Diseño y Simulación de Observadores de Estado Para Un Proceso de Polimerización De

Diseño y Simulación de Observadores de Estado

para un Proceso de Polimerización de

Metacrilato de Metilo

Por:

Esteban Ocampo Ordoñez

IE

Trabajo dirigido de grado para optar al título de

Ingeniero de Control

Director:

Héctor Antonio Botero Castro

IE, M.Sc, Ph.D.

Universidad Nacional De Colombia

Sede Medellín

Facultad de Minas

2012

Agradecimientos

A Mis padres por enseñarme el valor de la perseverancia y la voluntad que han sido indispensables

para hacer realidad mis sueños y por su apoyo incondicional, han sido el bastón y la guía para mi

camino por la vida.

A mis hermanos, familiares y amigos que han llenado de alegría y enseñanza cada momento que

con ellos he compartido.

A los profesores Héctor Antonio Botero y Jose Fernando Tirado por el apoyo y la orientación en la

realización de este trabajo.

A la Universidad Nacional y a sus profesores que han hecho de esta la mejor experiencia de

formación para forjar las herramientas del conocimiento, que me permitirán contribuir al desarrollo

de un mundo mejor.

Universidad Nacional de Colombia

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RESUMEN

En los procesos en general en ocasiones se presenta la dificultad de la medición de variables de

interés, ya sea por el alto costo de la instrumentación o por los impedimentos físico y/o químicos

para realizar la medición, Los Estimadores de Estado son una solución para estas dificultades

puesto que a partir de un modelo del proceso y con el conocimiento de las entradas y salidas de este

es posible obtener el conocimiento de todas las variables de estado.

El objetivo de este trabajo de grado es diseñar dos Estimadores de Estado, un filtro de Kalman

extendido FKE y un observador no lineal para comparar el desempeño de éstos en la estimación de

los estados en un reactor de polimerización de metacrilato de metilo MMA.

El desarrollo de este trabajo se divide en tres partes, las primera es el conocimiento del problema,

para esto se realiza una revisión del procesos de polimerización de metacrilato de metilo, seguido de

una revisión de los estimadores más usuales en este tipo de procesos.

La segunda parte del trabajo se estudia el modelo del proceso de metacrilato de metilo que tiene

lugar en un reactor continuo de tanque agitado CSTR, además de los fundamentos teóricos para el

diseño del observador de Luenberger, y el filtro de Kalman.

La tercera parte se realiza la prueba del los diseños de los estimadores por medio de la comparación

de las simulaciones, se usa un criterio de desempeño IAE y se evalúan en: condiciones iníciales

diferentes, ruido en la medición y cambio de los parámetros de la planta. Finalmente se obtiene las

conclusiones del trabajo.

Palabras claves: Estimador de Estado, Proceso de Polimerización, Medición de variables,

Metacrilato de Metilo, Observabilidad, Detectabilidad, Observador de Luenberger, filtro de

Kalman, Momento de Orden, Promedio de peso molecular.


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Abstract

In the overall process sometimes presents the difficulty of measuring variables of interest, either by

the high cost of instrumentation or physical and / or chemicals impairments to make the

measurement, The State Estimators are a solution to these difficulties as from a process model and

the knowledge of the inputs and outputs of this is possible to obtain the knowledge of all state

variables.

The aim of this work is to design two estimators degree of state extended Kalman filter and an

observer nonlinear compare the performance of these in the state estimation in a polymerization

reactor of methyl methacrylate MMA.

The development of this paper is divided into three parts, the first is knowledge of the problem, this

is a review of the processes of polymerization of methyl methacrylate, followed by a review of the

most common estimators in such processes.

The second part of the model is studied methyl methacrylate process that takes place in a

continuous stirred tank reactor CSTR, as well as the theoretical basis for the design of the

Luenberger observer and Kalman filter.

The third part is done the test of designs of the estimates by comparing the simulations, it used a

performance criterion IAE and evaluated: different initial conditions, measurement noise and

change the parameters of the plant . Finally we get the conclusions.

Keywords: State Estimator, Polymerization Process, Measurement of variables, methyl

methacrylate, Observability, Detectability, Luenberger Observer, Kalman filter, Time of Order,

Average molecular weight.


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INDICE

Capitulo 1 ........................................................................................................................................... 6

1. Introducción ................................................................................................................................ 6

1.1. Descripción del problema .................................................................................................... 6

1.2. Revisión de la literatura ....................................................................................................... 7

1.3. Organización del trabajo ................................................................................................... 11

Capitulo 2 ......................................................................................................................................... 12

2. Proceso De Polimerización ....................................................................................................... 12

2.1. Descripción de la polimerización ...................................................................................... 12

2.2. Poli-metil-metacrilato (PMMA) ........................................................................................ 14

2.3. Modelo Fenomenológico de un Reactor de Polimerización de MMA .............................. 15

Capitulo 3 ......................................................................................................................................... 19

3. Diseño de Observadores para el Polimerizador de MMA ......................................................... 19

3.1. Prueba de Observabilidad .................................................................................................. 19

3.1.1. Observabilidad en un Sistema Lineal ........................................................................ 20

3.1.2. Observabilidad local en un Sistema No Lineal ......................................................... 20

3.2. Prueba de observabilidad en el reactor de polimerización de (MMA) .............................. 21

3.3. Observador de Luenberger ................................................................................................ 23

3.3.1. Observador De Luenberger Extendido ...................................................................... 24

3.4. Filtro de Kalman................................................................................................................ 25

3.4.1. Filtro de Kalman Extendido (FKE) ........................................................................... 26

Capitulo 4 ......................................................................................................................................... 27

4. Comparación de los Estimadores y Conclusiones ..................................................................... 27

4.1. Índice de desempeño ......................................................................................................... 27

4.2. Comparación de los Estimadores ...................................................................................... 27

4.2.1. Modelo No Lineal vs Modelo Linealizado ................................................................ 27

4.2.2. Luenberger Lineal vs Luenberger Extendido ............................................................ 29

4.2.3. Filtro de Kalman vs Filtro de Kalman Extendido .................................................... 33

4.2.4. Luenberger Lineal vs Filtro de Kalman ................................................................... 35

4.2.5. Luenberger con modelo no lineal vs Filtro de Kalman Extendido ........................... 38

4.3. Análisis de Resultados ...................................................................................................... 40

4.4. Conclusiones ..................................................................................................................... 41

BIBLIOGRAFIA ............................................................................................................................. 42


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Lista de Figuras

Figura 1. Una clasificación de estimadores de estado estocásticos [2]. .............................................. 9

Figura 2. Polimerización de metil metacrilato (PMMA). ................................................................. 12

Figura 3. 2,2'-azo-bis-isobutirilnitrilo (AIBN). ................................................................................ 12

Figura 4 Fragmentos de iniciador (radicales libres). ......................................................................... 13

Figura 5. Proceso de polimerización de MMA en un CSTR. ............................................................ 15

Figura 6. Graficas de las linealización del modelo vs el modelo no lineal. ...................................... 28

Figura 7. Gráficas de la prueba uno comparación de OL vs ONL. .................................................. 30

Figura 8. Gráficas de la prueba uno comparación de OL vs ONL. .................................................. 31

Figura 9. Entradas para la comparación FK vs FKE. ........................................................................ 33

Figura 10. Graficas de la simulación FK vs FKE.............................................................................. 34

Figura 11. Graficas de la simulación FK vs FKE.............................................................................. 35

Figura 12. Graficas de comparación entre OL y FK. ........................................................................ 36

Figura 13. Graficas de comparación de OL vs FK variables estimadas. ........................................... 37

Figura 14. Gráfica de las entradas para la comparación de ONL vs FKE. ........................................ 38

Figura 15 Gráfica de la comparación de ONL vs FKE en estados estimados. ................................. 39

Figura 16. Gráfica de la comparación de ONL vs FKE para los momentos de orden cero y orden

uno. .................................................................................................................................................... 40

Lista de Tablas

Tabla 1. Resultados de las simulaciones [1]..................................................................................... 10

Tabla 2. Pasos del proceso de polimerización [2]. ............................................................................ 15

Tabla 3. Descripción de las variables de Estado. .............................................................................. 16

Tabla 4. Parámetros de diseño y operación del proceso. ................................................................... 18

Tabla 5. Puntos de operación del proceso. ........................................................................................ 18

Tabla 6. Punto de operación. ............................................................................................................. 21

Tabla 7. Índice de desempeño prueba 1. ........................................................................................... 32

Tabla 8. Índice de desempeño prueba 2. ........................................................................................... 32

Tabla 9 Índice de desempeño filtro de Kalman vs filtro de Kalman extendido. ............................... 33

Tabla 10. Índice de desempeño para comparación entre OL y FK. .................................................. 35

Tabla 11. Índice de desempeño filtro de Kalman vs filtro de Kalman extendido. ............................ 38

Tabla 12. Resumen de los resultados del error de estimación. .......................................................... 40

Capítulo 1. Introducción al Problema

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Capítulo 1

1. Introducción

En este capítulo se realiza una descripción del problema que se trabajara en todo el documento,

posteriormente se presenta una revisión de algunos artículos para ampliar el contexto en el cual se

desarrolla el problema y finalmente se realiza una breve descripción de la organización del trabajo.

1.1. Descripción del problema

Los productos de polímeros se utilizan en un gran número de aplicaciones. La calidad, capacidad de

procesamiento, y la utilidad de estos productos dependen en gran medida de la distribución del peso

molecular (MWD) del polímero, que se especifica en la etapa de síntesis.

El MWD es medido por medio de las cadenas de orden cero y de primer orden del polímero; estos

son difíciles y costosos de medir.

En muchos casos, se realizan procedimientos previos para adecuar el MWD con el fin de

caracterizar la calidad de los productos de los polímeros. En la práctica, cuando el MWD es medido

en línea se generan retrasos importantes de tiempo, lo cual limita el control en los reactores.

Esta situación ha llevado a que la calidad de los productos obtenidos por medio de procesos no sean

controlados de manera directa; sino por medio de variables como la temperatura y otras variables de

operación. Sin embargo los resultados en algunas ocasiones no cumplen con los estándares de

calidad requeridos.

Para mejorar los resultados del control de este proceso se usa la estimación de las variables del

proceso por medio de observadores de estado.

En este trabajo se estudia el proceso, y se propone el diseño de un filtro de Kalman extendido FKE

y un observador no lineal para comparar el desempeño de éstos en la estimación de los estados del

reactor de polimerización.


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1.2. Revisión de la literatura

En [1] se realiza una revisión de la literatura para comprender la conducta de los CSTR (reactor

continuo de tanque agitado) en el cual se lleva a cabo la reacción del proceso de polimerización que

se está estudiando en este trabajo, este posee conductas no lineales, múltiples estados y inestabilidad

en reacciones químicas exotérmicas, además se encuentran muchos tipos de fenómenos como

bifurcaciones, ciclos de histéresis; se enfatiza en las conductas complejas que se presentan incluso

en los sistemas de reacciones simples, El conocimiento de estas conductas es importante para el

diseño, la optimización, la estimación y el control.

La estimación y el control de los reactores de polimerización se presentan como un problema

complejo, esta situación se atribuye a la extrema sensibilidad de los estados estables a pequeños

cambios en los parámetros de los valores y las condiciones de operación y las altas no linealidades

que las dinámicas de los reactores contienen.

En el artículo se usan dos métodos el diagrama de bifurcaciones y el diagrama de multiplicidad

global para definir con estos las regiones de inestabilidad del sistema y comprender la manera en

que los cambios de diseño afectan los estados estables en lazo abierto del comportamiento no lineal.

Este conocimiento puede ser usado para remover las regiones donde la operación no es posible, o

donde el sistema puede ser difícil de controlar.

Los parámetros que son estudiados en el artículo para modificar el comportamiento no lineal de la

planta son: alfa (dimensiones del volumen de reactor) y beta (dimensión del calor de la reacción),

los cambios de estos llevaran a modificar el comportamiento del sistema, permitiendo la operación

en las regiones deseadas.

Del análisis realizado acerca del comportamiento del sistema se identifico los siguientes ítems:

El incremento del flujo de agua de refrigeración ocasiona un aumento en el incremento del

MWD.

Un pequeño incremento en la concentración del iniciador (que es obtenido al usar menos

cantidad de solvente) llevaría a una repentina subida de la temperatura, (esto sucede porque

más radicales son formados llevando a grandes efectos exotérmicos) llevando el MWD a

valores muy pequeños.

Por otro lado un decremento en la concentración del iniciador resultaría en pequeñas

modificaciones de temperatura del reactor y en pequeñas variaciones del MWD y las

propiedades del polímero.

El flujo del iniciador puede ser usado para control de lazo cerrado o podría tomar un papel de

perturbación en el proceso.


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En [3] se usa un estimador FKE en un reactor de polimerización, en el que toma lugar una

polimerización en suspensión de metacrilato de metilo. Se valida un modelo que se propone en la

literatura, a través de un configuración experimental. Usando este modelo y solo tomando en cuenta

una sola salida medida del reactor, la temperatura, se logra estimar el promedio del peso molecular.

Los momentos muertos del polímero no son observables (D0, D1, D2), son detectables. Desde la

medida de temperatura, el vector de estados que será actualizado contiene solo los estados

observables (Cm, Ci,T), por lo tanto la estimación se hace con un FKE para los estados observables,

y con un observador en lazo abierto para los estados detectables

Si alguna de las mediciones puede ser considerada como libre de ruido, la ganancia del filtro se

puede volver infinita.

El FKE puede volverse inestable, particularmente cuando el problema está mal condicionado, para

evitar esto se pueden usar métodos sugeridos en la literatura como las raíces cuadradas de Potters, y

la factorización de Biermans U-D.

Cuando alguna de las perturbaciones es no estacionaria o hay errores en el modelo, el filtro puede

divergir o proporcionar una estimación parcial. para evitar esto se puede incrementar los elementos

del proceso de ruido de la matriz de covarianzas la cual es equivalente a agregar ruido ficticio al

sistema, alternativamente se puede calcular la matriz de covarianzas Q de una manera adaptativa,

otro forma es incorporar pocas perturbaciones no estacionarias.

El Filtro de Kalman extendido (FKE), fue probado en el [3] mediante simulación experimental en

presencia de ciertos parámetros de incertidumbre. Donde agregaron ruido ficticio a los parámetros.

Pesentan cuatro casos para la prueba del filtro. La matriz de covarianza de la medición de salida R

es 0.0015. Las matrices Po y Q son expuestas en el artículo para los diferentes casos probados.

En [3] los resultados de la simulación indicaron que si todas las incertidumbres del modelo pueden

ser descritas como ruido blanco, entonces la estimación converge sin error. Para mejorar la

estimación en presencia de incertidumbre en los parámetros y o perturbaciones no estacionarias, se

puede ingresar ruido ficticio y o parámetros como estados del sistema mejorando de esta manera la

estimación de estados no detectables. De los análisis realizados en el artículo se expone que cuando

la incertidumbre de los parámetros es desconocida, la mejor selección para los parámetros de

estados es la masa inicial del monómero.

En [5] usaron, un método de diseño para observadores no-lineal de orden reducido, en un reactor de

polimerización de metacrilato de metilo para el cual estiman la concentración del iniciador, la

concentración del solvente y los momentos para hallar el MWD, en distintos escenarios de

estimación. La convergencia global del observador no lineal la demuestran en uno de los escenarios

de medición. La aplicación y el rendimiento del método de diseño de observadores no lineales los

comparan con los de un FKE.

Para el primero de los casos de comparación usan como vector de salidas y = [Cm; T; Tj]; la

concentración del iniciador Ci es observable, y las variables Cs concentración de solvente y los

momentos de D0, D1, D2 no son observables pero si son detectables. En este caso el observador de

orden reducido presenta una dinámica del error globalmente asintóticamente estable, sin embargo


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las ganancias que modifican la dinámica del observador solo puede ser ajustadas para mejorar la

convergencia de los estados observables. En la simulación se prueban dos observadores no lineales

y dos FKE, en dos condiciones iníciales diferentes, correspondientes al 50 % y al 150 % de la

condición inicial del proceso. De esta simulación se puede observar que el FKE es un mucho más

lento que el observador no lineal.

Para otro caso de comparación el vector de salida incluye la medida del Mw = D2 / D1 esta es

inferida de la medida de viscosidad quedando como vector de salidas y = [Cm; T; Tj, Mw]. En este

caso se presenta mejores resultados de estimación debido a que se infiere la medida del MWD por

medio de la viscosidad, haciendo observables los momentos de orden cero y de orden 1.

El diseño y la implementación del observador no lineal son más fáciles en comparación con el FKE.

Los resultados de simulación muestran que en algunos casos el observador de estado no lineal

supera el FKE para los estados observables, y exhiben un comportamiento similar con respecto los

estados no son observables [5].

Las teorías de estimación se han aplicado en muchos procesos de ingeniería, los FKE han sido muy

usado sin embargo presentan un bajo desempeño cuando se presenta ruido gaussiano propios de las

no linealidades de las dinámicas de dichos procesos [2].

En la actualidad se estudian diferentes tipos de Estimadores para su implementación en procesos

donde se presentan fuertes dinámicas no lineales. A continuación se presenta un mapa conceptual

en el cual se expone la clasificación de los Estimadores Estados estocásticos [2].

Figura 1. Una clasificación de estimadores de estado estocásticos [2].

Los estimadores no lineales tales como los UKF, y filtros de partículas PF, han sido desarrollados

direccionados en las limitaciones teóricas de los FKE, en [2] se estudia el efecto de estos y su


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desempeño practico en el proceso de polimerización de MMA que se da en un reactor de tanque

agitado CSTR, bajo diferentes escenarios de estados, medición de ruido y cambios en el modelo.

El FKE es computacionalmente costoso para los sistemas de orden superior, ya que

requiere el cálculo del Jacobiano en cada paso de tiempo. Si hay malas estimaciones del

estado inicial o desajustes en el modelo de la planta podría hacer que el filtro diverja. Sin

embargo, el FKE exhibe un rendimiento superior en escenarios donde los supuestos subyacentes

son válidos.

El FKE requiere la linealización de la dinámica del modelo, Además, se requiere que el vector de la

función no lineal sea suave y diferenciable, los cual no resulta para muchos sistemas híbridos que

involucrar a los estados continuos y discretos; Por tales razones en algunos casos es necesario

aplicar estimadores alternos que proporcionen una mejor solución al problema de Estimación, como

el UKF y el PF y que se basan en una solución aproximada de las ecuaciones dinámicas en lugar de

resolver las ecuaciones lineales que se obtienen mediante la aproximación de la dinámica del

sistema.

En la siguiente tabla se presenta los resultados obtenidos en el artículo [2] para los tres estimadores

probados, de estas se resalta el desempeño que tienen el UKF y el PF, resultan ser más robustos en

comparación con el FKE en los seis casos analizados.

Tabla 1. Resultados de las simulaciones [1].

Caso Ruido en la

medición

Ruido en los

estados

Inconsistencias en el

Modelo-planta

Conclusiones de desempeño

(filtros escogidos)

1 G - - FKE,UKF,PF

2 G G - UKF, PF

3 NG NG - UKF, PF

4 NG - - FKE,UKF,PF

5 NG - En Parámetros UKF, PF

6 NG - Parámetros estimados UKF, PF

Para un modelo de la planta perfectamente igual, el FKE es capaz de proporcionar una buena

estimación, como resulta para los casos 1 y 4

Cuando hay ruido no gaussiano en los estados después de pasar por las dinámicas no lineales, el

FKE presenta un pobre desempeño como se percibe en los casos 2 y 3

Cuando hay falta de coincidencia entre el modelo y la planta el UKF y PF presentan mejor

desempeño que el FKE.

De lo que se puede deducir que el FKE trabaja bien cuando la aproximación lineal de las ecuaciones

del sistema representas las dinámicas del sistema.

En el caso 6 se presenta estimación de parámetros, se prefieren el UKF y PF frente al FKE, siendo

la diferencia en el error de estimación muy poca entre estos, sin embargo debido a que en este caso


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pequeños cambios del parámetro estimado tiene efectos muy grandes sobre las demás variables del

sistema, se requiere mayor precisión en la estimación.

El desempeño de los estimadores varia con base en el grado de no linealidades del sistema

dinámico, del los niveles de ruido en las mediciones y en los estados y del grado de discrepancia

entre el modelo y la planta.

Se reconoce por lo tanto que el UKF y el PF presentan mejor desempeño para los procesos

químicos que el FKE eso es porque la aproximación de linealizacion del FKE no captura las altas

no linealidades de las dinámicas del proceso. Las altas no linealidades en las dinámicas se exhiben

cuando el ruido de covarianza es alto.

1.3. Organización del trabajo

El trabajo presentado en este documento está organizado de la siguiente manera, en el capítulo 2

se presenta una descripción del proceso de polimerización de metacrilato de metilo (MMA) y las

ecuaciones de un modelo para la polimerización de MMA en un reactor de tanque agitado CSTR en

el cual se considera la dinámica de temperatura. En el capítulo 3 se realiza la prueba de

observabilidad del modelo y el diseño de los estimadores, en el capítulo 4 se lleva a cabo la

comparación de los estimadores de estado; se presentan los resultados y las conclusiones obtenidas

de la comparación y el diseño de ambos estimadores.

Capítulo 2. Proceso de Polimerización

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Capítulo 2

2. Proceso De Polimerización

En este capítulo se realiza una descripción del proceso de polimerización de MMA, y de las

ecuaciones del modelo para un reactor de polimerización MMA continuo de tanque agitado, para el

cual se tuvieron en cuenta la dinámica de temperatura.

2.1. Descripción de la polimerización

Durante la fabricación de un polímero, se parte del monómero que es la estructura básica que se

repite miles de veces, está estructura es estándar y dependiendo de ella es el nombre que recibe el

polímero, en este caso se tiene el metil metacrilato y por medio de polimerización vinílica de

radicales libres se obtiene el poli (metacrilato de metilo) (PMMA) como se indica en la Figura 1.

Figura 2. Polimerización de metil metacrilato (PMMA).

La polimerización por radicales libres. Se emplea para sintetizar polímeros a partir de monómeros

vinílicos, es decir, pequeñas moléculas que contienen enlaces dobles carbono-carbono, este proceso

se puede clasificar en varias etapas:

El proceso comienza con una molécula llamada iniciador. Este puede ser por ejemplo el 2,2'-azo-

bis-isobutirilnitrilo (AIBN).

Figura 3. 2,2'-azo-bis-isobutirilnitrilo (AIBN).


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Estas moléculas, poseen la inexplicable habilidad de escindirse o desaparear el par de electrones. El

par de electrones del enlace que se rompe, se separa Cuando ocurre esta escisión, quedan dos

fragmentos llamados fragmentos de iniciador, provenientes de la molécula original, cada uno con

un electrón desapareado. Las moléculas como éstas, con electrones desapareados reciben el nombre

de radicales libres.

Figura 4 Fragmentos de iniciador (radicales libres).

El doble enlace carbono-carbono de un monómero vinílico como el etileno, tiene un par electrónico

susceptible de ser fácilmente atacado por un radical libre. El electrón desapareado, cuando se acerca

al par de electrones, se roba uno de ellos para aparearse. Este nuevo par electrónico establece un

nuevo enlace químico entre el fragmento de iniciador y uno de los carbonos del doble enlace de la

molécula de monómero. Este electrón, sin tener dónde ir, se asocia al átomo de carbono que no está

unido al fragmento de iniciador. Teniendo un nuevo radical libre.

El proceso completo puede clasificar en las siguientes etapas:

Iniciación: desde la ruptura de la molécula del iniciador para generar radicales hasta la reacción

del radical con una molécula de monómero.

Propagación: es la adición de moléculas monoméricas a las cadenas en crecimiento, esto sucede

porque se regenera el radical, y se continúa con el agregado de más y más moléculas. Las

reacciones como éstas que se auto-perpetúan, son denominadas reacciones en cadena.

Terminación: esta se lleva a cabo por acoplamiento o por desproporción debido a que los

radicales son inestables y finalmente van a encontrar una forma de aparearse sin generar un

nuevo radical. Entonces la reacción en cadena comenzará a detenerse.

La calidad del polímero depende de la distribución del peso molecular (MWD), el cual es obtenido

por medio de los momentos de orden cero y orden uno, estos dan un indicio acerca de la longitud

de la cadena del polímero, está depende principalmente de la concentración del iniciador.

Momento de orden 0: Físicamente representa la concentración total de partículas para un

instante dado y un punto dado.

Momento de orden 1: Físicamente no tiene significado, pero si se divide por el momento de

orden 0, representa el diámetro medio de las partículas de la distribución:


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2.2. Poli-metil-metacrilato (PMMA)

El PMMA es miembro de una familia de polímeros que los químicos llaman acrilatos, o

comúnmente conocidos como acrílicos.

El poli-metil metacrilato es un material amorfo, duro, rígido y transparente. Tienen una resistencia

al envejecimiento extremadamente buena, si se le compara con los demás materiales termoplásticos.

Es usado como material irrompible en reemplazo del cristal.

Las propiedades ópticas del PMMA son importantes; Absorbe muy poca luz y cuando la luz incide

normalmente, hay un 4 % de reflexión. Por lo tanto, la transmisión de la luz que incide

normalmente sobre una plancha de material acrílico puro es del 92 % aproximadamente.

Debido a su naturaleza polar el polimetil metacrilato no presenta propiedades de aislante eléctrico,

debido a que los grupos polares se encuentran en la cadena lateral el polímero presenta alta

constante dieléctrica y alto factor de pérdidas a temperaturas por debajo de la Tg.

Es soluble en disolventes tales como acetato de etilo (18.6), bicloruro de etileno (20.0),

tricloroetileno (19), cloroformo (19) y tolueno (20), todo ellos en unidades (MJ/m3)1/2.

La mayor parte de las aplicaciones del poli-metil-metacrilato provienen de su excelente transmisión

de luz y de sus buenas propiedades de resistencia al envejecimiento por exposición a la intemperie.

Por estas cualidades es utilizado en la industria del automóvil, iluminación, cosméticos,

espectáculos, construcción y óptica, entre muchas otras. En el mundo de la medicina se utiliza la

resina de PMMA para la fabricación de prótesis óseas y dentales y como aditivo en polvo en la

formulación de muchas de las pastillas que podemos tomar por vía oral. Se utiliza para hacer las

superficies de las bañeras, piletas de cocina y tinas de baño, duchas de una sola pieza, Además es

muy apropiado para placa de propaganda.

A nivel de laboratorio se puede obtener PMMA por vía radical o aniónica, en disolución, en bloque,

en suspensión o en emulsión. Pero industrialmente su obtención es por polimerización radical:

En bloque o por síntesis en colada: el polímero se obtiene en un molde y adopta la forma

definitiva con la que será utilizado

En suspensión: formando una pequeñas partículas esféricas o perlas que pueden ser moldeadas

por extrusión o por inyección.

http://www.monografias.com/trabajos5/natlu/natlu.shtml

http://www.monografias.com/trabajos11/grupo/grupo.shtml

http://www.monografias.com/trabajos29/especialistas-medicos/especialistas-medicos.shtml

http://www.monografias.com/trabajos/tesisgrado/tesisgrado.shtml

http://www.monografias.com/trabajos11/teorela/teorela.shtml#PROPAG

http://www.eis.uva.es/~macromol/curso03-04/PMAM/obtencion.htm


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2.3. Modelo Fenomenológico de un Reactor de Polimerización de MMA

La polimerización de (metil metacrilato) MMA toma lugar en un CSTR con un iniciador y un

solvente. La reacción es exotérmica, Se usa una chaqueta refrigerante para remover el calor de la

reacción [2]. En la Figura 5, se muestra un esquema del proceso.

Figura 5. Proceso de polimerización de MMA en un CSTR.

En este proceso de polimerización de MMA, se usa AIBN como el iniciador y tolueno como

solvente. El mecanismo de reacción se da por radicales libres, y está constituido por los siguientes

pasos de la tabla 2:

Tabla 2. Pasos del proceso de polimerización [2].

Iniciación

Propagación

Transferencia de Monómero

Terminación por Adicción

Terminación por Desproporción

Donde I es el iniciador, P el polímero, M monómero, R radicales, y D terminación del polímero.


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De los modelos encontrados en [5], [4] y [3], Se escoge el encontrado en [4] por incluir las

dinámicas de temperatura.

Los supuestos para el modelo matemático para el sistema reportador en [4], son:

A. El contenido en el reactor es perfectamente mezclado.

B. La densidad y la capacidad de calor de la mezcla de la reacción es constante.

C. La densidad y la capacidad de calor del fluido refrigerante también es constante.

D. La temperatura del fluido es uniforme.

E. La reacción solo ocurre en el interior del reactor.

F. No hay efecto gel (la conversión de monómero es bajo y la proporción de solvente

mezclado en la reacción es muy alta).

G. El volumen del reactor es constante.

H. La reacción de polimerización ocurre por el mecanismo de radicales libres.

Tabla 3. Descripción de las variables de Estado.

NOMBRE

GENÉRICO

SIMBOLO

GENÉRICO

SIMBOLO

ESPECÍFICO

NOMBRE ESPECÍFICO

Estados

x1 (Cm) Concentración del monómero a la salida

x2 (CI) Concentrador del iniciador a la salida

x3 (T) Temperatura en el reactor

x4 (Do) Momento de orden cero de la distribución de la

longitud de la cadena

x5 (D1) Momento de orden uno de la distribución de la

longitud de la cadena

x6 (Tj) Temperatura en la chaqueta

El modelo matemático se compone de seis estados (Cm, Ci, T, D0, D1, Tj) representado por seis

ecuaciones diferenciales no lineales que aparecen a continuación.


________________________________________________________________________________

17

Las constantes de la reacción están definidas por la siguiente ecuación:

El estado Do y D1 solo aparece en el respectivo balance de las ecuaciones 4 y 5 por lo tanto demás

estado son independientes de estos dos. El promedio del peso molecular del polímero (MWD) está

definido como el cambio entre D1/ Do [3].

Las mediciones posibles en la solución del reactor de polimerización incluyen, la densidad, la

viscosidad, el MWD de la mezcla de la reacción, la temperatura y la presión.

La densidad y la viscosidad la temperatura y la presión pueden ser medidas en línea, estas medidas

están disponibles a suficientes altas frecuencias. Pueden ser consideradas como funciones continuas

en el tiempo por su rápida medición.

El MWD también puede ser obtenida por la permeación cromatografíca del gel GPC, está medida es

disponible con retardos significativos por tener usualmente una baja tasa de muestreo.


________________________________________________________________________________

18

Los parámetros de diseño y operación del proceso están contenidos en la tabla 2.

Tabla 4. Parámetros de diseño y operación del proceso.

El sistema exhibe tres estados estables según el análisis realizado en [3] En la tabla 3. Se muestran

los estados estables y sus respectivos valores propios. El punto de operación definido como optimo

se denota como el estado 1. Dos de los tres estados son estables y uno de ello es inestable.

Tabla 5. Puntos de operación del proceso.

Estados 1 (Optimo) 2 3

El modelo matemático usado junto con los supuestos del modelo, podrían solo ser usados para un

propósito practico para el primer y segundo estados donde la conversión obtenida es baja (7.8% y

8.9%, respectivamente). En este estado es perfectamente válido descuidar el efecto gel porque

normalmente tal efecto puede aparecer para conversiones alrededor de 20 y 30 % incluso cuando se

usa solvente. Por lo tanto el efecto del solvente debe ser incluido si uno desea un análisis alrededor

del tercer estado estable el cual corresponde a una región de alta conversión [1].

Capítulo 3. Diseño de Estimadores

________________________________________________________________________________

19

Capítulo 3

3. Diseño de Observadores para el Polimerizador de MMA

En este capítulo se exponen algunos de los métodos que hay para realizar la prueba de la propiedad

de observabilidad al modelo, además se exponen el procedimiento para el diseño del observador de

Luenberger y el filtro de Kalman en sus versiones para sistemas lineal y no lineal.

3.1. Prueba de Observabilidad

La observabilidad es la propiedad de un modelo para reconstruir el estado x(t) y el estado de

condición inicial x(0), desde el conocimiento de las entradas u(t) y las salidas y(t) en un intervalo de

tiempo definido.

El sistema x = f(x, u) es observable (respuesta a x(0)) si no admite ningún par de estados iníciales

indistinguibles [7].

Un ejemplo de indistinguibilidad es que dos trayectorias de salida iguales provengan de condiciones

iníciales diferentes, por lo tanto los estados iníciales son indistinguibles desde la salida.

La propiedad de observabilidad es una condición suficiente para garantizar que los estados puedan

ser estimados, cuando algunos estados del sistema no son observables se prueba la detectabilidad de

estos, puesto que es una condición necesaria y suficiente para garantizar que los estados pueden ser

estimados.

Se puede decir que un sistema es detectable si el subespacio del estado no observable está contenido

en el subespacio estable del sistema, tal que el error de estimación nunca crecerá indefinidamente

[7].

Para sistemas lineales la propiedad de observabilidad y detectabilidad están bien definidas y no

dependen de la región de operación del sistema, por lo tanto son propiedades globales. Sin embargo

en sistemas no lineales estas propiedades son muy complejas de evaluar y dependen de la región de

operación del sistema, por lo tanto son propiedades locales [7].

Cabe resaltar que si un modelo que representa las dinámicas de un sistema físico, no es observable

ni detectable, se pueden realizar lo siguiente: usar mas variables en la salida (aumentar las variables

medidas), revisar si el modelo representa todas las variables de la planta para agregar las que estén

faltando.


________________________________________________________________________________

20

La ingeniería de control ha logrado extender el concepto de observabilidad de sistemas lineales a

sistemas no lineales, pero con la restricción de probar observabilidad local alrededor de un punto de

operación.

3.1.1. Observabilidad en un Sistema Lineal

Para un sistema lineal invariante en el tiempo representado de la forma:

𝑋 = 𝐴𝑋 + 𝐵𝑈 y 𝑌 = 𝐶𝑋 + 𝐷𝑈

Se dice que el sistema es observable si la matriz de Observabilidad 𝑀𝐴𝐶 tiene rango columna

completo, el rango de la matriz debe ser igual al orden del sistema.

𝑀𝐴𝐶 =

𝐶𝐶𝐴𝐶𝐴2

⋮𝐶𝐴𝑛−1

∴ 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑀𝐴𝐶 = 𝑛 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎

La detectabilidad en un sistema lineal se puede probar verificando si los polos no re construibles

son estables, es decir si las dinámicas originadas por los polos no re construibles desaparecen con

el tiempo [7].

3.1.2. Observabilidad local en un Sistema No Lineal

Algunos autores analizan la observabilidad mediante álgebra de Lie, basados en el concepto

Espacio de observación So. En este caso se supone que el modelo del proceso es de la forma afín

con la entrada como se expone en [7]

𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑢𝑖

𝑚

𝑖=1

𝑔𝑖 𝑥 ; 𝑦 = 𝑕 𝑥

Derivada de Lie: es la derivada de una función suave (continuamente diferenciable) 𝜆(𝑥) a lo largo

de un campo vectorial suave 𝑓. Esa derivada direccional del campo escalar 𝜆(𝑥), con 𝑥 ∈ 𝑅𝑛 , a lo

largo de la dirección de un campo vectorial n-dimensional 𝑓(𝑥), se define como

𝐿𝑓𝜆 𝑥 = 𝜕𝜆 𝑥

𝜕𝑥𝑓 𝑥 .

La derivada de lie recursiva 𝐿𝑓𝑛𝜆 se calcula de la siguiente forma: 𝐿𝑓

0𝜆 = 𝜆 𝑥

𝐿𝑓1𝜆 =

𝜕𝜆 𝑥

𝜕𝑥𝑓 𝑥 ; 𝐿𝑓

2𝜆 = 𝜕 𝐿𝑓

1𝜆

𝜕𝑥𝑓 𝑥 =

𝜕 𝜕𝜆 𝑥

𝜕𝑥𝑓 𝑥

𝜕𝑥𝑓 𝑥 ... 𝐿𝑓

𝑛−1𝜆 = 𝜕 𝐿𝑓

𝑛−2𝜆

𝜕𝑥𝑓 𝑥


________________________________________________________________________________

21

Espacio de observación (So): Espacio vectorial que generan todas las derivadas de Lie, hasta (n-1),

de la función de salida 𝑕(𝑥) de un sistema expresado en la forma afín en el espacio de estado,

respecto al campo vectorial 𝑓 𝑥 . de una manera abreviada se escribe:

𝑆𝑜 = 𝑔𝑒𝑛 𝐿𝑓0𝜆; 𝐿𝑓

1𝜆; 𝐿𝑓2𝜆 ; … ; 𝐿𝑓

(𝑛−1)𝜆

Distribución de observabilidad local ΔSo: Es la distribución del espacio de observación, que

resulta ser la colección de los gradientes de cada componente del espacio de observación 𝑆𝑜

respecto a las variables de estado x, que se expresa como:

𝛥𝑆𝑜 = 𝑔𝑒𝑛 𝜕𝜑

𝜕𝑥 | 𝜑 𝜖 𝑆𝑜

Con base en este procedimiento se define como unas pruebas de observabilidad local para sistemas

no lineales, que un sistema representado de la forma afín es localmente observable si la dimensión

de su distribución de observabilidad 𝛥𝑆𝑜 alrededor de 𝑥∗ es igual a la dimensión del sistema

(numero de variables de estado):

dim(𝛥𝑆𝑜) = 𝑛 .

Si se cumple esto se garantiza que para el sistema es posible determinar el estado total 𝑥 para puntos

alrededor de 𝑥∗ , a partir de un modelo del sistema, con las entradas y salidas de este en un

intervalo de tiempo finito.

Sin embargo se debe tener en cuenta que si la operación del sistema no lineal es variable la

observabilidad dependerá de las entradas, por lo cual se genera la posibilidad de que existan

entradas para las cuales la observabilidad se pierda [7]. Por lo tanto para estos casos se debe usar

pruebas de observabilidad que permitan evaluar el efecto de las entradas.

3.2. Prueba de observabilidad en el reactor de polimerización de (MMA)

El reactor de polimerización de MMA es un sistema no lineal este posee múltiples puntos de

operación sin embargo para fines académicos el sistema se trabajara en un punto de operación, se

linealiza la planta alrededor de este punto y se prueba la observabilidad de la planta.

Tabla 6. Punto de operación.

Variable Valor Unidades

Cm 5.9651 [Kgmol/m^3]

Ci 0.0249 [Kgmol/m^3]

T 351.41 [k]

Tj 332.99 [k]

Do 0.0020 [Kgmol/m^3]

D1 50.329 [Kg/m^3]


________________________________________________________________________________

22

Según lo expuesto en el capitulo dos acerca de las dificultades que resultan obtener la medición en

línea de la variable promedio del peso molecular (MWD = Do / D1) que está representada por los

momentos de orden cero Do y orden uno D1, dicha variable es de interés para realizar un mejor

control del reactor puesto que esta define la calidad, y las características del polímero. Los estados

de principal interés para la estimación son Do y D1, sin embargo lo ideal es estimar la mayor

cantidad de variables para poder ahorrar costos en el sistema de instrumentación, por tal razón se

estimaran también las variables de concentración del monómero Cm y del iniciador Ci, y se usaran

como variables de medición la temperaturas en el tanque del reactor T y en la chaqueta Tj.

Se hallan los jacobianos del sistema linealizando en el punto de operación propuesto y se prueba la

observabilidad del sistema linealizado por medio de la matriz de observabilidad MAC dicha matriz

tiene rango 4 inferior al orden del sistema n = 6.

Se realizo nuevamente la prueba de observabilidad tomando como salidas los cuatro estados

medibles, sin embargo, el resultado obtenido fue el mismo, por lo tanto se decide de acuerdo a la

condición de que los estados T, Tj, Cm, Ci son independientes de los estados Do y D1, se realiza

una reducción del modelo para la estimación, tomando como el modelo reducido las ecuaciones de

los estados T, Tj, Cm, Ci.

Al realizar la prueba de observabilidad para el modelo reducido se obtiene que el sistema cumple la

propiedad de observabilidad, por lo tanto lo que se propone hacer es un estimador de estado para el

modelo reducido.

Se realiza la prueba de observabilidad local para el modelo reducido no lineal, y se obtuvo que la

distribución del espacio de observación 𝛥𝑆𝑜 evaluada en el punto de operación tiene rango 4 igual

orden del sistema n = 4, por lo tanto se garantiza que el sistema es observable alrededor del punto

de operación.


________________________________________________________________________________

23

Para estimar los estados Do y D1 que no son observables, se realiza la prueba de detectabilidad, esta

se cumple debido a que los polos asociados a estos dos estados son estables, estos polos tienen parte

real negativa, con esto se propone un observador en lazo abierto para la estimación de estos.

3.3. Observador de Luenberger

El observador más básico es el modelo del sistema, este es conocido como observador en lazo

abierto, sin embargo el error de estimación solo converge cuando la dinámica del sistema es estable

y no se puede cambiar la dinámica del observador para que sea más rápido que la planta, como

solución a estos inconvenientes, se agrega un término definido por Luenberger como factor de

corrección que permite modificar la dinámica del observador, el observador para sistemas lineales

está representado por la siguiente ecuación en variables de estado.

𝑋 = 𝐴𝑋 + 𝐵𝑈 + 𝐾𝑒(𝑌 − 𝑌 )

El observador de la ecuación anterior debe cumplir la propiedad de observabilidad, para que se

pueda ajustar la dinámica manera arbitraria seleccionando las ganancias 𝐾𝑒 tal que (𝐴 − 𝐾𝑒𝐶) sea

una matriz Hurtwitz (todos los valores propios de la matriz con parte real negativa), de esta manera

se garantiza que el error de convergencia de la estimación tiende a cero.

Los pasos para el diseño del observador de luenberger estan dado por:

Se verifica la propiedad de observabilidad, por medio de alguno de los métodos expuestos

en el numeral anterior.

Se realiza el cálculo de las ganancias 𝐾𝑒 para esto se seleccionan los polos que tendrá el

observador por medio de un polinomio característico Pd, se debe garantizar que la dinámica

del observador será más rápida que la dinámica de la planta, por esta razón suele escogerse

los polos 3 o 5 veces más alejados que el polos más alejado de la planta. Después de haber

seleccionado los polos se procede a despejar el valor de las ganancias para esto se pueden

usar los siguientes métodos

- sustitución directa resolviendo la ecuación

det 𝑆𝐼 − 𝐴 − 𝐾𝑒𝐶 = 𝑃𝑑(𝑠)

- formula de Ackerman,

𝐾𝑒 = 𝑃𝑑 𝐴 𝑀𝐴𝐶−1

00⋮1

El vector de ceros con un uno en la última posición tiene tantas posiciones como numero de filas de

la matriz Mac.


________________________________________________________________________________

24

El diseño del observador de luenberger lineal para el sistema se realizo siguiendo los pasos

expuestos anteriormente y escogiendo un polinomio deseado Pd y usando la planta discretizada en

la función place de Matlab que usa el método de Ackerman se obtienen las ganancias del factor de

corrección Ke, para sistemas de varias entradas, varias salidas.

Raíces de la planta Ar = [ -30.5315 -10.0648 -10.0648 -0.6257]

Opción 1

Se escogen las raíces entre 2 y 3 veces mayor que el polo de la planta más alejado del eje

imaginario.

Raíces en tiempo continuo de Pd= [-73.2757 -70.2226 -76.3289 -82.4352]

Raíces en tiempo discreto Pd = [ 0.4385 0.4955 0.4806 0.4661]

Ke= 10000 *

0.1479 −0.00120.00060.0001

−1.80970.0150−0.0062−0.0004

Opción 2

Se escogen las raíces de Pd un poco más alejadas que las raíces de la planta.

Raíces en tiempo continuo de Pd= [-39.3784 -30.3270 -11.2161 -10.2143]

Raíces en tiempo discreto Pd = [ 0.4385 0.4955 0.4806 0.4661]

Ke=

0.6384 −0.0054 −0.2786

0.1047

−8.01500.06796.51480.6080

3.3.1. Observador De Luenberger Extendido

Para sistemas no lineales se usa el observador de luenberger extendido, este observador realiza una

linealización en cada paso de estimación en el estado estimado, de esta manera se obtiene una

dinámica lineal del error.

𝑋 = 𝐴 𝑥 ∗ 𝑋 + 𝐵 ∗ 𝑈 + 𝐾𝑒 𝑥 ∗ (𝑌 − 𝐶 𝑥 ∗ 𝑋 )

Para el diseño de este observador se siguen los siguientes pasos

Obtenga una versión linealizada del modelo del sistema que permita encontrar las

matrices 𝐴 𝑥 y 𝐶 𝑥 .

Proponga una ubicación deseada para los polos del observador. Esta ubicación se

obtiene a partir de las especificaciones de respuesta en el tiempo (tiempo de

establecimiento y sobre nivel porcentual) requeridos para la dinámica del error del

observador. Los polos pueden estar contenidos de un polinomio característico Pd(s).

Resuelva la ecuación de diseño del observador para encontrar la matriz de ganancias

𝐾𝑒 𝑥


________________________________________________________________________________

25

det 𝑆𝐼 − 𝐴 𝑥 − 𝐾𝑒 𝑥 𝐶 𝑥 = 𝑃𝑑(𝑠)

Se verifica el cumplimiento de las características del observador mediante simulación.

El diseño del observador de Luenberger Extendido para el sistema se realizo siguiendo los pasos

anteriores y escogiendo como polinomio deseado Pd de la misma forma que para el Luenberger

lineal.

Se dificulta despejar la 𝐾𝑒 𝑥 debido a la complejidad que presentan las ecuaciones asociadas al

modelo, por lo tanto lo que se propone es realizar el cálculo de las 𝐾𝑒 𝑥 en cada iteración con las

matrices 𝐴 𝑥 𝑦 𝐶 𝑥 y usando la función place de matlab.

3.4. Filtro de Kalman

El filtro de Kalman permite estimar el estado de un sistema dinámico lineal, perturbado por señales

ruidosas, mediante mediciones que se relacionan linealmente con el estado, pero que también

poseen ruido [7], el modelo discreto esta dado por la siguiente ecuación.

𝑋𝑘 = 𝐴𝑘−1𝑋𝑘−1 + 𝐵𝑘−1𝑈𝑘−1 + 𝑊𝑘−1

𝑌𝑘 = 𝐶𝑘𝑋𝑘 + 𝑉𝑘

Donde 𝑊𝑘~(0,𝑄) incertidumbre en el modelo y 𝑉𝑘~(0,𝑅) incertidumbre en la medición se

consideran ruido blanco. La ecuación que representa al filtro de Kalman está dado por:

𝐾𝑘 = 𝑃𝑘𝐶𝑘𝑇 𝐶𝑘𝑃𝑘𝐶𝑘

𝑇 + 𝑅 −1

𝑋 𝑘+1 = 𝐴𝑋 𝑘 + 𝐵𝑈𝑘 + 𝐾𝑘 [𝑌𝑘 − 𝐶𝑋 𝑘 ]

𝑃𝑘+1 = 𝐴𝑘 𝐼 − 𝐾𝑘𝐶𝑘 𝑃𝑘𝐴𝑘𝑇 + 𝑄

El ruido en la medición se asumió como Tj_ruido = 0.0015; T_ruido = 0.0015;

Con estos valores se define la matriz diagonal R

La incertidumbre en las variables de estado del proceso se asume igual a igual a Cm = 5e − 11

Ci = 8e − 14 , T = 3e − 7 , Tj = 3e − 8 , con estos valores se define la matriz diagonal Q.

Es posible calcular la Kfk como una constante, a partir de la solución de la ecuación de ricatti , esta

se obtiene por medio de matlab con la función Dare, esto es posible porque se asume que el cambio

de K es casi nulo debido a que se trabaja alrededor del punto de operación.

[Pdare,Ldare,Kfk] = DARE(Ad',Cd',Q,R,zeros(4,2),eye(4));


________________________________________________________________________________

26

3.4.1. Filtro de Kalman Extendido (FKE)

El Filtro de Kalman Extendido en su versión continua, tiene una amplia aceptación para estimar el

estado en procesos químicos, su estructura es igual a la siguiente ecuación:

𝑥 = 𝑓 𝑥 ,𝑢 + 𝐾 𝑥 𝑦 − 𝑦

𝑦 = 𝑕(𝑥 )

Con 𝑥 ∈ 𝑅𝑛 el vector de estados estimado, 𝑦 ∈ 𝑅𝑚 el vector de salidas estimadas, y 𝐾 𝑥 la matriz

de ganancias del observador (𝑛𝑥𝑚), y el objetivo del diseño es encontrar la matriz de ganancias

𝐾 𝑥 tal que se minimice un índice de error, sujeto a las restricciones de la dinámica del modelo.

El algoritmo para la implementación del FKE está dado por los siguientes pasos

Obtenga una versión linealizada del modelo del sistema que permita encontrar las

matrices 𝐴 𝑥 y 𝐶 𝑥 .

Ejecute las ecuaciones teniendo como condiciones iníciales las matrices P que

representa la covarianza del error de estimación, Q la covarianza del incertidumbre en

los estados y R la covarianza del ruido de la medición.

𝐾𝑘 = 𝑃𝑘𝐶𝑘(𝑥 𝑘)𝑇 𝐶𝑘(𝑥 𝑘)𝑃𝑘𝐶𝑘(𝑥 𝑘)𝑇 + 𝑅 −1

𝑋 𝑘+1 = 𝑓 𝑥 𝑘 ,𝑢𝑘 + 𝐾𝑘(𝑥 𝑘)[𝑌𝑘 − 𝑕 𝑥 ]

𝑃𝑘+1 = 𝐴𝑘(𝑥 𝑘) 𝐼 − 𝐾𝑘𝐶𝑘(𝑥 𝑘) 𝑃𝑘𝐴𝑘(𝑥 𝑘)𝑇 + 𝑄

Para el diseño del FKE de la planta se uso las matrices Q y R definidas para el filtro de

Kalman.

Capítulo 4. Comparación de Estimadores

________________________________________________________________________________

27

Capítulo 4

4. Comparación de los Estimadores y Conclusiones

Para realizar la comparación de los estimadores se usa el Simulink de Matlab, mediante el cual se

simula el modelo de polimerización de (MMA) y los estimadores diseñados en el capitulo tres, para

realizar la comparación se realizan varias pruebas, aplicando cambios en las condiciones iníciales,

ruido en las mediciones y cambios en los parámetros, para obtener la valoración se usa un índice de

desempeño, definido como la integral del valor absoluto del error (IAE).

4.1. Índice de desempeño

Los índices de desempeño permiten ponderar el resultado obtenido mediante la comparación entre

el resultado obtenido y un resultado deseado, en el caso de los estimadores de estado, la

comparación está definida entre el valor medido y el valor estimado, en este trabajo se usara como

índice de desempeño la integral del valor absoluto del error (IAE), que está definido por la siguiente

ecuación.

𝐼𝐴𝐸 = 𝑋 − 𝑋 𝑑𝑡𝑡

0

Partiendo de este índice de desempeño se decide normalizar el error para poder tener una

comparación con los otros estados estimados.

4.2. Comparación de los Estimadores

La comparación se realizara entre el observador de Luenberger lineal y no lineal, filtro de Kalman

y filtro de Kalman extendido, Luenberger lineal y filtro de Kalman, Luenberger extendido y filtro

de Kalman extendido; para todo estas comparaciones se aplicara cambios en las condiciones

iníciales, ruido en las mediciones y cambios en los parámetros.

4.2.1. Modelo No Lineal vs Modelo Linealizado

Se realiza la comparación entre el modelo no lineal y la linealización alrededor del punto operación

escogido para corroborar el procedimiento y garantizar el modelo linealizado para el diseño de los

observadores.

Cambio en Fi Fi*1.0002 Fi*1.01

Cambio en Fcw Fcw*1.001 Fcw*1.11


________________________________________________________________________________

28

Figura 6. Graficas de las linealización del modelo vs el modelo no lineal.

De la graficas de la figura 6 se observa que el modelo linealizado se comporta bien alrededor del

punto de operación, sin embargo este es muy sensible porque ante cambios pequeños de la entrada

alrededor del punto de operación el modelo empieza a tener una diferencia significativa con

respecto al modelo no lineal. Además se observa que el modelo es más sensible ante cambios en la

entrada del flujo de refrigeración Fcw que ante cambios en el flujo del iniciador Fi.

0 2 4 6 8 10 12 14 153.199

3.2

3.201

3.202

3.203

3.204x 10

-3 Entrada Flujo de iniciador Fi

Fi [m

3/h

]

Tiempo [s]

0 2 4 6 8 10 12 14 150.155

0.16

0.165

0.17Entrada Flujo de Refrigerante Fcw

Fcw

[m

3/h

]

Tiempo [s]

0 2 4 6 8 10 12 14 15

5.96

5.98

6

6.02

6.04

6.06

6.08Concentración del monomero Cm

Cm

[K

gm

ol/m

3]

Tiempo [s]

0 2 4 6 8 10 12 14 15

0.0249

0.025

0.025

0.025

0.0251

0.0251

0.0252Concentración del Iniciador Ci

Ci [K

gm

ol/m

3]

Tiempo [s]

P-NL

P-L

0 2 4 6 8 10 12 14 15348

348.5

349

349.5

350

350.5

351

351.5Temperatura en el Reactor T

T [K

]

Tiempo [s]

0 2 4 6 8 10 12 14 15330

330.5

331

331.5

332

332.5

333

Temperatura en la chaqueta Tj

Tj [K

]

Tiempo [s]

P-NL

P-L

0 2 4 6 8 10 12 14 151.2

1.4

1.6

1.8

2

x 10-3 Momento de Orden cero Do

Do

[kg

mo

l/m

3]

Tiempo [s]

0 2 4 6 8 10 12 14 15

42

44

46

48

50

Momento de Orden uno D1

D1

[kg

/m3]

Tiempo [s]

P-NL

P L


________________________________________________________________________________

29

4.2.2. Luenberger Lineal vs Luenberger Extendido

La simulación del observador de Luenberger extendido, presenta problemas en el cálculo de

𝐾𝑒 𝑥 debido a que el sistema en las primeras iteraciones se vuelve inestable, el valor estimado de

la concentración del iniciador Ci se vuelve negativo, esto puede ser causado debido al cálculo de la

ganancia 𝐾𝑒 𝑥 sumado con la alta no linealidad del sistema.

Como segunda opción se prueba el observador con la planta no lineal y con 𝐾𝑒 𝑥 = 𝐾𝑒 usando las

misma ganancia que para el Luenberger lineal, de esta manera se puede realizar la comparación

entre estos dos.

Las ganancias obtenidas para el modelo linealizado presentan un error de estimación grande para

las concentraciones de Cm y Ci lo que aumenta aun mas e error de los estados estimados Do y D1,

adicional a esto se prueban frente a ruido gaussiano en la medición, presentando un la

comportamiento debido a que solo se presenta una estimación aceptable para el estado Tj.

De acuerdo con lo anterior se usa las ganancias obtenidas con la función Dare, que se monstro al

final del diseño para el filtro de Kalman. Estas ganancias permiten una ubicación de las raíces del

observador un poco más alejadas que las raíces de la planta

K=

−0.0027 0.0000 0.2727 0.0878

−0.00120.00000.06040.0567

Raices de (Ard – K*Crd)= [ 0.4385 0.4955 0.4806 0.4661]

Raíces en tiempo continuo = [-39.3784 -30.3270 -11.2161 -10.2143]

PRUEBA 1

Condición inicial 1 % mayor al punto de operación

Cambio en el parámetro de coeficiente de calor Cp de un 10% mas del valor original

Se presenta ruido gaussiano en la medición de T y Tj.

Cambio en Fi Fi*1.0002 Fi*1.001 Fi Fi*0.9999

Cambio en Fcw Fcw*1.009 Fcw*1.039 Fcw Fcw*0.999

Los resultados de la simulación se presentan en las Figuras 7 y 8, en la tabla 7 se usa el

índice de desempeño para comparar el error de estimación de los dos estimadores.


________________________________________________________________________________

30

Figura 7. Gráficas de la prueba uno comparación de OL vs ONL.

0 5 10 15 20 25 303.199

3.2

3.201

3.202

3.203

3.204x 10


Fi [m

3/h

]

Tiempo [s]

0 5 10 15 20 25 300.158

0.16

0.162

0.164


Fcw

[m

3/h

]

Tiempo [s]

0 5 10 15 20 25 30348

349

350

351

352Temperatura en el Reactor T

T [K

]

Tiempo [s]

0 5 10 15 20 25 30330.5

331

331.5

332

332.5

333

333.5Temperatura en la chaqueta Tj

Tj [K

]

Tiempo [s]

P-NL

OL

ONL

P-NL

OL

ONL


________________________________________________________________________________

31

Figura 8. Gráficas de la prueba uno comparación de OL vs ONL.

0 5 10 15 20 25 30

5.96

5.98

6

6.02

6.04

6.06


Cm

[K

gm

ol/m

3]

Tiempo [s]

0 5 10 15 20 25 30

0.0249

0.025

0.025

0.025

0.0251

0.0251


Ci [K

gm

ol/m

3]

Tiempo [s]

P-NL

ONL

OL

P-NL

ONL

OL

0 5 10 15 20 25 301.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2x 10

-3 Momento de Orden cero Do

Do

[kg

mo

l/m

3]

Tiempo [s]

0 5 10 15 20 25 30

42

44

46

48

50

52Momento de Orden uno D1

D1

[kg

/m3]

Tiempo [s]

P-NL

OL

ONL

P-NL

OL

ONL


________________________________________________________________________________

32

Los resultados se presentan numéricamente en la tabla 7, con el índice de desempeño se

observa que el error de estimación es mucho más pequeño para el ONL; de las figuras 7 y 8

se observa que para el OL el error de estimación aumenta cuando las entradas se alejan del

punto de operación del sistema.

Tabla 7. Índice de desempeño prueba 1.

IAE =

𝑋 − 𝑋 / 𝑋

Variables de Estado

Cm Ci T Tj Do D1

Estimad

or

OL 0.3974 1.9415 0.0980 0.0741 48.4399 2.8901

ONL 0.0191 0.0644 0.0090 0.0076 48.5420 0.2159

PRUEBA 2

Condición inicial 20 % mayor al punto de operación.

Cambio en el parámetro de coeficiente de calor Cp de un 80% más del valor original.




Si la condición inicial está muy alejada de punto de operación, se presenta divergencia en el

error de estimación para ambos estimadores. El índice de desempeño da una primera

medida de la velocidad de convergencia, en los casos en los que se observa el error de

estimación menor es debido al menor tiempo para la convergencia del estimador. Como las

variables de interés son Do y D1 el observador que presenta mejor respuesta en este caso es

el ONL.

Tabla 8. Índice de desempeño prueba 2.

IAE =

𝑋 − 𝑋 / 𝑋

Variables de Estado

Cm Ci T Tj Do D1

Estimador OL 3.0763 3.5868 0.9229 1.0962 3.31x10^3 44.6615

ONL 6.6472 11.5320 1.5889 0.7767 1.44x10^3 28.4002

De las dos pruebas realizadas se define que el observador que tiene un mejor desempeño es

el observador ONL debido a que presenta un error de estimación bajo y el tiempo de

convergencia es menor.


________________________________________________________________________________

33

4.2.3. Filtro de Kalman vs Filtro de Kalman Extendido






Las condiciones iníciales para el FKE divergen para un valor mayo a 20 % del punto de operación.

De los resultados obtenidos de la simulación especialmente en las figuras 10 y 11 se observa que e FK

presenta un tiempo menor de convergencia, por lo tanto el índice de desempeño es menor para la mayoría de

los caso sin embargo cuando el sistema trabaja alejado del punto de operación el error de estimación para el

FK Aumenta.

Tabla 9 Índice de desempeño filtro de Kalman vs filtro de Kalman extendido.

IAE =

𝑋 − 𝑋 / 𝑋

Variables de Estado

Cm Ci T Tj Do D1

Estimador FK 1.8906 4.1862 0.3279 0.3271 124.2386 15.8909

FKE 12.4135 19.1731 0.2840 0.1618 130.7175 8.9285

Figura 9. Entradas para la comparación FK vs FKE.

0 5 10 15 20 25 303.2

3.21

3.22

3.23

3.24x 10


Fi [m

3/h

]

Tiempo [s]

0 5 10 15 20 25 300.155

0.16

0.165

0.17

0.175


Fcw

[m

3/h

]

Tiempo [s]


________________________________________________________________________________

34

Figura 10. Graficas de la simulación FK vs FKE.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30346

347

348

349

350

351


T [K

]

Tiempo [s]

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30328

330

332

334Temperatura en la chaqueta Tj

Tj [

K]

Tiempo [s]

P-NL

FKE

FK

P-NL

FKE

FK

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 305.95

6

6.05

6.1


Cm

[K

gm

ol/m

3]

Tiempo [s]

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

0.0249

0.025

0.0251

0.0252

0.0253

0.0254

0.0255

Concentración del Iniciador Ci

Ci [

Kg

mo

l/m3]

Tiempo [s]

P-NL

FKE

FK

P-NL

FKE

FK


________________________________________________________________________________

35

Figura 11. Graficas de la simulación FK vs FKE.

4.2.4. Luenberger Lineal vs Filtro de Kalman






De los resultados obtenidos de la simulación especialmente en las figuras 12 y 13 se observa que el

FK presenta un tiempo menor de convergencia, por lo tanto el índice de desempeño es menor para

la mayoría de los caso sin embargo cuando el sistema trabaja alejado del punto de operación el

error de estimación para el OL y el FK aumenta, de la comparación se selecciona el FK por tener

el menor error en la estimación en la mayoría de los casos.

Tabla 10. Índice de desempeño para comparación entre OL y FK.

IAE =

𝑋 − 𝑋 / 𝑋

Variables de Estado

Cm Ci T Tj Do D1

Estimador FK 4.9675 10.0356 0.7601 0.7867 1.33 x10^6 4.91 x10^3

OL 6.1145 5.0728 1.9682 2.4461 1.42 x10^6 5.29x10^3

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 301

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2


Do

[kg

mo

l/m3]

Tiempo [s]

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 3035

40

45

50


D1

[kg

/m3]

Tiempo [s]

P-NL

FKE

FK

P-NL

FKE

FK


________________________________________________________________________________

36

Figura 12. Graficas de comparación entre OL y FK.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 303.2

3.21

3.22

3.23

3.24x 10


Fi [

m3/h

]

Tiempo [s]

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 300.155

0.16

0.165

0.17

0.175


Fcw

[m

3/h

]

Tiempo [s]

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30346

348

350


T [K

]

Tiempo [s]

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30328

330

332


Tj [K

]

Tiempo [s]

P-NL

OL

FK

P-NL

OL

FK


________________________________________________________________________________

37

Figura 13. Graficas de comparación de OL vs FK variables estimadas.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 305.95

6

6.05

6.1


Cm

[K

gm

ol/m

3]

Tiempo [s]

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

0.0248

0.025

0.0252

0.0254


Ci [K

gm

ol/m

3]

Tiempo [s]

P-NL

OL

FK

P-NL

OL

FK

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 301

1.5

2


Do

[kg

mo

l/m3]

Tiempo [s]

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 3035

40

45

50


D1 [kg/m

3]

Tiempo [s]

P-NL

OL

FK

P-NL

OL

FK


________________________________________________________________________________

38

4.2.5. Luenberger con modelo no lineal vs Filtro de Kalman Extendido






Las condiciones iníciales para un valor mayor a 20 % del punto de operación ocasionan divergencia en la

estimación para ambos estimadores.

De los resultados obtenidos de la simulación especialmente en las figuras 15 y 16 se observa que e ambos

Estimadores presenta un buen comportamiento con un bajo error en la estimación, y una velocidad de

convergencia muy similar para ambos, de acuerdo con el índice de desempeño el que presenta el menor error

de estimación en la mayoría de los casos es el FKE.

Tabla 11. Índice de desempeño filtro de Kalman vs filtro de Kalman extendido.

IAE =

𝑋 − 𝑋 / 𝑋

Variables de Estado

Cm Ci T Tj Do D1

Estimador FKE 12.4153 19.1754 0.2841 0.1617 130.7153 8.9287

ONL 6.6380 11.4847 1.5872 0.7761 1.44x10^3 28.3902

Figura 14. Gráfica de las entradas para la comparación de ONL vs FKE.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 303.2

3.21

3.22

3.23

3.24x 10


Fi [

m3/h

]

Tiempo [s]

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 300.155

0.16

0.165

0.17

0.175


Fcw

[m

3/h

]

Tiempo [s]


________________________________________________________________________________

39

Figura 15 Gráfica de la comparación de ONL vs FKE en estados estimados.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

347

348

349

350

351


T [K

]

Tiempo [s]

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30328

329

330

331

332

333


Tj [

K]

Tiempo [s]

P-NL

FKE

ONL

P-NL

FKE

ONL

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 305.95

6

6.05

6.1

Concentración del monomero Cm

Cm

[K

gm

ol/m

3]

Tiempo [s]

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 300.0248

0.025

0.0252

0.0254


Ci [K

gm

ol/m

3]

Tiempo [s]

P-NL

FKE

ONL

P-NL

FKE

ONL


________________________________________________________________________________

40

Figura 16. Gráfica de la comparación de ONL vs FKE para los momentos de orden cero y orden uno.

4.3. Análisis de Resultados

De las simulaciones realizadas se obtuvo la tabla 12 que presenta un índice de desempeño de los

estimadores para las mismas condiciones de simulación.

Tabla 12. Resumen de los resultados del error de estimación.

IAE =

𝑋 − 𝑋 / 𝑋

Variables de Estado

Cm Ci T Tj Do D1

Estimador

OL 3.0763 3.5868 0.9229 1.0962 3.31x10^3 44.6615

ONL 6.6472 11.5320 1.5889 0.7767 1.44x10^3 28.4002

FK 1.8906 4.1862 0.3279 0.3271 124.2386 15.8909

FKE 12.4135 19.1731 0.2840 0.1618 130.7175 8.9285

Los Estimadores lineales como el FK y el OL pueden empezar desde una condición inicial más

alejada del punto de operación que los FKE y ONL, debido a que estos trabajan con el modelo

linealizado y no pierden la estabilidad como sucede para el modelo no lineal ante algunos cambios

en la entrada, esto se dio para este caso de estudio debido a las características de la planta la cual

presenta altas no linealidades y muchas regiones de inestabilidad.

La desventaja de los FK y OL, es que entre más lejos se este de la región de operación en la que se

linealizo el modelo mayor será el error de estimación.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 301

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2


Do

[kg

mo

l/m3]

Tiempo [s]

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

40

45

50


D1

[kg

/m3]

Tiempo [s]

P-NL

FKE

ONL

P-NL

FKE

ONL


________________________________________________________________________________

41

De acuerdo con la tabla 12, el FKE y el FK presentan mejor desempeño que los otros dos

Estimadores.

Según lo analizado anteriormente el FKE es más recomendable en comparación con los otros tres

estimadores y bajo las condiciones de este caso de estudio, sin embargo se resalta la importancia de

la selección de la condición inicial para evitar mal funcionamiento de este.

4.4. Conclusiones

Debido a las no linealidades y regiones de inestabilidad que puede poseer un sistema, las

condiciones iníciales para los Estimadores que usan el modelo no lineal no pueden escogerse

arbitrariamente porque se puede caer en una región de inestabilidad ocasionando la divergencia del

estimador; por lo tanto lo más recomendable es que estas condiciones iníciales estén cerca a la

región de operación o en donde se halla garantizado la estabilidad del modelo.

La obtención de las ganancias del factor de corrección para el diseño del observador de Luenberger,

pueden complicarse cuando se tiene un sistema de orden superior con múltiples salidas, de las

experiencias obtenidas con los métodos convencionales como el Ackerman, no se obtuvieron

buenos resultados, se tuvo que usar otros métodos para la estimación de estas para lograr un

desempeño aceptable del estimador.

La correcta selección del tiempo de muestreo y de los métodos numéricos para la simulación es

fundamental, para obtener los resultados correctos.

El uso de un indicador de desempeño facilito la evaluación de los estimadores para su comparación,

ya que desde las graficas el comportamiento de estos es muy similar y visualmente no surgen

mayores diferencias.

Los estimadores estudiados en este trabajo presentan un buen funcionamiento si no existen grandes

incertidumbres en los parámetros del modelo, esta condición es escaza en la mayoría de procesos

químicos.

En el FKE y el OLE la estabilidad y convergencia son propiedades locales debido a que estos

estimadores trabajan bajo la linealización del valor estimado, por lo tanto para su buen

funcionamiento se deberá trabajar en las regiones de operación en las que se garantice estabilidad

para el sistema.


________________________________________________________________________________

42

BIBLIOGRAFIA

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[10]http://www.monografias.com/trabajos63/polimetil-metacrilato/polimetil-metacrilato2.shtml

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[11] http://www.eis.uva.es/~macromol/curso03-04/PMAM/PMMA.htm

[12]http://www.eis.uva.es/~macromol/curso03-

04/PMAM/Polimerizacion%20Vinilica%20por%20Radicales%20Libres.htm

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Diseño y Simulación de Observadores de Estado Para Un Proceso de Polimerización De

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