Elaboracin de grficas

Tema 4. Captulo 16Estadstica Inferencial 1 Normalidad en estadstica y medidas de descripcin de datos

Modelo de probabilidad llamado curva normal o distribucin normal1 Introduccin a la Distribucin normal2. Propiedades de la curva normal2.1.1 Curva normal e interpretacin de la desviacin estndar2.1.2 Transformacin de valores X hacia central valores Z2.1.3 Interpretacin de la desviacin estndar3. Estadstica paramtrica y estadstica no paramtrica.MSP. BERNARDA SNCHEZ FLORESMSP. CIRCE MINERVA GMEZ GLOCKNERMSP. CONSTANTINO VICENTE QUIROZ PREZ

Marzo 201511. Introduccin2Formas que puede tomar un histogramaUno de los usos del histograma es para identificar el tipo de distribucin que puede tomar una variable.

Se clasifican de la siguiente manera:

Distribucin normalDistribucin asimtricaDistribucin UnimodalSesgo positivoSesgo negativoDistribucin bimodalDistribucin multimodalTipos de distribucin3Distribucin Bimodal

4Distribucin multimodal

52. Distribucin normalTambin se le conoce como campana de Gauss. La caracterstica de este tipo de distribucin es que si la partimos por la mitad, tendremos dos partes iguales.Ejemplo:

6Distribucin normal

Representa la forma en que se distribuyen en la naturaleza los valores numricos de las variables continuas, como puede ser la estatura, el peso, etc.7Distribucin normal8Propiedades de la curva normal1. La curva es un polgono de frecuencias en forma de campana para el que estn calculando sus reas en funcin de sus diferentes valores del eje horizontal o abscisa.

La distribucin normal fue presentada por primera vez por Abraham de Moivre en un artculo del ao 1733.

Propiedades de la curva normal2. En la abscisa se encuentran valores del tipo cuantitativo, denominado genricamente como valores z, cuyas magnitudes en teora pueden ir de izquierda a derecha desde - hasta + (desde menos infinito hasta ms infinito)

- + Abscisas: valores de z Propiedades de la curva normal3. El promedio de todos los valores z de la abscisa equivale a cero, pues la mitad son negativos y la mitad son positivos. En el sitio de la abscisa que corresponde a cero, es decir al promedio, se encuentra la parte ms alta de la curva. En este sentido tambin se encuentra la mediana de todos los valores z de la abscisa, pues 50% de ellos est antes del cero y el 50% restante se encuentra despus.

0.341300.3413-1+10.158730.1587

12Propiedades de la curva normal4. La curva es simtrica alrededor de la media, hay una mitad izquierda que es reflejo de la mitad derecha ( imagen de espejo)5. En la abscisa existen segmentos unitarios de igual longitud y de tamao 1. Los segmentos a la izquierda de la media tienen signo negativo y a la derecha positivo, tales segmentos denominados desviaciones estndar, pueden dividirse en fracciones infinitamente pequeas y continuas.6. La curva es asinttica, sus extremos en teora nunca tocan la abscisa. Por ello, la longitud de sta podra ser infinitamente larga; sin embargo, se acostumbra graficar slo hasta la distancia de tres segmentos. A la izquierda y a la derecha de la media.

00.50.5Valores negativosValores positivos-3-2-1+2+1+3Propiedades de la curva normal7. Toda el rea bajo la curva vale 1. Por lo anterior el rea a la izquierda de la media vale 0.5, y el rea a la derecha vale 0.5.8. El rea que se encuentra sobre el segmento de la abscisa que desde la media hasta el valor de z de +1 vale 0.3413; por tanto por simetra, el rea que se encuentra sobre el segmento que va desde la media hasta el valor de z de -1 de la abscisa tambin vale 0.3413.

00.34130.3413Z=-1Z=+10.15870.15870.68269. El rea que se encuentra sobre el segmento de la abscisa que va ms all del valor se z de +1 vale 0.1587 y por simetra el segmento de la abscisa que va ms all (hacia - ) del valor se z de -1 de la abscisa tambin vale 0.1587.

10. Para cualquier segmento de la abscisa, y an para fracciones del segmento, se encuentran calculadas las reas correspondientes (reas balo la curva de la distribucin normal)

2.1.1 Curva normal e interpretacin de la desviacin estndarSuponiendo que al graficar el peso de 300 individuos con un polgono de frecuencias la grfica resultante fuera muy parecida a la curva normal. Entonces podra decirse que:El rea bajo la curva de valores de peso que contiene a los individuos vale 300 de manera semejante a la propiedad del modelo de la curva normal, de que su rea vale 1.Ejercicio:

Cuntos individuos existen a la derecha y a la izquierda de la media?Cuntas personas existen sobre el segmento que va desde el valor de x de 80 hasta el valor x de 85.Cuntas personas tienen peso de 75kg y menos?

Respuestas:

A la izquierda de la media existen: 0.5 de los 300 valores = 150 individuos y a la derecha existen los otros 150.

Desde el valor de z de cero hasta el valor z de +1, en la curva de valores x (es decir kg de peso) habr 0.3413 de 300, o sea habr 102 personas sobre el segmento que desde el valor de x de 80 hasta el valor x de 85.

0.5-0.3413= 0.1587, por tanto 0.1587 de 150= 48 personas tienen peso de 75kg o menos.

Se aplic un mismo examen escrito a dos grupos de 90 alumnos cada uno. En uno se imprimi el examen en hojas de color amarillo y el otro en hojas de color marrn. Se midi con cronometro el tiempo, en minutos y fracciones, que tardaron los alumnos en entregar el examen y se calcul la media y la desviacin estndar, para ambos grupos.GrupoMediaDesviacin estndar1. Color paja4552. Color marrn4515Loa alumnos del equipo uno entregaron en tiempos ms homogneos, pues 0.6826 de ellos (61 alumnos), entregaron entre 40 y 50 luego de haber iniciado. Los ms lentos 0.1587 de ellos (14 alumnos) entregaron el examen despus de 50.El grupo 2 entreg en tiempos ms heterogneos, pues 0.6826 de ellos (61 alumnos) lo entregaron entre 30 y 60 despus de haberlo iniciado. Los ms lentos 0.1587 de ellos, lo entregaron despus de 60.

2.1.2 Transformacin de valores X hacia central valores ZComprobar que una serie cuantitativa continua al ser graficada con un polgono de frecuencia, muestre un parecido razonable con el perfil de la curva normal.Cmo contestar Cuntos alumnos de cada grupo (con n=90) tardaron 47 o ms en entregar su examen?Debemos transformar cualquier valor x en su correspondiente valor Z y en hacer uso de la tabla de reas balo la curva de la distribucin normal 2.1.3 Interpretacin de la desviacin estndarRecordar

La interpretacin est condicionada a la suposicin de que los valores tienen una distribucin semejante a la curva normal. Valor de ZProporcinZ=1(0.3413 lado derecho+ 0.3413 lado izquierdo) = 0.6826Z=2(0.4772 lado derecho+ 0.4772 lado izquierdo) = 0.9545Z=3(0.4987 lado derecho+ 0.4987 lado izquierdo) = 0.9974Z=1.960.4750x2= 95Z= 2.580.4951x2= 99Porcentaje de datos entre dos valores dados1. Calcular el porcentaje arriba de un valor mayor que la media.2. Calcular el porcentaje arriba de un valor menor que la media.3. Calcular el porcentaje abajo de un valor mayor que la media.4. Calcular el porcentaje abajo de un valor menor que la media.5. Calcular el porcentaje entre un valor menor que la media y otro mayor que la media.6. Calcular el porcentaje entre dos valores mayores que la media.7. Calcular el porcentaje entre dos valores menores que la media.

Ejemplos

Ejemplo 1:6578ZQu porcentaje son valores mayores que 78?rea en el mismo extremo ms all de valor de Z. Columna CZ=1.18=0.1190= 11.9%N=500X=65S=11Comprobacin:El 0.5 del rea bajo la curva se encuentra a la derecha de la media, si a esta proporcin restamos 0.1190= 0.3810 correspondiente a Z=1.18 en la columna D.

0.11900.3810

Ejemplo 2:65ZQu porcentaje son valores mayores que 45?rea del extremo opuesto hasta el valor Z. Columna BZ= -1.82, Valor en columna B= 96.56%Comprobacin:El Valor de Z = -1.82=46.56% en la columna D, a este porcentaje que se encuentra a la izquierda de la media le sumamos el 50% de la mitad a la derecha de la media teniendo:46.56 + 50 = 96.56% mismo valor de Z = 1.82 y columna B.

4596. 56%

Ejemplo 3:65ZQu porcentaje son valores son menores que 72?rea desde el extremo opuesto hasta el valor Z. Columna BComprobacin:El Valor de Z = 0.64 = 23.89% ms el 50% de la mitad izquierda de la curva, obtenemos el 73.89%, mismo valor con Z=0.64 y el Valor de la Columna B.7273. 89%

Ejemplo 4:ZQu porcentaje son valores menores que 50?Comprobacin:El Valor de Z = -1.36= 41.31% ste porcentaje se resta del 50% de rea bajo la curva del lado izquierdo, obtenemos 50% - 41.31% = 8.69% mismo valor de: Z= -1.36 y columna C.8. 69%rea en el mismo extremo ms all de valor de Z. Columna CZ = -1.36 y 8.69% en la columna C6550

Ejemplo 5:65Z1Qu porcentaje son valores entre 52 y 81?Para x=52; Z= -1.18 y su porcentaje = 38.10%Para x=81; Z= 1.45 y su porcentaje = 42.65%La suma de ambos porcentajes = 80.75%8180. 75%Z252

Ejemplo 6:65Qu porcentaje son valores comprendidos entre 70 y 85?Para x=70; Z= 0.45 y su porcentaje es = 17.36% (entre 65 y 70)Para x=85; Z= -1.82 y su porcentaje es = 46.56% (entre 65 y 85)Se resta: Z2 Z1= 46.56 17.32 = 29.20%7029.20%Z185Z2

Ejemplo 7:65Z1Qu porcentaje son valores comprendidos entre 44 y 58?Para x= 44; Z2= -1.91 y su porcentaje es = 47.19% (entre 65 y 44)Para x=58; Z1 = 0.64 y su porcentaje es = 23.89% (entre 65 y 58)Se resta: Z2 Z1= 47.19 23.89 = 23.30% (entre 44 y 58)

5823.30%Z244

Ejercicio No. 1:80Z1Qu porcentaje de valores son comprendidos entre 75 y 85?x= 75; Z= -1.0 y su porcentaje es = 34.13% (entre 75 y 80)x=85; Z = 1.0 y su porcentaje es = 34.13% (entre 80 y 85)Se suman estos porcentajes y obtenemos = 68.26% (entre 75 y 80)Aplicamos ste porcentaje al total de 300 personas y obtenemos que, 205 personas tienen un peso entre 75 Kg. y 85 Kg.7568 . 26%Z285N=300X=80 KgS=5 KgDescripcin mediante la curva normalEjercicio No. 2

Ejercicio No. 2:45Qu porcentaje son valores mayores a 47?x= 47; Z= 0.4 y su porcentaje se busca en la columna C 34.46%Por lo tanto 34.46% de 90=31 estudiantes contestaron su examen en 47 ms.34.46%47n=90X=45S=5rea en el mismo extremo ms all del valor Z

Ejercicio No. 3:50Cul es el nmero de estudiantes que pesan ms de 50 Kg.?rea desde el extremo opuesto hasta el valor Z. Columna BX= 50; Z= -1, su porcentaje en la columna B= 84.13%Por lo tanto 379 varones pesan ms de 50 Kg.

5496. 56%Peso en Kg.n=450 Estudiantes varonesX=54 Kg.S=4 Kg

Ejercicio No. 4:45rea desde el extremo opuesto hasta el valor Z. Columna B5458.65%Cul es el nmero de estudiantes que pesan entre 45 y 55 Kg.?55x= 45; Z= -2.25 y su porcentaje es = 48.78% (entre 45 y 54)x=55; Z = 0.25 y su porcentaje es = 9.87 % (entre 54 y 55)Se suman los porcentajes y obtenemos = 58.65%Por lo tanto 264 estudiantes de 450 pesan entre 45 Kg. y 55Kg.3. Estadstica paramtrica y estadstica no paramtrica.Todo procedimiento estadstico que se base en el estudio de la media y la desviacin estndar para la obtencin de conclusiones forma parte de la estadstica llamada paramtrica.

La distribucin de datos cuantitativos continuos que tienen una distribucin semejante a la curva normal pueden ser descritos perfectamente utilizando slo dos medidas de resumen: la media y la desviacin estndar, es factible establecer una gran variedad de conclusiones acerca de la distribucin de la variable que se este manejando. La media y la desviacin estndar son los parmetros de la distribucin normal, son los valores que bastan para caracterizar a una distribucin de datos cuantitativos continuos.

Todo procedimiento estadstico que no tiene fundamento en el uso de la media y la desviacin estndar para la obtencin de conclusiones forma parte de la estadstica no paramtrica. (percentiles, frecuencias o las series completas de datos sin ningn procedimiento de resumen)