Distribución normal

También se la denomina con el nombre de campana de Gauss, pues al

representar su función de probabilidad, ésta tiene forma de campana. Su

propio nombre indica su extendida utilización, justificada por la frecuencia o

normalidad con la que ciertos fenómenos tienden a parecerse en su

comportamiento a esta distribución.

Características

1. La curva tiene un solo pico, por consiguiente es uni-modal. Presenta una

forma de campana.

2. La media de una población distribuida normalmente se encuentra en el

centro de su curva normal.

3. A causa de la simetría de la distribución normal de probabilidad, la mediana

y la moda de la distribución también se hallan en el centro, por tanto en una

curva normal, la media, la mediana y la moda poseen el mismo valor.

4. Las dos colas (extremos) de una distribución normal de probabilidad se

extienden de manera indefinida y nunca tocan el eje horizontal.

Ecuación

La ecuación matemática de la función de Gauss es la siguiente:

Curva de la distribución normal

El campo de existencia es cualquier valor real, es decir, ( -

∞, +∞).

Es simétrica respecto a la media µ.

Tiene un máximo en la media µ.

Crece hasta la media µ y decrece a partir de ella.

En los puntos µ − σ y µ + σ presenta puntos de inflexión.

El eje de abscisas es una asíntota de la curva.

Ejemplos

1) La vida media de una lámpara, según el fabricante, es de 68 meses, con

una desviación típica de 5. Se supone que se distribuye según una

distribución normal En un lote de 10.000 lámparas. a) ¿Cuántas lámparas

superarán previsiblemente los 75 meses?. b) ¿Cuántos lámparas se

estropearán antes de 60 meses?

a) t = (75 -68)/5 = 1,4

P (X > 75) = (t > 1,4) = 1 - P (t ≤ 1,4) = 1 - 0,9192 = 0,0808

Luego, el 8,08% de las lámparas (808 lámparas) superarán los 75 meses

b) t = (60 -68)/5 = -1,6

P (X ≤ 60) = (t ≤ -1,6) = P (t> 1,6) = 1 - P (t ≤ 1,6) = 0,0548

Luego, el 5,48% del lote (548 lámparas) no llegarán probablemente a durar

60 meses

2) Una empresa instala en una ciudad 20.000 bombillas para su iluminación.

La duración de una bombilla sigue una distribución normal con media 302

días y desviación típica 40 días. Calcular. a) ¿Cuántas bombillas es de

esperar que se fundan antes de 365 días? ¿Cuántas durarán más de 400

días? Explica razonadamente las respuestas.

a) Tipificamos el valor 365 Þ t = (365 -302)/40 = 1,575

P (X ≤ 365) = P (t ≤1,575 ) = 0,9418

Luego el 94,18% de las lámparas, es decir 20.000 ∙ 0.9418 = 18.836

bombillas se fundirán antes de 365 días

b) Tipificamos el valor 400 Þ t = (400-302)/40 = 2,45

P (X > 400) = P (t >2,45 ) = 1- P (t ≤2,45 ) = 1 - 0,9929 = 0,0071

Entonces el 0,71% de las lámparas, es decir 20.000 ∙ 0.0071 = 142 bombillas

durarán más de 400 días