Diseño y Análisis de Experimentos Emilio Picasso Diseño Completamente Aleatorizado Caso: Pozos...

1Emilio Picasso

Diseño y Análisis de Experimentos

2Emilio Picasso

Diseño Completamente Aleatorizado

3Emilio Picasso

Diseño Completamente AleatorizadoCaso: Pozos Geotérmicos

Una compañía de explotación geotérmica desea ensayar dos nuevos diseños de

trépanos para perforación:

» Uno en base a una nueva aleación.

» Uno con una nueva geometría de los elementos de corte de la roca.

La variable respuesta es la duración de las herramientas en metros perforados de

pozo hasta el desgaste, determinado en base al ralentamiento del avance.

Las unidades experimentales son los tramos de pozo elegidos para ensayar cada

trepano:

» Estos tramos son asignados al azar a los tres tipos de herramientas ensayados: la

actual y las dos nuevas.

4Emilio Picasso


Duración[m]

ActualNueva

AleaciónNueva

Geometría

104 115 180

128 108 146

140 128 244

156 180 155

145 104 197

71 164 145

70 147 110

Prom. 116.3 135.1 168.1

s 35.23 29.29 43.41

Modelo:

Condición de unicidad de efectos:

Supuestos:

ia i ia i iay

1

0p

i

i

2(homocedasticidad)

independientes

Normales

1) 0

2)

3)

4)

ia

ia

ia

ia

S E

S V

S

S

1... 1... i p a n N nii

5Emilio Picasso

Diseño Completamente AleatorizadoFactores Fijos vs Aleatorios

Factores fijos:

» Los p niveles en el experimento son todos los que existen, o bien son elegidos por

un procedimiento sistemático.

» Ejemplo: Cantidad de fertilizante: 10, 20, 30, 50.

» La inferencia se aplica a los niveles seleccionados. Si el factor es continuo puede

asumirse continuidad en el efecto, pero es un supuesto.

Factores aleatorios:

» Los p niveles en el experimento se eligen entre un conjunto mayor de P niveles

posibles al azar.

» La inferencia se aplica a todos lo niveles del factor.

6Emilio Picasso

Diseño Completamente AleatorizadoInferencia

El objetivo es ensayar:

Evaluar hipótesis múltiples es complicado, pero R.A. FISHER encontró una hipótesis

equivalente:

Utilizando la varianza de las medias, de ahí el nombre: Análisis de la Varianza.

» La varianza de las medias se define, según la convención de W. COCHRAN:

» Cuando el factor es fijo no es una verdadera varianza, sino un instrumento ingenioso

para convertir la hipótesis múltiple en simple.

0 1 2 0 1 2) ... o ) ... 0p pH H

2

0 ) 0H

2 211 ip

7Emilio Picasso


En busca de una estimación de:

Analizamos su análogo empírico:

Sin embargo se demuestra que, tanto para factor fijo como aleatorio su esperanza es:

» La varianza de los promedios no estima solamente a la varianza de las medias, sino

que se entromete el ruido experimental.

Si conociéramos 2 podríamos inferir sobre mediante:

» Pero cada experimento tiene un nivel de ruido propio desconocido.

2 211 ip

2 211

( )y ips y y

2 2 21y n

s E

2

2

0 121

( 1)Bajo :

y

p

n

p sH

2

8Emilio Picasso


Es necesario conseguir una estimación independiente del ruido.

Como dentro de cada grupo hay replicas se puede estimar el ruido en cada grupo y

amalgamar esos estimadores:

Evidentemente:

2 21

1

2 21

1

con ( )i

i

p

i i

i

n

i ia i

a

s s

s y y

1i i

i

n

2 2 2 21 1

1 1

p p

i i i

i i

s s

E E

9Emilio Picasso


Entonces por comparación de ambos estimadores podemos inferir sobre

» Si inferimos que y rechazamos H0

Como ambos estimadores son independientes por serlo de :

» que permite inferir.

» También se puede estimar :

» Como los estimadores son independientes puede dar negativa. En este caso puede

aceptarse H0, aunque si el cociente queda en la extremidad improbable de la

distribución F, seguramente se debe a error de especificación del modelo.

2

2 2 2

2 2

yns n

s

E

E

2 2

1

2 21

( )ny ip

i i

ns y y

s s

2 2

yns s 2 0

iy2

is2

1,2:

y

p N p

nsF

s

2

2 2 21

y ns s s

10Emilio Picasso


La inferencia se hace ordenadamente mediante la tabla ANOVA:

2 2

2

Total

/

1

1

i i

ia ia i

ia

Efecto Estimador Q CM Q CM

y y C C p n

y y C C N p

y y C C N

E

2

2

1

2

1 1

i

p

i i

i

np

ia

i a

C N y

C n y

C y

11Emilio Picasso


2 2

2

Total

/

9645 2 4823

23901 18 1328

33546 20

i

ia

Efecto Q CM Q CM

n

E 410.760

420.406

444.307

C

C

C

1;18;95% 0

48233,632 * 4,7%

1328

3,55 se rechaza H

F

F

Empírico

12Emilio Picasso

Comparaciones Múltiples

13Emilio Picasso

Comparaciones MúltiplesCaso: Pozos Geotérmicos

El análisis de varianza da un resultado general: la hipótesis de FISHER.

Cuando los factores son fijos interesa hacer inferencias especificas:

Por ejemplo:

» Saber si los nuevos trépanos son mejores:

» Saber cual de los trépanos nuevos es mejor:

Estas comparaciones no pueden ensayarse por los métodos tradicionales por dos

razones:

» El nivel de significación conjunto de múltiples ensayos es mayor que el de cada

ensayo individual.

» Muchas veces las comparaciones son sugeridas por los resultados (a posteriori) y

esto altera la distribución del estadístico.

2 31

2

C

2 3 vs C

14Emilio Picasso

Comparaciones Múltiples

Las comparaciones se pueden plantear:

» A priori: antes de ver los datos.

» A posteriori: sugeridas por los datos.

Los siguientes métodos cubren los casos mas frecuentes:

Comparaciones

a Priori

STUDENT

BONFERRONI

DUNNETT

a PosterioriTUKEY

SCHEFFÉ

15Emilio Picasso

Comparaciones MúltiplesMétodo de Student

Definición de comparación o contraste:

Se desea ensayar la hipótesis:

» Donde habitualmente:

Estimador:

1

es una comparación sii 0p

i i i

i

c c

C

0 0)H C C

0 0C

1

ˆp

i i

i

c y

C

1 1

22 2

1 1

ˆ

ˆ

p p

i i i i

i i

p p

ii i

i i i

c y c

cc y

n

EC E C

VC V

16Emilio Picasso


Estimando esta varianza mediante:

Bajo el supuesto de normalidad entonces:

es t-Student con : grados de libertad de s2

Cuando se desea ensayar más de una comparación surge un problema: El resultado

de una comparación puede influir en otros, violando el nivel de riesgo tolerado. Es

decir, la segunda comparación no es verdaderamente a priori.

22 2

1

p

i

i i

cs s

n

C

ˆ :C N

0

22

ˆ

i

i

tc

sn

C C

17Emilio Picasso


Def:

Teorema:

Entonces se pueden ensayar varias comparaciones por el método de Student

siempre que sean ortogonales dos a dos.

Existen p-1 comparaciones ortogonales.

Para resolver el problema de la amplificación del riesgo se ajusta el nivel de

significación:

ˆ ˆ y independientes y ortogonales C C C C

1

y ortogonales 0p

i i

i

c c

C C

11 (1 ) p

c

18Emilio Picasso

Comparaciones MúltiplesMétodo de Student – Caso: Pozos Geotérmicos

Las comparaciones son ortogonales:

1 12 2

1 12 2

1 2 3

1

0 1 1

0 0

CC

C C

3 1 21 (1 ) 1 (1 5%) 2,5%c

2 30 1

22 22 2 1 1

2 2

181,5.1328

7

0

) 02

135,1 168,1ˆ 116,3 35,42

1 1 1,5( 1)

7 7

35,4 02,096

* 2,52% Rech

ii

i

H

cc

n n

t

H

C

0 3 2

22 2 2

182.1328

7

0

) 0

ˆ 168,1 135,1 33,4

1 1 2( 1) 1

7 7

33 01,649

* 11% No Rech

ii

i

H

cc

n n

t

H

C

19Emilio Picasso

Comparaciones MúltiplesMétodo de Bonferroni

R.A. FISHER emplea la desigualdad de BONFERRONI para ensayar comparaciones no

ortogonales a priori mediante una modificación de :

Se desea ensayar todos estas comparaciones con el mismo nivel de significación que

la hipótesis general:

Por la desigualdad de BONFERRONI:

Esto sugiere hacer el ensayo de STUDENT con:

0 1 2 0

0 0

0 0

) ... 1... : ) 0

(rech / )

(rech / )

j j

p

j j

c

H j r H

P H H

P H H

C

1 2

0 0 0(rech ... )rP H H H

1 2 1 2

0 0 0 0 0 0

* * *

(rech ... ) (rech ) (rech ) ... (rech )r r

cj c

P H H H P H P H P H

r

c r

20Emilio Picasso

Comparaciones MúltiplesMétodo de Bonferroni – Caso: Pozos Geotérmicos

Interesa comparar todos los pares de medias:

5%1,67%

3 3c

0 1 2

18 0

0 1 3

18 0

0 2 3

18

)

135,1 116,3 18,90,968 * 35% No rech

19,482.1328

7

)

168,1 116,3 51,92,662 * 1,6% 1,67% Rech

19,482.1328

7

)

168,1 135,1 331,694 * 11% 1,67% No

19,482.1328

7

c

c

H

t H

H

t H

H

t

0 rech H

21Emilio Picasso

Comparaciones MúltiplesMétodo de Dunnett

Fue diseñado para comparar todos los tratamientos contra un testigo o control

Estas comparaciones no son ortogonales. Podrían ensayarse por el método de

BONFERRONI, pero C. DUNNETT (1955) inventó un estadístico más potente:

La distribución de D esta tabulada a simple y doble extremidad.

0 1 1: grupo testigo) iH

1

,22

i

p

y yD

s n

22Emilio Picasso

Comparaciones MúltiplesMétodo de Dunnett – Caso: Pozos Geotérmicos

0 1 1

3;18 3;18;95% 0

0 3 1

3;18 3;18;95% 0

)

135,1 116,3 18,90,968 2,4 No rech

19,482.1328

7

)

168,1 116,3 51,92,662 2,4 Rech

19,482.1328

7

H

D D H

H

D D H

23Emilio Picasso

Comparaciones MúltiplesMétodo de Tukey

J. TUKEY (1949) encontró un método para comparar todas las diferencias de medias,

que puede usarse a posteriori (y por lo tanto también a priori):

Es menos potente que el de Student.

La distribución de q está tabulada a simple y doble extremidad.

0 ) i jH

,2

i j

p

y yq

s n

24Emilio Picasso

Comparaciones MúltiplesMétodo de Tukey – Caso: Pozos Geotérmicos

Obs: Rechaza más holgado que el método de BONFERRONI, pero menos que el de

DUNNETT.

0 1 1

3;18 3;18;95% 0

0 3 1

3;18 3;18;95% 0

)

135,1 116,3 18,91,37 3,61 No rech

13,771328

7

)

168,1 116,3 51,93,77 3,61 Rech

13,771328

7

H

q q H

H

q q H

25Emilio Picasso

Comparaciones MúltiplesMétodo de Scheffé

H. SCHEFFÉ (1953) encontró un método para ensayar comparaciones generales a

posteriori (y por lo tanto también a priori):

Se puede usar para diferencias de medias pero es conservador, en cambio el método

de TUKEY es exacto para ese caso.

El método de SCHEFFÉ es bastante más conservador que el de STUDENT pues:

2

0

1, 22

ˆ( )

( 1)

p

i

i

Fc

p sn

C C

2

0 0

1, 2222

ˆ ˆ( )

ii

ii

t Fcc ssnn

C C C C

0 0)H C C

26Emilio Picasso

Comparaciones MúltiplesMétodo de Scheffé – Caso: Pozos Geotérmicos

Analizaremos dos comparaciones no ortogonales:

2 30 1

22 22 2 1 1

2 2

2

2;18 1,5

7

0

) 02

135,1 168,1ˆ 116,3 35,42

1 1 1,5( 1)

7 7

(35,4 0)2,196

2.1328.

* 14% No rech

ii

i

H

cc

n n

F

H

C

0 3 1

22 2 2

2

2;18 27

0

) 0

ˆ 168,1 116,3 51,9

1 1 2( 1) 1

7 7

(51,9 0)3,544

2.1328.

* 5% No Rech

ii

i

H

cc

n n

F

H

C

27Emilio Picasso

Incumplimiento de Supuestos

28Emilio Picasso

Modelo y Supuestos

Modelo:

Supuestos:

S1 es parte de la definición de los efectos. No puede fallar.

La aleatorización asegura S3.

En cambio S2 y S4 pueden fallar. Cuando fallan en general lo hacen juntos:

distribuciones anormales y distintas, con distintas varianzas.

ia i ia i iay

2(homocedasticidad)

independientes (no autocorrelación)

Normales

1) 0

2)

3)

4)

ia

ia

ia

ia

S E

S V

S

S

1... 1... i p a n N nii

29Emilio Picasso

Heterocedasticidad

Es poco frecuente en experimentos agropecuarios, pero se da en experimentos

industriales y comerciales.

Diagnóstico:

» Método de W. COCHRAN (1941).

» Método de H. LEVENE (1960).

Resolución:

» Transformaciones homogeneizantes.

» Métodos no paramétricos: sólo en casos extremos porque son poco potentes.

30Emilio Picasso

HeterocedasticidadMétodo de Cochran

W. COCHRAN encontró la distribución del estadístico:

2 2 2

0 1 2) ... pH

2

2 2 2

1 2 ...

MAXp

p

sH

s s s

31Emilio Picasso

HeterocedasticidadMétodo de Levene

La desigualdad de Chebishev establece una relacion entre la varianza y las

desviaciones absolutas para cualquier variable aleatoria con varianza finita:

Esto sugiere comparar las medias entre grupos de la variable:

Lo cual puede hacerse mediante análisis de la varianza.

Si bien esto parece un argumento circular, el ensayo F es suficientemente robusto

como para evaluar esta hipótesis de manera aproximada, y eventualmente corregir

la heterocedasticidad para una evaluación mas exacta de la hipótesis original.

2

2P x kk

ia iy y

32Emilio Picasso

HeterocedasticidadResolución

Se aplican transformaciones homogeneizantes:

O la transformación general de BOX & COX:

» Buscando l en [-1;1] que optimice la verosimilitud o s2.

Variables económicas de corte transversal

Número de eventos discretos en un continuo

Distribución Gamma

Porciones (Binomial)

3

ln

(1 )

k y y

k y y

y y

y arcsen y

1 o ln para 0

yy y y

l

ll

33Emilio Picasso

Anormalidad

Es poco frecuente en experimentos agropecuarios, pero se da en experimentos

industriales y comerciales.

En general viene acompañada de la heterocedasticidad, y las soluciones son

comunes.

Diagnóstico:

» Q-Q plot de residuos.

» Modelado de la perturbación aleatoria.

Resolución:

» Transformaciones normalizantes.

» Métodos no paramétricos: sólo en casos extremos porque son poco potentes.

34Emilio Picasso

AnormalidadQ-Q plot

Bajo la hipótesis de normalidad:

» Los residuos estandarizados son una muestra de una variable normal estándar:

» Se ordenan en forma creciente:

» Y se calcula la función de distribución teórica:

Por otro lado se estima la función de distribución empírica:

Ambas deberían coincidir.

El Q-Q plot es un grafico de los cuantiles teóricos y empíricos:

» Si los puntos están alineados hay normalidad.

ia i

i

y yr

s

1 2 3; ; ;...o o o o Nr r r r

0,3227 o con mayor precisión segun O. Mermoz:

1 0,3546ˆ ˆ( ) ( )o i o i

i i

N NF r F r

( / 0;1)N o iF r

ˆ vs ˆ i

o i i Fr z z

35Emilio Picasso

AnormalidadResolución

Las mismas transformaciones homgeneizantes son generalmente normalizantes.

» En el caso de la transformación de BOX & COX puede diferir el parámetro l óptimo

para homogeneizar o normalizar. Se busca una solución de compromiso.

Los métodos no paramétricos (WILCOXON, KRUSKAL & WALLIS, etc) son el último

recurso dado que tienen poca potencia.

36Emilio Picasso

Principios del Diseño Experimental

37Emilio Picasso

Principios del Diseño Experimental

Unidad experimental:

» Sujeto sobre el que se miden las variables.

Principio de Replicación:

» Repetir los tratamientos o factores en varias unidades experimentales para

posibilitar y perfeccionar la inferencia estadística.

Principio de Aleatorización:

» Asignar los tratamientos o factores a las unidades experimentales al azar.

Principio de Control Local:

» Cuando el ruido experimental es excesivo se aplica esta técnica.

» Consiste en clasificar las unidades experimentales en bloques según un factor que

influye en la variable respuesta de manera de controlar el ruido.

38Emilio Picasso

Diseño en Bloques

39Emilio Picasso

Experimentos en BloquesCaso: Abrasivos

Granulo-metría

Adhesivo 1 Adhesivo 2 Adhesivo 3 Adhesivo 4 Adhesivo 5 Prom.

Fina 70 60 79 67 71 70 76 65 89 80 88 82 78 88 96 77,3

Media 54 61 62 62 51 59 62 70 72 82 72 65 77 75 74 66,5

Gruesa 50 49 52 49 44 61 46 58 59 44 57 60 67 80 73 56.6

Promedio 59,7 59,3 66,3 70,0 78,7

Variable respuesta: Porción de carga abrasiva retenida luego de la tarea de lijado normalizada.

40Emilio Picasso

Experimentos en BloquesTabla ANOVA

Donde las Q siguen las siguientes fórmulas de cálculo:

Total

/

1

1

1

1

i

j

ija

Efecto Q CM Q

C C p

C C q

C C C C pqn p q

C C pqn

2

2

2

2

i

j

ija

C pqn y

C qn y

C pn y

C y

41Emilio Picasso

Experimentos en BloquesInferencia


Y el efecto de los bloques, si se desea ver la efectividad del control local:

Se convierten estas hipótesis múltiples en simples según la idea de FISHER:

Utilizando la varianza de las medias, que según la convención de W. Cochran son:

» No son verdaderas varianzas salvo que los factores sean aleatorios.

0 1 2) ... pH

2 2

0 0) 0 ) 0H H

2 2 2 21 1

1 1 i ip q

0 1 2) ... qH

42Emilio Picasso

Experimentos en BloquesInferencia

Utilizando este artilugio se puede demostrar que las esperanzas de los cuadrados

completan la tabla ANOVA de esta manera:

2 2

2 2

2

Total

/

1

1

1

1

i

j

ija

Efecto Q CM Q CM

C C p qn

C C q pn

C C C C pqn p q

C C pqn

E

43Emilio Picasso

Diseño Factoriala 2 Factores Fijos Cruzados

44Emilio Picasso

Experimentos a 2 Factores Cruzados FijosCaso: Panel de Internet

Duracióncuestionario

Nivel Socioeconómico

ABC DE

10 min14,0 13,5 11,511,0 14,5 13,5

11,5 7,0 15,510,5 9,5 13,0

20 min14,0 9,0 14,012,5 11,5 16,0

7,0 8,0 8,55,0 7,0 9,0

30 min9,5 13,0 13,510,5 8,0 11,0

3,5 5,5 6,04,5 3,5 6,5

Variable respuesta: Tasa de respuesta = Porción de la gente invitada a responder la encuesta que la completa.Cada dato corresponde a 200 invitaciones.

: duración cuest.

: nivel socioeconómico

3

2

6

p

q

n

45Emilio Picasso

ExperimentosModelo Factorial a 2 Factores Cruzados

El modelo lineal:

Condiciones de unicidad de efectos:

Supuestos:

ija i j ij ijay

1 1 1 1

0 0 , : 0p q p q

i j ij ij

i j i j

i j

2(homocedasticidad)

independientes

Normales

1) 0

2)

3)

4)

ija

ija

ija

ija

S E

S V

S

S

1... 1... 1...i p j q a n

46Emilio Picasso

ExperimentosTabla ANOVA

Donde las Q siguen las fórmulas de cálculo:

Total

/

1

1

( 1)( 1)

( 1)

1

i

j

ij

ija

Efecto Q CM Q

C C p

C C q

C C C C p q

C C pq n

C C pqn

2

2

2

i

j

C pqn y

C qn y

C pn y

2

2

ij

ija

C n y

C y

47Emilio Picasso

ExperimentosInferencia


Evaluar hipótesis múltiples es complicado, pero Fisher encontró la forma de

convertirlas en hipótesis simples:

Utilizando la varianza de las medias, que según la convención de W. Cochran son:

» No son verdaderas varianzas salvo que los factores sean aleatorios.

0 1 2 0 1 2) ... ) ...p qH H

2 2

0 0) 0 ) 0H H

2 2 2 2 2 21 1 11 1 ( 1)( 1)

i i ijp q p q

48Emilio Picasso

ExperimentosInferencia

Utilizando este artilugio se puede demostrar que las esperanzas de los cuadrados

completan la tabla ANOVA de esta manera:

2 2

2 2

2 2

2

Total

/

1

1

( 1)( 1)

( 1)

1

i

j

ij

ija

Efecto Q CM Q CM

C C p qn

C C q pn

C C C C p q n

C C pq n

C C pqn

E

49Emilio Picasso

Diseño Factoriala 2 Factores Cruzados

Fijos o Aleatorios

50Emilio Picasso

Experimentos a 2 Factores Cruzados Fijos o AleatoriosCaso: Hilo de Poliéster

Turno 1 Turno 2 Turno 3

Maq. 1 3,786 3,810 3,702

Maq. 2 3,620 3,674 3,286

Maq. 3 3,656 3,148 3,180

Variable respuesta: Resistencia del hilo.

ijy

2 568,1979ijay

: máquina

: turno

3 8

3 Q 3

5

p P

q

n

51Emilio Picasso

Experimentos a 2 Factores CruzadosTabla ANOVA


2 2 2

2 2 2

2 2

2

Total

/

1 (1 )

1 (1 )

( 1)( 1)

( 1)

1

qQi

pPj

ij

ija

n qn

n pn

n

Efecto Q Q

C C p

C C q

C C C C p q

C C pq n

C C pqn

E

2

2

2

i

j

C pqn y

C qn y

C pn y

2

2

ij

ija

C n y

C y

52Emilio Picasso

Diseño Factoriala 2 Factores Anidados

53Emilio Picasso

Experimentos a 2 Factores AnidadosCaso: Restaurants

Grandes ciudades Ciudades chicas

G1 G2 G3 C1 C2 C3

72525642

71786567

43646073

42555746

10373143

23513354

55,5 70,3 60,0 50,0 30,3 40,3

61,9 40,2

Variable respuesta: Porción de las mesas que piden vino con la comida.

: tamaño ciudad

: local

2 2

3 Q

4

p P

q

n

54Emilio Picasso

Experimentos a 2 Factores AnidadosTabla ANOVA


2 2 2

2 2

2

Total

/

1 (1 )

( 1)

( 1)

1

qQi

j

ija

n qn

n

Efecto Q Q

C C p

C C p q

C C pq n

C C pqn

E

2

2

2

2

i

ij

ija

C pqn y

C qn y

C n y

C y

55Emilio Picasso

Diseño Factoriala 3 Factores

56Emilio Picasso

Experimentos a 3 Factores CruzadosCaso: Film de polietileno

Promedios:

Ctrl COC EVOH

MAQ1

Ctrl 501,8 297 255,4

Enfr. 311,8 200,2 156,8

E. ráp. 197,2 145,2 108,8

MAQ2

Ctrl 499,2 302 250,4

Enfr. 306 205,6 173

E. ráp. 225,4 181,4 126,6

Ctrl COC EVOH

Ctrl 500 300 253

Enfr. 309 203 165

E. ráp. 211 163 118

Maq 1 Maq 2

Ctrl 352 351

Enfr. 223 228

E. ráp. 150 178

Maq 1 Maq 2

Ctrl 337 344

COC 214 230

EVOH 174 183

: Enfriamiento 3 3

: Bi-laminado 3 3

: Máquina 2 5

4

p P

q Q

r R

n

2 6.709.748

246,867

ijkay

y

57Emilio Picasso


2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2

1

1

1

( 1)( 1)

/

i

j

k

ij

ik

p q r n q rn qr n qrn

q p r n p rn pr n prn

r p q n p qn pq n pqn

p q r n rn

Efecto Q Q

C C

C C

C C

C C C C

E

2 2 2

2 2 2

2 2

2

( 1)( 1)

( -1)( -1)

( 1)( 1)

( 1)

( 1)

Total 1

jk

ijk

ijka

p r q n qn

q r p n pn

p qn

r

pqr n

pqrn

C C C C

C C C C

C C C C

C C C C

C C

C C

donde: 1 1 1p q rp q r

P Q R

58Emilio Picasso



2

2

2

2

i

j

k

C pqrn y

C qrn y

C prn y

C pqn y

2

2

2

2

2

ij

i k

jk

ijk

ijka

C rn y

C qn y

C pn y

C n y

C y

Diseño y Análisis de Experimentos Emilio Picasso Diseño Completamente Aleatorizado Caso: Pozos...

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