DIVISIBILIDAD Y NÚMEROS PRIMOS II

LUZ MARÍA SÁNCHEZ GARCÍA

1. NÚMEROS PRIMOS

NÚMERO PRIMO es el número natural

que sólo es divisible por 1 y por él mismo.

Hoy trataremos de dar respuesta a las cuestiones:

• ¿Cómo se obtienen los números primos?

• ¿Cuántos hay?

• ¿Cómo están distribuidos?

Actividad 1.

Lectura del capítulo 19 del libro “El curioso incidente del perro a medianoche”

Mark Haddon (Salamandra 2009)

2. CRIBA DE ERATÓSTENES

Eratóstenes: Astrónomo, matemático, poeta, geógrafo y filósofo nacido en Grecia en el

año 230 A.C. Supo recoger los conocimientos que se encontraban en la biblioteca de Alejandría

donde estuvo de bibliotecario.

La criba de Eratóstenes es un antiguo y efectivo método para hallar números primos.

Consiste en una tabla de números naturales dispuestos en columnas. Primero se tachan todos los

múltiplos de 2. Luego se tachan todos los múltiplos del siguiente número no tachado

anteriormente y así sucesivamente.

Los números que quedan sin tachar son los números primos.

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Actividad 2

Repite el proceso realizado por Christopher Boone de 15 años. Escribe una tabla con los

120 primeros números escritos en 10 columnas

Buscamos los números primos:

¿A partir de qué número no hace falta seguir tachando todos sus múltiplos?. ¿Por qué?

Observa los números primos mayores que 5. ¿Cuáles son los dígitos de las unidades?

Un número primo mayor que 120 podría terminar en un dígito distinto al que has

encontrado, ¿por qué?

El número 13 es primo. Si le damos la vuelta, 31 también es primo. Podemos llamar a

13 número omirp, porque 31 es primo distinto. Haz la lista de los somirp menores que

120.

3. PRIMOS GEMELOS

Actividad 3. Primos

Repite la criba de Eratóstenes en la que se te entrega con 30 columnas. Observa lo que

ocurre.

Se llaman primos gemelos la pareja de números primos que se diferencian en dos unidades.

Los primos gemelos pueden formar 3 tipos de parejas cuyas terminaciones son: (7,9);

(9,1) y (1,3).

Los primos casi-gemelos son los primos que están en las columnas de primos gemelos

pero les falta el compañero. La serie de primos casi-gemelos comienza con: 47, 79, 89,

131, 163, 167...

Los primos solitarios se hallan en las columnas 7 y N de la tabla y se clasifican en 2

tipos cuyas terminaciones son 3 y 7. Los primos solitarios no pueden ser gemelos

porque su compañero es divisible por 5. La serie de primos solitarios comienza con: 23,

37, 53, 67, 83, 97,113, 127, 157...

Pero.....

Actividad 4

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¿Qué ocurre si sumamos parejas de números primos gemelos menores de 200?.

Enuncia y demuestra alguna propiedad sobre la suma de números gemelos.

¿Qué ocurre con el producto de cada una de estas parejas?. ¿Ves algo digno de

destacar?. Enuncia y demuestra alguna propiedad sobre el producto de primos gemelos.

Divide algunos números primos mayores que 4 entre 6. Escribe el resto de la división

que obtienes y justifica por qué esos son los únicos restos posibles al dividir un primo

mayor que 4 entre 6.

Si llamamos a 3, 5 y 7 primos trillizos, ¿hay más ternas de primos trillizos?

Actividad 5

Continuamos buscando números primos.

Se han hecho intentos de encontrar fórmulas que solo dieran números primos. Por

ejemplo, en n2 n + 41. Dando a n valores: 1, 2, 3, 4, … ¿se obtienen siempre números

primos?

¿Cuántos números primos hay?. ¿Existe algún número primo mayor que todos los

demás?. ¿Y conjuntos de primos gemelos?. ¿Habrá infinitas parejas?

Escribe cinco números compuestos consecutivos. Escribe seis compuestos consecutivos.

¿Es primo o compuesto el número 2·3·5·7·11·13 + 3? ¿Y el 2·3·4·5·6·7·8·…·107 + 93?

¿Puedes encontrar 5000 números compuestos consecutivos? ¿Cómo lo harías?

4. PRIMOS DE MERSENNE

Un número primo es un número primo

de Mersenne si al sumarle 1 el resultado es una

potencia de 2. Por ejemplo, 7 es un número

primo de Mersenne al cumplirse (7+1 = 8 = 2³)

Se denominan así en memoria del

filósofo del siglo XVII Marin Mersenne quien

realizó una serie de postulados sobre ellos que

sólo pudo refinarse tres siglos después.

En la actualidad se sigue en la búsqueda de números primos de Mersenne. Lo que

Frank Nelson Colee colocó delante de una pizarra y comenzó a calcular a mano 2 elevado a 67

y luego probó que no era primo.

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Actividad 6

Los ocho primeros números primos de Mersenne son: 3, …, …, …, 8191, 131071,

524287, 2147483647.

Encuentra el segundo, tercero y cuarto número primo de Mersenne.

5. NÚMERO PRIMO DE SOPHIE GERMAIN

Un número primo es un número de

Sophie Germain si al multiplicarlo por 2 y

sumarle 1 el resultado es también un número

primo.

El 2 es número primo de Sophie

Germain por ser un numero primo y cumplirse

2x2+1=5 siendo 5 también número primo.

Actividad 7

Se conjetura que hay infinitos primos de Sophie aunque todavía no se ha conseguido

demostrarlo. El mayor número primo que cumple esta propiedad hasta la fecha es

18543637900515·2666667

-1 que tiene 200701 dígitos y fue hallado por Philipp

Bliedungel en abril de 2012.

Ahora te toca a ti: Los números primos de Sophie Germain son:

6. NÚMERO PRIMO DE FERMAT

Un número primo de Fermat es un número primo que

cumple la ecuación n2

nF 2 1 siendo n un número natural.

Actividad 8

Sólo se conocen cinco primos de Fermat: ¿Puedes encontrarlos?

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7. NÚMEROS PRIMOS Y GEOMETRÍA

Actividad 9. Espiral de Ulam

En esta imagen se puede ver la tendencia de los números primos posicionarse sobre las

diagonales

¿Dónde se sitúan la mayoría de los números primos?

Actividad 10. El reloj

Piensa en un cilindro imaginario de longitud infinita. Enrosca la recta numérica sobre su

cara lateral haciendo que cada vuelta sea de 30 números. Señala únicamente los

números impares. La sección queda como:

Dibuja un triángulo y un pentágono inscrito teniendo en cuenta que uno de los vértices

coinciden en el punto 15. ¿Qué observas?

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¿Para qué números se cumple esta inclusión?

Actividad 11. El pentágono

Piensa en un prisma imaginario de longitud infinita cuya base es un pentágono. Enrosca

la recta numérica sobre su cara lateral haciendo que cada vuelta sea de 30 números y el

3 se sitúe sobre una arista lateral. La base queda como:

Eliminando los números compuestos

¿Qué observas?

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¿Para qué números NO se cumple esta conclusión?

8. ¿CUÁNTOS NÚMEROS PRIMOS HAY?

Euclides, nacido en Grecia hacia el año 300 a. C, fue un famoso matemático que demostró

que hay infinitos números primos. Esto significa que la lista de números primos no termina

nunca. Lo hizo demostrando que si se hace una lista de números primos de 2 a P,

2, 3, 5, 7, 11, 13, …, p

siempre se encuentra un número primo que no está en la lista.

Su forma de proceder fue la siguiente:

Al producto de todos los números de la lista le sumó 1, y el número obtenido N

N=2·3·5·7·…·p + 1.

Este número N puede ser o no primo.

• Si N es primo, puesto que no es igual a ninguno de los números de la lista, entonces se

ha definido un número primo.

• Si N no es primo, sabemos que se puede escribir como producto de dos

números, uno de ellos primo. Se puede escribir como N=qN’ siendo q un

número divisor de N.

• ¿Puede ser q alguno de los números de la lista anterior de números primos

desde 2 hasta P?

Veamos que no, que es un nuevo número primo.

¿Por qué?

• Porque si dividimos N entre q, el resto es cero.

• Pero si dividimos N por cualquiera de los números primos entre 2 y P, se

obtiene 1 como resto.

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De esta forma Euclides encontró un nuevo número primo que no estaba en la lista. Eso

significa que es imposible elaborar una lista finita con todos los números primos, lo que

concluye la demostración.

9. POR ÚLTIMO, NÚMEROS PRIMOS Y FÚTBOL

(artículo extraído de gaussianos.com)

Existe una especie de teoría que dice que en los equipos de cualquier deporte, en

particular de fútbol, los dorsales que corresponden a números primos son los que se asignan a

los jugadores más importantes. Hasta donde yo sé, este artículo de Marcus du Sautoy es el

máximo exponente de esta creencia (aunque en el artículo también se habla del género de cada

tipo de número). Uno de los casos más llamativos de los últimos años fue el Real Madrid que

montó Florentino Pérez en su primera etapa en la presidencia del club de Concha Espina.

En él los pesos pesados portaban números primos en su dorsal. A saber:

3 Roberto Carlos 5 Zidane

7 Raúl 11 Ronaldo

23 Beckham 1 Casillas

(éste lo añado yo, ya que aunque el 1 no es un número primo sí que puede considerarse como la

base los números naturales)

En cierto modo tiene sentido. Los números primos son los ladrillos a partir de los cuales

se construyen todos los números naturales, por lo que sería razonable asignar dorsales primos a

los jugadores en torno a los que se construye el equipo. Y la verdad es que, en general, no les

salió mal.

La Roja y los números primos

¿Qué se puede decir de La Roja en lo que se refiere a este tema? Pues que gran parte de

los jugadores cuyo dorsal es un número primo tuvieron importante presencia en el mundial de

hace dos años. Salvo el 2 de Albiol (por lesión), el 13 de Mata y el 17 de Arberloa, la presencia

de los números primos en los momentos importantes de España en el mundial del 2010 fue

clave. Vamos a verlo:

1: Casillas (ya he dicho antes por qué lo añado). Aunque fue criticado en alguno de los

amistosos anteriores al mundial, ¿qué sería de esta selección sin este crack bajo los palos? Por

ejemplo, ¿qué hubiera pasado si no para ese penalty a Cardozo? Y esa es una de otras muchas.

No hay partido en el que Casillas no nos salve una o varias veces dela catástrofe. También en el

último europeo. Un seguro Iker. Por cierto, Casillas comentó que Reina le dijo cómo tiraría

Cardozo el penalty. Un comentario crucial por lo tanto. ¿A qué no sabéis qué dorsal lleva

Reina? El 23, también primo.

3: Piqué. Tremendo mundial el del central culé. Con una sobriedad y una seguridad

fuera de lo común Gerard Piqué se está convirtiendo en uno de los mejores centrales del mundo

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y lo está demostrando en este mundial, dejándose la piel (y la cara, literalmente) en cada acción.

Cuando el balón se acerca al área todos estamos tranquilos porque siempre aparece Piqué.

5: Puyol. Qué decir de Carles. La pareja que forma con Piqué es una de las mejores

parejas de centrales de La Roja de (al menos) los últimos tiempos. Pero posiblemente lo que

más se recordará de Puyol en este mundial es su gol a Alemania en la semifinal. Ese cabezazo

pasará a formar parte de los grandes momentos de la selección, a la altura del gol de Zarra a

Inglaterra en el mundial de 1950, del gol de Marcelino a la URSS en la Eurocopa de 1964 o del

gol de Maceda también a Alemania en la Eurocopa de 1984. Decisivo Carles

7: Villa. Decir Villa es decir gol, y con la selección mucho más. España lleva 7 goles en

este mundial, de los cuales el Guaje ha marcado 5, sobran más comentarios. Los partidos contra

Portugal y Paraguay los desatascó él con sus dos dianas. Imprescindible David. Un detalle: el

partido de octavos contra Portugal se decidió por el gol de Villa, pero hubo un jugador que fue

clave en el resurgir de España en la segunda parte. Ese jugador fue Llorente, que, curiosamente,

portaba el dorsal 19, también primo.

Y algo más

El centro del campo está siendo la clave en este mundial. Bueno, en realidad es la clave

del fútbol actual en general. Quien domina el centro del campo domina el partido. Pero no

tenemos ningún número primo en esa zona. Uhmmm…mal rollo… Nada de eso. Tenemos algo

mejor: a Andrés Iniesta con el 6, que no es un número primo, primo, pero sí es un número

perfecto (el primero). Esa es mi teoría:

“Los números primos junto con el primer número perfecto nos van a dar el mundial. Porque

nuestros números primos pesan mucho más que los primos holandeses (los números primos, no

seáis malos) y porque nuestro perfecto es infinitamente mejor que el suyo (Van Bommel). Y

porque somos mejores que ellos, porque jugamos mejor, tanto en defensa como en ataque y

porque tenemos un bloque que es la envidia del resto deselecciones nacionales del mundo. Hoy

va a ser un día grande, de esos que se cuentan pasados los años”

Y se cumplió.

¿Todavía piensas que los números no valen para nada más que las clases de Matemáticas?

¿Influirán los números primos en los dos campeonatos ganados, el Mundial de 2010 y la

Eurocopa de 2012?