Diseño de un módulo instruccional para enseñar el estándar de ...
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UNIVERSIDAD INTERAMERCANA DE PUERTO RICO RECINTO DE PONCE PROGRAMA GRADUADO EN EDUCACIÓN Diseño de un módulo instruccional para enseñar el estándar de geometría a estudiante de décimo grado: utilizando el método Polya para la solución de problemas e integrando la tecnología en el proceso de enseñanza aprendizaje PROYECTO DE INVESTIGACIÓN SOMETIDO COMO REQUISITO PARCIAL PARA EL GRADO DE MAESTRÍA EN EDUCACIÓN EN CURRÍCULO Y ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS Noemí Zabala Durán Abril 2013
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UNIVERSIDAD INTERAMERCANA DE PUERTO RICO RECINTO DE PONCE
PROGRAMA GRADUADO EN EDUCACIÓN
Diseño de un módulo instruccional para enseñar el estándar de geometría a estudiante de décimo grado: utilizando el método Polya para la solución de problemas e integrando la
tecnología en el proceso de enseñanza aprendizaje
PROYECTO DE INVESTIGACIÓN SOMETIDO COMO REQUISITO PARCIAL PARA EL GRADO DE MAESTRÍA EN EDUCACIÓN EN CURRÍCULO Y ENSEÑANZA DE LAS
MATEMÁTICAS
Noemí Zabala Durán
Abril 2013
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© 2013
Noemí Zabala Durán DERECHOS DE AUTOR RESERVADOS
PONCE, PUERTO RICO
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Diseño de un Módulo Instruccional para enseñar el estándar de geometría a estudiante de décimo grado: utilizando el método Polya para la solución de problemas e integrando la
tecnología en el proceso de enseñanza aprendizaje
Sometido como requisito parcial para la obtención del grado de Maestría en Educación en
Currículo y Enseñanza en Matemáticas
Noemí Zabala Durán
Mayo 2013
Aprobado por: ______________________________________________________________Dra. Elsie Guevara Meléndez Fecha Director del Proyecto de Investigación _______________________________ ______________________ Dra. Lilliam Laboy Vélez Fecha Directora de Estudios Graduados _______________________________ _____________________ Dra. Jacqueline Álvarez Peña Fecha Decana de Estudios
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ABSTRACT
This application project is aimed to the teaching of geometry in secondary level,
specifically the tenth grade. It contains a curricular segment. For its construction, were used the
content standards and grade level expectations in mathematics from the Department of Education
of Puerto Rico, integrating the Polya method in solving problems. The content and grade level
expectations in mathematics included in the curricular segment, have a choice of several
activities aimed to improve student achievement in the area of geometry and thereby promote
academic excellence.
Also, it gives teachers the opportunity, in their role as facilitator, to use enrichment
strategies, such as the use of technology and the Polya method. Both strategies are aimed to
promote student participation in an increasingly globalized world that poses challenges and
needs of increasingly competent learners. The skills applied in each of the activities can be
worked in groups or individually.
Finally, through this curricular segment the student may gain logical knowledge previous
to start new concepts that will help students think, communicate, reason, implement and evaluate
the relationships between ideas to manifest effectively in their daily lives. It aims to achieve
learning environments where teachers support and encourage student’s geometric thinking,
guiding them through the process of inquiry in order to get to the deepest level of understanding.
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RESUMEN
Este proyecto de aplicación está dirigido a la enseñanza de la geometría en el nivel
secundario, específicamente el décimo grado. El mismo contiene un segmento curricular. Para
la construcción del mismo, se utilizaron los estándares de contenidos y expectativas de grado de
matemáticas del Departamento de Educación de Puerto Rico, integrando el método Polya en la
solución de problemas. El contenido y las expectativas de grado en matemáticas incluidas en el
segmento curricular presentan un escogido de diversas actividades dirigidas a mejorar el
aprovechamiento académico en el área de geometría y por ende promover la excelencia
académica.
Además, le brinda la oportunidad al docente, en su rol de facilitador, de utilizar
estrategias enriquecedoras, como lo es la el uso de la tecnología y el método Polya, dirigidas a
promover la participación del alumno en un mundo cada vez más globalizado que les plantea
retos y necesita de aprendices cada vez más competentes. Las destrezas aplicadas en cada una de
las actividades pueden ser trabajadas en grupos o individualmente.
Finalmente, a través de este segmento curricular el estudiante podrá obtener
conocimientos lógicos previos para iniciar nuevos conceptos que lo ayuden a pensar, comunicar,
razonar, aplicar y valorar las relaciones entre ideas para manifestarse de forma efectiva en su
diario vivir. Se pretende alcanzar ambientes de aprendizaje donde los maestros apoyen y
fomenten el pensamiento geométrico en los estudiantes, mediante el proceso de inquirir para que
estos puedan alcanzar un nivel más profundo de razonamiento.
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CERTIFICACIÓN DE AUTORÍA
Yo, Noemí Zabala Durán, certifico que el proyecto de aplicación titulado: El estándar
de geometría a estudiante de décimo grado: utilizando el método Polya para la solución de
problemas e integrando la tecnología en el proceso de enseñanza aprendizaje, el cual
someto como parte de los requisitos para obtener el grado de maestría en Educación en Currículo
y Enseñanza en Matemáticas, de la Universidad Interamericana de Puerto Rico, Recinto de
Ponce, es el producto de mi labor investigativa.
Así mismo doy fe de que este trabajo es original e inédito. Esta investigación conlleva
los Derechos de Autor Reservados, Noemí Zabala Durán (2013), y como estudiante del nivel
graduado en Educación en Currículo y Enseñanza en Matemáticas, autorizo a la Universidad
Interamericana de Puerto Rico, Recinto de Ponce, a utilizar el mismo exclusivamente con el
propósito de referencias a otras personas que así lo soliciten para futuras investigaciones.
______________________________ ____________________________ Noemí Zabala Durán Fecha Estudiante
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DEDICATORIA
Gracias a mí Dios: Por darme la fuerza, certeza y perseverancia de lograr unas de mis metas, sin
ti, nada de esto sería posible. Gracias mil Dios.
A mi esposo Dalvin: Gracias mi amor por la paciencia, dedicación todos los días y noches,
siempre pendiente de mi sueños. Te amo.
A mis hijas Noemí Nicole y Yisia Mariel: Por ser el timón que cada día me estimula a ser una
mejor persona y profesional. Ustedes son mi inspiración de seguir siempre adelante, y
demostrarle que el cielo es el límite. Las amos.
A mis padres María y Federico: Por sus oraciones y bendiciones, gracias los quiero.
A mis hermanos Guillermo, Geraldo y Mariel: Gracias por tener las dichas de ser mis hermanos.
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AGRADECIMIENTOS
Agradezco a toda la facultad de Estudio Graduado de la Universidad Interamericana de
Ponce, por darme la oportunidad de adquirir los conocimientos necesarios para complementar mi
labor como educadora. Gracias a todos ustedes por haber aportado en gran medida a mi
desarrollo profesional.
A mi mentora Dra. Elsie Guevara Meléndez por su excelencia como educadora y por
refinar mis conocimientos en el área de las matemáticas, y estar siempre dispuesta a ayudar, le
estaré agradecida.
A la Dra. Lilliam Laboy gracias, por su amabilidad, disponibilidad, siempre dispuestas a
ayudar cuando la necesité.
La Sra. Norma Torres, por su amabilidad, gracias.
Sra. Carmen Villegas, por ese café de todas las mañana, siempre preocupada por mis
estudios, gracias.
Profesor Luis R. González, gracias por la ayuda incondicional.
Sra. Lugo, no tengo palabras para agradecerle su preocupación, dedicación, por siempre
decir si cuando la necesite.
Yolanda Cáceres, gracias por tu amistad, eres un ser especial.
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TABLA DE CONTENIDO
ABSTRACT...................................................................................................................................iv RESUMEN......................................................................................................................................v CERTIFICACIÓN DE AUTORÍA.................................................................................................vi
DEDICATORIA............................................................................................................................vii AGRADECIMIENTOS................................................................................................................viii
TABLA DE CONTENIDO............................................................................................................ix
LISTA DE TABLAS.....................................................................................................................xii
LISTA DE FIGURAS..................................................................................................................xiii
LISTA DE ANEJOS.....................................................................................................................xiv CAPÍTULO I: INTRODUCCIÓN...................................................................................................1
Introducción.........................................................................................................................1
Antecedentes........................................................................................................................2
Problema de investigación...................................................................................................8
Objetivo de la investigación...............................................................................................11
Justificación.......................................................................................................................11
Marco conceptual...............................................................................................................16
Método Polya.....................................................................................................................20
Definición de términos.......................................................................................................23
Importancia del estudio......................................................................................................26
CAPITULO II: LITERATURA RELACIONADA..................................................................... 28
Introducción.......................................................................................................................28
Documentos del Departamento de Educación de Puerto Rico..........................................28
x
Proyecto de Renovación Curricular, Fundamentos Teóricos y
Metodológicos........................................................................................................29
Marco Curricular, Programa de Matemáticas........................................................29
Estándares de Contenido y Expectativas de Grado del
Programa de Matemáticas.....................................................................................30
Carta Circular 2-2010-2011: Planificación del Proceso de Aprendizaje............................................................................................................30 Carta Circular 5-2010-2011, Política Pública Sobre la Organización...................31 Mapas Curriculares................................................................................................31
El Programa de Matemáticas y el Método Polya...............................................................32
Importancia del Teorema de Pitágoras..............................................................................34
La solución de problemas y el Método Polya....................................................................35
El Departamento de Educación (DEPR) y la solución de problema.................................40 Literatura Empírica............................................................................................................43 Solución de problemas utilizando el Método Polya............................................. 43 CAPÍTULO III: METODOLOGÍA...............................................................................................53
Introducción.......................................................................................................................53
Propósito............................................................................................................................53
Diseño Curricular..............................................................................................................54
Población...........................................................................................................................55
Fuentes y materiales...........................................................................................................56
Procedimiento....................................................................................................................58
Descripción del segmento curricular.................................................................................58
xi
Resumen.............................................................................................................................60
CAPITULO IV: RESULTADOS..................................................................................................61
Introducción.......................................................................................................................61
Segmento curricular...........................................................................................................61
CAPÍTULO V: ANÁLISIS Y DISCUSIÓN................................................................................75 Introducción.......................................................................................................................75
Conclusiones......................................................................................................................77
Recomendaciones..............................................................................................................78
Limitaciones.......................................................................................................................79
REFERENCIAS.............................................................................................................................81
ANEJOS.........................................................................................................................................90
xii
LISTA DE TABLAS
Tabla 1: Modelo segmento curricular............................................................................................57
Tabla 2: Bosquejo de contenido.....................................................................................................63
Tabla 3: Pasos Método Polya.........................................................................................................64
Tabla 4: Segmento curricular.........................................................................................................66
xiii
LISTA DE FIGURAS
Figura 1: Resultados PPAA del 2009 al 2012 en Matemáticas a
Nivel Isla para 11mo Grado.............................................................................................9
Figura 2: Secuencia y profundidad................................................................................................15
Figura 3: Método Polya.................................................................................................................19 Figura 4: Enfoque de solución de problemas................................................................................33
xiv
LISTA DE ANEJOS Anejo A : Modelo del plan de clase...............................................................................................91
Anejo B: Triángulos Rectángulos -Mapas de Conceptos..............................................................94
Anejo C: Lados de un triángulo rectángulo...................................................................................98
Anejo D: Midiendo la longitud de los lados del triángulo rectángulo........................................101
Anejo E: Identificando triángulo rectángulo en el diario vivir....................................................107
Anejos F:¿Cómo nos ayudan los triángulos rectángulos a visualizar el mundo?........................110
Anejo G: Clasificación de triángulos según sus lados y ángulos isósceles.................................114 Anejo H : Identifica y dibuja un triángulo rectángulo
especiales 45-45-90 y 30-60-90.................................................................................118
Anejo I: Propiedades de los triángulos especiales 45-45-90 y 30-60-90....................................121
Anejo J: Aportaciones de Pitágoras a las Matemáticas..............................................................126 Anejo K: Encontrar medidas de los lados de un triángulo rectángulos.......................................130
Anejo L: Comprueba lo que aprendiste de la ternas pitagórica
de un triángulo rectángulo.........................................................................................135
Anejo M: Utilizando teorema de Pitágoras con objeto de dos y tres dimensiones.....................141
Anejos N: Solución de problemas con Teorema de Pitágoras.....................................................145
Anejo Ñ: Ejercicios aplicando los pasos Polya como estrategia de
enseñanza y aprendizaje..............................................................................................149
Anejo O: Teorema de Pitágoras -solución de problema
aplicando Método Polya. El velero.............................................................................152
Anejo P: Utilizando fórmula de distancia....................................................................................157
xv
Anejo Q : Video: Encontrando medidas en coordenadas
e identificando los ejes x y y, con fórmula de distancia...........................................160 Anejo R: Actividad: Paseo por el campo.....................................................................................163
Anejo P: Propiedades de los triángulos especiales 45-45-90 y 30-60-90....................................168
Anejo S: Historia funciones trigonométricas...............................................................................172
Anejo U: Identificar razones trigonométricas en el triángulo rectángulo....................................176
Anejo V: Solución de problema....................................................................................................184
Anejo W: Pre y Pos prueba.........................................................................................................197
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CAPÍTULO I
INTRODUCCIÓN
Introducción
Las matemáticas, como parte de las disciplinas que se enseñan en los sistemas
educativos, se desarrollaron por el interés del ser humano en entender e interpretar su mundo
(Kline, 1972; Davis & Hersh, 1981). Una de las metas del Programa de Matemáticas del
Departamento de Educación de Puerto Rico (DEPR) es la formación de ciudadanos de provecho
y seres humanos integrales a través de un currículo flexible, pertinente, y con la contribución del
maestro como facilitador del proceso de aprendizaje. Esta meta señala, que el estudiante debe
practicar procesos efectivos para solucionar problemas y así: (a) identificar supuestos y
circunstancias, (2) organizar y manejar información, (3) diseñar e implantar estrategias de
solución y (4) validar y comunicar los resultados (Marco Curricular de Matemáticas, 2003).
En particular, la solución de problemas es una experiencia de enseñanza que favorece el
enriquecimiento de las estructuras conceptuales, ya que demanda conocimientos previos que
pueden ser nociones, conceptos, experiencias, las cuales generan conflictos cognitivos que
movilizan al estudiante a buscar una respuesta que permita equilibrar la situación problemática
planteada. Para propiciar experiencias de aprendizaje que aporten al desarrollo del razonamiento
matemático para la solución de problemas y la toma de decisiones de la vida diaria, es necesario,
desarrollar estrategias modelos que faciliten la comprensión y el aprendizaje. Esto con el
propósito de mejorar el aprovechamiento académico de los estudiantes. El presente trabajo,
propone a partir de situaciones del diario vivir crear esquemas, formular y visualizar los
problemas, mediante la utilización del método Polya.
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Antecedentes
Las matemáticas se han dividido en ramas o disciplinas que se concentran en unos
conceptos y procesos particulares. Las que se estudian en el DEPR son: aritmética, álgebra,
geometría, estadística, probabilidad, trigonometría y matemática discreta. Sin embargo, la
interdependencia entre las disciplinas, fomenta la integración del conocimiento matemático e
identifica los temas centrales que brindan coherencia al estudio progresivo de los contenidos, con
las herramientas que provee cada disciplina. Durante el siglo pasado se han desarrollado y
puesto en marcha diferentes enfoques como punta de lanza para la enseñanza de la matemática.
Por lo que el programa de matemáticas ha mantenido un currículo vigorizante. En los años 1900
al 1930 se enfatizó en la enseñanza de conceptos y destrezas aritméticas. A principios de la
dominación norteamericana (1899) se estableció en Puerto Rico una Junta Insular de Educación,
con el propósito de centralizar la administración escolar de la Isla. Durante estas décadas se
enriqueció el currículo y se realizaron cambios metodológicos en todas las materias. La
enseñanza de las matemáticas, así como las otras materias, se impartía en el idioma inglés.
En los años 1940 al 1950 el énfasis fue en el valor puramente social de la matemática. La
Comisión de la Universidad de Columbia que estudió el sistema educativo en 1949 no ofreció
pruebas de aprovechamiento; pero, al estudiar el currículo de matemáticas en la escuela
intermedia, encontró que en los cursos que se estaban desarrollando se seguían fielmente y con
mucha rigidez los libros de texto. Para corregir este problema, se sugirió que se utilizarán con
mayor frecuencia actividades relacionadas con la comunidad.
Para la década del 1950, se implementó el idioma inglés en todas las clases (excepto
inglés, claro está) había dejado de existir. Este suceso dio paso a poder familiarizar más la
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aritmética con el entorno boricua y poder llevar a cabo las asociaciones aplicativas sociales de
las matemáticas desde nivel elemental.
En el año1960 se hicieron cambios significativos en el enfoque de la asignatura, su
terminología, su simbolismo y sus usos, de modo que se enfatizará la significación para facilitar
la comprensión y el entendimiento de los procesos matemáticos. A este nuevo enfoque se le
llamó matemática moderna. Para responder a las necesidades del nuevo enfoque, surgió un
interés por mejorar la enseñanza de matemáticas y por aumentar el número de especialistas en la
materia. Con aportaciones de fundaciones norteamericanas, se creó en los Estados Unidos el
llamado “School Mathematics Study Group” (SMSG). Este grupo estaba integrado por maestros
de matemáticas, especialistas en matemáticas, expertos en educación y representantes de la
ciencia y la tecnología.
Los Centros de Currículo, establecidos en el año escolar 1963-64 en San Juan, Ponce y
Mayagüez, tenían el propósito de facilitar el ensayo de los materiales curriculares en la escuela
elemental y, al mismo tiempo, ofrecer orientación a los maestros, sobre contenido, estructura y
enfoques didácticos. Para finales de los 60 se destacaron las diferencias individuales en el
proceso de enseñanza-aprendizaje. Desde el 1966 se comenzó a atender a los estudiantes
talentosos mediante la creación de escuelas de áreas, como el Centro Residencial de
Oportunidades Educativas de Mayagüez (CROEM) y mediante el ofrecimiento de cursos
avanzados en el nivel superior.
En el año 1967-68, la Comisión de Matemáticas del “College Entrance Examination
Board” elaboró un curso de álgebra y trigonometría de nivel universitario para el programa de
Nivel Avanzado de Matemáticas. En el año escolar de 1968-69, se iniciaron los cursos de
Probabilidad y Estadísticas, y el de Geometría Analítica. En ese mismo año se estableció en toda
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la Isla el primer curso de Álgebra para estudiantes de noveno grado de talento superior y
promedio, así como para los estudiantes talentosos de octavo grado.
En el 1970, el bajo aprovechamiento mostrado por los estudiantes en exámenes
estandarizados y exámenes del “College Board”, los costos cada vez más altos de la educación y
la demanda por evidenciar la calidad de la enseñanza, entre otras razones, provocaron un
movimiento en la nación norteamericana al cual se le llamó “Back to Basics”. En el año 1973-
74, el Programa de Matemáticas produjo un currículo remedial, con énfasis en el desarrollo de
destrezas básicas, para estudiantes con limitaciones en el aprendizaje de matemáticas de nivel
elemental. Durante ese año, se inició el Proyecto Calendario Escolar Continuo (Quinmestres).
El currículo de nivel secundario, diseñado para este proyecto, proveía para atender las
diferencias individuales con énfasis en el desarrollo de destrezas básicas.
En el año escolar 1974-75, el Programa de Matemáticas estableció las
competencias mínimas para cada nivel de enseñanza en las cuales se basa el diseño de las
pruebas de aprovechamiento preparadas a nivel central. Estudios realizados a fines de la década
de los 70 revelaron el riesgo de que un estudiante llegara a obtener un dominio mecánico de las
destrezas básicas, sin entenderlas o estar capacitado para utilizarlas sabiamente. Para esa época
era fundamental que el estudiante desarrollara destrezas de solución de problemas que lo
capacitaran para analizar y resolver situaciones nuevas que se le presenten. Para responder a esta
necesidad, el Concilio Nacional de Maestros de Matemáticas (NCTM, por sus siglas en inglés)
declaró que la solución de problemas debía ser el énfasis de la enseñanza de matemáticas para la
década de los 80. Durante esta década se desarrolló en Puerto Rico un proceso de revisión
curricular intenso que impactó todas las disciplinas.
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En el 1990 el énfasis fue en la solución de problemas pertinentes y en el desarrollo de
pensamiento. El Concilio Nacional de Maestros de Matemática, organización de profesionales
de la educación matemática en los Estados Unidos, publicó en 1989 un documento titulado
“Estándares para el Currículo y Evaluación en Matemáticas”. Luego de muchos años de estudio
y reflexión, este documento describe las aspiraciones fundamentales de la educación matemática
y define lo que los estudiantes deben conocer y poder hacer en cada nivel escolar.
El documento de los estándares se divulgó ampliamente en Puerto Rico, y el Consejo
General de Educación diseñó una versión puertorriqueña para el 1996. El mismo sirvió como
base para crear el primer Marco Curricular del Programa de Matemáticas. En el año 2000, la
NCTM publica el documento “Principals and Standards for School Mathematics’’, una versión
actualizada del primer documento. Éste da origen al documento "Estándares 2000 de Puerto
Rico”, vigente en nuestro sistema educativo.
El estudio de las matemáticas tratará los conceptos fundamentales de las disciplinas con
diferentes grados de profundidad, establecerá conexiones y propiciará la integración entre ésta y
otras áreas (Marco Curricular de Matemáticas, 2003). La trigonometría como rama de las
matemáticas, se encarga de estudiar y analizar la relación entre los lados y los ángulos de los
triángulos (Flores Gil, 2008). Con el propósito de lograr su meta se utilizan las razones
trigonométricas. El origen de la palabra trigonometría procede del griego “trigonos” (triángulo)
y “metria” (medida).
En Babilonia y Egipto, hace unos 4,000 años se determinó y establecieron
aproximaciones de las medidas de los ángulos y las longitudes de los lados de los triángulos
rectángulos para ampliar y desarrollar medidas tanto en la agricultura como en la construcción de
pirámides (Cabrera Marín, 2009). Fueron los egipcios quienes establecieron la medida de los
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ángulos en grados, minutos y segundos. También se utilizó la trigonometría para el estudio de la
astronomía. En la antigüedad la misma se ocupaba de la observación y predicciones de los
movimientos de los objetos visibles a simple vista y en el estudio de la predicción de las rutas y
posiciones y perspectivas de los cuerpos en el espacio, para luego aplicarla a la navegación y el
cálculo del tiempo así como a los calendarios. La astronomía precolombina poseía calendarios
precisos y las pirámides de Egipto fueron construidas sobre patrones astronómicos muy exactos
(Flores Gil, 2008). Luego de las aportaciones egipcias y babilónicas, al estudio de la
trigonometría, están las contribuciones de Grecia (Stewart, 2008). Allí el matemático y
astrónomo Hiparco de Nicea, construyó una tabla de cuerdas para solucionar triángulos. Los
lados del ángulo central fragmentaban la circunferencia de radio r. Fue Tolomeo quien, 300 años
más tarde, utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema numeral (base 60), utilizado por
los babilonios. La trigonometría desarrollada por Tolomeo fue el catálogo estelar más perfecto y
completo de la antigüedad, utilizada durante siglos por los astrónomos (Cabrera Marín, 2009).
En India y Arabia se desarrolla entre los siglos VI y VII un sistema trigonométrico que
estaba basado en la función seno, en vez de cuerdas como los griegos. Para finales del siglo X
ya se habían completado la función seno y las otras cinco funciones trigonométricas (Kline,
1992).
En el siglo XII aparecen en Europa traducciones de libros de matemáticas y astronomía
árabes, lo que lleva a los conceptos de la trigonometría al resto del mundo conocido. El
matemático y astrónomo alemán Johann Müller, considerado el fundador e innovador de esta
materia, detalla y crea varias herramientas de gran utilidad y escribe tratados en los cuales
explica, analiza y muestra la obra de Tolomeo (Flores Gil, 2008).
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Por otro lado, el astrónomo alemán Georges Joachim, introdujo el concepto moderno de
las funciones trigonométricas como proporcionales en vez de longitudes. Y en el siglo XVI el
matemático francés François Vieté, incorpora el triángulo polar en la trigonometría esférica
(Stewart, 2008). Para inicios del siglo XVII, el matemático escocés John Napier descubrió los
logaritmos que llamó “números artificiales”. Más adelante en ese mismo siglo, el físico,
inventor, alquimista y matemático inglés, Isaac Newton descubre el cálculo diferencial e integral.
En el siglo XVIII, el físico y matemático suizo Leonhard Euler, explicó las propiedades
de la trigonometría como parte de la aritmética de los números complejos (Cabrera Marín, 2009).
Además estudió la notación actual de las funciones trigonométricas y se le atribuyó el
descubrimiento de la letra e como base del logaritmo natural, así como la unidad imaginaria que
generalmente se denota con la letra i. Euler también extendió el conocimiento sobre el número
pi (π).
Durante el siglo XX la trigonometría ha realizado muchos aportes en el estudio de los
fenómenos de las ondas y sus oscilaciones, así como su comportamiento periódico, el cual se
relaciona con las propiedades analíticas de las funciones trigonométricas. En la actualidad, este
conocimiento se utiliza en astronomía para medir distancias a las estrellas, para la medición de
distancias entre puntos geográficos y en los sistemas de navegación satelital (Flores Gil, 2008).
Al presentar la trayectoria histórica de la trigonometría, se hace con el propósito de demostrar
que muchas soluciones a problemas del mundo real, incluyendo problemas de navegación y
topografía, requieren trabajar con triángulos (Marco Curricular de Matemáticas, 2003). Además,
otros temas como: la representación matricial de giros, los ángulos de dirección de los vectores,
las coordenadas polares y la expresión en forma trigonométrica de números complejos, requieren
el conocimiento de las razones trigonométricas, señalando la relación entre la geometría y el
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álgebra. Las razones trigonométricas del triángulo rectángulo a su vez, originan las funciones
trigonométricas y circulares. Estas funciones, especialmente el seno y el coseno, constituyen
modelos matemáticos para muchos fenómenos periódicos del mundo real, tales como el
movimiento circular uniforme, los cambios de temperatura, los biorritmos, las ondas de sonido y
la variación de las mareas. La integración de la tecnología enseñanza y aprendizaje de las
matemáticas, influye en la educación y mejora el aprendizaje de los estudiantes. Solucionar
problemas ayuda al estudiante a comprender conceptos matemáticos en la vida real. Al integrar
la tecnología en la sala de clase, se evoluciona cambiado la monotonía y haciendo diferente las
destrezas desarrollada en la aula. La tecnología es una herramienta esencial para enseñar,
aprender y hacer matemáticas. Esta llegó para quedarse y cada día será más parte integral del
salón de clases. La tecnología incluida la calculadora, las computadoras, los multimedios y el
acceso a la supervenida de la información es una herramienta que permite maximizar la
productividad, la comunicación y la capacidad de investigación en la toma de decisiones
informada (National Educational Technology Standards [NETS], 2010).
Problema de investigación
El 8 de enero de 2002, el presidente de los Estados Unidos, George W. Bush, firmó la ley
Que Ningún Niño Quede Rezagado (No Child Left Behind). Esta ley requiere un compromiso
con todos los niños, incluyendo los grupos de estudiantes relacionados a la pobreza, raza,
etnicidad impedimentos y de poco dominio del idioma inglés. Esto significa que las escuelas,
distritos escolares y las agencias educativas locales serán responsables de la productividad de los
estudiantes y los resultados sistemáticos y a cambio se les da a las escuelas mayor control local
y apoyo federal. Sin embargo, uno de los problemas que está confrontando la educación del país
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es que los estudiantes no están logrando el nivel de aprovechamiento académico esperado (Véase
Figura 1).
Figura 1
Resultados PPAA del 2009 al 2012 en Matemáticas a Nivel Isla para 11mo Grado
Datos obtenidos del Perfil de las Escuelas PPAA 2012, DEPR
Estos resultados, están alejados diametralmente de las metas que el DEPR se ha trazado.
En el 2011 y en el 2012 las metas de proficiencia eran 84.68%, por lo que la brecha entre la meta
y lo obtenido en los resultados, que miden el aprovechamiento académico de los alumnos, es de
tal magnitud que el DEPR ha tomado la determinación de asignar al Programa de Matemáticas la
revisión de las prioridades en su currículo. Es el sistema educativo a quien se le ha dado la
responsabilidad de capacitar a los estudiantes en estrategias efectivas de los procesos de tomar
decisiones.
Para Juárez y Comboni (1996) las posibles causas del apego del docente a un esquema
tradicional de enseñanza, podrían asignarse al temor de cambiar estrategias que viene aplicando
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para incorporar otras diferentes y novedosas. Esta situación se hace más crítica en el caso de la
enseñanza de la matemática. Es el docente quien debe capacitar a los estudiantes para que, por sí
mismos, logren comprender, descomponer, integrar y recrear la realidad, lo que implica
necesariamente la utilización de estrategias que trasciendan la mera explicación de un contenido,
la aplicación de fórmulas y de una lista de ejercicios.
En tal sentido, Polya (1981) aporta un método para resolver problemas matemáticos que
se divide en cuatro (4) fases: comprender el problema, concebir un plan, ejecutar el plan y
examinar la solución obtenida, a partir del cual pudieran diseñarse estrategias de enseñanza y
aprendizaje para facilitar la comprensión y dominio de contenidos matemáticos, entre los cuales
se destaca la solución de problemas utilizando el método Polya e integrando la tecnología en el
proceso de enseñanza aprendizaje. Este autor busca despertar la curiosidad e interés en los
estudiantes por el aprendizaje de matemáticas que favorece el desarrollo intelectual de éstos.
Este método consiste en el uso de preguntas estimulantes durante la solución de problemas. Por
tanto, las estrategias fundamentadas en el método Polya (1981), para la solución de problemas
matemáticos, pueden beneficiar a éstos en la comprensión y solución de problemas relacionados
con el método Polya, elemento central de esta investigación.
Como consecuencia la investigadora de este estudio propone el diseño de un módulo
instruccional utilizando estrategias a partir del método Polya para facilitar la solución de
problemas relacionados con el método Polya e integrando la tecnología en el proceso de
enseñanza aprendizaje en estudiantes de décimo grado. Por tanto, plantea el siguiente problema
de investigación: ¿Cómo aplicar el método Polya en el diseño de estrategias para facilitar la
solución de problemas relacionados con la enseñanza del teorema de Pitágoras y las funciones
trigonométricas en estudiantes de décimo grado del municipio de Guayama.
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Objetivo de la investigación
Diseñar un módulo instruccional utilizando estrategias a partir del método Polya para la
solución de problemas relacionado a la enseñanza del teorema de Pitágoras y las funciones
trigonométricas en estudiantes de décimo grado del municipio de Guayama.
Justificación
Con el propósito de investigar: ¿Qué impacto tiene el uso del método Polya en la
enseñanza del teorema de Pitágoras y las funciones trigonométricas en los estudiantes de décimo
grado del municipio de Guayama. La investigación encuentra su justificación y pertinencia en las
razones que se expresan a continuación. La solución de problemas ha sido considerada una de
las áreas de la matemática que mayor dificultad ha presentado para la población estudiantil.
Calvo (2008). Los estudiantes son capaces de solucionar mecánicamente las operaciones
fundamentales básicas como: suma, resta, multiplicación y división, pero no saben cómo
aplicarlas en la solución de un problema, ya que sólo se les ha enseñado a actuar de forma
mecánica y repetitiva. Según Kamii (1994), citado en Ruiz & García (2003, p. 326), “La
solución de problemas debería darse al mismo tiempo que el aprendizaje de las operaciones en
vez de después, como aplicaciones de éstas”. Por lo tanto, si el aprendizaje se realiza
simultáneamente, esto facilitaría la comprensión y asimilación de las operaciones aritméticas.
Según Polya (1965), citado en Echenique (2006, p.10): "Es fundamental concienciar acerca de la
problemática vivida en torno a este tema y a su vez tomar las medidas necesarias para lograr un
mejor aprovechamiento en los procesos de enseñanza y aprendizaje de la resolución de
problemas".
No obstante, Becker & Miwa (1987), Brenner, Herman, Ho & Zimmer (1999), Cai &
Lester (2005), Cifarelli & Cai (2005) y Mamona-Downs & Downs (2005) indican que por
12
décadas, los educadores matemáticos alrededor del mundo han apoyado la utilización de la
solución de problemas como un medio para promover la comprensión de las matemáticas. De
acuerdo con estos autores se debe promover un enfoque de enseñanza-aprendizaje que utilice la
evaluación en matemáticas a través de la resolución de problemas. Esto con el objetivo de
presentar el desarrollo histórico de la solución de problemas y analizar las posibilidades de cómo
este método ofrece una forma de promover avances en los procesos de aprendizaje, así como
medio para perfeccionar la práctica educativa de los maestros.
Por otro lado, Sullivan, Mousley y Zevenbergen (2004) señalan que los estudiantes que
trabajan en parejas pueden realizar reflexiones iniciales sobre el problema antes de empezar a
trabajar. Muchos estudiantes recuerdan sus cursos de matemáticas con resentimiento, frustración
y la creencia de que “no se puede hacer matemáticas.” Por consiguiente, el Concilio Nacional de
Maestros de Matemáticas (por sus siglas en inglés NCTM (2000), en sus estándares es claro al
expresar la creencia de que todos los niños pueden aprender las matemáticas de un currículo
regular. Esta visión es apoyada por educadores de matemáticas que han trabajado de forma
extensa con una población de riesgo (Campbell, 1996; NCTM, 1989, 1980; Silver & Stein,
1996; Trofton & Claus, 1994). Debido a que las necesidades y habilidades de los niños son
diferentes, se requieren destrezas y experiencias para dirigir a un grupo grande a una discusión
balanceada que incluya todos los niños. La metodología empleada en la enseñanza de la solución
de problemas en matemáticas, es un elemento clave para el logro satisfactorio de los contenidos
en esta área. Polya (1965), citado en Echenique (2006, p.10), explica:
“… el profesor tiene en sus manos la llave del éxito ya que, si es capaz de estimular en
los alumnos la curiosidad, podrá despertar en ellos el gusto por el pensamiento
13
independiente; pero, si por el contrario dedica el tiempo a ejercitarles en operaciones de
tipo rutinario, matará en ellos el interés...”.
Al enseñar la solución de problemas en matemática se debe utilizar una metodología
que ayude al estudiante a descubrir la solución correcta del problema de una manera
comprensiva. Para lograr esto es importante reconocer aspectos relacionados a la función del
docente y del alumno en este proceso, así como la influencia y la actitud que ambos demuestren.
González & Jarillo (1994) explican que el conocimiento lógico matemático no se toma de
los objetos, sino de las acciones efectuadas sobre ellos. Se debe tomar en cuenta por tanto, que
el conocimiento lógico matemático se acrecienta por medio de la relación con el entorno, de aquí
deriva la importancia de propiciar en las clases de matemáticas momentos en los cuales los
estudiantes puedan estar en contacto con material concreto proveniente del medio externo que
los rodea. De esta forma, los alumnos serán capaces de comprender el sentido de la matemática
al descubrir que esta se encuentra presente en todos los elementos del entorno, así como en las
actividades que realizan, ya que la matemática no se encuentra solamente en la sala de clases,
sino en cada una de las ocupaciones existentes.
De acuerdo con Lester & Kehle (2003) los individuos que son buenos solucionando
problemas se caracterizan por disponer de un conjunto de estrategias generales o heurísticas que
guían su acción y que les ayudan a superar las dificultades que van encontrando durante el
proceso de resolución. Además, promueve el aprendizaje, permitiendo que el alumno se
desarrolle de forma natural y espontánea, ya sea en grupo o individual, tomando en
consideración su capacidad creativa e interés por investigar por sí mismo o con la ayuda de sus
compañeros.
14
Por otra parte, el educador que desee desarrollar en sus alumnos la actitud positiva hacia
la solución de problemas, debe motivar y despertar el interés facilitando el mayor número
posible de ocasiones de imitación y práctica (Francisco & Maher, 2005). El maestro
constructivista debe facilitar y promover el diálogo para transformar esquemas que fomenten la
autonomía y la iniciativa del estudiantado, ya que el alumno está siempre renuente a resolver
problemas, pues está acostumbrado a los ejercicios de práctica.
En particular el DEPR a través del Programa de Matemáticas se presenta un resumen del
conocimiento matemático que se enseñará en cada uno de los cuatro niveles escolares, las cuales
se definen del siguiente modo: (1) Kínder al tercer grado, tratará con mayor extensión el estudio
de los números y sus operaciones, con el propósito de sentar las bases para el estudio de los
demás conceptos. (2) Cuarto al sexto grado, este nivel continuará el desarrollo de los conceptos
fundamentales de Numeración y Operación. El énfasis mayor será en las operaciones, las cuales
incluirán destrezas computacionales de aritmética mental, estimación, cálculos con lápiz y papel,
y calculadoras. Se amplía el estudio de la Geometría. (3) Séptimo al noveno grado la mayor
cantidad de tiempo se dedica al contenido y los procesos de la Geometría y del Álgebra, ya que
se comienza a formalizar el estudio de estas disciplinas. (4) Décimo al duodécimo grado
recomienda enfatizar, en el Nivel Superior (10mo – 12mo) mayor profundidad y abstracción en
el Álgebra, la Geometría y el Análisis de datos y probabilidad. Para seleccionar las prioridades
se tomó en consideración el promedio contestado correctamente a nivel isla, así como la cantidad
de ítems por estándar en las Pruebas Puertorriqueñas de Aprovechamiento Académico en cada
grado (Ver Figura 2).
15
Figura 2
Secuencia y Profundidad
Datos obtenidos del Marco Curricular de Matemáticas 2003
La utilización de estrategias de enseñanza variadas, la forma como se enseña los
conceptos es importante para que el estudiante se encuentre mejor preparado aunque se reconoce
la gran variedad de factores que influyen en esta preparación (DEPR, 2012). Hay que considerar
la importancia que tiene el uso de los Estándares y Expectativas en la alineación del proceso de
enseñanza en todo Puerto Rico. En el undécimo grado el énfasis es en: (a) Numeración y
Operaciones (vectores), (b) en Álgebra (funciones, transformación de funciones y
transformaciones de funciones trigonométricas), (c) en Análisis de datos (patrones de asociación
y transformaciones) y en (4) Geometría (demostraciones y resolución de triángulos).
Las prácticas educativas del Programa de Matemáticas, con el fin de mejorar el
aprovechamiento y que son también prioridad para el DEPR, son dos (2): (a) integración de la
tecnología y (b) aprendizaje cooperativo. La integración de la tecnología se refiere al uso
Numeración y Operación
Medición
Geometría
Análisis de Datos y Probabilidad
Algebra
K-3 4-6 7-9 10-12
16
efectivo de manipulativos (presencial o virtual) para desarrollar conceptos de álgebra y
geometría. En particular, el uso de materiales concretos provee el puente para el entendimiento
de los conceptos matemáticos y la utilización de la calculadora científica para trabajar con los
conceptos y destrezas de análisis de datos, probabilidad, patrones y comprobación de cálculos
matemáticos.
En cuanto al aprendizaje cooperativo, se sugiere el método de enseñanza asistida por el
grupo (Team Assisted Individualization – TAI). Este modelo es un programa de estudio de
matemática altamente individualizado, en el que los estudiantes trabajan en forma individual
para completar áreas de matemáticas a través del empleo de materiales didácticos educativos.
Los estudiantes son asignados a grupos de 4 ó 5 integrantes, pero no trabajan juntos. En su lugar
comprueban mutuamente sus respuestas, se aplican exámenes y brindan ayuda cuando otro
compañero lo solicita (Johnson, Johnson & Johnson, 1994).
Marco conceptual
El proceso de solución de problemas involucra información perceptual, sicológica o
sensorial (Dewey, 1910). Éste establece que el proceso de recopilación de información se
relaciona estrechamente con el aprendizaje por descubrimiento, proceso a través del cual el
alumno es participante activo de su aprendizaje. Larios (2000) afirma que el alumno construye
su conocimiento y lleva a cabo la interacción activa con los objetos matemáticos, incluyendo la
reflexión que le permita abstraer estos los mismos, es necesario que estos objetos se presenten
inmersos en un problema y no en un ejercicio. Son las situaciones problemáticas las que
introducen un desequilibrio en las estructuras mentales del alumno, que en su afán de
equilibrarlas (acomodo) se produce la construcción del conocimiento.
17
La literatura identifica varias estrategias para trabajar la destreza solución de problemas
(Fernández, 1992). Entre ellas están:
1. Ensayo – error.
2. Empezar por lo fácil, solucionar un problema semejante más sencillo.
3. Manipular y experimentar manualmente.
4. Descomponer el problema en pequeños problemas (simplificar).
5. Experimentar y extraer pautas (inducir).
6. Resolver problemas análogos (analogía).
7. Seguir un método (organización).
8. Hacer esquemas, tablas, dibujos (representación).
9. Hacer recuento (conteo).
10. Utilizar un método de expresión adecuado: verbal, algebraico, gráfico, numérico
(codificar, expresión, comunicación).
11. Cambio de estados.
12. Tomar ventaja de la simetría.
13. Deducir y sacar conclusiones.
14. Hacer conjeturas.
15. Analizar los casos límite.
16. Reformular el problema.
17. Suponer que no (reducción al absurdo).
18. Empezar por el final (dar el problema por resuelto).
Por su parte Schoenfeld (1987), proporciona una lista de técnicas heurísticas de uso
frecuente, para solucionar problemas, que agrupa en tres fases, a saber:
18
1. Análisis
a. Trazar un diagrama.
b. Examinar casos particulares.
c. Probar a simplificar el problema.
2. Exploración
a. Examinar problemas esencialmente equivalentes.
b. Examinar problemas ligeramente modificados.
c. Examinar problemas ampliamente modificados.
3. Comprobar la solución obtenida
a. ¿Verifica la solución los criterios específicos siguientes?
1) ¿Utiliza todos los datos pertinentes?
2) ¿Es coherente con predicciones o estimaciones razonables?
3) ¿Resiste los ensayos sobre simetría, análisis dimensional o cambio de
escala?
b. ¿Verifica la solución los criterios generales a continuación?
1) ¿Es posible obtener la misma solución por otro método?
2) ¿Puede quedar definida en casos particulares?
3) ¿Es posible reducirla a resultados conocidos?
4) ¿Es posible utilizarla para generar algo ya conocido?
Sin embargo, el método Polya (1962), ha sido seleccionado como la alternativa para el
desarrollo de este proyecto de creación de un segmento curricular. Polya (1962) plantea la
actividad de resolución de problemas como un arte donde el maestro y la práctica ayudan a
19
interiorizar un modo llevar acabo unos procesos. El método utilizado comprende cuatro (4)
fases: (a) comprender el problema, (b) concebir un plan, (c) ejecución del plan y, (d) examinar la
solución obtenida (Véase figura 3). Para Polya (1957) el eje fundamental de la actividad
matemática es la resolución de problemas. La investigación en educación matemática dedica sus
esfuerzos en dilucidar en qué consiste la actividad eficaz de solucionar problemas y cuáles son
los mecanismos adecuados para conseguir que los estudiantes logren convertirse en expertos
resolviendo problemas.
Figura 3
Método Polya
Las teorías fundamentadas en el método Polya para la solución de problemas
matemáticos, su aplicación y diseño de estrategias facilita la acción constructivista de los
estudiantes. Las diversas disciplinas matemáticas facilitan la acción constructivista de los
alumnos en la solución de problemas, donde se propician estrategias novedosas que le sirvan de
herramientas para el aprendizaje. La enseñanza de las matemáticas desde esta perspectiva
demanda reflexión por parte del estudiante, en torno a sus pensamientos, los de otros estudiantes
y del maestro mismo (Freudenthal, 1991). El estudiante aprende matemáticas cuando reflexiona
sobre su propio razonamiento y el de sus compañeros. Más aún, el estudiante aprende
matemáticas cuando reflexiona sobre sus errores y los razonamientos incorrectos en su intento de
20
solucionar un problema (Treffers, 1987). En este proceso, el maestro no solo enseña, sino que se
convierte en un facilitador que concibe el conocimiento a partir del descubrimiento.
Método Polya
George Polya nació en Hungría en 1887, obtuvo su doctorado en la Universidad de
Budapest y una disertación para obtener el grado el cual abordó temas de probabilidad. Fue
maestro en el Instituto Tecnológico Federal en Zúrich, Suiza. En 1940 llegó a la Universidad de
Brown en los Estados Unidos de América (EE.UU.) y pasó a la Universidad de Stanford en
1942. En sus estudios, estuvo interesado en el proceso del descubrimiento, o cómo es que se
derivan los resultados matemáticos. Advirtió que para entender una teoría, se debe conocer
cómo fue descubierta. Por ello, su enseñanza estaba enfatizaba en el proceso de descubrimiento
aún más que simplemente desarrollar ejercicios apropiados. Las aportaciones de Polya incluyen
más de 250 documentos matemáticos y tres libros que promueven un acercamiento al
conocimiento y desarrollo de estrategias en la solución de problemas. Su libro "Cómo plantear y
resolver problemas”, traducido a 15 idiomas, introduce su método de cuatro pasos junto con la
heurística y estrategias específicas útiles en la solución de problemas.
Polya (1957) desarrolló un método para la solución de problemas aplicable a la
enseñanza y aprendizaje de contenidos matemáticos, hoy en día el mismo se conoce como el
método de Polya. Sobre la solución de un problema, el matemático Polya (1965) señaló que un
gran descubrimiento resuelve un gran problema, pero en la solución de todo problema, hay cierto
grado o nivel de descubrimiento. El método Polya hace referencia concreta a la solución de
problemas matemáticos, proceso que consta de cuatro (4) fases, plantea su autor. Estas son:
comprender el problema, concebir un plan, ejecución del plan y examinar la solución obtenida.
21
La primera fase es, comprender el problema. En esta fase se determina ¿Cuál es la
incógnita? ¿Cuáles son los datos? Y si ésta es suficiente para determinar la incógnita y si la
misma es redundante o contradictoria. En relación con la comprensión del problema, Polya
(1981), sostiene que el inconveniente más frecuente al resolver un problema es la falta de
comprensión del problema, producto de la ausencia de concentración por parte del alumno. La
comprensión del problema es lo que se plantea, el elemento debe ser enfatizado en la enseñanza
de las matemáticas. Lo que conduce a buscar ejercicios que propicien la concentración y la
atención de los elementos que integran el problema.
La segunda fase es concebir un plan. Polya plantea la necesidad de determinar la relación
entre los datos y la incógnita. Asimismo indica que, de no encontrarse o establecer una relación
inmediata, se pueden considerar problemas relacionados y preguntas tales como: ¿Puede pensar
en otros datos apropiados para determinar la incógnita? ¿Conoce algún teorema útil para
aplicarlo? El propósito de la integración del plan es que el estudiante no se olvide del problema
original o que se quede en los problemas relacionados de la concepción del plan y las ideas
generales de la solución del problema. Polya (1981), establece que se pueden producir dos
defectos opuestos, (1) el que se produce cuando los estudiantes proceden a efectuar cálculos y
construcciones sin ningún plan; (2) cuando estos esperan a que surja la idea en su mente, sin
adelantarse al acontecimiento. El autor considera que en la realización del plan, la mayor
confusión recae en la negligencia, expresada en la falta de paciencia para verificar los detalles
principales. Otra reflexión es que los estudiantes no verifican el resultado en la solución de los
problemas. Solo manifiestan su satisfacción una vez lograda la solución de las situaciones
expuestas sin dedicar tiempo adicional a la revisión de los resultados; a constatar la veracidad
del resultado obtenido.
22
La tercera fase es la ejecución del plan. En esta se llevan a cabo las acciones planificadas
y se evidencia cuando la incógnita se despeja, si es necesario y muestra lo que ésta realmente es.
Ello implica comprobar cada uno de los pasos que conducen a la solución del problema que sea
correcto.
La cuarta fase es examinar la solución obtenida. Es considerada la última fase del
Método de Polya para la solución de problemas matemáticos, donde se procede a verificar el
resultado obtenido es decir, la solución de la incógnita, así como también el razonamiento y si
funciona el método en algún otro problema. Respecto a esta fase Polya (1981), considera que la
misma ayuda al estudiante a reconocer la solución, reexaminar el resultado y el camino que le
condujo a ella, consolidar sus conocimientos y desarrollar sus aptitudes para solucionar
problemas.
Los rasgos distintivos del Método de Polya (1981), para la solución de problemas
matemáticos, no radican solamente en las cuatro fases anteriores. Particularmente este método
se fundamenta en la elaboración y aplicación de una serie de preguntas y sugerencias que
inducen necesariamente a los procesos de revisión y retrospección, aplicados a la última fase.
Por otra parte, el Método de Polya (1981), aporta implicaciones para el papel del
educando, y para el docente en su rol de mediador o guía de conocimientos, actividad que se
desarrolla en la sala de clases. En lo que respecta al maestro, el autor considera desde su
método, que el docente debe ayudar al estudiante como una de sus más importantes tareas, la
cual demanda tiempo, práctica, dedicación y buenos principios.
El autor recalca que la tarea del docente debe estar libre de imposición, de tal manera,
que el alumno perciba realmente la ayuda como necesaria para resolver el problema. Si el
23
estudiante carece de las herramientas necesarias para la solución de problemas, no podrá lograr
el progreso deseado.
Es a través de esta ayuda que el docente se convierte en el facilitador y establece las
estrategias de hacer uso de las preguntas y recomendaciones forjadas dentro de las operaciones
intelectuales y de razonamiento lógico. Algunas de las estrategias que podrían aplicarse son las
siguientes: ¿Cuál es la incógnita?, que se repite en las resolución de cada problema. El Método
de Polya basado en la heurística (arte de inventar o descubrir) se caracteriza por tratar de resolver
un problema, que surge en algún momento de la pregunta sobre aquello que se está buscando.
Este proceso facilita en los estudiantes la formación de ideas al estructurar un plan diseñado para
la solución del problema.
Esta filosofía de Polya revela que no importa el grado de dificultad que se le presente al
estudiante, éste estará motivado en la búsqueda de soluciones viables. Lo real e interesante de
este método es que permite el enfoque del estudiante en la solución de problemas matemáticos,
aplicando los procedimientos necesarios.
Definición de términos
Los siguientes términos han sido identificados para una mejor comprensión del trabajo de
investigación propuesto.
1. Aprovechamiento académico – grado o nivel en la que ocurre la
modificación de conducta o aprendizaje de un estudiante. El mismo está
asociado a una escala o categorías previamente establecida (DEPR, 2003)
2. Estrategias – es el conjunto de decisiones que toma el docente para orientar
la enseñanza con el fin de promover el aprendizaje de sus alumnos. Se trata
de orientaciones generales acerca de cómo enseñar un contenido
24
disciplinario o asignatura considerando qué se quiere que los alumnos
comprendan, por qué y para qué (Camilloni, Celman , Litwin & Palou de
Mate ,1998).
4. Estándar – es un criterio que juzgará la calidad del currículo de matemáticas.
En su esencia, son aseveraciones sobre lo que se valora en una disciplina,
en este caso, en las matemáticas. (Estándares de Contenidos y Expectativa
de Grado- Matemáticas, 2007).
5. Expectativas – son habilidades, producto del dominio de los conceptos, las
destrezas y las actitudes que el estudiante debe demostrar en forma
integrar, a un nivel de ejecución previa establecido. (Estándares de
Contenidos y Expectativa de Grado- Matemáticas, 2007).
6. Geometría – Rama de las matemáticas que estudia las propiedades de figuras
y las relaciones entre los puntos líneas, ángulos, superficie y cuerpos.
(Estándares de contenidos y expectativa de grado- matemáticas, 2007).
Para fines de estudio de define como: el pensamiento lógico matemático
que incrementa la creatividad del estudiante su aplicación y práctica las
cuales son útiles para determinar la preparación del estudiante en el mundo
real, el cual enriquece el estudio solucionando con éxito problemas
matemáticos.
7. Método Polya – Actividad de solución de problemas como arte en el que la
imitación del maestro y la práctica ayudan a interiorizar el modo de hacerlo
enfocado en cuatro (4) pasos o fases para solucionar problemas
matemáticos. (Polya, 1965).
25
8. Solución de problemas – Situación, cuantitativa o de otra clase, a la que se
enfrenta un individuo o grupo, que requiere solución y para la cual no se
vislumbra un medio o camino aparente y obvio que conduzca a la misma
(Krulik & Rudnik, 1980). Polya (1945) señaló que tener un problema
significa buscar de forma consciente una acción apropiada para lograr un
objetivo claramente concebido pero no alcanzable de forma inmediata. El
Concilio Nacional de Maestros de Matemáticas (NCTM) identificó la
solución de problemas en sus estándares en la década del 1980. El
Departamento de Educación de Puerto Rico (DEPR) lo adoptó como otro de
sus estándares de matemáticas.
9. Tecnología – Es una herramienta esencial para enseñar, aprender y hacer
matemáticas. (Marco Curricular de Matemáticas, 2003).
10. Teorema de Pitágoras – En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la
longitud del lado más largo (la hipotenusa) es igual a la suma de los
cuadrados de las longitudes de los demás lados (los catetos). c2 = a2 + b2.
(Estándares de Contenidos y Expectativa de Grado- Matemáticas, 2007).
11. Funciones Trigonométricas – También llamada circular, es aquella que se
define por la aplicación de una razón trigonométrica a los distintos valores
de la variable independiente, que ha de estar expresada en radianes. Estas
funciones, especialmente el seno y el coseno, constituyen modelos
matemáticos para muchos fenómenos periódicos del mundo real (Marco
Curricular de Matemáticas, 2003).
26
Importancia del estudio
La experiencia de solucionar problemas permite al alumno manipular objetos
matemáticos, activar su capacidad mental, ejercitar su creatividad y reflexionar sobre su propio
aprendizaje. Es importante que tanto el maestro como el estudiante, comprenda los propósitos
fundamentales de la solución de problemas en el proceso de enseñanza y aprendizaje. La
solución de problemas tiene tres (3) usos: en primer lugar, la solución como contexto – los
problemas son utilizados como vehículos al servicio de otros objetivos curriculares, como una
justificación para enseñar, motivar o desarrollar actividades. En segundo lugar, solucionar
problemas para el desarrollo de habilidades, solución de problemas no rutinarios, para el logro
de una habilidad de nivel superior, las técnicas de solución de problemas son enseñadas como
un contenido, con problemas de práctica relacionados, para que las técnicas puedan ser
adquiridas de forma satisfactoria, para que se refleje en el aprovechamiento académico del
alumno. En tercer lugar, solucionar problemas como sinónimo de "hacer matemática" – la
estrategia asume que el trabajo de los matemáticos es resolver problemas y que la matemática
realmente consiste en visualizar problemas y soluciones (metacognición) al tiempo que se
prepara para otros problemas con los que adquiere confianza en sí mismo.
El método de enseñanza que presenta el estudio contribuye a que el educador estimule a
sus estudiantes a pensar, preguntar, obtener datos, hacer hipótesis, predecir y experimentar
(Orlich, 1989). En relación con el conocimiento profesional del docente, y dentro de las
propuestas metodológicas hacia el diseño curricular se enfatiza el desarrollo de competencias
intelectuales y profesionales propias del pensamiento, haciendo mención a los tipos de
pensamiento y al pensamiento crítico en particular (Azcárate, 2001).
27
Al proponer investigar como los maestros del nivel secundario utilizan el método Polya
en sus clases, se busca determinar el significado e importancia de la estrategia para los
educadores en la solución de problemas de situaciones cotidianas. Las evidencias y hallazgos
del estudio pueden generar un enfoque concreto sobre las fases del método Polya y cómo éste,
puede utilizarse para mejorar el desempeño académico de los estudiantes.
28
CAPÍTULO II
LITERATURA RELACIONADA
Introducción
En este capítulo se expone una visión general de la literatura relacionada revisada para
fundamentar el desarrollo de un Diseño de un módulo instruccional para enseñar el estándar de
geometría a estudiante de décimo grado: utilizando el método Polya para la solución de
problemas e integrando la tecnología en el proceso de enseñanza aprendizaje. La información
que se ofrece es pertinente al tema seleccionado, contribuyendo de forma significativa a una
mejor comprensión de la investigación propuesta. Como parte de la revisión se presenta
literatura conceptual y empírica sobre el método Polya, tomando en consideración documentos
oficiales del Departamento de Educación de Puerto Rico.
Documentos del Departamento de Educación de Puerto Rico
Para la elaboración del trabajo de aplicación propuesto fueron tomados en consideración
varios documentos oficiales del DEPR. A continuación se identifican y se presenta una
explicación del propósito de cada uno de ellos. (1) Proyecto de Renovación Curricular,
Fundamentos Teóricos y Metodológicos (2003). (2) (Marco Curricular del Programa de
Matemáticas- Departamento de Educación de Puerto Rico, 2003), (3) Documento de Estándares
de Contenido y Expectativas de Grado del Programa de Matemáticas (2007), (4) Carta Circular
2-2010-2011, Planificación del Proceso de Aprendizaje, (5) Carta Circular 5-2010-2011, Política
Pública Sobre la Organización y la Oferta Curricular del Programa de Matemáticas en los
Niveles Elemental y Secundario de las Escuelas Públicas de Puerto Rico. (6) Mapas curriculares
29
Proyecto de Renovación Curricular, Fundamentos Teóricos y Metodológicos
El documento establece la política docente, ya que expresa la posición del DEPR en con
relación los aspectos del proceso educativo. Su propósito es propiciar una educación de mayor
calidad, más pertinente y adecuada a las realidades actuales, y previsibles, de la sociedad
puertorriqueña. La escuela es su escenario, donde se forma al ser humano y al ciudadano que
necesita la sociedad del siglo XXI.
Establece los principios filosóficos y psicológicos sobre la naturaleza de la educación y
los diferentes aspectos del proceso educativo formal, así como los principios filosóficos,
científicos y valorativos en los que se fundamenta la elaboración del currículo para la escuela
puertorriqueña. A partir de este los diferentes programas académicos elaboran su Marco
Curricular. En adición, contiene la misión y las metas, así como el currículo básico de cada
programa. Tiene como fin que los maestros del sistema, lo utilicen de guía para organizar e
innovar su práctica educativa.
Marco Curricular, Programa de Matemáticas
Es el documento que describe los principios filosóficos, fundamentos, enfoques y el
currículo básico de matemáticas para los niveles desde el Kindergarten hasta el duodécimo
grado, en las escuelas públicas de Puerto Rico. Se presentan las teorías de aprendizaje, la
aportación de la teoría constructivista, los modelos sociales y se esboza el Enfoque de Solución
de Problemas, como el proceso unificador de la enseñanza. Con ello se pretende que los
estudiantes aprendan matemáticas mientras resuelven problemas y no sólo a través de sus
respuestas. El Programa de Matemáticas del Departamento de Educación constituye un
componente fundamental y dinámico del Sistema Educativo Puertorriqueño. En su función de
responder a las necesidades y exigencias de la sociedad contemporánea, comparte la misión de
30
contribuir a formar un ser humano educado, capaz de entenderse a sí mismo y a la sociedad en
que vive.
Estándares de Contenido y Expectativas de Grado del Programa de Matemáticas
Los Estándares y las Expectativas son un componente para promover el cambio en el
sistema educativo; a la vez que contribuyen a conectar los cambios curriculares con el desarrollo
profesional de los maestros, los métodos de instrucción y la evaluación del aprendizaje del
estudiante. En particular, a través de ellos los maestros de matemáticas deben reflexionar y
enfatizar sobre la importancia de: la solución de problemas, la comunicación en la matemática, el
razonamiento matemático, la representación, la integración de la matemática con otros
contenidos y la integración de los temas transversales del currículo.
Los Estándares expresan altas expectativas de ejecución para los estudiantes; permiten
flexibilidad en las formas en que los maestros conducen sus clases y en el aprendizaje de los
estudiantes y ayudan al maestro a definir su currículo sin restringir ideas creativas o el uso de
algunos métodos o técnicas instruccionales. Constituyen a la vez, un documento diseñado para
establecer un marco amplio de referencia para reformar la enseñanza de la matemática en Puerto
Rico. Los mismos requieren de la creatividad y el esfuerzo de los maestros para hacer
operacional las prácticas educativas que mejoren la calidad de la enseñanza.
Carta Circular 2-2010-2011: Planificación del Proceso de Aprendizaje
Esta Carta Circular, enfatiza sobre la importancia que tiene la planificación para una
buena educación. Hace obligatorio (y necesario) que todos los maestros planifiquen la
enseñanza. La misma identifica los elementos que tiene que estar contenidos en el plan diario.
Estos son: la fecha, el tema de estudio, la estrategia general y fase, la integración con otras
materias, los estándares y expectativas de la materia, el nivel de profundidad del conocimiento,
31
los objetivos (Conceptual, Procedimental y Actitudinal), el avalúo de los objetivos, la secuencia
de actividades, los materiales y la reflexión personal del maestro sobre la práctica.
Carta Circular 5-2010-2011, Política Pública Sobre la Organización y la Oferta Curricular
del Programa de Matemáticas en los Niveles Elemental y Secundario de las Escuelas
Públicas de Puerto Rico.
La Carta Circular hace una presentación detallada de los cursos que se debe enseñar en
cada nivel del sistema educativo, desde el Kindergarten hasta duodécimo grado. Presenta de
forma detallada la integración de currículo de cada grado con otras materias, tomando en
consideración el uso de la tecnología. Señala que a través de las metas y objetivos del Programa,
se le facilita al estudiante la comprensión de las matemáticas relacionándolas con el mundo en
que vive. El currículo de matemáticas tiene sus bases en la teoría constructivista, por lo que el
alumno debe contribuir con ideas y experiencias personales en el desarrollo de los conceptos y
destrezas estudiados en la clase. El maestro debe proporcionar actividades que promuevan el
pensamiento crítico para garantizar al estudiante un desarrollo integral (emocional, físico e
intelectual) mediante el desarrollo de las destrezas que lo capaciten para tener una vida exitosa
en la sociedad puertorriqueña.
Mapas Curriculares
Un mapa curricular es la ruta que se sigue para alcanzar una meta trazada. Tiene el
objetivo de los maestros del sistema educativo cuenten con los recursos que les permita alinear
todas las experiencias educativas que se van a desarrollar en la sala de clases con el documento
de Estándares de Contenido y Expectativas de Grado, diseñado en el 2007. Los mapas
curriculares promueven el entendimiento conceptual, la alineación con los estándares, ayuda a
identificar las actividades que promueven el entendimiento, utiliza el “assessment”, responde y
32
atiende a las necesidades de los estudiantes e integra el uso de la tecnología en la sala de clases.
El modelo adoptado por la Secretaria de Asuntos Académicos del DEPR es el conocido como
Ubd (Understanding by Design), creado por G. Wiggins & J. McTighe en 1998. Se conoce
como enseñanza a la inversa y está basado en tres (3) etapas. a) Resultados esperados; b)
“Assessment” y, c) Plan de aprendizaje.
El Programa de Matemáticas y el Método Polya
El Marco Curricular de Matemáticas (2003) establece el enfoque, las estrategias y la
metodología de enseñanza que responden a los principios basados en la investigación educativa y
la práctica de los docentes. Estas promueven la enseñanza de las matemáticas que proporcionen
énfasis tanto en el dominio de destrezas como en la aplicación de los procesos. El enfoque de
solución de problemas como metodología de la enseñanza de las matemáticas atiende ambos
aspectos, expone el documento. El objetivo fundamental de educar a los estudiantes es lograr
desarrollar en ellos destrezas para solucionar problemas. Señala el DEPR, que el currículo debe
proporcionar énfasis a la solución de problemas como proceso unificador de la enseñanza y
como promotor del desarrollo integrado de habilidades para pensar, razonar, comunicar, aplicar y
valorar (Véase Figura 4).
Se argumenta en el documento que el proceso de solucionar problemas abarca
información perceptual, sicológica o sensorial, como estableció Dewey (1910). Éste proceso de
recopilación de información se relaciona directamente con el aprendizaje por descubrimiento,
proceso a través del cual el aprendiz es participante activo de su propio aprendizaje. Polya (1957)
estableció que los principios matemáticos son transferibles y que existe cierto grado de
descubrimiento en el proceso de solucionar problemas. Señala el teórico que se debe encontrar
una estrategia para solucionar problemas, aunque en ocasiones los problemas requieren explorar
33
y valorar la información provista, antes de pensar en una estrategia de solución. Como se ha
establecido con anterioridad, este concepto está de acuerdo con la definición de una situación
como problema.
Figura 4
Enfoque de Solución de Problemas
Datos obtenidos del Marco Curricular de Matemáticas, DEPR-2003.
Una de las capacidades más importantes en la solución de problemas es la de hacer
preguntas que surjan durante un conflicto y algunas de ellas pueden servir para identificar el
problema, otras para buscar alternativas. El método Polya (1981), para la solución de problemas
matemáticos; está constituido por una serie de pasos que incluyen preguntas que motivan y
orientan a los estudiantes, facilitando el aprendizaje del enfoque matemático. El proceso de
solucionar un problema comienza con el planteamiento de la situación, es decir, sus condiciones
y requerimientos; termina cuando la(s) respuesta(s) se ha(n) obtenido y examinado
cuidadosamente. Es necesario ir más allá de la acción inmediata de solucionar, para enfatizar el
proceso de solución, sus supuestos, estrategias e implicaciones (Marco Curricular del Programa
de Matemáticas, 2003).
34
La trigonometría, como parte del currículo de matemáticas, promueve las destrezas del
pensamiento crítico. Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y
se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión. Esta rama cae
dentro de los estándares y expectativa de la geometría. Su estudio secuencial comienza con la
construcción y clasificación de figuras geométricas, deducciones informales y formales, hasta el
estudio de este concepto como un sistema axiomático. Los conceptos y destrezas se
desarrollarán con un enfoque de solución de problemas. Este proyecto curricular ha sido creado
basándose en las necesidades de los estudiantes y maestros que asisten hoy al sistema público y
privado de Puerto Rico.
Mientras el estudiante del siglo XXI es el centro del proceso de enseñanza, el maestro,
como componente del DEPR, es el autor del currículo en el sentido práctico del quehacer diario
en la sala de clases. Al incorporar las estrategias y metodologías expuestas anteriormente, el
maestro debe seguir una filosofía constructivista que lo dirija a lograr la excelencia educativa.
Para alcanzar la excelencia de la enseñanza de matemáticas, el maestro debe convertirse en
agente de cambio constructivo. Esto se logra al incorporar nuevos enfoques en sus prácticas
educativas y demostrar su compromiso como educador.
Importancia del Teorema de Pitágoras
Pitágoras de Samos fue un filósofo y matemático de origen griego. A diferencia de lo
que puede llegar a suponerse, Pitágoras no fue quien creó el teorema que lleva su nombre. Dicho
teorema fue desarrollado y aplicado mucho tiempo antes en Babilonia y la India. El teorema de
Pitágoras es el más rico en la historia de la Geometría, ningún otro ha recibido tantas atenciones,
ni se le han buscado tantas demostraciones, su importancia radica en que aparece en muchas
ramas de las matemática. El teorema de Pitágoras señala que el cuadrado de la hipotenusa, en
35
los triángulos rectángulos, es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Para comprender
este juicio, hay que tener en cuenta que un triángulo que se identifica como rectángulo es aquel
que posee un ángulo recto (es decir, que mide 90º), que la hipotenusa consiste en el lado de más
longitud de dicha figura (y opuesto al ángulo recto) y que los catetos se caracterizan por ser los
dos lados menores del triángulo recto. Éste teorema de Pitágoras es de suma importancia para
poder desarrollar y continuar concepto de razones trigonométricas aplicando el método o
estrategia de Polya. Las actividades son guiadas a mejorar la solución de problemas integrando
los conceptos y pasos de Polya.
La solución de problemas y el método Polya La solución de problemas constituye una herramienta esencial en la enseñanza de las
matemáticas. Su importancia radica en el énfasis que ponen en los procesos de pensamiento del
estudiante, quienes particularmente, deben asumir un proceso ordenado, lógico o coherente y
creativo en la búsqueda de respuestas que lo lleven a la solución de problemas. Estos se derivan
de los contenidos de esta disciplina del conocimiento. Esta estrategia conduce al aprendizaje
activo, generando el espacio o contexto en el que los aprendices puedan asumir acciones de
manera similares como lo haría un experto en matemáticas.
La enseñanza, a través de diferentes estrategias para lograr que los estudiantes solucionen
problemas, ha sido la meta de diferentes organizaciones educativas. De acuerdo con el Marco
Curricular del Programa de Matemáticas (2003), en la década del 1980, el Concilio Nacional de
Maestros de Matemáticas (NCTM) respondió a esta preocupación con una serie de
recomendaciones para el progreso de las matemáticas en la escuela. El documento titulado Una
agenda para la acción (NTCM, 1980), identificaba la solución de problemas como el centro de
las matemáticas escolares para el futuro. Sin embargo, ya para inicios de los años ‘90 surge una
36
nueva visión de la enseñanza-aprendizaje en las matemáticas basada en el estudio desarrollado
por la NCTM que culminó con las Metas 2000.
La creación de un ambiente de aprendizaje, donde el maestro apoye y promueva el
pensamiento del estudiante, guiándolo durante el proceso de inquirir para que llegue a niveles
más profundos de conocimiento, puede originar avances significativos mediante el uso de la
solución de problemas, que lo ayuden en sus ejecutorias de la vida diaria. Es necesario que el
educador relacione el desarrollo de los alumnos con su propio desarrollo profesional,
formulando diversas interrogantes, como punto de partida del aprendizaje. De acuerdo con
Carrillo (1998) este debe ser consciente de las finalidades de la solución de problemas, qué se
puede propiciar a través de ella. El maestro deberá reflexionar sobre lo que aprende el alumno y
lo que aprende él mismo como educador al poner en práctica la solución de problemas.
Van de Walle (2007) presenta un enfoque de la enseñanza a través de la solución de
problemas basada en lo que actualmente ocurre en la sala de clases. Los educadores
norteamericanos consumen una porción de la lección explicando o informando una idea y luego
se adelantan en el “modo de producción”, donde los estudiantes se desempeñan a través de un
conjunto de ejercicios. Por ejemplo, si los estudiantes están acostumbrados a solucionar
problemas mediante figuras, palabras y números para explicar sus soluciones por escrito, el
maestro debe asegurarse de que los estudiantes entiendan el problema antes de ponerlos a
trabajar, recordando siempre que la perspectiva de los alumnos, no necesariamente es igual que
la del maestro. El método de enseñanza constituye una forma de trabajar en el salón de clases,
por lo que la estrategia a utilizarse, debe estimular el diálogo de estudiante a estudiante, en vez
de estudiante a maestro, preparándolo para hallar soluciones efectivas a los problemas dados.
37
Rowan & Broume (1994) enfatizan que el factor más importante es estar claro acerca del
propósito de la discusión del grupo, es decir, compartir y explorar la variedad de estrategias,
ideas y soluciones generadas por la clase y aprender a comunicar estas ideas según el tema de
matemáticas seleccionado. Por consiguiente, Rasmussen, Yackel & King (2003); Stephan &
Whitenack (2003), Yackel & Cobb (1996) exponen que es a través de las reflexiones del grupo
que las comunidades matemáticas se desarrollan, operan y proveen herramientas adicionales para
crear una guía objetiva en el salón de clase, la cual será utilizada en la solución de problemas que
se enfrenten en la vida diaria
Sin embargo, como señalan Terán & Pachano (2005), las clases de matemáticas se inician
a partir de la definición de contenidos carentes de significados para los estudiantes de niveles de
educación básica, ya que por lo general se alejan de sus vivencias. La enseñanza de las
matemáticas generalmente despierta sentimientos encontrados, hay quienes la aprecian, así como
aquellos quienes, después de haber terminado un año escolar no quieren saber nada de ella; esto
se debe principalmente a las experiencias o habilidades que haya tenido cada estudiante.
Por consiguiente, Ruiz & García, (2003) explican que la solución de problemas es un
proceso a través del cual, quien aprende combina elementos del conocimiento, reglas, técnicas,
destrezas y conceptos previamente adquiridos para dar solución a una situación nueva. Por tanto,
el profesor que desee desarrollar en sus alumnos la actitud para solucionar problemas, debe
motivar y despertar el interés facilitando el mayor número posible de ocasiones de imitación y
práctica. La solución de problemas es una parte esencial en la formación matemática de los
estudiantes, pues permite el desarrollo del pensamiento lógico-matemático.
Hacer matemáticas es resolver problemas, y para dar una buena idea a los alumnos de lo
que es hacer matemáticas, hay que darles problemas para solucionar; problemas, no ejercicios...,
38
¡Problemas! Para indagar, reflexionar, examinar mucho, investigar es necesario trabajar con la
destreza de solucionar problemas (Gaulín, 2001).
El método Polya (1965) ha demostrado que, en general, la actividad de solucionar
problemas puede analizarse en cuatro (4) fases y que, dentro de cada una de ellas, es posible dar
sugerencias válidas y útiles para toda clase de problemas. La solución de problemas como
metodología básica, es una decisión que incluye distintas variables curriculares: contenidos,
metodología, evaluación, función del profesor, papel del alumno, entre otras. Decidirse a llevar
la solución de problemas al salón de clase puede y debe ser el resultado del acercamiento
progresivo a concepciones abiertas. Para que esto suceda, es conveniente que el educador
reflexione sobre qué se consigue cuando se lleva al salón de clases la solución de problemas.
Disponer de un listado de heurísticos es muy útil como recurso del educador a la hora de ayudar
a los alumnos a organizarse y progresar dentro de la solución de un problema.
Bradford y Carifio (2007), en el artículo Mathematical sophistication and differentiated
emotions during mathematical problem solving, señalan que la emoción puede organizar,
enfocar, perturbar, distraer o energizar la resolución de problemas y la influencia de las
emociones puede ser inmediata o lenta. La emoción influye en los aspectos de representación en
la solución de problemas, y las formas emocionales que soportan las vías afectivas que
contribuyen a las destrezas matemáticas de un individuo. En su libro, Cómo resolverlo, Polya
(1962) afirma que, si el estudiante no tuvo la oportunidad en la escuela para familiarizarse con
las emociones variadas y él mismo lucha por solucionar un problema, su formación matemática
no fue completa.
Según Polya (1985), la solución de problemas es la espina dorsal de la enseñanza de las
matemáticas desde la época del papiro de Rhind. Es el núcleo fundamental de la actividad
39
matemática, por ello la investigación actual en Educación Matemática consagra una buena parte
de sus esfuerzos en desentrañar en qué consiste la actividad eficaz de solución de problemas y
cuáles son los mecanismos adecuados para conseguir que los estudiantes logren convertirse en
expertos resolviendo problemas. Los algoritmos son procesos bien definidos, que determinan o
son determinantes y garantizan una solución; por el contrario, en la heurística la solución no está
garantizada (Polya, 1957). Esto, naturalmente genera muchos problemas en los estudiantes,
quienes prefieren los algoritmos. Polya (1985) argumenta, que se trata del grado de dificultad de
los problemas, la cual no es atendida de forma sistemática, la relación entre los elementos
estructurales de los mismos, lo que hace mayor el grado de dificultad de un problema a otro,
provocando relatividad y ambigüedad. Mediante la solución de problemas, los estudiantes deben
experimentar el poder y la utilidad de las Matemáticas en el mundo que les rodea, señala
Guzmán (1989).
Los distintos currículos de instituciones de numerosos países, señalan el uso de la
estrategia de solución de problemas como una metodología didáctica que permite no solo
trabajar el logro de aprendizajes del área, sino que también de habilidades y competencias de
interés para el desarrollo de las personas. Adicionalmente, hay investigaciones sobre el uso de
los recursos provenientes de las tecnologías de la información y comunicación -TIC-, que
han presentado resultados positivos, como elemento de apoyo al logro de aprendizajes,
particularmente en las matemáticas, cuando se usan las TIC como un elemento integrado en un
marco de desarrollo curricular que hace uso de estrategias de resolución de problemas. Villarreal
(s.f)
Diferentes investigadores (Valle, Juárez & Guzmán, 2007) destacan las ventajas de hacer
uso de la estrategia metodológica referida a solución de problemas. Se destacan: la integración
40
de los contenidos y las disciplinas; el evaluar formativamente a los alumnos, tanto en contenidos,
competencias como habilidades esperadas; el contextualizar y ubicar los contenidos; el
implementar una estrategia para trabajar individualmente y en grupos; el relacionarse de otra
forma el profesor y los alumnos; el incentivar y aprender a trabajar en forma colaborativa y
cooperativa; lograr nuevas competencias y habilidades; formar integralmente a los alumnos;
integrar el uso de recursos, en particular las TIC; lograr que los alumnos analicen, piensen,
investiguen y creen conocimiento; entre otros aspectos (Villarreal, s.f.).
De acuerdo con Gaulín (2001) y Campistrous & Rizo (2002) la estrategia de metodología
de solución de problemas tiene numerosas bondades que la hacen atractivas e interesantes de
utilizar. Sin embargo, también tienen numerosas complejidades que hacen prever la necesidad
de apoyar más a los docentes y alumnos en su implementación en la sala de clases.
El Departamento de Educación (DEPR) y la solución de problemas
Treffers (1987) ha señalado que el conocimiento no consiste en la acumulación de datos o
destrezas aisladas, sino en la construcción de una estructura coherente en la que se pueden ubicar
los datos y las destrezas específicas. El Programa de Matemáticas (Marco Curricular del
Programas Matemáticas, 2003) aspira a reestructurar el proceso de enseñanza de las
matemáticas con una nueva visión para atender las necesidades de los estudiantes del Sistema.
Entre éstas se enfatiza la siguiente: Entender y aprender a usar el conocimiento matemático en
todos los ámbitos de la vida, a través del desarrollo de las destrezas que capaciten al ciudadano
para los procesos diarios de la toma de decisiones.
La matemática es un instrumento para pensar, valorar y entender el ambiente que rodea al
estudiante. En la sociedad, trabajar pensando críticamente es más importante que trabajar con
esfuerzo físico. Por consiguiente, se necesitan ciudadanos preparados para: (1) Solucionar
41
problemas no convencionales, (2) Razonar lógicamente, (3) Transferir lo aprendido a situaciones
nuevas, (4) Asimilar los cambios tecnológicos y sociales, (5) Tomar decisiones adecuadamente,
(6) Trabajar en equipo y (7) Ejercitar el autoaprendizaje.
Las metas para la educación en matemáticas, describen la aportación que hace el
currículo a la formación de ciudadanos de provecho y seres humanos integrales, señala el DEPR.
Las aspiraciones del Sistema Educativo a través de la implantación de un currículo flexible,
pertinente, y con la ayuda de los educadores como facilitador del proceso de aprendizaje, que el
estudiante: practique procesos efectivos para solucionar problemas y así: (1) Identificar
supuestos y circunstancias, (2) Organizar y manejar información, (3) Diseñar e implantar
estrategias de solución, (4) Validar y comunicar los resultados.
El estudiante construye el conocimiento matemático de forma individual. El aprendizaje
es un proceso de reestructuración continua del conocimiento. En ese proceso de
reestructuración, el estudiante debe tener la oportunidad de hacer conexiones significativas entre
lo que aprende y lo que ya conoce. De este modo, se facilita la creación de estructuras mentales
amplias que le permiten construir nuevo conocimiento.
Los objetivos generales del aprendizaje en el Programa de Matemáticas aspiran a que el
estudiante, entre otros, desarrolle las destrezas asociadas a la solución de problemas, de
investigación, de comunicación y de trabajo en equipo que le permitan convertirse en un
ciudadano útil y productivo en la sociedad. En particular, el conocimiento asociado con cada
uno de los conceptos fundamentales se divide en dos grupos. El primero se relaciona con el
Contenido; estos se refieren a los conceptos y principios fundamentales de las matemáticas. El
segundo grupo está relacionado con los Procesos, estos se refieren a las destrezas, algoritmos y
acciones que se llevan a cabo con el contenido.
42
Según el Marco Curricular del Programa de Matemáticas (2003), en su esencia, los
estándares de proceso representan la aportación que hace la educación matemática a la formación
integral del educando. Aunque los estándares se definen individualmente para fines prácticos del
diseño y desarrollo del currículo, en la experiencia diaria del estudiante coexisten y se
entremezclan (con mayor o menor intensidad) en las situaciones de aprendizaje. En particular, el
Estándar de Proceso: Solución de problemas, tiene como objetivo, que el estudiante sea capaz de
construir sus conocimientos, reflexione y monitoree los procesos matemáticos a través de la
solución de problemas que aparecen en la materia y/o en otros contextos, adaptando y aplicando
estrategias y mecanismos de asistencia tecnológica apropiados para solucionar los mismos
El enfoque del DEPR, en matemáticas es la solución de problemas. La solución de
problemas tiene un propósito más amplio que solamente pensar en problemas matemáticos.
Cuando se piensa sobre esto, el objetivo fundamental de educar a los estudiantes es precisamente
lograr desarrollar en ellos destrezas para solucionar problemas. El currículo proporcionará
énfasis en la solución de problemas como proceso unificador de la enseñanza y como generador
del desarrollo integrado de las habilidades para pensar, razonar, comunicar, aplicar y valorar.
Por tanto, todo proceso de solución de problemas, involucra cierto tipo de información ya
sea de percepción, sicológica o sensorial, señala Dewey (1910). El educador estableció que el
proceso de recopilación de información se relaciona estrechamente con el aprendizaje por
descubrimiento, proceso mediante el cual, el estudiante es un participante activo de su propio
aprendizaje. Poyla (1957), argumentó que todo principio matemático es transferible, afirmando
que existe una “fibra de descubrimiento” en la solución de problemas. Éste identificó como un
proceso sencillo encontrar una estrategia para solucionar problemas. Sin embargo, existen
43
ciertos problemas, los cuales requieren explorar y jugar con la información, antes de pensar en la
estrategia de solución.
El Programa de Matemáticas persigue que los egresados del sistema educativo de Puerto
Rico, entiendan y aprendan a utilizar el conocimiento matemático en todos los ámbitos de su
vida. Debe comprender, el alumno que la educación es un proceso en constante ajuste y cambio,
cuyo fin es mantener el equilibrio en una sociedad en continua transformación (Tye, 1991). Esta
situación plantea la oportunidad que debe tener todo estudiante de aprender matemáticas para
transferir ese conocimiento a situaciones reales de su vida (Principles and Standards for School
Mathematics, NCTM, 2000); esto es, debe conocer la utilidad del conocimiento matemático en la
solución de situaciones comunes y complejas de su vida cotidiana.
Literatura Empírica Solución de problemas utilizando el Método Polya
La importancia de la resolución de problemas en la enseñanza de las matemáticas ha sido
resaltada de forma unánime por los investigadores y las administraciones educativas. El grupo
de estudio (Grupo de Trabalho e Estudo em Resolucao de problemas-GTERP), con sede en la
UNESP, Río Claro- San Pablo, Brasil, llevó a cabo una discusión sobre la educación en solución
de problemas de matemáticas (Allevato & Onuchic, 2005). El grupo demostró la necesidad de
adaptar las nuevas tendencias en las áreas identificadas en las escuelas, dejando a un lado el
método tradicional de la enseñanza de las matemáticas. Para ello, era necesario desarrollar
actividades donde el estudiante se planteará situaciones de la vida real, es decir, sus condiciones
y requerimientos. Donde el estudiante pueda determinar la respuesta adecuada y examinar el
proceso para llegar a la misma. El método de enseñanza que presentó el estudio constituía una
forma de trabajar en el salón de clases, utilizando problemas generativos como punto de partida.
44
Este estudio se desarrolló de forma sistemática, a través de todos los niveles educativos
primarios, secundarios y universitarios, en las actividades de formación de los profesores. Se
utilizó una metodología cualitativa, la cual se llevó a cabo con las intervenciones en el campo de
la investigación de los participantes y de la investigación-acción. Las actividades de solución de
problemas fueron elaboradas por los investigadores y aplicadas en la sala de clases. Gran parte
de este trabajo, tesis, investigaciones y otros, fueron producidas por el grupo, analizando
situaciones de intervención pedagógica realizadas en el salón de clases o en el ámbito de
formación de profesores. La investigación llevada a cabo compone un proyecto amplio cuyo
objetivo principal es reflexionar y analizar las posibilidades de ofrecer una enseñanza-
aprendizaje en la evaluación de las matemáticas a través de solución de problemas. La conexión
con el método de enseñanza constituye una forma de trabajar en el salón, donde se utilizan
problemas generativos como punto de partida, enseñando las matemáticas a través de la solución
de problemas, preparándolo para hallar soluciones efectivas a los problemas, además de manejar
técnicas variadas para las soluciones. El estudio concluye que la forma de impactar en la
comunidad escolar es que el profesor estimule a los estudiantes a usar sus conocimientos o
técnicas basados en los diferentes métodos para lograr el aprendizaje, donde el educador les
presente el problema a los estudiantes y éstos lo interpreten y lo entiendan. Se deben
proporcionar problemas rutinarios con el propósito de crear una atmósfera que provoque la
curiosidad intelectual, el cuestionamiento y la creatividad del estudiante. El maestro y los
estudiantes deben trabajar juntos construyendo aprendizajes de forma cooperativa en la sala de
clases.
Pifarre & Sanuy (2001) trabajaron la enseñanza de estrategias de solución de problemas
matemáticos en la Educación Secundaria Obligatoria (ESO). La ESO es el sistema educativo
45
español de enseñanza secundaria desde 1996 y que tiene como objetivo preparar al estudiante de
entre 12 y 16 años para sus próximos estudios y/o el mundo laboral. Se implementó la
evaluación de una propuesta didáctica que tenía como objetivo, la enseñanza – aprendizaje de
estrategias generales o heurísticas (de tipo cognitivo y meta-cognitivo) y de estrategias
específicas de solución de problemas. Las variables implicadas en el proceso de enseñanza –
aprendizaje con las estrategias antes mencionadas, sugieren la necesidad de investigar cómo
incorporarlas en una situación del salón de clases. El estudio pretendía aportar nuevos datos
sobre cómo abordar la enseñanza-aprendizaje de estrategias de solucionar problemas
matemáticos en la educación secundaria. El mismo centró sus esfuerzos en diseñar e implantar
un proceso de enseñanza que ampliara y mejorara el repertorio de estrategias de los alumnos de
ESO para solucionar problemas en un campo específico. Finalmente, el estudio concluyó que la
utilización del método de Polya incorpora al proceso enseñanza y aprendizaje, estrategias meta-
cognitivas de planificación, de regulación y control del proceso de solución de problemas, el cual
se centra en el alumno y pretende favorecer el aprendizaje de determinadas estrategias a partir
del intercambio de información que tiene lugar en las actividades de grupos pequeños. La
oportunidad que tienen los alumnos de ayudarse mutuamente en la solución de una tarea, de
negociar y de construir nuevo conocimiento puede ser beneficioso.
Peña (2008) diseñó varias estrategias a partir del método de Polya para facilitar la
solución de problemas relacionados con áreas de figuras planas en los estudiantes de tercer año
de la disciplina matemática de un Liceo de Bolivia. Los datos recogidos se sometieron a
análisis, haciendo uso de estadísticas descriptivas. Se elaboraron tablas de frecuencias, gráficos
porcentuales y se analizaron e interpretaron los datos. El estudio planteó a modo de propuesta,
el diseño de estrategias fundamentadas en el método de Polya (1981), para facilitar la solución de
46
problemas sobre el tema de área en figuras planas, en matemática del tercer año de educación
secundaria del Modelo Educativo Bolivariano. Este modelo se fundamentó en la teoría
constructivista, según la cual el aprendiz actúa voluntariamente en su propio proceso de
aprendizaje. En esta institución se identificó en los estudiantes de tercer año, un déficit de
conocimientos en el contenido sobre áreas de figuras planas, que se evidencia en las bajas
calificaciones obtenidas en las evaluaciones que realizan los docentes. También presentan
deficiencias en la identificación de las diferentes figuras planas y la asociación de éstas con
elementos de su vida diaria.
La investigación indagó sobre el método de Polya para la solución de problemas
matemáticos y su aplicación en el diseño de estrategias para facilitar la acción constructiva de los
estudiantes en la solución de problemas de áreas de figuras planas, así como la posibilidad de
aplicación de las mismas a otros contenidos. Los resultados de investigaciones en el área de
matemáticas, abordan la variable de investigación, el diseño de estrategias para facilitar el
aprendizaje de ciertos contenidos contemplados en esta disciplina del conocimiento. La
investigación correspondió a la modalidad de Proyecto Factible, desarrollado en dos fases:
diagnóstico y presentación del modelo, apoyado en una investigación de campo, descriptiva y
bibliográfica. Este estudio, concluyó que la actitud positiva que asuma el educando hacia la
matemática facilitará el aprendizaje de la misma.
Una investigación realizada por Arteaga y Guzmán (2005) buscaba identificar las
estrategias empleadas por alumnos de 5to grado de primaria en la solución de problemas
algebraicos. Dicha investigación estuvo dividida en tres fases. En la primera y segunda se
trabajó en equipo en un ambiente de colaboración, donde el investigador intervenía planteando
preguntas y proporcionando sugerencias a los alumnos sobre la importancia de comprender los
47
problemas, la elección y el desarrollo de una estrategia, así como la verificación de la solución
Luego, en la tercera fase, los alumnos trabajaron de forma individual en la resolución de un
cuestionario final que tenía por objetivo identificar los avances individuales en la solución de
problemas, así como las estrategias utilizadas. Los investigadores clasificaron las estrategias que
utilizaron los alumnos de la siguiente manera: (1) Propuesta de un número y su comprobación o
tanteo, (2) Separación de una de las cantidades en partes que se deben repartir, (3) Apoyo en el
diseño de un dibujo, (4) Elaboración de un cuadro para comparar los datos, (5) Trazo de una
recta numérica para comparar recorridos, (6) Utilización de operaciones aritméticas
mecánicamente, (7) Uso de la regla de tres y (8) Uso del cálculo mental. Los resultados
indicaron que los alumnos evolucionaron en las estrategias utilizadas. Al principio ensayaban
diferentes caminos y su principal estrategia fue el Tanteo, pero luego descubrieron que no era
necesario hacer tantas operaciones y comenzaron a sistematizar sus estrategias recurriendo a la
separación de una de las cantidades en las partes que se debían repartir, la que se convirtió en la
más utilizada. Además, descubrieron que el trabajo colectivo fue de gran ayuda para los
alumnos, ya que la mayoría retomaban con frecuencia las estrategias utilizadas en la discusión de
grupo y en el cuestionario final mostraron un mejor desempeño. Una de las conclusiones más
sobresalientes de esta investigación, es el hecho de que los alumnos mejoraron sus resultados en
el cuestionario final, de donde se infirió un impacto positivo de las dos primeras fases, de análisis
y solución de problemas, sobre las estrategias empleadas. Esta conclusión apunta a que es
posible ayudar a los alumnos en el desarrollo de estrategias de solución de problemas mediante
la presentación de problemas de distinta naturaleza, estimulando los razonamientos vinculados
con su pensamiento aritmético y creando las condiciones didácticas adecuadas para este
propósito (trabajo colaborativo, ayuda en la comprensión, entre otros).
48
Los investigadores Valle, Juárez & Guzmán (2007) estudiaron las estrategias de solución
de problemas que utilizan los jóvenes entre 14 y 17 años. Para ello, después de la presentación de
una prueba, pidieron a los estudiantes que expusieran por escrito sus resultados y fundamentaran
sus respuestas. Seleccionaron los escritos donde el estudiante identificaba la incógnita, los datos
y la condición del problema y donde propusiera una o varias estrategias de solución. De éstas,
las identificadas fueron: (1) Ensayo y error: Se toman números al azar y se va probando, hasta
encontrar la solución (Tanteo). (2) Usar una variable: Se utiliza cuando se desconoce un dato,
apoyándose en la estrategia anterior. (3) Buscar un patrón: Consiste en el análisis de un
determinado modelo para ver si se observa un patrón. (4) Hacer una lista: Se relacionan todos
los posibles resultados y el que cumpla con las exigencias planteadas en el problema, entonces se
considera que se tiene la solución. Aquí se utiliza la comprobación para verificar la solución.
(5) Solucionar un problema más simple: Se trata de solucionar un problema descomponiendo el
problema original en problemas sencillos, de tal manera que al integrarlo se llegue a la solución.
(6) Hacer una figura: Estrategia que consiste en modelar la situación mediante figuras que
incluyen relaciones de lo que se conoce y lo que se busca. (7) Usar un razonamiento directo: Es
una estrategia cuyo razonamiento se basa en la lógica; su principio es la inducción. (8) Usar un
razonamiento indirecto: Estrategia cuyo razonamiento está basado en la lógica; su principio es la
deducción.
Los resultados indicaron que el 35% de los escritos analizados ofrecían evidencias de que
el estudiante comprendió el problema. Por lo que, apoyándose en la ideas de Aguilar y Cepeda
(2005), concluyen que determinar la incógnita, los datos y las condiciones del problema
trascienden el ámbito matemático e implican, por parte del estudiante, el dominio de la lectura y
la valoración crítica de textos, en particular lo que se refiere a la ubicación de información
49
específica, hacer inferencias simples, captar relaciones entre los componentes e identificar
información implícita. En cuanto a las estrategias utilizadas, las más frecuentes fueron la de
hacer una figura y utilizar el razonamiento directo, siendo la más efectiva esta última, pues
registró el mayor número de respuestas correctas.
Campistrous & Rizo (1999) realizaron un estudio de caso con el objetivo de identificar
las estrategias que utilizaban los alumnos al momento de solucionar problemas matemáticos y
clasificaron el uso de las mismas en dos vertientes: reflexivas e irreflexivas. La primera forma,
implica un proceso de análisis previo, que permite relacionar la vía de solución a factores
estructurales; mientras que la segunda manera responde a un comportamiento automático, sin
que pasar por un análisis previo.
Entre las estrategias identificadas se hallan las siguientes, y su clasificación en reflexiva o
irreflexiva depende de los significados y los procedimientos asumidos por los estudiantes:
(1) Buscar palabras claves y ellas le dicen qué operación utilizar: se asocia el significado de las
operaciones con palabras claves (como por ejemplo, agregar es “sumar”). (2) Tanteo: buscar la
solución probando sistemáticamente (ensayo y error). (3) Procedimiento rutinario asociado a un
indicador textual, por ejemplo si aparecen porcentajes de deben calcular por cientos. (4) Operar
con los números dados en el texto: lo que se asocia con una tendencia a ejecutar de los alumnos;
es decir, se sienten impulsados a hacer operaciones con todos los datos. (5) Usar números
cómodos o razonables: adivinar el resultado infiriendo un número que razonablemente puede ser
la solución.
En las conclusiones, Campistrous & Rizo (1999) destacan que, si bien este tipo de estudio
no les permitía generalizar, los alumnos si utilizaban una cantidad grande de estrategias
irreflexivas para la resolución de problemas. Consideran que esto se debe a que, ni los maestros,
50
menos el programa curricular proporcionan énfasis en la identificación y comprensión de las
operaciones requeridas para resolver un problema. Por tanto, señalan que esta deficiencia podría
marcar la conducta de los alumnos en la vida escolar y laboral. Argumentaron, además que, la
presencia de algunas creencias de los alumnos sobre la solución de problemas puede constituir
barreras difíciles de romper y las mismas obstaculizan su conducta ante esta actividad.
Solaz-Portolés & Sanjosé, (2006) examinaron la contribución de tres variables en la
solución de problemas, a saber: conocimiento previo, estrategias de estudio y conocimiento
conceptual. La primera, conocimiento previo, refiere al conocimiento previo sobre la materia del
problema. La segunda, estrategias de estudio, está relacionada con el procesamiento de la
información presentada, esto es, la estructuración, integración, organización y selección de los
contenidos. Y finalmente, la tercera variable, conocimiento conceptual, implica la existencia de
más cantidad de conceptos y relaciones entre ellos en la memoria a largo plazo del estudiante.
Sus conclusiones indican que, el conocimiento previo, las estrategias de estudio y el
conocimiento conceptual son factores estadísticamente significativos del rendimiento en la
solución de problemas. De éstos, el conocimiento conceptual puede tener una mayor influencia
que las estrategias de estudio, sobre la solución de problemas, y a su vez éstas mayor influencia
que el conocimiento previo. En síntesis, esta investigación destaca la función del conocimiento
conceptual, refiriéndose a la cantidad de conceptos y estructuras proposicionales utilizadas, en la
solución de problemas. De esta manera estos investigadores encuentran coincidencia con otros
autores que han mostrado que: (1) los esquemas de conocimiento ubicados en la memoria a largo
plazo de los sujetos están mejor organizados y estructurados, y contienen más conceptos y; (2)
que el dominio de los conceptos es una condición indispensable para poder aplicarlos
correctamente en la solución de problemas.
51
En 2009, Callejo & Vila llevaron a cabo un estudio con el objetivo de obtener una mejor
comprensión de la función que desempeñan los sistemas de creencias en la fase de aproximación
a la solución de problemas matemáticos. Dos (2) estudiantes de aprovechamiento académico
alto, fueron seleccionados en base a un estudio previo de exploración entre los 61 estudiantes de
12-13 años de edad participantes. En este estudio se identificaron diferentes tipos de enfoques a
los problemas que determinaban el comportamiento de los estudiantes en el proceso de solución
de problemas. La investigación encontró dos aspectos que explican los enfoques de los
estudiantes en la solución de problemas: (1) la presencia de un sistema de creencias de origen
dualista en la experiencia escolar del estudiante, y (2) la motivación ligada a las creencias acerca
de la dificultad de la tarea. Los resultados indican que existe una relación compleja entre los
sistemas de creencias de los estudiantes y los enfoques para la solución de problemas, si se tiene
en cuenta una amplia variedad de creencias sobre la naturaleza de las matemáticas y la solución
de problemas y las creencias que motiva al estudiante. Sin embargo, no fue posible establecer
relaciones de causa y efecto entre las creencias específicas y la actividad de solución de
problemas (o viceversa).
En resumen, la solución de problemas posee múltiples usos e interpretaciones En primer
lugar, la solución como contexto: donde los problemas son utilizados como medios para otros
objetivos curriculares, como una justificación para enseñar, motivar o desarrollar actividades.
Ello implica una interpretación y aplicación mínima. En segundo lugar, solucionar problemas
para el desarrollo de habilidades: propuesta que invita a la solución de problemas no rutinarios,
para el logro de una habilidad de nivel superior adquirida, luego de haber resuelto problemas
rutinarios. Esto es, las técnicas de solución de problemas son enseñadas como un contenido, con
problemas de práctica relacionados, para que las técnicas puedan ser dominadas. Y en tercer
52
lugar, la solución de problemas como sinónimo de hacer matemática: la estrategia asume que el
trabajo de los matemáticos es solucionar problemas y que la matemática realmente consiste en
visualizar problemas y soluciones.
53
CAPÍTULO III
METODOLOGÍA
Introducción
El funcionamiento del currículo escolar se relaciona con la educación y la pedagogía, la
cual funciona como base de desarrollo y aplicación de los conocimientos. El proceso de
enseñanza en la solución de problemas matemáticos es un proceso fundamental en los
alumnos ya que al solucionar los mismos le ayuda a poder resolver situaciones en su vida diaria.
El currículo, en el ámbito educativo, es lo que los educadores producen en sentido estricto para
promover el aprendizaje y el desarrollo humano. Este funciona como un plan de trabajo que le
permite a un sistema, instituciones educativas o al docente organizar el proceso de enseñanza de
modo sistemático y estratégico. Es como un mapa (Dykhuizen, 1973), que nos indica el viaje y
el territorio que va a descubrir. La elaboración del proyecto curricular junto con el equipo
educativo son los más capacitados para adaptar el currículo al contexto social y cultural en el
que está ubicado la escuela. En este capítulo se presenta la metodología desarrollada para la
realización del módulo instruccional. Luego se describe el propósito del mismo y las estrategias
utilizadas para la implantación del método de enseñanza de Polya para la resolución de
problemas, específicamente en un curso de geometría de décimo grado. Por último, se detalla el
procedimiento que se utilizará para llevar a cabo este proyecto de aplicación en la sala de clases.
Propósito
El propósito de este módulo instruccional es desarrollar estrategias, actividades y las
herramientas necesarias para la enseñanza de la geometría dando prioridad a las expectativas de
grado del Departamento de Educación de Puerto Rico y el Aprovechamiento Académico. Este
54
segmento ofrecerá a los estudiantes la alternativa de aprender haciendo uso en la tecnología del
método Polya.
Diseño Curricular
El modelo del diseño curricular a utilizar es el de Hilda Taba (1991), el cual atribuye al
maestro la responsabilidad de iniciar el currículo con la producción de unidades pilotos de
enseñanza. El mismo implica la formulación de objetivos, selección de contenidos, organización
de contenidos, experiencia de aprendizajes, evaluación y cotejo de secuencia y balance. Una vez
el maestro produce sus unidades, procede a aprobarla en forma experimental, ya que el propósito
es integrarla al currículo. La aportación del maestro es muy valiosa para proveer un cuadro
claro de lo que se persigue. El profesor es quien mejor conoce a los estudiantes, a la comunidad,
a los recursos con los cuales cuenta y los demás elementos curriculares inmediatos. Este modelo
gusta mucho ya que las ideas de participación temprana del maestro en el proceso de diseño
curricular aportan conceptos abarcadores como módulo que ayudan a esbozar el proceso de
enseñanza aprendizaje.
El estudio de las matemáticas en la educación secundaria se orienta a lograr que los
alumnos aprendan a plantear y resolver problemas en distintos contextos, así como justificar la
validez de los procedimientos, resultados y a utilizar adecuadamente el lenguaje matemático
para comunicarlo. La matemática es un campo de expansión continua de la creación e invención
humana, donde se generan patrones que desembocan en el conocimiento. El estándar de mayor
profundidad en (décimo grado), es el estudio del algebra y geometría los cuales representan
metas altas en torno al desarrollo de conceptos, y a su vez, es un marco filosófico para el diseño
curricular. El nivel IV aspira a un mayor grado de abstracción y profundidad en el estudio del
algebra y la geometría dedicando mayor tiempo al contenido y los procesos del estudio de
55
estas ramas de las matemáticas. En el caso particular del currículo de matemáticas, esta
información se encontrará en los prontuarios de cada grado (Marco Curricular de Matemáticas,
2003).
Se trabajó con los estándares y expectativas del Departamento de Educación en los
niveles de geometría (trigonometría) utilizando la estrategia del método Polya. El estándar de
geometría ofrece al estudiante un punto de vista diferente sobre las matemáticas, desde el cual
explora patrones y relaciones con modelos y manipulativos. En el nivel superior, el estudiante
comprende la interacción entre las perspectivas inductivas y deductivas estudiando la geometría
a través del uso de transformaciones, adquiriendo un concepto amplio de congruencia y
semejanza el cual aplica a cualquier figura (Estándares de Contenidos y Expectativa del Grado,
2007). Se diseñó una tabla organizada de forma lógica la cual incluye el tema, los estándares,
objetivos terminales, objetivos capacitantes, fases del método Polya, actividades, recursos y
evaluación pertinente a cada destreza.
Población
Este módulo curricular va dirigido a los estudiantes de décimo grado de las escuelas
superiores de Puerto Rico, matriculados en el curso de matemáticas. El objetivo principal es
determinar el efecto del uso del método Polya en la solución de problemas matemáticos en el
área de geometría de décimo grado. Método que se ha venido empleando en algunas clases de
Matemáticas de las Escuelas y magisterios para desarrollar pensamiento crítico en los
estudiantes.
56
Fuentes y materiales
Algunos documentos lo ofrece el DEPR a los docentes como parte de la guía y enseñanza
de las matemáticas, otros son ofrecidos por la tecnología como búsqueda de información de
manera amplia, rápida y actualizada estos son:
Marco Curricular Programa de Matemáticas- Departamento de Educación de Puerto
Rico (2003).
Estándares de contenidos y expectativa del grado (2007).
Proyecto de Renovación Curricular (2003)
Carta Circular 2-2010-2011 Planificación del proceso de aprendizaje
Carta Circular 5-2010-2011 Política pública sobre la organización y oferta curricular
del programa de matemáticas.
Mapa curricular de matemáticas (décimo grado).
Texto: Geometría de Rodríguez y Suazo, (1989) Geometría Conexión y Aplicación,
Burrill (2004), álgebra y trigonometría de Sullivan (2007).
Blogs- matemáticas-nestor.blogspot.com/.../triángulos-rect
Webquest - Http://zunal.com/webquest.php?=104213
El teorema de Pitágoras, razones trigonométricas, son temas previstos por el
Departamento de Educación bajo el estándar y expectativa en la enseñanza de geometría y
trigonometría en las escuela superiores de Puerto Rico. La tecnología permite que el maestro se
convierta en un facilitador eficiente del proceso de enseñanza aprendizaje, ya que la puede
utilizar para crear un ambiente propicio para una educación integrada, llena de recursos
actualizados y pertinentes a sus estudiantes (Marco Curricular del Programa de Matemáticas,
2003).
57
Los materiales que serán de gran utilidad para realizar este proyecto de aplicación son:
Las calculadoras científicas para buscar los valores de las funciones
trigonométricas.
Hojas de trabajos, en el cual el maestro indicará las instrucciones y cual será la
actividad que se llevara a cabo diariamente
Ejercicios de prácticas aplicado a la vida diaria
Papel
Marcadores negros
Reglas y trasportador
Recursos electrónicos (pizarra electrónicas, proyector, internet, multimedios)
El maestro se guiará por el segmento curricular, donde visualizará los temas, objetivos
capacitantes y terminales, las fases del método Polya en cada aplicación de resoluciones de
problemas. Estos materiales son accesibles, se pueden encontrar en la escuela, hogar y
bibliotecas de la escuela. El contenido que se incluye a continuación comprende aspectos:
conceptos, destrezas, valores, actitudes que constituyen la totalidad del conocimiento matemático
formal que un estudiante deberá adquirir, a través de los años en la escuela secundaria en la
disciplina de la trigonometría (Véase tabla 1).
Tabla 1
Modelo del Segmento Curricular
Tema Objetivos terminales
Objetivos capacitantes
Actividades Recursos educativos
Evaluación
58
Procedimiento
El desarrollo de este módulo de aplicación se realizará siguiendo los procedimientos
establecidos por la Universidad Interamericana de Puerto Rico. Estos determinan los procesos
para implementar este proyecto de aplicación y sus partes. Para comenzar este proceso se
seleccionó el tema “Enseñar el estándar de geometría a estudiantes del décimo grado: utilizando
el método Polya para la solución de problemas e integrando la tecnología en el proceso de
enseñanza aprendizaje”.
Luego se revisaron una serie de documentos del DEPR relacionados con el área de
matemáticas. Tales como: (1) Proyecto de Renovación Curricular (2003), (2) Marco Curricular
del Programa de Matemáticas- Departamento de Educación de Puerto Rico (2003) , (3) Carta
Circular 2-2010-2011 Planificación del proceso de aprendizaje, (4) Carta Circular 5-2010-2011
Política pública sobre la organización y oferta curricular del programa de matemáticas (5)
Estándares de contenido y expectativas de grado (2007), entre otros. Además, se realizó una
búsqueda exhaustiva de investigaciones o estudios relacionados con el tema de investigación. La
búsqueda se llevó a cabo para dirigir correctamente el objetivo del proyecto de aplicación, a su
vez para establecer base o vínculo con los objetivos recomendados por el Departamento de
Educación de Puerto Rico para la enseñanza de la solución de problemas utilizando el método
Polya en matemáticas, específicamente en el área de geometría para el décimo grado.
Descripción del segmento curricular
El proyecto curricular fue diseñado para estudiantes de nivel secundario del curso de
matemáticas para décimo grado. En el mismo se trabajó con conceptos de las razones
trigonométricas (seno, coseno, tangente y sus inversas) utilizando la estrategia del método Polya
59
en la solución de problemas. El segmento ocupa el estándar de geometría donde el estudiante es
capaz de identificar formas geométricas, analizar sus estructuras, características, propiedades y
relaciones para entender y descubrir el entorno físico.
Este segmento curricular le servirá de guía al profesor haciendo hincapiés en la fase de
exploración, conceptualización y aplicación, utilizando conceptos en el cual el estudiante logrará
un verdadero aprendizaje. Las metas, competencias y estándares son términos importantes en la
educación de las matemáticas donde describen las portaciones que hace el currículo a la
formación de los ciudadanos de provecho y seres humanos integrales.
Este diseño curricular puede contribuir para que el estudiante adquiera poder
matemáticos por medio de un contenido amplio y profundo para prepararlo para los estudios
superiores de matemáticas y otras disciplinas. Según Freudenthal (1991) la enseñanza, desde la
perspectiva constructivista, requiere reflexión por parte del estudiante, no solo en torno a sus
pensamientos, sino en torno a los pensamientos de otros estudiantes y del mundo mismo. El
estudiante aprende matemáticas cuando reflexiona en torno a su propio razonamiento y de sus
compañeros, más aun, un estudiante aprende matemáticas cuando reflexiona sobre sus propios
errores y sus razonamientos fallidos en el intento de solucionar algún problema.
Para alcanzar las metas en la solución de problemas aplicando el método Polya el
maestro debe utilizar la tecnología como medio de estrategias y enseñanza a sus alumnos. La
tecnología permite que el maestro se convierta en un facilitador eficiente del proceso de
enseñanza y aprendizaje, ya que puede utilizarla para crear ambientes que propicien una
educación integrada, llena de recursos actualizados, y pertinentes a sus estudiantes (Marco
Curricular Programa de Matemáticas- Departamento de Educación de Puerto Rico, 2003). En
adición, el currículo de matemáticas debe aportar al desarrollo de valores éticos, de dignidad y
60
solidaridad, y al fortalecimiento de una conciencia sociocultural que complemente las
capacidades de un buen analista o de un buen pensador.
El segmento curricular está alineado con los estándares y expectativas que requiere el
Departamento de Educación de Puerto Rico (DEPR). Las actividades fueron escogidas para
mantener a los estudiantes en los niveles más altos del conocimiento teniendo en consideración
los niveles de Norman Webb (Webb & Bravo, 2007) y las fases del método Polya en la
soluciones de problemas de trigonometría. Al generalizar las razones trigonométricas del
triángulo rectángulo se originan funciones trigonométricas. Estas funciones, especialmente el
seno, coseno y la tangente constituyen estándares matemáticos para muchos fenómenos
periódicos del mundo real, en los cuales los alumnos pueden solucionar problemas en su entorno
ayudándole a analizar situaciones que pueden cambiar su manera de ver o solucionar problemas
desarrollando seres integrales en la sociedad.
Resumen
En este capítulo se presentó la metodología utilizando un segmento curricular, preparado
para los maestros de matemáticas y estudiantes de décimo grado. La información incluida es
para que los docentes de matemáticas puedan llevar a cabo un proceso de enseñanza de mayor
calidad y pertinencia para los estudiantes. El próximo capítulo contiene el segmento curricular
que se utilizó para desarrollar el tema propuesto.
61
CAPITULO IV
RESULTADOS
Introducción
El proyecto: Diseño de un módulo instruccional para enseñar el estándar de geometría a
estudiante de décimo grado: utilizando el método Polya para la solución de problemas e
integrando la tecnología en el proceso de enseñanza aprendizaje, presenta en este capítulo el
contenido curricular del modelo, tomando en consideración el mapa curricular para el grado y
nivel identificado, así como los libros de texto que actualmente (2013) son utilizados en la sala
de clases. En adición, se explica las fases del método Polya y un desglose de las expectativas de
logro para el área de geometría seleccionada.
Segmento curricular
La solución de problemas en matemáticas parece ser complicada para los estudiantes y
para los futuros maestros, los cuales presentan dificultades al solucionar problemas matemáticos.
De acuerdo con Vargas (2011) una de las dificultades es transversal a cualquier estudiante y un
problema que se forma desde etapas tempranas es la dificultad para comprender enunciados de
problemas. Desde el momento en que se les solicita a los alumnos explicar una resolución de un
problema, estos presentan trabas en el manejo del lenguaje y en la capacidad argumentativa.
Del mismo modo, cuando se les pide realizar comprobaciones de los pasos ejecutados.
La solución de problemas es una parte integral de cualquier aprendizaje matemático, por
lo que se piensa que no debería ser considerado como una parte aislada del currículo de
matemática. En consecuencia, Godino (2003) argumenta que la solución de problemas debe
estar articulada dentro del proceso de estudio de los distintos bloques de contenido matemático.
Los contextos de los problemas pueden referirse tanto a las experiencias familiares de los
62
estudiantes así como aplicaciones a otras áreas. Desde este punto de vista, los problemas
aparecen primero para la construcción de los objetos matemáticos y después para su aplicación a
diferentes contextos.
Para el desarrollo del segmento o proyecto curricular, se efectúo una búsqueda de
investigaciones, textos, tesis, páginas electrónicas y material impresos que sustentan el
desarrollo de las destrezas y métodos utilizado en la solución de problemas matemáticos con las
estrategias utilizadas por Polya. Estos se sustentan de forma adecuada y pertinente al nivel del
grado. Se utilizaron los Estándares de Contenido y Expectativas de Grado del Programa de
Matemáticas (2007) y el estudiantes (Marco Curricular de Matemáticas, 2003). Los libros de
textos: Algebra y Trigonometría de Sullivan (2007), “Assessment” de la teoría a la práctica de
Rivas Olmeda y Oquendo Cotto (1999) y Geometría: integración, aplicaciones y conexiones de
Burrill (2004).
En el mismo orden de ideas se presenta un segmento curricular con una diversidad de
métodos, técnicas y herramientas pedagógicas que ayudan al estudiante en soluciones de
problemas aplicando la estrategia de Polya. Las herramientas pedagógicas tradicional que se
utilizaron fueron: (1) libro de texto, (2) tirillas cómica, (3) rúbrica, (4) reacciones escritas,
(5) listas focalizadas, (6) hoja de cotejo y (7) matriz de memoria. Estos instrumentos
evaluativos mantienen una enseñanza completa y conocida, integrando una educación
innovadora como es el uso del internet, blogs y Webquest. Se utilizó un bosquejo para el
desarrollo del segmento curricular (Véase tabla 2) donde se indican los Estándares de Contenidos
y Expectativas de Grado en Matemáticas, propuesto por el Departamento de Educación (2007),
para alcanzar las metas cognitivas del estándar de geometría.
63
Tabla 2
Bosquejo del Contenido
En la siguiente tabla 3, se presentan los cuatros pasos propuestos en el método Polya en
la solución de problemas matemáticos. Estas estrategias promueven el desarrollo mental,
destrezas, capacidad para analizar y solucionar situaciones de problemas reales en el diario vivir.
El maestro seguirá estas fases a través de proceso de enseñanza y aprendizaje.
Temas
Expectativa
Indicador de logro
Teorema de Pitágoras
y su recíproco
11.0 Demuestra y aplica el Teorema de Pitágoras y su recíproco.
G.FG.10.11.1: Prueba el Teorema de Pitágoras y su recíproco. G.LR.10.11.2 : Aplica el teorema de Pitágoras en situaciones de dos o tres dimensiones. G.LR.10.11.3 : Desarrolla y aplica la fórmula de distancia para determinar la distancia entre dos puntos en el plano de las coordenadas rectangulares.
Triángulo rectángulo
12.0 Aplica las propiedades especiales del Triángulo rectángulo como sus proporciones y sus razones trigonométricas básicas.
G.FG.10.12.1 Reconoce y aplica las propiedades de un triángulo rectángulo 30-60-90 y 45-45-90 G.FG.10.12.2: Aplica las razones trigonométricas seno, coseno y tangente para determinar medidas de los ángulos y las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo.
64
Tabla 3
Pasos del Método Polya
Fases del Método Polya Método Polya Descripción
Fase 1
Comprender el problema
Se determina ¿Cuál es la incógnita? ¿Cuáles son los datos? La comprensión del problema es lo que se plantea, el elemento debe ser enfatizado en la enseñanza de las matemáticas.
Fase 2
Concebir un plan
Se determina la relación entre los datos y la incógnita. Establecer una relación inmediata, considerando problemas relacionados y preguntas. La intención del plan es, que el estudiante no se olvide del problema original o que se quede en los problemas relacionados de la concepción del plan y las ideas generales de la solución del problema.
Fase 3
Ejecutar el plan
Se planifica y se evidencia la incógnita que se va a despejar. Comprobar cada uno de los pasos que conducen a la solución del problema
Fase 4
Examinar la
solución
Es la última fase, se verifica el resultado obtenido para la solución de la incógnita, como el razonamiento y el funcionamiento del método en algún otro problema.
Para el logro cognitivo y el desarrollo de los diferentes pasos del método Polya en la
geometría de solución de problemas, este segmento curricular requiere el uso de las diferentes
actividades presentadas en el mismo (Véase tabla 4). El aprendizaje cooperativo es una
alternativa excelente para los maestros que deseen que sus alumnos interactúen socialmente.
Este permite que el estudiante desarrolle un sentido de responsabilidad individual y conjunta que
le ayudará en el futuro a utilizarlo en la sociedad (Castillo, 2008). Permitiendo que el estudiante
no solo construya su propio conocimiento, sino que llegue a sus propias conclusiones. Además,
65
se requerirá un compromiso por parte del maestro y sobre todo del estudiante el cual esté
dispuesto a mejorar el interés por el estudio de la geometría. Los temas se encuentran en el
segmento curricular a continuación.
66
Tabla 4
Segmento Curricular Unidad 10: Triángulos rectángulos
Departamento de Educación Programa de Matemáticas
Nivel: Superior Grado: Décimo Curso: Geometría Profa. N. Zabala Durán
Tema Objetivos Terminales
Objetivos Capacitantes
Actividades Recursos Evaluación
Triángulo rectángulo
Los estudiantes analizarán las medidas geométricas de un triángulo rectángulo.
Luego de las actividades los estudiantes: 1.1 Describirán tres de cinco características del triángulo rectángulo. 1.2. Nombrarán los lados del triángulo rectángulo 1.3. Calcularán la altura relativa a la hipotenusa entre un segmento que dividen un rectángulo en dos triángulo rectángulo.
1.1.1 Mapas de conceptos (Anejo B) 1.2.1. Ejercicios de prácticas.(Anejo C) 1.3.1 Dibujar triángulo rectángulo de diferentes medidas en papel cuadriculado. (Anejo D)
1.1.1 Blog matemáticas-nestor.blogspot.com/... /triángulos-rect 1.2.1 Fotocopias de ejercicios dado por la maestra. 1.3.1 Fotocopias Libro: Geometría al día de Merrill página 316
Pre-prueba (Anejo W) Rúbrica para diario Lista de cotejo Tirilla cómica (Lista de cotejo)
67
Tabla 4
Segmento Curricular Unidad 10: Triángulos rectángulos
Departamento de Educación Programa de Matemáticas
Nivel: Superior Grado: Décimo Curso: Geometría Profa. N. Zabala Durán
Tema Objetivos Terminales
Objetivos Capacitantes
Actividades Recursos Evaluación
Triángulo rectángulo
Triángulo rectángulo
2. Reconocerán y aplicarán las propiedades de un triángulo rectángulo.
Los estudiantes: 2.1. Definirán triángulo rectángulo isósceles.
1.3.2 Midiendo longitud de los lados triángulo rectángulo. (Anejo D) 1.3.3.Identificando triángulo rectángulo en el diario vivir; hacer un collage (Anejo E, F) 2.1.1 Clasificará triángulo rectángulo isósceles según sus lados y ángulos y lo definirán (Anejo G)
1.3.2 Presentación .cremc.ponce .inter.edu/.../ reproduciendo triángulos.htm 1.3.3 Ejercicios dados por la maestra 2.1.1 Módulo instruccional matemáticas-geometría décimo a duodécimo grado pág. 12
Tirilla cómica (Lista de cotejo) Collage Tirilla cómica Mapa de concepto
68
Tabla 4
Segmento Curricular Unidad 10: Triángulos rectángulos
Departamento de Educación Programa de Matemáticas
Nivel: Superior Grado: Décimo Curso: Geometría Profa. N. Zabala Durán
Tema Objetivos Terminales
Objetivos Capacitantes
Actividades Recursos Evaluación
Triángulo rectángulo
Después de varias actividades el estudiante: 2.2. Identificará un triángulo rectángulo isósceles 45°- 45°-90°. 2.3. Definirá triángulo rectángulo escaleno. Dibujará un triángulo rectángulo especial 30°-60°-90°.
2.2.1 Dibujar triángulo especial 45°- 45°-90°. (Anejo H) 2.3.1. Prueba las propiedades de los triángulos especiales. (Anejo I)
2.2.1. Ejercicios de clase Libro: Geometría de Scott & Foresman, página 321. 2.3.1. www.slideshare.net/.../triángulos-rectángulos-especiales
Diario reflexivo Matriz de memoria
69
Tabla 4
Segmento Curricular Unidad 10: Triángulos rectángulos
Departamento de Educación Programa de Matemáticas
Nivel: Superior Grado: Décimo Curso: Geometría Profa. N. Zabala Durán
Tema Objetivos
Terminales Objetivos
Capacitantes Actividades Recursos Evaluación
Teorema de
Pitágoras
3.1. Identificar en los triángulos rectángulos, la hipotenusa y los catetos.
3.1.1 Investigará sobre Pitágoras y sus aportaciones a la matemática. 3.1.2. Describirá las relaciones entre medidas de los lados de un triángulo rectángulo. 3.1.3 Demostrará la tripla Pitagórica de un triángulo rectángulo.
3.1.1 Redacción de un breve ensayo (Anejo J) 3.1.2 Discusión grupal. Encontrar medida de los triángulos. (Anejo K) 3.1.3. Explicar método Polya. Comprueba lo que aprendiste. (Anejo L)
3.1.1 Ejercicios de clase Libro Geometría Scott & Foresman páginas 319-320. www.soarem.org.ar/ Documentos/34%20 Dalcin.pdf 3.1.2http://www.youtube.com/ watch?v=j_eoW0UVpU c&feature=player_detailpage 3.1.3www.worldcat.org/.../geometria-integracion-aplicaciones-conexiones
Lista de cotejo Hoja de evaluación Diario Reflexivo.
70
Tabla 4
Segmento Curricular Unidad 10: Triángulos rectángulos
Departamento de Educación Programa de Matemáticas
Nivel: Superior Grado: Décimo Curso: Geometría Profa. N. Zabala Durán
Tema Objetivos Terminales
Objetivos Capacitantes
Actividades Recursos Evaluación
Teorema
de Pitágoras
3.2 Aplicar el teorema de Pitágoras en figuras tridimensionales para encontrar la base y/o la generatriz
3.2.1 Clasificará y describirá con exactitud el teorema de Pitágoras en objeto de dos y tres dimensiones. 3.2.2 Examinará situaciones de la vida real donde se aplique el teorema de Pitágoras.
3.2.1 Utilizando Teorema Pitágoras con objetos tres dimensiones ( Anejo M) 3.2.2 Solución problemas (Anejo N)
3.2.1. Programa de geometría Cabri centros.educacion.navarra.es/.../CABRI3Dnavarra.do 3.2.2. Discusión grupal Dinámica de grupo.
Diario Reflexivo.
Matriz de memoria
71
Tabla 4
Segmento Curricular Unidad 10: Triángulos rectángulos
Departamento de Educación Programa de Matemáticas
Nivel: Superior Grado: Décimo Curso: Geometría Profa. N. Zabala Durán
Tema Objetivos Terminales
Objetivos Capacitantes
Actividades Recursos Evaluación
Teorema de
Pitágoras
Después de una serie de actividades los estudiantes : 3.2.3. Resolverán cinco de siete ejercicios para encontrar las medidas del triángulo rectángulo utilizando la fórmula de Pitágoras. c2 =a2 + b2 3.2.4. Calcularán problemas verbales aplicado al diario vivir.
3.2.3. Ejercicios dados por la maestra (Anejo Ñ) 3.2.4. Discusión grupal. Actividad: El Velero, (Anejo O).
3.2.3. Consultas de fuentes bibliográficas, libros de texto: Geometría integración, aplicaciones y conexiones, de Burrill Pagina 401 Internet 3.2.4 Internet Programa: Destino matemáticas
Organizador gráfico Hoja de evaluación
72
Tabla 4
Segmento Curricular Unidad 10: Triángulos rectángulos
Departamento de Educación Programa de Matemáticas
Nivel: Superior Grado: Décimo Curso: Geometría Profa. N. Zabala Durán
Tema Objetivos Terminales
Objetivos Capacitantes Actividades Recursos Evaluación
Teorema de
Pitágoras
4.1 Encontrar la distancia entre dos puntos de un plano cartesiano.
Al finalizar las diferentes actividades el estudiante : 4.1.1. Calculará la distancia entre dos puntos usando la formula de distancia. 4.1.2. Luego de las actividades el estudiante encontrará la medidas e identificar la coordenadas de x y de y. 4.1.3. Aplicará el teorema de Pitágoras para encontrar la distancia de un par ordenados en un plano cartesiano.
4.1.1 Encontrará distancia utilizando pares ordenados en el plano cartesiano (Anejo P) 4.1.2 Video: Encontrando medidas en coordenadas en los ejes cartesianos (Anejo Q) 4.1.3 Paseo por el campo Enrique y sus amigos. (Anejo R)
4.1.1Foresman 327-328 4.2.1Internet http://www.youtube.com/watch? featureplayer_ detailpage&v=Qsanp1R82yc 4.1.3. Foresman 330
Lista de cotejo Reacción escrita inmediata Tirilla cómica
73
Tabla 4
Segmento Curricular Unidad 10: Triángulos rectángulos
Departamento de Educación Programa de Matemáticas
Nivel: Superior Grado: Décimo Curso: Geometría Profa. N. Zabala Durán
Tema Objetivos Terminales
Objetivos Capacitantes
Actividades Recursos Evaluación
Razones en triángulos
rectángulos
5.1 Aplica las funciones trigonométricas en situaciones reales de la vida diaria.
5.1.1. Leerá historia de la trigonometría y funciones trigonométricas. 5.1.2. Una vez discutida la clase, los estudiantes identificarán las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo (seno, coseno, y tangente).
5.1.1 Buscar literatura sobre la trigonometría Historia de las razones trigonométricas (Anejo S) 5.1.2 Video www.youtube.com/ watch?v=z5EKWk4xu7QRazones trigonométricas (Anejo T)
5.1.1 Algebra y Trigonometría de Sullivan Página 340-342 5.1.2 wesquest http://zunal. com/webquest.php?w=104213
Preguntas y respuestas Matriz de memoria Tareas escritas
74
Tabla 4
Segmento Curricular Unidad 10: Triángulos rectángulos
Departamento de Educación Programa de Matemáticas
Nivel: Superior Grado: Décimo Curso: Geometría Profa. N. Zabala Durán
Tema Objetivos
Terminales Objetivos
Capacitantes Actividades Recursos Evaluación
Razones en triángulos
rectángulos
5.1 Aplica las funciones trigonométricas en situaciones reales de la vida diaria.
5.1.3. Identificar las funciones trigonométricas en la calculadora para buscar tres funciones trigonométricas de seis. 5.1.4 Al realizar una series de actividades los estudiantes solucionarán problemas verbales del diario vivir.
5.1.3 Desarrollar destrezas en la calculadora. Hojas sueltas ejercicios Identificar razones trigonométricas en el triángulo rectángulo (Anejo U) 5.1.4 Ejercicios de practica a solicitud de los estudiante (Anejo V)
5.1.3 http://www.you tube.com/ watch?feature= player_ embedded&v =t99hxUmvJOg 5.1.4 Dados por la profesora (manual de actividades para desarrollo de conceptos matemáticos, DEPR)
Lista de cotejo Tirilla cómica(rúbrica) Prueba corta Pos - Prueba (AnejoW)
*****Nota: Este segmento curricular está preparado para cuatro semanas.
Capítulo V
ANÁLISIS Y DISCUSIÓN
Introducción
El propósito principal de este módulo instruccional es que pueda utilizarse como guía
para mejorar la enseñanza de la trigonometría en el nivel secundario, específicamente en décimo
grado. El mismo le ofrece tanto al docente como al estudiante la oportunidad de integrar los
conceptos de las razones trigonométricas (seno, coseno, tangente) en la solución de problemas
aplicando el método Polya e integrando la tecnología.
La solución de problemas en el área de la trigonometría es vista por muchos estudiantes
como complicados y al enfrentarse con problemas escritos o verbales le resulta difícil el tener
que realizar razonamiento lógico. En la enseñanza tradicional, las oportunidades que se le
brindan a los estudiantes, en muchas ocasiones, resultan inútiles en la destreza para la solución
de problemas. Este tipo de enseñanza, las interrelaciones entre las diferentes áreas de las
matemáticas no están del todo clara para el estudiante. Se piensa, que si se individualizan las
ideas o destrezas necesarias para la solución de problemas, el estudiante no experimentará las
dificultades de aprendizaje que normalmente se asocian con la consideración de situaciones que
involucran una pluralidad de ideas (Marco Curricular del Programa de Matemáticas, 2003). Sin
embargo, en la práctica, este tipo de aprendizaje es el que evidencia los niveles más bajos de
aprovechamiento académico (Treffers, 1987). Esta situación se puede afrontar de diferentes
maneras. Una de ella es el Método Polya, considerando una revisión del conocimiento escolar; el
estudiante y su relación con la realidad social (Hernández, 2000).
Este segmento se presenta de manera atractiva y constructiva para el estudiante, ya que a
través de éste puede enriquecer su conocimiento aplicándolo al diario vivir. La utilización de los
76
estándares de contenido y expectativas de grado integra el razonamiento deductivo e inductivo
con el propósito de indicar los fundamentos esenciales de cada área académica.
Para Polya (1957) el núcleo fundamental de la actividad matemática es sin duda la
resolución de problemas. La investigación actual en Educación Matemática consagra una buena
parte de sus esfuerzos en desentrañar en qué consiste la actividad eficaz de resolución de
problemas y cuáles son los mecanismos adecuados para conseguir que los estudiantes logren
convertirse en expertos resolviendo problemas.
Las investigaciones realizadas en la educación costarricense, según Terán & Pachano
(2005), explican que las clases de matemática inician a partir de la definición de contenidos
carentes de significados para estudiantes de niveles de educación básica, ya que por lo general se
alejan de sus vivencias. Por otra parte, los métodos aplicados en el terreno educativo bolivariano,
desarrollan un potencial creativo del aprendiz y mejoran, en consecuencia, su proceso de
aprendizaje. Entre tales métodos se ubica el aportado por Polya (1981), para la resolución de
problemas matemáticos; constituidos por una serie de pasos que incluyen preguntas que motivan
y orientan a los estudiantes, con lo cual se puede facilitar la enseñanza y aprendizaje. Desde el
puntos de vista teórico, la investigación cobra pertinencia pues se fundamenta en el enfoque
humanista en el que se ubica la teoría constructivista, como aquella que explica el aprendizaje
desde una dimensión en la que el aprendiz determina, en buena parte, su instrucción, pues son los
estudiantes, quienes usan su potencial para construir y reconstruir de manera individual, la
realidad que los rodea, haciendo uso de sus experiencias y conocimientos ya adquiridos.
En el nivel práctico, el método de Polya facilita la acción constructiva de los estudiantes
en la resolución de problemas ayudándole a comprender y solucionar problemas relacionados
con las razones trigonométricas. Al momento de evaluar la ejecución de las diferentes
77
actividades el docente debe permitir que los estudiantes lleguen a sus propias conclusiones.
Promoviendo la oportunidad de analizar y sintetizar los resultados obtenidos para lograr el éxito
del proceso de los pasos del método Polya en la resolución de problemas matemáticos.
Conclusiones
El desarrollo de este segmento curricular tuvo como objetivo destacar la posibilidad de
mejorar las estrategias para resolver problemas mediante el método Polya en los alumnos de
décimo grado y la incidencia positiva que este aprendizaje tiene en su rendimiento en el área de
las matemáticas. Es necesario usar estrategias que faciliten y promuevan la reflexión y análisis
por parte de los estudiantes para lograr la comprensión total del problema. El planificar y
ejecutar las acciones que exige el problema y hacer que el estudiante revise por si mismo los
pasos ejecutados, de manera que el procedimiento le permita llegar a la solución del problema,
en definitiva, descubrir la incógnita.
Para obtener mejores resultados, tanto en el rendimiento como en el aprendizaje de
estrategias de resolución de problemas con el método Polya se debe continuar trabajando con la
aplicación de los cuatros paso del método Polya mencionado en este proyecto curricular.
La elaboración de esta estrategias fundamentada con el método Polya puede aportar beneficios
para desarrollar procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas en los estudiantes de
las escuela públicas de Puerto Rico, ampliando la capacidad de destrezas de pensamiento
lógico concentrándose en solución de problemas pertinentes a la realidad del estudiante, dando
énfasis en el proceso que empieza desde su propias consideración del problema hasta la
evaluación de las implicaciones que tiene su solución (Marco Curricular del Programa de
Matemáticas, 2003). Esta importante estrategia conduce el aprendizaje activo, generando el
espacio o contexto en el que los aprendices puedan asumir acciones de manera similares como lo
78
haría un experto en matemáticas. El docente al enseñar la solución de problemas en matemática
debe utilizar una metodología que ayude al estudiante a descubrir la solución correcta del
problema de una manera comprensiva; para lograr esto es importante reconocer aspectos
referentes al papel del docente y del alumno en este proceso, así como la influencia y la actitud
que ambos demuestren. Cada docente debe promover la asimilación e interiorización de
conocimientos matemáticos en sus estudiantes, con el fin de que adapten esos conocimientos
para solucionar problemas que no les sean habituales, así como para plantearse otras cuestiones a
partir de ellos.
Recomendaciones
Se recomienda a los docentes de matemáticas a obtener un mayor conocimiento respecto al
método Polya en la solución de problemas matemáticos para alcanzar en los estudiantes el
aprovechamiento en la resolución de problemas, así como también el entusiasmo por el
contenido geométrico como parte del proceso de enseñanza y aprendizaje. Además, debe poseer
conocimiento sobre los estándares, expectativa y especificaciones de manera que pueda
implantar las destrezas y los objetivos relacionados con la resolución de problemas matemáticos,
efectuando la estrategia Polya.
El utilizar este proyecto de curricular, en el área de la trigonometría, le permitirá al
educador una secuencia útil y necesaria para logar que el estudiante adquiera la capacidad de
integrar la trigonometría a su diario vivir. Las diferentes actividades expuesta en el proyecto
curricular lograrán en los estudiante un mayor interés en la solución de problemas matemáticos,
en su desempeño cognitivo y en la ejecución de destrezas de razonamiento geométrico.
Las acciones propuestas en el segmento se pueden utilizar de forma individual como
grupal, de acuerdo con el énfasis que requiera el educador para el éxito o logros de los objetivos
79
en las destrezas de las resoluciones de problemas. El docente utilizará las herramientas que
tenga a su alcance provisto por el Departamento de Educación de Puerto Rico, articulando el
mismo al segmento curricular presentado.
Limitaciones
Una de las limitaciones presentada es que los maestros o futuros maestros no
tengan el dominio de solución de problemas, para esto el tiene que poseer
estrategias que lo ayuden a buscar esas soluciones, las cuales le ayudarán a sus
alumnos en tal proceso. Y de esta manera poder llegar a un nivel alto de
conocimiento en su área.
Que el maestro de matemáticas no cuente con el dominio y conocimiento sobre el
desarrollo y aplicación del método Polya en solución de problemas.
La falta de equipos necesarios para implantar el módulo instruccional sugerido en
este proyecto. La falta de mantenimiento, conocimiento o simplemente el no
poseer la tecnología, incluso el Internet limitaría grandemente el proceso de
enseñanza aprendizaje que se propone establecer.
No se encontraron suficientes estudios relacionados al método Polya y su
utilización en la sala de clases en Puerto Rico.
En resumen, la calidad de la educación va a depender de la cantidad de información que
el maestro pueda manejar, logrando que los estudiantes sean capaces de razonar de forma lógica,
analítica y creativa para el desarrollo de los conocimientos nuevos a lo ya previo. Hoy en día
(2013), la solución de problemas matemáticos es vista por los estudiante como difícil para
resolver, por tal razón le temen, este módulo de aplicación le ayudará a generar un ambiente más
80
agradable estimulando al estudiante a resolver problemas de trigonometría aplicándolo a su
diario vivir.
81
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90
ANEJOS
91
ANEJO A Modelo del plan de clase
92
ESTADO LIBRE ASOCIADO DE PUERTO RICO DEPARTAMENTO DE EDUCACIÓN
Programa de Matemáticas
Unidad:______________________________________________ Fecha: ________________
Tema: ______________________________________________
Integración:_____________________________
Estrategia General: ( ) ECA ( ) Trilogía de Lectoescritura ( ) Ciclos de Aprendizaje
Fase: ( ) Exploración ( )Conceptualización ( )Aplicación ( ) Antes lectura ( )Durante lectura ( )Después lectura ( )Enfocar ( ) Explorar ( )Reflexionar ( )Aplicar
Estándares: ( )Numeración y Operación ( )Algebra ( )Geometría ( )Medición ( )Análisis de datos y Probabilidad
Expectativas:
_____________________________________________________________________
93
Nivel de profundidad del conocimiento:( ) Memorístico ( ) Procesamiento Estratégico ( ) Extendido Objetivos Avalúo Conceptual (Conceptos, principios, datos, hechos)
( )Prueba Diagnóstica ( )Torbellino de ideas ( )Lista Focalizada ( )Mapa de Conceptos ( )Poema Concreto ( )Tirilla Cómica ( )Pregunta Abierta ( )Diario Reflexivo ( ) Ensayos ( ) Entrevistas ( )Quiz ( )Examen ( ) Proyectos ( )Otros
Procedimental (Procesos, habilidades, estrategias, destrezas)
Actitudinal (Actitudes, valores, normas)
Actividades: Inicio: ( )Reflexión ( )Reto Matemático ( )Repaso conceptos discutido ( )Observación y estudio de ; láminas, tablas, gráficas y/o libros.
Desarrollo: ( )Definición de Conceptos ( )Demostración y ejemplos dirigidos ( )Lectura y análisis de problemas verbales ( )Trabajar práctica: libro, pizarra o papel ( ) Examen ( ) Prueba Corta
Cierre: ( )Clarificar Conceptos ( )Discusión del trabajo ( )Cotejar el trabajo realizado
Materiales: ( )Fotocopia ( )Libreta ( )Periódico ( )Calculadora ( )Computadora ( )Crayolas ( )Transportador o regl ( )Pizarra ( )Transparencia ( )Papel Cuadriculado ( )Manipulativos ( ) _______________ Reflexión: _____________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ Firma : _______________________________________
94
ANEJO B Triángulos Rectángulos
Mapas de Conceptos
Actividad: I
Diarios Desarrollo de conceptos
1. Define en tus propias palabras ¿Qué es un triángulo rectángulo? ¿Cuáles son sus características? ¿Qué aprendiste hoy? 2. Explica con detalles por qué está seguro de que domina el concepto que aprendiste hoy. 3. Escribe una carta a un amigo en la que le explique las razones por los cuales es importante dominar ese conocimiento o destreza. 4. ¿En qué conceptos o destrezas debe mejorar? 5. Explica lo que has hecho para aclarar tus dudas. 6. ¿En qué otras situaciones podrías aplicar los conceptos que aprendiste o ampliaste hoy?
97
Fecha: __________________________________ Nombre:________________________________ Clase____________
3 Superior 2 Aceptable 1 Necesito mejorar
Criterios 1. Incluyó lo que se le pide en la tarea ________ 2. Las ideas son claras y están bien organizadas. _________ 3. Incluyó comentario de lo que debe mejorar _________ 4. Las evaluaciones a las entradas de los diarios evidencian su progreso _________ 5. La actitud hacia la tarea es _________ 6. La presentación del diario en general es _________ Observaciones__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Estudiante_____________________________________________________ Maestro_________________________________________________________
98
ANEJO C Lados de un Triángulo Rectángulo
99
Actividad II: Nombra los lados de un triangulo rectángulo- Teorema de Pitágoras Nombre:____________________________ Fecha:______________ Objetivo: El estudiante identificará y nombrará los lados de un triángulo rectángulo. Instrucciones: Identifica y nombra los lados triángulo rectángulo.
1. hipotenusa, y explica porque se le llama así. 2. Los catetos y explica porque se le llama así a los otros dos lados del triángulo rectángulo
100
Nombre: ____________________ Fecha:______________ Curso: Geometría Profa. Zabala Criterios de Evaluación
Hacer una marca de cotejo (X) al lado de cada aseveración. I. Observar el nivel de ejecución en el uso de las destrezas adquiridas.
1. Identificó y nombró la hipotenusa
2. Identificó nombró correctamente los catetos en el
triangulo rectángulo.
3. Explicó porque es la hipotenusa es el lado con
mayor longitud en el triángulo rectángulo.
4. Explicó porque se les llaman catetos a los otros dos
lados del triángulo rectángulo.
Domino No domino
101
ANEJO D Midiendo la longitud de los lados del Triángulo Rectángulo
102
Actividad II : Midiendo la longitud de los lados del triángulo rectángulo Tema : Triangulo rectángulo
Material:
Hojas de papel Lápiz de colores Regla Transportador Tijeras
Instrucciones: El estudiante dibujará figuras geométrica (cuadrado y rectángulo) de diferentes
dimensiones dada por la maestra, una vez formadas la figura en el papel cuadriculado el
estudiante procederá a trazar una diagonal en la cual observará que se le forma y explicará lo
siguiente:
1. ¿Qué figura se forma al trazar la diagonal? ________________
2. ¿ Por qué?________________________________________
3. Cumple con la definición____________________________
4. ¿Cuáles son sus medidas?____________________________
5. ¿Cuál es la diferencia?________________________________
6. Son importante conocer esta figura geométrica? ¿Por qué?
_________________________________________________________
7. ¿Lo podemos encontrar en nuestro alrededor?____________________
8. Fue importante para tí esta actividad______________________________
9. ¿Qué aprendiste ?_________________________________________
10. Tuviste alguna dificultad o limitación al usar las herramientas o material.
11. Si contesta la afirmación Sí, menciona cual ___________________
103
Actividad II: Midiendo la longitud de los lados del triángulo rectángulo En la cuadrícula siguiente pinta:
Un cuadrado que contenga 9 cuadraditos Un rectángulo formado por 20 cuadraditos Un cuadrado formado por 12 cuadraditos Un rectángulo formado por 9 cuadraditos
104
Actividad II: Midiendo la longitud de los lados del triángulo rectángulo En la cuadrícula siguiente pinta: Un cuadrado que contenga 9 cuadraditos Un rectángulo formado por 20 cuadraditos Un cuadrado formado por 12 cuadraditos Un rectángulo formado por 9 cuadraditos
105
Actividad realizar Tirilla Cómica
Aplican y solucionan problemas sobre relaciones métricas de triángulos rectángulos demostrando orden y perseverancia.
Instrucciones: Los estudiante ingresaran a la Web www.toondoo.com
www.ehowenespanol.com › Educación y ciencia
Se realizó una demostración sobre cómo hacer la historieta en Toondoo.
Las estudiantes empezaron a armar sus historietas a partir de los diálogos que ellas ya han preparado en una clase anterior.
Las estudiantes empezaron a armar sus historietas a partir de los diálogos que ellas ya han preparado en una clase anterior.
Presentación del informe: los estudiantes enviaron el enlace o imagen de la historieta al correo electrónico que se ha destinado para el recibo de tareas.
Materiales que utilizarón
Computadora
Proyector Multimedia
Cámara Digital
Página Web de Toondoo http://www.toondoo.com
Atreves de la actividad los estudiantes utilizaron su creatividad para crear historia
que fueron muy divertida y creativa, usando estrategias adecuadas con un lenguaje
sencillo.
Los estudiantes se sintieron motivados al crear su tirilla y poner en práctica su
creatividad y lo aprendido en clase y en otras áreas como integración curricular.
106
Criterios 4 3 2 1 0 Observaciones
1.Creatividad
2.Exposicion del problema
3. El titulo corresponde al tema.
3.Existe secuencia lógica de las ideas
4. El lenguaje es sumamente claro.
5. Es entretenida y excita el humor.
6. Utiliza operaciones básicas siguiendo orden de operaciones.
7. Respecta la originalidad de su compañero.
8. Las ilustraciones están debidamente clara.
107
ANEJO E Identificando Triángulo Rectángulo en el diario vivir
108
Actividad: II Identificando triángulo rectángulo en el diario vivir
Instrucciones: Los estudiantes realizarán un collage con las figuras encontradas en las
diferentes fuentes de información como son: periódico, revista y internet. Luego de recortadas
las figuras los estudiante trabajaran en grupo de dos para realizar la actividad. Una vez realizada
este trabajo serán expuestos en el mural del aula.
Materiales:
Tijera
Periódico, revista, internet Pega
Nombre:_________________________________ Fecha:_________ Grado:__________
109
Nombre: ____________________ Evaluación: 16 puntos Curso: Geometría Profa. Zabala
Criterios de Evaluación
I. Observar el nivel de ejecución en el uso de las destrezas adquiridas.
1. Sigue el formato establecido
2. Utiliza los materiales adecuadamente
3. Demuestra creatividad
4. Presenta un trabajo limpio y claro
5. Identifica los triángulos rectángulos en las
figuras
6. Entrega a tiempo
Puntación obtenida__________/16______________
5 4 3 2 2 0
110
ANEJO F ¿Cómo nos ayudan los Triángulos Rectángulos a visualizar el mundo?
111
Actividad: III ¿Como nos ayudan los Triángulos rectángulos a visualizar el mundo? Materiales:
centímetro
libreta de apuntes
lápiz
hilo
cartabón
calculadora
Instrucciones: Trabajo cooperativo, se formarán grupos de tres estudiantes, cada uno tendrá una función dentro de este (se dejará a discreción del grupo las responsabilidad de cada uno).Una vez determinadas las responsabilidades, los grupos se dirigirán a los predios de la escuela donde buscarán lugares donde se formen triángulos rectángulo, luego se procederá a identificar la zona o área de la escuela y se medirá el triángulo rectángulo. Luego, con los datos obtenidos el estudiante lo plasmarán en hoja de trabajo dada por la maestra. Se exhibirán el mural de la escuela.
112
Google.COM
113
Nombre: ___________________ Evaluación: 16 puntos
Curso: Geometría Profa. Zabala
Tirilla cómica Tema:_______________________________ Fecha:_______________________________ Nombre:_______________________________
1. Los parlamentos son claros, preciso y adecuado
2. Los parlamentos contienen información
Suficiente para demostrar el grado de entendimiento
de los conceptos requeridos.
3. Utiliza la terminología correctamente
4. Las tirillas creadas o adaptadas responden a las
ideas que intentan presentar
5. El trabajo final refleja organización precisión y
nitidez.
INDICADORES Si No Necesita j
114
ANEJO G Clasificación de Triángulos según sus lados y ángulos isósceles
115
Triángulo rectángulo isósceles- En geometría son aquellos triángulos que tienen un par de lados iguales. Esta clase de triángulos debido a la igualdad de dicho par de lados posee un serie de propiedades. ******Toca encima de la foto
116
Mapa de Conceptos
Completa el mapa, con los triángulos estudiados en clase según su clasificación.
FAMILIA DE LOS TRIÁNGULOS
117
Mapa de Conceptos
Completa el mapa, con los triángulos estudiados en clase según su clasificación.
FAMILIA DE LOS TRIÁNGULOS
Los triángulos según sus lados y ángulos
Equilátero
Isósceles
Escaleno
Rectángulos
Acutángulos Obtusángulo
118
ANEJO H Identifica y dibuja un Triángulo Rectángulo especiales 45-45-90 y 30-60-90
119
Actividad: Identifica y dibuja un triángulo rectángulo 45-45-90 Instrucciones: Usando el trasportador mide los ángulos para formar triángulos especiales 45-45-90.
Triángulo rectángulo isósceles: con un ángulo recto y dos agudos iguales (de 45° cada uno), dos lados son iguales y el otro diferente: los lados iguales son los catetos y el diferente es la hipotenusa. Es simétrico respecto a la altura de la hipotenusa, que pasa por el ángulo recto.
Google.com
120
Fecha______________________________________________________
Dibuja o escribe algo que relacione con la clase de hoy
¿Qué aprendiste hoy?
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
¿Cómo las actividades te ayudaron a entender los conceptos?
*****Nota reflexion I valor (5 puntos).
El estudiante tiene la oportunidad de efectuar una reflexión (por actividad) diaria, dos veces por semana, una vez por semana, quincenal, o como
lo amerite el maestro. Esta ejecutoria le da la oportunidad al estudiante de evaluar sus ideas y la de los demás compañeros.
121
ANEJO I
Propiedades de los Triángulos Especiales 45-45-90 y 30-60-90
122
Actividad: Propiedades de los triángulos especiales 45-45-90 y 30-60-90
Instrucciones: El estudiante buscará las propiedades de los triángulos especiales 45-45-90 y 30-
60-90. Luego de buscar la información el estudiante la discutirá con sus compañeros de clase y
compartirán ideas y conceptos sobre el teorema o propiedades de los Triángulos. Una vez
realizada la discusión de clases, la maestra lo guiará para identificar y nombrar triángulos que
cumplan con estas propiedades.
123
Actividad: Propiedades de los triángulos especiales 45-45-90 y 30-60-90
Objetivo: Identificar y usar las proporciones involucradas con triángulos
45-45-90
Instrucciones: El estudiante buscará las propiedades de los triángulos especiales 45-45-90 y 30-
60-90. Luego de buscar la información el estudiante la discutirá con sus compañeros de clase y
compartirán ideas y conceptos sobre el teorema o propiedades de los ángulos. Una vez realizada
la discusión de clases, la maestra lo guiará para identificar y nombrar triángulos que cumplan con
estas propiedades.
Propiedades de los triángulos especiales
los dos catetos son de la misma longitud, los ángulos interiores son de 45-45-90. En este
tipo de triángulo, la hipotenusa mide veces la longitud del cateto.
los tres lados y los tres ángulos tienen diferente medida. Un caso particular es aquél
cuyos ángulos interiores miden 30-60-90, en este tipo de triángulo, la hipotenusa mide el
doble del cateto menor, y el cateto mayor veces la longitud del cateto menor.
Identificar y nombrar triángulos rectángulos que cumplan con estas propiedades.
Triángulo rectángulo isósceles: los catetos son de la misma medida (a) y su hipotenusa
será la medida del cateto multiplicada por la raíz cuadrada de 2.
Triángulo rectángulo escaleno: En un triángulo 30 – 60 – 90, la medida de la hipotenusa
es dos veces mayor que la medida del cateto de menor longitud (a), y la longitud del
cateto mayor es la longitud del cateto menor multiplicada por la raíz cuadrada de 3.
Google.com
124
Nombra e identifica triángulo especiales 45-45-90 y 30-60-90. Escribe sus propiedades.
125
Nombra e identifica triángulo especiales 45‐45‐90 y 30‐60‐90. Escribe sus
propiedades.
Triángulo equilátero
Tres lados iguales Tres ángulos iguales, todos 60°
Triángulo isósceles
Dos lados iguales Dos ángulos iguales
Triángulo escaleno
No hay lados iguales No hay ángulos iguales
los tres lados y los tres ángulos tienen diferente medida. Un caso particular es aquél cuyos ángulos interiores miden 30-60-90, en este tipo de triángulo, la hipotenusa mide el doble del cateto menor, y el cateto mayor
veces la longitud del cateto menor.
los dos catetos son de la misma longitud, los ángulos interiores son de 45-45-90. En este tipo de triángulo, la hipotenusa mide
veces la longitud del cateto.
Son especiales cuando este es cortado por la altura formando dos triángulos congruentes de 30-60-90,
126
ANEJO J Aportaciones de Pitágoras a las Matemáticas
127
Actividad 1: Biografía Teorema de Pitágoras
Objetivo: Una vez finalizado el tema se espera que el estudiante:
Demuestre uso de la información; conceptos, teorías, en situaciones y problemas de la vida diaria.
Exploración: Los estudiantes buscarán información en fuentes bibliográficas e Internet sobre el matemático
Pitágoras y sus aportaciones a las matemáticas. Una vez realizada la investigación, se realizará
una dinámica de grupo para analizar el tema. En conjunto con la profesora aclarar información la
cual tiene que ser de fuentes confiable.
Una vez discutida la información, los estudiantes intercambiarán ideas e información se
procederá a realizar la actividad del día. Redactar un pequeño ensayo de 300 palabras. Teniendo
como guías tres pregunta dada por la maestra.
128
Nombre: ______________________________________ Valor total: 12 puntos
Curso: Trigonometría Profa. Zabala
Preguntas guía para el Ensayo‐Pitágoras
Exploración:
1. ¿Quién fue Pitágoras y cuáles fueron sus aportaciones? (Valor cuatro puntos)
2. ¿A escuchado hablar del Teorema de Pitágoras? (Valor cuatro puntos)
3. ¿Qué conocimiento tienes de las funciones trigonométricas, explica en tus
propias palabras? Menciona algunas. (Valor cuatro puntos)
129
Este formulario indica los aspectos que van a ser observados por los estudiantes para determinar su nivel de comprensión con relación a la lectura, conceptos, destrezas y actitudes en la tarea. Estudiante:________________________________________________
Criterios/estándares
Si
No
Observaciones
El estudiante establece claramente el propósito del análisis de la lectura.
El estudiante lee y resume adecuadamente la lectura
El estudiante identifica correctamente las ideas y hechos relevantes.
El estudiante establece un orden de de secuencia e ideas.
Establece un orden correcto de importancias de los hechos, por lo menos cincos de ocho hechos según expuesto por el autor.
Infiere las ideas del autor
Expone claramente su opinión sobre el tema o conceptos discutido en la lectura.
130
ANEJO K
Encontrar medidas de los lados de un Triángulo Rectángulos.
131
Nombre: ____________________ Valor: 12 puntos Curso: Geometría Profa. Zabala Actividad: II: Encontrar medidas La maestra entregará ejercicios de práctica donde aplicarán el Teorema de Pitágoras buscando
las medida de la hipotenusa y los catetos mediante áreas de cuadrados (con cuadrito de 1 cm. de
lado) formando un triángulo rectángulo que tiene el segmento AB como el lado más largo. La
coordenadas de C son (6,2). A y C tiene la misma coordenada en y.
Desarrollo
La maestra dividirá el grupo en cinco sub-grupos.
A cada sub-grupos se le dará un grupo de materiales que incluye papel, de construcción, Regla,
tijeras y una fotocopia con seis ejercicios impresos a cerca del Teorema de Pitágoras. Cada uno
de los estudiantes del grupo seleccionará un ejercicio del material impreso, lo resolverá y
construirá un triangulo rectángulo con las medidas que serán las repuestas del ejercicio. Cuando
todos los estudiantes hayan determinado, la maestra seleccionará al menos tres estudiantes para
que presente su triángulo al frente del grupo y para que expliquen en sus propias palabras lo que
es el Teorema de Pitágoras.
132
http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=HPjn-TLBlWM http://www.youtube.com/watch?v=QtcRqZTUPAQ&feature=player_embedded#t=0s
133
Resultado Clave
1) a2 + b2 = c2 4) √25 5
52 + 122 = c2
25 + 144 = 169 5)√225 15
c2 = 169
c = √169
c = 13
2) a2 + b2 = c2 6) √14 3.7
92 + b2 = 152
81 + b2 = 225
Resta 81 a ambos lados
b2 = 144
b = √144
b = 12
3)
a2 + (6)2 = (7)2
a2 + 36 = 49
a2 = 49-36
a2 = 13 √13 3.6 Google.com
134
Nombre: ____________________ Evaluación: 16 puntos
Curso: Geometría Profa. Zabala
Criterios de Evaluación
Observar el nivel de ejecución en el uso de las destrezas adquiridas.
1.Sigue el formato establecido
2.Utiliza los materiales adecuadamente
3.Demuestra creatividad
4.Presenta un trabajo limpio y claro
5.Utiliza medidas reales(cm, pulgadas)
6.Entrega a tiempo
Puntación obtenida__________/16______________
5 4 3 2 2 0
135
ANEJO L
Comprueba lo que aprendiste de la ternas Pitagórica de un Triángulo Rectángulo
Google.com
136
Actividad: Comprueba lo que aprendiste
Ternas pitagóricas Son simplemente números enteros que cumplen la regla:
a2 + b2 = c2
OBJETIVO: Conocer un método para la obtención de ternas pitagóricas
Instrucciones: Después de discutido el tema con la maestra en el salón de clase y haber
realizado ejercicios aplicando el reciproco del teorema de Pitágoras (terna pitagóricas). El
estudiante demostrará si las medidas de triángulo rectángulo cumplen con el teorema.
1. Llena la siguiente tabla, encuentra las medidas correspondiente y expresa si es una tripla
pitagórica , Si o No explica porque.
a
b
c
3
5
12
13
8
15
14
20
20
29
137
Actividad: Comprueba lo que aprendiste
Ternas pitagóricas Son simplemente números enteros que cumplen la regla:
a2 + b2 = c2
OBJETIVO: Conocer un método para la obtención de ternas pitagóricas
Instrucciones: Después de discutido el tema con la maestra en el salón de clase y haber
realizado ejercicios aplicando el recíproco del Teorema de Pitágoras (terna pitagóricas). El
estudiante demostrará si las medidas de triángulo rectángulo cumplen con el teorema.
2. Llena la siguiente tabla, encuentra las medidas correspondiente y expresa si es una tripla
pitagórica , Si o No explica porque.
Demostración: Primer ejercicio Método Polya Comprender el problema - La medida del cateto a = 3; la medida de la hipotenusa = 5 Configurar un plan - Para resolver el problema se debe encontrar el otro lado de triángulo rectángulo, encontrar el valor lado b. Ejecutar el plan- encontrar 32 + b2 = 52 9 + b2 = 25 b2 = 25-9 b2 = 16 b2 √16 4 Mirando hacia atrás - la medida de cateto o lado b es de 4 por lo que sí es una terna pitagóricas, porque la suma del cuadrado mayor es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos. 25 =25
a
b
c
3
4
5
5
12
13
8
15
17
14
15
20
20
21
29
138
Nombre: ____________________ Valor: 20 puntos
Curso: Geometría Profa. Zabala
Instrucciones: Encuentra los valores de los siguientes triángulos, teniendo como base la
tripla pitagórica.
3. Explica: por qué una tripla pitagórica puede representar la medida de los lados
de un triangulo rectángulo.
?
6
15
8
?
9 20
16
12
139
clave Nombre: ____________________ Valor: 20 puntos
Curso: Geometría Profa. Zabala
Instrucciones: Encuentra los valores de los siguientes triángulos, teniendo como base la
tripa pitagórica.
Contestaciones.
1. 25= 25
2. 100 =100
3. 400 = 400
4. 225 = 225
Si son triángulo rectángulo y los tres números forman tripla pitagóricas.
¿Por qué forman un grupo de números enteros que satisfacen la ecuación?
Dónde C es el número mayor.
140
Fecha______________________________________________________
Dibuja o escribe algo que relacione con la clase de hoy
¿Qué aprendiste hoy?
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
¿Cómo las actividades te ayudarón a entender los conceptos?
*****Nota reflexión I valor (5 puntos).
El estudiante tiene la oportunidad de efectuar una reflexión (por actividad) diaria, dos veces por semana, una vez por semana, quincenal, o como
lo amerite el maestro. Esta ejecutoria le da la oportunidad al estudiante de evaluar sus ideas y la de los demas compañeros.
141
ANEJO M Utilizando teorema de Pitágoras con objeto de dos y tres dimensiones
142
Actividad: Utilizando teorema de Pitágoras con objeto de tres dimensiones Materiales:
plantilla regla tijeras pegamento papel, cartulina o cartón
Instrucciones: Los estudiantes aplicarán el teorema de Pitágoras en objeto de dos y tres dimensiones con el objetivo de que ellos mismo interpreten el enunciado, realizando planteamiento e interpreten el problema. El estudiante formará la figura de tres dimensiones (cono), luego medirá la base y la altura, una vez tenga los datos procederá a buscar la diagonal, aplicando Teorema de Pitágoras. Un cono es una figura geométrica que surge como resultado del giro de un triángulo rectángulo
alrededor de uno de sus catetos. El círculo formado por el otro cateto es lo que se llama la base del cono y el extremo superior vértice.
Copia esta plantilla del cono en un papel,
cartulina o cartón
Recorta la plantilla del cono con unas tijeras
Dobla por todas las líneas de la plantilla. Intenta
montar el cono antes de ponerle pegamento para
tener claro dónde va cada pestaña.
Pon pegamento a la pestaña más larga para
formar un cucurucho.
Ya tienes el cucurucho hecho. Ahora pon
pegamento en las pestañas pequeñas (triángulos)
y pega la base del cono. Para que sea más fácil
gíralo para hacer peso sobre las pestañas.
Ya tienes tu cono hecho!
143
144
Fecha______________________________________________________
Dibuja o escribe algo que relacione con la clase de hoy
¿Qué aprendiste hoy?
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
¿Cómo las actividades te ayudarón a entender los conceptos?
*****Nota reflexión I valor (5 puntos).
El estudiante tiene la oportunidad de efectuar una reflexión( por actividad) diaria, dos veces por semana, una vez por semana, quincenal, o como
lo amerite el maestro. Esta ejecutoria le da la oportunidad al estudiante de evaluar sus ideas y la de los demas compañeros.
145
ANEJO N Solución de problemas con Teorema de Pitágoras
146
Actividad: Solución de problemas con Teorema de Pitágoras
Estos ejercicios se clasifica dentro de la solución de problemas. El estudiante tuvo que
establecer una estrategia para resolver el problema, la solución no es inmediata, utilizó la
geometría y el álgebra para llegar a la solución.
1. El abuelo Federico desea cercar un terreno triangular cuyas medidas se muestran en la
figura. ¿Qué longitud tiene el tercer lado y se fuera a cercar? ¿Cuánto dinero necesitaría si el
metro cuesta $3.95?
Los estudiantes aplicaban el método de los 4 pasos de Polya, la profesora pasará por los
estudiantes para orientar, guiándolos, formulándoles preguntas para confrontar sus
conocimientos previos como:
P: ¿Qué datos se conocen en el problema? E. Las medidas de los lados del triangulo rectángulo de un cateto y la hipotenusa según la observación. P: ¿Qué datos preguntan en el problema? E. La longitud del otro cateto P: ¿Qué figura geométrica se genera con los datos del problema? E. Un triángulo rectángulo. P: ¿Qué es un triángulo rectángulo? E: Es el triángulo que tiene un ángulo recto (90º). P: ¿Qué es una hipotenusa? E. es el lado de mayor longitud de un triángulo rectángulo. P. ¿Cómo se llaman los lados que forman el ángulo recto en un triángulo rectángulo?
E: Estos lados se llaman catetos.
P: ¿Cómo se llama el lado opuesto al ángulo recto?
E: Este lado se llama hipotenusa.
8 metros
12 metros
147
P: ¿Qué relación existe entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo?
E: El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
solución del problema
1.COMPRENDER EL PROBLEMA: 1) La medidas del Cateto = 8 2) Hipotenusa =12
¿Qué longitud tiene el tercer lado y se fuera a cercar ¿cuánto dinero necesitaría si el metro
cuesta $3.95?
2. CONFIGURAR UN PLAN:
Para resolver el problema debemos hallar el valor del otro cateto, medida del lado que falta de
este triángulo, con este valor se puede hallar el valor el área y la cantidad de material que falta
llamaremos BA.
Considere los triángulos rectángulos CBA
Teorema de Pitágoras
3. EJECUTAR EL PLAN:
Sustituyendo en la fórmula tenemos:
a= 8, c= 12; (8)2 + b2 = (12)2
64 + b2 = 144 se resta y queda
b2 = 144- 64 = 80
BC √80 8.9 la medida del otro cateto es de 8.9 metros 4. MIRANDO HACIA ATRÁS:
Verificando las respuestas: la medida del otro cateto es de 8.9 metros 64 +80 = 144 144 = 144 Por lo que el teorema de Pitágoras si se aplica a este caso, por lo que se puede concluir que el abuelo Federico necesita : perímetro es 8 +8.9+12 = 28.9 metros de cerca y el área es
∗ 8.9 8 71.2 35.6 unidades cuadradas.
148
Menciona e identifica en el triangulo rectángulo sus partes y cuál es la fórmula para
la resoluciones de problemas ʺteorema de Pitágorasʺ. Explica como este te ayuda en
tu diario vivir.
149
ANEJO Ñ Ejercicios aplicando los pasos Polya como Estrategia de Enseñanza y Aprendizaje.
150
Actividad III: Realizar los ejercicios del libro aplicando los pasos Polya como estrategia de enseñanza y aprendizaje. Objetivo: Aplicar los conceptos adquirido en clase, como parte del desarrollo cognitivo del estudiante.
151
152
ANEJO O Teorema de Pitágoras -solución de problema aplicando Método Polya
El velero
153
154
155
Las preguntas metacognitivas estimulan al estudiante a reflexionar acerca de sus propios
pensamientos y acciones.
Preguntas
1. ¿Qué pasos o medios utilizaste para resolver el problemas?
2. ¿Qué objetivo te has establecidos en _________________?
3. ¿En que áreas tiene mayor fortaleza?
4. ¿Qué reacciones recibiste de parte de otros compañeros respecto a este trabajo?
5. Los pasos del Método Polya te han ayudado a resolver los problemas con mayor
facilidad?
6. ¿Qué puedes identificar como fortaleza en este problema?
7. ¿Qué parte del proceso ha estado haciendo bien hasta la fecha? ¿En cuáles debe mejorar?
8. ¿En cuál de los pasos del Método Polya, solución de problemas) te sientes más confiado?
¿Por qué?
9. Describe lo que ha aprendido en esta actividad y lo aprendido en otras materias de
estudio o situaciones de la vida diaria.
156
Nombre: ____________________ Evaluación: 10 puntos
Curso: Geometría Profa. Zabala
Criterios de Evaluación
Observar el nivel de ejecución en el uso de las destrezas adquiridas.
1. Sigue el formato establecido
2. Establece sus objetivos
3. Utiliza Método Polya adecuadamente
4. identifica su fortaleza y limitaciones
5. Demuestra creatividad
6. Describe lo aprendido
7. Ayuda a su compañero
8. Presenta un trabajo limpio y claro
Puntuación______________/10
4 3 2 1 0
157
ANEJO P Utilizando fórmula de Distancia
158
Actividad: Encontrar distancia entre dos puntos utilizando fórmula distancia
a
b
c
a= 5 b=12
(5)2 + (12)2 = c2 25 + 144 = c2
La distancia desde A hasta B es 13
La distancia a(1,2) b(6,14) c =(6,2)
d=
d =
d=
159
Criterios 4 3 2 1 0 Observaciones
1.Creatividad
2.Exposición del problema
3. El título corresponde al tema.
3.Existe secuencia lógica de las ideas
4. El lenguaje es sumamente claro.
5. Es entretenida y excita el humor.
6. Utiliza operaciones básicas siguiendo orden de operaciones. Fórmula de distancia
7. Respecta la originalidad de su compañero.
8. Las ilustraciones están debidamente clara.
160
ANEJO Q Video
Encontrando medidas en coordenadas e identificando los ejes x y y, con fórmula de distancia.
161
Actividad: Encontrando medidas en coordenadas e identificando los ejes x y y, con fórmula de distancia.
162
En el video sobre distancia aprendí................
163
ANEJO R Actividad: Paseo por el campo
164
Actividad: Paseo por el campo
En un paseo de campo Enrique y sus amigos ubicaron el campamento en las coordenadas (2, 5)
después de alejarse decidieron ir en busca de madera y hoja secas para una fogata, Enrique y otro
compañero emprendieron el camino hacia el noreste hasta la coordenadas (7, 9) como no
encontraron lo que se necesitaba, se dirigieron hacia el noroeste y buscaran en el sector de
coordenadas (0,11) recogieron algo pero, continuaron su camino hacia el noroeste hasta llegar al
punto (-3, 12). Los jóvenes se sintieron perdidos y se dirigieron hacia el sur (-5, 2).
Encuentra la distancia en la que encontraba Enrique y sus amigos desde el último punto de
coordenada (-5, 2) hasta el campamento ( 2, 5).
1. A (2, 5); B(7, 9) ; C ( 0, 11)
2. C ( 0, 11); D (-3, 12) E (-3, 11) ; F ( -5, 2)
165
166
Solución del problema d=
7 3 d =√49 9 d= √58 7.6 La distancia desde el punto (-5, 2) al ( 2, 5) es de aproximadamente 7.5
Mirando hacia atrás - La distancia desde el punto (-5, 2) al ( 2, 5) es de aproximadamente 7.5
167
Criterios 4 3 2 1 0 Observaciones
1.Creatividad
2.Exposición del problema
3. El título corresponde al tema.
3.Existe secuencia lógica de las ideas
4. El lenguaje es sumamente claro.
5. Es entretenida y excita el humor.
6. Utiliza fórmula de distancia, y sigue los pasos del Método Polya como estrategias para solucionar el problema.
7. Respecta la originalidad de su compañero.
8. Las ilustraciones están debidamente clara.
168
ANEJO P Propiedades de los Triángulos Especiales 45-45-90 y 30-60-90
169
Actividad: Propiedades de los triángulos especiales 45-45-90 y 30-60-90
Instrucciones: El estudiante aplicará las propiedades de los triángulos especiales 45-45-90 y 30-
60-90 en situaciones del diario vivir. Usará los cuatros pasos del Método Polya. La maestra lo
guiará y observará el proceso.
Problema: El diamante de beisbol es un cuadrado cuyos lados tiene 90 pies de largo. Para
encontrar la distancia desde el plato hasta la segunda base, utilice la propiedad en un triángulo
45-45-90.
170
Mirando hacia atrás
Verificando respuesta
La distancia del plato a la segunda base es de 127 pies
d=90√2 127piesporloquelapropiedaddeuntriángulo
45 45 90, lalongituddelahipotenusaesiguala√2veceslalongituddeuncateto.
171
172
ANEJO S Historia Funciones Trigonométricas
173
Una vez finalizado el tema se espera que el estudiante:
1. Demuestre uso de la información y conceptos, en situaciones aplicado al diario vivir.
Propósito:
Explorar el conocimiento que los estudiantes puedan poseer sobre el tema discutido en clase.
Exploración:
Los estudiantes buscarán información en fuentes bibliográficas e Internet sobre la historia de la
trigonometría y como es aplicada al diario vivir. Una vez realizada la investigación, se realizará
una Dinámica de grupo para analizar el tema. En conjunto con la profesora aclarar información
la cual tiene que ser de fuentes confiable. Luego los estudiantes señalarán no menos de cinco
aspectos de cómo podemos usar las funciones trigonométricas aplicándola en otras ciencias. Una
vez discutida la información, los estudiantes intercambiarán ideas e información se procederá a
realizar la actividad del día. Escribir una composición utilizando palabras claves de la lista donde
expliquen los conceptos con las ideas de la lista o relaciones entre las palabras clave.
174
Nombre del estudiante: __________________________ Fecha: _________________ Curso: __________________ Prepara una lista focalizada sobre 10 de los componentes que se relacionan con funciones trigonométricas.
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
175
Criterio Si No
1. Describe adecuadamente el concepto.
2. Los atributos corresponden al concepto.
3. Recordó las características del concepto que serán comparados.
4. Intercambian información de lo investigado.
5.Mencionan la relaciones con otra ciencia o materia
176
ANEJO U
Identificar Razones Trigonométricas en el Triángulo Rectángulo
177
Actividad: Identificar razones trigonométricas en el triángulo rectángulo
Objetivo:
Una vez finalizado la lección se espera que el estudiante:
1. Identifique funciones trigonométricas en triangulo rectángulo.
Conceptualización:
Grupo cooperativo: Grupos de dos estudiantes.
Los estudiantes identificarán las seis funciones trigonométricas en un triángulo rectángulo.
Luego de realizado los ejercicios los estudiantes intercambiaran respuesta y procesos. Al final
cada líder del grupo explicara al frente como encontraron y aplicaron una de las seis razones
trigonométricas (Uso pizarra).
178
Nombre: ____________________
Curso: Geometría Profa. Zabala
Instrucciones: Identifique, mencione y calcule las seis funciones trigonométricas del
triángulo rectángulo.
179
Clave
Nombre: ____________________ Valor: 12 puntos
Curso: Matemáticas introductoria Profa. Zabala
Instrucciones: Menciones las seis funciones trigonométricas del triángulo rectángulo.
(Valor dos puntos cada uno).
180
Esta técnica es una de la más antigua, se utiliza para obtener de los alumnos información sobre
conceptos, procedimientos, habilidades cognitivas, sentimientos, experiencias y de la memoria a
corto o a largo plazo. Además, dependiendo del diseño, permite evaluar el nivel de
procesamiento de la información que el alumno utiliza sobre el contenido.
Preguntas:
1. ¿Cuál es la primera función trigonométrica? ¿Cuál es su reciproco?
2. ¿Cuál es la segunda función trigonométrica? ¿Cuál es su reciproco?
3. ¿Cuál es la tercera función trigonométrica? ¿Cuál es su reciproco ?
4. ¿En qué se relaciona con el teorema de Pitágoras?
5. ¿Podemos buscar distancia utilizando las funciones trigonométricas?
181
Menciona e identifica las seis funciones trigonométricas en un triangulo rectángulo
182
Actividad : Identificando razones Trigonométrica usando la herramienta de la calculadora.
Objetivo:
Identifican y analizan las funciones trigonométricas en el calculadora Aplican los valores para encontrar el ángulos.
Instrucciones: Con el uso de la calculadora científica los estudiantes identificarán y buscarán el
valor de las seis funciones trigonométricas del triángulo rectángulo. (Cada estudiante tendrá una
calculadora).
Nota: La maestra usara el proyector (lámina) para que el estudiante observe y pueda identificar las
razones en la máquina. Algunos pueden tener diferentes modelos en lo cual la maestra estará atenta
a esta eventualidad.
Luego de identificada las razones trigonométricas en la calculadoras por los
estudiante, estos procederán a encontrar los valores llenando la siguiente tabla.
Instrucciones: Busca los valores de las siguientes razones trigonométrica y llena la tabla.
Razones
trigonométricas
Valor
183
Lista de cotejo: Actividad #3
Nombres: ____________________________ Fecha: ____________ Maestra: Noemí Zabala Durán
*Criterios de evaluación Sí cumplió No cumplió 1. Los estudiantes trabajaron en armonía. 2. Compartieron ideas. 3. Usaron calculadora 4.Identificaron y encontraron las razones trigonométrica correctamente
5. Buscaron el reciproco de las razones trigonométricas. 6. Llenaron la tabla correctamente con el valor de cada una de las razones.
7. Participaron de la discusión. 8.Justificaron sus respuestas *Cada criterio de evaluación tiene un valor de dos puntos. Si el estudiante no cumple con algún
criterio no obtiene ningún punto.
184
ANEJO V
Solución de problemas
185
Actividad: Solución de problemas
Encontrar razones trigonométricas en problemas verbales.
Instrucciones: Resolver el siguiente ejercicio buscando y aplicando las razones trigonométricas.
Usa la calculadora para encontrar el valor.
Problema:
1) Se ha montado una escalera en un camión de bombero, que está a seis (6) pies del nivel del suelo. Si la máxima longitud de la escalera es de 120 pies, y el ángulo máximo que puede formarse es de 75 grados, ¿a qué altura puede llegar totalmente desplegada? Solución:
SOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE LOS CUATRO PASOS:
Comprender el problema:
¿Qué se conoce del problema? la máxima longitud de la escalera es de 120 pies ángulo máximo que puede formarse es de 75 grados ¿Qué se pide? a qué altura puede llegar totalmente desplegada
Configurar el plan:
Se deben aplicar: Las funciones trigonométricas. Ejecutar el plan: Sea:
longitud de la escalera
la altura total a la que llega la escalera
Lo que se debe hacer es encontrar qué función trigonométrica, es la que pide o aplica en el
problema, una vez identificada la razón trigonométrica se procede a utilizando la definición
de la función seno para el ángulo de 75º.
Aplicando la definición de tangente de 75º:
seno
120 seno 75° . 9659 120
Luego, 120 seno 75° . 9659
75º
Se despeja para ambos lado de la ecuación
6 pies
186
115.9, , 115 = se le suman los 6 pies = la escalera
puede llegar a una altura aproximadamente de 122 pies2 por encima del nivel del suelo.
Mirando hacia atrás:
Hallamos el valor de la función trigonométrica seno, para esto hallamos el valor del lado
aplicando la función trigonométrica seno de 75º, verificando así que da el mismo resultado
120 seno . 9659 115.9
187
Instrucciones: En el siguiente organizador gráfico escribe concepto sobre el estudio de las razones trigonométricas en resolución de problemas.
Pasos para resolver problemas con funciones trigonométricas
188
ACTIVIDAD PROPUESTA PARA REALIZAR EN GRUPOS DE TRABAJO:
Alrededor de la escuela se observan diferentes objetos entre estos hay naturales y físico. Como
son: arboles, poste de tendido eléctrico, mástil de la bandera entre otros. El siguiente problema
dice así, el árbol proyecta una sombra de 20 metros formando un ángulo de 40 grados. ¿Cuál será
la altura del árbol?
189
Actividad V: Aplicando funciones trigonométricas a nuestro diario vivir.
Objetivos:
1. El estudiante aplicará una de las funciones trigonométricas como parte de su aprendizaje de
los conceptos estudiados en clase.
2. Resolver problemas (situaciones)
Materiales:
1. Papel, lapíz
2. Cinta métricas
3. Calculadora
4. hoja para apuntar
Grupo cooperativo- tres estudiantes.
Planificación: ECA.
Descripción:
Esta actividad se realizará como parte de la aplicación de las funciones trigonométricas en el
diario vivir. Los alumnos desarrollarán aprendizaje significativo donde ellos adquieran
conocimientos nuevos a lo ya previos, ampliando su razonamiento y destrezas.
Desarrollo:
Se formarán grupos de tres estudiantes, los cuales estarán formados por un anotador,
observador, medidor, (todos los estudiante del grupo compartirán ideas en su proceso).
Actividad realizada fuera del salón de clase.
Procedimiento:
Cada grupos de estudiantes buscará en el escuela un lugar donde se forman triángulo
rectángulo, escogerán el área de estos y procederán a realizar el proceso. Ellos tiene que anotar el
lugar o punto donde se localizaron en el recinto, luego medirán estos, una vez realizada las
calculaciones procederán a ponerlo por escrito dibujarán la figura con sus respectiva medidas,
identificarán la función trigonométrica y calcular para encontrar el ángulo que se forma.
190
Nombres: ________________________________ Fecha: _____________
Grupo# ______________________
Tema: ____________________________________
Prts y respuPNNNNpP
Evaluación Observaciones
Criterios
5Excelente
4Promedio
3aceptable
2Deficiente
1No
aceptable1.Trabajan en equipo y se divierten.
cumple
2.Siguen las intrucciones de la profesora.
3.Utilizan adecuadamente los instrumento de medición.
4.Identifican la función trigonométrica dada en la situación o problema.
5. Calculan la función trigonométrica y encuentran angulo.
6. Hace buen uso de la calculadora.
7.Procesos completos
8. Respuestas con dos errores
9.Entrega a tiempo (dentro del tiempo dado en clase).
ee
Puntuacion obtenida:15/________
191
Nombres: __________________________ Fecha:____________ Maestra: Noemí Zabala
192
Criterios 4 3 2 1 0 Observaciones
1.Creatividad
2.Exposición del problema
3. El título corresponde al tema.
3.Existe secuencia lógica de las ideas
4. El lenguaje es sumamente claro.
5. Es entretenida y excita el humor.
6. Utiliza operaciones básicas siguiendo orden de operaciones.
7. Respecta la originalidad de su compañero.
8. Las ilustraciones están debidamente clara.
193
Departamento de Educación Programa de Matemáticas
Nombre: ____________________ Valor: 55 puntos Curso: Geometría Profa. Zabala
Examen I I . Escoge la mejor contestación, Tienes que realizar procedimiento para llegar a tu respuestas. (Valor dos un punto cada uno). 1) Los catetos de un triángulo rectángulo miden 3 y 4. ¿Cuánto mide la hipotenusa?
a) 30 b) 10 c) 5 d) 14 e) 4
b) La fórmula para resolver el Teorema de Pitágoras es:
a) A= bxh b) L2
c) A= bxh/2 d) C2=a2 +b2
c) ¿Cómo se llama el lado más largo del triángulo rectángulo?
a) cateto
b) área
c) hipotenusa
d) perímetro
d) Encuentra el valor de los siguientes triángulos rectángulos.
a) Catetos 5 y 8 cm
b) Catetos 10cm, hipotenusa13cm II. Determina si un triángulo rectángulo cuyos lados mide 74, 91 y 52 es rectángulo. O
sea, ¿Forman esos tres números una tripla pitagórica? (Valor tres puntos)
194
III.. Utiliza la calculadora para encuentra el valor de cada razón. (Valor tres puntos cada uno).
a) Sen 7° b) Cos 24° c) Tan 54°
1. ¿Qué razón trigonométrica representa 20/29 con respecto al ángulo Q? (Valor tres puntos)
III. Halla el valor usando una calculadora. (Valor dos puntos cada uno).
a) Cos 41 ° b) Tan 3/4 c) sen A = 0.1564 d) tan A = 2.9042
IV. Llena la siguiente tabla representando la medida del ángulo (Valor cuatro puntos cada uno).
Razón trigonométrica Abreviatura Definición Seno de A Coseno de A Tangente de A
V. Aplica las funciones trigonométricas para buscar el resultado de los siguientes problemas verbales. (Valor siete puntos).
1) Una persona observa el estallido de un cohete con un ángulo de elevación de 20°. 4 segundos después escucho el sonido estando a 20m de distancia. ¿A qué altura exploto el cohete?
29 20
21
Q
P R
195
2) Un hombre deja su carro fuera de un edificio, sube al último piso del edificio que mide 15m de alto y ve su auto con una inclinación de 50° ¿A cuántos metros dejó su automóvil del edificio, y a qué distancia se ve desde el edificio?
3) Un avión esta a millas por encima del nivel del mar, cuando comienza a elevarse en un ángulo constante de 70 millas, medidas sobre la superficie. ¿Qué tan lejos estará el avión del nivel del mar al llegar al punto de las 70 millas?
V. Nombra tres razones trigonométricas comunes y describe cada una. ¿Cuál es el significado de cada razón? ¿Te parece útil un diagrama cuando resuelves un problema en el que intervienen razones trigonométricas? (Valor cinco puntos)
Bono: ¿Cuáles son las razones trigonométricas recíproca? (Valor tres puntos)
196
Clave examen Examen Escoge
1. 5( C) 2. d 3. C 4. A)9.43=C , B)16.40 5. 8180 =8281, no es un tripla pitagórica.
II. a).1218 b).9135 c) 1.376 1. coseno del ángulo III. a).7547 b) 41 grado c) 15 grado d) 2.9 grado Tabla Sen Opuesto/ hipotenusa 1. Cos Adyacente/hipotenusa
2. Tan Opuesto /adyacente
V. Problema verbales 1 Respuestas Tan 20 grado =7.27m 2) 12.58 Tan 40 grado 3) Sen 70 65.77m
197
ANEJO W Pres y Pos prueba
198
Departamento de Educación Programa de Matemáticas
Pre y pos Prueba
Nombre:_____________________________ Fecha:____________ Instrucciones: Seleccione la mejor alternativa para la premisa presentada. Escriba su respuesta en la Hoja de Contestaciones provista. (Cada alternativa tendrá una puntuación de un punto cada una) Tema: Teorema de Pitágoras y su recíproco
1. La medida del lado a es _____ metros.
A. 23 B. 7 C.17 D.15 E. 8m 15m
Se conoce que las medidas de un triángulo rectángulo son: 5cm, 13cm y 12cm. Se puede concluir que: 2. Los catetos corresponden a las medidas:
A. 5cm y 13cm B. 12cm y 13cm C. 25cm y 144cm D.169cm, 25cm E. 5cm y 12cm
3. A la hipotenusa corresponde la medida: A. 25cm B. 12cm C. 13cm D. 5cm E. 169cm
En el triángulo rectángulo a la derecha las medidas de los Z lados son: 28pulgadas, 35pulgadas y 21pulgadas. Entonces: D
4. El ángulo ______ mide 90°. A. N B. D C. Z D. No se puede determinar N
5. El lado ZD es la hipotenusa. A. Cierto B. Falso
Sub-Tema: Distancia entre dos puntos en el plano de las coordenadas rectangulares. 6. La coordenada correspondiente a la abscisa en el punto que corresponde al Tesoro es 9.
1) A. Cierto B. Falso 7. La distancia entre la Casa y el Tesoro es:
A.18 B.8 C. 23 D. 55 E. 105
199
8. La ordenada del punto C es A. 7.5 9. La distancia AB es B. 8.6 10. La distancia BD es C. -3.5 D. 30√2 E. 5√5
Tema: Triángulo rectángulos Sub-tema: Propiedades de los triángulos 30°- 60°- 90° y 45°- 45°- 90° Al simplificar las siguientes expresiones, se obtiene: 11. 12. A.4B.43C.123D.123E.36A.5B.10C.4D.10E.102
9 √3
Determine el valor de x:
x = ____
13. x = ____ 14. x = ____ A.7 B. 49 C. 98 D.72 E. 27 A. 5 B. 25 C. 52 D. 52 E. 252
2 15. y = ____ 16. x = ______
200
A. 8 B. 83 C. 4 D. 162 E.82
Sub-tema: Razones trigonométricas seno, coseno y tangente Dado el ABC, determine la expresión para el: 17. seno A 18. coseno A 19. tangente A
A. 4 B. 3 C. 5 D. 3 E. 4 3 4 3 5 5
20. Si nos encontramos a 20 metros de la base de un árbol y vemos el final de la copa con un ángulo de 35º, calcular la altura del árbol.
La altura del árbol es ______ metros.
A. 14 B. 11.4 C. 20 D. 10 E. 28.72
Problema: Resuelve el siguiente problema utilizando el M étodo Polya En la playa del barrio Bajo de Patillas, Puerto Rico todos los años se realiza una actividad
"Regata de velero". Esta se realiza con un fin deportivo donde participan aficionado a los
veleros, esto se realiza como una competencia los cuales son premiados en diferentes categorías.
Al observar las velas forman triángulos rectángulos el cual tiene unas medidas de longitud de 15
metros y una base de 7 metros. ¿Cuál es la altura del mástil del velero?
201
CLAVE RESPUESTA DE LA PRE- PUEBA
1. C 2. E 3. C 4. A 5. A 6. B 7. D 8. C 9. E 10. B 11. B 12. D 13. D 14. C 15. B 16. A 17. E 18. D 19. A 20. B
202
RÚBRICA PARA EVALUAR LA PRE Y POS PRUEBA
La siguiente rúbrica medirá el conocimiento que tienen los estudiantes sobre los temas a discutir en las próximas cuatro semanas de clases, orientando al maestro de cuales conceptos el estudiante domina o No. Se marcara con una marca de cotejo (√) al lado de cada premisa. Al finalizar se le suministrar nuevamente para observar el nivel de destreza, cognitiva, afectiva y psicomotor del estudiante.
Premisas
Domino No
domino
1. Se conoce que las medidas de un triángulo rectángulo.
2. Identifica la hipotenusa y los catetos en un triángulo rectángulo.
3. Aplica el Teorema de Pitágoras para llegar a la conclusión.
4. Identifica las coordenadas X y Y plano cartesiano.
5. Aplica fórmula de distancia para llegar a conclusión.
6.Reconoce e identifica la abscisa y ordenada en los ejes X y Y
7. Resuelve problemas de triángulos rectángulos especiales 45-45-9- y 30-60-90.
8. Aplica las propiedades de los triángulos especiales 45-45-90 y 30-60-90.
9. Reconoce las razones trigonométricas triángulo rectángulo
10. Nombra la razones trigonométricas triángulo rectángulo
11.Soluciona problemas utilizando el valor de las razones trigonométricas
12.Soluciona problema de la vida diaria utilizando los pasos del Método Polya.
203
204
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www.ehowenespanol.com › Educación y ciencia
205
Blog Triángulo rectángulos
www.educa2.madrid.org/.../webquest/educacion-secun... www.aula21.net/tallerwq https://sites.google.com/site/...
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