Documentacin y ejercicios de MatlabINTRODUCCIN AL MATLABIntroduccin al manejo y a la programacin de Matlab como paquete informtico aplicado a SERVOSISTEMAS. En esta prctica destacaremos:- Entorno de Matlab (aplicacin windows)- Fundamentos de Matlab: Definicion de matrices, operadores, simbologa y funciones basicas- Acciones de interes: trabajo con polinomios, y sus funciones caracteristicas, generacin de graficos.- Funciones de manejo del entorno MatlabExplicacinEl programa Matlab es un potente entorno de trabajo, diseado para el desarrollo de aplicaciones cientfico-tcnicas.Es un potentelenguaje industrial, orienteado a la resolucin de problemas del mundo real (no solo tericos), pertenecientes al entrono de la ingeniera e investigacin bsica.Matlab es un entorno abierto, que integra computacin numrica y visualizacin cientfica.Matlab integra computacin matricial, anlisis numrico, proceso y anlisis de seal, adems de grficos con un sencillo interface viusal de usuario.Los datos bsicos sonmatrices y vectoresque no requieren la definicin de dimensionalidad. Las matrices en matlab pueden ser reales o complejas.Maneja tambin una gran cantidad defunciones dentro de su libreraestndar; funciones matemticas, estadsticas y cientficas empliadas dentro de la computacin.Pudiendo acoplar gran cantidad de libreras ms especficas para temas concretos, denominadoToolboxcomo por ejemplo: - Control - Procesamiento de seales - Procesamiento de imgenes ...Entorno de MatlabAl ejecutar la palicacin Matlab para servosistemas, se genera una ventanaWindows de comandos Matlaby se abre una sesin de trabajo. En esta ventana definiremos las variablse y las funciones a emplear.El sistema retorna una impronta: >> a partir de la cual el usuario teclea los comandos siempre y cuando la ventana de comandos de Matlab sea activa.

La ventana de comandos posee todos los elementos y caractersticas de los objetos ventana.La lnea de mens contiene acciones que nos permiten:FileCrear nuevos elementos de Matlab:Fichero de comandos (.M)Nuevas figurasNuevos Modelos...Abrir ficheros de comando (*.M)Salvar el rea de trabajoEjecutar ficheros .MImprimirConfigurar impresoraSalida de MatlabetcEditCortarCopiarPegarLimpiar SesinOptionsDefinir formato numricoActivar/desactivar el ecoActivar/desactivar procesos en backgroundDefinir las letras del entronoDefinir el editor de ficheros de texto (.M)WindowsVentana (permite paso de una ventana a otra)HelpAyudaFundamentos de MatlabLos elementos a manejar sernmatricesy sus datos sern reales o complejos.Los datos se pueden asignar a nombres de variables, y por dicho nombre accedemos a su valor>>Variable=valor >>Variable=expresino permitir la salida a pantalla.>>expresinEl resultado de la ltima accin realizada se guarde en la variable de entornoans. >> 34*4 ans = 136Los operadores metemticos son:

+Suma

-Resta

*Multiplicacin

/Divisin

\Divisin inversa

^Potencias

.*Multiplicacin elemento a elemento

./Divisin elemento a elemento

.\Divisin inversa elemento a elemento

.^Potencia elemento a elemento

Operadores relacionales

=Mayor igual que

==Igual

~=Distinto

Operadores Lgicos

&AND

|OR

~NOT

Otros smbolos empleados

:Empleado para generar rangos.Generacin de vectores y de elementos de matrices.

()Empleados para definir elementos de matrices.Indica la precedencia de operadores.Empleado para indicar los argumentos de una funcin.

[]Definir matrices.

.Punto decimal.

...Continuacin.

,Separa subelementos de matrices.Separa argumentos en las funciones.

%Comentario

!Ejecucin de rdenes externas, comandos del S.O.

'Transpuesta de una matrizEmpleado para difinir vectores cuyos componentes son cdigos ASCII.

;Empleado dentro de los [] para indicar fin de fila.Empleado para separar rdenes, dentro de una misma lnea.

=Asignacin.

Funciones trigonomtricas

sinSeno

cosCoseno

tanTangente

asinArcoseno

acosArcocoseno

atanArcotangente

sinhSeno hiperblico

coshCoseno hiperblico

tanhTangente hiperblica

asinhArcoseno hiperblico

acoshArcocoseno hiperblico

atanhArcotangente hiperblica

Funciones elementales

absValor absoluto de un valor o magnitud compleja

anglengulo de fase

sqrtRaz cuadrada

realParte real

imagParte imaginaria

conjConjugado

expExponencial base e

logLogaritmo natural

log10Logaritmo base 10

Definicin de matrices:Desde la impronta del sistema:>> a=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]a =147258369

Las filas de las mtrices se separan con';'en la misma lnea o por finales de lnea. Los arrays comienzan con'['y finalizan por']'Los elementos de un array, pueden ser no slo nmeros sino expresiones (ej: (1+2+3)*4):Se accede a los elementos indidviduales del array poniendo entre parntesis el nidice (o los que es lo mismo, su posicin dentro del array).Ej:a(1,1) para matrices bidimensionalesb(1) para matrices unidimensionales.Si al final de una orden de Matlab dada, ponimos el carcter';'el sistema ejecuta la accin y no retorna el resultado en la pantalla.El listado de las variables alamacenadas en el rea de trabajo las obtenemos con los comandos:whowhosLos datos los puede representar en distintos formatos (MenOptions-->Numeric Format).Podeis manejar nmeros complejos entodas las opreciones y funciones:z=3+4*iOPERADORES DE MATLAB Y FUNCIONES ELEMENTALESAcciones de intersGeneracin de vectores. Empleo del carcter':'-Genera vectores fila conteniendo nmeros entre los dos valores dados con paso1.>> x=1:10x =12345678910

-Genera vectores con un paso definido:>> x=1:.5:4x =1.00001.50002.00002.50003.00003.50004.0000

>> x=6:-1:1x =654321

>> x=1:pi/2:10x =1.57003.14164.71246.28327.85409.45248

TRABAJO CON POLINOMIOSMatlab posee funciones para trabajar con. Estas funciones oprean sobre vectores:Dado el siguiente:

lo podemos expresar en Matlab:>> p=[1 2 12 10]p =121210

Funciones caractersticas de maenejo de polinomios:rootsDetermina las races de un polinomio>> r=roots(p)r =-0.5458 + 3.2727i-0.5458 - 3.2727i-0.9084

poly Determina el polinomio definidas las races del mismo>> a=poly(r)a =1.00002.000012.00010.0000

convMultiplicacion de polinomios. Dados los polinomios "a(s)=s+10" y "b(s)=s^2+2">> a=[1 10];>> b=[1 0 2];>> c=conv(a,b)c =110220

deconvDivisin polinmica>> cc =110220

>> aa =110

>> u=deconv(c,a)u =102

residueExpansin en fracciones parcialesDado el polinomio, la expansin en fracciones parciales ser:

Aplicando Matlab:>> B=[1 2 3];>> A=[2 4 5 7];>> [r,p,k]=residue(B,A)r =0.27870.1107 - 0.1804i0.1107 + 0.1804i

p =-1.7263-0.1369 - 1.4713i-0.1369 + 1.4173i

k =[ ]

Donde Ay B contienen los coeficientes de los polinomios en orden descendente de s. Los residuos retornan en el vector columna 'r', los polos en el vector columna 'p' y el trmino independiente en el vector 'k'.Funciones para el manejo de grficos:plotGrficos lineales

loglogGrfico logartmico en x

semilogxGrfico semilogartmico en x

semilogyGrfico semilogartmico en y

polarGrfico polar

Una vez definido el grfico podemos generar:titleTtulo de grfico

xlabelEtiqueta eje x

ylabelEtiqueta eje y

textPosicionado arbitrario de texot

gridLneas en los ejes (grid)

>> t=0:.01:5*pi;>> y=sin(t);>> plot(t,y,'-r');title('Grfico funcin seno`);xlabel('Tiempo(t)');ylabel('Salida');grid

Las funciones empleadas se han tecleado en la impronta del sistema. Pero Matlab nos permite generar ficheros con rdenes o funciones y ser invocadas para su ejecucin, como cualquiera de sus rdenes definidas anteriormente.Dichos ficheros de textom, pueden ser generados por editores sencillos o por cualquier procesador y guardados en formato ASCII, la extensin ser.M. Estos ficheros puden contener rdenes de Matlab, y los denominados ficheros de procesamiento por lotoes ('scripts') o funciones generadas por le usuario.Las acciones para editar, modificar o ejecutar un fichero .M estan el aopcin File del men de la ventana de comandos Matlab.A modo de ejemplo de fichero .M, edita las lneas anteriores en un fichero llamado: primer.MPresentacin grficaFunciones para el manejo de grficos linealesMs Utilizadas:plot(y)Trazador lineal de vecotes y matrices.

plot(x,y)Trazador x-y. Ambos x e y del mismo tamao.

plot(x,y,'')Trazado x-y expresando trazo y colortrazocualquier carcter (-, _, *, +, ... )colorr, w, g, b, ... (iniciales colores principales en ingls)

plot(x1,y1,x2,y2, .... )Reproduce multiples grficas.

xlabel('')Escribe texto en el eje x.

ylabel('')Escribe texto en el eje y.

title('')Escribe ttulo de grfico.

text(x,y,'')Escribe la cadena en una posicin de la grfica definida por x, y.

gridActiva la cuadrcula del grfico en curso.

sgridActiva la cuadrcula del grfico con lneas de coeficiente cte y Wn cte.

Funciones Generales:helpAyuda del sistema.

clcBorra la pantalla y posiciona el cursor en la primera fila, primera columna de la ventana.

whatMuestra ficheros .M del disco.

sizeDetermina la dimensin (tamao) de las variables.

clearBorra el rea de trabajo.

quitTermina el programa.

exitTermina el programa.

Valores Especiales:ansVariable en la que retorna una expresin cuando no es asignada.

epsPrecisin, tolerancia por defecto.

iNmero imaginario.

jNmero imaginario.

piNmero pi.

InfInfinito.

NaNNo es un nmero. Indefinido.

1. MATLAB Y LOS SISTEMAS DE CONTROLManejo y programacin de Matlab como paquete informtico aplicado a SERVOSISTEMAS.En esta prctica destacaremos: - Definicin de funciones de transferencia. - Otros formatos y sus conversiones. - Obtencin de los residuos de una f.d.t.ExplicacinLa toolbox de control contiene funciones tiles de ingenera de control. Los sistemas de control son modelados mediante funciones de transferencia o en formatos de variables de estado.Las caractersticas a destacar son: - Permite el manejo de sistemas continuos en el tiempo o sistemas discretos. - Tambin posee funciones de cambio de un formato o modelo a otro. - Respuesta en el tiempo. - Respuesta en frecuencia. - Lugar de la races. - etc...En la presente prctica nos didicaremos: a definir f.d.t., a obtener otras formas de representacin de las mismas, as como realizar reducciones de sistemas formados por varios bloques o f.d.t.Modelos de sistemas en matlabEmpleado para sistemas lineales invarientes en el tiempo. Los modelos a emplear pueden ser:- Contnuos en el tiempo- Discretos en el tiempoY estos sistemas se pueden representar en Matlab de diversas formas:1. Variables de estadoEcuaciones diferenciales en el formato:

Donde: ues un vector que contiene las entradas de control xes un vector que contiene los elementos del vector estado yes un vector que contiene las salidas A, B, C, y Dmatrices que lo definen.2. Funciones de transferenciaEs la representacin equivalente de sistemas de variables de estado empleando la transofrmada de Laplace.

3. Ganancia-Polos-ZerosUna funcin de transferencia puede representarse en formato factorizado de ganancia-polos-ceros

Donde: kpuede ser vector fila que contiene la/s ganancias. ppuede ser vector columna que contiene los polos. zes vector columna que contiene los ceros.4. Fracciones parcialesUna f.d.t. puede tambin representarse en fracciones parciales o en formato de residuos:

Donde: pun vector columna contiene los polos. run vector columna contiene los residuos. kcontiene el plinomio independiente.Conversin de modelos[num, den]=ss2tf(a,b,c,d,iu)De variables de estado a funcin de transferencia.

[z,p,k]=sstzp(a,b,c,d,iu)De variable de estado a polos-ceros.

[a,b,c,d]=tf2ss(num,den)Funcin de transferencia a variables de estado.

[z,p,k]=tf2zp(num,den)Funcin de transferencia a polos-ceros.

[a,b,c,d]=zp2ss(z,p,k)Polos-ceros a variables de estado.

[num,den]=zp2tf(z,p,k)Polos-ceros a funcin de transferencia.

[r,p,k]=residue(num,den)Funcin de trasferencia a residuos.

[num,den]=residue(r,p,k)Residuos a funcin de transferencia.

Para cualquier duda sobre las fucniones de Matlab, se puede pedir informacin de las mismas tecleando el comandohelp.>> help residue RESIDUE Partial-fraction expansion (residues). [R,P,K] = RESIDUE(B,A) finds the residues, poles and direct term of a partial fraction expansion of the ratio of two polynomials B(s)/A(s). If there are no multiple roots, B(s) R(1) R(2) R(n) ---- = -------- + -------- + ... + -------- + K(s) A(s) s - P(1) s - P(2) s - P(n) Vectors B and A specify the coefficients of the numerator and denominator polynomials in descending powers of s. The residues are returned in the column vector R, the pole locations in column vector P, and the direct terms in row vector K. The number of poles is n = length(A)-1 = length(R) = length(P). The direct term coefficient vector is empty if length(B) < length(A), otherwise length(K) = length(B)-length(A)+1. If P(j) = ... = P(j+m-1) is a pole of multplicity m, then the expansion includes terms of the form R(j) R(j+1) R(j+m-1) -------- + ------------ + ... + ------------ s - P(j) (s - P(j))^2 (s - P(j))^m [B,A] = RESIDUE(R,P,K), with 3 input arguments and 2 output arguments, converts the partial fraction expansion back to the polynomials with coefficients in B and A. Warning: Numerically, the partial fraction expansion of a ratio of polynomials represents an ill-posed problem. If the denominator polynomial, A(s), is near a polynomial with multiple roots, then small changes in the data, including roundoff errors, can make arbitrarily large changes in the resulting poles and residues. Problem formulations making use of state-space or zero-pole representations are preferable. Class support for inputs B,A,R: float: double, single See also poly, roots, deconv. Reference page in Help browser doc residue

Matlab en controlDefinicin de funciones de trasferenciaManejamos las f.d.t. mediante polinomios. Un polinomio se prespresnta mediante un vector que contiene los coerficientes del polinomio, donde el primer componente es el coeficiente de mayor potencia de s, y el ltimo es el coeficiente de orden 0.

se representa por : p=[1 3 5]Los polinomios del numerador y del denominador de la f.d.t. se manteienen separados. As dada la f.d.t.:

se definen dos polinomios: num=[1]; den=[1 3 5];Multiplicacin de polinomiosDados dos polinomios p1=[1 2] y p2=[3 5] los podemos multiplicar mediante la funcinconvcomo en el ejemplo:>> p1=[1 2]; p2=[3 5];>> p=conv(p1,p2);p =31110

Multiplicacin de bloquesDos bloques en serie, se combinan al multiplicar los polinomios, o lo que es lo mismo al convolucionar las dos repuestas impulso asociadas.Dadas dos funciones:>> g1n=[1 0]; g1d=[1 2];>> g2n=[4 4]; g2d=[1 4 5];>> gn=conv(g1n, g2n)gn =440

>> gd=conv(g1d, g2d)gd =161310

>> ceros=roots(gn)ceros =0-1

>> polos=roots(gd)polos =-2.0000 + 1.0000i-2.0000 - 1.0000i-2.0000

Suma y resta de funcionesLa suma y resta de dos funciones el algo ms complicada, debido a que Matlab trabaja con polinomios, tendremos que emplear lo siguiente.Dados dos polinomios cualesquiera el polinomio suma ser:

Tendremos que recordar que al sumar dos vectores, estos tienen que tener la misma longitud:>> gn1=[1 0]; gd1=[1 2];>> gn2=[4 4]; gd2=[1 4 5];>> gn=conv(gn1,gd2)+conv(gd1,gn2)gn =18178

>> gd=conv(gd1,gd2)gd =161310

Funciones de reduccin de bloques para control- serieGenera en un sistema SISO la f.d.t. de dos bloques SISO en serie.[NUM,DEN] = series (NUM1,DEN1,NUM2,DEN2)- parallelGenera la f.d.t. resultado de dos funciones de transferencia en paralelo.[NUM,DEN] = parallel (NUM1,DEN1,NUM2,DEN2)- feedbackGeneral la f.d.t. de un sistema SISO al conectar dos bloques en bucle cerrado, con realimentaciones positiva o negativoa.[NUM,DEN] = feedback (NUM1,DEN1,NUM2,DEN2,SIGNO,)- cloopSistema como el anterior pero con realimentacin unitaria[NUM,DEN] = cloop (NUM1,DEN1,SIGNO)- Otras funcionesLas races de un polinomio p=[1 3 5], se obtienen mediante la funcinroots:>> p=[1 3 5];>> roots(p)ans =-1.5000 + 1.6583i-1.5000 - 1.6583i

o guardar el resultado en un array columna llamado 'raices'>> p=[1 3 5];>> raices=roots(p)raices =-1.5000 + 1.6583i-1.5000 - 1.6583i

Si dicho polinomio es el numeroador de una f.d.t. obtenemos los ceros de la funcin, y si es el denominador obtenemos los polos.Otras formas de representar las f.d.t.Otra forma de representar las funciones de transferencia es la llamda forma de ceros y polos.[z, p, k]=tf2zp(num, den)Obtenemos los factores de la f.d.t.:

donde: zson los ceros (tantas columnas como filas en num) ppolos del sistema kganancia>> num=[1 2];>> den=[1 3 5 8];>> [z,p,k]=tf2zp(num,den)z =-2InfInf

p =-2.3283-0.3359 + 1.8230i-0.3359 - 1.8230i

k =1

Para pasar del formato polos.ceros a f.d.t. utilizamos:[num, den]=tf2zp(z, p, k)donde: zes una matriz columna con los ceros. nes un vector columna con los polos. kganancia>> z=[-2];>> p=[-2 3 4];>> k=5;>> [num, den]=tf2zp(z, p, k)num =510

den =1-5-224

Matlab dispone de una funcin que permite el clculo de residuos; es decir, nos permiten expandir una funcin en fracciones parciales:

[r, p, ki]=residue(num, den)donde: rson los residuos. nson los polos. kiterminos independientes>> num=[16 80];>> den1=[1 4 8]; den2=[1 10];>> den=conv(den1,den2);>> [r,p,ki]=tf2zp(num,den)r =-1.17650.5882 - 1.6471i0.5882 + 1.6471i

p =-10.0000-2.0000 + 2.0000i-2.0000 - 2.0000i

k =[ ]

Si se desea determinar la magnitud y el ngulo que forma los residuos, emplearemos las funcionesabs(), yangle():>> magr=abs(r)magr =1.17651.74891.7489

>> angr=angle(r)*180/piangr =180.0000-70.346270.3462

Ejercicios1.Determinar en Matlab las siguientes f.d.t.

2.Visualizar las f.d.t. anteriores en otros formatos, comentar la funcin empleada y describe los elementos que los definen: a) De variables de estado b) Polos-ceros c) Residuos3.Comentar las siguientes lneas y definir sus elementos:num=[4 11 9];den=[1 6 11 6];[r,p,ki]=residue(num,den)4.Determina el bloque final de los sistemas siguientes

Donde:

5.Definir la accin que realizan los comandosa)whob)whos2. MATLAB Y FUNCIONES TEMPORALESDefinir la forma de representacin de funiciones temporales, en el entorno Matilab, as como la visualizacin en la pantalla de dichas funciones. - Introduccin de funciones temporales. - Funicones tiles. - Visualizacin de funciones temporales. - Represetnacin en fracciones parciales para obtener la funcin temporal.Funciones tilesFUNCIONES TILESclock:Sentencia que devuelve el ao, mes, da, hora, minutos y segundo. Retorna por tanto un vector fila de 6 elementos, en formato decimal.>> clock=[ao mes da hora minutos segundos]date:Genera la fecha en curso>> dateexp:Funcin exponencial>> exp(expresion)sqrt:Funcin raz cuadrada>> sqrt(expresion)'i''j':Uso indistinto para la expresin de nmeros complejos.>> 1+4i>> 1+j*sqrt(3)se puede introducir como:x=2*exp((pi/3)*j) x=1+4*iEn la introduccin de estos nmeros, no introducir el carcter espacio entre sus elementos, ya que en tal caso representa nmeros distintos.Operadores+Suma.

-Resta.

*Multiplicacin.

/Divisin.

\Divisin inversa.

^Potencia

.*Multiplicacion elemento a elemento.

./Divisin elemento a elemento.

.\Divisin inversa elemento a elemento.

.^Potencia elemento a elemento

Recordar que Matlab es 'case sensitive', es decir diferencia entre maysculas minsculas. El comandocasesen offhace que no lo sea.REPRESENTACIN DE FUNICONESGrficos x-ySea 'x' e 'y' dos vectores de la misma longitud>> plot(x,y)Dibuja los valores de 'y' contra los valores de 'x'.Para dibujar varias funciones, empleamos el comandoplotcon mltiples argumentos.>> plot(x1,y1, x2,y2, ...)Grfico x-y definiendo tipo de lnea - tipo de punto (-, --, :, -3, 3, +, *, o, x) y color de la misma (r, g, b, w)>> plot(x,y,'+g')Podemos dibujar varias curvas con varias lneas de plot (x,y), pero en este caso se emplea el comandohold, para mantener el grfico anterior de la ventana grfica y as evitar el borrado de las misma (hold on, hold off)>> plot(x1,y1);>> hold on;>> plot(x2,y2);>> plot(x3,y3);>> hold off;CAMBIO DE RANGO DE EJESaxis([Xmin Xmax Ymin Ymax])Donde las variables son los rangos deseados para el grfico.

axis()Retorna el estado de ejes actual en el vector V.

gridLneas de grid.

title('cadena')Ttulo al grfico.

xlabel('cadena')Texto eje x.

ylabel('cadena')Texto eje y.

text(x1,y1,'cadena')Escribe texto en cualquier lugar de la pantalla grfica, dado por sus coordenadas x e y.

Ejemplo:>> t=0:0.05:10;>> y=sin(t);>> z=cos(t);>> plot(t,y,'o',t,z,'x')>> grid>> title('Curvas de las funciones Seno y Coseno')>> xlabel('segundos')>> ylabel('y=Seno t; z=Cos t')>> text('3,0.45, 'seno t')>> text(0.8,-0.3, 'coseno t'Otros grficosloglogGrfico logartmico

semilogxGrfico semilogrtmico eje x

semilogyGrfico semilogrtmico eje y

bar(x)Grfico de barras

stairsSimilar al barras, sin lneas verticales

EXPRESIN EN FRACCIONES PARCIALESFuncinresidueUna f.d.t. puede tambin representarse en fracciones parciales o en formato de residuos:

donde:pun vector colulmna que contiene los polosrun vector columna que contiene los residuoskcontiene el polinomio independienteEjercicios1.Representacin de funciones en el tiempo.

Teclear en Matlab>> t = 0:.05:10;>> x2=exp(-2.5*t).*(151000*sin(1.32*t)+30200+sin(1.32*t+41.30*pi/180));>> plot(t,x2);grid;xlabel('Tiempo');ylabel('Amplitud');Comentar la accin realizada por cada lnea2.Visualizacin de varias grficas y de distitnos elementos dentro de la misma ventana grfica:>> t=(0:500)/500;>> e1=1.245*exp(-7.21*t).*sin(9.72*t+2.21);>> e2=1.1*exp(-7.22*t).*sin(15.5*t+2.01);>> e3=1.8*exp(-7.22*t).*sin(4.59*t+2.58);>> plot(t,e1,'-r',t,e2,'-g',t,e3,'-b');grid;>> xlabel('t');ylabel('e(t)');>> hold on;>> plot([.7 .8],.9*[1 1]+.02,'-r'); text(.8,.9,'E1');>> plot([.7 .8],.7*[1 1]+.02,'-g'); text(.8,.7,'E2');>> plot([.7 .8],.5*[1 1]+.02,'-b'); text(.8,.5,'E3');>> hold off;Comentar cada lnea3.Dada la siguiente funcin:

Determinar la funcin en el tiempo de salida del mismo ante una entrada impulso; para ello seguir los siguientes pasos:a) Emplenado sus residuos determinar los valores de los mimos y expresar la funcin con el nuevo formato.b) Representar dicha salida en un grfico empleando los datos generados por la orden anterior, y sus correspondientes antitransformadas.4.Expresar en fracciones parciales las funicones, y determinar la fucnin c(t) ante un impulso:

5.Comenta la accin realizada en cada una de las siguientes lneas>> t=0:.01:10;>> escalon=4.*ones(1:size(t,2));>> rampa=4.*t;>> parabola=3*t.^2/2;a) Determinar que genera la funcin ones y la funcin sizeb) Representa en un grfico las funciones dadas3. MATLAB SISTEMAS DE PRIMER ORDENIntroduccin de sistemas de primer orden, a las distintas formas de represetnacin y al clculo de su respuesta en el tiempo ante diferentes tipos de entrada. - Caractersticas de los sitemas de primer orden - Visualizacin de respuestas impulso y escaln - Clculo de valores respuesta ante cualquier seal de entrada - Parmetros que definen un sistema d eprimer ordenFormato general de sistemas de primer ordenFORMATO GENERAL DE SISTEMAS DE PRIMER ORDEN

Parmetros a destacar:T = Constante de tiempo.Parmetro de la respuesta temporal:Tiempo de establecimiento ts.ts = 3TMATALB Y EL ANLISIS EN EL TIEMPOAnlisis de funciones. Respuestas en el tiempo.Matlab proporciona las herramientas necesarias para simular sistemas de control con distintas entradas:[x,y]=impulse(num,den,t)Calcula respuesta impulso de un sistema lineal continuo.

[x,y]=step(num,den,t)Calcula la respuesta escaln de un sistema lineal continuo.

[x,y]=lsim(num,den,u,t)Respuesta del sistema lineal continuo a una entrada dada por u.Cada fila de 'u' es un valor de la entrada. El vector 't' especifica eje de tiempo de la simulacin

Donde: -xes un vector columna que contiene los valores de la respuesta de salida. -yes un vector columna que contiene los estaods intermedios. -tes un vector fila que contiene los valores de tiempo para los que se calcula la salidaSe tienen que cuplir que el nmero de columnas de t conincide con es nmero de filas de'y'e'x'.Formato:y=lsim(num,den,u,t)Donde: -ues una matriz formada por tantas columnas como entradas al sistema y donde cada fila corresponde a un punto en el tiempot. -tes el eje de tiempo para la simualcin; suele ser un rango de vlores t=0:0.001:3.u y t poseen la misma dimensin.. -yretorna la salida.Distintas formas de visualizar respuestas en el tiempo para cualquier sistema.impulse(num,den)step(num,den)lsim(num,den,u)Visualiza la salida en una ventana grfica, pero no guarda en vectores los valores de la salida ni de tiempo.

Y=impulse(num,den,t)Y=step(num,den,t)Y=lsim(num,den,u,t)Genera vector de salida 'y' para unos valores de tiempo dados en 't'.

[y,x]=impulse(num,den,t)[y,x]=step(num,den,t)[y,x]=lsim(num,den,u,t)Genera la salida y unos valores intermedios para unos valores de tiempo dados en el vector 't'.

[y,x,t]=impulse(num,den)[y,x,t]=step(num,den)[y,x,t]=lsim(num,den,u)Se genera incluso, el vector con los valores de tiempo, que emplea la funcin step.

Por ejemplo si definimos una seal rampa:>> num=[1];>> den=[1 2 3];>> t=0:.001:2;>> u=t*4;>> y=lsim(num,den,u,t);>> plot(t,y),xlabel('tiempo'),ylabel('Salida');La funcion axis permite especificar el rango de los ejes del grficoaxis([Xmin Xmax Ymin Ymax])Ejercicios1.A) Calcular la respuesta a un impulso y a un escaln para los sistemas:

Donde K=1 y T posee los valores: 1, 3, 6, 9- Obtener en un slo grfico las respuestas a un impulso de las 4 funciones.- Comentar los resultado, y marcar sobre la grfica los prametros caractersticos de los mismos. B)Para los sistemas donde K=2 y T=1, 4, 5, 7 -Obtener las respuestas a un impulso de las cuatro funciones y mostralas en un solo grafico.2.Dada la siguiente respuesta a un escaln de un sistema determinar la funcin de transferencia. (Comprobar que la respuesta es igual a la dada)

3.Calcular la respuesta a una parbola

para los siguientes sistemas:

Visualizar la seal de salida y la seal de entrada en un mismo grfico.4.Comentar las respuestas a un escan para distintos valores de K=1,3,5 para la funcin:

4. MATLAB SISTEMAS DE SEGUNDO ORDENIntroduccin de sistemas de segundo orden, a las distintas formas de representacin y al clculo de su respuesta en el tiempo ante diferentes tipos de entrada. - Caractersticas de los sitemas de segundo orden - Visualizacin de respuestas impulso y escaln - Anlisis dinmico de los mismosFormato general de sistemas de segundo ordenFORMATO GENERAL DE SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN

Parametros: -Wn -dMATLAB Y EL ANALISIS EN EL TIEMPOAnlisis de funciones. Respuestas en el tiempo.Emplea las mismas funciones que en los sistemas de primer orden.Obtenida la respuesta en tiempo, podemos determinar sus caractersticas de una forma sencilla mediante su respuesta. Decho anlisis es aplicable tambin a sistemas de primer orden u orden superior.Otras funcines que son de utilidad:[Wn,Z]=damp(A)Calcula la frecuencia natural y el coeficiente de amortiguamiento de A.

[f,i]=max(y)Determina el mayor elemento contenido en el vector'y'retorna en'f'dicho valor y en'i'la posicin dentro del vector.

[f,i]=min(y)Determina el menor elemento contenido en el vector'y'retorna en'f'dicho valor y en'i'la posicin dentro del vector.

[f,c]=find(condicin)Determina las filas y/o columnas del elemento que cumple la condicin dada. Los operadores mpleados son los operadores relacioneales.

>>f=find(y>=2);Dado un vector coumna 'y, retorna un vector f que contiene los ndices del vector y que cumplen la condicin de ser mayor o igual a 2.Por ejemplo si definimos una seal rampa, podemos localizar uno o varios puntos:>> num=[1];>> den=[1 2 3];>> t=0:.001:2;>> u=t*4;>> y=lsim(num,den,u,t);>> plot(t,y),xlabel('Tiempo'),ylabel('Salida');>> maximo=max(y);>> t(maximo)>> v2=find(y>=.3 & y>t(v2(1))Dada un f.d.t. podemos obtener la frecuencia natural y el coeficiente de amortiguamiento del sistema.>> num=[1];>> den=[1 2 4];>> [wn,c]=damp(den)wn =22

c =0.50000.5000

Para realizar el clculo de la estabilidad, no te4nemos ms que determinar las races de la ecuacin caracterstica, es decir, del denominador de la f.d.t. final del sistema.Para ello se utiliza la instruccinroots,que calcula las races de un polinomio dado.raices=roots(den)Esta funcin computa el plinomio cuyos coeficientes estn en el vector 'den', de tal forma que siPson los coeficientes del mismo y tieneN+1componentes el polinomio esP(1)*s^N + ...+ P(N)*s + P(N+1).Ejercicios1.Los siguientes sistemas de control sometidos a un escaln unidad generan una salida:

Obtener la funcin de transferencia.2.Dado un sistema con realimentacin unitaria y con la siguiente funcin en cadena directa.

Determinar: a) Wn b) d c) Respuesta a un escaln d) Caractersticas dnmicas del sistema sobre la grfica, y del anlisis de su respuesta (contrastar con las obtenidas matemticamente). 3.Dadas las sisguentes f.d.t. en cadena directa:

y con realimentacin unitaria, calcular: a) Races del sistema en lazo cerrado b) Determinar si son o no estables c) Si es estalbe comprobar grficamente si se puede emplear una aproximacin de orden menor, y si lo es calcular sus parmetros.4.Dado el siguiente sistema, obtener la respuesta a un escaln, y calcular sobre la grfica la frecuencia de oscilacin de la misma.

5.Determinar si los siguiente sistemas son o no estables:

5. LUGAR DE LAS RACESUna introduccin al lugar de las races de Matlab, al empleo de las lneas de grid y a la obtencin de valores caractersticos. - Obtenicin de la f.d.t. en cadena abierta. - Visualizacin del lugar de las races. - Lneas de ayuda en el grfico - Relacin con la respuesta temporalLugar de las races. Clculo y visualizacinrlocusObtiene el lugar de las races de la ecuacin caracterstica:1+K [num(s) / den(s)] = 0Formato general:raices=rlocus(num,den,k)Otras formas de empleorlocus(num,den)Dibuja en una ventana grfica el desplazamiento de las races del sistema, Para distintos valores de K

r=rlocus(num,den)Guarda en 'r' las races del sistema.

[r,k]=rlocus(num,den)Retorna las races y los valores de 'k' empleados

rlocus(num,den,k)Lugar de las races para unos valores de 'k' definidos como un vector fila en orden creciente.

r=rlocus(num,den,k)Guarda en 'r' las races para unos valores de 'k' dados.

rlocfindBusca la ganancia (K) del lugar de las races dado para una raz dada.[K, polos]=rlocfind(num,den)Nos permite situar el raton sobre un punto del lugar de las races del grfico activo en ese momento, y al hacer click con el ratn, nos retorna en la ventana de comandos:- Las coordenandas del punto seleccionado- El valor de K ganancia para ese punto- Todas las races del mismo, para ese valor de K.sgridGenera en el plano 's', lneas de grid para un lugar de las races.sgrid(coe,Wn)Las lneas generadas, son para un coeficiente de amortiguamiento dado'coe'y lneas para una frecuencia natural dada'Wn'. Los valores pueden ser matrices unitarias o vectores fila con rangos de valores.sgrid('new')Lmpia la ventana grfica, y situa lneas de coeficiente y WN, ctes. Ejemplo de empleo:>> sgrid('new')>> hold on>> rlocus(num,den)Ejercicios1.Determinar el lugar de las races del siguiente sistema:

Para los valores de 'a', siguientes: 0.5, 2, 10Sobre la grfica los valores de K y las races, que hacen el sistema inestable, para los tres casos:Valor de aValores de K estableValores de K instableRaces para valores lmite de K

0.5

2

10

a) Comentar las grficas obtenidas.b) Determinar el valor de K que genera un coeficiente de amortiguamiento de 0.5 con a=2, as como determinar la ecuacin caracterstica para dicho valor.2.Dado los siguientes sistemas de control, obtener el lugar de las races. Comentar el resultado.

a)b)c)d)

6. ANLISIS EN FRECUENCIADiagramas en el anlisis en frecuencia, creacin de los diagramas de Bode, Nyquist, Nichols.Funciones a emplear: - Bode - Nyquist - Nichols - Axis - Logspace - NgridFunciones para el anlisis en frecuenciaEn los anlisis en frecuencia podemos generar los valores de frecuencia para los que deseamos conocer la respuesta del sistema, o bien emplear la que genere el sistema por defecto.logspaceGenera un vector con espaciado logartmico. Posee varias formas de uso; aslogspace(a1,a2)genera una fila de 50 puntos espaciados logartmicamente entre las dcadas 10^a1 y 10^a2 y en el otro formato se define el nmero de puntoslogspace(a1,a2,n)genera 'n' puntos.axis axis([Xmin Xmax Ymin Ymax])Donde Xmin, Xmax, Ymin, Ymax son los rangos deseados para el grafico. La variacin de estos valores permite hacer un zoom in/out de una grafica. >> V=axis( ) Retorna el estado de ejes actual en el vector V.absFuncin valor absoluto: abs(expresin), si expresion es un numero complejo, retorna el mdulo del mismo (su magnitud). A=[2+2*i 1+3*i] abs(A) 2.8284 3.1623angleAngle(expresin), retorna el ngulo de fase de los elementos de expresin. Entre los valores de -pi y de pi. angle(A) 0.7854 1.2490La magniutd y la fase de un numero complejo: z=x+yi=rei(theta) ser: r=abs(z) theta=angle(z) con lo que: z=r*exp(i*theta)bodeObtiene la respuesta en frecuencia de sistemas lineales contnuos en el tiempo.bode(num,den)Genera el grfico de Bode de una funcin de transferencia dada.

bode(num,den,W)El vector W contiene las frecuencias a generar.

[magnitud,fase,W)=bode(num,den,W)No genera grfico de salida, pero permite analizar los valores obtenidos.

nyquistObtiene la respuesta en frecuencia de sistemas lineales contnuos en el tiempo.nyquist(num,den)Genera el grfico de Nyquist de una funcin de transferencia dada.

nyquist(num,den,W)El vector W contiene las frecuencias a generar.

[magnitud,fase,W)=nyquist(num,den,W)No genera grfico de salida, pero permite analizar los valores obtenidos.

nicholsObtiene la respuesta en frecuencia de sistemas lineales contnuos en el tiempo.nichols(num,den)Genera el grfico de Nichols de una funcin de transferencia dada.

nichols(num,den,W)El vector W contiene las frecuencias a generar.

[magnitud,fase,W)=nichols(num,den,W)No genera grfico de salida, pero permite analizar los valores obtenidos.

Con la funcinngridpodemos presentar el grid correspondiente al grfico.marginDetermina los mrgenes de fase, de ganancia y las frecuencias de cruce respectivas.[Mg,Mf,Wcg,Wcf]=margin(num,den)

[Mg,Mf,Wcg,Wcf]=margin(num,den,W)El vector W contiene las frecuencias a generar.

Sin parmetros los marca en el grfico, y visualiza los valores.Para obtener ms informacin sobre las mismas consultar la ayuda del sistema.Ejercicios1.Dado el siguiente sistema

a) Obtener el diagrama de Bode de G(s).b) Realizar sobre la grfica obtenida la aproximacin por asntotas de forma manual.c) Lo mismo para la siguiente funcin:

d) Este sistema, es de fase mnima, o no?. Comentar2.. Dados los sisguientes sistemas y aplicando el criterio de estabilidad de Nyquist determinar:

a) Son estables en cadena abierta?b) y en cadena cerrada?Comentar.3.Obtener el diagrama de Nyquist para los sitemas y determinar si son estables o no.

a)

b)

c)

4.Diagrama de Nichols de la f.d.t. en cadena abierta, con realimentacin unitaria: (emplear ngrid y nichols)

7. EL CONTROLADOR PID BSICOEL CONTROLADOR PID BSICOUn controlador PID se caracteriza por combinar tres acciones (P, I y D) mediante el siguiente algoritmo de control:Este algoritmo est considerado como el PID estndar por la ISA (Instrument Society of America). A continuacin se resumen los trminos bsicos: - Accin proporcional (P):es la accin que produce una seal proporcional a la desviacin de la salida del proceso respecto al punto de consigna. - Accin integral (I):es la accin que produce una seal de control proporcional al tiempo que la salida del proceso ha sido diferente del punto de consigna. - Accin derivativa (D):es la accin que produce una seal de control proporcional a la velocidad con que la salida del proceso est cambiando respecto del punto de consigna. - Constante de tiempo integral (Ti):es el tiempo, generalmente expresado en minutos, que debe transcurrir para que la accin integral alcance (iguale o repita) a la accin proporcional. - Constante de tiempo derivativa (Td):es el intervalo de tiempo, generalmente expresado en minutos, en el que la accin derivativa adelanta a la accin proporcional.Cada accin de control tiene una respuesta caracterstica: - La accin proporcional vara instantneamente con el error y alcanza un valor estacionario cuando lo alcanza ste. - La accin integral tiene en cuenta la historia pasada del error y se anula cuando se hace cero. - La accin derivativa predice los cambios en el error y se anula cuando alcanza un valor estacionario.Controlador PCONTROLADOR PUn ejemplo tpico de control proporcional se muestra en la figura 1, donde se observa la conducta de la variable controlada despus de un salto en escaln unitario en el punto de consigna. Se observan los siguientes hechos caractersticos cuando aumenta la ganancia Kpdel controlador:1. El error en estado estacionario disminuye.2. El proceso responde ms rpidamente.3. La sobreoscilacin y las oscilaciones aumentan.

Cdigo Matlab empleado para la obtencin de la grfica regulador P

%REGULADOR P;%Funcion de transferencia ejemplo del sistema en cadena abierta;num=1;den=conv([10 1],[5 1]);sys=tf(num,den);%Regulador Proporcional;Kp=2;sysa=Kp*sys;%Sistema equivalente realimentado;[sysc]=feedback(sysa,1);hold on;%Respuesta del sistema;step(sysc);title('Regulador P');Accin Integral PILA ACCIN INTEGRAL PIEsta accin elimina el problema del error en estado estacionario frente a perturbaciones de carga constante. Por eso se utiliza para determinar de forma automtica el valor correcto de u0. Adems se usa para corregir el error en rgimen permanente.Otra de las razones intuitivas que ayuda a comprender los beneficios de la accin integral es que, cuando se introduce, la existencia de un pequeo error durante un intervalo prolongado de tiempo puede dar lugar a un gran valor de la seal de control. El algoritmo de la accin integral es el siguiente:Las propiedades de la accin integral se muestran en la figura 2 en la que se puede ver la simulacin de un controlador PI. La ganancia proporcional se mantiene constante y se vara el tiempo integral.El caso particular en el que Ties infinito se corresponde con el control P. Al introducir la accin integral se observa que:1. El error en estado estacionario se elimina cuando Titiene valores finitos.2. Cuando Tidisminuye (mayor accin integral) la respuesta se hace cada vez ms oscilatoria, pudiendo en ltimo trmino llegar a inestabilizar el sistema.

Cdigo Matlab empleado para la obtencin de la grfica controlador PI%controlador PI;%Funcion de transferencia ejemplo del sistema;num=1; den=[10 1];sys=tf(num,den);Kp=10; Ki=30;%Funcion de transferencia del controlador PI;numc=[Kp Ki];denc=[1 0];sysc=tf(numc,denc);%Sistema equivalente realimentado;numa=conv(num,numc);dena=conv(den,denc);sysa=tf(numa,dena);[sysac]=feedback(sysa,1);step(sysac);title('controlador PI');Accin Derivativa PDLA ACCIN DERIVATIVA PDUno de los problemas del controlador PI y que limita su comportamiento es que solo considera los valores del error que han ocurrido en el pasado, es decir, no intenta predecir lo que pasar con la seal en un futuro inmediato.La accin derivativa realiza ese tipo de compensacin, que se basa en introducir una accin de prediccin sobre la seal de error. Una forma sencilla de predecir es extrapolar la curva de error a lo largo de su tangente. El algoritmo de la accin derivativa es el siguiente:El parmetro Tdes el tiempo derivativo y puede interpretarse como un horizonte de prediccin. Al basar la accin de control en la salida predicha, es posible mejorar el amortiguamiento de un sistema oscilatorio. En la figura 3 se pueden observar las propiedades de un controlador de este tipo.En la figura anterior se puede ver que las oscilaciones se amortiguan cuando se utiliza la accin derivativa. A medida que Tdaumenta la salida se va aproximando cada vez ms a una exponencial.Una desventaja importante de la accin derivativa es que hay que ser muy cuidadoso a la hora de escoger el valor del tiempo derivativo. En las instalaciones industriales es frecuente desconectar la accin derivativa (hacer Td= 0), aunque en otras ocasiones est muy recomendada. Un ejemplo es el caso de procesos multi-capacitivos, como puede ser el control de temperatura. Debido a la inercia del sistema es importante saber hacia donde se est evolucionando. La accin de calentamiento tiene que pararse a tiempo. Una conduccin lenta de calor puede significar que, incluso despues de desconectar el sistema de calentamiento, la temperatura continue aumentando durante mucho tiempo. Durante este perodo la temperatura puede sobrepasar considerablemente su punto de consigna si no se ejerce una accin de control cuidadosa. Otro ejemplo donde es importante predecir el error es cuando hay grandes retardos o tiempos muertos en el proceso. En esta situacin, desgraciadamente, la accin derivativa no suele dar una buena prediccin y hay que utilizar controladores especficos (basados en el predictor de Smith o en las estrategias de control predictivo) para solucionar el problema. Si no se tiene acceso a un controlador de este tipo, en estos casos es mejor utilizar un controlador PI.

Cdigo Matlab empleado para la obtencin de la grfica controlador PD%controlador PD;%Funcion de transferencia ejemplo del sistema;num=1;den=conv([10 1],[5 1]);Kp=10;Kd=10;numc=[Kd Kp];%Funcion de transferencia del controlador PD;numa=conv(num,numc);sysa=tf(numa,den);[sysac]=feedback(sysa,1);step(sysac);title('controlador PD');El Controlador PIDEL CONTROLADOR PIDEl controlador PID combina en un nico controlador la mejor caracterstica de estabilidad del controlador PD con la ausencia de error en estado estacionario del controlador PI.La adicin de la accin integral a un controlador PD es esencialmente lo mismo que aadir dicha accin a un controlador P.La tabla 1 muestra cmo varan la estabilidad, la velocidad y el error en estado estacionario cuando se modifican los parmetros del controlador. Es necesario sealar que esta tabla contiene un conjunto de reglas heursticas y, por tanto, hay excepciones.Kp aumentaTi disminuyeTd aumenta

Estabilidadse reducedisminuyeaumenta

Velocidadaumentaaumentaaumenta

Error est. estacionariono eliminadoeliminadono eliminado

Ejercicio ejemplo controladoresEJERCICIO EJEMPLO CONTROLADORESVamos a analizar los tipos de controladores en este ejercicio basndonos en el siguiente sistema de masa, resorte y amortiguador:Donde:M = 1 Kgb = 10 Ns/mK = 20 N/mF(s) = 1La ecuacin del sistema es:Mx + bx + Kx = FPor lo tanto su transformada de Laplace ser:Ms2X(s) + bsX(s) + KX(s) 0 F(s)De este modo la Funcin De Transferencia entre la salida (desplazamiento X(s) ) y la entrada F(s) ser:X(s) / F(s) = 1 / Ms2+ bs + KA)obtener la grfica de la salida del sistema en lazo abierto ante una entrada escaln unitario:X(s) / F(s) = 1 / s2+ 10s + 20A-1)Representar grficamente la respuesta del sistema ante un escaln unitarioA-2)Comentar la grfica obtenidaB)Si la f.d.t. en lazo cerrado con un controlador P del sistema anterior es:X(s) / F(s) = Kp/ s2+ 10s + (20 + Kp)Situaremos el valor de la ganancia proporcional en un valor de 300:B-1)Obteber la respuesta del sistema con controlador P a un escalnB-2)Comentar el resultado y compararlo con el caso anteriorC)La funcin de transferencia en lazo cerrado con un controlador PD del sistema que estamos estudiando es la siguiente:X(s) / F(s) = KDs + Kp/ s2+ (10 + KD)s + (20 + Kp)mantenemos el valor de la ganancia proporcional y haremos que KDsea igual a 10C-1)Representar la grfica de la respuesta del sistema con regulador PD ante un escaln unitarioC-2)Comentar la grfica obtenida y los cambios con respecto a los casos anterioresD)En el caso de asociar un controlador PI a nuestro sistema, la f.d.t. del sistema resultante ser:X(s) / F(s) = Kps + KI/ s3+ 10s2+ (20 + Kp)s + KIel valor deseado de KIes 70 y tendremos que reducir el valor de la ganancia proporcional, ya que el regulador integral tambien reducira el tiempo de subida, y aumentar la sobreoscilacin como lo hace el proporcional, tomaremos entonces un valor de 30D-1)Representar grficamente la salida del sistema estudiado con controlador PI, si la entrada es un escaln unitarioD-2)Analizar la grfica obtenia respecto a las anterioresE)Nuestro sistema con un controlador PID tendra una funcin de transferencia asi:X(s) / F(s) = KDs2+ Kps + KI/ s3+ (10 + KD)s2+ (20 + Kp)s + KIE-1)Si la entrada es un escaln unitario, obtener la grfica de la salida de nuestro sistema bajo la accion de un controlador PIDE-2)Comentar los resultados, analizando las mejoras obtenidas en la respuesta de nuestro sistema.8. MODELADO Y CONTROL DE UN MOTOR DE CORRIENTE CONTINUAEjercicio 1 "MODELADO Y CONTROL DE VELOCIDAD DE UN MOTOR DE CC"MODELADO Y CONTROL DE VELOCIDAD DE UN MOTOR DE CC

Dado un motor de CC con las siguientes caractersticas:J=0.01 Kg/m2b=0.1 Nm seg/radKm=Kt=0.01Nm seg/rad;R=1ohmioL=0.5H;1.-Obtener la funcin de transferencia del sistema en cadena abierta (w/V). Observar la respuesta del sistema ante un cambio de consigna de escaln unitario 1V.Es estable el sistema en cadena abierta?Calcular Tp, Ts y Mp. Obtener, si es posible, el sistema de primer orden equivalente.2.-Realimentar unitariamente el sistema, representar grficamente el comportamiento del sistema ante un cambio de consigna de escaln unitario 1V, con las siguientes acciones de control:a) Regulador P (Proporcional). - Kp=1 - Kp=5 - Kp=10 - Kp=100b) Regulador PI (Proporcional-Integral) - Kp=100; Ki=200; Kd=1;c) Regulador PID (Proporcional-Integal-Derivativo) - Kp=100; Ki=200; Kd=10;Calcular para cada caso Tp, Ts, Mp as como errores de posicin en rgimen permanenteEjercicio 2 "MODELADO Y CONTROL DE POSICIN DE UN MOTOR DE CC"MODELADO Y CONTROL DE POSICIN DE UN MOTOR DE CCDado un motor de CC con las siguientes parmetros: J=3.2284E-6Kg/m^2 b=3.5077E-6Nm seg/rad Km=Kt=0.0274Nm seg/rad; R=4ohmio; L=2.75E-6H;1.-Obtener matemticamente la funcin de transferencia del sistema en cadena abierta ( 'thetha' /V). Observar la respuesta del sistema ante un cambio de consigna de escaln unitario 1V.Es estable el sistema en cadena abierta? En caso afirmativo calcular Tp, Ts y Mp2.-Realimentar unitariamente el sistema, representar grficamente el comportamiento del sistema ante un cambio de consigna de escaln unitario 1V, con las siguientes acciones de control:a) Accin proporcional - Kp=1.7 - Kp=10 - Kp=20 - Kp=100b) Regulador PI - Kp=1.7; Ki=20; - Kp=17; Ki=200;c) Regulador PID - Kp=17; Ki=200; Kd=0.15;Calcular para cada caso Tp, Ts, Mp as como ep en rgimen permanente. Analizar los resultados.3.-Comportamiento del sistema ante una perturbacin unitaria.Si modelamos una perturbacin unitaria en el eje del motor como:Analizar el comportamiento del sistema con cada uno de los reguladores del apartado anterior.Con alguno de los reguladores anteriores se corrige la perturbacin?