DO 2DOM

med

io2Gua didctica del docente

MatemticaLorna Jimnez MartnezProfesora de MatemticaLicenciada en MatemticaPontificia Universidad Catlica de Chile

Pedro Rupin GutirrezProfesor de MatemticaLicenciado en MatemticaPontificia Universidad Catlica de Chile

U1_GD_MAT_2M_ok.indd 1 09-01-14 15:28

MateMtica 2. MeDiO GUa DiDctica DeL DOceNte

Direccin editorialFelipe Muoz Gmez

Coordinacin editorialDaniela Cienfuegos Fernndez

EdicinPedro Rupin Gutirrez

AutoraLorna Jimnez MartnezPedro Rupin Gutirrez

Correccin de estiloAna Saavedra Segura

Coordinacin de diseoGabriela de la Fuente Garfias

Diseo y diagramacinAnghela Badiola Sanhueza

Diseo de portadaAnghela Badiola Sanhueza

ProduccinAndrea Carrasco Zavala

Este texto corresponde al Segundo ao de Enseanza Media y ha sido elaborado conforme al Decreto Supremo N 254/2009, del Ministerio de Educacin de Chile.

2013 Ediciones SM Chile S.A. Coyancura 2283 piso 2 ProvidenciaISBN: 978-956-349-543-0 / Depsito legal: 235591Se termin de imprimir esta edicin de 4800 ejemplares en el mes de enero del ao 2014.Impreso por xxxxxxxxxxxxx

Quedan rigurosamente prohibida, sin la autorizacin escrita de los titulares del Copyright, bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproduccin total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografa y el tratamiento informtico, y la distribucin en ejemplares de ella mediante alquiler o prstamo pblico.

U1_GD_MAT_2M_ok.indd 2 09-01-14 15:28

ndice

Presentacin de la unidad ........................................... 11

Marco curricular ............................................................... 12

Plani cacin de la unidad ............................................ 13

Sugerencias metodolgicas ........................................ 17

Informacin complementaria .................................... 38

Actividades complementarias fotocopiables ...... 39

Evaluacin fotocopiable ............................................... 42

Solucionario ....................................................................... 47

Banco de preguntas ....................................................... 50

Bibliografa ......................................................................... 52

NmerosNmeros1Presentacin de la unidad ........................................... 97



Sugerencias metodolgicas ......................................103

Informacin complementaria ..................................129

Actividades complementarias fotocopiables ....130

Evaluacin fotocopiable .............................................133

Solucionario .....................................................................139

Banco de preguntas .....................................................142

Bibliografa .......................................................................144

lgebralgebra3

Presentacin de la unidad ...........................................53



Sugerencias metodolgicas ........................................ 58

Informacin complementaria .................................... 75

Actividades complementarias fotocopiables ...... 76

Evaluacin fotocopiable ............................................... 79

Solucionario ....................................................................... 84

Banco de preguntas ....................................................... 87

Bibliografa ......................................................................... 89

GeometraGeometra2Presentacin de la unidad ........................................145

Marco curricular .............................................................146

Plani cacin de la unidad ..........................................147

Sugerencias metodolgicas ......................................150

Informacin complementaria ..................................169

Actividades complementarias fotocopiables ....170

Evaluacin fotocopiable .............................................173

Solucionario .....................................................................178

Banco de preguntas .....................................................181

Bibliografa .......................................................................183

Datos y AzarDatos y Azar4

Fundamentacin del diseo instruccional ...........................................................................................................................................4

Estructura del Texto del estudiante ..........................................................................................................................................................6

Estructura de la Gua didctica del docente ........................................................................................................................................8

ndice temtico ...........................................................................................................................................................................................190

Bibliografa .....................................................................................................................................................................................................192

Mini ensayo PSU ...................................................................... 90 Mini ensayo PSU ....................................................................162

3NDICE

4Fundamentacin del diseo instruccionalEl texto Matemtica 2. Medio es una propuesta didctica elaborada a partir de los siguientes lineamientos fundamentales:

Organizacin de contenidos El texto recoge la propuesta del Marco curricular y el Programa de Estudio proponiendo una unidad

por eje de contenido. Cada unidad se divide en secciones que la organizan y potencian la importancia de los diferentes objetivos que abordan.

evaluacin permanente Una caracterstica distintiva del texto es asumir la evaluacin como un proceso continuo y al servicio

del aprendizaje. Matemtica 2. Medio recoge este enfoque y lo potencia con pginas destinadas a la evaluacin inicial, integradora y final. Se incluyen, adems, instancias de evaluacin tipo PSU con el fin de preparar a los estudiantes en este tipo de procedimientos evaluativos.

aprendizaje significativo Las nuevas tendencias didcticas promueven el aprendizaje de los contenidos en contextos significati-

vos. Matemtica 2. Medio asume este postulado explicitando los conceptos que estn detrs de esas actividades significativas, como una manera de integrar el aprender con entretencin, conocimiento de su entorno y contenidos de la disciplina.

Desarrollo de habilidades El enfoque didctico de Matemtica 2. Medio asume el desarrollo de habilidades ligado a los con-

tenidos. Es por ello que se incluyen pginas especiales, destinadas a profundizar el trabajo de las habilidades con un enfoque de enseanza explcito y ligado a los contenidos conceptuales; junto con el trabajo continuo en cada una de las lecciones.

MateMtica 2. Medio - Gua didctica del docente

U1_GD_MAT_2M_ok.indd 4 09-01-14 15:28

5Para cumplir estos lineamientos, las unidades y secciones del texto Matemtica 2. Medio se componen de:

Pginas de inicio que presentan los contenidos de la unidad a estudiar por medio de una imagen. Adems, se proponen preguntas destinadas a activar los conocimientos previos de los estudiantes. Cada seccin incluye adems una pgina De esto se trata, para presentar los contenidos a los estudiantes y relacionarlos con contextos significativos, y Qu debes saber?, para diagnosticar sus conocimientos previos.

Lecciones que presentan y trabajan los contenidos y actividades propios del nivel educacional. Cada leccin estimula a los estudiantes a verificar su propio aprendizaje por medio de preguntas y actividades de reflexin, personal y grupal.

Dos pginas de evaluacin integradora que se insertan entre las secciones. En ellas se invita al estudiante a realizar variadas actividades que evalan el grado de comprensin de los contenidos tratados hasta el momento.

Cada seccin incluye una pgina de Resolucin de problemas desarrollados paso a paso, y una pgina Para no cometer errores, que permite a los estudiantes detectarlos y corregirlos.

Dos pginas de Diario Mural, que relacionan el contenido de la unidad con la historia de la disciplina o con otras reas del conocimiento.

Dos pginas de Sntesis, para fortalecer y sintetizar los aprendizajes, y recoger lo presentado en las pginas de inicio.

Tres pginas de Refuerzo y una de Profundizacin, destinadas a los estudiantes con distintas necesidades.

Cuatro pginas de evaluacin final, para evaluar en forma global los contenidos tratados en la unidad.

FundaMentacin

U1_GD_MAT_2M_ok.indd 5 09-01-14 15:28

6

Estructura del texto

El Texto Matemtica 2. Medio se compone de 4 unidades: Nmeros, Geometra, lgebra y Datos y azar. Cada unidad se compone de secciones, y cada seccin de lecciones.

estructura de las unidades

1. inicio de unidadEn estas pginas podrs activar tus ideas previas, conocer las palabras claves de la unidad, y recordar lo que ya sabes. Te presentaremos lo que aprenders y su objetivo, en un contexto relacionado con los contenidos que se estudiarn.

2. Diario MuralAl final de cada unidad encontrars una interesante aplicacin de lo estudiado, en diversos contextos.

3. Para sintetizarAqu podrs organizar y resumir los contenidos abordados. Adems, retomaremos la situacin presentada en el inicio y podrs relacionarla con tus aprendizajes.

4. Reforzar y profundizarEstas pginas te permitirn reforzar los contenidos antes de la evaluacin, como tambin profundizar tus aprendizajes.

5. evalo mis aprendizajesTe proponemos una evaluacin de alternativas, en la que podrs medir tus logros en la unidad.

MateMtica 2. Medio - Gua didctica del docente

U1_GD_MAT_2M_ok.indd 6 09-01-14 15:28

7

6. De esto se trata y Qu debes saber?Activars tus ideas previas y reflexionars sobre la importancia de los contenidos y el propsito de la seccin, a partir de una situacin real. Adems, podrs evaluar tus conocimientos previos y repasar lo que necesites con la ayuda de Internet.

7. LeccinEstas son las pginas de contenido en las que recordars tus aprendizajes previos y desarrollars tus habilidades. Te proponemos actividades para que razones, comentes y reflexiones con tus compaeros, y ejercicios de repaso, prctica y aplicacin.

8. Resolucin de problemas y Para no cometer erroresPodrs analizar estrategias de resolucin de problemas, y analizar errores para no cometerlos.

9. integrando lo aprendidoPodrs evaluar tus aprendizajes de la seccin y analizar si has logrado el propsito de ella.

estructura de las secciones

Pginas finales

10. Solucionario, ndice temtico y BibliografaAqu encontrars la solucin a los ejercicios planteados, un ndice temtico de los contenidos abordados y la Bibliografa del Texto, adems de material que te sugerimos para profundizar tus conocimientos.

estructura del texto

U1_GD_MAT_2M_ok.indd 7 09-01-14 15:28

Estructura de la Gua didctica del docente

Una Presentacin de la Unidad, en la que se explicita:

el Propsito de la misma brindando una mirada global del proceso que han seguido los estudiantes.

los conocimientos Previos necesarios para ella. las Palabras clave de los contenidos que se abordarn. los contenidos especficos, determinados por el Marco curricular. las Habilidades y actitudes a desarrollar.

La Gua Didctica del Docente del texto Matemtica 2. Medio est organizada siguiendo las unidades del texto. Para ello, presenta los siguientes elementos:

Una Planificacin de cada seccin, que el docente podr utilizar como referencia para relacionar los Objetivos Fundamentales transversales, los contenidos Mnimos Obligatorios y los apren-dizajes esperados, relacionados con cada leccin especfica de la seccin. Se explicitan adems las pginas de evaluacin corres-

pondientes y una sugerencia de tiempo estimado, tanto para cada

seccin como para las actividades finales de cada Unidad.

Sugerencias metodolgicas

Para cada seccin de la unidad, el docente podr encontrar orienta-

ciones para trabajar la pgina de inicio De esto se trata, y sugerencias

para cada indicador de la evaluacin inicial Esto debes saber. Dentro

de las lecciones correspondientes, se presenta al docente:

El ttulo y Propsito de cada leccin. Las palabras clave del contenido a abordar. Los prerrequisitos especficos para la leccin, que ya habrn sido trabajados en la evaluacin inicial de

la seccin.

Sugerencias para la activacin de ideas previas de los estudiantes, por medio de actividades, preguntas, presentacin de situaciones, etc.

Orientaciones didcticas que permiten complementar los contenidos presentados en el texto, por medio de sugerencias de actividades, cuidados especficos relacionados con actividades del texto, tips orientados a los estudiantes que puedan presentar mayores dificultades y, de manera general, todo lo que pueda apoyar la labor del docente estimulando el aprendizaje de los estudiantes.

Algunos errores frecuentes especficos del contenido de la leccin, con sugerencias para prevenirlos y corregirlos.

actividades complementarias, que apuntan a un mejor aprendizaje de los estudiantes con diversas necesidades, ya sea de mayor refuerzo o profundizacin.

MateMtica 2. Medio - Gua didctica del docente 8

U1_GD_MAT_2M_ok.indd 8 09-01-14 15:28

Al final de cada seccin, podr encontrar sugerencias para el trabajo con las pginas Resolucin de problemas y Para no cometer errores, adems de una tabla correspondiente a la Evaluacin Integrando lo aprendido, que presenta al docente remediales sugeridos para los estudiantes que no alcancen el nivel de logro deseado.

Sugerencias para el trabajo con las pginas Diario Mural, para estimular en los estudiantes el establecimiento de conexiones entre el contenido estudiado y algn contexto de la vida cotidiana; y Sntesis, para establecerlas entre los conceptos estudiados en cada seccin.

Una tabla de especificaciones de la evaluacin de la Unidad, que establece los indicadores de cada pregunta y remediales para cada caso.

informacin complementaria sobre algn aspecto interesante para el docente que le permitir profundizar en contenidos de la Unidad.

Una evaluacin fotocopiable con preguntas de alternativas y desarrollo, y su respectiva rbrica.

Bibliografa de la Unidad, que le permitirn profundizar y actualizarse en temas de matemtica y didctica de la matemtica.

Cada dos Unidades podr encontrar dos

Mini ensayos PSU, adecuados a los contenidos especficos de las Unidades correspondientes.

Tres actividades complementarias para los estudiantes, que les permitirn reforzar o profundizar un contenido relacionado con cada seccin.

Para finalizar, encontrar un ndice temtico de los contenidos trabajados en la gua, y Bibliografa de consulta general.

Un Banco de preguntas para el docente, organizadas por contenido.

estructura de la Gua 9

U1_GD_MAT_2M_ok.indd 9 09-01-14 15:28

U1_GD_MAT_2M_ok.indd 10 09-01-14 15:28

unid

ad1Propsito

Nmeros

En esta unidad se recogen los aprendizajes que los estudiantes ya tienen sobre nmeros racionales y sus propiedades, para introducir ahora los nmeros irracionales y posteriormente los reales. Se espera que comprendan las caractersticas y propiedades de los nuevos nmeros y sean capaces de ordenarlos, ubicarlos en la recta numrica, aproximarlos y operar con ellos.

En esta unidad se incorporan, adems, las potencias de exponente racional y el estudio de sus propiedades, las races ensimas y los logaritmos. Ser importante que los estudiantes realicen conjeturas sobre propiedades, las verifiquen y apliquen los contenidos aprendidos anteriormente en la resolucin de problemas.

Qu s?

Realizar adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones entre nmeros racionales. identificar propiedades de la operatoria entre nmeros racionales. calcular y aplicar propiedades de las potencias de base racional y exponente entero.

Qu aprender?

identificar nmeros irracionales y sus propiedades. comprender el conjunto de los nmeros reales, sus propiedades y operaciones. Relacionar potencias de exponente racional y races ensimas. aplicar propiedades de las potencias de exponente racional y las races ensimas. comprender el concepto de logaritmo y su relacin con races y potencias. aplicar propiedades de logaritmos. Resolver problemas que involucran races ensimas y logaritmos.

Para qu?

Para resolver problemas en distintos contextos, que involucran distintos tipos de nmeros. Para conjeturar y demostrar propiedad es de los nmeros y sus operaciones.

Ruta de aprendizaje

11Unidad 1 nmeros

U1_GD_MAT_2M_ok.indd 11 09-01-14 15:28

Marco curricular

Conocimientos previos Habilidades

Operaciones de nmeros racionales.

Potencias de base racional y exponente entero.

Propiedades de las potencias de base racional y exponente entero.

Reconocer si un problema puede o no tener soluciones en los nmeros racionales.

Identificar los nmeros irracionales como aquellos que tienen un desarrollo infinito no peridico y que no se pueden escribir como fraccin.

Aproximar nmeros irracionales mediante algn mtodo.

Ubicar races en la recta numrica, usando alguna estrategia.

Conjeturar acerca del valor a obtener al sumar, restar, multiplicar o dividir dos nmeros racionales.

Resolver situaciones en las que es necesario operar con nmeros reales.

Demostrar propiedades de las races ensimas a partir de las propiedades de las potencias de exponente racional.

Transformar races ensimas a notacin de potencias y viceversa.

Demostrar propiedades de los logaritmos a partir de las propiedades de las potencias.

Relacionar potencias, races ensimas y logaritmos.

Resolver situaciones en las que es necesario operar con races ensimas y logaritmos.

Palabras clave

Nmeros irracionales, nmeros reales, potencias de exponente racional, races ensimas, logaritmos.

Contenidos

Nmeros irracionales y propiedades.

Nmeros reales y propiedades.

Operaciones aritmticas con nmeros reales.

Potencias de exponente racional.

Propiedades de las potencias de exponente racional.

Races ensimas.

Propiedades de las races ensimas.

Logaritmos.

Propiedades de los logaritmos.Actitudes

Trabajo en equipo e iniciativa personal en la resolucin de problemas en contextos diversos.

MateMtica 2. Medio - Gua didctica del docente 12 13Unidad 1 nmeros

U1_GD_MAT_2M_ok.indd 12 09-01-14 15:28

3 41 2

Seccin 1: Nmeros realesOF CMO AE Lecciones Evaluaciones

Comprender que los nmeros irracionales constituyen un conjunto numrico en el que es posible resolver problemas que no tienen solucin en los nmeros racionales, y los nmeros reales como aquellos que corresponden a la unin de los nmeros racionales e irracionales.

Utilizar los nmeros reales en la resolucin de problemas, ubicarlos en la recta numrica, demostrar algunas de sus propiedades y realizar aproximaciones.

Identificacin de situaciones que muestran la necesidad de ampliar los nmeros racionales a los nmeros reales; reconocimiento de algunas de las propiedades de los nmeros y de las operaciones y su uso para resolver diversos problemas.

Comprender que los nmeros irracionales permiten resolver problemas que no tienen solucin en los nmeros racionales.

Leccin 1: Nmeros irracionales y problemas geomtricos.

4 horas.

Evaluacin diagnstica Qu debes saber?, pg. 9.

2 horas.

Evaluacin integradora integrando lo aprendido, pgs. 28 y 29.

2 horas.Aproximacin del valor de un nmero irracional por defecto, exceso y por redondeo.

Aproximar nmeros irracionales por defecto, por exceso y por redondeo.

Leccin 2: Aproximacin y construccin de nmeros irracionales.

4 horas.

Ubicacin de algunas races en la recta numrica; exploracin de situaciones geomtricas en que ellas estn presentes; y anlisis de la demostracin de la irracionalidad de algunas races cuadradas.

Ordenar nmeros irracionales y representarlos en la recta numrica.

Leccin 3: Nmeros irracionales en la recta numrica y orden.

4 horas.

Conjeturar y verificar propiedades de los nmeros irracionales.

Leccin 4: Nmeros reales.

4 horas.Comprender que los nmeros reales corresponden a la unin de los nmeros racionales e irracionales.

Demostrar algunas propiedades de los nmeros reales.

Resolver problemas en contextos diversos relativos a nmeros reales, races y logaritmos.

Pginas finalesActividad Pginas Tiempo estimado

Resolucin de problemas 26 1 hora

Para no cometer errores 27 1 hora

Tiempo estimado: 26 horas pedaggicas

Planificacin de la unidad


U1_GD_MAT_2M_ok.indd 13 09-01-14 15:28

Seccin 2: RacesOF CMO AE Lecciones Evaluaciones

Establecer relaciones entre potencias, logaritmos y races en el contexto de los nmeros reales, demostrar algunas de sus propiedades y aplicarlas en la resolucin de problemas.

Anlisis de la existencia de la raz ensima en el conjunto de los nmeros reales, su relacin con las potencias de exponente racional y demostracin de algunas de sus propiedades.

Analizar la existencia de las races en el conjunto de los nmeros reales.

Leccin 5: Raz ensima.

4 horas.


2 horas.


2 horas.

Utilizar relaciones entre las potencias y races para demostrar propiedades de las races.

Leccin 6: Races y operaciones.

4 horas.

Leccin 7: Potencias de exponente racional.

4 horas.


Leccin 8: Racionalizacin.

4 horas.

Leccin 9: Races ensimas, problemas y ecuaciones.

4 horas.






U1_GD_MAT_2M_ok.indd 14 09-01-14 15:28

3 41 2

Seccin 3: LogaritmosOF CMO AE Lecciones Evaluaciones

Establecer relaciones entre potencias, logaritmos y races en el contexto de los nmeros reales, demostrar algunas de sus propiedades y aplicarlas en la resolucin de problemas.

Interpretacin de logaritmos, su relacin con potencias y races, deduccin de sus propiedades y aplicaciones del clculo de logaritmos a la resolucin de problemas en diversas reas del conocimiento.

Establecer relaciones entre los logaritmos, potencias y races.

Leccin 10: Logaritmos.

4 horas.


2 horas.


2 horas.

Deducir propiedades de los logaritmos.

Leccin 11: Propiedades de los logaritmos.

4 horas.


Leccin 12: Aplicaciones de logaritmos.

4 horas.






U1_GD_MAT_2M_ok.indd 15 09-01-14 15:28

Pginas finalesActividad Pgina Tiempo estimado

Diario mural. 74 y 75 1 hora

Para sintetizar. 76 y 77 1 hora

Reforzar antes de evaluar Para profundizar. 78 81 4 horas

Evaluacin de la unidad. 82 85 2 horas

Tiempo total estimado para la unidad: 80 horas pedaggicas


U1_GD_MAT_2M_ok.indd 16 09-01-14 15:28

3 41 2

Seccin 1Nmeros reales

De esto se trata

Es complejo para los estudiantes comprender que un nmero decimal peridico no es una aproximacin. Para ellos, la idea de que un nmero se repita infinitamente sin acabar jams no calza con la nocin de precisin que de-biera dar un nmero.

Por lo mismo, la existencia de nmeros irracionales pue-de ser aun ms compleja de comprender, y ms todava considerando que se trata de nmeros exactos, precisos, no de aproximaciones.

Es interesante que puedan vislumbrar, desde el princi-pio de esta seccin, que muchas cosas en matemtica se desprenden de la realidad tangible para teorizar, y luego no necesariamente se corresponden con la realidad y pueden no representar situaciones de ella. El mismo uso de aparatos tecnolgicos no puede responder a cabalidad a la teoriza-cin matemtica de los nmeros reales, y esto es un buen punto de partida para que los estudiantes puedan reflexio-nar respecto de la naturaleza del estudio matemtico, en ocasiones por pura satisfaccin intelectual.

Qu debes saber?

Identificar y realizar operaciones entre nmeros racionales

Para este indicador, recuerde a los estudiantes los tipos de nmeros decimales (finitos, infinitos peridicos e infini-tos semiperidicos) y como transformarlos en fraccin, as como el procedimiento de divisin para transformar una fraccin en nmero decimal.

Refuerce a los estudiantes las prioridades de las ope-raciones en los nmeros racionales presentando distintos casos y los diferentes resultados que se pueden obtener si estas prioridades no se respetan.

Aproximar, ordenar y ubicar nmeros racionales en la recta numrica

Para este indicador, recuerde las posiciones decimales y sus nombres; tambin los mtodos de aproximacin por redondeo y truncamiento.

Para ordenar nmeros decimales, puede presentar di-versos listados de nmeros racionales de distinto tipo y que en conjunto encuentren estrategias para ordenarlos, por ejemplo expresar todos los nmeros como fraccin o como decimal. Pueden discutir adems sobre la efectividad de las tcnicas utilizadas en cada caso.

Para ubicar nmeros racionales en la recta numrica se recomienda enfatizar la necesidad de graduarla adecuada-mente segn los nmeros que estn involucrados, consi-derando todos los nmeros que se ubicarn y analizando cuidadosamente los denominadores antes de comenzar a ubicar los nmeros, a fin de evitar problemas posteriores. Para nmeros decimales peridicos o semiperidicos es imprescindible expresarlos como fraccin; primero observe la forma en que proceden los estudiantes para luego corre-gir en el caso que hayan intentado ubicar directamente los nmeros en forma de nmero decimal peridico. De esta manera, el aprendizaje puede ser ms significativo.

Recuerde tambin a los estudiantes que el conjunto de los nmeros racionales es un conjunto denso, es decir, siempre entre dos nmeros racionales podemos encontrar otro racional, es ms, se pueden encontrar infinitos nmeros racionales. Puede mostrarles cmo intercalar varios nmeros racionales entre dos nmeros racionales dados, partiendo por intercalar solo uno utilizando el promedio entre los extremos.

Conviene finalmente aclarar que la densidad no se pre-senta en los nmeros naturales ni en los nmeros enteros.

Sugerencias metodolgicas


U1_GD_MAT_2M_ok.indd 17 09-01-14 15:28

1 Nmeros irracionales y problemas geomtricosPgs. 10 a 13

PropsitoIdentificar nmeros irracionales y sus propiedades, y operar con ellos en problemas geomtricos.

Palabras claveNmeros racionales, irracionales, reales, conjuntos nu-mricos, nmeros infinitos, cifras decimales, fracciones, propiedades, operaciones, problemas geomtricos, rea, permetro

Prerrequisitos Orden en los nmeros racionales. Clculos que involucran nmeros racionales. Identificacin y aplicacin de propiedades de las ope-raciones con nmeros racionales.

Clculo de reas y permetros de diversas figuras planas.

Activacin de ideas previasPara el trabajo de esta leccin es importante que los alum-nos trabajen correctamente con los nmeros racionales y de esta forma se puedan aproximar de buena forma al estudio de los nmeros irracionales.

Para activar los conocimientos previos de sus estudiantes, plantee las siguientes preguntas.

Qu es un nmero racional? Cules son sus carac-tersticas? Da algunos ejemplos de ellos.

Todo nmero se puede escribir como fraccin? Da un ejemplo.

Cules no se pueden escribir como fraccin? Cmo se llaman? Ejemplifica.

Qu conjuntos numricos conoces? Qu caracters-ticas tienen estos conjuntos? Habr otros conjuntos? Qu nmeros incluiran estos conjuntos? Tienen elementos en comn estos conjuntos?

Orientaciones didcticasEn esta leccin se introduce el estudio de los nmeros irra-cionales a partir de problemas geomtricos que no tienen solucin en el conjunto de los nmeros racionales. Los estu-diantes han debido aplicar en cursos anteriores el teorema

de Pitgoras con resultados que no son races exactas, pero hasta el momento no se les ha precisado que los nmeros de este tipo inducen a la necesidad de ampliar el conjunto numrico utilizado hasta el momento.

Explicite la relacin entre los nmeros irracionales y la no-cin de medida como comparacin, como se presenta en la leccin. En este sentido, puede recalcar que un nmero irracional es aquel para el cual no es posible determinar una unidad con la cual pueda ser comparado dividiendo dicha unidad una cantidad finita de veces.

La demostracin de la irracionalidad de 2 por reduccin al absurdo es clsica en matemticas, pero el argumento utili-zado es difcil de comprender en principio por los estudian-tes. Para una mejor comprensin, precise a los estudiantes que en matemticas no se permiten contradicciones, por lo tanto, si una afirmacin las genera, esta necesariamente debe ser falsa.

Demostracin de la irracionalidad de 2

Supongamos que 2 no es irracional. Si no es irracional debe ser obligatoriamente racional, es decir, debe ser igual a una fraccin:

2pq

=

Podemos suponer que el mximo comn divisor de p y q es 1, es decir son primos relativos. Elevamos al cuadrado y operando queda:

2pq

2q p2

22 2= = =

Por tanto p debe ser mltiplo de 2, lo que implica que p tambin es un mltiplo de 2. Es decir,

p 2k, k N=

Sustituimos este valor de p en la expresin anterior y sim-plificamos un 2 de esa igualdad:

2q (2k) q 2k2 2 2 2= =

Esta expresin asegura que q es mltiplo de 2, y por tanto tambin lo es q. Aqu est el absurdo, habamos supuesto que p y q no tenan factores comunes y hemos llegado a que los dos son mltiplos de 2, es decir, que tienen al 2 como factor comn, y por tanto su mcd debe ser al menos 2. Esa es la contradiccin que buscbamos.


U1_GD_MAT_2M_ok.indd 18 09-01-14 15:28

3 41 2

Es posible que los estudiantes apliquen de manera incorrecta el teorema de Pitgoras, ya sea en el planteamiento de este (identificar errneamente catetos e hipotenusa) o en el desa-rrollo del mismo para encontrar un valor requerido. En este sentido, se sugiere explicitar las siguientes relaciones:

( )

+ +

+ +

x y x y

a b a b2 2 2

Errores frecuentes

Actividades complementariasPresente una figura compuesta como la siguiente y pida que la completen con las medidas de los lados, de manera tal que el permetro y el rea de ella sea un nmero irracional. Puede pedir que calculen el rea y el permetro resultan-te y que expongan sus respuestas al curso. De este modo podrn ver que existen infinitas opciones.

Puede adems combinar algunas posibilidades, por ejemplo:

una figura con algunos lados de medida racional y otros de medida irracional, pero cuya rea sea irracional.

una figura cuya rea sea irracional y el permetro, racional.En cada caso, se puede estimular el anlisis de los resultados posibles de obtener, aunque esto se realizar de manera ms detallada en la leccin 4.

2 aproximacin y construccin de nmeros irracionalesPgs. 14 a 17

PropsitoAproximar nmeros irracionales.

Palabras claveAproximacin, redondeo, truncamiento, exceso, defecto, diferencia, error relativo, error absoluto

Prerrequisitos Aproximacin de nmeros racionales por redondeo y truncamiento.

Activacin de ideas previasPor contenidos vistos en aos anteriores, se espera que los estudiantes comprendan que una aproximacin es un valor parecido al real y que sean capaces de determinar algunas. Para confirmar esto, plantee las siguientes preguntas:

Qu es aproximar un nmero? Cul es la diferencia entre redondear y truncar? El nmero racional 3,1456 se puede aproximar a 3,15,

esta aproximacin fue por truncamiento o redondeo?

Orientaciones didcticasComience esta leccin reiterando que, en situaciones co-tidianas, no es posible trabajar con nmeros irracionales. Por ello, es preciso contar con mecanismos que permitan obtener aproximaciones adecuadas para cada situacin. El clculo del error permite juzgar el grado de exactitud de las aproximaciones; dependiendo del contexto, ser aceptable un error determinado. Asimismo, el uso del error absoluto o relativo debe analizarse especficamente segn lo que se quiera obtener.

Es interesante tambin plantear a los estudiantes que, por ms poderosos que sean un computador o una calculadora nunca pueden dar un valor exacto de un nmero irracional, ya que necesitaran en la prctica una memoria infinita.

Conviene recalcar, en el anlisis de la aproximacin del nmero , que las races no contemplan todos los nmeros irracionales, es decir, que los nmeros reales no se forman solo agregando las races no enteras a los nmeros reales.


U1_GD_MAT_2M_ok.indd 19 09-01-14 15:28

En este sentido, precise que los nmeros irracionales no solo se relacionan con problemas geomtricos, aunque ese haya sido el punto de partida para su estudio.

Actividades complementariasPlantee a los estudiantes la siguiente actividad para profun-dizar en la aproximacin de nmeros irracionales:

a) Calculen separadamente en la calculadora 10 y 12y aproximen por redondeo cada raz a la centsima. Luego, con estas aproximaciones estimen el valor de

10 + 12.

b) Calculen en la calculadora 10 + 12 . Aproximen el resultado por redondeo a la centsima.

Cul de los mtodos para aproximar esta suma es me-jor? Cul entregar un menor error? Justifica.

Respuesta:

En el primer caso obtendrn 6,62, mientras que en el segundo se obtiene 6,63. La actividad les puede permi-tir constatar que, en general, se debe aproximar como ltimo paso.

c) Una empresa de productos en conserva debe etique-tar 70 000 tarros cilndricos para un nuevo producto que lanzar al mercado. La etiqueta debe quedar a 0,3 cm de las bases del tarro, como se muestra en la figura. Si el radio de la base del tarro mide 5 cm y el alto del tarro es 13 cm, qu dimensiones deben tener las etiquetas?

R: 10 x 12,4 cm

3 Nmeros irracionales en la recta numrica y ordenPgs. 18 a 21

PropsitoOrdenar y ubicar nmeros irracionales.

Palabras claveOrden, ubicacin, races cuadradas, cantidades subradi-cales, recta numrica, teorema de Pitgoras.

Prerrequisitos Orden de nmeros racionales y ubicacin en la recta numrica.

Aplicacin del teorema de Pitgoras.

Activacin de ideas previasSe sugiere recordar junto a sus alumnos la forma correc-ta de construir una recta numrica. Puede poner especial nfasis en el segmento unidad que utilizarn, ya que ge-neralmente suelen usar unidades distintas durante toda la recta. Puede hacerles notar que si no existe esta unidad, la recta se invalida.

Adems, es necesario que les recuerde cmo comparar nmeros racionales para luego poder ordenarlos y represen-tarlos en la recta numrica. Luego, a travs de preguntas y respuestas, se les puede consultar respecto de los nmeros naturales que son cuadrados perfectos y cubos perfectos, con la finalidad de recordar el concepto de raz cuadrada y raz cbica.

Orientaciones didcticasPara comparar y ordenar races y nmeros racionales, pida a los estudiantes que expresen nmeros racionales como ra-ces, o las races como nmeros racionales elevando al cua-drado, y as comparar nmeros del mismo tipo. Por ejemplo, para comparar 8 y 3 se puede usar 8 y 9 , por lo tanto

8 < 9. Del mismo modo para comparar 2 y 3 se puede elevar al cuadrado cada nmero obteniendo 4 y 3, y deducir que 2 > 3 pues 4 > 3.


U1_GD_MAT_2M_ok.indd 20 09-01-14 15:28

3 41 2

En cursos anteriores, los estudiantes han realizado cons-trucciones geomtricas con regla y comps, y es posible que se hayan preguntado, por ejemplo, qu sentido tiene construir geomtricamente una bisectriz de un ngulo si es posible medirlo con transportador y con l dividir su medida en dos. Este contenido da una buena posibilidad de apreciar que este tipo de construcciones son necesarias pues son las nicas matemticamente correctas; hacerlo de otra manera nos obliga a trabajar solo con aproximaciones.

Analice con los estudiantes formas de ubicar races en la recta numrica sin necesidad de construir siempre toda la espiral. Para ello, es importante que los desafe a ubicar ra-ces de nmeros grandes, estimulndolos a que encuentren valores adecuados que permitan construir menos tringulos y obtener resultados ms rpidamente.

Los alumnos pueden presentar dificultades al ordenar nmeros irracionales del tipo a + b, interpretando en forma inco-

rrecta que a + b a + b2( ) = . Supervise cuidadosamente

un correcto manejo de la operatoria.

Errores frecuentes

Actividades complementariasPida a los estudiantes que determinen el valor de las si-guientes races utilizando una calculadora.

0,1, 0,4, 0,16, 0,25

Luego, solicteles que las ubiquen en la recta numrica y analicen en busca de alguna regularidad. Puede inducirles a que constaten que, en el caso de las races de nmeros menores que 1, el valor de la raz es mayor que el de la can-tidad subradical.

4 Nmeros realesPgs. 22 a 25

PropsitoIdentificar y caracterizar el conjunto de los nmeros reales.

Palabras claveConjuntos numricos, subconjuntos, elementos, perte-nencia, nmeros reales, racionales e irracionales

Prerrequisitos Identificacin y aplicacin de propiedades de la opera-toria con nmeros racionales.

Identificacin de nmeros irracionales.

Activacin de ideas previasSe sugiere recordar junto a sus alumnos la forma correcta de construir una recta numrica. Puede poner especial nfasis en el segmento unidad que utilizarn, ya que generalmente suelen usar unidades distintas durante toda la recta. Puede hacerles notar que si no existe esta unidad, la recta se invalida.

Adems, es necesario que les recuerde cmo comparar nmeros racionales para luego poder ordenarlos y represen-tarlos en la recta numrica. Luego, a travs de preguntas y respuestas, se les puede consultar respecto de los nmeros naturales que son cuadrados perfectos y cubos perfectos, con la finalidad de recordar el concepto de raz cuadrada y raz cbica.

Orientaciones didcticasEn esta leccin se analizan las operaciones entre nmeros racionales e irracionales y la naturaleza de los resultados obtenidos. Para que los estudiantes comprendan esto es importante ejemplificar cada uno de los casos con elemen-tos sencillos que permitan ilustrar fcilmente lo que sucede.

Es fundamental enfatizar que, a diferencia de lo que ocurre entre los naturales y los enteros, y los enteros y los racio-nales, entre los nmeros racionales e irracionales no hay elementos en comn, sino que son conjuntos disjuntos. Adems, el conjunto de los nmeros irracionales es distinto de los conjuntos antes estudiados porque no posee estruc-tura de grupo, es decir, no de definen en l las operaciones usuales de adicin y multiplicacin pues no contienen ni al 0 ni al 1 (neutros para ambas operaciones).


U1_GD_MAT_2M_ok.indd 21 09-01-14 15:28

Es posible que los estudiantes generalicen errneamente algunas propiedades o no consideren los casos particu-lares al hacer generalizaciones. Por ejemplo, si se les pide que juzguen veracidad de la afirmacin: si a es un nme-ro racional y b es irracional, entonces ab es irracional, es probable que digan que es cierta sin considerar el caso a = 0. Insista a los estudiantes en la necesidad de analizar los casos posibles y verificarlos, antes de emitir juicios sobre afirmaciones como esta.

Errores frecuentes

Actividades complementariasPara determinar la antigedad de una roca, la ciencia ac-tualmente ha podido desarrollar una tcnica basada en la concentracin de material radiactivo en su interior. Cuanto menos antigua es la roca, mayor concentracin de material radiactivo se encontrar. La frmula que se utiliza es:

C(t) = k 3 t, donde c representa la concentracin del ma-terial radiactivo, t el tiempo transcurrido medido en cientos de aos y k la concentracin del elemento en el momento de formarse la roca.

Si k = 4500:

a) Cunto tiempo debe haber pasado para que hallemos una concentracin de 1500?

R: 100 aos

b) Qu concentracin tendramos al cabo de dos siglos?

R: 500 concentracin

c) En qu tiempo se acabara este material?

R: El material no se acabar nunca, pues en este caso la concentracin debiera ser cero y la funcin no est definida para 0.

Luego, solicite a sus estudiantes que escriban una explica-cin, si as lo amerita, sobre los errores que han cometido.

Resolucin de problemas

Pgina 26

Las estrategias de resolucin de problemas permiten tra-bajar con los estudiantes diversos tipos de pensamiento y fomentar en ellos su capacidad de anlisis, creatividad, rigurosidad y flexibilidad para adaptarse a nuevos mtodos y validar formas distintas de realizar las tareas.

Es muy importante que estimule a los estudiantes a parti-cipar activamente en la resolucin de problemas. Para esto, puede solicitarles que intenten resolver el problema plan-teado sin mirar la resolucin propuesta, para luego discutir en grupos, analizar la forma planteada en el libro y realizar aportes finales que puedan optimizarla o perfeccionarla.

Para el problema propuesto en esta seccin, pida a los es-tudiantes que resuelvan el problema asignando valores numricos para a y b segn corresponda, y de esta forma podrn verificar de forma ms sencilla, cules de las expre-siones sern siempre nmeros irracionales.

A continuacin, para promover el anlisis matemtico, pda-les que analicen cada una de las expresiones sin asignarles valores para a y b, y que lleguen a las mismas conclusiones obtenidas numricamente.

Para no cometer errores

Pgina 27

El anlisis de errores permite, de manera efectiva y concre-ta, detectarlos y corregirlos. Es importante que el docente estimule a los estudiantes a analizar sus procedimientos constantemente y desarrollar la capacidad de anlisis y au-tocrtica respecto de los errores cometidos.

Es importante hacer notar a los alumnos que hacer una aproximacin a un nmero ya aproximado generar un error adicional, por eso siempre es importante aproximar el nmero original. Aproveche de mencionar que cuando se realiza una secuencia de operaciones siempre se debe trabajar con los valores exactos, sin aproximar los resultados obtenidos en medio del proceso; si es necesario, se aproxi-ma el resultado final, y de esta forma el error de aproxima-cin ser menor.


U1_GD_MAT_2M_ok.indd 22 09-01-14 15:28

3 41 2

integrando lo aprendido

Pgs. 28 y 29

Indicador Preguntas asociadas Remedial

Identificar nmeros irracionales y sus propiedades, y operar con ellos en problemas geomtricos.

1, 2 y 3 Los estudiantes pueden presentar dificultades al aplicar conceptos geomtricos y calcular en forma incorrecta los permetros y reas, lo que puede llevar a errores en sus respuestas que no permitan detectar si operan correctamente con los nmeros dados. De ser necesario, repase las frmulas involucradas con los estudiantes y que luego analicen los errores que hayan cometido.

Aproximar nmeros irracionales. 4, 5 y 6 Los errores ms frecuentes se deben a una confusin entre los conceptos de redondeo y truncamiento o una incorrecta identificacin de la cifra a la que se desea aproximar. Refuerce la asociacin entre los conceptos de "truncar" y "cortar", utilizando otros contextos en que se utilizan estas palabras. Para identificar las cifras, supervise que los estudiantes con ms dificultades empleen siempre procedimientos escritos, ordenados y metdicos.

Ordenar y ubicar nmeros irracionales. 7, 8, 9, 10 y 11 Los errores ms frecuentes provienen de la operatoria de races, por lo que es importante que permita a los estudiantes rehacer los ejercicios en los que hayan cometido errores las veces que sea necesario, a fin de que la prctica permita ir evitndolos paulatinamente.

Identificar y caracterizar el conjunto de los nmeros reales.

12, 13 y 14 Para completar el esquema de los conjuntos numricos es posible que los estudiantes no recuerden los nombres o las letras asociadas a cada conjunto. Para evitarlo puede hacer un breve resumen para aclarar dudas previas.

Es posible que los estudiantes presenten dificultades para determinar si las expresiones dadas son nmeros racionales e irracionales pues no tienen el manejo necesario con operatoria con races. Para no perder el sentido del tem, que es identificar qu tipo de nmero es, permtales usar calculadora en los casos que sea necesario. Recurdeles adems los conceptos de producto y cociente para que puedan realizar correctamente el tem.


U1_GD_MAT_2M_ok.indd 23 09-01-14 15:28

Seccin 2Races

De esto se trata

En esta seccin se generaliza el concepto de raz cuadra-da para introducir el de raz ensima, ampliando la pregunta relacionada con la raz cuadrada (qu nmero elevado a 2 da como resultado?) al caso general (qu nmero ele-vando a n da como resultado?)

Una de las aplicaciones comunes de las races ensi-mas se relaciona con situaciones modeladas por la funcin exponencial, presentes en diversos mbitos y de manera especial en las comunicaciones. Se presenta a los estudian-tes la posibilidad de reflexionar respecto del crecimiento de estas funciones de maneras insospechadas, incluso con bases pequeas, lo que hace fundamental tener un gran cuidado en el uso, por ejemplo, de las redes sociales.

Qu debes saber?

Calcular potencias de base racional y exponente entero

Para este indicador, recuerde a los estudiantes cada una de las propiedades de las potencias y trabaje diversos ejem-plos relacionados. Si han olvidado las propiedades, una ma-nera efectiva de recordarlas es deducirlas nuevamente o justificarlas, lo que les permite comprender el porqu de ellas.

Para reforzar el aprendizaje y la capacidad de anlisis, muestre algunos ejercicios resueltos donde las propiedades estn aplicadas incorrectamente, y pida a los estudiantes que identifiquen el error y corrijan.

Resolver operaciones que involucran potencias

Para este indicador, se sugiere recordar a los estudiantes las prioridades de las operaciones, ahora incluyendo el lugar que ocupan las potencias en ellas.

Muestre ejemplos que presenten algn error en el pro-cedimiento, y pida a los estudiantes que lo identifiquen y corrijan. Puede adems presentar secuencias de operacio-nes y solicitarles que ubiquen parntesis entre ellas, para que la expresin tenga un valor determinado.

5 Raz ensimaPgs. 32 a 35

PropsitoDefinir races y calcularlas aplicando su definicin.

Palabras claveRaz, potencia, exponente, base, subradical, racional

Prerrequisitos Operaciones con nmeros racionales. Concepto de potencia en la notacin de expresiones numricas.

Clculo de potencias de base racional y exponente entero.

Aplicacin de propiedades de la operatoria de po-tencias

Activacin de ideas previasPara comenzar, presente situaciones aritmticas en las que sea posible apreciar operaciones inversas entre s como la resolucin de ecuaciones, donde para despejar la incgnita se utiliza la operacin inversa a la que se est aplicando en ella

(si est siendo multiplicada por 5, por ejemplo, se multiplica

por 15

; lo que es equivalente a dividir por 5). Es importante

activar en los estudiantes este pensamiento relacional que permite responder preguntas en distintos sentidos.

Orientaciones didcticasEl estudio de esta leccin comienza presentando los pro-blemas insolubles de la geometra clsica, entre ellos la duplicacin del cubo que involucra la construccin de la raz cbica de 2. Para los estudiantes puede resultar curioso que, siendo posible construir 2, no sea posible hacer lo mismo con 23 . Puede pedir a los estudiantes que intenten hacerlo para experimentar.

Para el estudio de las races ensimas es importante siempre ver la equivalencia con potencias hasta que estn absoluta-mente familiarizados con esto. Si es preciso, se recomienda insistir en que escriban siempre la potencia equivalente a una raz dada, hasta que realicen el proceso con soltura.


U1_GD_MAT_2M_ok.indd 24 09-01-14 15:28

3 41 2

Para el anlisis de los signos de la cantidad subradical insista sistemticamente en la relacin con potencias, solicitando a los estudiantes que cada vez que analicen, escriban la potencia equivalente a la raz y a partir de ello se pregunten por la existencia del valor y su signo. Se recomienda realizar variados ejercicios de este tipo para consolidar este impor-tante contenido, hasta que se consolide.

Esta leccin es fundamental para los siguientes temas que sern trabajados; dedique el tiempo que sea necesario para verificar la correcta comprensin de los estudiantes.

Gran parte de los errores asociados a este contenido tienen re-lacin con el deseo de los estudiantes de resolver los ejercicios rpidamente, y muchas veces en forma mental. Por lo mismo, la correccin de dichos errores pasa por el trabajo sistemtico y escrito que se mencion anteriormente.

Adems, los estudiantes podran presentar problemas en aque-llos ejercicios combinados que implican varias operaciones y clculo de races. Muestre a los estudiantes la forma de resolver este tipo de ejercicios y enfatice en la importancia del orden en la resolucin.

Existe una posibilidad de confusin al utilizar la expresin multiplicar por s mismo: si decimos que x3 corresponde a x multiplicado por s mismo 3 veces, entonces x2 corresponde a x multiplicado por s mismo 2 veces, y x1 necesariamente corresponde a x multiplicado por s mismo una vez, es decir x x. Por lo mismo, se recomienda aclarar este punto y utilizar de preferencia la expresin elevado a en lugar de multiplicado por s mismo, tal como se hace en esta leccin.

Errores frecuentes

6 Raices y operacionesPgs. 36 a 39

PropsitoRealizar operaciones con races.

Palabras claveRaz ensima, ndice, subradical, operatoria, trminos se-mejantes, propiedades

Prerrequisitos Operaciones con expresiones algebraicas. Aplicacin de propiedades de las potencias. Clculo de races ensimas por definicin.

Activacin de ideas previasLas ideas previas ms directas para este contenido tienen relacin con las propiedades de potencias, por lo que no est de ms recordarlas aqu pese a haberlo hecho en la leccin anterior.

Es importante tambin retomar la idea vista en la seccin anterior respecto de que los nmeros irracionales particu-larmente las races solo pueden ser expresadas en forma exacta como races, por ejemplo 2. Esto es fundamental para comprender que luego, al realizar operaciones, las races de igual ndice y cantidad subradical pueden consi-derarse como trminos semejantes, y con ello se pueden sumar y restar.

Orientaciones didcticasEn esta leccin, algunas de las propiedades de las opera-ciones con races se demuestran y otras sencillamente se enuncian; es recomendable de todas formas que estimule a los estudiantes a demostrarlas o verificarlas, buscando comprender en cada caso lo que estn haciendo. Si bien el objetivo principal es que sean capaces de realizar clculos con soltura, la comprensin por parte de los estudiantes de lo que est realizando suele ser una gran ayuda para recordar las propiedades, adems de entregar herramientas de anlisis en otro tipo de ejercicios.

El uso de races en la operatoria puede resultar complejo y algunos estudiantes presentan una tendencia a expresarlas con decimales, para poder considerarlas como nmeros. Puede sugerirles como estrategia que, en estos casos,


U1_GD_MAT_2M_ok.indd 25 09-01-14 15:28

reemplacen las races por letras y realicen la reduccin de trminos semejantes como ya han hecho en cursos anteriores. Por ejemplo, para el caso:

5 2 2 + 7 5 + 3 3 + 5 23 3 3

Se puede asignar las constantes a 53= , b 2= , c 33= . De esta manera, se tiene que:

5 2 2 + 7 5 + 3 3 + 5 2

a 2b + 7a + 3c + 5b

8a + 3b + 3c

3 3 3

==

Remplazando a, b y c por sus valores originales, se obtiene la expresin reducida.

Actividades complementariasPara fomentar y desarrollar el uso del lenguaje natural y el lenguaje matemtico, puede solicitar a los estudiantes que expresen en lenguaje matemtico los siguientes enunciados:

la raz ensima de un producto es igual a las races ensimas de cada uno de los factores. ( ab = a bn n n )

la raz ensima de un cociente es igual al cociente entre la raz ensima del dividendo y la raz ensima

del divisor. (ab

= a : bn n n )

Puede, asimismo, plantear la pregunta inversa, enunciando la propiedad descrita en lenguaje algebraico, por ejemplo:

a b a bnn n=

En este caso, preste especial atencin a la forma en que los estudiantes se refieren a cada trmino involucrado, si utilizan las palabras precisas tanto para las operaciones como para las relaciones entre los trminos.

7 Potencias de exponente racionalPgs. 40 a 43

PropsitoInterpretar las races como potencias de exponente racio-nal y deducir propiedades de ellas.

Palabras claveRaz ensima, ndice, subradical, operatoria, exponente, racional, propiedades

Prerrequisitos Aplicacin de propiedades de potencias. Clculo de races ensimas por definicin. Aplicacin de propiedades de la operatoria con races.

Activacin de ideas previasComo se plantea en la leccin, es conveniente introducir la interpretacin de las potencias de exponente racional relacionndolas con otras situaciones que los estudiantes hayan visto en las que es necesario ampliar definiciones na-turales, es decir, fcilmente interpretables desde lo intuitivo.

Orientaciones didcticasEste contenido brinda una interesante posibilidad de estructu-rar una forma de trabajo en matemtica que es caracterstica de la disciplina: extender una definicin, verificar su coheren-cia y extender posteriormente las propiedades que haban sido deducidas. Esto se puede observar especialmente en el Paso 1 de la pgina 40, donde se utiliza la divisin de poten-cias de igual base sin aplicar la propiedad, sino la definicin de potencia para interpretar el exponente negativo. En el estudio de las races ensimas, la extensin de las potencias de exponente entero a exponente racional se realiza justifi-cando su coherencia, y su uso permite deducir propiedades de la operatoria de races que, de otra manera, resultaran ms difciles y menos directas.

Por lo anterior, incentive a los estudiantes a que sean siste-mticos en la verificacin de las propiedades que se enun-cian en la pgina 41, mediante los siguientes pasos:

Escribir las races como potencias. Escribir las races como potencias de base racional. Aplicar propiedades de potencias.


U1_GD_MAT_2M_ok.indd 26 09-01-14 15:28

3 41 2

Para que los estudiantes comprendan bien los contenidos de esta leccin es imprescindible presentarles ejemplos va-riados que permitan integrar y fijar lo aprendido, por medio de la observacin y la ejercitacin.

Es importante explicitar claramente qu operaciones tienen propiedades especficas que permiten una reduccin de los trminos involucrados y cules operaciones no las tienen. En particular, es necesario mencionar que no existen frmulas para la suma o resta de races ni de cantidades subradicales:

5 + 7 5 + 73 3 3

5 7 5 73 3 3Es conveniente adems presentar intencionadamente ejemplos de este tipo y, cuando se produzcan errores, repetir que no todas las operaciones tienen frmulas asociadas, registrando esta insistencia en forma verbal y simblica (algebraica).

Errores frecuentes

8 RacionalizacinPgs. 44 a 47

PropsitoRacionalizar expresiones fraccionarias.

Palabras claveRaz ensima, ndice, subradical, operatoria, amplificar, exponente, racionalizar, expresiones

Prerrequisitos Aplicacin de productos notables: en el clculo de ex-presiones algebraicas.

Aplicacin de propiedades de las potencias. Clculo de races ensimas por definicin. Aplicacin de propiedades de la operatoria de races ensimas.

Activacin de ideas previasConviene recordar con los estudiantes situaciones en las que se privilegian ciertas formas de presentar resultados en matemticas frente a otras que, aun siendo correctas, no son las preferidas. Para esto se pueden explicitar los criterios utilizados, por ejemplo:

las fracciones se presentan simplificadas, hasta su for-ma irreductible: 6

834

.

los polinomios se ordenan segn su grado, en ge-neral en forma descendente respecto a una letra: ab + a b 2 a b a b a b + ab 23 2 2 7 3 2 2 7

En el caso de la simplificacin de fracciones puede ser ms directo para los estudiantes comprender por qu (es ms sencillo trabajar con nmeros ms pequeos); respecto del orden de los polinomios este tiene como objetivo identificar ms fcilmente las regularidades que pueda haber adems de definir de manera ms estandarizada algunas frmulas (al ordenarlos de acuerdo a alguna convencin, es posible hablar de el segundo trmino, por ejemplo).

Orientaciones didcticasEl proceso de racionalizacin es, en general, complejo y requiere de un cuidadoso anlisis en cada caso para no cometer errores. Es normal que a los estudiantes les resulte complicado raciona-lizar races con ndices ms altos, para lo cual puede sugerirles que las expresen primero como potencias de exponente frac-cionario. De esta forma les ser ms fcil ver la potencia por la cual conviene amplificar, pues deben conseguir que ambas fracciones sumen 1. En el ejercicio presentado en la pgina 44, el cuadro de ayuda explica este punto: al resolver racionaliza-ciones de este tipo sugiera a los estudiantes volver a l y aplicar lo que se plantea.

Si lo considera necesario y pertinente para el nivel del curso, puede discutir con los estudiantes respecto del sentido de racionalizar una expresin, es decir, por qu es necesario hacerlo. Si bien no existe una respuesta nica al respecto, puede mostrar que si se considera una fraccin como una divisin, el algoritmo de la divisin que conocemos solo considera el caso en que el divisor sea un nmero entero (cuando realizamos una divisin por un nmero decimal, amplificamos por potencias de 10 para que no lo sea o bien se expresa como fraccin, si es un decimal peridico). As, la racionalizacin permite encontrar una divisin equivalente a la dada, que tenga un nmero entero en el denominador.

Errores frecuentesEs comn que los estudiantes se queden con el primer pro-cedimiento de racionalizacin y posteriormente empleen siempre races cuadradas, sin importar el ndice de la raz presente en el denominador. Para evitar esto, es preciso que se enfrenten a ejercicios variados y alternando su tipo, de ma-nera que en cada caso deban analizar la situacin y aplicar la estrategia ms adecuada. En la resolucin de estos ejercicios es fundamental que supervise el trabajo de los estudiantes hasta que adquieran la soltura necesaria.


U1_GD_MAT_2M_ok.indd 27 09-01-14 15:28

Cuando deben racionalizar expresiones con binomios en el denominador los estudiantes suelen amplificar por la misma expresin que est en el denominador y no por la conjuga-da, o bien amplifican por la expresin que corresponde al numerador. Una constante ejercitacin y revisin de errores permitir paulatinamente ir corrigindolos.

Actividades complementariasPuede plantear a los estudiantes, a modo de desafo, casos de racionalizacin como los siguientes:

ab + c + d

ab + c + d

En cada caso, se puede discutir si es posible llegar a una fr-mula general, y juzgar si el enunciado de esta es lo suficien-temente sencillo como para que valga la pena aprenderla.

9 Races ensimas, problemas y ecuacionesPgs. 48 a 51

PropsitoResolver problemas que involucran races.

Palabras claveEcuaciones, radicales, problemas, resolucin, races, solu-ciones, verificar

Prerrequisitos Aplicacin de productos notables: en el clculo de ex-presiones algebraicas.

Aplicacin de propiedades de las potencias. Aplicacin de propiedades de la operatoria de races ensimas.

Planteo y resolucin de ecuaciones, y verificacin de sus soluciones.

Activacin de ideas previasLos estudiantes, hasta el momento, no se han enfrentado a ecuaciones en las que se deban verificar condiciones que validen la solucin encontrada, pero s han podido analizar la pertinencia de ellas en la resolucin de problemas. Se sugiere retomar esta idea para introducir el estudio de las ecuaciones radicales, especialmente por la necesidad que se presentar de comprobar las soluciones.

La resolucin de ecuaciones radicales se basa, esencialmen-te, en sacar la incgnita de las cantidades subradicales elevando a una potencia adecuada. Es pertinente, por lo mismo, recordar a los estudiantes que de manera general la resolucin de ecuaciones se basa en la aplicacin de opera-ciones inversas, y en este caso incluiremos a las ya utilizadas anteriormente, la elevacin a exponentes determinados.

Orientaciones didcticasLas ecuaciones radicales suelen presentar dificultades para los estudiantes por la operatoria que est involucrada en ellas y el anlisis de la existencia de una solucin. Por esto es fundamental que recalque la importancia de verificar las soluciones en la ecuacin planteada o segn el contexto del problema dado.

Recuerde a los estudiantes que para verificar la solucin de una ecuacin deben reemplazar el valor obtenido en la misma: en este tipo de ecuaciones no basta con que estn seguros de haber realizado bien cada paso de la resolucin. Es fundamental abordar en conjunto los casos 1 y 3 para que los estudiantes puedan constatar este hecho. En el caso 1 la solucin encontrada no es vlida por las restricciones de la raz y en el caso 3 por restricciones de una fraccin. Puede retomar este ejemplo en la unidad 3, cuando se analicen restricciones de fracciones algebraicas.

Para facilitar la resolucin de las ecuaciones, plantee a los estudiantes situaciones en las que sea conveniente reali-zar algn manejo algebraico de los trminos para que la operatoria sea ms sencilla, como se hace en el caso 2 de la leccin. Por ejemplo, en la ecuacin

x +1 x + 2 + x 5 x 7=

si se eleva al cuadrado directamente, en uno de los miem-bros de la ecuacin tendremos un trinomio al cuadrado; en cambio, si se utiliza la ecuacin equivalente

x +1 x + 2 x 7 x 5 =

al elevar al cuadrado se obtienen dos cuadrados de bino-mio, cuyo desarrollo ya es conocido.


U1_GD_MAT_2M_ok.indd 28 09-01-14 15:28

3 41 2

Los alumnos suelen olvidar verificar la solucin encontrada en una ecuacin radical o simplemente evitarla. En ocasiones, tambin, no realizan la verificacin en la ecuacin original sino en algn paso intermedio de la resolucin, lo que puede haber eliminado restricciones (como se observar en la pgina Para no cometer errores). Supervise, hasta que los estudiantes la hayan incorporado plenamente, la realizacin de todos los pasos de resolucin de las ecuaciones radicales.

Errores frecuentes

Actividades complementariasSi el volumen (V) de una esfera es 864 cm3 y = 3, cul es la medida del radio (r) de la esfera? Recuerda que el volumen (V) de una esfera de radio (r) se puede calcular

utilizando V43

r3= pi .

Respuesta:

Plantea, a partir de la frmula entregada, la ecuacin que permite calcular el radio (r) de la esfera conociendo el vo-lumen (V) de esta. Es decir:

864 cm =43

3 r3 3

Luego, despeja correctamente la incgnita r, con lo que calcula el radio pedido: r = 6 cm.


Pgina 52

Las estrategias de resolucin de problemas permiten tra-bajar con los estudiantes diversos tipos de pensamiento y fomentar en ellos su capacidad de anlisis, creatividad, rigurosidad y flexibilidad para adaptarse a nuevos mtodos y validar formas distintas de realizar las tareas.

Es muy importante que estimule a los estudiantes a parti-cipar activamente en la resolucin de problemas. Para esto, puede solicitarles que intenten resolver el problema plan-teado sin mirar la resolucin propuesta, para luego discutir en grupos, analizar la forma planteada en el libro y realizar aportes finales que puedan optimizarla o perfeccionarla.

Para el problema propuesto en esta seccin, se pide encon-trar una expresin equivalente a la dada pero ms simple, es decir, con una sola raz.

Para simplificar esta expresin se procede desde adentro hacia afuera, introduciendo trminos a una raz o simplifi-cando exponentes o ndices, segn corresponda, y luego se contina con las races y trminos ms exteriores hasta dejar todo expresado en una sola raz.

Para promover el trabajo matemtico proponga a sus alum-nos resolver el mismo problema pero de manera inversa, de afuera hacia adentro. Qu mtodo de resolucin les resulta ms fcil?

En el texto se propone verificar con una calculadora lo ob-tenido asignando diversos valores a x en la expresin resul-tante. Pida a los estudiantes que realicen esta actividad con una calculadora cientfica, pues muchas calculadoras bsicas no disponen de las funciones necesarias para trabajar con una expresin como la planteada en el problema.


Pgina 53

El anlisis de errores permite, de manera efectiva y concreta, detectarlos y corregirlos. Es importante que estimule a los estudiantes a analizar sus procedimientos constantemente y desarrollar la capacidad de anlisis y autocrtica respecto de los errores cometidos.

En la primera situacin se pide encontrar el valor de una expresin radical cuando a = 3. El error presentado es muy frecuente, pues los alumnos suelen aplicar propiedades o evaluar sin verificar si es posible hacerlo. En este caso al reemplazar se obtienen races cuadradas y cuartas de nme-ros negativos, lo cual no est definido en los nmeros reales.

Algo similar se presenta en la segunda situacin, donde se resuelve una ecuacin radical siguiendo los procesos matemticos correspondientes y se obtiene una respuesta numrica. Sin embargo, no se consider que en una parte del desarrollo de esta resolucin se presenta una raz cua-drada igualada a un nmero negativo, lo que por definicin indica, que no existe solucin, ya que esta se define como un valor positivo o nulo.


U1_GD_MAT_2M_ok.indd 29 09-01-14 15:28


Pgs. 54 y 55


Definir races y calcularlas aplicando su definicin.

1, 2 y 3 Es posible que los estudiantes presenten dificultades para determinar las restricciones de a, para que la raz dada sea un nmero real. Para evitar este inconveniente recuerde a los estudiantes que las cantidades subradicales deben ser mayores o iguales a cero, mediante ejemplos. Con esto en cada caso forman una sencilla inecuacin y encuentran los valores buscados.

Realizar operaciones con races. 4, 5, 6 y 7 Algunos estudiantes pueden presentar problemas para operar con races, ya que no manejan bien las propiedades involucradas. Para evitar este tipo de posibles inconvenientes, revise detalladamente los procesos que realizan para resolver los ejercicios, cmo aplican las propiedades, cmo reducen, etc. Si es preciso, pdales resolver ejercicios personalmente frente a usted. De este modo podrn corregir a tiempo y estarn preparados para aprender otras propiedades ms complejas.

Interpretar las races como potencias de exponente racional y deducir propiedades de ellas.

8, 9, 10 y 11 Se pueden presentar dificultades relacionadas exclusivamente con la aplicacin de propiedades de las races vistas en la seccin. Para ayudar a los estudiantes con estos inconvenientes puede realizar un repaso y cuadro resumen junto a todo el curso, empleando ejemplos sencillos que ilustren cada propiedad.

Racionalizar expresiones fraccionarias.

12 y 13 Como se mencion en la leccin correspondiente, algunos alumnos pueden presentar problemas al determinar el ndice y exponente apropiados de la raz y la cantidad subradical por la que se debe amplificar, o bien cuando deben racionalizar expresiones con binomios en el denominador amplifican por la misma expresin que est en l y no por la conjugada. A los estudiantes que cometan estos errores, solicteles repetir los ejercicios de la leccin, utilizando los ejemplos dados en ella como gua. Luego, pdales que identifiquen los errores cometidos y los expliquen con sus palabras.

Resolver problemas que involucran races.

14 y 15 Nuevamente, los errores cometidos por los estudiantes pueden deberse a falta de sistematicidad en los procedimientos aprendidos, tanto en la resolucin como en la verificacin de sus soluciones. Pdales repasar el contenido, detectar sus errores y corregirlos.

Conviene adems que supervise un correcto manejo de la calculadora en la ltima pregunta, ya que puede haber estudiantes que realicen bien los procedimientos pero fallen en este paso.


U1_GD_MAT_2M_ok.indd 30 09-01-14 15:28

3 41 2

Seccin 3Logaritmos

De esto se trata

El desarrollo de las ciencias, desde la Antigedad hasta nuestros das, ha requerido de herramientas que permitan simplificar tanto la manipulacin de los objetos de estudio (los nmeros y operaciones, en el caso de la matemtica) como la forma de presentar los resultados. En la medida en que se puede trabajar con expresiones ms manipulables, nmeros ms pequeos y relaciones ms intuitivas, es posi-ble que este desarrollo se produzca de manera ms efectiva.

Uno de los ejemplos ms notables de esto en la historia es la creacin de los logaritmos, que permitieron abordar la multiplicacin de nmeros muy grandes como una suma de nmeros pequeos, adems de utilizar escalas logart-micas para representar cantidades difcilmente manejables. Es interesante transmitir a los estudiantes las necesidades de los cientficos en el contexto de cada poca, para que puedan valorar los aportes realizados con las herramientas que tenan a disposicin.

Qu debes saber?

Relacionar races y potencias

Previo al inicio de esta unidad es primordial que los estudiantes manejen con soltura las races y potencias, es-tableciendo las relaciones entre el valor de la potencia (o de la raz), la base (o cantidad subradical) y el exponente (o ndice). Por motivos de organizacin, los ejercicios se pre-sentan por separado pero conviene tambin que, a partir de una misma expresin, puedan representar la relacin de distintas maneras. Por ejemplo:

27 = 128

128 es la sptima potencia de 2. 2 es la raz sptima de 128. 7 es el exponente al que se debe elevar 2 para ob-

tener 128.

128 elevado a un sptimo es igual a 2.

Calcular races y potencias aplicando propiedades

Para complementar este indicador, presente a los es-tudiantes diversos ejercicios resueltos donde se aplican las propiedades de las potencias y races, y pida que re-visen si estn correctamente aplicadas y corrijan cuando sea necesario.

10 LogaritmosPgs. 58 a 61

PropsitoIdentificar logaritmos y relacionarlos con races y potencias.

Palabras clavePotencia, raz, base, exponente, logaritmo, argumento, propiedades

Prerrequisitos Relacin entre potencias y races. Clculo de potencias y aplicacin de propiedades. Clculo de races y aplicacin de propiedades.

Activacin de ideas previasPregunte a los estudiantes si conocen las siguientes palabras y su significado:

algoritmo. guarismo. logos.

Consulte adems si han visto la tecla log en la calculadora. Puede pedirles que realicen algunos clculos al azar, lo que les permitir ver que en ocasiones se advierte un error.

Orientaciones didcticasComo una forma de motivar a los estudiantes, comience el estudio de esta leccin conversando con ellos sobre la im-portancia que han tenido histricamente los logaritmos en distintas reas. Puede consultar para esto en http://catedu.es/matematicas_mundo/HISTORIA/historia_logaritmos.htm

Puede adems mencionar el uso de las tablas de logarit-mos para contextualizar y realzar la importancia histrica de ellos, y que pueden haber odo mencionar de sus padres o abuelos.


U1_GD_MAT_2M_ok.indd 31 09-01-14 15:28

Esta leccin es la base para las siguientes, pues aqu se pre-senta el concepto de logaritmo. Por esto es importante que comprendan y expresen correctamente un logaritmo como una ecuacin exponencial, y viceversa. Para ello, presente a los estudiantes diversas situaciones en las que deban calcu-lar la base, el argumento y el valor de un logaritmo, hasta que adquieran soltura en la aplicacin de su definicin.

En un comienzo, asociar un logaritmo con una ecuacin exponencial permitir a los estudiantes calcular ms direc-tamente los valores pedidos. Por esto es importante que, para comenzar, les exija que realicen el procedimiento co-rrespondiente para integrar adecuadamente el concepto. En las siguientes lecciones, cuando adquieran ms prctica, este proceso puede ser omitido.

Es fundamental que cuando los estudiantes trabajen con expresiones ms complejas sean ordenados y rigurosos en sus desarrollos, para evitar as los errores. Supervise cuida-dosamente este aspecto.

Es imprescindible enfatizar que los logaritmos estn defini-dos solo para valores positivos del argumento y de la base. Mientras antes comprendan los estudiantes la necesidad de establecer restricciones y definir correctamente, menor posibilidad tendrn de cometer errores a futuro relaciona-dos con esto.

En operaciones combinadas con logaritmos, es posible que los estudiantes no sepan cmo abordar las expresiones plan-teadas. Pdales que calculen los logaritmos por separado y que luego los reemplacen en los ejercicios dados. De esta forma podrn ver con mayor facilidad las operaciones que deben realizar, segn las prioridades de las operaciones que ellos ya conocen.

Errores frecuentes

Actividades complementariasPida a los estudiantes que investiguen sobre el logaritmo natural (logaritmo en base e) y sus aplicaciones.

Entregue a los estudiantes un listado de ejercicios resueltos y solicite que identifiquen las propiedades utilizadas. Pre-gunte si es posible resolverlos utilizando otras propiedades, nstelos a que los resuelvan aplicando otra estrategia (pro-piedad) si es posible.

11 Propiedades de los logaritmosPgs. 62 a 65

PropsitoDeducir y aplicar propiedades de logaritmos.

Palabras claveLogaritmo, propiedades, potencias, ecuaciones exponenciales

Prerrequisitos Propiedades de las potencias. Relacin entre potencias y logaritmos. Resolucin de ecuaciones exponenciales. Clculo de logaritmos.

Activacin de ideas previasPara activar las ideas previas de los estudiantes, puede reto-mar la idea vista en la seccin anterior: luego de definir las races ensimas e interpretarlas como potencias, se deducen las propiedades. Se puede recordar la relacin entre poten-cias y races y mostrar nuevamente algunas propiedades de races, a partir de las de las potencias. Algo similar se har en esta leccin con los logaritmos.

Orientaciones didcticasPara que los estudiantes comprendan mejor las propiedades de los logaritmos, es conveniente que muestre cada una de estas propiedades con ejemplos numricos sencillos y lue-go formalice cada una de ellas matemticamente. Esto les permitir trabajar desde lo particular a lo general, y ayudar a desarrollar su intuicin. Por ejemplo, para el logaritmo de una potencia puede mostrar que

= =

=

=

=

log 2 x 10 2

10 2

log 2 3x

log 2 3log 2

x

3x 3

3

3

Es importante recalcar que, aplicando un par de propiedades y conociendo el valor de los logaritmos de los nmeros pri-mos, es posible obtener los logaritmos de todos los nmeros racionales pues se realizan descomposiciones en factores primos. Esta es la gran maravilla de los logaritmos que se


U1_GD_MAT_2M_ok.indd 32 09-01-14 15:28

3 41 2

menciona en el texto, ya que es lo que permiti elaborar las tablas y con ellas simplificar los clculos. En el mismo sentido, se puede plantear la propiedad de cambio de base.

Hoy parecen intiles estos clculos y los procedimientos asociados, pero permiten estimular habilidades de pensa-miento en los estudiantes.

Puede encontrar ejemplos de aplicaciones, histricas y actuales, en http://sapimates.blogspot.com/2008/04/logaritmos.html

Es posible que los alumnos tengan dificultades para operar con el logaritmo de una raz. Sugirales expresar la raz en potencia y de este modo aplicar la propiedad del logaritmo de una potencia.

Tal como se plante en la seccin de races, puede ocurrir que los estudiantes asuman y apliquen propiedades inexistentes, por ejemplo, logaritmos de adiciones y sustracciones. Para evi-tarlo, pida permanentemente a los estudiantes que enuncien las propiedades, y que al resolver ejercicios declaren siempre la propiedad que estn utilizando.

Pueden adems presentar problemas para descomponer lo-garitmos, especialmente con expresiones ms complejas que contienen multiplicaciones y divisiones, por lo cual suelen tener errores de signos. Como ha sido la tnica en toda la unidad, exija a los estudiantes orden y sistematicidad en sus desarrollos, sin permitir que salten pasos o los abrevien hasta que est completamente seguro que dominan el contenido.

Cuando se pide escribir como un solo logaritmo una expre-sin que incluye adiciones y sustracciones, los estudiantes podran tener dificultades para determinar cules trminos se estn multiplicando y cuales se estn dividiendo. Para evitar este inconveniente se recomienda agrupar todos los trminos positivos y por otro lado todos los trminos negativos.

Errores frecuentes

Actividades complementariasPlantee la siguiente pregunta:

Existen valores de a y b que hagan cumplir las siguientes igualdades?

log (a b) = log a log b log (a + b) = log a + log b log (a : b) = log a : log b log (a b) = log a log b

Es importante observar que se pregunta por posibles valo-res, por lo que es vlido que los estudiantes prueben con

ellos. En caso de no encontrarlos, puede analizar con ellos por qu no hay, o si no hay ms que algunos casos triviales (por ejemplo, en el primer caso, a = b = 1. Verifique adems si los valores determinados cumplen las restricciones de los logaritmos.

12 aplicaciones de logaritmosPgs. 66 a 69

PropsitoResolver problemas aplicando logaritmos.

Palabras claveLogaritmo, propiedades, potencias, ecuaciones logartmicas, aplicaciones, problemas

Prerrequisitos Clculo de logaritmos. Aplicacin de propiedades de logaritmos.

Activacin de ideas previasPuede retomar lo visto al inicio de la seccin y de la uni-dad para motivar a los estudiantes, ya que se analizarn aplicaciones de los logaritmos. Tal como se presenta en el inicio de la unidad, puede ser muy cercano para los estu-diantes el tema de la msica y el sonido, por lo que esto sera una buena introduccin. Pregunte a los estudiantes, por ejemplo:

qu es el sonido?, cmo se mide? cmo se clasifican los sonidos?

Orientaciones didcticasDe la misma manera que al resolver ecuaciones radica-les, conviene insistir a los estudiantes en la aplicacin de procedimientos inversos y la definicin, en este caso, de logaritmo. Asimismo, es importante que las soluciones en-contradas siempre sean verificadas en la ecuacin original. No basta con que se cumpla la igualdad, se debe revisar el contexto del problema y si consideran las restricciones del logaritmo.


U1_GD_MAT_2M_ok.indd 33 09-01-14 15:28

Se recomienda especialmente que, a partir de la situacin expuesta en la leccin, aborde con los estudiantes el uso de dispositivos de sonido, y el cuidado que debe tenerse con ellos. Si existe la posibilidad, se puede realizar una actividad en conjunto con la clase de fsica para medir la intensidad en audfonos, parlantes o incluso el ruido ambiental, para tomar conciencia de los riesgos que corren da a da y reflexionar respecto de los cuidados necesarios.

Es fundamental recalcar que para aplicar las propiedades se debe asegurar que los logaritmos estn bien definidos, y no se estn obviando sus restricciones. En los ejercicios planteados en la leccin anterior esto no se establece, ya que solo se trabaja con trminos numricos, pero en la re-solucin de ecuaciones se debe cuidar que no se supriman eventuales restricciones al aplicar las propiedades.

Igual que como sucede con las ecuaciones radicales, puede ocurrir que los estudiantes no verifiquen la solucin obtenida o no lo hagan en la ecuacin original, sino en otra donde ya han aplicado propiedades y eliminado restricciones. Para evitar este tipo de inconvenientes, supervise el trabajo de los estudiantes y solicteles que, de ser necesario, declaren por escrito cada uno de los pasos que realizan, hasta que lo hagan correctamente.

Tambin podra ocurrir que los alumnos se equivoquen en los procedimientos y soluciones debido a que no son ordenados y adems omiten pasos. Para evitar estos problemas, revise cuidadosamente la forma de resolver los ejercicios e impida que resuman los procedimientos, pues el nivel de complejidad de estas ecuaciones requiere de procesos claramente escritos.

Errores frecuentes

Actividades complementarias

Puede proponer situaciones que se resuelvan por medio del clculo de logaritmos, como por ejemplo:

La frmula de la magnitud para la escala de Richter es:

M23

logEE0

=

, donde e es la energa liberada por el

terremoto (en joule) y E0 = 104 joule es la energa liberada por un terremoto pequeo de referencia, empleado como un estndar de medicin. El terremoto de 1906 en San Fran-cisco liber aproximadamente 5 1016 joule de energa, cul fue su magnitud en la escala de Richter?

R: 23

(0,7 12) 8,5+ = . La magnitud en escala Richter es 8,5.


Pgina 70

En esta parte de la seccin, los alumnos tienen la oportunidad de aplicar los contenidos aprendidos. Para eso se presenta un problema resuelto donde se requiere calcular y aplicar las propiedades de los logaritmos. Esta situacin permite mostrar a los estudiantes un contenido matemtico diferente: el de las progresiones geomtricas.

Puede profundizar respecto de este contenido planteando tambin la existencia de progresiones aritmticas. Gracias a los logaritmos, una progresin geomtrica se puede trabajar como una aritmtica, lo que fue tambin en su momento uno de los grandes aportes de los logaritmos a la ciencia.


Pgina 71

El anlisis de errores permite, de manera efectiva y concre-ta, detectarlos y corregirlos. Es importante que el docente estimule a los estudiantes a analizar sus procedimientos constantemente y a desarrollar la capacidad de anlisis y autocrtica respecto de los errores cometidos.

En la primera situacin, se aplican incorrectamente las pro-piedades de los logaritmos, asumiendo que el logaritmo de una diferencia es equivalente a la diferencia de los lo-garitmos. Para desarrollar este tipo de expresiones se debe expresar la diferencia de cuadrados como una suma por diferencia y ah aplicar la propiedad del logaritmo de un producto. Recalque a los estudiantes que no existe propie-dad para la adicin y sustraccin de logaritmos.

En la segunda parte se observa una ecuacin logartmica correctamente resuelta en relacin a los procedimientos realizados, pero el error est en verificar la solucin encon-trada en otra ecuacin y no en la original, pues esto nos lleva a conclusiones errneas. Este error es muy frecuente, debido a que los alumnos suelen verificar el resultado en la ecuacin que les parece ms fcil.

Se debe recordar que si las expresiones no estn definidas no se les puede aplicar propiedades de los logaritmos. En-fatice que la solucin de una ecuacin logartmica se debe verificar en la ecuacin original.


U1_GD_MAT_2M_ok.indd 34 09-01-14 15:28

3 41 2


Pgs. 72 y 73


Identificar logaritmos y relacionarlos con races y potencias.

1, 2 y 3 Las dificultades que se pueden presentar tienen directa relacin con una comprensin inadecuada del concepto de logaritmo, o falta de sistematicidad en el desarrollo de los ejercicios.

Para corregir estos errores, conviene que los resuelvan nuevamente utilizando una pauta con los pasos necesarios. Para la pregunta 1, por ejemplo, pueden establecer que primero se identifica la base, el argumento y el valor del logaritmo. Luego se expresa en palabras qu es un logaritmo y finalmente se escribe la expresin pedida. Puede realizar algo similar para las preguntas 2 y 3.

Deducir y aplicar propiedades de logaritmos.

4, 5 y 6 Los estudiantes pueden presentar dificultades al reducir o desarrollar las expresiones logartmicas. Para evitar esto, repase con ellos las propiedades de los logaritmos, y en la resolucin de los ejercicios pdales que identifiquen la situacin (hay dos logaritmos que se estn sumando) para luego identificar la propiedad que se debe utilizar.

Para manejar expresiones ms complejas, como las que se proponen en la pregunta 6, los estudiantes pueden presentar dificultades fruto de las notaciones y la longitud de las expresiones. Si necesitan corregir los ejercicios, sugirales utilizar parntesis en cada caso; aunque no parezcan necesarios para la operatoria, s lo pueden ser para facilitar el orden.

Resolver problemas aplicando logaritmos.

7, 8 y 9 En la pregunta 7, al

DO 2DOM

Documents

Transcript of DO 2DOM