Distancia entre un punto y una recta

La distancia de un punto , P, a una recta , r, es la menor de la

distancia desde el punto a los infinitos puntos de la recta.

Esta distancia corresponde a la perpendicular trazada desde el

punto hasta la recta .

Ejemplos

1. Hallar la distancia desde el punto P(1, 3, −2) a

la recta  .

2. Hallar la distancia desde el punto P(1, 2, 3) a

la recta  .

Distancia entre rectas paralelas

La distancia de una recta , r, a otra paralela , s, es la distancia desde

un punto cualquiera de r a s.

Distancia entre rectas que se cruzan

La distancia entre dos sectas que se cruzan  se mide sobre

la perpendicular común .

Sean   y   las determinaciones lineales de las rectas r y s.

Los vectores   determinan paralelepípedo  cuya altura es

la distancia entre las dos rectas .

El volumen de un paralelepípedo es  .

Teniendo en cuenta el volumen es el valor absoluto del producto mixto

de los tres vectores y el área de la base es el producto vectorial de los

vectores directores de las rectas, la altura, es decir, la distancia entre los dos

puntos es igual a:

Ejemplo

Hallar la mínima distancia entre las rectas :

Distancia de un punto a un plano

La distancia de un punto, P, a un plano, π, es la menor de la distancia

desde el punto a los infinitos puntos del plano.

Esta distancia corresponde a la perpendicular trazada desde el

punto al plano .

Ejemplo

Hallar la distancia del punto P(3, 1, −2) a los

planos   y  .

Hallar la distancia del punto Q(5, 5, 3) al

plano  .

Distancia entre planos paralelos

Para calcular la distancia entre dos planos paralelos , se halla la

distancia de un punto cualquiera de uno de ellos al otro.

También se puede calcular de esta otra forma:

Ejemplo

Calcular la distancia entre los planos    

y  .

Los dos planos son paralelos.

Transformamos la ecuación del segundo plano para que los dos planos

tengan el mismo vector normal.

6 Distancia de un punto a una recta

6.1 Distancia de una recta al origen

Sea la recta   con ecuación  , la distancia del origen a esa recta es 

Ejemplo Determinemos la distancia de la recta   al origen

Usando la fórmula anterior esta es 

Ejemplo Encontremos la distancia del origen a la recta 

No podemos usar directamente la fórmula puesto que la ecuación no esta escrita

como 

La distancia buscada es

¿Como se determina la fórmula distancia de una recta al origen?

Sea la recta   con ecuación  , la distancia al origen se determina de la siguiente forma

a.- Encontremos la recta perpendicular a   que pasa por el origen, que llamaremos 

b.. Encontraremos la intersección de estas rectas,   , a este punto lo llamaremos 

c.- la distancia de   al origen es la distancia mínima de la recta al origen.

a.- La pendiente de   es   por lo tanto la pendiente de   es   y la ecuación es

de   es

b.- La solución del sistema

nos determina el punto   (intersección de las dos rectas).

Reemplazandoel valor de   de la segunda ecuación en la primera ecuación tenemos

Usando la segunda ecuación y este valor de   tenemos que

asi

c.- La distancia de   al origen es

Note que la recta   tienen ecuación   y la distancia del origen a esa

recta es 

6.2 Distancia de un punto a una recta

La distancia del punto   a la recta   con ecuación   se determina por la siguiente fórmula que explicaremos más abajo.

Ejemplo: Calculemos la distancia entre la recta   y el punto 

Para ocupar la fórmula necesitamos escribir la ecuación de la recta como se solicita, esto es

Asi, la distancia entre la recta y el punto es:

¿Por qué esa fórmula?

La distancia del punto   a la recta   con ecuación   se determina de la siguiente forma

1.- Encontremos la distancia desde la recta   al origen, para eso

a.- Encontremos la recta perpendicular a   que pasa por el origen, que llamaremos 

b.. Encontraremos la intersección de estas rectas,   , a este punto lo llamaremos 

c.-   es la distancia mínima de la recta al origen.

2.-Encontreremos una recta paralela a la recta   que pase por el punto   la

llamaremos 

3.- Determinaremos la diferencia entre las distancia desde el origen a cada recta, esta será la distancia entre las rectas

1 a.- La pendiente de   es   por lo tanto la pendiente de   es   y la ecuación es

de   es

1 b.- La solución del sistema

nos determina el punto   (intersección de las dos rectas).

Reemplazandoel valor de   de la segunda ecuación en la primera ecuación tenemos

Usando la segunda ecuación y este valor de   tenemos que

asi

1 c.- La distancia de   al origen es

Note que la recta   tienen ecuación   y la distancia del origen a esa

recta es   esto nos será útil para encontrar la respuesta a la pregunta 3

2.-La recta   buscada es del tipo   donde   es lo que determinaremos

usando las coordenadas del punto 

Recta paralela a   y que pasa por     es

3.- La distancia de   al origen es

La distancia de   al origen es

Distancia entre rectas   y   es el valor positivo de la diferencia de estas distancias, que después de analizar por casos a se llega a

Ejemplo

Determinemos las ecuaciones de la recta       que pasa por los puntos: 

Un vector director de       es, por ejemplo, el vector que va desde el punto       hasta el punto   

Por lo tanto, la ecuación de la recta       en forma vectorial es:

En forma paramétrica es:

En forma continua es:

En forma implícita es:

Distancia de un punto a una rectaEn Geometría euclidiana, la distancia de un punto a una recta es la distancia más corta entre ese

punto y un punto de una línea o recta.

Sean A un punto y D una recta.

Se define la distancia entre A y D como la distancia mínima entre A y un punto M de D.

Para recta definida por su ecuación reducida   y siendo A un punto de la

forma 

Obsérvese que 

Demostración 

Es fácil comprobar que este mínimo se realiza en la proyección ortogonal de A sobre D, es

decir el punto A' de la recta (D) tal que (AA') sea perpendicular a ella. En efecto, si se toma otro

punto cualquiera B de (D), entonces en el triángulo rectángulo AA'B, la hipotenusa AB es más

larga que el cateto AA'. Geométricamente se construye el proyectado A' deslizando una

escuadra sobre una regla que sigue la recta D hasta encontrar el punto A; luego se mide la

longitud AA'.

Un objetivo más ambicioso es el de encontrar una manera de calcular esta distancia, es decir

sin pasar por una medición gráfica, forzosamente aproximativa. Para ello, es aconsejable

utilizar un sistema de coordenadas ortogonales -   en la figura. La recta y el punto

cuya distancia se quiere medir son definidos por su ecuación cartesiana y sus coordenadas

respectivamente:  ; y 

Si en la ecuación de la recta D variamos sólo el valor del parámetro "c" obtendremos una

familia de rectas paralelas. De manera que para determinar un vector perpendicular podemos

tomar c = 0. Así, los vectores sobre la recta tendrán la forma  ,

que puede simplificarse a 

Busquemos un vector normal a   (es decir, perpendicular a la recta), que deberá cumplir que

el producto escalar  , y resulta ser   (de ahí el interés de la ecuación

cartesiana) y al dividirlo por su norma se obtiene el vector normado  que

define una medida algebraica sobre la recta (M'M): 

La distancia MM' es el valor absoluto de la medida algebraica:

Como M' pertenece a D, sus coordenadas verifican a·x' + b·y' = -c luego lo anterior se simplifica

así: 

En conclusión: La distancia entre M y (D) es:

Esta fórmula es muy fácil de recordar: Se divide la expresión de la recta por la norma del vector

y se pone el valor absoluto porque una distancia es siempre positiva.

En el caso que la recta sea dada por el ángulo (θ) que hace con el eje de las abscisas y su

ordenada al origen (b), la fórmula se simplifica:

D: y = (tan θ) ·x + b se pone en forma cartesiana: (sin θ)·x - (cos θ)·y + b·cos θ = 0, luego,

sabiendo que el vector   es unitario:

Ejemplo: la primera diagonal del sistema de referencia corresponde a un ángulo   y b =

0. Como  , se obtiene: 

En el caso de una recta definida por su ecuación reducida y = a·x + b; la

ecuación cartesiana es a·x - y + b = 0 y la distancia a ella es:

Ejemplo: Tomando a = 1 y b = 0, se obtiene de nuevo el resultado del ejemplo anterior.

Se calcula de la misma manera la distancia de un punto y un plano en el

espacio tridimensional: Si la ecuación del plano

es  ; y el punto

es  , entonces:

Lo anterior se generaliza a los espacios de dimensión finita n, y la distancia

entre un punto y un hiperplano (subespacio de dimensión n-1), añadiendo

cuantas variables hagan falta.

Mejor respuesta 

Si tenemos una recta cuya ecuación es Ax + By + C = 0 y un punto P(x1,y1), entonces la distancia entre esa recta y el punto será

......|Ax1 + Bx2 + C|d = --------------------------..........._______.........√ A² + B²

En nuestro caso tenemos la recta 4x - 5y - 15 = 0 y el punto P(0,1), usando la ecuación anterior tendriamos

......|4(0) - 5(1) - 15|d = --------------------------........._________.......√ (4)² + (-5)²

........|-20|d = --------------.........___.......√ 41

d = 3.123

RESPUESTA: La distancia más corta entre el punto P(0,1) y la recta 4x - 5y - 15 = 0 es de 3.123