PIMAS Capítulo V: Álgebra

Documento en Edición: Matemática Elemental, Vol I: UNIDAD I: Álgebra 73

Si realizamos la factorización en ℤ podemos utlizar división sintética para encontrar factores de un polinomio.

Si a∈ℤ y todos los coeficientes de ( )p x son enteros, entonces para que el teorema del factor de cumpla

es indispensable que a sea un divisor del término constante de ( )p x . Entonces, para buscar un factor mediante

este método debemos probar los divisores enteros del término constante.

EJEMPLO 38. Factorice 3 23 3 1x x x− + −− + −− + −− + −

PASO 1) En este caso, los divisores del coeficiente constante son 1± . Realizamos la división sintética con ellos:

1 3 3 1

11

1 4 7

4

8

7− −

− + −−

− −

( )1x⇒ + no es un factor

1 3 3 1

1 2 1

1

0

2 11

−

− + −

−

( )1x⇒ − no es un factor

PASO 2) El otro factor está compuesto con los coeficientes que quedan de la división: ( ) � �2

1

1 2 1x

x x x

− − +

.

PASO 3) Factorizamos el trinomio que queda como un trinomio cuadrado perfecto: ( )( )21 1x x− −

PASO 4) La factorización queda: ( )31x −

EJEMPLO 39. Factorice 3 2

4 41 46 9x x x− + −− + −− + −− + −

PASO 1) Los divisores del coeficiente constante son 1, 3, 9± ± ± . Realizamos las divisiones hasta tener un factor.

4 45 9

4 41 46 91

4 45 91 100

1

− + −−

− −

− − ( )1x⇒ + no es un factor 4 37

4 41 46 91

4 37 0

9

9

− −

− + −

−

( )1x⇒ − es un factor

PASO 2) Factorizamos le trinomio que queda ( )�36

21 4 37 9x x x

− − +

.

PASO 3) Factorizamos el trinomio que queda por amplificación: ( )( ) ( )4 4

14

x xx

− −−

PASO 4) La factorización queda: ( ) ( ) ( )4 36 4 11

4

x xx

− −−

PASO 5) Sacando el factor común: ( )4

1x −( )( )9 4 1

4

x x− −( )( ) ( )1 9 4 1x x x= − − −

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Ejercicio I. I PARTE: Resuelva los siguientes problemas.

1. ¿Es 3x + un factor de 6 5 4 23 9 2 6x x x x x+ − + + + ?

2. Determine el valor k para que 1x − sea un factor de 3 22 9kx x kx− + − .

3. ¿Será 7x − un factor de ( )122 8 1x − − ? Justifique.

4. Si 3x + es un factor de 3 2 29 27 12x x k x+ − − encuentre los posibles valores de k .

5. Las raíces del polinomio ( )p x de grado 3 son 4, 2− y 5 . Si ( )3 42p = − , encuentre ( )4p .

6. Encuentre el polinomio mónico ( )p x de grado 4 tal que ( ) ( ) ( )1 1, 2 2, 3 3p p p= = = y ( )4 4p = .

SUGERENCIA: Aplique el teorema del factor a ( ) ( )q x p x x= − .

II PARTE: Determine cuáles de los siguientes factores está en el factorización del polinomio dado. Para justificar

puede hacer uso de métodos de factorización, divisiones largas, sintéticas o el teorema del factor.

1. 2x + en ( )153 7 1x + +

2. 2 3 1x x− + en

3 22 3 7 3x x x− − −

3. 2 3x + en 3 24 8 3 8x x x+ − −

4. 3 5

2x

+− en ( ) ( )4 2 21 2 1x x x x− − − +

5. 3x − en 20 19 4 3 23 63x x x x x− + − + −

6. 3x − en ( )182 2 1x − −

7. x a+ en ( )32 2 62 3 64x ax a a+ − +

8. 2 3 1x x− + en

3 22 3 7 3x x x− − −

III PARTE: Factorice completamente los siguientes polinomios:

1. 4 3 211 5 47 30x x x x− + + +

2. 4 3 28 12 26 27 18x x x x− − + +

3. 4 3 212 54 108 81x x x x− + − +

4. 3 212 42 21 12x x x− − −

5. 4 3 4x x x− −

6. 3 25 11 15x x x− + −

7. 4 3 27 15 7 6 0x x x x+ + + − =

8. 3 23 3 1x x x+ + +

9. 4 3 26 7 34 3 18x x x x+ − + +

10. ( )26 2x x− +

11. 5 32 16 18x x x− −

12. 3 716 15x x x− −

13. 4 716 15x x x− −

14. 3 26 10 3x x x− − + −

15. 3 26 11 6x x x− − +

16. 3 212 4 48x x x+ − −

17. 3 22 13 20 175x x x− − +

18. 4 3 24 16 5 19 6x x x x− + + +