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Unidad 3

Teoría de números

Contenido1. Divisibilidad,

• Números primos

• Teorema fundamental de la aritmética.

2. Algoritmo de la división• Máximo común divisor y mínimo común múltiplo,

• Algoritmo de Euclides.

3. Congruencias.

4. Aplicaciones: criptografía (Diffie-Hellman, RSA), generación de números pseudo-aleatorios.

Introducción

• La teoría de números es una rama de las matemáticas que se ocupa de los números enteros.

• Nace con los problemas de la divisibilidad de números naturales, siendo los griegos los primeros que llegan a obtener proposiciones generales de la misma, especialmente en los libros VII y IX de Euclides.

• Gauss se le considera como el creador de esta.

Divisibilidad

• Definición:

• Si a ≠ 0, b son enteros, se dice que a divide a b si existe un entero c tal que ac=b (o a|b , o diremos que b es múltiplo de a).

• a es divisor de b, a divide a b, a es factor de b.

• Si a no divide a b, se escribe: a | b

• Ejemplo:

• 20 = 4 .

5 , es decir, 4 | 20. También, -4|20 así 20=(-

4)(-5).

bcaquetalZcba |

• La relación de divisibilidad es reflexiva y transitiva, pero no es simétrica ni antisimétrica.

Teorema

Zkkbaba ,||.1

baabba ||.2

cacbba |||.3

Znmcbanbamcbcac ,,,,),(|||.4

.||},0{.5 kbkabaZk

||||10|.6 babba

Demostración

1. Existe u Z tal que au=b. Entonces, a(uk)=bk y así a|bk.

2. Observe que por definición, ni a≠0 ni b≠0 si a|b y b|a. Existen enteros, u, u’ con au=b y bu’=a. Así auu’=bu’=a, y asi uu’=1. De esto, u, u’ son enteros, entonces u= 1, u’= 1. Por lo tanto, a= b.

3. Existen enteros u, v con au=b, bv=c. Por lo tanto auv=c, y así a|c.

4. Existen enteros s, t con sc=a, tc=b. Entonces am+nb=c(sm+tn), dando c|(am+bn).

5. Existe un entero u con au=b. Entonces (ak)u=kb, y así a|b entonces ka|kb. Ya que k≠ 0 anulamos las k’s y por lo tanto (ak)u=kb entonces au=b entonces a|b, probando lo contrario.

6. Ya que b≠0 existe un entero u≠0 con au=b. Así |u|≥ 1 y entonces |a|.1 ≤|a|.|u|=|au|=|b|.|a|≥1

Números primos

• Definición

• Un número entero p Z se dice que es primo si y sólo si p ≠0, 1 y sus únicos divisores son el 1 y p.

• Un número entero es compuesto si no es primo.

• Si p es primo entonces –p es primo.

• Para determinar si un entero positivo n es compuesto, es suficiente con probar si alguno de los enteros

• 2,3,…, n-1

• Dividen a n. Si algún entero en esta lista divide a n, entonces n es compuesto; de lo contrario es primo.

• Ejemplo: Por inspección, se encuentra que ningún elemento de la lista2,3,4,5,…, 41, 42

• Divide a 43; entonces 43 es primo. Para 451, se encuentra que 11 divide a 451 (451=11*41), así 451 es compuesto.

• Para determinar si un entero n >1 es primo, se verifican los divisores potenciales:

2,3,…, n-1

• En realidad es suficiente con verificar:

2,3,…, (n-1)1/2

Teorema fundamental de la aritmética

• Supongamos que existe un algoritmo que obtiene los factores primos de un numero compuesto:

• Ejemplo: 1274

1274= 2*637

637=7*91

91=7*13

• Entonces 1274 = 2*7*7*13= 2*72*13

• De hecho, los factores primos son únicos. Este resultado se conoce como teorema fundamental de la aritmética o teorema de factorización única.

Teorema fundamental de la aritmética

• Todo número entero distinto de +1,-1 y 0 admite una descomposición única como producto de números primos positivos, es decir:

Ejercicio

• Encuentre la descomposición prima de:• 9, 47, 209, 637

• 30, 105, 82320

• 950796, 2311, 1007

• ¿Cuales son primos?

Máximo común divisor

• El máximo común divisor de dos enteros m y n (≠ 0) es el entero positivo más grande que divide a los dos: m y n.

• Ejemplo:

• Máximo común divisor de: 4 y 6 es 2.

• Máximo común divisor de: 3 y 8 es 1.

Máximo común divisor

Definición

• Sean m y n enteros distintos de cero. Un divisor común de m y n es un entero que divide tanto a m como a n. El máximo común divisor, escrito mcd(m,n)

• Es el divisor común de m y n más grande.

• Ejemplo: • Divisores de 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

• Divisores de 105: 1, 3, 5, 7,15, 21, 35, 105

• Divisores comunes de 30 y 105: 1, 3, 5, 15

• Entonces mcd(30, 105)=15

• Ejemplo:

• Utilizando sus factorizaciones primas:

• 30= 2*3*5

• 105=3*5*7

• De esto observamos que 3 es un divisor común y 5 también es un divisor común y además 3*5=15 es un divisor común. Entonces 15 es el máximo común divisor de 30 y 105.

Teorema 8

• Sean m y n enteros, m >1, n>1, con factorizaciones primas:

• y

• Si el primo pi no es un factor de m o de n, ai=0 o bi=0 respectivamente. Entonces

•

na

n

aapppm ...21

21

nb

n

bbpppn ...21

21

),(),(

2

),(

1 ...),( 2211 nn bamín

n

bamínbamínpppnmmcd

• Ejemplo:

• 82320=24*31*51*73*110

• 950796=22*32*50*74*111

Entonces

• mcd(82320,950796)=2min(4,2)*3min(1,2)*5min(

1,0)*7min(3,4)*11min(0,1)

• mcd(82320,950796)=22*31*50*73*110

=4116

Ejercicio

• Encuentre:

• mcd(0,17)

• mcd(110,273)

• mcd(20, 40)

• Mcd(331,993)

Algoritmo de Euclides

• Si dividimos el entero no negativo a entre el entero positivo b, obtenemos un cociente q y un residuo r que satisface:

a=bq+r, 0 ≤ r< b, q ≥ 0

• Ejemplo:

• a=22, b=7, q=3, r=1; 22=7*3+1

• a=24, b=8, q=3, r=0; 24=8*3+0

Teorema 9• Si a es un entero no negativo, b es un entero positivo

y

a=bq+r, 0 ≤ r< b,

Entonces

mcd(a,b)=mcd(b,r)

• Dem: Sea c un divisor común de a y b. Entonces c|bq. Como c|a y c|bq, entonces c|a-bq(=r). Así, c es un divisor común de b y r.

• Recíprocamente: si c es un divisor común de b y r, entonces c | bq y c|bq+r(=a) y c es un divisor común de a y b. Esto implica que

mcd(a,b)=mcd(b,r)

• Ejemplo: Si dividimos 105 entre 30, obtenemos:

• 105=30*3+15

• Por el teorema 9:

• mcd(105,30)=mcd(30,15)

• Si dividimos 30 entre 15, obtenemos

• 30= 15*2+0

• El residuo es 0. Por el teorema anterior:

Mcd(30,15)=mcd(15,0)

• Por inspección, mcd(15,0)=15. Por tanto,

• mcd(105,30)=mcd(30,15)=mcd(15,0)=15

• Este cálculo lo ilustra el algoritmo de Euclides

Ejercicios

• Determine enteros q y r tales que a=bq+r, con 0≤r<b

• a=45, b=6

• a=106, b=12

• a=66, b=11

• a=106, b=12

Algoritmo de Euclides• Algoritmo que determina el mcd de los enteros no negativos a y

b, no nulos.

• Entrada: a ≠0 y b ≠0

• Salida: mcd(a,b)

Ejercicio

• Utilice el algoritmo de Euclides para determinar el mcd de cada par de números

• 60, 90

• 220, 1400

• 2091, 4807

• 110, 273

Mínimo común múltiplo

• Definición

• Sean m y n enteros positivos. Un multiplo común de m y n es un entero que es divisible tanto entre m como entre n,

mcm(m,n)

• es el múltiplo común positivo más pequeño de m y n.

• Ejemplo:

• Mcm(30,105)=210

• Porque 210 es divisible entre los dos (30 y 105) y ningún entero positivo menor que 210 es divisible por ambos, 30 y 105.

Mínimo común múltiplo

Utilizando factorizaciones primas

• Ejemplo:

• 30=2*3*5

• 105=3*5*7

• La factorización prima de mcm(30,105) debe contener a 2, 3 y 5 como factores (para que 30 divida a mcm(30,105)). También debe contener a 3, 5 y 7 (para que 105 divida a mcm(30,105)).

• El número más pequeño con esta propiedad es:

2*3*5*7=210

• Por lo que, mcm(30,105)=210

Mínimo común múltiplo

Teorema 10

• Sean m y n enteros, m >1, n>1, con factorizaciones primas

• Y

• (Si el primo pi no es un factor de m, se deja ai=0. Igual para n). Entonces

na

n

aapppm ...21

21

nb

n

bbpppn ...21

21

),(),(

2

),(

1 ...),( 2211 nn bamáx

n

bamáxbamáxpppnmmcm

Mínimo común múltiplo

• Ejemplo

• 82320=24*31*51*73*110

• 950796=22*32*50*74*111

Entonces

• mcm(82320,950796)=2máx(4,2)*3máx(1,2)*5má

x(1,0)*7máx(3,4)*11máx(0,1)

• mcm(82320,950796)=24*32*51*74*111

=19015920

Mínimo común múltiplo

• Ejemplo:

• mcd(30,105)=15

• mcm(30,105)=210

• mcd(30,105)*mcm(30,105)=15*210=3150=30*105

Teorema 11

• Para cualesquiera enteros positivos m y n,

mcd(m,n)*mcm(m,n)=mn

• Dem:

• Si m=1, entonces mcd(m,n)=1 y mcm(m,n)=n, así:

• mcd(m,n)*mcm(m,n)=1*n=mn

• Si n=1, entonces mcd(m,n)=1 y mcm(m,n)=m, así:• mcd(m,n)*mcm(m,n)=1*m=mn

• Si m > 1 y n >1• Combinando los teoremas anteriores de mcd y mcm, con el hecho de

que:

• mín(x,y) + máx(x,y)=x + y para toda x y y.

• Esto es verdadero porque uno de {mín(x,y), máx(x,y)} es igual a x y el otro a y.

• Se escriben las factorizaciones primas de m y n como

• (si el primo pi no es un factor de mi, se hace ai=0. Si el primo pi no es un factor de n, se hace bi=0). Por el teorema 9

• Y por el teorema 10

• Por lo tanto,

na

n

aapppm ...21

21nb

n

bbpppn ...21

21

),(),(

2

),(

1 ...),( 2211 nn bamáx

n

bamáxbamáxpppnmmcm

),(),(

2

),(

1 ...),( 2211 nn bamín

n

bamínbamínpppnmmcd

mnpppp

pp

pp

ppp

ppp

nn

nn

nnnn

nn

nn

b

n

ba

n

a

ba

n

ba

bamáxbamín

n

bamáxbamín

bamáx

n

bamáxbamáx

bamín

n

bamínbamín

]...][...[

...

...

]...[

]...[n)mcm(m,*n)mcd(m,

11

11

1111

2211

2211

11

1

),(),(),(),(

1

),(),(

2

),(

1

),(),(

2

),(

1

Ejercicios

• Determinar el mcm de cada par de números

• 60, 90

• 220, 1400

• 2091, 4807

• 110, 273

• Para cada ejercicio verifique que mcd(m,n)*mcm(m,n)=mn

Teorema 12: El algoritmo de la división

• Teorema:

• Si a, b son enteros con b>0 entonces existen q, r enteros únicos, con a=qb+r, 0≤r<b

• Donde q es el cociente y r el residuo

Congruencia

• Definición

• Sea n un entero positivo, n>1. Para a,benteros, se dice que a es congruente con b módulo n y se escribe a b(mod n), si

• n|(a-b) o a=b+kn, k un entero.

• Ejemplo:

• 17 2(mod 5), 5|(17-2), 17=2+3*5, k=3

• -7 -49(mod 6), 6|(-7+49)

• A es congruente con b módulo m,

(a b), si m|a-b

• Ejemplo:

• 25 32,

• 32=4+7*4

• 25=4+7*3

• 32-25=7*(4-3)

m

7

• Ejemplo

• 17 -28

• -28=2+3*(-10)

• 17=2+3*5

• -28-17=3*(-10-5)

• Obtenemos que 32-25 es múltiplo de 7 y -28-17 es múltiplo de 3, al coincidir los valores de los restos, 4 y 2 respectivamente

3

• Teorema

• Sean a,b enteros, m>0: a b a mod m = b mod m.

• Demostración

m

• Demostración

• Dados a, b, m enteros m>0 existen c,r,c’,r’ únicos tales que

a=cm+r, 0≤r<m (1)

b=c’m+r’, 0≤r’<m

• Demostramos

• a b m|(a-b) m|(r-r’) [a-b=(c-c’)m+(r-r’)]

r-r’=0 [0 ≤ |r-r’|<m por (1)]

r=r’ a mod m = b mod m

m

• a mod m = b mod m r=r’ a-b=m(c-c’)

a b

• Dado un número entero n, sumándole y restándole reiteradamente m obtenemos las sucesiones de los números congruentes con n módulo m.

m

• Ejemplo

• Sucesiones de los números congruentes con 7 módulo 5:

7, 12, 17, 22, 27, 32,… 2, -3, -8, -13, -18

• Sucesiones de números congruentes con 10 módulo 3:

10, 13, 16, 19, 22, … 7, 4, 1, -2, -5, -8 …

• Teorema

• Dado un entero m>0: a b existe un entero k tal que a = b+km

• Demostración

• a b m|a-b existe un entero k tal que a-b=km a=b+km

• Existe un entero k tal que a=b+kmkm=a-b m|a-b a b.

m

m

m

• Por el teorema anterior, dado un número entero m>0, Z queda dividido en m clases de congruencia de Z modulo m, que representamos por

y se definen:

• Clase de los números congruentes con 0=0 es {…, -2m, -m, 0, m, 2m,…}

1,,...1,0 m

• Clase de los números congruentes con 1=1 es{…, -2m+1, -m+1, 1, m+1, 2m+1,…}

• Clase de los números congruentes con 2=2 es{…, -2m+2, -m+2, 2, m+2, 2m+2,…}

• Clase de los números congruentes con m-1=m-1 es{…, -2m+(m-1), -m+(m-1), m-1, m+(m-1), 2m+(m-1),…}

• Fijando un m, todo núm entero pertenece a una y sólo una clase de congruencia módulo m.

i={…, -2m+i, -m+i, i, m+i, 2m+i,…}

• Dado un m>0, al conjunto de clases de congruencia de Z módulo m lo designamos Z(m)={ }1,,...1,0 m

Ejemplo