Diseño Instruccional de la Asignatura Matemática Básica para Arquitectura (2011) UPC

MATEMÁTICA BÁSICA PARA ARQUITECTURA (MA101) UPC 2011 – 01

Copyright © UPC, Área de Ciencias, Equipo MA101 Pág. 1

Unidad 02: Geometría Analítica Semana 04 Habilidades a trabajar Recta • Hace uso de la pendiente como razón de cambio. • Analiza problemas en los cuales se incluyen rectas haciendo uso del lenguaje matemático. • Resuelve problemas de modelación con rectas. Parábola • Define geométricamente el concepto de Parábola. • Grafica la ecuación de una cónica centrada en el origen de un plano cartesiano e identifica sus elementos principales a partir de la ecuación canónica. • Calcula la ecuación de una cónica centrada en el origen de un plano. • Recodifica (transforma) la ecuación general de una cónica a su forma trasladada correspondiente utilizando el método de completar cuadrados. • Gráfica una cónica trasladada a partir de su ecuación o a partir de cumplir un conjunto de condiciones dadas. • Calcula la ecuación de una cónica partiendo de su gráfica transformada. • Resuelve problemas de modelación con curvas (cónicas) Elipse • Define geométricamente el concepto de Elipse • Grafica la ecuación de una cónica centrada en el origen de un plano cartesiano e identifica sus elementos principales a partir de la ecuación canónica. • Calcula la ecuación de una cónica centrada en el origen de un plano.



Recursos disponibles en el Aula Virtual UPC

• PPT 01: La Recta (Modelación) • PPT 02: Cónicas (La Parábola) • Applet 01: La Parábola • Video 01: Secciones Cónicas • Video 02: Cocina Solar (Aplicación de la Parábola) • Video 03: Antena Parabólica (Aplicación de la Parábola) • Video 04: La Parábola (otras situaciones) • PPT 03: Cónicas (La Elipse) • Applet 02: Elipse • Video 05: Traza la Elipse • Video 06: Propiedad de los Focos de la Elipse • Video 07: Litotricia • Video 08: Mesa de Billas Elíptica



Tema: Ecuación de la recta (Modelación) Sesión: 4.1

Habilidad Fase Metodología (Descripción y Materiales) Tiempo Observaciones y

Recomendaciones

Con la idea de recuperar los conocimientos trabajados la semana anterior puede realizar la siguiente actividad: Preguntas conceptuales de verificación:

• ¿Los puntos A ( 2 ; 2

1− ) ; B ( 5 ; 2 ) y C ( 1 ; 0 ) están incluidos en la recta de

ecuación: 0523 =−+ yx ?

• Determinar 3 puntos que pasan por la recta de ecuación: )2(42 +=− xy

• Plantear y resolver el ejercicio 130 de la página 134. (determinar la ecuación de la recta y de la circunferencia)

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Hace uso del concepto de pendiente como razón de cambio. Modela problemas que involucran rectas.

Aplicaciones: Pendiente como razón de cambio Establecer la relación entre la pendiente de una recta y la razón de cambio (página 118 del libro). Resolver los ejemplos 11 y 12 de las páginas 119 y 120. En el ejemplo 11 la respuesta al ítem b) es: la pendiente 4,5 representa la tasa de cambio del nivel del agua con respecto al tiempo. El nivel del agua se incrementa 4,5 pies por año Para ello siga las siguientes pautas:

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También podemos aceptar: Por cada año que transcurre el nivel del agua aumenta en 4,5 pies. Esto con la idea de destacar en la respuesta la variación de un magnitud respecto de la otra.

Glosario: • Ecuación lineal • Relación lineal • Variable dependiente y variable

independiente • Razón de cambio



Observe que el ejercicio 11 es un ejercicio de interpretación es decir, la ecuación que relaciona ambas magnitudes se brinda como un dato del problema. En este tipo de ejercicios el estudiante debe poder: • Encontrar el valor de la pendiente y las coordenadas del punto en que corta al eje Y. • La variable dependiente es normalmente la que esta despejada. • Trazar la gráfica de la ecuación (recta) colocando la variable independiente en el eje X

y la variable dependiente en el eje Y. • Encontrar las coordenadas del punto en que corta al eje X. • “Eliminar” alguna parte de la gráfica anterior dependiendo de las magnitudes que se

representan y usando los puntos de corte encontrados en el ítem anterior. • Interpretar el significado del valor de la pendiente y de las coordenadas del punto en

que corta al eje Y

10 m

El ejercicio 12 es diferente, del texto del problema: • Se deben identificar las variables independiente y dependiente, para ello los textos

seleccionados deben suficientemente explícitos. • A partir del texto reconocer las coordenadas de dos puntos de la grafica (o en su

defecto las coordenadas de un punto y la pendiente). Tome en cuenta las unidades. • Encontrar la ecuación de la recta que relaciona ambas magnitudes. • A partir de este momento continuar con el proceso del ejercicio 11.

10 m

Ejercicios: Debido a la dificultad de este tipo de ejercicios se sugiere seguir la siguiente secuencia para que el estudiante aborde los problemas en casa: • Ejercicio 62 (página 122) Interpretación • Ejercicio 65 (página 122) Interpretación • Ejercicio 68 (página 122) Encontrar dos puntos de la gráfica • Ejercicio 72 (página 123) Encontrar dos puntos de la gráfica • Ejercicio 69 (página 122) Encontrar dos puntos de la gráfica

40 m



Tema: La Parábola Sesión: 4.2

Habilidad Fase Metodología (Descripción y Materiales) Tiempo Observaciones y Recomendaciones

Conoce y explica como se generan las cónicas M

Mostrar que las cónicas se forman por la intersección de un plano con un par de conos rectos unidos por sus vértices y de bases paralelas (apoyarse en el video y PowerPoint correspondiente), formando cuatro formas básicas: la circunferencia, elipse, parábola e hipérbola (secciones cónicas o cónicas).

05 m

M

Se podrán utilizar los videos y applets preparados para este tema (propiedades del foco de la parábola, cocina solar, formación de cónicas por la intersección de un plano con un par de conos circulares, etc.) se pueden ubicar todo este material en el AV Moodle. En la página 771 se muestran algunos ejemplos del uso de las cónicas en diseños arquitectónicos. El arquitecto español Gaudi empleó parábolas en el ático de La Pedrera (Barcelona – España). Su razonamiento fue que una cuerda suspendida entre dos puntos con carga igualmente distribuida tiene la forma de una parábola, una parábola invertida proveería el mejor soporte para un techo plano. 1

10 m

M

En los alrededores del Partenón (fuente Google Earth) se construyeron:

El Teatro de Dionisio: En la ladera sur de la Acrópolis, tenia cabida para 16.000 espectadores. En las gradas se pueden ver los asientos de mármol de los grandes personajes, y en la escena, un pórtico con columnas y relieves en la ba-se. Abre de 8.30 a 14.30 h.) 2 El Odeón de Herodes Ático. El recinto, del siglo II d.C., está reservado a espectáculos teatrales. Puede verse desde la subida a la Acrópolis. 3

1 Cónicas en la arquitectura. Página 771. Precálculo. Stewart. 2 http://www.grecotour.com/atenas/acropolis-partenon-atenas.htm (visitado el 07 de setiembre de 2009) 06:00 horas 3 http://www.grecotour.com/atenas/acropolis-partenon-atenas.htm (visitado el 07 de setiembre de 2009) 06:00 horas



M

En Toronto (Canadá)

Skydome: Desde el 2005 se llama Skydome Rogers Center luego de ser comprado por la empresa Rogers Communications. Este escenario fue el primero en poseer techo retráctil (la forma del techo es parabólica) y un hotel de 348 cuartos, 70 de los cuales tienen vista hacia el campo. 4

En Saint Louis (Missouri – Estados Unidos) foto de Google Earth

Planetario McDonnell: El edificio tiene forma de un hipérboloide. El hiperboloide es la superficie de revolución generada por la rotación de una hipérbola alrededor de uno de sus dos ejes de simetría. Estas superficies son de dos clases: de una y de dos hojas.

En Kobe (Japón):

La torre Kobe las secciones transversales son hiperbólicas.5 El hiperboloide es la superficie de revolución generada por la rotación de una hipérbola alrededor de uno de sus dos ejes de simetría. Estas superficies son de dos clases: de una y de dos hojas.

La primera estructura hiperboloide del mundo es una torre de celosía en acero., de belleza asombrosa, localizada en la localidad de Polibino, región Lipetsk. La torre hiperboloide fue construida y patentada en 1896 por el gran ingeniero y científico ruso Vladimir Shújov. Las estructuras hiperboloide fueron construidas posteriormente por muchos arquitectos famosos: Antoni Gaudí, Le Corbusier, Oscar Niemeyer.6

4 http://es.wikipedia.org/wiki/Rogers_Centre (visitado el 07 de setiembre de 2009) 06:15 horas 5 Precalculo. Stewart. Página 774 6 http://diario.grumpywolf.net/fotos/show/recent/page/19/photo/3038116098/ (visitado el 07 de setiembre de 2009) 07:30 horas



Define geométricamente a una parábola y deduce su ecuación. Relaciona las ecuaciones de una parábola con su gráfica: Dada la ecuación de una parábola traza la grafica, dada la gráfica de una parábola determina su ecuación.

Parábola (definición)

Analizar la Definición geométrica de una parábola (cuadro azul página 744). La idea es resaltar la propiedad geométrica que posee la parábola. Se sugiere trazar una parábola con el eje no paralelo a los ejes coordenados (caso más general) Ecuaciones y gráficas de parábolas. Parábola con eje vertical – Parábola con eje horizontal. (Cuadro azul página 745 y cuadro azul página 746). Se sugiere demostrar a partir de la propiedad geométrica como se obtiene la ecuación de la parábola con eje vertical que abre hacia arriba porque permite articular con el concepto de distancia entre dos puntos y distancia respecto de una recta. En esta discusión se toma el valor de p positivo (distancia del foco al vértice). (*) Resolver los ejemplos 1, 2 y 3 de las páginas 746 a la 748. Definir lado recto y diámetro focal (ver la página 748) Resolver el ejercicio 4 de la página 749. Se puede reforzar el tema con el video del profesor Manuel Álvarez publicado en el AV Moodle.

40 m

Se recomienda desarrollar la forma en que se obtiene la ecuación porque permite articular con el concepto de distancia entre dos puntos y distancia respecto de una recta (*) Sin embargo a los aprendices les genera confusión que la ecuación de la parábola con eje vertical que abre hacia abajo utilice también el valor de p y no aparezca de manera explicita un signo negativo.

Traslada la parábola

Parábola desplazada (trasladada)

Para introducirse de manera práctica en el tema resolver e inferir la solución con los alumnos del ejemplo 2 (variante) y del ejemplo 2 de la página 777: • Ejemplo 02 (variante): Determine el vértice, foco, directriz y trace la gráfica de la

parábola: )3(8)2( 2 −=− yx

• Ejemplo 02: Determine el vértice, foco, directriz y trace la gráfica de la parábola: 2 4 8 28x x y− = − .

Luego de concluir el desarrollo de dicho ejemplo resumir las cuatro ecuaciones de la parábola traslada que aparecen en la página 777.

25 m

De lo que se trata es de completar cuadrados y de revisar la traslación de la parábola del mismo modo como lo hicimos en la circunferencia (utilizar intuición).



Modelación con parábola

Aplicaciones Resolver el ejemplo 06 de la página 750 o el ejercicio del puente colgante que esta en la presentación. Sin embargo recuerde que el ejercicio del puente colgante tiene un nivel de dificultad mayor que el ejemplo 06 de la página 750. Se presenta un tercer problema de modelación sobre el chorro de agua en la diapositiva. Al resolver los problemas de modelación enfatizar la importancia de: • Ubicar primero que nada a los ejes coordenados e identificar la incógnita. • Luego a partir de dicha ubicación se deberá proponer una ecuación para la parábola

identificada según sea el eje de la parábola y según que lado abra. • A continuación haciendo uso de los datos del problema determinar las coordenadas de

un punto de paso. • Determinar el valor de la incógnita del problema reemplazando las coordenadas del

punto de paso en la ecuación propuesta. • Finalmente responder la pregunta y redactar una respuesta completa. Tarea Ejercicio 10.1: página 751: 9, 13, 17, 27, 29, 35, 40, 41 y 45. (Parábola con vértice en el origen) Ejercicio 10.1: página 752: 49, 50 y 51 (Modelación con Parábola) Ejercicio 10.4: página 781 - 782: 5; 7 y 13. (Parábola trasladada)

20 m



Tema: La Elipse Sesión: 4.3

Habilidad Fase Metodología (Descripción y Materiales) Tiempo Observaciones y Recomendaciones

M

Usar los diferentes videos o applets que se encuentran en el Aula Virtual para mostrar algunas aplicaciones de las propiedades geométricas de la Elipse.

10 m

Define geométricamente una elipse y deduce su ecuación. Relaciona las ecuaciones de una elipse con su gráfica: Dada la ecuación de una elipse traza la grafica, dada la gráfica de una elipse determina su ecuación.

Elipse (definición)

Siguiendo la misma forma de trabajo desarrollada para la parábola. Analizar la Definición geométrica de una elipse (cuadro azul página 753). La idea es resaltar la propiedad geométrica que posee la elipse. Se sugiere trazar una elipse con los ejes no paralelos a los ejes coordenados (caso más general). Identificar sus elementos (centro, vértices, eje mayor, eje menor y focos. No se mencionan las directrices) Ecuaciones y gráficas de elipse. Elipse con centro en el origen. (Cuadro azul página 755). Reforzar la relación entre las constantes a, b y c mostrando como naturalmente se desprende la aplicación del teorema de Pitágoras con dichas constantes. Resolver el ejemplo 01 (dada la ecuación calcular sus propiedades más importantes y graficar), el ejemplo 02 (dada una ecuación darle la “forma” de la ecuación de la elipse, reconocerla como tal y graficarla) y ejemplo 03 (dada sus propiedades, deducir su ecuación y graficar) de las páginas 755, 756 y 757. Definir la excentricidad de una elipse (cuadro azul página 757). Trabajarlo sólo a nivel conceptual haciendo uso de la figura 8 de la página 758. Desarrollar el ejemplo 04 de la página 758.

Tarea Ejercicio 10.2 : página 759 - 760 : 6, 7, 11, 13, 15, 16 23, 30, 32, 36, 39 y 42 (Elipse centrada en el origen)

40 m

Se sugiere demostrar (de manera resumida) a partir de la propiedad geométrica como se obtiene la ecuación de una elipse centrada en el origen y con vértices y focos sobre el eje X. Destacar como determinar con precisión sobre que eje se encuentran los focos y vértices a partir de la forma de la ecuación “observar cual es término al cual le corresponde el mayor denominador”. Se puede reforzar el tema con el video del profesor Manuel Álvarez.

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