1.10. Diseño y construcción de ejes.

Los ejes que tienen secciones circulares se utilizan a menudo en el diseño de equipos

mecánicos y maquinaria. Por ello, pueden estar sometidos a un esfuerzo o fatiga cíclica,

la cual es causada por la flexión combinada y las cargas de torsión que deben

transmitir o resistir. Además de estas cargas, en un eje pueden existir concentraciones de

esfuerzo debido a las cuñas, acoplamientos transiciones súbitas en el área de sección

transversal. Por lo que si se desea diseñar un eje de manera adecuada, es necesario

tener todos estos efectos en cuenta.

Se estudiarán los aspectos más importantes en el diseño de ejes, los cuales se requieren

para transmitir POTENCIA. Estos ejes están sometidos a cargas aplicadas sobre las

poleas y los engranes a los que están unidos como en la Figura1.10.1(a)

Figura 1.10.1. (a)

Puesto que la cargas se pueden aplicar al eje en varios ángulos, la flexión interna y los

momentos de torsión pueden determinarse en cualquier sección transversal, primero al

sustituir las cargas por sus contrapartes estáticamente equivalentes y, después, al

descomponer estas cargas en sus componentes pertenecientes a dos planos

perpendiculares, como en la figura 1.10.1. (b)

Figura 1.10.1. (b)

Es posible trazar los diagramas de momento flexionante para las cargas en cada plano y

se puede determinar el momento interno resultante en cualquier sección a lo largo del eje

mediante una suma vectorial:

M=√M X2+M z

2

Observe la figura 1.10.1. (c)

Figura 1.10.1. (c)

Además de este momento, los segmentos del eje también están sometidos a diferentes

pares de torsión internos, que se pueden observar en la figura (b), y para tomar en cuenta

esta variación general del par de torsión a lo largo del eje, se dibujan en un diagrama de

par torsión, figura 1.10.1. (d)

Figura 1.10.1. (d)

Una vez que se han establecido los diagramas de momento y par de torsión es posible

investigar ciertas secciones críticas a lo largo del eje en donde la combinación de un

momento resultante M y un par de torsión T crea la peor situación de esfuerzo. El cual se

produce en D y C. Y si en esta sección también se resiste un par de torsión T, entonces

se desarrollará un esfuerzo cortante máximo en los elementos mencionados

anteriormente.

Figura 1.10.2

En general, el elemento crítico D (o C) sobre el eje está sometido a esfuerzo plano,

(figura 1.10.3.) donde:

σ=McI

Y

τ=TcJ

Figura 1.10.3

Si se conoce el esfuerzo normal o cortante permisible para el material, el tamaño del eje

se basa en el uso de estas ecuaciones y la selección de una teoría de falla adecuada. A

manera de ejemplo, si se sabe que el material es dúctil, entonces puede ser adecuada la

teoría del esfuerzo máximo cortante permisible, la cual, en pocas palabras establece que

τ perm=τmáx la ecuación para la transformación de esfuerzos, el estado de esfuerzo de la

figura anterior, se obtiene:

Como I=π c4

4;J= π c

4

2

Esta ecuación se convierte en τ perm=2

πc3√M2+T 2

Al despejar el radio del eje se obtiene:

c=( 2π τ perm

=√M c2+T2)

1/3

(Ecuación 1)

Ejemplo 1.1

El eje de la figura 1.10.4.se sostiene mediante chumaceras lisas en A y en B. Debido a la

transmisión de potencia desde y hacia el eje, las bandas en las poleas están sometidas a

las tensiones mostradas en la figura. Determine el menor diámetro del eje con base en la

teoría del esfuerzo cortante máximo, con τ perm=50MPa.

Figura 1.10.4.

Solución:

Figura 1.10.5.

Se han calculado, previamente, las reacciones en los apoyos y se muestran en el

diagrama de cuerpo libre del eje, figura 1.10.5. Los diagramas de momento flexionante

para Mx y Mz se muestran en la figura1.10.6 y en la figura 1.10.7, respectivamente. El

diagrama de par torsión se muestra en la figura 1.10.8. De allí se deduce que los puntos

críticos para el momento flexionante ocurren, ya sea en C, o en B. (el punto crítico será

en donde ocurra el mayor momento flector, observando los diagramas para Mx y Mz)

Nótese también que a la derecha, tanto de C y B, el momento de torsión es de 7.5N ∙m

-Diagrama de momento flexionante para Mx:

Figura 1.10.6.

Diagrama de momento flexionante para Mz:

Figura 1.10.7.

Diagrama de par torsión:

Figura 1.10.8.

Usando ambos momentos flexionantes en C, se calcula el momento resultante:

M c=√(118.75N ∙m)2+¿¿

M c=124.53N ∙m

Se procede de la misma manera con B:

MB=√(0N ∙m)2+¿¿

MB=75N ∙m

Puesto que el diseño se basa en la teoría del esfuerzo cortante máximo se aplica

la ecuación 1. El radical (√M 2+T 2), que se usará en la ecuación es el más grande

(MB o MC), en este caso es MC.

c=( 2π τ perm

∙√M c2+T 2)

1/3

¿¿¿

¿0.0117m

El diámetro permisible es

d=2 (0.0117m )=23.3mm