Facultad de IngenieríaEstadística 1

Ing. Edwin Bracamonte Orozco

Medidas de Tendencia Central

Promedio aritmético

El promedio aritmético, media aritmética o simplemente media, representa el centro de masa de la distribución de frecuencias, y se ve afectado por los valores extremos. Existen varias formas de calcular el promedio aritmético, la tradicional para datos sin agrupar es:X=

∑ X in

y para datos sin agrupar: X=

∑ X i f i

∑ f i

en ele ejemploLímites reales Xi fi Fi Xi*fi1.695 1.765 1.73 5 5 8.651.765 1.835 1.80 14 19 25.21.835 1.905 1.87 21 40 39.271.905 1.975 1.94 41 81 79.541.975 2.045 2.01 25 106 50.252.045 2.115 2.08 14 120 29.122.115 2.185 2.15 3 123 6.452.185 2.255 2.22 1 124 2.222.255 2.325 2.29 1 125 2.29

125 242.99

X=242.99125

=1.9439

Moda

La moda se concibe como el valor que más se repite en un conjunto de datos, en el caso de una distribución de frecuencias su significado es el

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mismo, pero se refiere a un valor aproximado que se encuentra dentro de la clase con mayor frecuencia absoluta, para lo cual se utiliza la siguiente expresión:donde:

M o=Li+( f o−f a)

( f o−f a )+(f o−f p)∗i

Li=limite inferior de la clase con mayor frecuencia absoluta,fo = mayor frecuencia absoluta de la distribución,fa= frecuencia absoluta de la clase anterior la clase donde se ubicó a fo,fp= frecuencia absoluta de la clase siguiente a la clase donde se ubicó a fo,i = intervalo de clase.en el ejemplo:

M o=1.905+(41−21)

(41−21 )+(41−25)∗0.07=1.9439minutosMediana

Representa el centro de la distribución de frecuencias, se le puede nombrar como Cuartil 2 o Percentil 50, se determina como: M e=Li+

(∑ f i2 )−Fif i

∗i

Li=limite real inferior de laclase dondese ubicalamediana.

(∑ f i2 )=Permite ubicar laclase de lamediana dentrode las frecuencias acumuladas.

F i=Frecuenciaacumuladade la claseanterior dondese ubicólamediana

f i=Frecuenciade la clasedonde seubica lamediana

i=intervalo de clase

en el ejemplo

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M e=1.905+62.5−4041

∗0.07=1.9434minutos

Como era de esperarseCuartil 1

Hasta el valor de Q1 se acumula el 25% de la distribución de frecuencias, se le puede nombrar como Percentil 25, se determina como: Q1=Li+

(∑ f i4 )−F if i

∗i

Li=limite real inferior de laclase dondese ubicalamediana.

(∑ f i4 )=Permite ubicar laclase de lamediana dentrode las frecuencias acumuladas.

F i=Frecuenciaacumuladade la claseanterior dondese ubicólamediana

f i=Frecuenciade la clasedonde seubica lamediana

i=intervalo de clase en el ejemplo:

Q1=1.835+31.25−19

21∗0.07=1.8758minutos

Cuartil 3

Hasta el valor de Q3 o Percentil 75 se acumula el 75% de la distribución de frecuencias, se le puede nombrar como Percentil 75, se determina como: Q3=Li+

( 3∗∑ f i4 )−F if i

∗i

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Li=limite real inferior de laclase dondese ubicalamediana.

( 3∗∑ f i4 )=Permiteubicar laclasedel cuartil3dentro de las frecuenciasacumuladas.

F i=Frecuenciaacumuladade la claseanterior dondese ubicó el cuartil3

f i=Frecuenciade la clasedonde seubica lamediana

i=intervalo de clase en el ejemplo :

Q3=1.975+93.75−81

25∗0.07=2.0107minutos

Decil 1El valor de D1 nos indica que por debajo de este se acumula el 10% de la distribución de frecuencias, se le puede nombrar como Percentil 10, se determina como:D1=Li+

(∑ f i10 )−F if i

∗i

Li=limite real inferior de laclase dondese ubicalamediana.

(∑ f i10 )=Permite ubicar laclase del decil10dentrode las frecuenciasacumuladas.

F i=Frecuenciaacumuladade la claseanterior dondese ubicó el decil1

f i=Frecuenciade la clasedonde seubica lamediana

i=intervalo de clase en el ejemplo

D1=1.765+12.5−514

∗0.07=1.8025

Decil 9

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El valor de D9 nos indica que por debajo de este se acumula el 90% de la distribución de frecuencias, se le puede nombrar como Percentil 90, se determina como: D9=Li+

( 9∗∑ f i10 )−F if i

∗i

Li=limite real inferior de laclase dondese ubicalamediana.

( 9∗∑ f i10 )=Permite ubicar laclase deldecil 9dentrode las frecuenciasacumuladas.

F i=Frecuenciaacumuladade la claseanterior dondese ubicó el decil9

f i=Frecuenciade la clasedonde seubica lamediana

i=intervalo de clase en el ejemplo

D9=2.045+112.5−106

14∗0.07=2.0775

Promedio Armónico

La media armónica es poco utilizada, su mayor aplicación se da para promediar cantidades que varían de forma inversamente proporcional, como por ejemplo velocidades, su cálculo se realiza utilizando: Datos sin agrupar:M h=

1

(∑ 1X in )

Datos agrupados:

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M h=1

(∑ ( 1X i∗f i)∑ f i

) En nuestro ejemplo: Xi 1/Xi fi 1/Xi*fi

1.73 0.5780 5 2.89021.80 0.5556 14 7.77781.87 0.5348 21 11.22991.94 0.5155 41 21.13402.01 0.4975 25 12.43782.08 0.4808 14 6.73082.15 0.4651 3 1.39532.22 0.4505 1 0.45052.29 0.4367 1 0.4367

125 64.4830

M h=1

( 64.483125 )= 10.5159

=1.9385minutos

Promedio GeométricoEs muy útil para promediar valores que representan tasas de cambio y a diferencia del promedio aritmético se ve menos afectado por los valores extremos. Se puede calcular de la siguiente forma: Datos sin agrupar, se determina calculando la raíz de grado de n de producto de los n valores observados.

M g=n√∏i=1

n

X i ;el símbolo∏ indicael productode las cantidades

Datos agrupados, se utiliza el logaritmo base 10 de los puntos medios. M g=antilog (∑ (log X i )∗f i

∑ f i )En nuestro ejemplo

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Xi logXi fi logXi*fi1.73 0.2380 5 1.19021.80 0.2553 14 3.57381.87 0.2718 21 5.70871.94 0.2878 41 11.79992.01 0.3032 25 7.57992.08 0.3181 14 4.45292.15 0.3324 3 0.99732.22 0.3464 1 0.34642.29 0.3598 1 0.3598

125 36.0089

M g=antilog ( 36.0089125 )=antilog (0.2881 )=1.9412minutos

Es importante el hecho de que se debe cumplir que: M h<M g<X

1.9385<1.9412<1.9439