas (RUTA CRITICA)La ruta BDFHIJ requiere 15 semanas.

Si se demora cualquier actividad sobre la ruta critica, se demora elproyecto completo. Por lo tanto, las actividades que se encuentran sobre la rutacritica, se les llama actividades críticas.

¿Cómo reducir el tiempo total del proyecto? en este caso son 22semanas.

Se deben reducir la duración de una o más de las actividades críticas.Veamos en forma general, para cualquier red:

(1) Identificar todas las rutas de la red.(2) Calcular la duración de cada una de ellas.(3) Elegir la ruta más larga (critica).

Este procedimiento es muy poco eficiente de analizar una red.

Otro método más eficiente es calcular límites de tiempo para cadaactividad tiempos:

1.- Próximos de iniciación2.- Lejanos de iniciación3.- Próximos de terminación4.- Lejanos de terminación

y a partir de estos datos calcular la ruta crítica.

Los límites de los tiempos próximos de iniciación y próximos determinación se pueden calcular haciendo una revisión hacia adelante dela red.

Los limites de los tiempos lejanos de iniciación y de terminación sedeterminan utilizando una revisión hacia atrás en la red.



Revisión hacia delante:

Calculo de los tiempos próximos de iniciación y próximos de terminación.

Definición de terminación y notación

1.- Tiempo próximo de iniciación:

El tiempo próximo de iniciación de una actividad es el tiempo máspróximo posible en que una actividad puede comenzar, el cual se denotara por ESij donde i y j representan los nodos inicial y final asociados con la actividad.

2.- Tiempo próximo de terminación:

El tiempo próximo de terminación para cada actividad, el cual se denotapor EFij, es el tiempo próximo de iniciación más el tiempo que se requiere paracompletar la actividad.Ejemplo para la actividad A de la Sharp Company.

EF12 = ES12 + D12

En donde D12 = 6, el tiempo esperado para la actividad. Si el tiempo próximo dela iniciación de la actividad A es 0, es decir, ES12 = 0, entonces EF12 = 0 + 6 = 6.

En la red se utiliza la siguiente clave:

En la red se tendría la siguiente apariencia


[ESij, D

ij, EF

ij]

CODIGO DELA ACTIVIDAD

ji

1

5

[B]

CODIGO DE LA ACTIVIDAD

TIEMPO MAS PROXIMO DE INICIO

[0, 2, 2]

TIEMPO DE DURACION DE LA ACTIVIDAD

TIEMPO MAS PROXIMO DE TÉRMINO

9


El procedimiento normal para analizar una red consiste en comenzar enel nodo inicial y suponer que se tiene un tiempo inicial de cero.

Se supone que todas las actividades comienzan tan pronto como esposible, es decir, tan pronto como han terminado todas las actividadesprecedentes asociadas.

Como en nuestro caso (caso Sharp) las actividades A y B no tienepredecesoras, ES12 = 0 y ES15 = 0; por lo tanto, sus correspondientestiempos de terminación son EF15 = 0 + 2 = 2 y EF12 = 0 + 6 = 6.

Una vez calculado el tiempo próximo de terminación para la actividad A,puede calcularse el tiempo próximo de iniciación de la actividad C; laactividad C no puede comenzar sino hasta que la actividad A ha sidoterminada. Ídem para la actividad D.

El tiempo más próximo de iniciación de la actividad C, ES23, es igual altiempo más próximo de terminación de la actividad A, que es EF12 = 6.

El tiempo mas próximo de terminación para la actividad C es su tiempopróximo de iniciación más su tiempo de duración, o EF23 = ES23 + D23 = 6+ 3 = 9.

Para la actividad D los tiempos próximos de iniciación y de terminaciónson

ES56 = EF15 = 2EF56 = ES56 + D56 = 2 + 3 =5

Realizamos el análisis completo hacia adelante.


[E]

[0,6,6]

[D]

[B]

[A]

[H]

[F]

[G]

[2,3,5]

[I] [J]

[6,3,9]

[19,1,20]

[C]

[9,4,13]2

1

3

9

5

4

76

10

8

[8,4,12 ]

[13,6,19]

[20,2,22 ]

[0,2,2]

[5,3,8]

10


En los casos en que existen varias actividades precediendo a otra, eltiempo más próximo de iniciación para esta actividad es igual al mayor de los tiempos próximos de terminación para todas las actividadesprecedentes.

Revisión hacia atrás:

Calculo de los tiempos lejanos de iniciación y lejanos de terminación.Este análisis permitirá responder preguntas como

¿Cuánto puede demorarse cada actividad, si es que es posible? ¿Qué tan tarde puede comenzarse una actividad especifica sin

prolongar la duración total del proyecto?

Definición de términos y notación

1.- Tiempo más lejano de iniciación

El tiempo más lejano de iniciación para una actividad, LSij es el tiempomás lejano o más tarde en el que una actividad puede comenzar sindemorar la fecha de terminación del proyecto.

2.- Tiempo más lejano de terminación

El tiempo más lejano de terminación para una actividad, LFij es el tiempomás lejano de iniciación más el tiempo que dura la actividad Dij

En forma simbólica, estas relaciones son: LFij = LSij + Dij sin embargo esmás apropiado LSij = LFij – Dij.

Para nuestro caso (caso Sharp)

Para comenzar los cálculos, se comienza con el evento final (el nodo 10en nuestro caso) y se fija el tiempo mas lejano de terminación para laultima actividad como el tiempo total de duración calculado en la revisiónhacia adelante, LF9 10 = 22.

Debido a que se requieren dos días para terminar la actividad J, eltiempo mas lejano de iniciación para la actividad J es igual al tiempomás lejano de terminación menos el tiempo de duración

LS9 10 = LF9 10 – D9 10

LS9 10 = 22 – 2 = 20

Para la actividad I, el tiempo más lejano de terminación es 20, LF89 = 20y el tiempo mas lejano de iniciación es

LS89 = LF89 – D89

LS89 = 20 – 1 = 19



Continuando con el análisis

Si un nodo determinado tiene más de una actividad que sale de él,entonces el tiempo mas lejano de terminación para cada actividad queentra al nodo es igual al menor valor de los tiempos más lejanos deiniciación para toas las actividades que salen del nodo.

Tiempo de holgura (flotante)

Después de que se han determinado los límites de tiempo para toda lared, puede determinarse el tiempo de holgura para cada actividad.

Se define como tiempo de holgura como la longitud de tiempo en la quepuede demorarse una actividad sin ocasionar que la duración del proyectogeneral exceda su tiempo programado de terminación.

La cantidad de tiempo de holgura de una actividad se calcula tomando ladiferencia entre sus tiempos más lejanos de iniciación y más próximos deiniciación, o entre su tiempo más lejano de terminación y el tiempo máspróximo de terminación.

En forma de ecuación:

Fij = LSij – Esij

O Fij = LFij – EFij

Ejemplo

Para la actividad B

F15 = LF15 – EF15 = 9 – 2 = 7

O F15 = LS15 – ES15 = 7 – 0 = 7


[E]

[0,6,6]

[D]

[B]

[A]

[H]

[F]

[G]

[2,3,5]

[I] [J]

[6,3,9]

[19,1,20]

[C]

[9,4,13]2

1

3

9

5

4

76

10

8

[8,4,12 ]

[13,6,19]

[20,2,22 ]

[0,2,2]

[5,3,8]

[0,0,6]

[7,7,9]

[9,7,12] [12,7,15]

[15,7,19]

[19,0,20] [20,0,22]

[6,0,9] [9,0,13]

[13,0,19]

12


RESUMEN DE LOS CALCULOS PERT/CPM

1.- Identificar todas las tareas o actividades asociadas con el proyecto.2.- Identificar las relaciones de precedencias inmediatas para todas las

actividades.3.- Dibujar la red básica para el proyecto, mostrando todas las relaciones de

precedencia.4.- Estimar el tiempo esperado de duración para cada actividad.5.- Empleando una revisión hacia adelante de la red, calcular el tiempo

próximo de iniciación y el tiempo próximo de terminación para cadaactividad.

6.- Utilizando el término esperado de terminación del proyecto, calculado enla revisión hacia adelante en la red, usar el procedimiento de revisiónhacia atrás para calcular el tiempo más lejano de iniciación y el tiempomás lejano de terminación para cada actividad.

7.- Calcular el tiempo de holgura asociado a cada actividad.8.- Identificar la ruta crítica para la red. Las actividades criticas son las que

tienen un tiempo holgura de cero.

INCERTIDUMBRE EN UNA RED PERT/CPM

Estimación de los tiempos de las actividades

Al aplicar PERT/CPM a proyectos de construcción y mantenimiento, esposible contar con estimaciones bastante precisas de los tiempos de lasactividades ya que es probable que se disponga de datos históricos ydado que la tecnología que se utiliza es más o menos estable.

En los proyectos del tipo investigación y desarrollo, en los que latecnología cambia con rapidez y los productos no son comunes, esposible que sea difícil contar con estimaciones precisas de los tiemposde las actividades.


CLAVE:

CODIGO DE LA ACTIVIDA

[ESij, D

ij, EF

ij]

[LSij, F

ij, LF

ij]

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Con el fin de tener en cuenta la incertidumbre, las personas que desarrollaronPERT permitieron a los usuarios utilizar tres estimadores para los tiempos decada una de las actividades:

1.- El tiempo más probable (tm):

El tiempo que se requiere para terminar la actividad bajocondiciones normales.

2.- El tiempo pesimista (tp):

El tiempo máximo que se necesitaría para terminar la actividad sise encontraran demoras considerables en el proyecto.

3.- El tiempo optimista (to):

El tiempo mínimo que se requiere para terminar la actividad sitodo ocurre en forma ideal.

Utilizando estas tres estimaciones, puede calcularse un tiempoesperado para la duración de una actividad de acuerdo con la siguienteformula:

Veamos que ocurre con el tiempo con el caso Sharp en el cual seproporcionan tres estimaciones de los tiempos que se requieren para terminar cada una de las actividades del proyecto.

TABLA

Código dela actividad

Tiempooptimista(to)

Tiempo masprobable(tm)

Tiempopesimista(tp)

A 3.0 5.5 11.0

B 1.0 1.5 5.0

C 1.5 3.0 4.5

D 1.2 3.2 4.0

E 2.0 3.5 8.0

F 1.8 2.8 5.0

G 3.0 6.5 7.0

H 2.0 4.2 5.2

I 0.5 0.8 2.3

J 0.8 2.1 2.8


te =to + 4tm + tp

6

14


Si utilizamos la actividad F como ejemplo, estos datos indican que seestima que la actividad “fabricar envases” requerirá entre 1.8 semanas(estimación optimista) y 5.0 semanas (estimación pesimista), siendo suestimación mas probable 2.8 semanas. El valor que sería probable queocurriera si la actividad se repitiera varias veces en el tiempo esperado.

Comentarios

Apesar que en la mayoría de las aplicaciones de PERT/CPM, lasactividades no se repiten un numero grande de veces; mas bien, por lo generalocurren solo una vez. te sigue siendo el mejor estimador único del tiempo quese requiere para una actividad y es el que tradicionalmente se utiliza.


te =1.8 + 4(2.8) + 5.0

6= 3.0

15


VARIABILIDAD EN LOS TIEMPOS DE LAS ACTIVIDADES

Si aplicamos la formula para te a las tres estimaciones para cadaactividad de la tabla anterior, los te resultantes son iguales a los valores de“tiempo esperado de terminación”, que vimos al principio en el caso Sharp.

Código deactividad

Tiempoesperado

para terminar (semanas)

A 6

B 2

C 3

D 3

E 4

F 3

G 6

H 4

I 1

J 2

Antes de continuar debemos respondernos algunas interrogantes

¿Qué se gana al hacer tres estimaciones?¿Por qué no simplemente estimar los valores esperados y hacer loscálculos de PERT/CPM con base en éstos?

La respuesta es: Se necesita saber qué tan confiables son las estimaciones de los

tiempos esperados. Lo cual se puede hacer teniendo las tres estimaciones. Si el tiempo requerido para terminar una actividad es muy grande,

entonces tendremos menos confianza en el tiempo esperado que si elintervalo fuera menor. Por ejemplo: si las tres estimaciones para laactividad “fabricar el producto” fueran 2, 3 y 4 en vez de 1.8, 2.8 y 5.0 enambos casos el tiempo promedio sería 3.0 días; pero en el primer casotendríamos más confianza en que estas cifras modificadas fueran másprecisas puesto que tiene menor variabilidad. Un intervalo amplio de lasestimaciones representa una mayor incertidumbre y, por ello, menor confianza en el tiempo esperado que se calcula.

A menor confianza, la probabilidad de terminar el proyecto hacia unafecha dada se reduce.

La ventaja de tener tres estimaciones de tiempos es que puedecalcularse la dispersión de los tiempos de las actividades y puedeutilizarse esta información para evaluar la incertidumbre de que elproyecto se termine de acuerdo con el programa.



Se utiliza la varianza como medida para describir la dispersión ovariación de las estimaciones de los tiempos de las actividades.

La formula de la varianza es:

Si la aplicamos al caso Sharp se tiene:

Código de laactividad

Varianza

σt2

A 1.78

B 0.44

C 0.56

D 0.22

E 1.00

F 0.28

G 0.44

H 0.28

I 0.09

J 0.11

A partir de estos datos, se tiene, que la actividad A tiene un mayor gradode incertidumbre que la J. (1.78 comprada con 0.11).

Variabilidad en la fecha de terminación del proyecto.

Al calcular la ruta critica se utilizaron los tiempos esperados de duraciónpara los tiempos de las actividades; lo que se obtuvo fue una duraciónesperada para el proyecto.

Como es probable que cada actividad varíe en duración en vez de ser fija. El tiempo de terminación del proyecto será variable, y en particular siexisten variaciones considerables en las actividades de la ruta critica.

Es “probable” que el tiempo de duración del proyecto varíepositivamente como negativamente.

La influencia en el tiempo de duración del proyecto no solo es de lasactividades de la ruta crítica, sino que se puede generar otra ruta críticadebido a la variabilidad de las actividades.

Puesto que la varianza de una actividad da una medida de la variaciónen la incertidumbre, puede utilizarse para calcular la variación total en eltiempo esperado del término del proyecto.

Al calcular el tiempo esperado de terminación del proyecto, se toman lasvarianzas (σt

2), de las actividades que forman la ruta critica. Al igual quecon una calcular la varianza del tiempo de terminación del proyecto (σt

2)


Varianza de lostiempos de actividad

= σt

2 = (tp – to) 2

36

17


simplemente se suman las varianzas (σt2) de las actividades que forman

la ruta critica. Caso Sharp: recordemos que la ruta crítica era la que incluía las

actividades A, C, E, G, I y J, con un tiempo esperado de terminación de22 semanas.

La varianza del proyecto es:

σ

2 = σtA2 + σtC

2 + σtE2 + σtG

2 + σtI2 + σtJ

2

σ

2 = 1.78 + 0.56 + 1.00 + 0.44 + 0.09 + 0.11

σ

2 = 3.98 semanas

Sabemos de la estadística básica que la desviación estándar es igual ala raíz cuadrada de la varianza ; por tanto, la desviación estándar para laterminación del proyecto es

σ = (σ2)1/2 = (3.98)1/2 ≅ 2 semanas

En estadística, se sabe que los tiempos de terminación de un proyectono están descritos por una distribución beta sino que siguen unadistribución aproximadamente normal o en forma de campana.

(En el desarrollo del PERT se utilizaron una distribución beta paradescribir las variaciones en los tiempos de actividades)

Si hacemos una grafica se tiene.

Utilizando la distribución normal podemos hacer planteamientos deprobabilidades con respecto a fecha de término del proyecto; dada unafecha especifica de terminación, puede calcularse la probabilidad de queel proyecto se termine en esa fecha o antes.



Ejemplo se desea saber cual es la probabilidad de que el proyectotermine antes de 6 meses (26 semanas).

Primero.-

Convertir 26 semanas a un valor de Z. (X = 26, µ = 22 y σ = 2)

Segundo.-

Con el valor Z = 2 y una tabla de distribución normal, se encuentra quela probabilidad asociada es 0.9772. La probabilidad de que el proyectose termine en 26 semanas o menos es 0.9772; por tanto, se puede tener bastante confianza en que el proyecto pueda terminarse hacia esafecha.


Z =X - µ

σ

Z =26 – 22

2= 2

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