Diseño instruccional de matemáticas III
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INSTITUTO TECNOLÓGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE
MONTERREY
DISEÑO INSTRUCCIONAL DE MATEMÁTICAS 111
Raquel Juárez Pérez 960545
Prof. Titular: Dr. Manuel Flores Fahara
Prof. Tutor: Mtra. Diana M. González Jasso
Semestre Enero-Mayo 2003
DEDICATORIA
A mí amada familia, que con su cariño y apoyo que me brindaron hicieron
posible la culminación de este proyecto. A los jóvenes alumnos, que son el motivo
de la elaboración del presente trabajo de investigación.
2
RAQUEL
.., _)
RESUMEN
La presente propuesta pretende justificar desde una perspectiva real y teórica la
necesidad de desarrollar un diseño instruccional de actividades de aprendizaje para
el curso de matemáticas III de preparatoria. El análisis de necesidades se realizó por
medio de encuestas y entrevistas realizadas a alumnos y profesores
respectivamente, los resultados fueron muy interesantes. Para la justificación del
marco teórico se realizó una revisión bibliográfica sobre el constructivismo y
motivación, ya que estos dos aspectos de la educación son los que avalan la
realización de esta propuesta. También se enuncian los propósitos y objetivos que se
pretende lograr al implantar el diseño instruccional de actividades.
Para el diseño del proyecto se analizaron los contenidos temáticos de la
asignatura de matemáticas 111, cuyos temas principales son funciones lineales y
trigonometría, los cuales sirvieron de base para el diseño de las actividades de
aprendizaje. En cada actividad presenta la unidad temática, contenidos, objetivos de
aprendizaje, habilidades y actitudes que se persiguen, descripción y desarrollo de la
actividad, las rúbricas de evaluación y el tiempo de duración.
Mas adelante, se describen los resultados obtenidos de la prueba piloto los cuales
corresponden a las opiniones de los alumnos y al desarrollo de los problemas de
PBL así como el resultado de uno de los mejores trabajos de los alumnos.
Finalmente, se proporciona un breve instructivo para el usuario quien
generalmente será el profesor o algún coordinador académico.
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INDICE
RESUMEN ....................................................................................................................... 3 INTRODUCCIÓN ............................................................................................................. 6 1.- FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA DEL PROYECTO ..................................................... 8
1.1 Currículo de matemáticas ....................................................................................... 8 1.2 Motivación .............................................................................................................. 9 1. 3 Constructivismo en la enseñanza de las matemáticas ........................................ 12
1.3.1 Conocimientos previos ................................................................................... 12 1.3.2 Aprendizaje significativo ................................................................................ 13 1.3.4 Trabajo colaborativo ...................................................................................... 15 1.3.5 Crear Zonas de desarrollo próximo .......................................................... 17 1.3.6 Resolución de problemas ......................................................................... 19 1.3. 7 Lenguaje matemático ............................................................................... 23
1.4 Recursos tecnológicos en la enseñanza de las matemáticas ............................. 24 1.4.1. Materiales manipulativos .............................................................................. 24 1.4.2 Usos de las nuevas tecnologías ............................................................... 24
1.5 Evaluación matemática ........................................................................................ 26 1.5.1 La evaluación formativa ................................................................................. 27 1.5.2 Evaluación Sumativa ..................................................................................... 29 1.5.3 La autoevaluación .................................................................................... 31 1.5.4 La coevaluación, ....................................................................................... 31 1.5.5 Portafolio de evaluación ........................................................................... 32
11. PROPUESTA ............................................................................................................ 33 2.1 Análisis de la realidad ......................................................................................... 33 2.2 Justificación ......................................................................................................... 39 2.3 Características de los usuarios del proyecto ....................................................... 42
a) El alumno ......................................................................................................... 42 b) El profesor ....................................................................................................... 42 c) La institución .................................................................................................... 43
111. OBJETIVOS DEL PROYECTO ................................................................................. 44 3.1 Objetivo general del proyecto ............................................................................... 44 3. 2 Objetivos específicos del proyecto ..................................................................... 44
IV. DESARROLLO DEL DISEÑO INSTRUCCIONAL .................................................... 45 4.1 Metas y propósitos ............................................................................................... 45 4.2 Objetivos Generales de Aprendizaje ................................................................... 46 4.3 Objetivos conceptuales: ...................................................................................... 47 4.4 Objetivos procedimentales .................................................................................. 47 4.5 Objetivos actitudinales ......................................................................................... 48 4.6 Contenidos .......................................................................................................... 49
V. OBJETO INSTRUCCIONAL (Actividades de aprendizaje) ........................................ 51 5.1 Actividades enfocadas hacia aprendizajes significativos ..................................... 52
5.1.1 Solución de problemas aplicando la técnica de PBL ..................................... 52 5.1.2 Sesiones de modelación desarrolladas en forma colaborativa ...................... 58
5.2 Actividades de refuerzo de conocimientos .......................................................... 61
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5.2.1 Sesiones tipo taller desarrolladas en forma colaborativa ........ .. ..... ................ 61 5.2.2. Desarrollo de competencias en el pizarrón ........................... .. ..................... 62
5.3 Actividades de conocimiento extendido ............................................................... 64 5.3.1 Visita de expertos en áreas donde se vincula la tíigonometría y las funciones . ................................................................................................................................ 64 5.3.2 Proyección de películas ................................................................................. 65
5.4 Actividades de aprender-haciendo ..................................................................... 67 5.4.1 Actividades para realizar demostraciones o desarrollar aprendizajes ........... 67 significativos ........................................................................................................... 67
VI. RECOMENDACIONES GENERALES DEL USUARIO ............................................ 70 6.1 Recomendaciones al usuario por tipo de actividad ............................................. 71
Sobre la actividad 1, la aplicación de la técnica de PBL. ....................................... 71 Sesiones de modelación desarrolladas en forma colaborativa ............................... 73 Sesiones tipo taller desarrolladas en forma colaborativa ........................................ 7 4 Visita de expertos en áreas donde se vincula la trigonometría y las funciones ...... 75 Proyección de películas .......................................................................................... 76 Actividades para realizar demostraciones .............................................................. 77
VII. EVALUACIÓN DEL PROYECTO (PRUEBA PILOTO) ............................................ 78 7 .1 Instrumentos utilizados para evaluar el diseño instruccional.. ............................ 78 7 .2 Descripción de los resultados obtenidos ............................................................. 78 7.3 Comentarios de los alumnos ................................................................................ 79 7 .4 Modmcación del proyecto ..................................................................................... 85 7 .5 Recomendaciones generales al usuario .............................................................. 85
VIII. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS ....................................................................... 87 REFERENCIAS ELECTRÓNICA ............................................................................... 88
IX. ANEXOS ........................................................................................................ ........ ... 90 Anexo 1 ...................................................................................................................... 90 Anexo 2 ...................................................................................................................... 92 Anexo 3 ....................................................................................................... ............... 94 Anexo 4 ..................................................................................................................... 96 Anexo 5 ........................ .............................................................................................. 97 Anexo 6 ...................................................................................................................... 98 Anexo 7 ...................................................................................................................... 99 Anexo 8 ........... .............. ..... ......... ............... ........ ........... .... ................. .............. ... .... 100
INTRODUCCIÓN
El proyecto tiene como finalidad implementar un diseño instruccional de
actividades de aprendizaje enfocadas al curso de trigonometría de nivel medio
superior.
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Esta propuesta está fundamentada de una base real y teórica. Los fundamentos
reales se sustentan de las opiniones de alumnos y profesores a cerca de como se
ha venido impartiendo la clase de matemátic!3s III en los últimos años. Esta
información se obtuvo por medio de encuestas y entrevistas, los resultados fueron
muy alentadores para la concretización de este proyecto.
Para el marco teórico de la propuesta se exponen temas de motivación,
conocimientos previos, aprendizaje significativo, trabajo colaborativo, zonas de
desarrollo próximo, constructivismo, aprendizaje basado en problemas, uso de las
tecnologías, así como la comprensión del lenguaje matemático, sin olvidar el
enfoque y propósitos de los nuevos planes y programas de matemáticas. Los
contenidos temáticos corresponden al programa curricular oficial.
Por otro lado, también se definieron todos aquellos usuarios tales como
Institución, tipo de estudiantes y profesores. Se incluyen los objetivos generales y .
específicos del proyecto, así como todos los objetivos que tienen que ver con el
aprendizaje integral de alumno, tales como objetivos conceptuales, actitudinales y
procedimentales. Mas adelante se describen las actividades de aprendizaje que se
diseñaron para este curso, se enuncian los objetivos de aprendizaje, el desarrollo de
la actividad así como el tiempo de duración y rúbricas de evaluación. Se muestra el
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resultado de una prueba pilote y se ofrece una guía para el profesor o departamento
de matemáticas.
Con el desarrollo e implementación de las actividades se espera que el alumno se
sienta motivado hacia el aprendizaje de las matemáticas y que su desempeño sea
mejor, y el profesor que imparte el curso de matemáticas III encuentre nuevas
maneras de cumplir los objetivos de aprendizaje y así poco a poco se logre que el
aprendizaje de las matemáticas sea tan fácii y divertido como el de otras materias.
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1.- FUNDAMENTACIÓN TEORICA DEL PROYECTO
1. 1 Currículo de matemáticas
Los nuevos programas y planes de estudio contemplan el desarrollo de habilidades,
conocimientos, capacidades con miras a que el alumno sea competitivo y pueda
desenvolverse en su medio social.
De acuerdo a Goñi (2000) " El bachillerato ha de proporcionar una formación
académica que permita al individuo entrar en el mundo laboral habiendo ampliado su
formación general, o cursar otros estudios profesionales, ya sea de formación
profesional de grado superior o bien estudios universitarios". Los estudios de
preparatoria tienen como finalidad desarrollar las habilidades, adquirir conocimientos,
que guíen al alumno a la madurez y pueda desenvolverse en su medio social, además
tiene como objetivo preparar al alumno para que se incorpore al trabajo productivo y
adquiera una cultura general, así como la capacidad para desarrollar ese trabajo. De la
misma forma pretende que el alumno este preparado para continuar estudios
profesionales.
Para Goñi (2000) Las matemáticas del bachillerato toman en cuenta las
necesidades y señala que la enseñanza de las matemáticas proporciona las
herramientas necesarias para que el alumno llegue a la modelización con un enfoque
basado en la resolución de problemas,
1.2 Motivación
La motivación en la enseñanza de las matemáticas es de suma importancia,
quizá más que en otras áreas debido a la aversión histórica que existe hacia ellas.
"La motivación puede considerarse como requisito, una condición previa del
aprendizaje. Sin motivación no hay aprendizaje" (Pozo, 1996 p. 183)
o
Anita E. Woolfolk (1996, p. 367) comentan que un alumno autorregulado es
aquel que está motivado a aprender, es decir, tienen la habilidad y la voluntad de
aprender. Existen tres factores que influyen, el conocimiento, motivación y disciplina.
"Los estudiantes autorregulados están motivados para aprender. Encuentran
interesantes muchas tareas de la escuela por que valoran el aprendizaje, no sólo el
buen desempeño desde el punto de vista de otras personas." Por esta razón, se cree
que si el alumno que cursa matemáticas III desarrolla actividades donde la materia
puede aplicarse a situaciones reales, es decir, que el alumno observe y comprenda
que lo que está aprendiendo tiene una utilidad real, se lograría que el alumno esté
más motivado hacia el aprendizaje de las matemáticas y que su aversión disminuya.
" El que los aprendices perciban que un resultado del aprendizaje es significativo o
tiene interés en sí mismo constituye otro móvil para aprender, que se conoce como
motivación intrínseca, cuando la razón para esforzarse está en lo que se aprende"
(Pozo, 1996 p. 176) Si se logra que los estudiantes de preparatoria comprendan que
las matemáticas son útiles para su vida se logrará despertar una motivación
intrínseca en ellos y seguramente su aprendizaje será más significativo. "La
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matemática pura (simbólica) y aplicada, o de matemática como filosofía y de
matemática como instrumento de cálculon ( Parra y Saiz, 1994 p. 25) Es curioso, pero a
veces el profesor de matemáticas olvida que las matemáticas se desarrollaron para
simplificar ciertas actividades de la vida.
Una clase de matemáticas llevada de manera plana aunque sea bien explicada
puede provocar una disminución de motivación en los estudiantes si la materia requiere
cada vez mayor esfuerzo. "A medida que el aprendizaje requiere más esfuerzo, se
necesita más motivación para compensar ese desgaste. n (Pozo, 1996 p. 177) Es por
esto que la enseñanza de las matemáticas no solo debe limitarse a las exposiciones de!
profesor frente a grupo si no a desarrollar diferentes actividades de aprendizaje que
estimulen la atención del alumno.
Por otra parte, algunas de las actividades a realizarse se llevarán a cabo de forma
colaborativa, de esta manera se pretende desarrollar un aprendizaje cooperativo.
"Varios estudios demuestran que cuando la tarea implica un
aprendizaje complejo y habilidades de solución de problemas, la cooperación lleva a un
mayor logro que la competencia, en especial en el caso de estudiantes de menor
capacidad, además el aprendizaje cooperativo parece ser el resultado de una mayor
capacidad para ver el mundo desde el punto de vista de otra persona, mejores
relaciones entre los diferentes grupos étnicos en las escuelas y aulas, una mayor
autoestima y una mayor aceptación de los estudiantes minusválidos de bajo
desempeño" (Woolfolk, 1996 p.376)
Finalmente, se debe considerar la importancia de la etapa de desarrollo de los
estudiantes de bachillerato, "en la adolescencia se presentan la pubertad y luchas
emocionales para manejar todos los cambios relacionados. En la actualidad los
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adolescentes enfrentan muchos riesgos, incluyendo embarazo, trastornos de la
alimentación, abuso de drogas, SIDA y suicidio." (Woolfolk, 1996 p. 98) por lo que
disminuir los fracasos académicos es muy importante para no alterar más su estado
emocional y de alguna manera contribuir a que los factores de riesgo que amenazan a
los adolescentes disminuyan. "En todas las etapas del desarrollo, los profesores deben
enfocarse a las necesidades de los alumnos con objeto de que la ecuación sea
apropiada para sus niveles físico, cognoscitivo, personal y social del desarrollo"
(Woolfolk, 1996 o. 103)
Para explicar la problemática de la resistencia que presentan los alumnos al
aprendizaje de las matemáticas; la teoría constructivista considera que la disposición
para el aprendizaje es un elemento primordial en la realización de las
tareas escolares, ya que el ser humano requiere de estímulos para llevar a cabo sus
actividades, así como para un automóvil requiere del combustible para desplazarse, de
igual modo el alumno necesita una fuerza que lo impulse, esa fuerza se llama
motivación. La palabra motivación se deriva del verbo movere que significa " poner en
movimiento algo, en el ámbito de la educación, la motivación sé refiere. a despertar y
activar el interés por el aprendizaje y las tareas escolares. "La motivación tiene como
finalidad despertar el interés en el alumno y dirigir su atención" (Díaz y Hernández G.,
1998,).
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1. 3 Constructivismo en la enseñanza de las matemáticas
1.3.1 Conocimientos previos
Otro elemento importante, que maneja el constructivismo y es de gran apoyo para
modificar la actitud negativa hacia las matemáticas; son los conocimientos previos que
poseen los alumnos. Es preciso que el profesor investigue el estado inicial, respecto a
los conocimientos previos que tiene el estudiante, producto de las experiencias, de las
lecturas, de programas de TV, películas, de su entorno social, platicas y de los
conocimientos adquiridos en la misma escuela; todos éstos conocimientos son
almacenados en la mente del alumno y son llamados esquemas. desde este punto de
vista el aprendizaje no puede partir de cero, surge de relacionar las nuevas
informaciones con las experiencias y conocimientos que ya posee, lo que lleva a
desequilibrar los esquemas mentales de los jóvenes,
Provocando conflictos que lo conducen a la reflexión, por lo que el alumno se ve en la
necesidad de ordenar y modificar sus esquemas de conocimiento. Coll (1998, p. 50)
señala al respecto "Cuando un alumno se enfrenta a un nuevo contenido a aprender, lo
hace siempre armado con una serie de conceptos, concepciones, representaciones, y
conocimientos adquiridos en el transcurso de sus experiencias·. Es necesario que el
maestro explore los conocimientos previos del alumno, pues de esta manera se
pueden implementar actividades que vinculen los conocimientos que tiene con las
nuevas informaciones. "El principal papel del profesorado en el momento de
seleccionar actividades matemáticas para sus alumnos, es establecer un puente entre
las estructuras conceptuales básicas de las matemáticas y el mundo de conocimientos
de sus alumnos" ( Gorgorió et al. 2000, p.49).
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El organizar las actividades de una manera sistemática que conecte las ideas y los
conceptos del tema con los conocimientos previos que se tenga acerca de cada
contenido. El construir los conocimientos matemáticos debe ser a través de un
mecanismo prácticamente natural en el que las relaciones con el mundo.
La importancia de los conocimientos previos y las características que debe tener
para ser el adecuado se puede hablar de varios enfoques de acuerdo a los objetivos de
la materia y la forma de llevar a cabo la clase por cada maestro. Es indudable que para
lograr en buen grado comprensión de un tema se debe relacionar con los conocimientos
previos que tiene el estudiante, lo que facilita el desarrollo de la clase y sobre todo
. aumenta la probabilidad de lograr un verdadero conocimiento
significativo en el estudiante, además de elevar el nivel de desempeño de los maestros.
1.3.2 Aprendizaje significativo
Para el constructivismo es importante que los aprendizajes sean significativos, sin
que se tenga que forzar a los estudiantes a memorizar conceptos que no pueda
relacionar con sus conocimientos previos.
De acuerdo a Orton (1999) El aprendizaje es un proceso a través del cual se
asimila el nuevo conocimiento, relacionándolo con otros que ya existen en sus
esquemas mentales. Y cuando no existe los conocimientos básicos no hay forma de
vincularlos con el nuevo conocimiento y es cuando se recurre a la memorización y el
alumno aprende en forma arbitraria.
El aprendizaje significativo requiere que sea potencialmente significativo, es decir
que debe haber disposición para relacionar el nuevo conocimiento y que se pueda
relacionar con las ideas correspondientes que se hallan disponibles en la estructura
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cognitiva del alumno, que el material de aprendizaje pueda relacionarse de manera no
arbitraria y sustancial con alguna estructura cognoscitiva específica del alumno,
"Durante el aprendizaje significativo el alumno relaciona de manera no arbitraria y
sustancial la nueva información con los conocimientos y experiencias previas y
familiares que ya posee en su estructura de conocimientos o cognitiva" Díaz Barriga y
Hemández ( 1999, p. 22).
Existen tres tipos de aprendizaje significativo: de representaciones, conceptos y de
proposiciones.
Aprendizaje de representaciones. Es el aprendizaje más elemental del cual
dependen los demás tipos de aprendizaje. Consiste en dar significado a las palabras o
símbolos en las cuales las palabras representan una imagen especifica. Este tipo de
aprendizaje se presenta generalmente en los niños cuando le dan un significado a la
palabra número que representa la imagen del numero según lo haya asimilado, por
ejemplo, el aprendizaje del número 4. El niño inmediatamente representa cuatro
manzanas o árboles según lo haya aprendido y que para el niño significa, la misma
cosa, de tal forma que relaciona de manera relativamente sustantiva y no arbitraria.
Aprendizaje de Conceptos. Los conceptos se definen como objetos, eventos,
situaciones o propiedades de que posee atributos de criterios comunes y que se
designan mediante algún símbolo o signos. Delgado (1996) refiere que cuando se
relacionan los conceptos, los atributos de criterio (características) del concepto se
adquieren a través de la experiencia directa, en sucesivas etapas de formulación; del
ejemplo anterior pueden decir que el niño adquiere el significado genérico del número
cuatro, y el símbolo sirve también como significante en este caso se establece una
equivalencia entre el símbolo y sus atributos de criterios comunes. De allí que los niños
aprendan el concepto. El aprendizaje de conceptos por asimilación se produce a
medida que el niño amplía su vocabulario, pues los atributos de criterio de los
conceptos se pueden definir usando las combinaciones disponibles en la estructura
cognitiva.
Aprendizaje de proposiciones. Según Delgado (1996) el aprendizaje de
proposiciones implica la relación existente entre varias palabras que se combinan, de
tal forma que la idea resultante, produce un nuevo significado que es asimilado e
incorporado a la estructura cognoscitiva del estudiante. Es decir, que una proposición
potencialmente significativa, de los conceptos involucrados, interactúa con las ideas
relevantes ya establecidas en la estructura cognoscitiva y, de esa interacción, surgen
los significados de la nueva proposición.
1.3.4 Trabajo colaborativo
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De acuerdo con los principios del constructivismo el trabajo colaborativo, es otro
recurso favorable para lograr una aceptación positiva hacia el curso de matemáticas 111,
pues juega un papel importante en la interacción de los alumnos. El construir
actividades académicas cooperativas, resulta interesante y divertido para los alumnos,
además que permite desarrollar habilidades de carácter cognitivos, valorativo y socio
afectivo, los estudiantes al interactuar con sus compañeros, comparten sus
conocimientos, discuten, analizan, colaboran, y se ayudan en las tareas escolares.
Varios estudios nos muestran que cuando la tarea implica un aprendizaje comp~jo y
habilidades de solución de problemas, la cooperación lleva a un mayor logro que la
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competencia, en especial en el caso de los estudiantes de menor capacidad. (Woolfolk
1996).
También el trabajo en grupos desarrolla habilidades como el ingenio, imaginación y
creatividad para solucionar problemas. Ya que por medio del trabajo cooperativo se
promueve la interdependencia y la interrelación entre los alumnos.
, El maestro ha de orientar el trabajo, y seleccionar ejemplos interesantes cercanos
a la realidad del estudiante y organizar a los estudiantes para formar pequeños grupos
de trabajo que pueden variar los participantes según el grupo.
El trabajo en equipo requiere que el profesor funja como un maestro diseñador,
planeador, coordinador y facilitador, ya que ha de diseñar y planear las actividades
de aprendizaje que se desarrollarán de manera colaborativa, ha de explicar con claridad
los objetivos y propósitos del trabajo en equipo, así como organizar los equipos; en las
actividades a realizar, brindar apoyo para lograr la eficiencia del trabajo grupal y
evaluar el nivel de logros de los alumnos.
Para que un trabajo grupal sea realmente cooperativo reúne las siguientes
características:
• Interdependencia positiva.
Que a cada miembro del equipo se le asigne una tarea o actividad para lograr el
objetivo de la actividad.
• Introducción cara a cara.
Que exista un intercambio de ideas entre los compañeros de equipo, el cual debe
desarrollarse de manera respetuosa y perceptiva.
• Responsabilidad Individual.
Que a cada integrante se haga responsable de la tarea asignada.
• Utilización de habilidades interpersonales.
Que los integrantes de equipo intercambien sus respectivas habilidades.
• Procesamiento grupaL
Que todos los integrantes del equipo participen en el desarrollo de la actividad.
Habilidades, actitudes y valores.
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Con el desarrollo del aprendizaje colaborativo los alumnos aprenden a ser
responsables, respetuosos, líderes, tolerantes y a negociar con otras personas, pero
sobre todo, se les prepara para la vida (Woolfolk, 1996).
1.3.5 Crear Zonas de desarrollo próximo
La teoría constructivista refiere que la interacción alumno-alumno, maestro
alumno en el aula es básica, para crear Zonas de Desarrollo Próximo (ZDP), pues
considera que el alumno construye su aprendizaje a través de la ayuda que le brinde
el profesor y de acuerdo al progreso que tenga el alumno retirar el apoyo poco a poco,
hasta que alcance la autonomía. "La ZDP se define como la distancia entre el nivel de
resolución de una tarea que una persona puede alcanzar actuando independientemente
y el nivel que puede alcanzar con la ayuda de un compañero más competente o experto
en la tarea". (Vigotsky en Coll 2000). Crear zonas de desarrollo próximo es el lugar
donde, gracias a los soportes y la ayuda de los otros, puede desencadenarse el
proceso de construcción, modificación, enriquecimiento y
Diversificación de los esquemas de conocimiento que define el aprendizaje escolar.
Ofrecer una ayuda ajustada al aprendizaje escolar supone crear ZDP y ofrecer
asistencia y apoyo, para que los alumnos puedan ir modificando sus esquemas de
conocimiento y sus significados.
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La creación de ZDP en la interacción profesor-alumnos,_el profesor proporciona
ayuda ajustada a los alumnos, por medio de actividades que el estudiante ejecuta en el
aula, donde el profesor debe dar la oportunidad de que participen todos los alumnos en
las diferentes actividades y crear un clima de confianza y de seguridad a la vez que el
alumno tenga curiosidad e interés por los conocimientos, hacer las modificaciones y
ajustes a la programación en las actividades de acuerdo a los resultados obtenido
Establecer relaciones constantes y explícitas entre los nuevos contenidos que son
objeto de aprendizaje y los conocimientos previos de los alumnos. Utilizar el lenguaje de
la manera más clara y explícita posible.
La interacción entre los alumnos-alumnos lleva a crear ZDP, en el caso de la
Tutoría entre iguales, reside principalmente en que se da el rol de tutor al alumno que
posee más información y mayores conocimientos, dando el rol de aprendiz a los
alumnos que son menos competentes, al respecto Coll (2000) señala que "alumno más
experto instruye a otros que son considerados como menos competentes en el
contenidos" La ayuda que brinda el tutor a sus compañeros tiene beneficios, pues
explica con la mayor claridad posible a sus conocimientos, empleando el mismo
lenguaje con el que se comunican los adolescentes. Otra característica del porque
brindan ayuda ajustada es que a lo largo de la interacción los alumnos pueden
intercambiar los roles al interior del grupo.
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1.3.6 Resolución de problemas
Dentro de los nuevos enfoques de la enseñanza de las matemáticas de bachillerato
y en general de los diferentes niveles educativos, es la enseñanza basada en la
resolución de problemas.
El nuevo enfoque de la enseñanza de las matemáticas, esta basada en la técnica
didáctica PBL (Problem based leaming) o ABP (Aprendizaje basado en problemas). El
PBL es una técnica didáctica cuya estrategia de enseñanza-aprendizaje está
centrada en la actividad del alumno, el papel del docente es de facilitador del
aprendizaje. El principio básico consiste en enfrentar a un grupo de alumnos a un
escenario del cual puedan definir un problema. La idea es que el alumno aprenda a
identificar y a definir problemas tal como sucede en la vida real. La técnica de basa en
el desarrollo de 7 pasos (ITESM, 2002) los cuales son:
1.- Conocer la situación o escenario.
2.- Realizar hipótesis, ideas y/o teorías de lo que cree que sucede y se necesita (lluvia
de ideas)
3.- En listar lo que conocen.
4.- En listar lo que desconocen.
5.- Desarrollar un enunciado del problema que sé estudiará-resolverá.
6.- Realizar un plan de acción.
7.- Reunir y analizar información para llegar a un resultado.
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El escenario debe representar un reto como fuente de aprendizaje, en el que va
descubriendo, elaborando, reconstruyendo, reinventando y haciendo suyo el
conocimiento, y el aprendizaje sea significativo. El punto de partida es un problema o
situación problemática, que presente un desafío, para esto es necesario que se apoye
en el trabajo coolaborativo formando grupos pequeños de 4 a 5, para resolver el
problema, el cual se plantea con el propósito del logro de objetivos específicos. La
actividad gira en torno a la discusión sobre la solución del problema, pudiendo surgir
una o más hipótesis, sobre las causas probables, demandándola obtención de
información, para resolver, producir, probar o demostrar el problema o situación.
La base teórica se encuentra en el constructivismo, el cual afirma que el conflicto
cognitivo estimula el aprendizaje, además el aprendizaje colaborativo es propicio para
que surjan diferentes interpretaciones del mismo problema. Esta estrategia tiene
muchas cualidades, pero requiere de condiciones, factores y medios necesarios para
llevarlo a cabo de manera satisfactoria y propiciar el aprendizaje colaborativo. También
requiere que el alumno posea una actitud positiva hacia el aprendizaje y al mismo
tiempo es necesario que el alumno se encuentre comprometido para la participación,
responsabilizándose de su aprendizaje.
Las habilidades y actitudes que desarrollan los alumnos son entre otros, el
pensamiento critico, razonamiento y habilidad para identificar, analizar problemas,
haciendo a un lado la memorización de conocimientos, capacidad para detectar
necesidades de aprendizaje, trabajar de manera colaborativa con una actitud
cooperativa y dispuesta al intercambio. La aplicación de conocimientos permite mayor
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retención de información e integración del conocimiento, al relacionar los conocimientos
con la vida real. Estas habilidades que se desarrollan son perdurables.
El profesor funge como asesor y de monitor, para conocer el nivel de ansiedad
que genera esta actividad, porque los alumnos pueden considerar que no saben lo
suficiente, lo cual puede entorpecer el buen logro, (ITESM, 2002). Además debe tener
conocimientos profundos del tema y la materia; conocer la estrategia y el rol que juega
cada uno de los participantes. En cuanto a la evaluación, también debe diseñarla de
acuerdo a la estrategia. Asimismo asimilar que el alumno es responsable de su
proceso de aprendizaje y tener disposición para ayudar a los alumnos. Para quienes se
requiere que tomen conciencia del papel que juegan en la adquisición de sus
conocimientos y de sus compañeros, porque algunos alumnos con ventajas
intelectuales pueden ser más ágiles, pero por la actividad es necesario que avancen al
mismo ritmo en la adquisición de sus conocimientos.
El problema debe ser diseñado o seleccionado de acuerdo a los objetivos que se
pretendan lograr. Pero además los problemas que se diseñen y presenten a los
alumnos deben generar el interés de los estudiantes, para que sean capaces de tomar
decisiones, con base en los conocimientos, los juicios y la información lógica y
Fundamentada. Debe existir cooperación de todos los integrantes en un trabajo
integrado y no dividido en partes, el PBL inicia con la resistencia por desconfianza y
dificultades para comprender el problema generando ansiedad, pero a medida que
encuentran respuestas, aumenta la seguridad, por eso es necesario que exista
retroalimentación por parte del maestro así como entre compañeros.
000905
Es importante diseñar actividades donde se involucren los problemas. cuyo
propósito es desarrollar destrezas y habilidades. pero además es importante oue los . . . .
problemas se deriven de su realidad o bien que se apliquen a su vida cotidiana. "Un
problema no puede ser un ejercicio cerrado para aplicar mecánicamente. una técnica
acabada de aprender, sino debe ser auténticamente una problemática de la vida
cotidiana" (Goñi. et al. 2000, p. 88). Una recomendación que señala el National
Council of Teachers of mathematics, (NCTM) (1983). es que "Las matemáticas son
útiles cuando pueden aplicarse a una situación concreta que llamamos resolución de
problemas o la habilidad para aplicar las matemáticas a una variedad de situaciones" (
Gorgorió et al.2000. p. 143).
Algunos autores han propuesto recomendaciones para trabajar con los problemas
entre los cuales destacan Polya, hace referencia que pam resolver los problemas se
requiere que el alumno comprenda la situación problemática y el problema requiere de
entender y conocer el lenguaje matemático-simbólico para que después pueda
interpretar el problema y traducirlo hasta darte solución. Para solucionar los problemas
planteados, depende en gran parte de los conocimientos que dispone el alumno en la
memoria y de las relaciones que establezca entre ellos.
Pozo ( p. 66) "Comprender o traducir un problema consiste en convertir la información
que incluye ese problema a términos matemáticos que pueda manejar el alumno". Es
primordial que el alumno pueda establecer vínculos con los cocimientos anteriores con
el problema planteado de tal forma que organice las informaciones en sus esquemas
mentales.
Otro elemento relevante para la comprensión del problema es que el estudiante
elabore esquemas, gráfica, de tal forma que el problema sea claro, y para lograr
, ... __ )
clarificar el problema requiere que el alumno tenga conocimientos previos, conozca el
lenguaje matemático de esta manera pueda esbozar un esquema y apoyarse de
gráficas, diagramas o dibujos, que faciliten la comprensión de la problemática.
Además, es importante destacar que los problemas planteados que no tienen
relación con la vida real, no tienen significado para el alumno, por lo que es primordial
plantear problemas de la vida cotidiana y enfocados a los intereses de los alumnos
donde requiera manipulación de cantidades reales.
1.3.7 Lenguaje matemático
El lenguaje matemático, es otro aspecto relevante en la enseñanza de la
matemática, que se relaciona con la resistencia y rechazo a la materia, ya que es una
de las principales causas de las dificultades que tienen los alumnos en la comprensión
de los contenidos matemáticos. En el lenguaje matemático se emplean símbolos,
signos, literales, términos, expresiones y gráficas. "Para utilizar las matemáticas
implica el aprendizaje de signos, símbolos y términos matemáticos.
Esto se consigue mejor en situaciones de resolución de problemas en la que los
alumnos tienen la oportunidad de ieer, discutir y describir ideasn (Gorgorió et al. 2000, p.
119) El lenguaje matemático se adquiere gradualmente. Alcalá (2002) refiere que el
lenguaje matemático se adquiere paulatinamente y divide en cuatro niveles de
complejidad y abstracción. En la 1 ª fase la llama Introducción al simbolismo, en la ia
fase se llama las operaciones básicas y la formación básica del número natural, en
este aspecto se refiere a que el alumno poco a poco va pasando del lenguaje oral al
lenguaje notacional, el 3er nivel corresponde a las operaciones multiplicativas y
nuevos campos numéricos; y el cuarto nivel o simbolismo de tercer orden es
propiamente la entrada al lenguaje algebraico.
1.4 Recursos tecnológicos en la enseñanza de las matemáticas
1.4.1. Materiales manipulativos
Los materiales manipulativos y materiales de laboratorio son la base de los
contenidos y de las actividades de matemáticas y en especial de las funciones. Los
materiales pueden ser de diversos tipos: Los materiales modelos que sirven para
observar y manipular, con la finalidad de concretar conceptos matemáticos y
profundizar en las propiedades. Los instrumentos se utilizan directamente para
reconocer los aspectos fundamentales.
1.4.2 Usos de las nuevas tecnologías
24
Las nuevas tecnologías, las calculadoras numéricas y gráficas, los aparatos
fotográficos, la fotocopiadora, los videos, materiales de laboratorio, todos estos
recursos para la enseñanza de funciones son generadoras de conceptos, provocan la
reflexión constante, facilitan los procedimientos y promueven una actitud abierta, y
cambian la dinámica de la clase.
Las calculadoras científicas y gráficas. Son recursos tecnológicos valiosos en la
enseñanza, puesto que en los nuevos currículos se contempla el uso de éstos recursos
y además porque son herramientas didácticas que apoyan el proceso de enseñanza
aprendizaje.
Los maestros deben estar preparados en el manejo de las nuevas tecnologías,
para poder introducir el uso de las calculadoras científicas y gráficas, así como el uso
del Internet consideramos como un elemento principal, que el
25
maestro se actualice en este campo, ya que favorece la enseñanza-aprendizaje de las
matemáticas
Las calculadoras científicas y gráficas presentan diversas ventajas: Facilitan la
comprensión de contenidos matemáticos, el concepto de función, ya que por medio de
las gráficas ayudan en la comprensión de los contenidos conceptuales.
Permiten reconocer contenidos, es decir que a través de los botones, el alumno
identifica las operaciones de potencias, raíz cuadrada, factorial, media aritmética,
funciones trigonométricas, y se familiariza con el lenguaje matemático. Asimismo
estimula la actividad reflexiva en el alumno, pues permite observar patrones observar
regularidades y llegar a generalizaciones.
Por medio de la visualización permite observar el comportamiento de las gráfic.as
además es más fácil modificar los valores y corregir si es necesario. Lo que permiten
la comprensión de conceptos gracias a la visualización en la pantalla. De igual forma
conduce a establecer relaciones entre las gráficas, números y símbolos. Y también
involucran a diversos conceptos matemáticos.
Es un instrumento de gran utilidad para resolver y generar problemas, ya que gracias
a la calculadora, el alumno centra la atención en buscar estrategias y métodos para
resolverlos, así como en el análisis de resultados. Crean actitudes positivas hacia la
materia, muestran disposición e interés hacia los temas y también cambia la dinámica
de la clase, es decir que hay mayor participación por parte del alumno, permiten
analizar datos reales con rapidez y efectividad, estimuian la actividad cognitiva de tipo
reflexivo, sirven como motivación en juegos de aplicación.
26
Uso de videos, películas y transparencias. Los videos y las películas, son medios
que sirven para abordar los contenidos matemáticos algebraicos, por ejemplo películas
sobre el plano cartesiano; o bien películas como: Cielo de octubre, mente indomable,
con ganas de triunfar, mente brillante. Asimismo las diapositivas y transparencias, son
herramientas que por medio de las imágenes penniten reconocer tramas conceptuales
y tener esquemas, comparar gráficas o diagramas.
1.5 Evaluación matemática.
La evaluación es un factor importante en la enseñanza de las matemáticas y que
tiene que ver con la actitud negativa que muestran los alumnos hacia la materia, ya que
las fonnas tradicionales de evaluación, se basaban en la aplicación de exámenes
escritos donde únicamente interesan los conocimientos adquiridos y por tanto influyen
en la actitud de rechazo hacia la matemática, asimismo con los nuevos planes y
programas requieren de alternativas en la evaluación. "Las fonnas de evaluación
tradicionales, especialmente exámenes y pruebas externas, han sido en muchos casos
algunos de los factores que han perjudicado la refonna del currículo". (Niss en Gorgorió
1999)
La evaluación es un aspecto fundamental para el profesor, ya que le pennite
recoger infonnación, valorar los aprendizajes, promocionar a los alumnos de acuerdo al
progreso de cada aprendiz. Según Gorgorió (1999, p. 119 ). "La evaluación es una
oportunidad de aprendizaje además de ser una oportunidad para que los alumnos
demuestren lo que saben y lo que pueden hacer. Igualmente, la evaluación orienta la
instrucción posterior, y en consecuencia puede contribuir a intensificar aun más el
aprendizaje de los estudiantes"
El NCTM enuncia una lista de los cambios en la evaluación. El principio de
evaluación formativa, y el principio de calibración, en este aspecto se refiere a la
evaluación sumativa.
López e Hinojosa (2001) consideran que la evaluación adquiere nombres distintos
que son; evaluación inicial o predictiva, evaluación fonnativa o procesal y evaluación
sumativa o final dependiendo del momento en el que se realice la valoración del
progreso del alumno.
1.5.1 La evaluación formativa.
"...,. .:..,
Es un proceso que pennite valorar en forma continua y sistemática el progreso del
alumno. Tiene un propósito de diagnóstico en las fases iniciales del proceso y de
orientar a lo largo de todo el proceso de aprendizaje.
Sánchez (2002) refiere que la evaluación fonnativa tiene el propósito de conocer el
trayecto que recorre el alumno en su aprendizaje y detectar los avances, tropiezos, de
tal fonna que el profesor pueda apoyarlo para alcanzar las metas trazadas, por medio
de un seguimiento en forma personalizada sobre el desempeño que tiene el alumno en
las tareas escolares.
La evaluación formativa se apoya en los procedimientos de autoevaluación y la
coevaluación, y de instrumentos que ayudan a descubrir los progresos y detectar las
fallas de los alumnos por medio de: Preguntas, de observar la participación en la
actividad, de la aplicación de exámenes, el desarrollo que tiene en las actividades en el
aula y de solucionar problemas.
La evaluación formativa es continua y su aplicación en el proceso de enseñanza
aprendizaje presenta diversas ventajas para el alumno, profesor y a la institución.
Tiene la función de retroalimentar en forma continua por medio del cual se guía al
alumno en el proceso de aprendizaje, por medio de las diferentes actividades realizadas
en el aula, se informa al alumno acerca de las deficiencias y aciertos.
Tiene la función de orientar al alumno en sus logros, avances y tropiezos que tiene
durante su aprendizaje con un carácter de formación.
La evaluación formativa tiene la función de motivar, sirve de estimulo para los
alumnos, pues el hecho de conocer sus aciertos le resulta motivador y les ayuda a
elevar la autoestima, así como también disminuye el temor al fracaso.
Permite a los estudiantes reflexionar sobre su aprendizaje, promueve la responsabi!idad
y el control del aprendizaje.
Por lo general los criterios para evaluar los designa el profesor, tomando como
base los contenidos declarativos, procedímentales, y actitudinales que debe desarrollar
el alumno y el desempeño que tenga en las actividades escolares que se especifican de
acuerdo al nivel. Estos pueden ser expresados en términos de (Excelente, Muy Bueno,
Bueno, Regular, Deficiente): en ocasiones se utiliza la escala numérica de O a 5. Sin
embargo, lo común es contar con escalas de cuatro categorías o rangos (4, 3, 2, 1 ).
Las rubricas de evaluación permiten apreciar el esfuerzo, progresos y avances de los
estudiantes y se recomienda que también participen en la selección de los criterios de
a evaluar, de tal forma que se aprecie la evidencia de la reflexión.
1.5.2 Evaluación Sumativa.
El hecho de que la evaluación sumativa también adopte el nombre de final, no
significa que sólo debe realizarse al concluir un ciclo escolar o un curso, pues puede
realizarse al final de un tema. Por lo tanto, este tipo de evaluación no debe ser
entendida como sinónimo de acreditación, sino como la apreciación que permite al
docente saber si sus alumnos serán capaces de aprender otros contenidos.
Para reforzar los propósitos pedagógicos de la evaluación sumativa, Coll y
Onrubia (citados en Diaz Barriga y Hemández, 2002), explican que debe:
Vincularse a la evaluación del proceso enseñanza-aprendizaje. Utilizarse de manera
continua y sistemática para pequeñas unidades temáticas. Favorecer la participación
activa de los estudiantes para que adquieran criterios de autoevaluación y
autorregulación de su aprendizaje.
Sirven para elaborar un informe de los resultados obtenidos por el alumno, para ser
utilizado como referente durante los próximos ciclos. Asumen la función acreditativa
sólo al final de un ciclo completo (educación primaria, secundaria, etc.)
Para la valoración de los productos del aprendizaje, en la evaluación sumativa se
utiliza una gran variedad de instrumentos, los cuales pueden ser orales, escrito o de
ejecución. Los exámenes escritos son los más comunes y de ellos se tienen diferentes
tipos determinados por su grado de estructuración. Entre los no estructurados se
encuentran los que le permiten al alumno libertad en cuanto a la extensión de sus
respuestas y son los que se resuelven a libro abierto, los temáticos y los ensayos. Los
semiestructurados como los listados, los bosquejos, las comparaciones, los resúmenes..
entre otros, se caracterizan porque además de contar con las instrucciones para
resolverlos, le indican al alumno qué y cómo se debe hacer lo que se le solicita. Y entre
los estructurados que son los que permiten la asignación de una calificación libre de
incertidumbre, se encuentran los de; falso-verdadero, identificación, jerarquización,
relación, analogía, opción múltiple, etc. (López e Hinojosa, 2001). Todos estos
instrumentos de evaluación permiten la asignación de una calificación numérica que
determina la acreditación o la no acreditación del estudiante.
La objetividad es una de las principales ventajas que la mayoría de estas
herramientas de evaluación ofrecen. Pues al ser traducidas a cantidades numéricas,
permiten una apreciación cuantitativa de los logros alcanzados con respecto a los
estándares establecidos por los objetivos de aprendizaje. El establecimiento de un valor
numérico como el mínimo esperado por un estudiante, o bien como el máximo al que
puede aspirar, es en muchos casos un motor muy efectivo para favorecer la motivación
intrínseca. Aunque en realidad, la mayoría de los docentes encuentran que más que un
excelente incentivo, las calificaciones numéricas obstaculizan el logro del aprendizaje.
Además, si no se propicia el ambiente adecuado, ocurre con frecuencia que el medio a
través del cual se alcanza la calificación esperada suele ser la deshonestidad. Y en un
proceso en el que no sólo se espera obtener resultados cuantitativos, sino además
cualitativos, resulta por tanto que una evaluación de este tipo tiene otra gran
desventaja, la de no ofrecer la posibilidad de valorar con tanta precisión los logros de
este tipo. Es decir, a través de las tradicionales pruebas utitizadas en la evaluación del
progreso o de los resultados del aprendizaje de los alumnos, puede obtenerse una
valoración cuantitativa y muy objetiva de un proceso en el que la subjetividad no sólo
está presente, sino que además es una parte muy importante (Sánchez, 2002).
1.5.3 La autoevaluación
31
La autoevaluación se refiere cuando el alumno valora sus actuaciones y progresos,
este concepto tiene que ver con el control interno, con la autoestima y la confianza en
sí mismo por lo tanto alumnos con autoestima baja, producto de un ambiente familiar
poco estimulante, puede ser que infravaloren_sus trabajos escolares. En caso contrario,
también se corre el ri3sgo de una sobrevaloración del alumno, sobre todo los
estudiantes que tienen alta autoestima derivada de un ambiente familiar favorable y de
un ambiente social que los ayuda, valorarán en exceso todos las actividades que
realicen ..
La autoevaluación permite al alumno valorar su desarrollo y los aprendizajes
logrados, reconocer sus aciertos y errores, favorece el desarrollo de un pensamiento
crítico al cuestionarse sobre su aprendizaje.
1.5.4 La coevaluación,
La coevaluación es la evaluación mutua, que se lleva a cabo entre los integrantes de
un grupo, para valorar las actividades realizadas. Es la evaluación cooperativa por
excelencia, por medio de la coevaluación se motiva al alumno a la critica, al mismo
tiempo ayuda a escuchar y respetar diferentes opiniones. Asimismo permite establecer
relaciones importantes de trabajo y afecto entre los alumnos, estimula el espíritu de
competencia . Los estudiantes tendrán que valorar su propio trabajo y la de sus
compañeros, lo cual implica riegos, uno de ellos es la subjetividad de los alumnos sobre
la propia evaluación, es decir que en la inmadurez del estudiante.
1.5.5 Portafolio de evaluación
Una tendencia actual en la educación superior, dentro de todas las disciplinas, es la
evaluación basada en un portafolio. Básicamente consiste en ir reuniendo los progresos
del alumno en un portafolio. Estos registros son aquellos que resultan del sistema de
evaluación previamente planeado y organizado, algunos de estos datos son los
registros de las calificaciones de los alumnos obtenidas durante los periodos en que se
divide el curso, las cuales están integradas de todas aquellas actividades de
aprendizaje que el profesor ha diseñado previamente. Por ejemplo, todos los registros
de las evaluaciones de las actividades realizadas por el alumno durante un periodo
parcial tales como tareas, exámenes rápidos, exámenes parciales, trabajo en clase etc.
formarán parte del portafolio de evaluación, en este caso, los registros de estas
evaluaciones son la evidencia del desempeño del alumno durante un periodo parcial en
diferente rubros, por lo que la suma de todos estos registros reflejarán la evaluación
parcial del alumno. Un portafolio na es simplemente un conjunto de dibujos, un listado
de nombres de clientes o de títulos de cursos, un portafolio es ante todo una colección
de evidencias con las que se pretenden demostrar algunos logros anteriores como la
mejor garantía para obtener logros similares o mejores en el futuro.
11. PROPUESTA
2.1 Análisis de la realidad
Existen problemáticas generalizadas en las instituciones con respecto a la
enseñanza de la matemática, una de ellas es la resistencia y el rechazo de los alumnos
a estudiar matemáticas. Por lo cué;il se llevo a cabo la aplicación de una encuesta a 50
estudiantes 0,ler anexo 1) que cursaron la materia de matemáticas III y encuestas a
1 O profesores 0,ler Anexo 2) que han impartido la materia con la finalidad de obtener
razones sobre la aversión de los estudiantes hacia las matemáticas y el nivel de
aceptación de la enseñanza tradicional de los profesores.
Al cuestionar a los alumnos señalan que las principales causas del porque el
rechazo a estudiar matemáticas se debe a que no entienden el lenguaje matemático y
la simbología, por consecuencia tienen dificultad para comprender los contenidos, un
gran porcentaje de los alumnos encuestados consideran que es una materia difícil; y
aburrida, ya que las clases son rutinarias y teóricas. Así mismo refieren que no le dan
aplicación a su vida cotidiana, aunque paradójicamente, también la consideran como
una materia útil e importante para ingresar a niveles superiores. Esta información puede
visualizarse en el siguiente gráfico.
¿Por qué no es interesante estudiar matemáticas?
36%
im Por que son i aburridas 1
i 'm Por que son complicadas y causan frustración
1
• Por que no tienen ! 1 aplicación en la vida 1 real !
34
Por otro lado el 64% de los alumnos piensan que los métodos de enseñanza
que emplea el profesor son adecuados algunas veces y el 36% piensa que siempre
lo son.
¿Consideras que los métodos de enseñanza que emplea el maestro son adecuados?
0%
j@Algunas veces ¡
:•siempre J
,O Nunca 1
Si embar~o todos coinciden que hace falta crear actividades dinámicas. pues
consideran que la mayoría de las clases son pasivas.
Con respecto a los contenidos, los alumnos piensan que los temas son
abstractos y complejos, poco útiles para su vida pues la mayoría de los alumnos
tienen una actitud de rechazo hacia la matemática.
Lo que aprendes en matemáticas ¿Puedes aplicarlo en tu vida diaria?
10%
0Algunas veces
•Nunca
ti Siempre
35
Finalmente, los alumnos consideran que para que la clase de matemáticas 111 sean
interesante deben diseñarse ejercicios donde apliquen las matemáticas a la vida diaria,
realizar dinámicas divertidas y relativas al curso y elaborar muchos ejercicios durante la
clase.
Aderms de Lilél bt..ena explicación por parte del rraestm, ¿ qué crees qt..e deba hacer el profesor para qt..e la clase de
rraterráticas sea rrás interesante?
20%
o Ejercicios que apliquen las matemáticas a la vida dia ria
o Re solvermucho s problemas en clase
lm
En cuanto a los profesores, se entrevistaron a 1 O de ellos en una junta
departamental. El 80% de ellos cree que desarrollar actividades de aprendizaje que
refuercen su exposición de la clase haría que los alumnos se sintieran más motivados
en la clase de matemáticas 111. A continuación se muestra el gráfico.
¿Cree que el desarrollo de actividades de aprendizaje pueda motivar el interés del alumno
por la materia de matemáticas 111?
fosi: ~
. /'
: O
Así mismo, el 80% de los profesores entrevistados opina que el tener a su alcance
un documento que contenga una descripción detallada en cuanto a tiempo, recursos y
37
desarrollo de actividades de aprendizaje podría homogenizar la enseñanza del curso de
matemáticas 111. Así mismo, la coordinadora del departamento de ciencias y
matemáticas considera que este portafolio la podría ser un buen instrumento para que
la calidad de la enseñanza del curso de matemáticas 111. La información se muestra en
el siguiente gráfico.
¿Cree que el desarrollo de un portafolio de actividades de aprendizaje para la materia de matemáticas 111 pueda homogenizar este curso cuando la clase es
impartida por diferentes profesores?
Í8Sll ~
Finalmente, el 100% de los profesores entrevistados afirma que utilizaría la
propuesta de actividades de aprendizaje para el curso de matemáticas 111, ya que la
mayor parte de ellos no tiene tiempo para investigar o desarrollar las actividades.
¿Utilizaría el portafolio de actividades?
0%
100%
¡msil ~
38
Por lo tanto, se puede concluir que las principales razones para que el alumno tenga
aversión al curso de matemáticas 111 son:
a) Por que la materia es complicada y causa frustración.
b) Por que no se le da una aplicación real.
c) Por que el curso es aburrido.
Los alumnos consideran que las actividades de aprendizaje que pueden provocar
un mayor interés de ellos hacia el curso son:
a) Problemas de aplicaciones en la vida real.
b) Dinámicas divertidas relacionadas a los temas.
e) Resolver problemas durante la clase.
En cuanto a los profesores podemos concluir que les agrada la idea del proyecto de
actividades y que estarían dispuestos a utilizarlo.
39
2.2 Justificación
Después de varios años de trabajar con adolescentes de nivel medio superior se
ha podido observar que la mayor parte de ellos tiene aversión hacia el estudio de las
matemáticas, en parte por las razones expresadas anteriormente, además por las
ideas equivocadas que arrastran desde la educación básica; y por la carga sicológica
propia de la edad. Esta etapa es muy importante ya que se realiza la elección de
carrera, en esta etapa se definen los próximos ingenieros, médicos, administradores,
científicos, profesores de nuestro país, ¿cuántos estudiantes eligen una carrera
socioeconómica para librarse de las matemáticas? La respuesta a esta pregunta
contesta el por que la población de estudiantes en carreras de ingeniería es menor que
en las demás. El desarrollo de un país o del mundo entero descansa en el desarrollo
mas o menos equitativo de todas las áreas, la científica, social, económica, etc. ¿Cómo
hacer entonces para que los alumnos se interesen por el estudio de las matemáticas?
¿Cómo hacer para que todos o al menos la mayoría de los estudiantes aprendan
matemáticas?.
El presente proyecto de investigación, esta enfocado al curso de matemáticas 111
de preparatoria que comprende el estudio de las funciones lineales, cuadráticas,
polinomiales y senoidales, así como en el estudio de la trigonometría. El proyecto
consiste en desarrollar un portafolio de actividades, algunas de las cuales estarán
diseñadas bajo el enfoque de la teoría constructivista principalmente en la aplicación de
los conocimientos previos en situaciones más o menos reales en algunos casos
-W
utilizando la técnica Aprendizaje basado en problemas ( PBL) y otras actividades serán
del tipo aprender-haciendo.
En base a la experiencia como docentes y al estudio realizado podemos afirmar que
el adolescente necesita ser motivado hacia el aprendizaje de las matemáticas con
actividades que vayan más allá de una buena explicación por parte del profesor, sin
embargo, en el mayor de los casos los profesores no tienen tiempo para investigar o
crear actividades de aprendizaje, por tal motivo se decidió crear este portafolio de
actividades para que sea una herramienta útil en el proceso enseñanza aprendizaje
tanto para los alumnos como para los profesores.
Por otra parte, la realización de estas actividades aprendizaje desarrollará otras
actitudes y habilidades en el alumno que en una clase tradicional no desarrolla, tales
como el trabajo colaborativo, desarrollo de pensamiento analítico, creatividad, etc.
El proyecto consiste en diseñar actividades relevantes, en donde se planteen
problemas que su~an de la realidad y se aplique el conocimiento matemático adquirido,
en algunos caso se utilizará la técnica de PBL, otras actividades consistirán en realizar
demostraciones por medio de ciertos materiales que el alumno manipulará, algunas
otras serán la realizaciones de prácticas con la ayuda de un profesional, tal como un
topógrafo o un capitán marino. También se incluirán actividades de reforzamiento del
aprendizaje, las cuales son menos sofisticadas pero no por ello menos importantes.
El propósito de desarrollar estas actividades en el aula permitirá que el alumno
tenga mayor actividad, hacer la clase de matemáticas dinámica, donde el alumno sea
participativo, es decir que el alumno viva la matemática, manipulando, dibujando,
41
jugando, que sea una experiencia divertida y formativa, pero que poco a poco se vayan
formalizando los contenidos, y no solo se base en la exposición en la pizarra y en la
elaboración de ejercicios. Es importante crear actividades para que el alumno tenga
vivencias de manera que pueda interiorizar el conocimiento partir de las experiencias
y conocimientos previos, para activar los contenidos siguientes.
Así mismo, el relacionar los temas de funciones y trigonometría con otras áreas,
permite que el alumno transfiera sus conocimientos matemáticos y pueda reconocer las
relaciones con otras disciplinas, de esta manera puede identificar razones por las
cuales las matemáticas son útiles y tienen significado en su vida académica actual y
futura.
Finalmente, al analizar la perspectiva de otros compañeros profesores se observó
que comparten la idea de desarrollar actividades de aprendizaje que predispongan al
alumno de manera positiva y la vez comentan que no tienen tiempo para investigar o
diseñar estas actividades, razón por la cual ven viable el diseño de este proyecto de
actividades. Por otro lado, el uso de este diseño permitirá homogeneizar la enseñanza
del curso de matemáticas 111 a nivel departamental, punto favorable desde la
perspectiva académica de la Institución.
Las diversas actividades serán desarrolladas para la materia de matemática 111 de
preparatoria, sin embargo el proyecto es ambicioso, y puede extender su aplicación a
cualquier nivel educativo, desde los niveles básicos hasta los niveles superiores, incluso
en cualquier área.
42
2.3 Características de los usuarios del proyecto
a) El alumno
Los alumnos de la preparatoria de la escuela preparatoria oficial No. 114, del
Estado de México, Son adolescentes cuyas edades oscilan entre los 15 y 17 años, !as
condiciones socioeconómicas son resultado del ingreso familiar y de la ocupación que
desempeñan los padres. Los estudiantes no les gusta pensar, razonar, aunque tal vez
sea porque como maestros no les hemos enseñado la importancia del porqué de las
cosas (pensamiento crítico), además que esa actitud esta condicionada por el tipo de
ambiente social al que pertenecen, pues los jóvenes se conforman con sobrepasar
ligeramente a sus padres y la meta principal es concluir sus estudios de preparatoria
para poder trabajar y ayudar con el ingreso económico de sus hogares, así mismo muy
pocos estudiantes tienen como aspiraciones ingresar a seguir con estudios
profesionales.
En ocasiones, los alumnos tienen una actitud infantil pero es gracias al proceso de
desarrollo que está viviendo, el cual debe ser comprendido y bien manejado por el
profesor.
b) El profesor
Los profesores de la preparatoria son profesionales de su actividad, la mayoría
están dispuesto a experimentar nuevas formas de llevar a cabo la enseñanza, las
cuales le permitan que el proceso de enseñanza aprendizaje se desarrolle de manera
exitosa. Además de esto, es un profesor formador, es decir, refuerza las actitudes
positivas de los alumnos y es un agente de cambio en aquellas actitudes negativas del
estudiante. La actividad profesional de un docente en este nivel no es solo la de
enseñar si no la de formar personas con actitudes, habilidades y valores que se
establecen en la misión de la institución, tales como, respeto, honestidad, trabajo en
equipo, etc.
e) La institución
43
la escuela preparatoria oficial No. 114, La institución se encuentra localizada en
una zona semi-urbana. ya que por estar cerca de una ciudad cuenta con los servicios
básicos,. La escuela esta formada por 14 grupos, el proyecto esta dirigido al tercer
semestre de matemáticas. Los grupos objeto de estudio, son heterogéneos,
-t4
111. OBJETIVOS DEL PROYECTO
3.1 Objetivo general del proyecto.
Que el diseño instruccional de actividades de aprendizaje sea una herramienta
didáctica útil que permita que el alumno se interese por el estudio de la matemática 111 y
que a la vez permita estandarizar la enseñanza de este curso entre los profesores que
lo imparten.
3. 2 Objetivos específicos del proyecto
a) Diseñar actividades de aprendizaje para la materia de matemáticas 111 de
preparatoria cuyos temas generales son funciones lineales, cuadráticas,
polinomiales y senoidales, y trigonometría.
b) Diversificar las actividades de aprendizaje las cuales estarán orientadas a
interesar al alumno hacia el conocimiento de funciones y trigonometría.
c) Ofrecer una herramienta útil a los profesores colegas que impartan esta materia.
d) Unificar las actividades de aprendizaje del curso de matemáticas 111, en la
preparatoria.
45
IV. DESARROLLO DEL DISEÑO INSTRUCCIONAL
4.1 Metas y propósitos
El presente trabajo pretende que a través de la implementación de las diferentes
actividades el alumno adquiera conocimientos, desarrolle habilidades y actitudes, por lo
que sus propósitos son crear habilidades metacognitivas, operatorias, de notificación,
habilidades analíticas, creativas y heurísticas, donde el alumno sea capaz de
seleccionar la estrategia adecuada para un problema determinado como enfocar la
atención a los contenidos relevantes, transferir los principios y estrategias aprendidos
de una situación a otra. Se persigue crear habilidades operatorias, en el cual el alumno
este preparado para hacer cálculos, hacer estimaciones y medir, ya que el medir,
permite establecer relaciones entre magnitudes para calcular medidas en el plano
cartesiano y encontrar resultados aproximados de operaciones, funciones, ecuaciones y
problemas. Hacer cálculos para establecer relaciones entre cifras o términos de una
función o de una ecué:ción para verificar resultados. Asimismo se espera crear
habilidades áe comunicación por medio del trabajo colaborativo y lograr que el alumno
pueda expresar y explicar las posibles soluciones a los problemas planteados, ya que el
explicar incluye el dominio de muchas de las habilidades mentales anteriores pues,
desarrollar el razonamiento lógico y también el razonamiento verbal; es una habilidad
clave para facilitar la toma de decisiones en una sociedad tan compleja como la de hoy.
Asimismo se persigue acrecentar habilidades creativas y heurísticas donde el alumno
sea capaz de generar ideas, hipótesis, predicciones, reconocer situaciones análogas,
y que puedan diseñar, imaginar, interpretar información, dibujar y otras formas de
representar. Se quiere que el alumno descubra los conocimientos y al mismo tiempo
esté capacitado para elegir y adaptar la estrategia que resulte más adecuada para
solucionar un problema, así como predecir y generaiizar resultados. Por medio de los
problemas derivados de la realidad se aspira a desarrollar una actitud crítica como
razonar deductivamente, inferir y determinar la relación existente entre los datos de
tablas y gráficas, para resolver un problema, del mismo modo que los lleve a
generalizar, reconocer patrones, formular procedimientos y obtener resultados.
Por medio de las actividades se espera fomentar actitudes positivas que guíen el
proceso de enseñanza-aprendizaje y logren modificar la actitud de rechazo hacia la
asignatura, conseguir una actitud de participación dinámica en las discusiones: apoyo
al trabajo colaborativo, siempre con una actitud de respeto y tolerancia hacia las ideas
de los demás participantes, de igual forma lograr que el estudiante reconozca y valore
su trabajo de tal forma que fortalezca la confianza y autoestima. Todas las acciones
están encaminadas a lograr la autonomía en el alumno dirigido a que sea capaz de
tomar decisiones en el momento preciso y tenga la capacidad para enfrentarse a
situaciones difíciles
4.2 Objetivos Generales de Aprendizaje
Al finalizar este curso el alumno deberá ser capaz de:
a) Resolver problemas de diferentes áreas del conocimiento, que involucren
cualquier tipo de triángulos.
b) Utilizar herramientas tecnológicas que le faciliten la resolución de problemas.
e) Desarrollar en el alumno los conocimientos, habilidades y actitudes necesarias
para desenvolverse y sea competitivo en su medio social y laboral, así mismo
tenga las herramientas necesarias para ingresar a niveles superiores.
47
4.3 Objetivos conceptuales:
a) Que el alumno conozca el concepto de función lineal y trigonométrica así como
sus aplicaciones.
b) Que el alumno conozca las funciones trigonométricas de triángulos rectángulos,
ley de senos y ley de cosenos así como sus aplicaciones.
c) Que el alumno desarrolle y resuelva ecuaciones trigonométricas.
d) Que el alumno pueda verificar las identidades trigonométricas por medio de
sustituciones.
4.4 Objetivos procedimentales.
a) Que el alumno sea capaz de aplicar el concepto de función a situaciones reales
por medio de sesiones de modelación desarrolladas en equipo.
b) Que el alumno sea capaz de aplicar los conceptos de funciones
trigonométricas, ley de senos y cosenos a situaciones reales por medio de la
técnica de PBL.
c) Que el alumno compíenda el significado del teorema de Pitágoras por medio de
actividades del tipo aprender-haciendo.
d) Adquiera habilidad para graficar los puntos y calcular la pendiente y llegar a
modelos matemáticos.
48
e) Adquiera habilidad para plantear y solucionar diversos problemas que impliquen
el uso de funciones y que surjan de su realidad
f) Desarrollar la habilidad en el manejo de la calculadora científica
4.5 Objetivos actitudinales
a) Adquirir una actitud de participación dinámica y de apoyo en las discusiones del
trabajo colaborativo,
b) Que adquiera una actitud de respeto y tolerancia hacia las ideas de los
compañeros de equipo
c) Desarrolle la creatividad dirigida a buscar diferentes enfoques y alternativos
para solucionar los problemas.
d) Adquiera capacidad para enfrentarse a situaciones difíciles y lograr la
autonomía dirigido a tomar decisiones en el momento preciso
e) Que valore su trabajo, de tal fonna que fortalezca la confianza en sí mismo.
f) Obtenga habilidades necesarias en el trabajo cooperativo que permitan la
solución a problemas.
g) Desarrolle el pensamiento crítico y analítico.
4.6 Contenidos
Unidad 1. Nociones preliminares al concepto de función
1.2 Definir el concepto de función
1.3 Definir dominio y rango de una función
1.4 Determinar analítica y gráficamente si una relación es función
1.5 Función lineal
1.6 Definir e identificar una función lineal
1. 7 Graficar funciones lineales
1.8 Identificar e interpretar gráficamente la ordenada al origen y la pendiente de la
función lineal. Y = mx + b.
1.9Determinar su dominio y contradominio.
1.1 O Función inversa
1.1 O. Determinar la función inversa de funciones lineales
Unidad 2. Trigonometría
2.1 Funciones trigonométricas
2.1.1. Construir las funciones trigonométricas a partir de un círculo unitario y de un
triángulo rectángulo.
49
2.1.2 Obtener el valor de las funciones trigonométricas a partir del valor de una de
ellas.
2.1.3 Establecer el signo de las funciones trigonométricas en cada cuadrante,
2.1.4 Determinar los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos
especiales y sus múltiplos.
2.1.5 Conocer e identificar las funciones trigonométricas inversas-
2.1.6 Distinguir las relaciones entre las funciones trigonométricas y sus funciones
inversas.
2.1. 7 Encontrar el ángulo - en grados y/o radianes dado el valor de una función
trigonométrica, utilizando la calculadora.
2.2 Graficas de funciones trigonométricas
2.2.1 Graficar y obtener el dominio y rango de funciones del tipo
y= a sen (bx +c) +d
2.2.2 Graficar y obtener el dominio y rango de funciones del tipo,
y= a cos (bx + c) + d
2.5 Solución de triángulos
50
2.5.1 Aplicar las funciones trigonométricas en la solución de triángulos rectángulos,
2.5.2 Definir la ley de senos y cosenos.
2.5.3 Resolver triángulos oblicuángulos.
2.5.4 Plantear y resolver problemas que involucren triángulos rectángulos u
oblicuángulos.
2.6 Ecuaciones trigonométricas
2.6.1 Resolver gráficamente ecuaciones trigonométricas.
2.6.2 Resolver algebraicamente ecuaciones trigonométricas que involucren:
2.6.2.1 Operaciones algebraicas.
2.6.2.2 Sustituciones trigonométricas.
V. OBJETO INSTRUCCIONAL (Actividades de aprendizaje)
Las actividades de aprendizaje fueron clasificadas de la siguiente manera:
5.1 Actividades enfocadas hacia aprendizajes significativos.
5.1.1. Solución de problemas aplicando la técnica de PBL
5.1.2 Sesiones de modelación desarrolladas en forma colaborativa.
5.2 Actividades de reforzamiento de conocimientos.
5.2.1 Sesiones tipo taller desarrolladas en forma colaborativa.
5.2.2 Desarrollo de competencias en el pizarrón.
5.3 Actividades de conocimiento extendido.
5.3.1 Visita de expertos en áreas donde se vincula la trigonometría y las
funciones.
5.3.2 Proyección de películas.
5.4 Actividades de aprender-haciendo.
5.4.1 Actividades para realizar demostraciones o desarrollar aprendizajes
significativos.
51
5.1 Actividades enfocadas hacia aprendizajes significativos.
5.1.1 Solución de problemas aplicando la técnica de PBL
Las actividades de aprendizaje que se proponen a continuación han sido
clasificadas de la siguiente manera.
Estas actividades están enfocadas a que el alumno profundice en sus
conocimientos de forma analítica de tal manera que pueda aplicar los conocimientos
vistos en clase con la realidad.
Actividad 1
ÁREA: Matemáticas, trigonometría
Unidad Didáctica: Trigonometría.
Contenidos: 2.5 Solución de triángulos rectángulos.
OBJETIVO DE LA ACTIVIDAD: Que el alumno aplique los conceptos de funciones
trigonométricas, ley de senos y ley de cosenos a problemas planteados.
.52
53
Desarrollo de la actividad de enseñanza aprendizaje
La actividad se lleva a cabo en grupos de tres personas máximo cuatro, de esta
manera se pretende que todos los integrantes del equipo trabajen de forma equitativa,
por lo general los alumnos prefieren elegir con que compañeros trabajar. Se les debe
avisar a los alumnos de manera anticipada que se llevará a cabo la actividad de PBL para
que todos asistan. Ya que los alumnos estén en grupos el profesor debe entregar una
copia del problema y de las rúbricas, de esta manera el alumno va a tomar en cuenta la
manera en que será evaluado.
Durante la clase el alumno realizará del paso 1 al paso 6 y el profesor actuará como
un facilitador del aprendizaje. La fecha de entrega deberá realizarse 48 horas después y
esta debe realizarse por escrito. El profesor puede elegir anticipadamente los equipos
que expondrán la solución del problema, se recomienda que máximo sean tres equipos
quienes expongan para que la clase no se vuelva monótona. Los equipos que no
participen en la exposición lo harán en el siguiente PBL.
1ª Sesión. Problema 1: ¿Un terreno= yate de lujo?
2ª Sesión. Problema 11: Caso las Islas de Hawai
3ª Sesión . Problema 111: Concurso de gráficas trigonométricas
Tiempo estimado: de 30 a 40 minutos del paso 1 al 6 y 30 minutos en el paso 7
(exposición, 10 minutos por equipo.
54
Problema 1
Problema 1: ¿ Un terreno= yate de lujo?
Objetivo de aprendizaje: que el alumno aprenda a calcular el área de un triángulo teniendo
solo las medidas de los lados y aplicando los temas de funciones trigonométricas, ley de
senos o ley de cosenos.
Martina de la Garza heredó una gran fortuna, dinero, propiedades y joyas. Entre las
propiedades heredó un terreno de forma triangular el cual está ubicado en Lagunas de
Miralta y cuyas dimensiones son 100 X 150 X 200 metros. Martina de la Garza ha
decidido vender el terreno para comprarse un yate de lujo.
Problema 11 : Caso las Islas de Hawai
Objetivo de aprendizaje: que el alumno aplique los conceptos de funciones
trigonométricas para triángulos rectángulos.
Identificación de las Montañas de las Islas Hawaii vistas desde Oahu
Fuente: Trigonometría con Geometría Analítica
M. Sullivan (1997)
Un turista adinerado ha solicitado a la empresa en la que usted trabaja, que lo ayude a
rotular una fotografía tomada en un día despejado desde la costa sureste de Oahu. El
turista le muestra la fotografía, en la que se ve sólo mar y cielo; sin embargo, en el
horizonte se ven también tres picos montañosos con igual separación entre ellos y
aparentemente de la misma altura. El turista le dice que el vendedor ambulante de
camisetas grabadas le informó que !os tres picos son los volcanes de
Lanai, Maui y la gran isla (Hawaii). El vendedor añadió. "casi nunca verse la gran isla
desde aquí"
El turista piensa que su fotografía puede tener un valor especial. Sin embargo, tiene
cierto recelo. Se pregunta si es realmente posible ver la gran isla desde Oahu. Quiere
rotular con exactitud la fotografía y por esto busca su ayuda.
Usted se da cuenta de que se requiere de algo de trigonometría así como de un buen
atlas y una enciclopedia. Después de llevar a cabo algunas investigaciones, usted dispone
de los datos siguientes:
Las alturas de los picos son distintas. Lanai hale, el pico más alto de Lanai, tiene
sólo 3, 370 pies sobre el nivel del mar. Haleakala, de Maui, tiene 10,023 pies sobre el
nivel del mar y Mauna Kea, de la gran isla, el más alto de todos, tiene 13,796 pies sobre
el nivel del mar.(Si se midiese desde su base en el fondo del oceáno, sería la montaña
más alta sobre la Tierra.)
Desde el extremo sureste de Oahu, la distancia a Lanai es de 65 millas, a Maui es
de 11 O millas y a la gran isla es de cerca de 190 millas. Estas distancias, medidas a lo
largo de
la superficie de la Tierra, representa la longitud del arco que se origina al nivel del mar en
Oahu y termina en la localidad imaginaria situada directamente abajo del pico de cada
montaña en lo que sería el nivel del mar.
Estos picos volcánicos son todos de alturas diferentes. Si su cliente millonario
tomó una fotografía de tres picos en la que todos tienen la misma altura, ¿cómo es posible
que representen los tres volcanes? Hay que considerar que el turista estuvo de pie en la
playa y miró directamente el océano generándose una línea visual donde el punto de
tangencia es el mismo turista
57
Problema 111: Concurso de gráficas trigonométricas
Objetivo de aprendizaje: que el alumno investigue las aplicaciones en la vida real de las
gráficas trigonométricas.
La sociedad Pitagórica ha lanzado una convocatoria para el concurso de gráficas
trigonométricas, los alumnos de trigonometría son expertos en la construcción de dichas
gráficas tanto al hacerlas manualmente como en un paquete graficador, sin embargo al
saber esto la sociedad Pitagórica ha decidido hacer el reto mayor pues no solo bastará
con ser experto en la construcción de gráficas si no en saber su relación con el mundo
real ¿quién ganará el concurso?
Para evaluar las actividades enfocadas hacia aprendizajes significativos y los
problemas 1, 11, 111, aplicando la técnica de PBL 0Jer anexo 3).
58
5.1.2 Sesiones de modelación desarrolladas en forma colaborativa.
Actividad 2
AREA: Matemáticas
Unidad Didáctica: Funciones lineales.
Contenido: 1.8 Identificar e interpretar gráficamente la ordenada al origen y la pendiente
de la función lineal, y = mx + b.
OBJETIVO: Que el alumno cree modelos matemáticos de funciones lineales
Desarrollo de la actividad de enseñanza aprendizaje. El profesor integrará a los alumnos
en equipos de tres personas, el profesor debe llevar copias de los problemas que se van
a modelar. El papel del profesor es de facilitar el aprendizaje del alumno.
1ª sesión de modelación: Peso ideal a la estatura
2ª Sesión: Modelación 11: Monto de ventas en función a la experiencia.
3ª sesión Modelación 111: Velocidad de captura en función a la experiencia.
Tiempo de desarroiio.
De 30 a 40 minutos en la modelación I y 30 minutos en la modelación II y 111. ~-------'
Ejercicios I
Modelación 1: Peso ideal en función a la estatura.
Objetivo: que el alumno cree una función lineal a partir de datos reales.
Unos equipo trabajará con una muestra de 30 alumnos varones y otros equipo trabajará
con una muestra de 30 alumnos mujeres de nuestra preparatoria a los cuales se les
preguntará su peso y su estatura, procura preguntarles a las personas que tienen una
complexión normal y de bajitos hasta altos. Vacía la información en una gráfica, calcula la
pendiente y crea el modelo matemático. Tu modelo regirá una situación real.
Nota: el profesor puede pedir que los alumnos de tarea investiguen esos datos y que el
resto de la actividad se realice durante la clase siguiente.
Ejercicio 11
Modelación 11: Monto de ventas en función a la experiencia.
La siguiente tabla muestra el nivel de ventas en función a la experiencia de
ventas durante cierto periodo. Predecir el monto de las ventas si una persona
tuviera 8 años de experiencia.
Monto de ventas $9,000 $6,000 $4,000 $3,000 $3,000 $5,000 $8,000 $2,000
f(x)
Años de 6 5 3 1 4 3 6 2
experiencia
Ejercicio 111
Modelación 111: Velocidad de captura en función a la experiencia.
La siguiente tabla y gráfica muestra la relación de la velocidad en el teclado con su
experiencia. Determina el modelo matemático y predice la velocidad de un alumno
que tiene 12 semanas de experiencia.
Experiencia (semanas) 2 3 5 6 7 8
Velocidad 22 30 38 40 45 46
Para evaluar la actividad 2 y los ejercicios 1, 11, 11 de modelación Ner anexo 4)
61
5.2 Actividades de refuerzo de conocimientos
5.2.1 Sesiones tipo taller desarrolladas en forma colaborativa.
En estas actividades se sigue con la metodología del trabajo cooperativo, el cual
tiene como propósito desarrollar habilidades de comunicación, pueda explicar y
discutir las posibles soluciones a los problemas, desarrolla el razonamiento lógico.
Y crear habilidades creativas y descubrir el conocimiento.
Actividad 3
ÁREA: Matemáticas
Unidad Didáctica: Funciones trigonométricas, Ley de senos y cosenos, Gráficas
trigonométricas, Identidades trigonométricas y Ecuaciones trigonométricas.
Contenidos: 1.5 Funciones lineales, 2.1 Funciones trigonométricas, 2.2 Gráficas de
Funciones Trigonométricas, 2.5 Solución de triángulos rectángulos y 2.6 Ecuaciones
trigonométricas.
OBJETIVO.
Que el alumno desarrolle una miscelánea de problemas de los temas de funciones
lineales, aplicaciones de funciones trigonométricas, ley de senos y cosenos a
problemas planteados, identidades trigonométricas y ecuaciones trigonométricas.
Desarrollo de la actividad.
El profesor formará equipos de tres personas, procurando que en el equipo haya
un alumno avanzado y los otros que no lo sean. Llevará preparada la miscelánea de
problemas según el tema visto, puede apoyarse en el libro d texto. El alumno debe
terminar la miscelánea asignada antes de que termine la clase. El papel del profesor
es supervisar la actividad y ser un facilitar del aprendizaje.
Tiempo estimado.
Las actividades en forma colaborativa se lleva a cabo mediante las siguientes
rubricas de evaluación 0Jer anexo 5).
5.2.2. Desarrollo de competencias en el pizarrón.
Estas actividades son interesantes para el alumno, pues son una forma de probar
los conocimientos adquiridos representan un verdadero reto y son motivadores para
generar el conocimiento
Actividad 4
. ÁREA: Matemáticas, trigonometría
Unidad Didáctica: Trigonometría.
Contenidos: 2.1 Funciones trigonométricas, 2.5 Solución de triángulos y 2.6
Ecuaciones trigonométricas.
Objetivos:
Que el alumno refuerce los temas de identidades y ecuaciones trigonométricas
62
63
Desarrollo de la actividad.
El profesor divide el grupo en dos grandes equipos, cada equipo elegirá el orden
de sus participantes en la competencia en el pizarrón. Los alumnos elegidos por cada
equipo saldrán momentáneamente del salón para que el profesor divida el pizarrón a la
mitad y anote el problema que resolverán (debe ser el mismo problema). Los alumnos
que están sentados no deben ayudar a su representante. Gana el alumno que termine
primero y que halla realizado el problema de forma correcta asignándosele un punto a
ese equipo. El equipo que acumule mas puntos al término de la clase, será el equipo
ganador.
Tiempo estimado.
50 minutos.
En la actividad 4 que pertenece al desarrollo de competencias en el pizarrón. (Ver
anexo 6) que corresponde a las formas para evaluar.
64
5.3 Actividades de conocimiento extendido.
5.3.1 Visita de expertos en áreas donde se vincula la tr.gonom~tría y las funciones.
El implementar estas actividades singulares, que no son habituales en el curso
escolar, tiene el propósito de incentivar al estudiante.
Actividad 5
ÁREA: Matemáticas, trigonometría
Unidad Didáctica: Trigonometría.
Contenidos: 2.1 Funciones trigonométricas y 2.5 Solución de triángulos.
Objetivos de aprendizaje:
Que el alumno visualice las aplicaciones de la trigonometría en la vida real.
Desarrollo de la actividad.
El profesor invita a un profesionista a la clase, puede ser un topógrafo, un
arquitecto o un ingeniero naval o cualquier otro profesionista que pueda vincular los
conceptos de la clase con la actividad profesional.
Las actividades pueden ser de dos tipos,
a) Práctica topográfica
Esta actividad consiste en que el profesor invite a un topógrafo y que lleve un
teodolito a la clase. El experto da una breve explicación sobre el funcionamiento del
teodolito y luego fuera del salón se procede a calcular la altura de algún edificio con
ayuda del aparato y las aplicaciones de trigonometría de los alumnos.
b) Exposición del experto.
Por otro lado, si no se consigue la visita de un topógrafo, se puede invitar a un
arquitecto, ingeniero civil, ingeniero naval, etc. cualquier profesionista que pueda
vincular la trigonometría con la vida profesional.
Tiempo estimado.
50 minutos.
5.3.2 Proyección de películas.
Las actividades tienen como finalidad desarrollar habilidades analíticas. en el
que el alumno reflexione y sea capaz de inferir las relaciones con las
matemáticas.
Actividad 6
Área: Matemáticas, Trigonometría.
Unidad temática: Trigonometría.
Contenidos: 2.1 Funciones trigonométricas y 2.5 Solución de triángulos.
Objetivo de aprendizaje.
Que el alumno visualice la importancia de las matemáticas por medio de una
película que relacione el aprendizaje de las matemáticas con ciertas actitudes y valores.
Desarrollo de la actividad.
El profesor elige una entre varias películas que se relacionen con las
66
matemáticas, se asegura de que el equipo de video funcione. También deberá ver la
película con anticipación para que exponga la primera parte y ellos puedan ver el resto
durante la clase. Antes de proyectar la película el profesor debe pedirles que
identifiquen las actitudes y valores de los personajes de la película así como que
identifiquen que conocimientos matemáticos necesitan o tienen los personajes de la
historia. Al terminar la película, el profesor pedirá que llenen el siguiente cuestionario y
que lo lleven a la siguiente clase.
Cuestionario
1) ¿Qué actitudes y valores identificaste en la película?
2) ¿Con cuáles de esas actitudes y valores te identificas? ¿por qué?
3) ¿Qué conocimientos matemáticos identificaste en la película?
4) ¿ Te gustó la historia de la película? ¿por qué?
Películas propuestas:
a) Con ganas de triunfar.
b) Cielo de octubre.
c) Mente indomable.
d) Mente brillante.
Tiempo estimado.
50 minutos.
La actividad referente a la proyección de películas, se emplean las mismas
rubricas de evaluación de la actividad 5. (Ver anexo 7)
5.4 Actividades de aprender-haciendo.
5.4.1 Actividades para realizar demostraciones o desarrollar aprendizajes
si~nificativos.
Actividad 7
AREA: Matemáticas, trigonometría
Unidad Didáctica: Trigonometría.
Contenidos: 2.1 Funciones trigonométricas.
Objetivo de aprendizaje:
Que el alumno demuestre el teorema de Pitágoras.
Desarrollo de la actividad.
Antes de la clase el profesor pedirá al alumno que lleve cartoncillos de colores,
pegamento, tijeras y regla. El profesor llevará arena u otro material (500 gr)
aproximadamente. Los alumnos se agruparán en tercias o cuartetos y construirán
poliedros cuadrangulares de medidas 3, 4 y 5 cm de lado, los cuales tendrán la misma
altura ( 3 cm). Cuando los alumnos terminen de construir los poliedros acomodarán las
cajitas de tal manera que formen un triángulo rectángulo, luego, el profesor vertirá
arena u otro material sobre los dos poliedros mas chicos para que luego estos sean
vertidos en el grande, de esta manera ellos mismos se demostrarán el teorema de
Pitágoras. (También puede verter la arena en el poliedro grande y vaciarla a los
pequeños)
1 Tiempo estimado.
50 minutos.
Actividad 7. 1
Área: Matemáticas, Trigonometría.
Unidad temática: Trigonometría.
Contenidos: 2.1 Funciones trigonométricas y 2.5 Solución de triángulos.
OBJETIVO:
Que el alumno calcule el área de una sección poligonal del jardín de la escuela
aplicando la fórmula de Herón.
Desarrollo de la actividad.
Antes de la clase el profesor pedirá al grupo que se organicen en equipo para llevar el
material. Un equipo llevará 5 palos de madera de 50 cm de largo y con punta afilada en
un extremo, otro equipo llevará una cinta métrica (como la que usan los constructores),
los otros equipos llevarán 10 mts de cordón cada uno (preferentemente rojo). Durante
la clase el profesor les pedirá a los alumnos que vayan al jardín y que colcx¡uen los
palos de madera de manera que formen un polígono (en este caso un pentágono
irregular), luego que pasarán el listón de un palo a otro para que se describa la figura y
formarán las diagonales interiores de tal manera que se formen tres triángulos
interiores, luego medirán los lados de cada triángulo y calcularán el área de cada uno,
sumarán las tres áreas y con esto obtendrán el área total de la figura.
Tiempo estimado.
50 minutos.
Actividad 7.2
Área: Matemáticas, Trigonometría.
Unidad temática: Trigonometría.
Contenidos: 2.1 Funciones trigonométricas y 2.5 Solución de triángulos
Objetivo de aprendizaje:
Que el alumno calcule ángulos a partir de valores trigonométrico y viceversa
utilizando la calculadora científica.
Desarrollo de la actividad.
Antes de la clase el profesor pedirá al alumno que lleve una calculadora científica y
luego explicará como obtener un ángulo a partir de un valor trigonométrico y viceversa.
Finalizando un con ejercicio de veinte problemas donde el alumno ejercite esta
actividad.
Tiempo estimado.
40 minutos.
Las actividades 7. 7. 1. 7 .2 se refieren a realizar demostraciones o desarrollar
aprendizajes significativos y para las formas de evaluación de estas actividades (ver
anexo 8).
70
VI. RECOMENDACIONES GENERALES DEL USUARIO
Para el desarrollo de las actividades de esta propuesta es necesario que los
maestros empleen habilidades y actitudes relacionadas con el trabajo en equipo dentro
del aula, se recomienda fomentar en los alumnos una actitud de compromiso para
desarrollar de la mejor manera las actividades de aprendizaje que se proponen.
Las actividades están dirigidas a un grupo de 25 a 30 alumnos, ya que para un
buen desarrollo de estas tareas, sobre todo en lo que se refiere al trabajo en equipo, se
recomienda que el número no exceda a los 30 alumnos de esta manera se tendrá un
mejor control y andamiaje por parte del profesor.
Para la formación equipos se recomienda que sean máximo de 4 personas cuando
los grupos sean de más de 25 alumnos y máximo 3 cuando los grupos sean de menos
de 25, también se recomienda utilizar diversas estrategias dependiendo de la actividad
ya que en algunas se requiere que los equipos sean heterogéneos para propiciar una
interacción equitativa entre todos los compañeros de un grupo y en algunas otras son
preferibles que haya un estudiante destacado para que pueda brináar apoyo aquellos
que tienen dificultades.
Se debe tener especial cuidado con el tiempo, la distribución adecuada de los
tiempos, tomando en cuenta que las sesiones son de 50 minutos, será garnntía del
buen desarrollo del trabajo escolar y de que no se quede a medias la actividad.
Por otro lado, las actividades que se realicen al aire libre deben ser pensadas con
anticipación, asegurándose de que la Institución educativa permite el uso del espacio
71
exterior seleccionado, también deben preverse las condiciones climatológicas y pedir al
alumno que vaya vestido de manera que le permita trabajar con comodidad y libertad.
Hacer hincapié a los alumnos en la importancia que tiene el respeto y la tolerancia
hacia las opiniones y los diferentes puntos de vista de sus compañeros, de tal forma
que no deben convertirse en obstáculos sino en oportunidades para crear un buen
ambiente de aprendizaje.
Autorregular las participaciones, es decir que no se desvíen del tema, dar la
oportunidad a todos de participar. El papel del profesor es el de un facilitador del
aprendizaje del alumno.
La evaluación se puede mejorar estableciendo criterios para realizar la observación
del trabajo de los alumnos. Así mismo es conveniente que se den a conocer con
anterioridad a la actividad los criterios para la autoevaluación y coevaluación. Es
importante que el profesor destine un porcentaje de la calificación parcial o final al
desarrollo de las actividades de aprendizaje, como medida de control y motivación de
los estudiantes.
6.1 Recomendaciones al usuario por tipo de actividad
Sobre la actividad 1, la aplicación de la técnica de Pl:SL.
Descripción de la actividad.
La técnica de PBL parte del principio de la construcción del aprendizaje por parte
del alumno, de ahí que se le considere el centro del proceso de enseñanza-aprendizaje,
teniendo un rol activo en él, participando en actividades colaborativas como miembro de
un grupo tutorial y actividades de autoestudio. Se fomentan, también, el desarrollo de
habilidades como la toma de decisiones, la capacidad de búsqueda y análisis de
información y la relación con el entorno a través de la solución de problemas reales o
hipotéticos
Los siete pasos
1.- Conocer la situación o problema.
2.- Realizar hipótesis, ideas y/o teorías de lo que cree que sucede y se necesita (lluvia
de ideas)
3.- En listar lo que conocen.
4.- En listar lo que desconocen.
5.- Desarrollar un enunciado del problema que se estudiará-resolverá.
6.- Realizar un plan de acción.
7.- Reunir y analizar información para llegar a un resultado.
Recomendaciones.
El PBL es una técnica didáctica y como tal requiere de una capacitación previa por
parte del profesor. El maestro debe asegurarse de que han comprendido correctamente
los siete pasos de la técnica y que el alumno también conoce la técnica, de no ser así
el profesor deberá asignar un tiempo de la clase anterior para explicar a sus alumnos en
que consiste la técnica.
73
Por otro lado, es importante que el profesor no olvide que su papel es el de un
facilitador de la actividad ya que existen algunos alumnos que no gustan de la técnica y
no están dispuestos a hacer algún esfuerzo mental por plantear y resolver el problema,
entonces acudirán al profesor para que este se los resuelva. Esto no debe suceder.
El profesor debe crear equipos de 3 personas como máximo, asegurándose que el
equipo está equilibrado y durante la actividad debe supervisar que los integrantes del
equipo estén aportando cosas positivas para el buen desarrollo de la actividad.
Sesiones de modelación desarrolladas en forma colaborativa.
Descripción de la actividad 2. 0Jer. Actividad 2)
Esta actividad consiste en que el alumno de manera colaborativa pueda crear
modelos matemáticos de funciones lineales. El crear modelos es uno de los aspectos
fundamentales de la matemática, se inicia con elementos sencillos para orientarlo a
descubrir las propiedades y adaptar la estrategia que resulte más adecuada para
solucionar un problema, así como predecir y generalizar resultados y modelos.
Recomendaciones.
El profesor debe realizar equipos de tres alumnos asegurándose que el equipo
esté equilibrado, es decir, que en el equipo halla alumnos avanzados y otros que no lo
están tanto.
El rol del profesor es el de facilitar y motivar al alumno constantemente a que
resuelva el problema por sí solo. También es muy importante retroalimentar al alumno
ya una vez terminada la actividad, de esta manera el alumno podrá saber si sus
procesos fueron correctos y confirmarse así mismo si comprendió el tema.
Sesiones tipo taller desarrolladas en forma colaborativa.
Descripción de la actividad.
Los alumnos agrupados en parejas o en tríos desarrollarán una serie de ejercicios
previamente seleccionados por el profesor.
Recomendaciones.
74
El profesor debe haber terminado un tema en particular para que esta actividad pueda
llevarse a cabo, debe seleccionar ejercicios de distintos grados de dificultad y que cuya
cantidad de problemas pueda ser terminada en el tiempo destinado a la actividad. Lo
recomendable es que el alumno utilice el libro de texto y que el profesor asigne los
problemas de ahí mismo, de no ser así, entonces el profesor debe llevar copias de los
ejercicios.
Por otro lado, es importante que el profesor halla resuelto todos los problemas
asignados a la sesión tipo taller, de esta manera podrá orientar más fácilmente al
alumno y optimizará el tiempo.
Es importante aclarar que el papel del profesor es el de facilitador y supervisor de la
actividad, el alumno por sí solo debe trabajar, aportar y resolver los problemas. El libro
de texto que se recomienda es el del Trigonometría de Swokosky and Cole.
Desarrollo de competencias en el pizarrón. ( Ver actividad 4).
Descripción de la actividad.
Esta actividad consiste en que el alumno repase y confirme los procesos de solución
de ciertos temas a través de una competencia con sus compañeros de grupo, así de
una manera divertida se lograrán fortalecer los conocimientos de los alumnos.
75
Recomendaciones.
El profesor puede organizar los equipos que competirán de distintas formas, puede
crear competencias entre equipos de 3 alumnos o puede dividir el grupo en dos equipos
grandes. Lo que se sugiere es que el profesor divida al grupo en dos equipos, cada
equipo seleccionará a su competidor, estos dos alumnos saldrán del salón mientras el
profesor escribe los problemas en el pizarrón, una vez escritos los problemas los
alumnos entrarán al salón y resolverán los problemas, el alumno que termine primero y
que halla realizado el problema de forma correcta será el ganador y se le otorgará un
punto al equipo al que pertenece, luego, nuevamente los equipos seleccionan a su
competidor, salen estos dos alumnos y el profesor escribe otro problema, y así
sucesivamente hasta que se termine el tiempo destinado a la actividad. El equipo que
acumule mas puntos será el ganador.
Se recomienda que los equipos elijan secretamente a su competidor y que estos no
ayuden a sus compañeros cuando estén en el pizarrón, ni que distraigan al compañero
oponente.
El profesor debe tene.- mucho cuidado con la disciplina cuando se desarrolla la
actividad, una estrategia puede ser que se descuente un punto al equipo que haya
fallado a las normas mínimas de orden y respeto. Por ejemplo, si un equipo grita y
distrae a propósito al competidor oponente.
Visita de expertos en áreas donde se vincula la trigonometría y las funciones.
Descripción de la actividad.
Esta actividad consiste en que un profesionista, ya sea un topógrafo, arquitecto o
capitán marino asista a la ciase y hable sobre cómo aplica !a trigonometria en su
76
profesión. Lo ideal es que se invite a un topógrafo para que se pueda realizar una
práctica topográfica en el jardín utilizando el teodolito. Esta práctica puede ser medir la
altura de un edificio.
Recomendaciones.
El profesor debe contactar con mucha anticipación ai topógrafo u otro profesionista,
hacer la cita y asegurarse de que la persona asistirá puntualmente. Por otro lado, el
profesor debe hablar con sus alumnos y motivarlos a que tengan una actitud receptiva,
respetuosa y participativa con el visitante.
Proyección de películas.
Descripción de la actividad.
Recomendaciones.
El profesor debe seleccionar la película y verla con anticipación ya que explicará el
principio de la historia y solo proyectará los últimos 40 minutos. Las películas que se
sugieren son:
a) Cielo de octubre.
b) Mente indomable.
c) Con ganas de triunfar.
d) Mente brillante.
Por otro lado, el profesor debe asegurarse con anticipación de que el equipo de
video funcione y al final de la clase deberá entregar un breve cuestionario para que el
alumno conteste reflexionando cada pregunta, se recomienda también que los 1 O
minutos primeros de la siguiente clase se utilicen para escuchar algunas de las
opiniones. Si el curso tiene una plataforma tecnológica como learning space o
blackboard se sugiere que los alumnos suban este cuestionario al course room o al
discussion board.
Actividades para realizar demostraciones.
Recomendaciones
77
El profesor debe hacer un listado del material que se utilizará en la actividad, por
ejemplo, para la actividad de la demostración del teorema de Pitágoras se requiere un
embudo, cartoncillos de colores, tijeras, regla, pegamento o cinta con pegamento. El
profesor debe llevar en un matraz u otro envase arena o pasta de municiones. Es mejor
usar la pasta sopa de municiones pero hay que considerar que quedan espacios
milimétricos entre una pieza y otra.
Los equipos deben de ser de 3 personas y se les debe indicar que tienen tiempo
límite para realizar la actividad. Ya una vez que termine de construir los poliedros el
profesor debe pasar a cada equipo a realizar la demostración. Esta actividad les gusta
mucho a los alumnos.
78
VII. EVALUACIÓN DEL PROYECTO (PRUEBA PILOTO)
7 .1 Instrumentos utilizados para evaluar el diseño instruccional.:.
Se aplicó el primer problema de PBL a los alumnos de tercer semestre de
preparatoria específicamente en el tema de trigonometría. Los instrumentos de
evaluación utilizados fueron la observación directa del trabajo en el aula y entrevistas a
los alumnos sobre la actividad.
7 .2 Descripción de los resultados obtenidos
De acuerdo a las observaciones en el desarrollo del PBL se aprecio una mejora
en la comprensión de los temas y del lenguaje de las matemáticas, también fue notorio
el cambio de actitud hacia la materia un gran porcentaje de los alumnos se intereso
por la actividad.
Otra de las ventajas que se observó al implementar las actividades, sobre todo en lo
que corresponde a !a tutoría entre iguales, permitió el apoyo entre compañeros, ya que
los alumnos que tienen mejor comprensión de los temas ayudan a quienes tienen
dificultad, aunque el docente explica en caso de dudas, los alumnos consideran que el
explicar entre ellos comprenden mejor los temas, esto porque emplean el mismo
lenguaje y porque existe mayor confianza entre compañeros.
Donde se observó cierta resistencia en algunos alumnos fue al trabajo en equipo
sobre todo en la integración, debido a que no están acostumbrados al trabajo
colaborativo, p13ro poco a poco se logro integrarlos al trabajo.
Otro de los aspectos limitantes que se observó en la actividad, es la gran
cantidad de alumnos por grupo, pues requiere de mayor tiempo para las actividades,
así como para la supervisión del trabajo que se desarrolla en los equipos.
79
Se observa también que se requiere continuo compromiso con la tarea, tanto de
alumnos como de los maestros. Pues los docentes deben ser lo suficientemente
experimentado para poder transmitir experiencia, emitir conclusiones y corregir
inmediatamente los errores. El hecho de que el alumno se interese por su propio
aprendizaje es un impulsor para que el maestro se actualice continuamente y que trate
de emplear estrategias innovadoras en la enseñanza-aprendizaje.
Por las observaciones anteriores se han advertido resultados favorables, los
beneficios esperados no se cumplen del todo, porque para lograrlo es necesario que se
siga aplicando y evaluando el resultado, pues el diseño del proyecto es a largo plazo.
7 .3 Comentarios de los alumnos.
Los alumnos mencionan sus experiencias en la actividad No. 1 de PBL ¿ Terreno
= Yate de lujo?
"Nosotros pensábamos que las matemáticas eran muy poco usuales en la vida
cotidiana, pero por medio del PBL nos dimos cuenta que hay muchas cosas que
podemos utilizar las matemáticas, cosas que son muy difíciles de saber sí se pueden
encontrar, sí se buscan".
80
Fernando Bravo, Ricardo Escandón y Daniel Enriquez
"Aprendimos que hay que trabajar en equipo para poder llevar a cabo esta actividad, es
muy importante la búsqueda de información y saber cómo utilizar los medios de
investigación, para que de esta manera se facilite nuestro trabajo y encontrar soluciones
más inmediatas y acertadas a todas las incógnitas planteadas desde el inicio del
problema. También aprendimos que es muy importante la organización ya que en
muchas ocasiones batallábamos con los horarios de cada uno de los miembros del
equipo o se "reborujaba" el trabajo que cada uno iba a realizar, la responsabilidad es
importante en la elaboración de actividades como ésta ya que es necesario que cada
integrante cumpla con lo acordado de antemano por todos los del equipo, porque
cuando uno solo no cumple, todos tienen que trabajar extra para cubrir y cumplir con
esa parte del trabajo porque afecta a todos los miembros del equipo en general".
Corina Huerta, Linda Salazar y Carolina Hernández ''Fue difícil porque nosotras no
somos buenas para matemáticas y no se nos da la resolución de problemas, entonces
pensamos que se nos hizo difícil por la falta de habilidad en la materia, por lo tanto,
pedimos ayuda a algunos de nuestros compañeros que sí tienen habilidad en
matemáticas y de ahí nos guiamos para elaborar nuestro proyecto, en ocasiones
pensábamos que ya habíamos encontrado la solución pero alguna de nosotras
pensaba diferente entonces eso por una parte fue bueno porque así teníamos más
opciones, pero fue muy tardado y desesperante encontrar así la respuesta, pero así dio
resultado". Karla Fuentes, Karla Cruz y Claudia Pallares.
Se llevo a cabo la evaluación durante el desarrollo de las actividades, la evaluación
estuvo basada en el trabajo individual y de equipo, llevando registro de las actitudes
tomadas por los alumnos en cada actividad. De igual manera para efectuar la
81
evaluación se promovió el diálogo y la reflexión sobre las actividades realizadas: logros,
aciertos observaba es que copiaban del libro y no entendían o no prestaban atención a
lo que habían escrito ..
En un primer momento se identificó que hubo cierta resistencia por parte de
algunos alumnos y disposición por otros para ejecutar las actividades ya que a la
mayoría no les agradan plantear problemas pues, prefieren la resolución algorítmica.
Sin embargo en el transcurso de la actividad se hizo notorio que estas diferencias
fueron desapareciendo conforme se familiarizaron con el tema, mostrando interés por el
mismo, lo cual hizo que se identificara que la diversidad con que se presenten los
contenidos enriquece el trabajo.
Muestra del resultado de un equipo de alumnos acerca del PBL aplicado.
PBL: ¿ Un Terreno = Yate de lujo?
Martina de la Garza heredó una gran fortuna, dinero, propiedades y joyas. Entre las
propiedades heredó un terreno de forma triangular el cual está ubicado en Lagunas
de Miralta y cuyas dimensiones son 100 X 150 X 200 metros. Martina de la Garza ha
decidido vender el terreno para comprarse un yate de lujo.
PROBLEMA: ¿Será equivalente el precio del terreno al costo del Yate de lujo?
Objetivo principal:
Encontrar el precio del terreno y del Yate, compararlos a fin de saber que tan
convenier.te es hacer el intercambio.
Lluvia de ideas para lograr el objetivo
1.- Investigar el precio por metro cuadrado de los terrenos en lagunas de Miralta.
2.- Investigar los tipos de Yates, diferentes modelos, así como su precio.
3.-lnvestigar cuantos metros cuadrados tiene el terreno. Para esto:
a) Utilizar ley de Senos
b) Utilizar ley de Cosenos
c) Aplicar los conocimientos adquiridos en clase.
Solucion del problema
a) Obtener el área.
82
Lo primero para poder resolver el problema es encontrar el área del terreno para esto
seguimos el siguiente procedimiento:
1.- Por medio de las leyes de Senos y Cosenos encontramos los ángulos que
comprenden el triángulo del terreno, para obtener el ángulo a
a
2002 = 1002 + 1502 -2( 100)( 150) Cos a a= 75.52º
Para obtener 13
sen75.52º sen/3 ----=
200 150
13 = 46.49º
Para obtener y
y
83
180º - 75.52º-46.49º = 57.99º
2.- Con los ángulos establecemos un lado como base del triángulo y determinamos la
altura por medio de las funciones trigonométricas de los triángulos rectángulos .
h sen75.52º = -
100
h= 96.82 mts
3.- Con la medida de la base y al altura obtenemos el área
A= 150 * 96.82
2
B) Obtener el precio
Resultado= 7,261.5 mts 2
Multiplicar el área del terreno por el precio investigado, que es de $ 1,600 mt2
entonces
1600 * 7,261.5 = $ 11, 618, 400.00
C) Costo de los Yates
1.- Investigar el costo y las características de los Yates a disposición.
- Alliaura Privilege (18 m) US $ 976, 300.00
Bluewater 70 millenium (21 m) US$ 1, 132, 190.00
Fitzroy Polithouse Cruiser (24) US$ 3, 500,0000.00
D) Analizar el más conveniente
Paso 1: Ganancia de la venta del terreno= 11,618,400.00
84
Paso 2: Con esto decidimos que el Yate más conveniente es el Bluewater 70 millenium
cuyo costo en pesos mexicanos ( con tipo de cambio de $10.00 pesos por dallar) es de
$11, 321,900.00 pesos
Paso 3: Si comprara ese Yate le quedan $296,500.00 pesos.
CONCLUSIONES
Si Martina de la Garza desea hacer el cambio del terreno por un Yate, si puede
hacerlo ya que con el precio del Yate que le escogimos como el más conveniente aun le
sobran $296,500.00 pesos ese dinero que les sobra está perfecto ya que al comprar el
Yate tendrá también que pagar una serie de impuestos y gastos para asegurarlos.
BIBLIOGRAFIA Y MEDIOS DE INFORMACION
Apuntes del curso Asesoría de la profesora Libro de texto www. boatforsaleusa com wwvv.yachtworld.com
******************************'-***********************************************
85
7 .4 Modificación del proyecto.
Después de haber desarrollado prácticamente el proyecto de diseño, se observó lo
siguiente:
a) Los objetivos se cumplieron ampliamente, en tiempo y en su finalidad, por lo que
no hay que modificarlos.
b) Se abarcaron la totalidad de los contenidos.
c) La organización de los contenidos tuvo la secuencia adecuada.
7 .5 Recomendaciones generales al usuario.
Para el desarrollo de las actividades de esta propuesta es necesario que los
maestros empleen habilidades y actitudes relacionadas con el trabajo en equipo dentro
del aula, se recomienda fomentar en los alumnos una actitud de compromiso para
desarrollar de la mejor manera las actividades de aprendizaje que se proponen.
Las actividades están dirigidos a un grupo de 25 a 30 alumnos, ya que para un buen
desarrollo de estas tareas, sobre todo en lo que se refiere al trabajo en equipo, se
recomienda que el número no exceda a los 30 alumnos de esta manera se tendrá un
mejor control y andamiaje por parte del profesor.
Para la formación equipos se recomienda que sean máximo de 4 personas cuando
los grupos sean de más de 25 alumnos y máximo 3 cuando los grupos sean de menos
de 25, también se recomienda utilizar diversas estrategias dependiendo de la actividad
ya que en algunas se requiere que los equipos sean heterogéneos para propiciar una
interacción equitativa entre todos los compañeros de un grupo y en algunas otras son
preferibles que haya un estudiante destacado para que pueda brindar apoyo aquellos
que tienen dificultades.
Se debe tener especial cuidado con el tiempo, la distribución adecuada de los
tiempos, tomando en cuenta que las sesiones son de 50 minutos, será garantía del
buen desarrollo del trabajo escolar y de que no se quede a medias la actividad.
86
Por otro lado, las actividades que se realicen al aire libre deben ser pensadas con
anticipación, asegurándose de que la Institución educativa permite el uso del espacio
exterior seleccionado, también deben preverse las condiciones climatológicas y pedir al
alumno que vaya vestido de manera que le permita trabajar con comodidad y libertad.
VIII. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
Alcalá, M. (2002). La construcción del lenguaje matemático. España: Graó.
Alsina, C., Burgués, C., Fortuny, J., Gimenéz, J., y Torra, M., (1996). Enseñar
matemáticas. Barcelona: Graó.
Díaz, F. y Hernández, G., (1999). Estrategias Docentes para un Aprendizaje
Significativo, una interpretación constructivista .. México: Ma Graw Hill.
87
Coll, C., Martín, E., Mauri, T., Miras, M., Onrubia, J., Solé l. y Zabala, A., (2000). El
constructivismo en el aula. 12ª edición. España: Graó.
Goñi, J. Ma (coord .. ), Alsina, C., Ávila D., Burgués, C., Camellas, J., Corbalán F.,
García, M.A., y Hahn C., Serra, J., (2000). El currículo de matemáticas en los inicios del
siglo XXI. España: Graó.
Gorgorió, N., Deulofeu, J. Bishop, A (Coords.), Abreu, G., Balacheff, N., Clements,
K., Dreyfus, T., Goffree, F., Hilton, P. Nesher, P., y Ruthven, K. ( 2000) Matemáticas y
educación. España: Graó.
López, B. S. e Hinojosa, E. M. (2001 ). Evaluación del aprendizaje. México: Trillas.
Monereo, C. (coord.). (2001 ). Ser estrategico y a·tónomo aprendiendo. Unidades
didácticas de enseñanza estratégica para la ESO. Barcelona: Graó.
Parra, C y Saiz, 1 ( 1994) Didáctica de matemáticas. 1 ra. edición. Argentina: Paidós
Piaget, J. (1989) Psicología y Pedagogía. 6ta. edición. México: Ariel.
Pozo, J. (1996) Aprendices y maestros. 1 ra. edición. Madrid: Alianza EditoriaL
Pozo, J., Pérez, M., Domínguez, J., Gómez, M., y Postigo, Y. (1998) La solución
de problemas. México: Santillana.
Woolflk, A.(1996) Psicología Educativa. 2da. edición. México: Prentice may.
REFERENCIAS ELECTRÓNICA
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Recuperado el 3 de abril de 2003 en:
http: / /www monografias. com/trabajos6/apsi/apsi. shtml
ITESM (2002). El Aprendizaje Basado en Problemas como técnica didáctica.
88
Dirección de Investigación y Desarrollo Educativo, Vicerrectoría Académica. Instituto
Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey. Recuperado en la red el 2 de abril
de 2003. http //www.sistema.itesm.mx/va/dide/inf-doc/estrategias/abp.pdf
ITESM (2002). Técnicas didácticas, POL: Aprendizaje Basado en Proyectos,
Proyecto del curso Procesos humanos de la dirección, Maestría en administración,
Monterrey N. L. México, 2002. Consultado en la red el 6 de Abril de 2003.
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Ruiz, C. M. Evaluación formativa. Recuperado el 3 de abril de 2003 en:
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Sánchez, M. L. (2002). La evaluación educativa en México. Monografías.com.
Consultado en la red el 4 de abril de 2003 http://wvm.universidadab1e11a edu.rnx/princ1pals ht1rn
90
IX. ANEXOS
Anexo 1
La respuesta que des a cada una de las preguntas, servirá para una invest!gación
acerca de los problemas que se presentan en el estudio de las matemáticas, por lo que
agradeceremos su participación.
INSTRUCCIONES: Escribe sobre el renglón lo que se solicita.
Edad _____________ Grado que estudias ______ _
1.- ¿ Qué es lo que más te agradó de la materia matemáticas 111?
¿Porqué?
2. ¿Qué es lo que menos te agradó de la materia matemáticas 111?
¿Porqué?
3. ¿Consideras las matemáticas como una materia poco interesante? SI NO
¿Porqué?
4. ¿ Por qué consideras que a los estudiantes no les interesa estudiar matemáticas?
5. ¿Consideras que los métodos de enseñanza que emplea el maestro son
adecuados?
SIEMPRE ALGUNAS VECES
6. Lo que aprendes en matemáticas ¿ Puedes aplicarlo en tu vida diaria?
NUNCA
SIEMPRE ALGUNAS VECES NUNCA
91
7. Adem:lts de una buena explicación por parte del maestro, ¿qué cree que deba hacer
el profesor para que la clase de matemáticas fuera más interesante?
Anexo 2
La respuesta que des a cada una de las preguntas, servirá para sondear la
aceptación de un portafolio de actividades de aprendizaje para el curso de mate 111.
INSTRUCCIONES: Escribe sobre el renglón lo que se solicita.
Nombre Curso que imparte ------------- -------
1.- ¿Además de la exposición interactiva utiliza otro tipo de estrategia para la
enseñanza de matemáticas 111? ¿Por qué?
2. ¿Cree que la enseñanza de matemáticas III es uniforme cuando es impartida por
diferentes profesores? ¿Por qué?
3. ¿ Cree que el desarrollo de actividades de aprendizaje pueda motivar el interés del
alumno por la materia de mate 111? ¿Por qué?
4. ¿ Cree que el desarrollo de un portafolio de actividades de aprendizaje para la
materia matemáticas III pueda homogenizar este curso cuando la clase es impartida p0<
diferentes profesores? ¿Por qué?
93
5.-¿Utilizaría el portafolio de actividades? ¿Por qué?
Anexo 3
Rúbrica del Desarrollo de PBL i
i 1= nunca
r ' ! ! 3 = algunas i 4 = casi
1 ,¡ . ¡veces ¡siempre
~~-'-- --· .. . ..... .. .. . - . -·---. . . - --· ,-- -"-=-'-e=--' ---- __ ,:__....:.,..::;;::.=..:_~__::_:,. __ -=-:.:-_.cc..·=-1.===.c..c·
Paso 1. Brindó apoyo a los integrantes
y participó en la clarificación de
conceptos para que el equipo tenga
una idea uniforme sobre el problema.
Paso 2: Plantea hipótesis, ideas y/ o
teorías que justifiquen lo que sucede
(lluvia de ideas)
Paso 3: Reconoce y determina que
es lo que se sabe y que es lo que no
se sabe.
Paso 4: Presentan un listado lo que
necesitan saber.
Paso 5: Expone el problema en forma clara
Paso 6: Presenten un plan de acción para solucionar el problema.
Paso 7: Analiza la información y inalmente llegan a un aprendizaje y
transferir a sus compañeros de clase
Paso 7: Utilizan la biblioteca digital.
94
5 = siempre
------~-- -----··-·--··
!Nombre: Calificación• ------- ----;
-
1 Rúbrica de evaluación individual en ¡
el desarrollo de PBL 1 = deficiente 3= 4 = bien 5 = Muy bien
regular
1.- Participó activamente en la
clarificación de conceptos.
2. Aporta ideas relevantes para la
definición de problemas.
3. Tiene una participación activa en la
lluvia de ideas.
14. Tiene una participación dinámica en
la formulación de los objetivos: 1
'
5. Investiga en medios escritos y 1
biblioteca digital y comprende los
contenidos asignados por el equipo
6. Muestra compromiso y
responsabilidad con su equipo y con
misma actividad.
Ir""\ __ . • _ _ __ _ A _ 111 ~. -~ _f f A'
Anexo 4
Formato de evaluación de las sesiones de modelación.
Nombre ----------------Fecha -------------Tema --------------El equipo:
Realmente trata de razonar el problema
Se da por vencido muy rápidamente
Muestra disponibilidad para trabajar.
Aporta opiniones relevantes
Muestra una actitud activa.
En base a lo anterior el desempeño del alumno fue
Excelente (5) Regular (3) Pésimo (O)
Sí --Sí --
Sí --
Sí --
Sí --
No
No
No
No
No
1
()()
97
Anexo 5
Formato de evaluación de la sesión tipo taller
Nombre
Fecha
Tema
Muestra una actitud activa. Sí No
Trabaja en la solución de problemas. Sí No
Resolvió el 90% de los problemas asignados Sí No
Preguntó sus dudas al profesor Sí No
Trabajo de fom,a ordenada y respetuosa Sí No
En general el desempeño del alumno para esta actividad fue
Excelente (5) Regular (3) Pésimo (0)1
98
Anexo 6
Observaciones de la actividad: Resolver en pizarrón.
• Tuvo una actitud positiva al pasar al pizarrón. Sí 5 3 1 No
• Resolvió con seguridad. Sí 5 3 1 No
• El procedimiento matemático fue correcto. Sí 5 3 1 No
• Resolvió correctamente el problema. Sí 5 3 1 No
• Actuó con respeto a sus compañero al estar en pizarrón.Sí 5 3 1 No
99
Anexo 7
Nombre del alumno Actividad ---------- -------------Fecha -------------Disponibilidad para trabajar Durante toda la actividad 5 3 1 Nada
Muestra interés o curiosidad en la actividad. Durante toda la actividad 5 3 1 Nada
Sigue las instrucciones con orden y precisión Durante toda la actividad 5 3 1 Nada
Participa en el desarrollo matemático. Durante toda la actividad 5 3 1 Nada
Muestra respeto hacia sus compañeros.
Acepta las opiniones de los demás
En general su participación en la actividad fue
Durante toda la actividad 5 3 1 Nada
Durante toda la actividad 5 3 1 Nada
Excelente 5 3 1 Pésima
100
Anexo 8
Nombre: Matrícula: -----------------------
Excelente Muy
bien
Suficiente regular Insuficiente
1. El trabajo que realizaste en
esta actividad es.
2. El trabajo realizado por tus
compañeros de equipo fue.
3. Las aportaciones hechas por
ti fueron.
4. Las aportaciones de los
compañeros fueron;
6. El desempeño del trabajo
efectuado por el equipo.
7. Las aportaciones hechas por tus
compañeros, te dejaron algún
aprendizaje;
SI NO
