MATEMTICA IProf: Ing. Hctor Gonzlez C.TEMA N 2 RECTAS EN EL PLANO2.1 Distancia entre dos puntosSean P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) dos puntos en el plano.La distancia entre los puntos P1 y P2 denotada por d = esta dada por: (1)DemostracinEn la figura 2.1. hemos localizado los puntos P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) asi como tambin el segmento de recta fig 2.1.Al trazar por el punto P1 una paralela al eje x y por P2 una paralela al eje y, stas se interceptan en el punto R, determinado el tringulo rectngulo P1RP2 y en el cual podemos aplicar la relacin pitagrica:Pero: ; y Luego, Observaciones:i.En la frmula (1) se observa que la distancia entre dos puntos es siempre un valor no negativoii.Ntese adems que el orden en el cual se restan las coordenadas de los puntos P1 yP2 no afecta el valor de la distancia.iii.Si el segmento rectilneo determinado por los puntos P1 y P2 es paralelo al eje x(fig.2.2.) entonces puesto que y1 = y2Igualmente, si dicho segmento es paralelo al eje y (fig. 2.2. (b)), entonces puesto que x2 = x12.2 Coordenadas del punto Medio de un segmento fig. 2.2.Al Considerar el segmentocuyos extremos son los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) , mostrados en la (fig. 2.3.)Luego aplicando las siguientes frmulas que permiten calcular el punto medio de un segmento, son las siguientes:X1 X2Xm2Y1 Y2Ym2Ejemplo:Dado los siguientes puntos en el plano P1(2 , 3) y P2( -4 , 5 ), encontrar:a) Distancia entre los dos puntos b) Coordenadas del punto MedioSolucin parte aLuego aplicando la frmula anterior se tiene que:X2 4 Y2 5d ( X2 X1)2 (Y2 Y1)2 d 6.325Parte b)Xm Xm 12Y1 Y2Ym2 Ym 4Luego las coordenadas del punto medio son: M(-1 , 4)2.3 Pendiente e Inclinacin de una RectaElnguloqueformaunarectaLconelejexmedidoenelsentido positivo del eje a la derecha L, se llama: ANGULO DE INCLINACIN de la recta L (fig. 2.4.).Si L es una recta no vertical, la PENDIENTE de la recta L, denotada por m, se define como el valor de la tangente de su ngulo de inclinacin. Es decir,mtan (1)El nmero m se conoce como PENDIENTE de la recta LObservaciones:Si la recta L es vertical, su ngulo de inclinacin es 90 y por lo tanto su pendiente m = tan (90) no est definida.FIG 2.4Si P1(x1, y1) y P2 (x2, y2) son dos puntos distintos sobre una recta no vertical L (fig.2.5(b)),entoncesdeacuerdoaladefinicindependientesetiene:(2)Las expresiones (1) y (2) son equivalentes y en lo sucesivo haremos uso indistinto deellas. Ntese que el coeficiente angular m es igual al incremento de ordenadas dividido por el incremento de abscisas.El nombre de pendiente de una recta esta justificado. Cuando se dice que un camino tiene la pendiente 5%, significa que por cada 100 unidades horizontales asciende 5 unidades, es decir, el cociente de las ordenadas por las abscisas correspondientes es5/100.La pendiente de una recta puede ser positiva, negativa o cero, segn el ngulo de inclinacin de la recta, por lo tanto se tiene que:Si = 0o entonces m= 0 (fig. 2.5. (a))Si 0o < < 90o entonces m > 0 (fig. 2.5. (b))Si 90 < < 180o entonces m < 0 (fig. 2.5. (c))Fig. 2.5.2.4 Ecuaciones de la Lnea Recta2.4.1Ecuacin de la recta que pasa por el origenConsidere la recta L que pasa por el origen 0 y forma un ngulo de inclinacincon el eje x, como se muestra en la (fig. 2.6.).Fig 2.6Tmese sobre la recta los puntos P1(x1, y1),P2 (x2, y2) y P3 (x3, y3). Al proyectar los puntos P1, P2 y P3sobre el eje x, se obtienen los puntos P1, P2, P3.Como los tringulos OP1P1, OP2P2 y OP3P3 son semejantes; se tiene que:Por lo tanto la ecuacin de dicha recta que pasa por el origen queda de la siguiente maneraY = mXPor lo tanto, es la ecuacin de la recta que pasa por el origen y tiene pendiente conocida m.2.4.2Ecuacin de la recta conocida su pendiente y su intercepto con el eje yConsidere una recta l de la que se conocen m (m = tan ) y b (ver fig. 2.7.)Fig 2.7Cuando se tiene una recta que no pasa por el origen y tiene corte con el eje Y, como se aprecia en la figura, este punto de corte se denomina ( b ), que es el intercepto con el eje Y, por lo tanto la ecuacin queda:y = mx + becuacin de la recta en trminos de su pendiente m y su intercepto b con el eje y.2.4.3 Ecuacin de la recta que pasa por un punto y de pendiente conocidaConsidere la recta l que pasa por un punto dado P1(x1, y1) y cuya pendiente m tambin es conocida.Fig 2.8 Fig 2.8Al llamar b al intercepto de la recta l con el eje y, entonces la ecuacin de l, viene dada por:y = mx + b(1)Como P1(x1, y1) l, entonces satisface (1) y en consecuencia se tiene:y1 = mx1 + b(2)Al restar de la ecuacin (2) la ecuacin (1) se elimina el parmetro b que se desconoce y se obtiene:y y1 = m(x x1) (3)La ecuacin (3) se denomina la ecuacin de la recta2.4.3Ecuacin de la recta que pasa por dos puntos P1(X1 , Y1) P2(X2, Y2)Sea l la recta que pasa por los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) y llmese m1 su pendiente. (Fig 2.9)Fig 2.9Como l pasa por el punto P1(x1, y1) y tiene pendiente m1, se tiene que la ecuacin anterior esy y1 = m1 (x x1)(1)representa la ecuacin de dicha recta.Ahora, como el punto P2(x2, y2) l, entonces satisface su ecuacin y su pendiente esY2Y1 mX2X (2)Sustituyendo (2) en (1) se obtiene (3) La ecuacin (3) se conoce como la forma: DOS-PUNTOS de la ecuacin de la recta.2.4.4Ecuacin General de la RectaLa ecuacin Ax + By +C = 0 donde A, B, C son nmeros reales y A, B no son simultneamente nulos, se conoce como la ECUACIN GENERAL de primer grado en las variables x e y.La ecuacin explcita de la recta cuando se conocen dos puntos excluye las rectas paralelas al eje y, cuyas ecuaciones son de la forma x = constante, pero todas las rectas del plano, sin excepcin, quedan incluidas en la ecuacin Ax + By + C = 0 que se conoce como: la ecuacin general de la linea recta.2.5 ngulos entre dos rectasSean l1 y l2 dos rectas no verticales, cuyos ngulos de inclinacin son1 y2 respectivamente. Al cortarse las rectas l1 y l2 forman cuatro ngulos iguales de dos en dos (fig. 2.10.), esto es:1 = 2 =1 2 y1 =2 = 1800 - 1.Fig 2.10Se define el ANGULO entrel1 y l2 como el ngulo positivo obtenido al rotar la recta l2 hacia l1 . En este caso, el ngulo entre l1 y l2 viene dado por:1 = 1 - 2 (1)El propsito ahora es establecer una relacin entre las pendientes de dos rectas y el ngulo entre ellas.De la igualdad (1) se tiene:tan1 = tan ( 1 - 2) y por ltimo en trminos de las pendientes se tiene:tan1Esta ecuacin permite obtener el ngulo entre 2 rectas, conocidas las pendientes de cada una de las rectas.2.6 Rectas Paralelas y PerpendicularesMATEMTICA ISean l1 y l2 dos rectas no verticales con pendientes m1 y m2 respectivamente. Entonces:i) l1 es paralela a l2 (l1 || l2) m1 = m2ii) l1 es perpendicular a l2 (l1 l2) m1 . m2 = -1Fig 2.11 Rectas Paralelas y Perpendiculares2.7 Interseccin entre dos RectasLa interseccin entre dos rectas, simplemente son las coordenadas x e y del punto de interseccin que resulta resolviendo dichas ecuaciones mediante un sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas.Dicho sistema puede resolverse por cualquiera de los mtodos vistos en los cursos de lgebra.2.8 Distancia entre dos rectas ParalelasConsidere nuevamente dos rectas l y r paralelas y de ecuaciones:l: y = mx + b1 l: mx y + b1 = 0r: y = mx + b2 r: mx y + b2 = 0Supngase adems que 0 < b1 < b2.Sean B1 y B2 los puntos donde las rectas l y r cortan respectivamente el eje y (fig. 2.12.).Prof: Ing. Hctor Gonzlez C.10Prof: Ing. Hctor Gonzlez C.Fig 2.12 Distancia entre Rectas ParalelasDe acuerdo a la frmula de la distancia de un punto a una recta, se tiene que:Igualmente, .Pero que representa la distancia entre las rectas paralelas es tal que:es la distancia entre las rectas paralelas l y rEJERCICIOS RESUELTOSEJEMPLO 1Hallar la distancia entre los puntos P1 (2, -8) y P2 (3, 5) Solucin:x2 x1 = 3 2 = 1 ; y2 y1 = 5 (-3) = 13Luego, EJEMPLO 2Sean P1 (-1, 1) y P2 (3, 0) dos puntos en el plano. Determine:Coordenadas del punto medio M del segmento Solucin:Si el punto medio M tiene coordenadas. M (x m, y m) entonces:Por lo tanto las coordenadas del punto medio es M(1, )EJEMPLO 3Graficar la siguiente ecuacin: y = 2x 5Para graficar cualquier funcin lineal, se debe tomar como mnimo dos o ms puntosDefiniendo f(x) = 2x 5 , tomando algunos puntos, se obtiene:f (1) 3f ( 3) 11Se obtiene la siguiente grficaNtese que la ecuacin es de la forma Y = mx + b , donde se deduce que b = -5 y pendiente m = 2 (Positiva)20101050510102030EJERCICIOS PROPUESTOS1) Encontrar la longitud y la pendiente de los segmentos de recta que une cada parde puntos:a. (3, -2) y (9, 6) b. (4, -3) y (-1, 9) c. (8, -4) y (-7, 4) d. (5, -8) y (-7, 8)2) Demostrar que los puntos A(6, 1), B(1, 7) y C(-4, 1) son los vrtices de un tringulo issceles3) Dado el cuadriltero cuyos vrtices son P1(-7, 7), P2(2, 0), P3(10, 3) y P4(1, 10). Encontrar la longitud de sus cuatro lados y demostrar que es un paralelogramo.4) Demostrar que los puntos P1(0, 5), P2(6, -3) y P3(3, 6), son vrtices de un tringulo rectngulo5) Demostrar que el tringulo cuyos vrtices son los puntos:a. 0(0, 0), A(9, 2) y B(1, 4) es rectngulo.b. A(8, -1), B(-6, 1) y C(2, -7) es rectngulo6) Encontrar la ecuacin de la recta que pasa por el punto (1, 3) y cuya pendiente es2.7) Encuentre la distancia del punto P(6, 1) a la recta 5x + 12y 31 = 0. Ilustre la situacin.8) Trazar las rectas 3x + 4y 10 = 0, y, 3x + 4y = 0. Adems dibjelas en el papel milimetrado9) Hallar la ecuacin de la recta que pasa por A(-5,-7) y B(3,-4)10) Hallar la ecuacin de la recta que pasa por A(7,-3), y es perpendicular a la recta2x 5y = 811) Hallar la ecuacin de la recta que pasa por A(-3/4,-1/2), y es paralela a la rectax+3y = 112) Encontrar el ngulo entre las siguientes rectasa) y-3x+1=03y+2x-2=0b) 3y+x-1=0 y+2x+1=0 c) x=-yx-y-1=0 d) y=-3x+1y= 2x+213) Hallar la ecuacin de la recta que pasa por el punto:a) O(4; 5) y es // a la recta 3.x + 4.y = 2b) P(-1; 1) y es // a la recta y + 2.x = 0 c) Q(2; 1) y es // a la recta 3.y + 3 = 0 d) R(4; 3) y esa la recta 5.x + y = 4 e) S(-2; -1) y esa la recta y = 2.xf) T(1; -3) y esa la recta x + y + 1 = 014 ) Representar grficamente las siguientes ecuaciones indicando la pendiente y el punto de intercepto con el eje y:a -y - 3.x + = 0d -2.x - y = 0g - y - 2.x/3 + 2 = 0b -3.x/5 +y - 1 = 0e --2.x - y + 6 = 0h - 2.y = -6.xc -2.x + 6.y - 12 = 0f -x - 2.y + 8 = 0