Distribucion Multinomial Completo

7/25/2019 Distribucion Multinomial Completo

1/16

DISTRIBUCIN MULTINOMIAL

Si lo sucesos A1 , A2 ,.., Ak ocurren con probabilidades p1 , p2 ,.., pk

respectivamente, entonces la probabilidad de que un suceso (A i) ocurra nveces (ni) est dada por

P (A1n1,A2n2,A3n3,.. , Aknk, )=n!

n1!n

2! ..nk!

p1n1p2

n2.pk

nk

n1+n

2++nk=n

p1

, p2

, ., pk=probabilidades parciales

p1+

p2+

+

pk=1

EJERCICIOS PROUESTOS

1. !as probabilidades de que una bater"a de cierto tipo de pro#ector de

diapositivas dure menos de $% &oras de uso continuo, entre $% # '% &oras de

uso continuo o ms de '% &oras de uso continuo o ms de '% &oras de uso

interrumpido son %.%, %.%, %.2%, respectivamente, *alc+lese laprobabilidad de que entre oc&o de tales bater"as dos duren menos de $%

&oras, cinco duren entre $% # '% # una dure ms de '% &oras.

Rpta=0.0945

2 n una compa-"a se desea conocer la opinin que se tiene sobre tres

nuevas marcas, A, /, *. Sabiendo que el producto A es pre0erido por e $%

de los consumidores, el /, por el % # el c, por el %.

*ul es la probabilidad de que en una muestra aleatoria de 1% personas,

cinco pre3eran A, tres pre3eran / # dos pre3eran el producto *4

Rpta=0.0627


2/16

. 5allar la probabilidad de que en el lan6amiento de una pirmide trian7ular2% veces de obten7a la base 12 veces.

89:A;


3/16

=. Se sabe que las bombas de 7asolina para autos e@istentes en el mercado

se pueden clasi3car en

$% de rendimiento e@celente. (@)

2% de rendimiento bueno. (/)

% de

rendimiento re7ular (8).

1% de rendimiento malo (C).

Se selecciona una muestra de n;D bombas mediante proceso aleatorio.*ul ser la probabilidad de que quede con0ormada por @,/,18 # 2C 4

89:A; %.%%


4/16

1%. Si se lan6a seis veces un par de dados. *ul es la probabilidad deobtener una suma siete u 11 dos veces, un par i7ual una ve6 # cualquier otracombinacin tres veces4!istamos los si7uientes eventos posibles1 ocurre una suma < u 11

2 ocurre un par i7ual no ocurre ni un par i7ual ni una suma < u 11.!as probabilidades correspondientes para una prueba dada sonp1;2GD, p2;1G= # p;11G1'. stos valores permanecen constantes paratodas las seis pruebas. Al usar la distribucin multinomial @1;2, @2;1 #@;, entonces

89:A; %.112binomial tiene

;%.12 %. %.$2%.2 ; %.%%'?n 7rupo de 12 personas decide reunirse en cierta ciudad. !a probabilidad

de que una persona lle7ue a la ciudad en un avin, coc&e, tren o autob+s

es, respectivamente ., .$, .1 # .2 *ul es la probabilidad de que de las 12

personas, lle7uen en avin, en coc&e, 2 en tren # 2 en autob+s4

SolucinSean B1;n+mero de personas que lle7an en avin B2;n+mero de personas que lle7an en coc&e B;n+mero de personas que lle7an en tren B$;n+mero de personas que lle7an en autob+s


9/16

!as variables (B1, B2 B B$) tiene distribucin multinomial de parmetrosn;12, p1;. p2;.$ p;.1 p$;.2.

ntonces

9(B1; B2; B;2 B$;2);12OGOO2O2O;%.%12'%

=.>Se sabe que las bombas de 7asolina para autos e@istentes en el mercado

se pueden clasi3car en

$% de rendimiento e@celente. (@)

2% de rendimiento bueno .(/)

% de rendimiento re7ular (8) .

1% de rendimiento malo (C).

Se selecciona una muestra de n;D bombas mediante proceso aleatorio. *ulser la probabilidad de que quede con0ormada por @,/,18 # 2C 4

( ) ( ) ( )3 3 1

1 2 3 4

9!(n 9, 3, 3, 1, 2) 0.4 0.2 0.3 (0.1)

3!*3!*1!*2!

5040(0.064)(0.008)(0.3)(0.01)

0.00774

P X X X X= = = = = =

==

n una 7asolinera se sabe que la probabilidad de compren super, e@tra o

diEsel es de %.$, %.= # %.$ respectivamente si lle7an 1% autos en el

transcurso de una &ora calcular la probabilidad de que compren super, 2

e@tra # diesel.

P (x1=5,x2=2,x3=3,)=10!

5 !2!3 !0.4

50.6

20.4

3=0.59

'.>Supn7ase que el 2 de las personas que asisten a cierto partido de

FbaseballF viven a menos de 1% millas del estadio, el D de ellas viven a

entre 1% # % millas del estadio, # el 1' vive a mas de % millas. Se


10/16

seleccionan al a6ar 2% personas entre los asistentes al partido (que son

miles). *alcular la probabilidad de que siete de los seleccionados vivan a

menos de 1% millas, oc&o vivan entre 1% # % millas, # cinco vivan a mas de

% millas del estadio.

Solucin *omen6amos por identi3car todos los elementos del probleman ; 2% (n+mero de personas seleccionadas), k ; (cantidad de 7rupos declasi3cacin de laspersonas)P #1 ;Q9ersonas que viven a menos de 1% millas del estadioR, #2;Q9ersonas que vivena entre 1% # % millas del estadioR, # ;Q9ersonas que viven a ms de %millas del estadioRPp1 ; %,2, p2 ; %,D, p ; %,1'Ke3niendo (1,2,) el vector correspondiente a las 0recuencias, se pide

calcular

( ) ( ) ( )7 8 5

1 2 3

20!(N 7, N 8, N 5) 0..23 0.59 0.18

7!*8!*5!

0.0094

P = = = =

=

D.>*alcular la probabilidad de obtener dos veces el n+mero $, dos veces el

n+mero # una ve6 el n+mero 2, en el lan6amiento de un dado veces.

2 2 1

1 2 3

5! 1 1 1(n 5, 2, 2, 1)

2!* 2!*1! 6 6 6

0.00385

P X X X = = = = =

=

1%.>Si se lan6a seis veces un par de dados. *ul es la probabilidad de

obtener una suma siete u 11 dos veces, un par i7ual una ve6 # cualquier otra

combinacin tres veces4

!istamos los si7uientes eventos posibles

1 ocurre una suma < u 11

2 ocurre un par i7ual

no ocurre ni un par i7ual ni una suma < u 11.

!as probabilidades correspondientes para una prueba dada son


11/16

p1;2GD, p2;1G= # p;11G1'. stos valores permanecen constantes

para todas las seis pruebas. Al usar la distribucin multinomial

@1;2, @2;1 # @;, entonces

2 1 3

1 2 3

6! 2 1 11(n 6, 2, 1, 3)

2!*1!* 3! 9 6 18

0.1127

P X X X = = = = =

=

11.>n una reunin 0amiliar, el 2% de los asistentes son &ombres adultos, el

% muHeres adultas, el $% ni-os # el 1% ni-as. n un peque-o 7rupo se

&an reunido $ personas cual es la probabilidad de que 2 sean &ombres

adultos # 2 ni-os4

0384.01.04.03.02.0!0!2!0!2

!4)0X,2X,0X,2X(P 02024321 =

=====

!ue7o, la probabilidad de que el 7rupo estE 0ormado por personas de estos

pa"ses es tan slo del ,'$

12.>A unas elecciones se presentaron $ partidos pol"ticos el 9I9I obtuvo un

$% de los votos, el JJ el %, el C?C? el 2% # el !A!A el 1% restante.

*ul es la probabilidad de que al ele7ir ciudadanos al a6ar, &a#an

votado al 9I9I, 1 al C?C? # 1 al !A!A4

( ) ( ) ( ) ( )3 0 1 1

1 2 3 4

5!( 3, 0, 1, 1) 0.4 0.3 0.2 0.1

3!*0!*1!*1!

0.0256

P X X X X= = = = =

=

1.>*alcular la probabilidad 9(B1;=,B2;,B;1) de una Kistribucin

Cultinomial de 1% pruebas # con probabilidades (%.,%.2,%.2). *alcular la

probabilidad 9(B1;=,B2;,B;1) de una distribucin Cultinomial de 1%

pruebas # con probabilidades (%.,%.2,%.2).


12/16

9(B1;=,B2;,B;1);10!

6 ! x 3 ! x1 !0.5

6x 0.25

3x 0.25

1

;%.%12

1$.>5allar la probabilidad de que en el lan6amiento de una moneda 2% vecesde obten7a cara 12 veces.

9(B1;12,B2;');20 !

12 ! x8 !0.5

12x 0.5

18

;1.'!os 0allos de impresin de un libro se pueden clasi3car en erratas

tipo7r3cas, mala impresin # &oHa en blanco, un editor en los 0allos de sus

publicaciones un '% de erratas, un 1 de &oHas mal impresas # un de&oHas en blanco. *alcular la probabilidad de que 1% 0allos encontrados en un

libro = sean erratas # carencias de impresin.

9(B1;=,B2;,B;1);10!

6 ! x 3 ! x1 !0.8

6x 0.15

3x 0.05

1

;%.%Se lan6a al aire un dado normal, < veces, determine la probabilidad de

que apare6ca dos n+meros uno, cuatro n+meros tres # un n+mero cinco.

9(B1;2,B2;$,B;1);7 !

2 ! x 4 ! x1 !

1

6

2

x1

6

4

x1

6

1

;.


13/16

Se reali6an 1% e@perimentos consistentes en pre7untar a 1% personas sus

pre0erencias por unos productos determinados. !as opciones son cuatro

9re0erir A con probabilidad %,1

9re0erir / con probabilidad %,9re0erir * con probabilidad %,$

o pre0erir nin7uno con probabildad %,2

Sea

B1;n+mero de personas que pre3eren A

B2;n+mero de personas que pre3eren /

B;n+mero de personas que pre3eren *

B$;n+mero de personas que no pre3eren nin7uno

*alculamos

pMB1;2, B2 ;, B ;2, B$ ;N; 1%O ;%.12 %. %.$2%.2 ; %.%%'

Distribucion Multinomial Completo

Documents

Transcript of Distribucion Multinomial Completo