Diseño de Sistemas de Control por Computado

Gijn - Octubre 2007 1

DISEO DE SISTEMAS DE CONTROL POR COMPUTADOR

Descripcin Interna de los Sistemas

Variables de estado:Conjunto mnimo de variables del sistema, tal que,

conocido su valor en un instante dado, permiten conocer la respuesta del sistema ante cualquier seal de entrada o perturbacin.

Variables de Estadox1, x2, ..., xn

Sistema

. . .Variables de

Salida

Variables deEntrada

(y perturbaciones)

u1u2

ur. . .

y1y2

ym

Sistemas continuos:ur(t) xn(t) ym(t)

Sistemas discretos:ur(k) xn(k) ym(k)ur(kT) xn(kT) ym(kT)T: tiempo de muestreo



Descripcin de Estado Estado de un sistema dinmico:

El estado de un sistema dinmico es el conjunto mnimo de informacin tal que su conocimiento en t=t0 conjuntamente con la entrada para tt0, determinan totalmente el comportamiento del sistema para tt0.

Variables de estado:Las variables de estado de un sistema dinmico son el conjunto mnimo de variables que determinan el estado del sistema dinmico: x1(t), ... , xn(t)

Vector de estado:Es aquel que tiene por componentes las n variables de estado de un sistema dado: x(t)

Espacio de estado:El espacio de estado es n-dimensional y sus ejes de coordenadas sern x1, x2, ... , xn. Cualquier estado del sistema es un punto en el espacio de estado.



Representacin de Sistemas Continuos Lineales e Invariantes

=

)t(x)t(x

...)t(x)t(x

)t(

n

1n

2

1

x

[ ])t(y)t(y...)t(y)t(y)t( m1m21 =y

=

)t(u)t(u

...)t(u)t(u

)t(

r

1r

2

1

usalidadeEcuacin)t()t()t(estadodeEcuacin)t()t()t(

uDxCyuBxAx

+=+=

r)mdimensinnula,ser(sueledirectantransmisideMatrizn)m(dimensinsalidadeMatrizr)n(dimensinentradadeMatrizn)n(dimensinestadodeMatriz

r)dimensindecolumna(vectorentradadeVector)t(m)dimensindefila(vectorsalidadeVector)t(

n)dimensindecolumna(vectorestadodeVector)t(

DCBAuyx



Representacin de Sistemas Discretos Lineales e Invariantes

r)mdimensinnula,ser(sueledirectantransmisideMatrizn)m(dimensinsalidadeMatrizr)n(dimensinentradadeMatrizn)n(dimensinestadodeMatriz

r)dimensindecolumna(vectorentradadeVector)k(m)dimensindefila(vectorsalidadeVector)k(

n)dimensindecolumna(vectorestadodeVector)k(

DCBAuyx

salidadeEcuacin)k()k()k(estadodeEcuacin)k()k()1k(

uDxCyuBxAx

+=+=+

=

)k(x)k(x

...)k(x)k(x

)k(

n

1n

2

1

x

[ ])k(y)k(y...)k(y)k(y)k( m1m21 =y

=

)k(u)k(u

...)k(u)k(u

)k(

r

1r

2

1

u



Representacin Grfica en Diagrama de Bloques

B C

D

A

++

++u(t) x(t) y(t)x(t)

B C

D

A

++

++u(k) x(k) y(t)x(k+1)

1z

Sistemas continuos

Sistemas discretos


Seleccin de las variables de Estado Variables de fase:

No tienen sentido fsico y, por lo tanto, no son medibles. Se obtienen cuando se pasa de la descripcin en forma de funcin de transferencia a la descripcin en ecuaciones de estado.

Variables fsicas:Tienen sentido fsico y, en general, son fcilmente medibles. Se obtienen al pasar de la descripcin del sistema en ecuaciones diferenciales a la descripcin en ecuaciones de estado, seleccionando como variables de estado, variables fsicas del sistema.

Variables cannicas de Jordan:No tienen sentido fsico y, por lo tanto, no son medibles. Presentan la ventaja de que la matriz A es diagonal.



Solucin de las ecuaciones de estado (continuos)

+=

+=+=

d)()t()0()t()t(:bieno

d)()0()t()t()t()t(

t

0

t

0

)t(t eeuBxx

uBxxuBxAx AALa ecuacin de estado tiene solucin y es nica:

Donde (t)=eAt es la matriz de transicin de estados y define el movimiento libre del sistema desde el estado inicial x(0) al estado final x(t) (cuando el vector de entrada u(t) es nulo).

Si las condiciones iniciales son nulas, x(0)=0:= d)()t()t(

t

0uBx

La solucin de la ecuacin de salida es:

)t(d)()t()0()t()t(t

0uDuBCxCy ++=



Solucin de las ecuaciones de estado (discretos)

=

=

=

=

+=

+=+=+

1-ki

0i

1-ki

0i

i-1-kk

)i()i1k()0()k()k(:bieno

)i()0()k()k()k()1k(

uxx

uAxAxuBxAxLa ecuacin de estado tiene solucin y es nica:

Donde (k)=Ak es la matriz de transicin de estados y define el movimiento libre del sistema desde el estado inicial x(0) al estado final x(k) (cuando el vector de entrada u(i) es nulo).

Si las condiciones iniciales son nulas, x(0)=0:=

=

=1-ki

0i)i()i1k()k( ux

La solucin de la ecuacin de salida es:

)k()i()i1k()0()k()k(1-ki

0iuDuCxCy ++=

=

=



Representacin de Sistemas basados en Funcin de Transferencia:Variables de fase (continuos)

[ ] )t(ub)t(x

)t(xbabbabbab)t(y

)t(u

100

00

)t(x)t(x)t(x

)t(x)t(x

aaaaa1000001000

0010000010

)t(x

)t(x

)t(x

)t(x

)t(x

)t(x)t(x)t(x)t(x,)t(x)t(x,)t(uasa...sas

1)t(x

)t(ub)t(ub)t(ub...)t(ub)t(ub)t(ya)t(ya)t(ya...)t(ya)t(y

)s(Uasa...sasbsb...sbsb)s(Y;

asa...sasbsb...sbsb

)s(U)s(Y)s(G

n

n

1

n1n1nn11n00

n

1n

2n

2

1

1n2n210n

1n

2n

2

1

1nn231201

1n1n

n1

012

)1n(

1n

)n(

n012

)1n(

1n

)n(01

1n1n

n01

1n1n

nn

011n

1nn

011n

1nn

n

+

=

+

=

===++++

=

+++++=+++++

++++++++

=++++++++

==

ML

MM

L

L

L

MMOMMM

L

L

M

K

Si el numerador es de orden m, m


Relacin entre Funcin de Transferencia y Ecuaciones de Estado (continuos)

DssUsYsG

tuDttytutt +==

+=+=

BAIC 1)()()()(

)()()()()()(

xCBxAx

Dado un sistema con una nica entrada y una nica salida:

(La constante D ser nula si G(s) tiene ms polos que ceros)

Donde (sI-A)-1=(s) transformada de Laplace de la matriz de transicin de estados, luego: (t)=eAt=L-1[(s)]=L-1[(sI-A)-1]

Si el sistema tiene varias entradas y/o salidas, G(s) ser una matriz de transferencia de dimensin mr: Y(s)=G(s)U(s)



Relacin entre Funcin de Transferencia y Ecuaciones de Estado (discretos)

D)z()z(U)z(Y)z(G

)k(uD)k()k(y)k(u)k()1k( 1 +==

+=+=+ BAIC

xCBxAx

Dado un sistema con una nica entrada y una nica salida:

(La constante D ser nula si G(z) tiene ms polos que ceros)

Si el sistema tiene varias entradas y/o salidas, G(z) ser una matriz de transferencia de dimensin mr: Y(z)=G(z)U(z)

Donde (zI-A)-1z=(z) es la transformada en Z de la matriz de transicin de estados, luego: (k)=Ak=Z-1[(z)]=Z-1[(zI-A)-1z]



Forma Cannica Diagonal: (caso de polos simples)Variables cannicas

[ ] nn21

n

2

1

n

n

2

2

1

1n

011n

1nn

011n

1nn

n

n

n

2

2

1

1n

011n

1nn

011n

1nn

n

bc...cc

1

11

p00

0p000p

pzc...

pzc

pzcb

aza...zazbzb...zbzb

)z(U)z(Y)z(G

psc...

psc

pscb

asa...sasbsb...sbsb

)s(U)s(Y)s(G

==

=

=

++

+

+=

++++++++

==

++

+

+=

++++++++

==

DCBAM

K

MOMM

K

K



Transformaciones LinealesSe puede obtener un nuevo vector de estado w (pasar de unas variables de estado a otras) mediante una funcin biunvoca representada por la matriz de transformacin P: x=Pw


salidadeEcuacin)t(~)t(~)t(

estadodeEcuacin)t(~)t(~)t(

uDwCy

uBwAw

+=

+=

salidadeEcuacin)k(~)k(~)k(

estadodeEcuacin)k(~)k(~)1k(

uDwCy

uBwAw

+=

+=+DDCPC

BPBAPPA

-1

-1

=

=

=

=

~

~

~

~

Continuos

Discretos


Transformacin de variables de fase a variables cannicas (caso de polos simples)Se puede obtener un nuevo modelo de estado, a partir del modelo en variables de fase, donde A es una matriz diagonal. Se utiliza una matriz de transformacin P construida con los valores propios, p1, p2, pn, de A (n valores propios diferentes, que son los polos del sistema):


=

1n2n210 aaaaa1000001000

0010000010

L

L

L

MMOMMM

L

L

A

=

1nn

1n2

1n1

n21

ppp

ppp111

K

MOMM

K

K

P

==

n

2

1

p00

0p000p

~

K

MOMM

K

K

APPA 1-



Ventajas de la Teora Moderna de Control

La teora clsica de control se aplica bsicamente a sistemas con una sola entrada y una sola salida, lineales e invariantes en eltiempo. La teora moderna se puede aplicar a sistemas lineales ono lineales, variantes o invariantes y con entradas y salidas mltiples.

Gracias a la computacin a gran escala permite abordar el diseo de sistemas de control muy complejos y de elevada precisin.

La teora clsica tiene un enfoque complejo en el dominio de lafrecuencia mientras que la teora moderna es esencialmente un enfoque en el dominio del tiempo.



Realimentacin de la Salida y Realimentacin de Estado

B C

D

A

++


+ +

K

r(t)

w(t)

B C

D

A

++


+ +

K

r(t)

w(t)



Controlabilidad Se dice que un sistema es controlable en el tiempo t0 si se puede llevar de cualquier estado inicial x(t0) a cualquier otro estado, mediante un vector de control u(t) sin restricciones, en un tiempo finito.

Un sistema es de estado completamente controlable si todos los estados son controlables.

Un sistema dado por x(t)=Ax(t)+Bu(t) es completamente controlablesi y solo si los vectores B, AB, A2B, , An-1B forman una base del espacio vectorial, es decir, son linealmente independientes, o lo que es lo mismo, la matriz [B AB A2B An-1B] es de rango n.

La controlabilidad no depende de las variables de estado elegidas.



Observabilidad

Se dice que el sistema es completamente observable si se puede determinar todo estado inicial x(0) a partir de la observacin de y(t) en un intervalo de tiempo finito, o sea, si toda transicin de estado puede afectar a todos los elementos del vector de salida. Algunas variables de estado no son accesibles para su medicin directa. En ese caso hay que estimar las variables de estado no medibles (para construir las seales de control ptimo) a partir de las medibles o de las variables de salida. Un sistema es completamente observable si y solo si la matriz de observabilidad P es de rango n (tiene n vectores linealmente independientes).

=

1n-CA

CAC

PM

Dado un sistema sin excitacin descrito por las ecuaciones:x(t)=Ax(t) y(t)=Cx(t)


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