UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTAFACULTAD DE EDUCACIN Y HUMANIDADESESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE MATEMTICA, FSICA Y COMPUTACIN

CURSO:ESTADISTICA

DOCENTE: BOZA ESTUDIANTE: HUALCAS TANTAPOMA JHON

CICLO: V TEMA : DISTRIBUCIN NORMAL

Nuevo Chimbote, JULIO del 2013

INDICEINTRODUCCIN...................................................................................................3BREVE RESEA HISTRICA....................................................................,.......41. DISTRIBUCIN NORMAL.......................................................................,......5 1.1 Por qu es importante conocer la distribucin normal?.........................6 1.2 IMPORTANCIA DE LA DISTRIBUCIN NORMAL.................,..........7 1.3 Distribucin Normal 1.3.1 Definicin................................................................................,........8 1.3.2 Caractersticas........................................................................,........9 1.3.3 Propiedades.....................................................................................9

2. LA DISTRIBUCIN NORMAL ESTNDAR..............................................113. USO DE LA TABLA DE LA DISTRIBUCIN NORMAL TPICA..........13 3.1 Busca de la funcin de distribucin de un nmero positivo...................13 3.2 Clculo de la funcin de distribucin de un nmero negativo...............14 3.3 Clculo de la probabilidad de que la normal tpica caiga entre dos valores dados. ............................................................................16

3.4 Clculo de la probabilidad de que un normal con parmetros cualesquiera caiga entre dos valores dados. ..........................................17

4. CLCULO DE REAS DE UNA DISTRIBUCIN NORMAL................185. EJERCICIOS RESUELTOS DE LA DISTRIBUCIN NORMAL...........216. BIBLIOGRAFA ...............................................................................................29

INTRODUCCIN

Estadistribucines frecuentemente utilizada en las aplicacionesestadsticas.Su propio nombre indica su extendida utilizacin, justificada por las frecuencia o normalidad con la que las ciertos fenmenos tienden a parecerse en sucomportamientoa esta distribucin.

Muchasvariablesaleatorias continuas presentan unafuncindedensidadcuya grfica tiene forma de campana.

En otras ocasiones, al considerar distribuciones binomiales, tipo B(n,p), para un mismovalorde p y devaloresde n cada vez mayores, se ve que suspolgonosde frecuencias se aproximan a una forma en forma de campana.

En resumen, la importancia de la distribucin normal se debe principalmente a que hay muchas variables asociadas a fenmenos naturales que siguen elmodelode la normal.

Caracteres morfolgicos de individuos (personas,animales,plantas, etc ) de una especie.

Por ejemplo: tallas, pesos, envergaduras, dimetros, permetros.

Caracteres fisiolgicos, por ejemplo: efecto de una misma dosis de un frmaco, o de una misma cantidad de abono.

Caracteres sociolgicos, por ejemplo: consciente intelectual, grado de adaptacin a un medio.

Errores cometidos al medir ciertas magnitudes.

Valores estadsticos maestrales, por ejemplo: la media.

Otras distribuciones como la binomial o la Poisson son aproximaciones normales.

Y en general cualquier caracterstica que se obtenga como suma de mucho factores.

BREVE RESEA HISTRICALa distribucin normal fue presentada por vez primera por Abraham de Moivre en un artculo del ao 1733, que fue reimpreso en la segunda edicin de su The Doctrine ofChances, de 1738, en el contexto de cierta aproximacin de la distribucin binomialpara grandes valores de n. Su resultado fue ampliado por Laplace en su libro Teora analtica de las probabilidades (1812), y en la actualidad sellama Teorema de De Moivre-Laplace.

Laplace us la distribucin normal en el anlisis de errores de experimentos. El importante mtodo de mnimos cuadrados fue introducido por Legendre en 1805.Gauss, que afirmaba haber usado el mtodo desde 1794, lo justific rigurosamente en1809 asumiendo una distribucin normal de los errores. El nombre de Gauss se ha asociado a estadistribucin porque la us con profusin cuando analizaba datos astronmicos y algunos autores le atribuyen un descubrimiento independiente del de De Moivre.Esta atribucin del nombre de la distribucin a una persona distinta de suprimer descubridor es un claro ejemplo de la Ley de Stigler .El nombre de "campana" viene de Esprit Jouffret que us el trmino "bell surface"(superficie campana) por primera vez en 1872 para una distribucin normal bivariante de componentes independientes. El nombre de "distribucin normal" fue otorgado independientementepor Charles S. Peirce, Francis Galton yWilhelm Lexis hacia 1875. La distribucin normal ha sido descubierta y estudiada por diferentes personas de manera independiente, y no siempre se le ha atribuido a la misma persona. En lo que podramos llamar historia de la distribucin normal podemos destacar estos nombres. 1. Abraham De Moivre (ltimo tercio del siglo XVII y primera mitad del XVIII) es el primer autor en publicar una explicacin de la distribucin normal (en 1733) tal como la entendemos ahora.El objetivo y el contexto son los juegos de azar (probabilidades de ganar), aunque la preocupacin de De Moivre era ms teolgica (el aparente desorden del Universo es consistente con un plan inteligente; el caos es aparente porque tiene sus normas, etc.). 2. El marqus de Laplace y Carlos Federico Gauss (matemticos y astrnomos; ambos entre los siglos XVIII y primera mitad del XIX; Gauss fue un prodigio de las matemticas) tambin estudiaron y desarrollaron la distribucin normal (tambin denominada campana de Gauss), sobre todo, aplicada a la observacin astronmica. Gauss denomin a esta distribucin distribucin de errores (en sus observaciones sobre la rbita de los asteroides); de Gauss es tambin el concepto de error tpico de la media.3. Quetelet (astrnomo belga) y Galton (ambos ya en el siglo XIX) son los primeros en descubrir y estudiar las aplicaciones de la distribucin normal a las medidas de antropometra (altura, etc.) y a los fenmenos sociales, y de ah se pas a otro tipo de medidas (como de inteligencia y a otras ya en el campo de la psicologa, educacin, etc.). 4. Finalmente a Karl Pearson (1857-1936) le debemos el trmino de curva normal.

Distribucin NormalExiste una distribucin de frecuencias terica llamada distribucin normal, que puede considerarse como modelo adecuado para describir la distribucin de un gran nmero de variables en el campo biolgico.

De entre todas las distribuciones continuas tiene especial relevancia la distribucin Normal o de Gauss. Aparece frecuentemente en las situaciones ms variadas. Las variables que presentan una distribucin Normal tienen caractersticas comunes tales como la acumulacin de valores en torno al valor de la media, la simetra en la distribucin de los valores y escasos valores alejados de la media, por ejemplo:

Caracteres morfolgicos de individuos: altura, peso, nmero de pie, tamao del palmo, etc.

Carctersticas de la mayora de los productos de consumo: duracin de las bombillas, resistencia a la rotura de muebles o de piezas, duracin de los electrodomsticos, etc.

Calificaciones obtenidas en cursos, asignaturas y exmenes.

Se dice que una variable aleatoria continua sigue una distribucin normal de media y desviacin tpica , y se escribe , cuando tiene la funcin de densidad: La grfica de esta funcin de densidad tiene forma campaniforme, y se denomina campana de Gauss.

Las Propiedades de la funcin f(x) se aprecian en su grfica y son:

f(x) tiene por dominio .

f(x) es continua en su dominio.

f(x) es simtrica respecto a la recta x=. F(x) tiene un mximo absoluto en f(x) tiene dos puntos de inflexin en x= + y x=-.

f(x) es siempre positiva y asinttica con respecto al eje OX.

La grfica de la funcin de densidad f(x) se llama campana de Gauss .

Por qu es importante conocer la distribucin normal?

La distribucin normal fue desarrollada por Abraham de Moivre, (1667-1754). Posteriormente, Carl Friedrich Gauss (17771855) elabor desarrollos ms profundos y formul la ecuacin de la curva; de ah que tambin se la conozca, ms comnmente, como la "campana de Gauss". La distribucin de una La distribucin normal variable normal est completamente determinada por dos parmetros, su media y su desviacin estndar, denotadas generalmente por y .

La distribucin normal es la distribucin de probabilidad ms importante en estadstica, debido a tres razones fundamentales (De Groot, M.H., 1988):

Desde un punto de vista matemtico resulta conveniente suponer que la distribucin de una poblacin de donde se ha extrado una muestra aleatoria sigue una distribucin normal, ya que entonces se pueden obtener las distribuciones de varias funciones importantes de las observaciones mustrales, que adems resultan tener una forma sencilla.

Desde un punto de vista cientfico, la distribucin normal aproxima en muchas ocasiones los valores obtenidos para variables que se miden sin errores sistemticos. Por ejemplo, se ha observado que muchos experimentos fsicos frecuentemente tienen distribuciones que son aproximadamente normales, como estaturas o pesos de los individuos, beneficios medios de las empresas, la duracin de un producto perecedero, el tiempo necesario para llevar a cabo un trabajo, etc.

La ltima razn es la existencia del Teorema Central del Lmite, establece que cuando se dispone de una muestra aleatoria grande, aunque presente una distribucin no normal e incluso distribuciones tpicas de variables aleatorias discretas, pueden tratarse como aproximadamente distribuciones normales.

Algunos ejemplos tpicos de la distribucin normal son:

Estatura de las personas. T de una cmara frigorfica. Dosis de un aditivo. Precipitaciones anuales de un determinado pas.

IMPORTANCIA DE LA DISTRIBUCIN NORMALLa distribucin normal es sin lugar a dudas la ms importante y la de mayor uso de todas las distribuciones continuas de probabilidad. Su aplicacin abarca prcticamente todas las reas de la ciencia, gran parte de los fenmenos naturales y proporciona una representacin adecuada, al menos en una primera aproximacin, de gran cantidad de variables fsicas. As, su uso comprende problemas relativos a la ingeniera, economa, sociologa, agricultura, medicina, biologa, finanzas, meteorologa, geofsica, mediciones de partes manufacturadas, errores de instrumentos de medicin, etc. Puntualizando podemos decir que: Son muchas las variables aleatorias que estn distribuidas normalmente cuando se realizan experimentos u observaciones empricas y hay otras ms que estn distribuidas en forma aproximadamente normal. Ciertas distribuciones se pueden aproximar mediante la distribucin normal. Esto se cumple, por ejemplo, para la distribucin binomial. Ciertas variables que son bsicas para justificar pruebas estadsticas estn distribuidas en forma normal, como las distribuciones muestrales de muestras grandes, intervalos de confianza, pruebas de hiptesis, el teorema del lmite central, etc.La importancia de esta distribucin radica en que permitemodelarnumerosos fenmenos naturales, sociales y psicolgicos. Mientras que los mecanismos que subyacen a gran parte de este tipo de fenmenos son desconocidos, por la enorme cantidad de variables incontrolables que en ellos intervienen, el uso del modelo normal puede justificarse asumiendo que cada observacin se obtiene como la suma de unas pocas causas independientes.De hecho, la estadstica es un modelo matemtico que slo permite describir un fenmeno, sin explicacin alguna. Para la explicacin causal es preciso eldiseo experimental, de ah que al uso de la estadstica en psicologa y sociologa sea conocido comomtodo correlacional.La distribucin normal tambin es importante por su relacin con la estimacin pormnimos cuadrados, uno de los mtodos de estimacin ms simples y antiguos.Algunos ejemplos de variables asociadas a fenmenos naturales que siguen el modelo de la normal son:Caracteresmorfolgicosde individuos como laestatura;caracteresfisiolgicoscomo el efecto de unfrmaco;caracteressociolgicoscomo elconsumode cierto producto por un mismo grupo de individuos;caracterespsicolgicoscomo elcociente intelectual; nivel deruidoentelecomunicaciones;errorescometidos al medir ciertas magnitudes;etc.Adems Numerosas variables continuas de fenmenos aleatorios tienden a comportarse probabilisticamente mediante sta. Es el lmite al que convergen tanto variables aleatorias continuas como discretas. Proporciona la base de lainferencia estadsticaclsicadebido a su relacin conel teorema del lmite central.

Distribucin Normal

Sea una funcin de densidad dada por:

es una funcin simtrica respecto del parmetro y su forma es conocida como campana de Gauss, en honor del matemtico Gauss La distribucin gaussiana, es ms conocida con el nombre de distribucin normal, ya que es comn encontrar fenmenos de la naturaleza que se comporten de acuerdo a este modelo probabilstico.

Si es una v.a. con funcin de densidad , entonces se dice que sigue una distribucin normal de parmetros y . lo que se denota por es un parmetro de ubicacin, mientras que es un parmetro de dispersin.

OTRA IDEA: Sea X una variable continua normalmente distribuda con media y desviacin estndar , denotamos:

La funcin densidad de una variable aleatoria Normal est dada por:

Caractersticas:

Su grfico semeja una campana simtrica, cuyas colas se extienden hacia el infinito tanto en direccin negativa como en la positiva.

El promedio, la mediana y la moda de la distribucin tienen el mismo valor.

La distribucin queda completamente definida por el promedio y la desviacin estndar. El promedio nos informa sobre la posicin o ubicacin de la distribucin en el eje horizontal y, la desviacin estndar refleja la dispersin de los valores con respecto al promedio.

Propiedades de la distribucin normal

La distribucin normal tiene forma de campana.

La distribucin normal es una distribucin de probabilidad que tiene media = 0 y desviacin estndar = 1. El rea bajo la curva o la probabilidad desde menos infinito a ms infinito vale 1. La distribucin normal es simtrica, es decir cada mitad de curva tiene un rea de 0.5. La escala horizontal de la curva se mide en desviaciones estndar. La forma y la posicin de una distribucin normal dependen de los parmetros , en consecuencia hay un nmero infinito de distribuciones normales.

Existe una relacin del porcentaje de poblacin a la desviacin estndar. En la figura observamos por ejemplo que el rea bajo la curva para tiene un porcentaje de 68.26%, = 95.46% y

La poblacin incluye todos los datos, la muestra es una porcin de la poblacin.

LA DISTRIBUCIN NORMAL ESTNDAR

Ladistribucin normal estndar, o tipificada o reducida,es aquella que tiene pormediael valorcero, = 0, y por desviacin tpica la unidad, =1. Su funcin de densidad es:

Su grfica es:

La probabilidad de la variable X depender del rea del recinto sombreado en la figura. Y para calcularla utilizaremos una tabla.

Tipificacin de la variable

Para poder utilizar la tabla tenemos que transformar la variableXque sigue una distribucinN (, )en otra variableZque siga una distribucinN(0, 1). El valor de z

Determina el nmero de desviaciones estndar entre algn valor X y la media de la poblacin . Para calcular el valor de Z usamos la siguiente frmula.

La distribucin de probabilidad f (Z) es una distribucin normal con media 0 y desviacin estndar 1; esto es Z se distribuye normalmente con media cero y desviacin estndar = 1 Z~N(0,1): La grfica de densidad de probabilidad se muestra en la figura.

La distribucin f (Z) se encuentra tabulada en la tabla de distribucin normal estndar. En esta tabla podemos determinar los valores de Z o la probabilidad de determinado valor Z.

Ejemplo 1 : El gerente de personal de una gran compaa requiere que los solicitantes a un puesto efecten cierta prueba y alcancen una calificacin de 500. Si las calificaciones de la prueba se distribuyen normalmente con media 485 y desviacin estndar 30 Qu porcentaje de los solicitantes pasar la prueba?Calculando el valor de Z obtenemos:

=

Buscamos el valor correspondiente Z en las tabla de distribucin normal. Z0.5 = .69146 = 69.146%. siendo esta la probabilidad de que la calificacin sea menor a 500 P (X 0)

Solucin: Buscamos el valor Z1..23 en las tablas siendo este = .89065. restando .89065-.05 = .3905, este valor es la probabilidad de 0 a 1.23 que es exactamente la misma de 1.23 a 0 por simetra. Por lo tanto la probabilidad es .3905

USO DE LA TABLA DE LA DISTRIBUCIN NORMAL TPICA

Sea Z una variable aleatoria con distribucin normal tpica

1) Busca de la funcin de distribucin de un nmero positivo.Supongamos que queremos calcular P{ Z 0,92}. Dicha probabilidad est representada por el rea sombreada en la figura 1.

figura 1

Obtendremos la respuesta buscando en la tabla normal (para ello buscamos la fila correspondiente al nmero truncado en su primera cifra decimal (es decir 0,9) y la columna correspondiente a la segunda cifra decimal (es decir 0,02). La interseccin de esa fila y esa columna nos indicar el nmero buscado).

Por lo tanto P{ Z 0,92}= 0,8212.

2) Clculo de la funcin de distribucin de un nmero negativo.

Supongamos que queremos calcular P{ Z -1,53}. Dicha probabilidad est representada por el rea sombreada en la figura 3.

figura 3

El nmero -1,53 no figura en la tabla, pero eso no nos impide calcular la probabilidad en cuestin. Simplemante hay que tener en cuenta que, por la simetra de la campana de Gauss se tiene:

P{ Z -1,53}= P{ Z >1,53}

La probabilidad que figura en el segundo miembro de la ecuacin est respresentada en el rea sombreada en la figura 4:

figura 4Dicha probabilidad es la complementaria de la probabilidad P{ Z 1,53}, representada en la figura 5.

figura 5

Es decir: P{ Z 1,53}+ P{ Z > 1,53}= 1. Para hallar P{ Z 1,53} simplemente vamos a la tabla y procedemos como en el caso 1:

De aqu obtenemos P{ Z 1,53} = 0,9370 y, por lo tanto:

P{ Z -1,53}= P{ Z > 1,53} = 1 - P{ Z 1,53}= 1- 0,9370 = 0,0630

3) Clculo de la probabilidad de que la normal tpica caiga entre dos valores dados.

Supongamos que queremos calcular P{0,41 < Z 1,62}. Esta probabilidad est representada por el rea sombreada en la figura 7.

figura 7

Dicha probabilidad se puede calcular como P{ 0,41 < Z 1,62}.= P{ Z 1,62}- P{Z 0,41}.

El minuendo y el sustraendo estn representados por las reas sombreadas en las figuras 8 y 9, respectivamente.

figura 8 figura 9 La busca en la tabla nos da los valores: P{ Z 1,62} = 0,9474, y P{Z 0,41} = 0,6591 .

Por lo tanto: P{ 0,41 < Z 1,62}.= 0,9474 - 0,6591= 0,2883.4) Clculo de la probabilidad de que un normal con parmetros cualesquiera caiga entre dos valores dados.

Supongamos que queremos calcular P{2,3 < X 3,7}. Donde X es una variable aleatoria normal con parmetros =1,5 y =2 Esta probabilidad est representada por el rea sombreada en la figura 10.

. figura 10Para calcular esta probabilidad, llevamos la variable X a una normal tpica, restando y dividiendo entre :

P{2,3 < X 3,7} = P{(2,3) / < (X) / (3,7) / }=

P{(2,31,5) /2 < (X1,5) /2 (3,71,5) /2 }= P{0,4< (X) / 1,1 }

La variable Z= (X) / tiene distribucin normal tpica. La probabilidad que se quiere calcular es igual al rea sombreada en la figura 11:

figura 11La resolucin del problema se reduce entonces a lo explicado en la parte 3.

P{2,3 < X 3,7} = P{0,4< Z 1,1 }= P{ Z 1,1 } P{ Z 0,4 } = 0,8643 0,6554 = 0,2089

CLCULO DE REAS DE UNA DISTRIBUCIN NORMAL

Definicin:

Si , la variable normal estandarizada:

Tiene distribucin Normal con media cero y varianza igual a uno:

Z es el nmero de desviaciones estndar que x difiere de la media m:

SiZ > 0entonces x es mayor a la media m

SiZ < 0entonces x es menor a la media m

SiZ = 0entonces x es igual a la media m

Para cualquier distribucin Normal se cumple que:

68,3% de las observaciones se encontrarn a una desviacin estndar de la media 95,4% de las observaciones se encontrarn a dos desviaciones estndar de la media 99,7% de las observaciones se encontrarn a tres desviaciones estndar de la media

Clculo de reas

1. Encuentre el rea de la distribucin Normal estndar que se encuentra a la izquierda de z = 1,22

1. Encuentre el rea de la distribucin Normal estndar que se encuentra a la derecha de z = 1,22

1. Encuentre el rea de la distribucin Normal estndar que se encuentra entre z = 0 y z =1,22

1. Encuentre el rea de la distribucin Normal estndar que se encuentra a la izquierda de z = -2,55

1. Encuentre el rea de la distribucin Normal estndar que se encuentra entre z = -1,22 y z = 1,22

EJERCICIOS RESUELTOS DE LA DISTRIBUCIN NORMAL

1.- Halla las siguientes probabilidades en una distribucin N(0, 1):

Solucin:

2.- El tiempo empleado, en horas, en hacer un determinado producto sigue una distribucin N(10, 2). Calcula la probabilidad de que ese producto se tarde en hacer:

a) Menos de 7 horas.b) Entre 8 y 13 horas.

Solucin:

3.- En una distribucin N(0, 1), calcula:

Solucin:

4.- Las ventas diarias, en euros, en un determinado comercio siguen una distribucin N(950, 200). Calcula la probabilidad de que las ventas diarias en ese comercio:

a) Superen los 1200 euros.b) Estn entre 700 y 1000 euros.

Solucin:

5.- El nivel de colesterol en una persona adulta sana sigue una distribucin normal N(192, 12). Calcula la probabilidad de que una persona adulta sana tenga un nivel de colesterol:

a) Superior a 200 unidades.b) Entre 180 y 220 unidades.

Solucin:

6.-Se calcul que el promedio de enfriamiento de todas las neveras para una lnea de cierta compaa, emplean una temperatura de -4C con una desviacin tpica de 1.2C. a. Cul es la probabilidad de que una nevera salga con una temperatura superior a -3C? b. Cul es la probabilidad de que una nevera salga con una temperatura menor a - 5.5C?

La probabilidad de que una nevera salga con una temperatura superior a -3C es de 20,33%

La probabilidad de que una nevera salga con una temperatura menor a - 5.5C es de 10,56%

7.- 8.- Varios test de inteligencia dieron una puntuacin que sigue una ley normal con media 100 y desviacin tpica 15.a. Determinar el porcentaje de poblacin que obtendra uncoeficiente entre 95 y 110.

b.- Qu intervalo centrado en 100 contiene al 50% de lapoblacin?

9.- En una poblacin de 2500 individuos cuntos individuosse esperan que tengan un coeficiente superior a 125?

10.- El fabricante de una impresora lser informa que la cantidad media de pginas que imprime un cartucho antes de reemplazarlo es de12200. La distribucin de pginas impresas por cartucho se aproxima a la distribucin de probabilidad normal y la desviacin estndar es de 820 pginas. El fabricante desea proporcionar lineamientos a los posibles clientes sobre el tiempo que deben esperar que les dure un cartucho.Cuntas pginas debe indicar el fabricante por cartucho si desea obtener 99% de certeza en todo momento?

BIBLIOGRAFA

Lind, D. A., W. G. Marchal, y S. A. Wathen. (2008). Estadistica Aplicada a los negocios y la economa (13 Ed). Mxico: McGraw-Hill. 239 - 242 Sobre la historia de la Distribucin Normal puede verse David Lane, History of Normal Distribution http://cnx.rice.edu/content/m11164/latest/http://www.vitutor.com/pro/5/a_2.html http://www.sites.upiicsa.ipn.mx/polilibros/z_basura/Polilibros/Probabilidad/doc/Unidad%203/3.7.htm

-1

-3

-2

2

3

0

1

0

( - 3(

( - 2(

( - (

( + 2(

( + 3(

( + (

(

99.7%

95.4%

68.3%

-1

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0

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( - (

( + 2(

( + 3(

( + (

(

99.7%

95.4%

68.3%

Punto de

inflexin

Distribucin #2:

Normal con media 80

Desviacin estndar 10

Distribucin #1:

Distribucin #3:

Normal con media 50

Desviacin estndar 10

Normal con media 80

Desviacin estndar 5

20

50

30

40

60

70

80

90

100

+1s

+2s

+3s

-1s

-2s

-3s

68.26%

95.46%

99.73%

Poblacin

x

x+s

x+2s

x+3s

x

-

s

x

-

2s

x

-

3s

x

x+s

x+2s

x+3s

x

-

s

x

-

2s

x

-

3s

X

Muestra