UNIVERSIDAD DE LAS AMRICASCTEDRA: METODOLOGA DE LAS MATEMTICAS - 2015PROFESOR: VCTOR CONTADOR VILLEGAS

1. CONCEPTOS BSICOS PARA EL TRATAMIENTO DE LA GEOMETRA:

1.1. CONCEPTOS DE PUNTO, PLANO, LNEAS, TRAZOS Y RAYOS:a) Punto: Un punto es un trmino indefinido. No se puede definir. Un punto carece de dimensiones, es slo una posicin en el espacio. Se acostumbra denotar los puntos por letras maysculas.

Ejemplos:

M.

.A

Espacio

.B .C

Postulado1: "Hay infinitos puntos". Las representaciones con objetos de la realidad y contextualizadas por los alumnos y alumnas les

permiten asociar de manera ms concreta el concepto de punto.

La huella que deja un lpiz bien afilado sobre una hoja de papel nos sugiere la idea de un punto.

Un grano de arena

Una estrella en el espacio.

b) Plano: Trmino indefinido. Una idea de plano nos la sugiere la superficie de un tablero, el piso, etc. Un plano tiene dos dimensiones, largo y ancho. Un plano tiene una extensin ilimitada. Un

plano se considera constituido por un conjunto infinito de puntos. Se denota el plano por cuatro de sus puntos y mediante el siguiente smbolo:

Postulado: "Si una recta tiene dos puntos comunes con un plano, toda la recta est contenida en el plano". Dos planos se cortan en una lnea recta, que se denomina recta de interseccin.

.A

.Ba) Recta: Trmino indefinido. Una idea vaga de recta se tiene por la observacin del borde de una regla, un hilo templado, etc. La recta slo tiene una dimensin, longitud. La recta geomtrica se extiende sin lmite en dos sentidos opuestos. Se denotan las rectas por dos de sus puntos

mediante el smbolo: A

B Se lee recta AB = BA Postulado: Por un punto pasan infinitas rectas

Postulado: "Por dos puntos diferentes pasa una y solo una recta".

Postulado: "Dos rectas distintas solo pueden tener un punto en comn, al no ser paralelas".

d) Semirrecta (rayo): Si sealamos un punto A en una recta, dicho punto junto con los puntos que le siguen o le preceden en el mismo sentido se denomina semirrecta; A se conoce como el origen de la semirrecta . Para denotar una semirrecta se seala otro punto adems del origen, y se

utiliza el siguiente smbolo:

A B

Se lee rayo ABe) Segmento o trazo: Si sealamos sobre una recta los puntos A y B, se denomina segmento el conjunto de puntos comprendidos entre A y B, incluyendo a los puntos A y B que se denominan extremos del segmento. El segmento de recta se denota por el siguiente smbolo:

A B Se lee trazo AB = BAf) Rectas Paralelas: Dos o ms rectas son paralelas cuando no tienen ningn punto en comn. Se

utiliza el smbolo / / para representar rectas paralelas.

L1

L1 L2 L1

L2 L2 L1//L2 L1//L2 L1//L2g) Rectas Perpendiculares: Dos rectas son perpendiculares cuando al intersectarse forman un ngulo de

90. Su smbolo es

L1

L2 L1 L2h) Rectas Secantes: Dos rectas son secantes cuando se intersectan sin formar un ngulo recto.

1.2. NGULOS: CONCEPTO, CLASIFICACIN, MEDICIN Y CONSTRUCCIN NGULO: Es la abertura formada por dos rayos divergentes que tienen un extremo comn

llamado vrtice.

ELEMENTOS DE UN NGULO:

CLASIFICACIN SEGN SU MEDIDA

CLASIFICACIN SEGN SU SUMA

a) NGULOS COMPLEMENTARIOS

b) ngulos Suplementarios

CONSTRUCCIN DE NGULOS

NGULOS ENTRE PARALELAS INTERSECTADAS POR UNA TRANSVERSAL

En el caso de que dos rectas paralelas sean interceptadas por una transversal se generan los siguientes pares de ngulos especiales:

Cinta

1.3. POLGONOS

Los polgonos son figuras planas cerradas, limitadas por segmentos rectilneos. Los elementos de un polgono son los lados, los vrtices, los ngulos y las diagonales.

CLASIFICACIN DE POLGONOS SEGN SU NMERO DE LADOSNombreN de ladosNombreN de lados

Tringulo3Enegono9

Cuadriltero4Decgono10

Pentgono5Endecgono11

Hexgono6Dodecgono12

Heptgono7Pentadecgono15

Octgono8Icosgono20

CLASIFICACIN SEGN SU FORMA Y CONGRUENCIA DE SUS LADOS

Segn la congruencia de sus lados:

a) Polgono Regular: Todos sus lados y ngulos interiores tienen igual medida o congruentes.b) Polgono Irregular: No todos sus lados son congruentes.

Hexgono regular Enegono irregular

Segn su forma:

a) Polgono Convexo: Son aquellos polgonos cuyos ngulos interiores son menores que 180.

b) Polgono Cncavo: Son aquellos polgonos en los cuales al menos uno de sus ngulos interiores es mayor que 180.

Polgono convexo Polgono cncavo NMERO DE DIAGONALES DE UN POLGONOEl nmero de diagonales de un polgono est dado por la frmula: , donde n corresponde al nmero de lados del polgono.

Ejemplo: El nmero de diagonales de un hexgono son 9.

Aplicamos la frmula, tenemos diagonales

SUMA DE LOS NGULOS INTERIORES DE UN POLGONOLa suma de los ngulos interiores de un polgono est dado por la frmula: , donde n corresponde al nmero de lados del polgono.Ejemplo: La suma de los ngulos interiores de un pentgono es de 540

1

Aplicamos la frmula: 180 . ( 5 2) ( 180 . 3 = 540

2

3

Nota: Si el polgono es regular los ngulos interiores tienen igual medida.1.4. TRINGULOSLos tringulos son polgonos de tres lados cuyos elementos bsicos son los lados, los vrtices y ngulos interiores. Y como elementos secundarios estn las alturas, simetrales, transversales de gravedad, bisectrices y medianas.

ELEMENTOS BSICOS DE UN TRINGULO:

A

B C CLASIFICACIN DE TRINGULOS SEGN LA MEDIDA DE SUS LADOS Y NGULOS INTERIORES

ELEMENTOS SECUNDARIOS DE UN TRINGULO:A. ALTURAS (h): Son segmentos perpendiculares (segmentos que forman ngulos de 90) a un lado o a su prolongacin desde el vrtice opuesto. La altura se designa con la letra h y un subndice que seala el lado del cual se levanta.

A

B C B. BISECTRIZ (b): Es el rayo que divide a un ngulo en dos de igual medida, es decir, lo divide en dos partes iguales. Las bisectrices de los ngulos del tringulo se designan segn el ngulo.

B

A C

C. MEDIANAS:

Son los segmentos que unen los puntos medios de dos lados del tringulo. Cada mediana es paralela al lado opuesto y su medida es igual a la mitad de la medida de ese lado.

D. SIMETRALES (s):Son las rectas perpendiculares en los puntos medios de sus lados. Se designan con .

Las tres simetrales de un tringulo se intersectan en un mismo punto comn llamado CIRCUNCENTRO, que a su vez corresponde al centro de la circunferencia circunscrita al tringulo. Se designa con la letra O^.

E. TRANSVERSALES DE GRAVEDAD (t):Son los segmentos que unen los puntos medios de cada lado con su vrtice opuesto. Las tres transversales de gravedad de un tringulo concurren en un mismo punto llamado CENTRO DE GRAVEDAD O BARICENTRO. Se designa con la letra G.

A

D

E C F B

Es la transversal de gravedad que une el punto medio de a con el vrtice A. ( Es la transversal de gravedad que une el punto medio de b con el vrtice B.

( Es la transversal de gravedad que une el punto medio de c con el vrtice C.

1.5. TRINGULO RECTNGULO Y TEOREMA DE PITGORAS

1. TRINGULO RECTNGULO:

Es aquel tringulo que tiene uno de sus ngulos recto y los otros dos agudos. Los lados que forman el ngulo recto se llaman CATETOS y el lado opuesto al ngulo recto HIPOTENUSA.

h

2. TEOREMA DE PITGORAS:Se aplica solamente a los tringulos rectngulos y se demuestra que: EL CUADRADO DE LA HIPOTENUSA ES IGUAL A LA SUMA DE LOS CUADRADOS DE LOS CATETOS.

Algunas representaciones grficas del teorema de Pitgoras:

3. NMEROS PITGORICOS: Son aquellos tros de nmeros que cumplen con el teorema de Pitgoras. Los ms conocidos son 3, 4, 5 y

15, 12, 13. De la amplificacin proporcional de stos nmeros resultan familias de nmeros Pitagricos. Actividad N 1: Aplicaciones del teorema

a) Dadas las siguientes figuras determina el valor del cateto o de la hipotenusa: 8 cm

3 cm x x 10 cm 9 cm x

12 cm 4 cmb) Calcular las medidas de la alturas y diagonales aplicando el teorema de Pitgoras:

6 cm x

14 cm 9 cm 32 m

h 24 m

c) Resolviendo problemas aplicando el teorema de Pitgoras: Juan dueo de la tienda NZX, necesita construir con cinta las letras del nombre de su tienda para colocarlas en sus cajas de regalo. Cuntos centmetros de cinta necesita para cada caja, segn las medidas de los modelos?

20 cm 24 cm 26 cm 30 cm

15 cm

16 cm

Calcular la altura de los edificios conocida la sombra que proyecta y su diagonal:

35m 15 m 10 m

21 m 6 m 9m Determina la altura de una escalera sabiendo que se encuentra apoyada a 7 m de altura de una pared y separada a 1,8 m del suelo. Una antena est sujeta al suelo por dos cables que forman un ngulo recto de longitudes 27 y 36 cm. Cul es la distancia que separa los dos puntos de unin de los cables con el suelo?. Representa grficamente la situacin Juan corre todas las maanas por el mismo circuito (ver modelo) durante 1 hora. Si en promedio utiliza 15 minutos por cada vuelta, cuntas vueltas da en una hora?, qu distancia recorre por cada vuelta?, cuntos metros recorre en total?.

360 m

480 m

1.6. CUADRILTEROS

Los cuadrilteros son polgonos de cuatro lados. Se clasifican en paralelogramos, trapecios

trapezoides, segn el nmero de lados paralelos que tengan.

En el siguiente cuadro se indican la clasificacin y propiedades de cada cuadriltero.

PARALELOGRAMOSTRAPECIOSTRAPEZOIDES

Dos pares de lados paralelosUn par de lados paralelosSin lados paralelos

Cuadrado

A B

D C

Trapecio escaleno A B

D C

Trapezoide simtrico D

A C

B

Rectngulo A B

D C

Trapecio issceles

A B

D C

Trapezoide asimtrico

A

B

C

D

Obs: Pueden adems tener dos

tres lados de igual medida.

Rombo

A B

D C

Trapecio Rectngulo

A B

D C

Romboide

A B

D C

Trapecio trisoltero

A B

D C

3. CIRCUNFERENCIA Y CRCULO1.7. CIRCUNFERENCIA

Corresponde al conjunto de puntos de un plano que equidistan de otro punto del mismo plano llamado centro de la circunferencia, denominado por la letra O.

La circunferencia se considera como un polgono de infinitos nmero de lados.

Si en un polgono inscrito en una circunferencia unimos los vrtices del polgono con el centro y trazamos las bisectrices de los ngulos que se forman en el centro generamos un nuevo polgono del doble del nmero de lados. Si se proyecta esta operacin, se obtiene un polgono de infinitos lados que corresponde a la circunferencia.

6 lados

12 lados

infinitos lados

ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA

1.8. CRCULOEs la porcin del plano limitada por la circunferencia. Es decir, corresponde a toda la circunferencia ms la regin interior.

ELEMENTOS DEL CRCULO:a) Sector circular: es la parte del crculo limitada por dos radios y un arco.

A Bb) Segmento circular: es cada una de las partes en que se divide un crculo cuando se traza una cuerda (A - B). Si la cuerda es un dimetro, cada parte ser un semicrculo.

M Nc) Corona circular o anillo: es la porcin del plano comprendida entre dos circunferencias concntricas. Es decir, ambas crculo comparten el mismo centro

NGULO INSCRITOEs el ngulo cuyo vrtice est sobre la circunferencia y sus lados son cuerdas de ella. Para todo ngulo inscrito, existe un ngulo del centro que subtiende el mismo arco.

2. PERMETRO Y REA DE FIGURAS PLANAS

2.1. SISTEMA MTRICO DECIMAL

Es el conjunto de medidas que tiene su origen en el metro y siguen el principio de la numeracin decimal, es decir, cada unidad de orden superior es diez veces mayor que la inmediata inferior.

Es un sistema porque es un conjunto organizado y coherente

SISTEMA

MTRICO

Es mtrico porque sus unidades derivan del metro

DECIMAL

Es decimal porque la relacin entre sus unidades es de base 10.2.2. UNIDADES DE LONGITUD, SUPERFICIE Y VOLUMENCorresponde a las unidades que se utilizan para medir longitudes, es decir, la distancia de un punto

a otro y su principal unidad es el metro que se designa con la letra m.Las unidades de longitud se dividen en mltiplos que son las unidades mayores que el metro y submltiplos que son unidades menores que el metro.

Para convertir unidades mayores en otras menores se multiplica por la potencia de 10 que corresponda a la equivalencia entre ellas. Y para convertir unidades menores en otras mayores se debe dividir por la potencia de 10 que las relaciones.

Mtodo de la escalera:

2.3. UNIDADES DE SUPERFICIE

El volumen de un cuerpo es la medida del espacio que ocupa. Para medir el volumen de un cuerpo se consideran las longitudes de tres dimensiones: largo y ancho.

2.4. UNIDADES DE VOLUMENEl volumen de un cuerpo es la medida del espacio que ocupa. Para medir el volumen de un cuerpo se consideran las longitudes de tres dimensiones: largo, ancho y alto.

2.5. PERMETRO Y REA DE FIGURAS PLANAS

1. PERMETRO DE FIGURAS PLANAS

El permetro de una regin cerrada del plano, corresponde a la medida de su contorno, es decir, la suma de la medida de todos los lados que componen el polgono. Segn las caractersticas del polgono se pueden establecer frmulas que permiten determinar de manera ms directa su permetro.

Permetro de un tringulo

P = 3.a P = 2.a + b P = a + b + c

Permetro de un paralelogramo

P= 4.a P= 4.a P= 2.( a + b) P= 2. ( a + b )

Permetro de un trapecio

P= 2.a + b + c P= 3.a + b P= a + b + c + d

Permetro de un trapezoidePermetro de un polgono regular (ms de 4 lados)

P= 2.a + 2.b P= a+b+c+d

P= 5 .a P = 6 . a

En conclusin el permetro de una figura cerrada consiste en unir todos los lados y determinar su longitud.

+ + (2. REA DE FIGURAS PLANAS El rea de una regin del plano es la medida de su superficie, la cual se mide en unidades cuadradas.

Al igual que en el permetro existen frmulas para determinar el rea de ciertas figuras que cumplen con caractersticas propias, entre las cuales tenemoREA DE PARALELOGRAMOS

Cuadrado

h

baseRombo

h

baseRectngulo

h

baseRomboide

h

base

= base . h

REA DE TRINGULOS

Tringulo cualquiera

h

baseTringulo rectngulo

En este caso los catetos se

a pueden considerar como

base y altura o viceversa.

b

REA DE UN TRAPECIO

A B

h C D

REA DE UN POLGONO REGULAR

El rea de un polgono regular es igual a la suma de las reas de los A B tringulos centrales. Su altura recibe el nombre de apotema ( ). A su vez la apotema corresponde al radio de la circunferencia inscrita en el polgono.

F G

Siendo n, nmero de lados del polgono

H I

3. PERMETRO Y REA DE LA CIRCUNFERENCIAPara determinar el permetro y rea de una circunferencia se utiliza un valor constante e infinito no peridico de 3,1416..., llamado (phi).

Cmo se obtiene este valor?.

1 Busca algunos envases de base circular.

2 Con una lana recorre su contorno y mdela con una regla.3 Determina su dimetro utilizando un papel en el cual dibujas su base circular y la divides en la mitad.

4 Divide la medida del contorno en su dimetro y completa la tabla, qu observas?

ObjetoPermetroDimetroCuociente

La conclusin anterior permite establecer la relacin que existe entre el permetro de la circunferencia y su dimetro, medida con la cual se pueden establecer las frmulas de permetro de la circunferencia y rea del crculo.

Permetro de la circunferencia

r O

rea del crculo

r O

4. REA DE FIGURAS COMPUESTAS

Para determinar el rea de figuras compuestas se divide la figura en otras conocidas (cuadrados, rectngulos, tringulos, crculos), se calcula su rea respectiva y luego se suman 6 cm 4 cm

9 cm

3. CUERPOS GEOMTRICOS

3.1 ELEMENTOS Y CLASIFICACIN DE LOS CUERPOS GEOMTRICOS

1.1. DEFINICIN Y ELEMENTOS DE UN CUERPO GEOMTRICO:

Los cuerpos geomtricos son regiones del espacio limitadas por superficies planas y curvas o solamente curvas.

Todos los cuerpos tienen volumen o capacidad y ocupan un lugar en el espacio, diferencindose unas de

otras en que:

Unos cuerpos tienen ms lados que otros.

Sus bases pueden ser poligonales (triangulares, cuadradas, circulares, etc).

Los elementos de un cuerpo geomtrico son:

Ejemplos:

1.2 CLASIFICACIN DE LOS CUERPOS GEOMTRICOS

Rectos PRISMAS Sus aristas laterales son Tienen dos caras basales paralelas y congruentes. perpendiculares a las bases

Oblicuos

Sus aristas laterales no son

perpendiculares a la base

POLIEDROS

PIRMIDES

Tienen una sola cara basal y puede ser cualquier

polgono. Sus caras laterales son tringulos y

tienen un vrtice comn llamado cspide.CUERPOS

GEOMTRICOS

CONO

Cuerpo redondo que tiene una cara basal plana

y una cara lateral curva. Posee una arista y un vrtice

CUERPOS

REDONDOSCILINDRO

Tiene dos caras basales planas paralelas congruentes

Una cara lateral curva y dos aristas basales.

ESFERA

Cuerpo que tiene una sola cara curva1.3.-CARACTERSTICAS DE LOS CUERPOS GEOMTRICOS

A. POLIEDROS:

Estn limitados por polgonos, es decir, tiene caras planas. REGULARES: Tienen todas sus caras, aristas y ngulos iguales.

Resumen:

NOMBRECARAN de CARASN de VRTICESN de ARISTAS

TetraedroTringulo equiltero446

OctaedroTringulo equiltero8612

IcosaedroTringulo equiltero201230

Cubo HexaedroCuadrados6812

DodecaedroPentgono122030

PRISMAS:

Tienen dos caras iguales y paralelas, llamadas bases. Se nombran por su base. Sus caras laterales son paralelogramos.

Elementos de un prisma

PIRMIDES:

Una pirmide es un poliedro, cuya base es un polgono cualquiera y cuyas caras laterales son tringulos con un vrtice comn, que es el vrtice de la pirmide, llamado cspide.

Elementos de una pirmide

La altura de la pirmide es el segmento perpendicular a la base, que une la base con el vrtice.

Las aristas de la base se llaman aristas bsicas y las aristas que concurren en el vrtice, aristas laterales.

La apotema lateral de una pirmide regular es la altura de cualquiera de sus caras laterales.

B. CUERPOS REDONDOS:

Son cuerpos geomtricos que tienen, al menos, una cara curva. Se generan al girar una lnea alrededor de un eje, esta lnea se llama generatriz.

Los cuerpos redondos son el cono que nace de girar un tringulo rectngulo.El cilindro nace de girar un rectngulo y la esfera nace de girar un semicrculo alrededor de su dimetro.

Representacin grfica de los cuerpos redondos en revolucin:

a) Cilindro

b) Cono

a) Esfera:

d) Elementos bsicos de los cuerpos geomtricos

REDES DE CUERPOS GEOMTRICOS

Las redes de cuerpos geomtricos son la plantilla que nos permite armarlos. A continuacin te presentamos las redes de algunos cuerpos geomtricos.

A.- Redes de Prismas

B.- Redes de Pirmides:

C.- Redes de cuerpos redondos

D.- Redes de poliedros regulares:

REAS Y VOLUMENES DE LOS CUERPOS GEOMTRICOS

A. CUADRO DE FRMULAS

REA DE POLIEDROS REGULARES

FiguraEsquemaN de caras rea

Tetraedro4 caras, tringulos equilteros

Octaedro8 caras, tringulos equilteros

Cubo6 caras, cuadradosA = 6 a2

Dodecaedro12 caras, pentgonos regularesA = 30 a ap.

Icosaedro20 caras, tringulos equilteros

IV PARTE: TRANSFORMACIONES ISOMTRICAS

1. TIPOS DE TRANSFORMACIONES ISOMTRICAS:

1.1. CONCEPTUALIZACIN Y ESQUEMA DE LAS TRANSFORMACIONES ISOMTRICAS

Nuestro entorno no deja de maravillarnos. En la naturaleza, en el arte, en los legados de algunas culturas, entre otros, encontramos estructuras simtricas de una perfeccin asombrosa.

Cuando hablamos de simetra podemos distinguir dos tipos: aquella que se produce en torno a una recta, a la que conocemos como SIMETRA AXIAL, y aquella que se produce entorno a un punto, que conocemos como SIMETRA ROTACIONAL.

TRASNFORMACIONES ISOMTRICAS:

La palabra transformacin se asocia a cambios, el que puede ocurrir en la posicin, en el tamao del objeto o en la forma que puede experimentar una figura o un cuerpo geomtrico.

La transformacin isomtrica es aquella que no modifica las medidas del objeto sobre el cual acta, es decir, no cambia de longitud y por lo tanto no cambia su superficie.

Ejemplos:

Figura Inicial Imagen

C B E F

D A Transformacin D A

E F C B

ESQUEMA GENERAL DE TRANSFORMACIONES ISOMTRICAS

1. TRASLACIONES

Una traslacin es una transformacin isomtrica que desplaza todos los puntos de una figura en una misma magnitud, sentido y direccin, o sea, isometra en que todos los puntos se desplazan una distancia fija hacia sus imgenes a lo largo de trayectorias paralelas.

Una flecha dirigida, es la representacin grfica de lo que se denomina un vector. Todas las flechas que tienen igual magnitud (largo), la misma direccin (paralelas) y el mismo sentido representan un mismo vector. Una traslacin queda totalmente determinada por un vector.

Ejemplos:

B

vector

B

C A

composicin de traslaciones

C A

TRASLACIN EN EL SISTEMA CARTESIANO DE COORDENADAS:

En el sistema de coordenadas cartesianas un vector se nombra como un par ordenado (a,b), donde a indica un movimiento hacia la derecha (positivo) o izquierda (negativo) y b indica un movimiento hacia arriba (positivo) o abajo (negativo).

El dibujo muestra la traslacin esta indicada por el vector V, dibujado a partir del origen, cuyo punto final tiene coordenadas (2,3).

D C B

A

D C B

A

TALLER N 13: TRABAJANDO CON LAS TRASLACIONES

Materiales: Comps, escuadra, sistema cartesiano (dibujo), cuadricula.

1. Copia la figura en la cuadricula y trasldala de acuerdo con el vector dado.

A B C M R

C D

A B T

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

2. Con la ayuda del comps traslada, dibujando en cada vrtice un rayo paralelo en la direccin del vector, proyecta la imagen del polgono inicial. La magnitud se da por el comps.

A B

Vector

D

C

2. REFLEXIONES Y SIMETRA

Una reflexin, desde el punto de vista intuitivo, consiste en tomar una figura, sacarla del plano, darle media vuelta en torno a su eje (como una bisagra), para ponerla de nuevo en el plano, al otro lado del eje.

Una reflexin es una transformacin isomtrica fijada por una recta llamada eje de simetra. El segmento que une dos puntos correspondientes es perpendicular al eje de simetra y este ltimo es simetral de dicho segmento. Los puntos correspondientes se dicen simtricos respecto de su eje.

Ejemplos:

Eje

La simetra axial y la reflexin estn estrechamente relacionadas. Se dice que una figura tiene

simetra axial cuando hay un eje de simetra que puede dividirla en dos mitades idnticas respecto de

ste (al plegar el papel en relacin con el eje de simetra coinciden sus elementos).

COSNTRUYENDO REFLEXIONES:

Para realizar la construccin geomtrica de una reflexin debemos encontrar el simtrico de cada

vrtice respecto del eje de simetra.

Pasos:

1 Se traza de A una recta R perpendicular al eje de simetra determinando M.

2 Sabemos que A y su imagen A se encuentran a la misma distancia del eje de simetra; entonces se

copia AM sobre la recta R, a partir de M, determinando A (A y A deben encontrarse en lados

opuestos respecto del eje de simetra).

3 Del mismo modo se encuentran los puntos B, C, D y se completa la imagen.

Eje

C

B

D

A M A R

SIMETRA CENTRAL O PUNTUAL:

La simetra puntual o central de una figura en el plano es aquella transformacin isomtrica que

produce un movimiento de tal manera que la distancia entre los vrtices y el punto de simetra son

iguales.

Ejemplos:

C B

A

A

B Centro de simetra C

Una simetra central equivale a una rotacin en torno al centro de simetra en un ngulo de 180.

CONSTRUCCIN GEOMTRICA DE LA SIMETRA CENTRAL:

1 Se marca con un comps la distancia entre un vrtice y el centro, para posteriormente dibujar un

arco con centro en P y radio BP, originando el punto B, es decir, B=

2 Anlogamente se generan los puntos A y C, con el procedimiento anterior.

3 Se unen los puntos A, B y C formando as la figura. B imagen C A

P

X

A C B originalTALLER 14: CONSTRUYENDO SIMETRAS

1. Construye geomtricamente una reflexin de acuerdo con el eje de simetra

2. Construye la imagen de acuerdo a su centro P.

X

X

3. ROTACIN

Una rotacin es una transformacin isomtrica que mueve una figura en torno a un punto fijo, llamado centro de rotacin, y en un determinado ngulo, llamado ngulo de rotacin. El ngulo se dice positivo si el giro se realiza en el sentido contrario a los punteros del reloj, y negativo en el otro sentido.

En este caso se tiene el barquito en instantes y lugares diferentes, pero bajo ciertas condiciones. Las dos figuras estn a una misma distancia de la estaca y la cuerda que sujeta el barquito en ambas posiciones forma un ngulo.

CONSTRUCCIN DE UNA IMAGEN POR ROTACIN:

1 Centro de rotacin (P): que es un punto del plano elegido en forma convencional.

2 Medida del ngulo (): corresponde al giro en que se efectuar la rotacin.

3 Sentido de la rotacin: que puede ser positivo o negativo.Para designar una rotacin, se utilizan smbolos, par tal caso usaremos R(P; ).

CMO ROTAR UNA FIGURA EN EL PLANO?

1 Unimos mediante una recta el centro de rotacin P con el punto M que se va a rotar.

2 Se hace coincidir el centro del transportador con el centro indica la medida de de Y se traza la

recta PR.

3 Se marca en el plano el punto R donde el transportador indica la medida de de Y se traza la recta

PR.

4 Con el comps se toma la medida de PM y con el centro en P se traza un arco que intersecte PR, en el

punto que designamos por M1. Este punto es la rotacin del punto M.

TALLER : CONSTRUYENDO ROTACIONES

1. Rotar la figura del plano en un ngulo de 55 con centro en el punto P.

3. Rotar el pentgono en un ngulo de -120, con respecto al punto P.

P

2. TESELACIONES

Una teselacin o mosaico es un patrn de figuras repetidas que cubre, pavimenta o embaldosa una superficie plana sin dejar espacios ni sobreponer figuras.

Las teselaciones se construyen usando las transformaciones isomtricas anteriores, es decir, los movimientos de rotacin, traslacin y reflexin.

Observa la siguiente teselacin:

u

B A D C

60

0

TIPOS DE TESELACIONES:

2.1. TESELACIN REGULAR:

Una teselacin es regular cuando se construye usando un polgono regular y slo existen tres: las que se forman con tringulos equilteros, cuadrados y hexgonos regulares. Esto se debe a que se puede embaldosar el plano con polgonos regulares en la medida que su ngulo interior sea un divisor de 360.

En una teselacin, la cantidad mnima de polgonos que concurren en un vrtice es tres , por lo que resulta imposible que un polgono regular de ms de seis lados pueda embaldosar el plano. En estos casos, la medida del ngulo interior es mayor que 120 y la suma de tres de estos ngulos sobrepasa los 360.

Ejemplo:

2.2. TESELACIN SEMI-REGULAR:

Son aquellas que se forman combinando distintos polgonos regulares, las cuales son llamadas semirregulares. En ellas se observa que las medidas de los lados de los distintos polgonos utilizados es la misma.

Para construir este tipo de teselaciones se debe considerar que la suma de los ngulos interiores que concurren en un mismo vrtice sea de 360.

Ejemplo:

Existen 21 combinaciones posibles para formar teselaciones semirregulares , las que se obtienen

de combinar tringulos equilteros, cuadrados, hexgonos, octgonos, dodecgono.

Si adems se agrega que la configuracin de polgonos alrededor de cada vrtice sea la misma,

entonces se reduce a ocho, que son:

Dos cuadrados y tres tringulos equilteros (Resultan dos teselaciones distintas)

Dos hexgonos y dos tringulos equilteros.

Dos octgonos y un cuadrado.

Un dodecgono, un cuadrado y un hexgono.

Un hexgono y cuatro tringulos equilteros.

Dos dodecgonos y un tringulo equiltero.

Un hexgono, dos cuadrados y un tringulo equiltero.

2.3. TESELACIN CON POLGONOS NO REGULARES:

Es posible embaldosar el plano con polgonos irregulares, no olvidando que los ngulos que concurren en un vrtice sea de 360. Esto es posible de observar con tringulos escalenos, intentando formar un paralelogramo, lo cual se logra a travs de una rotacin de 180 en el punto medio de uno de sus lados.

TALLER 16: CONSTRUYENDO TESELACIONES

1. En grupo, construyan polgonos regulares de 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 12 lados. Debes considerar que la medida de los lados sea la misma.

a) Cada integrante toma un polgono e intenta formar una teselacin, copiando sucesivamente el polgono. En cul de ellos es posible formar una teselacin regular?. qu relacin tiene el nmero de polgonos que concurren en un punto con la medida del ngulo interior?. Dibuja tu resultado

b) Segn la conclusin anterior, por qu no es posible con los polgonos que no se logro crear una teselacin?

Respuesta:....................................................................................................................................................................

c) En los casos que fue posible crear la teselacin, describe los movimientos que fueron necesarios para formar la teselacin.

Respuesta:...................................................................................................................................................................

d) Combina polgonos para formar teselaciones semirregulares. Con cules fue posible formar teselaciones?

2. Dando formas a las teselaciones con el pentomin:

a) Ejemplo de teselacin con una pieza del pentomin

Luego de observar el ejemplo, arma una teselacin con otra pieza del pentomin. Dibjala en tu croquera.b) Teselando formas:

Recta de interseccin

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Se puede leer de dos formas:

EMBED Equation.3

(

ngulo Obtuso

Mide ms de 90 y menos de 180

ngulo Recto

Mide 90

NGULO AGUDO

Mide menos de 90

(

(

Extendido o Llano

Mide 180

EMBED Equation.3

( ( ( = 90

(

(

(

(

( + ( = 180

PASOS:

1 Ubicar el centro del trasportador en el vrtice del ngulo apuntando uno de los rayos a 0.

2 Verificar la proyeccin del otro rayo, el cual indica la medida del ngulo

B

EMBED Equation.3

C

ngulos correspondientes:

Son aquellos ngulos ubicados al mismo lado de las paralelas y al mismo lado de la transversal. Uno dentro de la cinta y el otro fuera de ella. Estos pares de ngulos tienen igual medida.

ngulos opuestos por el vrtice:

Son aquellos ngulos que se forman con la prolongacin de los lados del otro o viceversa. Estos pares de ngulos tienen igual medida.

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

ngulos alternos externos:

Estn ubicados a distinto lado de las paralelas y de la transversal, ambos fuera de la cinta. Estos pares de ngulos tienen igual medida.

ngulos alternos internos:

Son aquellos ngulos ubicados a distinto lado de la transversal y a distinto lado de las paralelas, ambos dentro de la cinta. Estos pares de ngulos tienen igual medida.

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

VRTICE

LADOS

Son el punto de unin entre

dos lados consecutivos

Cada uno de los trazos que

conforman el polgono

DIAGONALES

NGULOS

Son trazos que unen dos vrtices no consecutivos

Son las regiones comprendidas

entre cada par de lados

Vrtices: Son los puntos donde se interceptan los trazos. A, B, C

Lados: son los trazos que forman el polgono.

AB , BC, CA

ngulos Interiores: Son los que se forman con la

interseccin de dos lados.

Equiltero

Tres lados de igual medida.

Medida de sus lados

Issceles

Dos de sus lados de igual medida

Escaleno

Sus tres lados son de distinta medida

EMBED Equation.3 TRINGULOS

Acutngulo

Sus tres ngulos son agudos

Rectngulo

Uno de sus ngulos es recto

Medida de sus ngulos

Obtusngulo

Uno de sus ngulos es obtuso

Un tringulo tiene tres alturas, una por cada lado (ha, hb, hc).El punto O donde concurren las tres alturas se llama

ORTOCENTRO (H).

El lado y su altura forman un ngulo de 90

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

En la figura:

El punto de interseccin de las bisectrices recibe el nombre de INCENTRO (O), que corresponde al centro de la circunferencia inscrita al tringulo.

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Mediana EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 puntos medios

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

HIPOTENUSA

a

CATETOS

b

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

d

6,8 cm

h

14 cm

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Circunferencia

O

O

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Dimetro (d): Segmento que une

el centro de la con dos puntos

cualquiera de ella.

Radio (r): Segmento que une

el centro de la con cualquier

punto de ella.

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

d

r

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Secante: Recta que intersecta

a la en dos puntos. B

A

Cuerda: Segmento que une dos

Puntos cualquiera de la .

B

A

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Tangente: Recta que intersecta

a la circunferencia en un

punto llamado punto de T

tangencia

Arco: Es la porcin de la

comprendida entre dos puntos

de ella.

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

O

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

TEOREMA: El ngulo inscrito es igual a la mitad del ngulo del centro que subtiende el mismo

arco.

B

A C

O

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Km

Hm mltiplos del metro

Dm

Dm

Cm submltiplos del metro

Mm

Km

0

Hm

0

Se divide

Dm

0

Expresar 125 cm en m:

125 : 100 = 1,25 m

Expresar 6 km en dm:

6 . 10000= 60.000 dm

m

Se multiplica

0

Dm

0

Cm

0

mm

0

Las unidades de volumen del sistema mtrico decimal son:

Kilmetro cuadrado : EMBED Equation.3

Hectmetro cuadrado : EMBED Equation.3

Decmetro cuadrado : EMBED Equation.3

Metro cuadrado : EMBED Equation.3

Decmetro cuadrado : EMBED Equation.3

Centmetro cuadrado : EMBED Equation.3

Milmetro cuadrado : EMBED Equation.3

Su equivalencia entre una unidad y la inmediata es de:

10 . 10 = 100 unidades cbicas

EMBED Equation.3

000

EMBED Equation.3

000

EMBED Equation.3

Se divide

000

EMBED Equation.3

000

EMBED Equation.3

Se multiplica

000

EMBED Equation.3

000

EMBED Equation.3

000

Expresar 5 m EMBED Equation.3 en cm EMBED Equation.3 :

5. 10.000 = 50.000 cm EMBED Equation.3

Expresar 2.000 mm EMBED Equation.3 en dm EMBED Equation.3 :

2.000 : 10.000 = 0,2 dm EMBED Equation.3

Las unidades de volumen del sistema mtrico decimal son:

Kilmetro cbico : EMBED Equation.3

Hectmetro cbico : EMBED Equation.3

Decmetro cbico : EMBED Equation.3

Metro cbico : EMBED Equation.3

Decmetro cbico : EMBED Equation.3

Centmetro cbico : EMBED Equation.3

Milmetro cbico : EMBED Equation.3

Su equivalencia entre una unidad y la inmediata es de:

10 . 10 . 10 = 1.000 unidades cbicas

EMBED Equation.3

000

EMBED Equation.3

000

EMBED Equation.3

Se divide

000

EMBED Equation.3

000

EMBED Equation.3

Se multiplica

000

EMBED Equation.3

000

EMBED Equation.3

000

Existe una equivalencia entre el volumen y la capacidad de un cuerpo que se basa en la relacin entre el decmetro cbico y el litro.

Si tenemos un recipiente con agua hasta borde e introducimos en l un cubo slido que mida 1 dm por lado, es decir, EMBED Equation.3 , recibiendo el agua que se derrama, podremos comprobar que el agua desplazada es igual a un litro.

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Expresar 5 m EMBED Equation.3 en cm EMBED Equation.3 :

. 1.000.000 = 5.000.000 cm EMBED Equation.3

Expresar 2.000 mm EMBED Equation.3 en dm EMBED Equation.3 :

2.000 : 1.000.000 = 0,002 dm EMBED Equation.3

b

a

a

a

a

a

c

b

a

b

b

a

a

a

a

a

a

a

a

a

b

b

a

a

a

b

a

b

c

a

a

a

a

a

d

b

c

c

b

a

a

d

b

b

a

a

a

A

B

C

A

A

6 cm

3 cm

P= 3 + 5 + 6 = 14 cm

6

5

3

5 cm

C

B

3 cm

EMBED Equation.3

2 cm

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

O

EMBED Equation.3

a

EMBED Equation.3

a

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Caras: Corresponde a cada un de los lados (polgonos) del cuerpo

Aristas: Corresponde a los segmentos de recta que limitan las

caras

Vrtices: Corresponden a los puntos de interseccin de tres o

ms aristas.

1 Cara

0 Aristas

0 Vrtices

6 Caras

12 Aristas

8 Vrtices

3 Caras

2 Aristas

0 Vrtices

5 Caras

8 Aristas

5 Vrtices

cspide

OCTAEDRO

Tiene 8 caras que son tringulos equilteros.

CUBO HEXAEDRO

Tiene 6 caras que son cuadrados.

TETRAEDRO:

Tiene 4 caras que son tringulos equilteros

ICOSAEDRO

Tiene 20 caras que son tringulos equilteros

DODECAEDRO

Tiene 12 caras que son pentgonos regulares

Eje giro

Generatriz

Radio

Generatriz

Base

radio

Generatriz

generatriz

Radio

Eje de giro

Base

radio

Generatriz

Centro

Radio

Dimetro

CONO

CILINDRO

ESFERA

PRISMA DE BASE TRIANGULAR

PRISMA DE BASE HEXAGONAL

PARALELEPIPEDO

PRISMA DE BASE CUADRADA

PRISMA DE BASE CUADRADA

PIRMIDE DE BASE HEXAGONAL

PRISMA DE BASE OCTAGONAL

PRISMA DE BASE TRIANGULAR

ESFERA

CILINDRO

CONO

TETAEDRO

CUBO O HEXAEDRO

ICOSAEDRO

DODECAEDRO

OCTAEDRO

Traslaciones

Teselaciones con un polgono regular

Simetra

Rotacional

Teselaciones

semirregulares

Teselaciones

Rotaciones

Transformaciones

Isomtricas

Simetra

Central

Teselaciones con polgonos no regulares

Reflexiones

Simetra

Axial

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Se observa que A(-3,-1) se traslada a A(2,3), y que las coordenadas de A se pueden calcular a partir de las coordenadas de A sumando 5 a la abscisa y 4 a la ordenada. En general, un punto (x,y) que se traslada a otro se puede escribir como (x + 2, y + 3), donde 2 y 3 corresponden a los valores del vector final.

V

P

D C

E

B

A

Para obtener la regin cuadrada B se traslada la regin cuadrada A en el vector u.

Para la regin cuadrada C, se utiliza el vector w.

Para la regin cuadrada D, se utiliza el vector v

D

C

EMBED Equation.3

A

B

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Para obtener la regin triangular B se rota la regin triangular A con respecto a 0 en 60.

Para obtener la regin C se traslada la regin triangular A en el vector u

Para obtener la regin D se rota la regin triangular C respecto de P en 60.

En esta construccin necesitamos rotaciones y traslaciones

EMBED PowerPoint.Slide.8

EMBED PowerPoint.Slide.8

PAGE Vctor Contador Villegas1

_1369131610.unknown

_1370339483.unknown

_1380460258.unknown

_1439845777.unknown

_1439845881.unknown

_1439845921.unknown

_1439846013.unknown

_1439846048.unknown

_1439846100.unknown

_1439846038.unknown

_1439845948.unknown

_1439845900.unknown

_1439845907.unknown

_1439845889.unknown

_1439845822.unknown

_1439845866.unknown

_1439845874.unknown

_1439845849.unknown

_1439845796.unknown

_1439845814.unknown

_1439845787.unknown

_1380461518.unknown

_1439845750.unknown

_1439845763.unknown

_1386509138.ppt

1 Dibuja un rectngulo de cualquier medida.2 Dibujar a modo de ejemplo un tringulo que cubra parte del interior del mismo.3 Repetir el tringulo en forma invertida para producir el efecto que la parte que se saca del interior del tringulo se reponga en la parte exterior.4 Se repite la secuencia 2 y 3 en la parte inferior del rectngulo y a embaldosar el plano.

_1439663537.ppt

El embaldosado con Transformaciones Isomtricas

1 Dibuja un cuadrado de cualquier medida.2 Se observa que la unin de 5 cuadrados forma una cruz con la cual se puede embaldosar el plano.

_1380461556.unknown

_1380461255.unknown

_1380461287.unknown

_1380461296.unknown

_1380461273.unknown

_1380460658.unknown

_1380460742.unknown

_1380460639.unknown

_1380455596.unknown

_1380456191.unknown

_1380456356.unknown

_1380460199.unknown

_1380456208.unknown

_1380456239.unknown

_1380456038.unknown

_1380456082.unknown

_1380456167.unknown

_1380456009.unknown

_1370348794.unknown

_1380455162.unknown

_1380455572.unknown

_1380454323.unknown

_1380455030.unknown

_1370349819.unknown

_1370350348.unknown

_1370347022.unknown

_1370348378.unknown

_1370347695.unknown

_1370339535.unknown

_1370192157.unknown

_1370195939.unknown

_1370196113.unknown

_1370331826.unknown

_1370338786.unknown

_1370196231.unknown

_1370196022.unknown

_1370196095.unknown

_1370195960.unknown

_1370192400.unknown

_1370192431.unknown

_1370192446.unknown

_1370192416.unknown

_1370192259.unknown

_1370192364.unknown

_1370192204.unknown

_1369732381.unknown

_1370179989.unknown

_1370180087.unknown

_1370180602.unknown

_1370180743.unknown

_1370180793.unknown

_1370180128.unknown

_1370180059.unknown

_1370179859.unknown

_1370179901.unknown

_1369740986.unknown

_1369131818.unknown

_1369728261.unknown

_1369729478.unknown

_1369723475.unknown

_1369131862.unknown

_1369648217.unknown

_1369131660.unknown

_1369131667.unknown

_1369131619.unknown

_1368468050.unknown

_1369128631.unknown

_1369129793.unknown

_1369130095.unknown

_1369130559.unknown

_1369130694.unknown

_1369130771.unknown

_1369130552.unknown

_1369130029.unknown

_1369129248.unknown

_1369129785.unknown

_1369129113.unknown

_1369126186.unknown

_1369126219.unknown

_1369127651.unknown

_1369127806.unknown

_1369128318.unknown

_1369127752.unknown

_1369127658.unknown

_1369126422.unknown

_1369127124.unknown

_1369127179.unknown

_1369127130.unknown

_1369126227.unknown

_1369126210.unknown

_1368518741.unknown

_1369125715.unknown

_1369125122.unknown

_1369125139.unknown

_1368518743.unknown

_1368518569.unknown

_1368518716.unknown

_1368468649.unknown

_1368462350.unknown

_1368464735.unknown

_1368466329.unknown

_1368467981.unknown

_1368468017.unknown

_1368466403.unknown

_1368467874.unknown

_1368466215.unknown

_1368466275.unknown

_1368465851.unknown

_1368466166.unknown

_1368465794.unknown

_1368463877.unknown

_1368463993.unknown

_1368464146.unknown

_1368463924.unknown

_1368462457.unknown

_1368463723.unknown

_1368463766.unknown

_1368463800.unknown

_1368463614.unknown

_1368463653.unknown

_1368463558.unknown

_1368462396.unknown

_1352193159.unknown

_1368434486.unknown

_1368435355.unknown

_1368462291.unknown

_1368435597.unknown

_1368435158.unknown

_1368434553.unknown

_1352616280.unknown

_1368434005.unknown

_1368434272.unknown

_1368434397.unknown

_1368434226.unknown

_1368433764.unknown

_1352193572.unknown

_1352223128.unknown

_1339479015.unknown

_1352015198.unknown

_1352183141.unknown

_1352184333.unknown

_1352185508.unknown

_1352111085.unknown

_1352013448.unknown

_1352015073.unknown

_1339486545.unknown

_1339486702.unknown

_1339486598.unknown

_1339479252.unknown

_1339478678.unknown

_1339478828.unknown

_1339319546.unknown

_1339445432.unknown

_1339319531.unknown