DOCUMENTO DE APOYO PEDAGGICO

TRANSFORMACIN ENTRE LOS TRES TIPOS DE COORDENADAS DE VECTORES

TRANSFORMACIN DE COORDENADAS RECTANGULARES A POLARES:EJERCICIO 1:Expresar el vector = (-3, -5) m mediante coordenadas polares.La forma bsica de las coordenadas rectangulares es = (Ax, Ay) u. Entonces, notamos que:Ax = -3m (Recuerde que la u significa la unidad en que se miden las magnitudes)Ay = -5m La forma bsica de las coordenadas polares es = (Au, N). Esta expresin nos dice que para transformar a coordenadas polares necesitamos hallar el mdulo y el ngulo normal del vector :MDULO:Para hallar el mdulo siempre usaremos el TEOREMA DE PITFORAS:A = FRMULAA = mA = mA = m (Si es posible hay que sacar la raz cuadrada pero no si nos sale con decimales)Ahora aplicamos la TANGENTE DEL NGULO para hallar el ngulo reducido:tan R = FRMULAtan R = tan R = 1,6666 Trabajemos con 4 decimales despus de la coma R = tan-1 (1,6666) CALCULADORAR = 59,04 Ya calculado el ngulo reducido debemos fijarnos en qu cuadrante se encuentra el vector, para ello realizamos el grfico del vector en el plano cartesiano:

Se ve que el vector se encuentra en el tercer cuadrante, entonces para hallar el ngulo normal usamos la frmula del tercer cuadrante:N = 180 + R FRMULAN = 180 + 59,04N = 239,04Ahora, ya hemos hallado el mdulo y el ngulo normal del vector y lo nico que nos falta es anotar la frmula bsica de las coordenadas polares y reemplazar en ella los dos valores hallados: = (Au, N) = ( m, 239,04) SOLUCIN

EJERCICIO 2:Expresar el vector = (-7, 4) N mediante coordenadas polares.La forma bsica de las coordenadas rectangulares es = (Bx, By) u. Entonces, notamos que:Bx = -7 N (Recuerde que la u significa la unidad en que se miden las magnitudes)By = 4 N La forma bsica de las coordenadas polares es = (Bu, N). Esta expresin nos dice que para transformar a coordenadas polares necesitamos hallar el mdulo y el ngulo normal del vector :MDULO:Para hallar el mdulo siempre usaremos el TEOREMA DE PITFORAS:B = FRMULAB = NB = NB = N (Si es posible hay que sacar la raz cuadrada pero no si nos sale con decimales)Ahora aplicamos la TANGENTE DEL NGULO para hallar el ngulo reducido:tan R = FRMULAtan R = tan R = - 0,5714 Trabajemos con 4 decimales despus de la comaR = tan-1 (- 0,5714) CALCULADORAR = - 29,74 (El signo slo nos indica que el ngulo reducido gira en el sentido del reloj y no se considera dicho signo para el clculo del ngulo normal)Ya calculado el ngulo reducido debemos fijarnos en qu cuadrante se encuentra el vector, para ello realizamos el grfico del vector en el plano cartesiano:

Se ve que el vector se encuentra en el segundo cuadrante, entonces para hallar el ngulo normal usamos la frmula del segundo cuadrante:N = 180 - R FRMULAN = 180 - 29,74N = 150,26Ahora, ya hemos hallado el mdulo y el ngulo normal del vector y lo nico que nos falta es anotar la frmula bsica de las coordenadas polares y reemplazar en ella los dos valores hallados: = (Bu, N) = ( N; 150,26) SOLUCIN

TRANSFORMACIN DE COORDENADAS POLARES A RECTANGULARES:EJERCICIO 1:Expresar el vector = (5m, 25) mediante coordenadas rectangulares.La forma bsica de las coordenadas polares es = (Au, N). Entonces, notamos que:A = 5m (Recuerde que la u significa la unidad en que se miden las magnitudes)N = 25 La forma bsica de las coordenadas rectangulares es = (Ax, Ay) u. Esta expresin nos dice que para transformar a coordenadas rectangulares necesitamos la componente en x (Ax) y la componente en y (Ay) del vector :CLCULO DE LAS COMPONENTES:Para hallar las componentes siempre usaremos el SENO y el COSENO del ngulo normal:Ax = A.cos N FRMULAAy = A.cos N Ax = 5m.cos 25 Ay = 5m.sen 25 Ax = 4,53m Ay = 2,11m (Aqu s es posible dejar las respuestas con decimales)Ahora, ya hemos hallado ambas componentes del vector y lo nico que nos falta es anotar la frmula bsica de las coordenadas rectangulares y reemplazar en ella los dos valores hallados: = (Ax, Ay) u = (4,53; 2,11) m.SOLUCINEs necesario realizar un grfico, el cual nos quedara:

EJERCICIO 2:Expresar el vector = (6N, 215) mediante coordenadas rectangulares.La forma bsica de las coordenadas polares es = (Cu, N). Entonces, notamos que:C = 6N (Recuerde que la u significa la unidad en que se miden las magnitudes)N = 250 La forma bsica de las coordenadas rectangulares es = (Cx, Cy) u. Esta expresin nos dice que para transformar a coordenadas rectangulares necesitamos la componente en x (Cx) y la componente en y (Cy) del vector :CLCULO DE LAS COMPONENTES:Para hallar las componentes siempre usaremos el SENO y el COSENO del ngulo normal:Cx = C.cos N FRMULACy = C.cos N Cx = 6N.cos 215 Cy = 6N.sen 215 Cx = - 4,91NCy = - 3,44N (Aqu s es posible dejar las respuestas con dos decimales normalmente)Ahora, ya hemos hallado ambas componentes del vector y lo nico que nos falta es anotar la frmula bsica de las coordenadas rectangulares y reemplazar en ella los dos valores hallados: = (Cx, Cy) u = (- 4,91; - 3,44) N.SOLUCINEs necesario realizar un grfico, el cual nos quedara:

TRANSFORMACIN DE COORDENADAS POLARES A GEOGRFICAS:EJERCICIO 1:Expresar el vector = (6N, 215) mediante coordenadas geogrficas.La forma bsica de las coordenadas polares es = (Cu, N). Entonces, notamos que:C = 6N (Recuerde que la u significa la unidad en que se miden las magnitudes)N = 215 La forma bsica de las coordenadas geogrficas es = (Cu, ). Esta expresin nos dice que para transformar a coordenadas polares necesitamos el mdulo (que ya tenemos) y el ngulo del vector :CLCULO DEL NGULO :Para hallar el valor de dicho ngulo debemos primeramente graficar el vector y ver en qu cuadrante queda ubicado:

Como vemos, el vector queda ubicado en el tercer cuadrante. Primero, hallamos el ngulo reducido teniendo el ngulo normal de 215 usamos para ello la frmula para el tercer cuadrante:N = 180 + RDespejamos R:180 + R = NR = N - 180Reemplazamos N por su valor de 215:R = 215 - 180R = 35Con este ngulo reducido ya podemos hallar el ngulo , recuerde que este ngulo siempre se halla con la frmula siguiente: = 90 - R = 90 - 35 = 55Aqu, nuevamente nos dirigimos al grfico y vemos de donde a donde se dirige geogrficamente el ngulo , y como vemos se dirige desde el SUR (S) hacia el OESTE (O). Entonces, escribimos la frmula bsica de las coordenadas geogrficas y all reemplazamos los valores del mdulo y del ngulo dirigido de SUR a OESTE: = (Cu, ) = (6N, S 55O)SOLUCIN

EJERCICIO 2:Expresar el vector = (5m, 300) mediante coordenadas geogrficas.La forma bsica de las coordenadas polares es = (Du, N). Entonces, notamos que:D = 6N (Recuerde que la u significa la unidad en que se miden las magnitudes)N = 300 La forma bsica de las coordenadas geogrficas es = (Du, ). Esta expresin nos dice que para transformar a coordenadas polares necesitamos el mdulo (que ya tenemos) y el ngulo del vector :CLCULO DEL NGULO :Para hallar el valor de dicho ngulo debemos primeramente graficar el vector y ver en qu cuadrante queda ubicado:

Como vemos, el vector queda ubicado en el cuarto cuadrante. Primero, hallamos el ngulo reducido teniendo el ngulo normal de 300 usamos para ello la frmula para el cuarto cuadrante:N = 360 - RDespejamos R:R = 360 - NReemplazamos N por su valor de 300:R = 360 - 300R = 60Con este ngulo reducido ya podemos hallar el ngulo , recuerde que este ngulo siempre se halla con la frmula siguiente: = 90 - R = 90 - 60 = 30Aqu, nuevamente nos dirigimos al grfico y vemos de donde a donde se dirige geogrficamente (norte, sur, este, oeste) el ngulo , y como vemos se dirige desde el SUR (S) hacia el ESTE (E). Entonces, escribimos la frmula bsica de las coordenadas geogrficas y all reemplazamos los valores del mdulo y del ngulo dirigido de SUR a ESTE: = (Cu, ) = (5N, S 30E)SOLUCINTRANSFORMACIN DE COORDENADAS GEOGRFICAS A POLARES:EJERCICIO:Expresar el vector = (7m, N 20O) mediante coordenadas polares.La forma bsica de las coordenadas polares es = (Du, ). Entonces, notamos que:D = 7m (Recuerde que la u significa la unidad en que se miden las magnitudes) = 20 (Dirigido de NORTE a OESTE) La forma bsica de las coordenadas polares es = (Du, N). Esta expresin nos dice que para transformar a coordenadas polares necesitamos el mdulo (que ya tenemos) y el ngulo N del vector :CLCULO DEL NGULO N:Para hallar el valor de dicho ngulo debemos primeramente graficar el vector y ver en qu cuadrante queda ubicado:

Como vemos, el vector queda ubicado en el segundo cuadrante. Primero, hallamos el ngulo reducido teniendo el ngulo de 20 usamos para ello siempre la frmula:R = 90 - R = 90 - 20R = 70Con este valor de R usamos la frmula para el segundo cuadrante para hallar el ngulo normal:N = 180 - RN = 180 - 70N = 110Aqu, simplemente ubicamos los datos hallados en la frmula bsica de las coordenadas polares: = (Du, N) = (7m, 110) SOLUCIN

NOTA FINAL:PARA PASAR DE COORDENADAS RECTANGULARES A GEOGRAFICAS:Primero, las coordenadas rectangulares las pasamos a coordenadas polares y estas coordenadas polares las pasamos luego a coordenadas geogrficas como se ha hecho anteriormente en este texto.

PARA PASAR DE COORDENADAS GEOGRAFICAS A RECTANGULARES:Primero, las coordenadas geogrficas las pasamos a coordenadas polares y estas coordenadas polares las pasamos luego a coordenadas rectangulares como se ha hecho anteriormente en este texto.