Cuaderno de Geometría

5/14/2018 Cuaderno de Geometría - slidepdf.com

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Coincidentes

Se cortan en un punto. Cuando no tienen ningúnpunto en común.

Todos sus puntos soncomunes.

Dividen el plano encuatro cuadrantes.

Geometría plana

Recta: Sucesión de puntos alineados. Una recta no tiene principio ni fin.

Un punto divide a una recta en dos partes. Cada una de ellas se denomina semirrecta.Semirrecta: Es una recta que tiene principio pero no fin.

Posiciones relativas de dos rectas en el plano:Dos rectas en el plano pueden ser secantes, paralelas, coincidentes y perpendiculares.

Ángulo: Porción de plano determinado por dos semirrectas, que parten de un mismo punto denominado vértice.

Los ángulos se miden en grados. Una circunferencia entera mide 360º.

Tipos de ángulos:

Ángulo llano: Mide 180º. La mitad de la circunferencia.

Ángulo convexo: Mide menos de un llano.

Ángulo cóncavo: Mide más de un llano.

A su vez, los ángulos convexos, pueden ser:

Ángulo recto: Mide 90º. La cuarta parte de una circunferencia.

Ángulo agudo: Mide menos de un recto.

Ángulo obtuso: Mide más de un recto.

Ángulo agudo Ángulo obtuso

Recta

Semirrecta

Ángulo recto

Ángulo convexo

Ángulo llano Ángulo cóncavo

ParalelasSecantes Perpendiculares



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Ejercicio nº1Escribe el nombre de los siguientes ángulos:

Instrumentos de medida de longitud: Regla graduada, metro, cinta métrica, cuentakilómetros, etc.

Instrumentos de medida de ángulos: Transportador, sextante, etc.

Ejercicio nº2Indica el instrumento de medida que utilizarías para medir:

a) La longitud del carnet de identidad ............................................................

b) La longitud de la mesa de la cocina ............................................................

c) La anchura de la carretera ............................................................

d) La distancia recorrida por un coche ............................................................Ejercicio nº3Vamos a medir longitudes de los lados del triángulo de la figura, para ello, vamos a disponer de una regla.

Longitud del lado a =..........................Longitud del lado b = ..........................Longitud del lado c = ..........................

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Regla graduada

Escuadra

Cinta métrica

Transportador

b

c

a

Metro

Sextante



Ejercicio nº4Vamos a medir longitudes de los lados y las medidas de los ángulos del triángulo de la figura, para ello, vamos adisponer de una regla y de un transportador.

Longitud del lado a = ................

Longitud del lado b = ................Longitud del lado c = ................Valor del ángulo A = ..................

Valor del ángulo B = ..................Valor del ángulo C = .................

Ejercicio nº5

Vamos a medir longitudes de los lados y las medidas de los ángulos del cuadrilátero de la figura.

Longitud del lado a = ................Longitud del lado b = ................Longitud del lado c = ................Longitud del lado d = ................Valor del ángulo A = ..................Valor del ángulo B = ..................Valor del ángulo C = .................Valor del ángulo D = .................

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Segmento: Es un trozo de recta comprendido entre dos puntos.

Línea poligonal: Es una sucesión de segmentos colocados unos a continuación de otro.

Línea poligonal cerrada: Es una línea poligonal que empieza y acaba en el mismo punto.

Polígono: Es la porción de plano delimitado por una línea poligonal cerrada.

Lado: Cada uno de los segmentos que delimitan el polígono.Vértice: Puntos donde coinciden dos lados.Diagonal: Segmento que une dos vértices no consecutivos.

Tipos de polígonosSegún el número de lados los polígonos se denominan:

∗ Triángulos si tienen tres lados.

∗ Cuadriláteros si tienen cuatro lados.

∗ Pentágonos si tienen cinco lados.

∗ Hexágonos si tienen seis lados.

∗ Heptágono si tienen siete lados.

∗ ……………..

Polígono regular : Es un polígono que tiene todos sus lados y todos sus ángulos iguales.

Apotema en un polígono regular es el segmento que une el centro del polígono con el punto medio de un lado.

Según el número de lados tenemos:

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A B

A

BC

D

C

A

B

F E

D

lado

Triánguloequilátero

cuadrado Pentágonoregular

Hexágonoregular

Octógonoregular

C

A

B

F E

D

vértice

diagonal

ap



Triángulos: Polígonos de tres lados.

Tipos de triángulos:

∇ Según sus lados

∇ Según sus ángulos

Cuadriláteros: Polígonos de cuatro lados.

Tipos de cuadriláteros:

∇ Paralelogramo: Tiene sus lados paralelos dos a dos.

∇ Trapecio: Tiene dos lados paralelos, los otros dos, no.

∇ Trapezoide: No tiene lados paralelos

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equilátero isósceles escaleno

acutángulo rectángulo obtusángulo

Tiene sus tres ladosiguales.

Tiene dos lados iguales yuno distinto.

Sus tres lados sondistintos.

Tiene sus tres ángulosagudos.

Tiene un ángulorecto.

Tiene un ánguloobtuso.

cuadrado rombo romboide

trapecio isósceles trapecio rectángulo

trapezoide

rectángulo

trapecio escaleno



Ejercicio nº6Escribe el nombre de los siguientes polígonos:

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Perímetro de un polígono: Es la suma de las longitudes de todos sus lados.

Las longitudes se miden en unidades lineales, metros, centímetros, milímetros, etc.En la figura de abajo cada cuadro tiene una longitud de 1 cm. Si medimos todo el contorno de la figura obtenemos superímetro.

Perímetro = 5 + 3 + 5 + 3 = 16 cm

Ejercicio nº7Calcula el perímetro de las siguientes figuras:

(Suponemos que cada cuadro tiene una longitud de 1 cm de lado.)

Perímetro A =

Perímetro B =

Ejercicio nº8

Calcula el perímetro de las siguientes figuras:

Perímetro = Perímetro = Perímetro =

No es necesario, siempre conocer todos los lados de un polígono. Hay ocasiones que podemos calcular algunos deellos.

Teorema de Pitágoras

Teorema de Pitágoras

Enunciado: En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Si desconocemos uno de los catetos, despejamos en la fórmula y quedaría:

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5 cm

3 cm

Figura A Figura B

l = 5 ml = 40 dm

b = 650 cm

a = 250 cm

ab

c

2 2 2a b c= +

2 2 2b a c= −



Ejercicio nº9Dado el triángulo de la figura, halla el valor de la hipotenusa a.

Ejercicio nº10En el triángulo de la figura conocemos la hipotenusa y un cateto. Halla el otro cateto.

Cálculo de la altura de un triángulo isósceles:

Vamos a utilizar el Teorema de Pitágoras para calcular la altura de un triángulo isósceles.

Ejercicio nº11Halla la altura del triángulo isósceles de la figura. Una vez hallada la altura calcula el área del triángulo.

Área de un polígono: Es la porción de plano que contiene.

Las superficies o áreas se miden en unidades cuadradas, metros cuadrados, centímetros cuadrados, etc.

Medir una superficie es compararla con una unidad cuadrada. En el ejemplo de la figura tomamos como unidad demedida:

→1 cm2 (un centímetro cuadrado)

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ab = 5 cm

c = 12 cm

a = 10 mb

c = 8 m

l = 10 m l = 10 m

b = 12 m

hl = 10 m

h

b/2 = 6 m

2 2 2h 10 6= −2h 100 36 64= − =

h 64= h 8 m=

Dividimos el triángulo en dostriángulos rectángulos. Uno deellos sería:

Aplicamos el Teorema de Pitágoras

l = 13 m

b = 10 m

h

l = 13 m



Vamos a medir el área de la figura de abajo. ¿Cuántas veces está incluido 1 cm2? Si contamos vemos que hay 15cuadrados como el de arriba, por tanto tiene una superficie ó área de 15 cm2.

Ejercicio nº12Calcula el área del rectángulo de la figura si cada cuadro corresponde a 1mm2.

Área =

Ejercicio nº13

Calcula el área de la figura si cada cuadro corresponde a 1mm2. (Lafigura es la parte coloreada)(Marca cada cuadro entero a medida que los vas contando. Luegomarca los medios cuadros)

Área =

Ejercicio nº14Calcula el área de la figura si cada cuadro corresponde a 1cm2. (La figura es la parte coloreada)

Área =

¿Es necesario tener una cuadrícula y contar los cuadritos para saber el área de una figura?

No, podemos utilizar fórmulas para calcular el área, sabiendo las dimensiones de la figura.

Vamos a ver algunas de las fórmulas que debemos de conocer para calcular el área de algunas figuras.

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Área = 15 cm2



Área de un triángulo:

Área del triángulo

En nuestro caso

2b a 10 6 A 30 cm

2 2

⋅ ⋅= = =

Ejercicio nº15Calcula el área de los siguientes triángulos si la cuadrícula está dividida en centímetros.

b a Área1

2

⋅= = = b a

Área 22

⋅= = =

b a Área 3

2

⋅= = =

Ejercicio nº16Calcula el área del siguiente triángulo. Toma con una regla las medidas que necesites.

Medidas:

Área =

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base altura Área2

×=

Triángulo 1 Triángulo 2 Triángulo 3



l = 6 cm

a = 6 cm

b = 10 cm

b = 10 cm

a = 6 cm

Área de un cuadrado:

Área del cuadrado

En nuestro caso:

Área = l2 = 62 = 36 cm2

Área de un rectángulo:

Área del rectángulo

En nuestro caso:

Área = b·a = 10 · 6 = 60 cm2

Área de un romboide:

Área del romboide

En nuestro caso:

Área = b·a = 10 · 6 = 60 cm2

Área de un rombo:

Á rea del rombo

Si D = 8 cm y d = 5 cm

En nuestro caso:

Área =D d 8 5

2 2

⋅ ⋅= = 20 cm2

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( )2

Área lado=

Área base altura= ×

Diagonal mayor diagonal menor Área2

×=

Área base altura= ×

D = 8 cm

d = 5 cm



b = 9 ml = 4 m

a = 4 ml = 4 m

l

Área de un trapecio:

Área del trapecio

Si B = 8 cm b = 5 cm y h = 4 cm

En nuestro caso:

Área =B b 8 5

h 42 2

+ +⋅ = ⋅ = 26 cm2

Ejercicio nº17Halla el área de las siguientes figuras: (Tienes que tener cuidado con las unidades en que vienen expresadas)

Área = Área =

Ejercicio nº18Observa la figura y contesta a las siguientes preguntas:(Las medidas están dadas en cm)

a) ¿Cómo se llama este polígono?

b) ¿Cuánto mide su diagonal mayor? ¿Y la menor?

c) Utiliza el Teorema de Pitágoras para hallar el lado l.d) Halla su perímetro.

e) Halla su área.

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Base mayor base menor

Área 2

+= ×

b = 5 cm

B = 8 cm

h = 4 cm



h = 4 cm

B = 8 cm

b = 5 cm

l

Ejercicio nº19Observa la figura y contesta a las siguientes preguntas:

a) ¿Cómo se llama este polígono?

b) Utiliza el Teorema de Pitágoras para hallar el lado l.c) Halla su perímetro.

d) Halla su área.

Ejercicio nº20

Halla el perímetro de las siguientes figuras:

Ejercicio nº21

Halla el área de las siguientes figuras:

Área de un polígono regular:

Área de un polígono regular

Si l = 4 cm y ap = 3,46 cmPerímetro = 6·4 = 24 cm

En nuestro caso p 2p a 24 3,46

A 41,52 cm2 2

⋅ ⋅= = =

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l=1,5 cm

a=2 cm

b=3 cm

1,5 cm

2 cm

3 cm

2 cm

4 cm

l =2,5 cm

D=4 cm

d=3 cm

perímetro apotema Área

2

×=

l

ap



Ejercicio nº22Sea el polígono de la figura:Sabemos que su lado mide 4 cm y su apotema 4,83 cm.

Halla:a) Su perímetro.b) Su área

Figuras circulares:

Circunferencia: Es el conjunto de los puntos que equidistan de un punto llamado centro.

Longitud de la circunferencia

Siendo π = 3,1416….

π es un número irracional que estudiaremos en cursos posteriores. Ahora sólo nos interesa saber su valor.Nosotros trabajaremos con dos aproximaciones:

Redondeo a las décimas: π 3,1Redondeo a las centésimas: π 3,14

Si r = 8 cmEn nuestro caso: longitud= 2 r 2 3,14 8⋅ π ⋅ ⋅ ⋅; = 50,26 cm

Arco de circunferencia: Es la porción de circunferencia delimitada por dos radios.

Longitud del arco

Siendo π = 3,1416….

nº es el ángulo α medido en grados sexagesimales.

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Diámetro

Centro

Cuerda

Radio Longitud 2 r = ⋅ π ⋅

α

arco

2 r nºLongitud360º

⋅ π ⋅ ⋅=

ap = 4,83 cm

l = 4 cm



C írculo: Es la porción de superficie delimitada por una circunferencia.

Área del círculo

Si tenemos un círculo de 12 cm de radio.

En este caso Área= 2 2 2r 3,14 12 452,16 cmπ ⋅ =;

Sector circular: Es la porción de la superficie de un circulo delimitada por dos de sus radios.

Área del sector

Si tenemos un círculo de 12 cm de radio.

En este caso Área = 2 2 2r 3,14 12 452,16 cmπ ⋅ =;

Segmento circular: Es la porción de la superficie de un circulo delimitada por una cuerda y el arco que determina en lacircunferencia.

Área del segmento

Corona circular: Es la porción de la superficie comprendida entre dos circunferencias concéntricas.

Área de la corona

Ejercicio nº23Sea una circunferencia de radio R=4 cm. Se pide:

a) Longitud de la circunferencia.b) Área del círculo que encierra la circunferencia.

Si consideramos un ángulo central de 30º, como indica la figura, halla:c) Longitud del arco de circunferencia que determina dicho ángulo.d) Área del sector circular determinado por el arco y los dos radios.

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2 Área r = π ⋅r

2r nº Área

360º

π ⋅ ⋅=

r

nº

sec tor triángulo Área A A= −

2 2 Área R r = π − π ⋅

r

nº h b

R=4 cm

nº=30º

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