CAPTULO 7

DISEO DE RBOLES

7.1 INTRODUCCIN

7.1.1 rboles y ejes

Los rboles y ejes son elementos de mquinas, generalmente de seccin transversal circular, usados para sostener piezas que giran solidariamente o entorno a ellos. Algunos elementos que se montan sobre rboles y ejes son ruedas dentadas, poleas, piones para cadena, acoples y rotores. Los ejes no transmiten potencia y pueden ser giratorios o fijos. Por otro lado, los rboles o flechas son elementos que giran soportando pares de torsin y transmitiendo potencia. Las figuras 7.1 a 7.3 muestran transmisiones por cadenas, por correas y por ruedas dentadas, respectivamente, en las cuales la transmisin de potencia se lleva a cabo mediante rboles, poleas, correas, ruedas dentadas, estrellas y cadenas, entre otros elementos.

Cadenan1 n2

rbol

D1

Estrella

Estrella

rbolD2conductora

conducida

Figura 7.1 Transmisin por cadenas

CAPTULO 7DISEO DE RBOLES11

rboln2

D2

Correa

rboln1

D1

Polea conducida

Polea conductora

Figura 7.2 Transmisin por correas

Ruedas helicoidales

rbol de entrada

Caja

rbol de salida

Rodamiento

Ruedas de dientes rectos

Sello Bastidor Rodamiento de bolas

Tornillo y rueda dentada

rbol de salida

(a) Esquema de un reductor de velocidadeshorizontal de dos escalones cilndricos (b) Transmisin de tornillo sinfn

Figura 7.3 Transmisiones por ruedas dentadas

Los rboles estn sometidos a torsin, flexin, carga axial y fuerzas cortantes, y al menos alguna de estas cargas es variable (en un rbol girando sometido a un momento flector constante, actan esfuerzos normales variables). Como los esfuerzos en los rboles son combinados y variables, debe aplicarse la teora de fatiga para esfuerzos combinados.

7.1.2 Configuracin y accesorios de los rboles

Usualmente, los rboles son cilindros escalonados (figura 7.4.d), con el fin de que los hombros o resaltos sirvan para ubicar axialmente los diferentes elementos. Adems, los hombros sirven para transmitir cargas axiales. En los rboles se usan diferentes elementos para la transmisin de potencia o para posicionar o fijar las piezas que se montan sobre stos. Algunos mtodos utilizados para transmitir pares de torsin y potencia son las cuas o chavetas (figura 7.4.a), ejes estriados, espigas o pasadores (figura7.4.c), ajustes a presin (captulo 10), ajustes ahusados (con superficies cnicas) y conectores ranurados. Para evitar movimientos axiales de las piezas se usan, por ejemplo, hombros, tornillos de fijacin oprisioneros (figura 7.4.b), anillos de retencin (figura 7.4.b), pasadores (figura 7.4.c), collarines defijacin, tornillos (figura 7.4.d) y manguitos (figura 7.4.d). Algunos mtodos sirven tanto para fijar axialmente las piezas, como para transmitir par de torsin (por ejemplo, los pasadores). Las chavetas y los pasadores actan como fusibles, es decir, son elementos dbiles (y baratos) que tienden a fallar en caso de una sobrecarga, protegiendo as las piezas caras.

Chaveta o cua

Anillo de retencin

Chaveteros

Polea

Correa

Rodamiento

rbol

Ranura para anillo de retencin

rbol

Anillo de retencin

Polea ranurada

Tornillo de fijacin o prisionero

(a) Chaveta paralela (b) Anillo de retencin y tornillo de fijacin

Holgura axial PrisioneroChaveta

Chaveta

rbol

Escaln

Tornillo

Pasador

rbolRueda dentada

Buje(manguito)

Estrella(pin)

(c) Pasador (d) rbol escalonado con varios mtodos de fijacin

Figura 7.4 Mtodos para transmitir par de torsin y para fijar piezas sobre rboles y ejes

7.1.3 Etapas del diseo de rboles

El diseo de rboles comprende bsicamente: Seleccin del material Diseo constructivo (configuracin geomtrica) Verificacin de la resistencia:- esttica- a la fatiga- a las cargas dinmicas (por ejemplo cargas pico) Verificacin de la rigidez del rbol:- deflexin por flexin y pendiente de la elstica- deformacin por torsin Anlisis Modal (verificacin de las frecuencias naturales del rbol)

El material ms utilizado para rboles y ejes es el acero. Se recomienda seleccionar un acero de bajo o medio carbono, de bajo costo. Si las condiciones de resistencia son ms exigentes que las de rigidez, podra optarse por aceros de mayor resistencia. La seccin 7.4.2 lista algunos aceros comnmente usados para rboles y ejes.

Es necesario hacer el diseo constructivo al inicio del proyecto, ya que para poder hacer las verificaciones por resistencia, por rigidez y de las frecuencias crticas, se requieren algunos datos sobre la geometra o dimensiones del rbol. Por ejemplo, para verificar la resistencia a la fatiga en una seccin determinada es necesario tener informacin sobre los concentradores de esfuerzos que estarn presentes en dicha seccin, as como algunas relaciones entre dimensiones.

El diseo constructivo consiste en la determinacin de las longitudes y dimetros de los diferentes tramos o escalones, as como en la seleccin de los mtodos de fijacin de las piezas que se van a montar sobre el rbol. En esta etapa se deben tener en cuenta, entre otros, los siguientes aspectos: Fcil montaje, desmontaje y mantenimiento.Los rboles deben ser compactos, para reducir material tanto en longitud como en dimetro (recurdese que a mayores longitudes, mayores tendern a ser los esfuerzos debidos a flexin y, por lo tanto, los dimetros). Permitir fcil aseguramiento de las piezas sobre el rbol para evitar movimientos indeseables. Las medidas deben ser preferiblemente normalizadas. Evitar discontinuidades y cambios bruscos de seccin, especialmente en sitios de grandes esfuerzos. Generalmente los rboles se construyen escalonados para el mejor posicionamiento de las piezas.Generalmente los rboles se soportan slo en dos apoyos, con el fin de reducir problemas de alineamiento de stos. Ubicar las piezas cerca de los apoyos para reducir momentos flectores. Mantener bajos los costos de fabricacin.Basarse en rboles existentes o en la propia experiencia, para configurar el rbol (consultar catlogos y analizar reductores y sistemas de transmisin de potencia).

Despus del diseo constructivo puede procederse a verificar la resistencia del rbol. Los rboles deben tener la capacidad de soportar las cargas normales de trabajo y cargas eventuales mximas, durante la vida esperada. Entonces, se debe verificar la resistencia del rbol a la fatiga y a las cargas dinmicas; estas ltimas son generalmente las cargas producidas durante el arranque del equipo.

Debe hacerse tambin un anlisis de las frecuencias naturales (crticas) del rbol. Todo sistema tiende a oscilar con una gran amplitud cuando se excita con determinadas frecuencias; esto se denomina

resonancia. Los rboles, junto con las piezas que se montan sobre ellos, tienden tambin a vibrar excesivamente cuando giran a las velocidades crticas. El diseador debe asegurar que la velocidad de rotacin del rbol sea bastante diferente de cualquier velocidad que produzca resonancia; de lo contrario, las deflexiones o deformaciones del rbol tenderan a ser grandes y a producir la falla.

Finalmente, los rboles deben tener suficiente rigidez, con el objetivo de evitar que las deformaciones excesivas perjudiquen el buen funcionamiento de las piezas que van montadas sobre stos. Por ejemplo, deformaciones excesivas en los rboles pueden hacer que el engrane de un par de ruedas dentadas no sea uniforme o no se extienda en toda la altura de trabajo del diente. Por otro lado, los cojinetes (de contacto rodante o deslizante) se pueden ver afectados si las pendientes del rbol en los sitios de los cojinetes son muy grandes. Como los aceros tienen esencialmente igual mdulo de elasticidad, la rigidez de los rboles debe controlarse mediante decisiones geomtricas.

En conclusin, el buen funcionamiento de un rbol depende de muchos factores, entre los cuales podemos mencionar una buena resistencia y rigidez, una correcta fijacin de las piezas, una adecuada alineacin y lubricacin de los elementos que lo requieran.

En el resto de este captulo se ampliar lo discutido en esta introduccin. En la seccin 7.2 se analizan las ecuaciones para el clculo o verificacin de la resistencia de los rboles. En la seccin 7.3 se estudian algunas ecuaciones que rigen las deformaciones en los rboles. La seccin 7.4 presenta un procedimiento de diseo de rboles, paso a paso. Finalmente, la seccin 7.5 resume este captulo.

7.2 RESISTENCIA DE LOS RBOLES

7.2.1 Esfuerzos en los rboles

Los elementos de transmisin de potencia como las ruedas dentadas, poleas y estrellas transmiten a los rboles fuerzas radiales, axiales y tangenciales. Debido a estos tipos de carga, en el rbol se producen generalmente esfuerzos por flexin, torsin, carga axial y cortante. La figura 7.5 muestra esquemticamente un rbol en el cual est montado un engranaje cnico y una estrella. Se muestran las fuerzas sobre el engranaje, las cuales producen los cuatro tipos de solicitacin mencionados.

Fr

FtLas fuerzas radial, Fr, axial, Fa, yFa tangencial, Ft (saliendo del plano delpapel), actan sobre el pin cnicoproduciendo, respectivamente:

Flexin y cortadura (Fr)

Carga axial (traccin o compresin) y flexin (Fa) Flexin, torsin y cortadura (Ft)

Figura 7.5 Solicitaciones en los rboles: torsin, flexin, cortante y carga axial

Como se muestra en la figura 7.6, en cualquier seccin transversal de un rbol existe, en general, un par de torsin, T, una carga axial, F, una fuerza cortante, V, y un momento flector, M. Estas cargas producen los esfuerzos siguientes:

M

F: Fuerza axialT: Par de torsinFM: Momento flectorV: Fuerza cortanteV T

Figura 7.6 Cargas internas en una seccin de un rbol

Esfuerzos cortantes producidos por el par de torsin. Si la seccin es circular slida, los puntos de mayor esfuerzo cortante son los ubicados en la periferia, y dicho esfuerzo, Ss, est dado por:

S Tc 16T ,

(7.1)s J d 3

donde T, c, J y d son el par de torsin, la distancia desde el eje neutro hasta los puntos de mayor esfuerzo, el momento polar de inercia y el dimetro, respectivamente, de la seccin transversal que se est analizando.

Esfuerzos normales por carga axial. El esfuerzo normal, SF, es constante en toda la seccin y est dado por:

S F ,F A

(7.2)

donde F y A son la fuerza axial y el rea transversal, respectivamente, de la seccin de anlisis. El signo + indica que el esfuerzo es de traccin y se toma si F es de traccin; el signo se toma si F es de compresin.

Cuando la carga es de compresin, la ecuacin anterior es vlida si no existe posibilidad de pandeo. Si el rbol es esbelto1, una carga de compresin puede tratar de flexionarlo (pandearlo), producindose esfuerzos por carga axial y flexin combinadas. Como el esfuerzo mximo en una columna esbelta es mayor que el dado por la ecuacin 7.2, debemos utilizar una ecuacin diferente. Faires[1] propone calcular un esfuerzo equivalente, SeF (que es diferente al esfuerzo real mximo) para el caso de columnas:

S eF

F P ,A

(7.3)

donde P es un coeficiente mayor o igual a la unidad que tiene en cuenta el efecto de pandeo y se calcula de maneras diferentes de acuerdo con el tipo de columna (esbelta, corta, de esbeltez media)2.

1 La esbeltez de una columna est dada por la relacin entre su longitud, L, y el radio de giro, k, de la seccin transversal; este ltimo es igual a la raz cuadrada de la relacin entre el menor momento rectangular de inercia de la seccin y el rea: k = (I/A)1/2.2 El coeficiente P est dado, por ejemplo, por:

1S (L / k )21 y e 4 2 E

(para la frmula de Johnson) o

y e S (L / k )2 2 E

(para la ecuacin de Euler),donde Le es la longitud libre efectiva de la columna.

Esfuerzos normales producidos por el momento flector. El esfuerzo normal, SM, es mximo en las fibras ms alejadas del eje neutro y est dado por:

S Mc ,M I

(7.4)

donde M, c e I son el momento flector, la distancia desde el eje neutro hasta las fibras ms alejadas y el momento rectangular de inercia, respectivamente, de la seccin de anlisis. El signo + se toma si el punto analizado est a traccin y el signo si est a compresin. En general, existirn dos valores de c, uno para los puntos a traccin y otro para los puntos a compresin.

Algunas veces se tienen dos componentes del momento flector, Mxy y Mxz, donde x es la direccin axial y y y z son direcciones cartesianas paralelas a la seccin del rbol. Como generalmente interesa el momento resultante, ste se puede obtener mediante:

M2M R xy

M xz

2 1 / 2 .

(7.5)

Ntese que las componentes Mxy y Mxz son perpendiculares entre s, por lo que el momento resultante se obtiene utilizando el teorema de Pitgoras, dado por la ecuacin anterior.

Esfuerzos cortantes producidos por la fuerza cortante, V. Normalmente, estos esfuerzos son mucho ms pequeos que, por ejemplo, los esfuerzos normales debidos a flexin y tienden a actuar en puntos donde otros esfuerzos son pequeos o son iguales a cero. Debido a esto, es prctica comn no tener en cuenta el efecto de la fuerza cortante, aunque si sta se considera suficientemente grande, debe tenerse en cuenta este efecto.

Adicionalmente, pueden existir esfuerzos de compresin transversales al rbol cuando existen ajustes de interferencia, llamados tambin ajustes forzados (captulo 10). Aunque los esfuerzos de compresin tienden a inhibir la fatiga, stos pueden provocar fluencia en el rbol cuando actan las cargas dinmicas (cargas pico). Los esfuerzos producidos por ajustes de interferencia podran despreciarse en el diseo, si las interferencias son pequeas.

Teniendo en cuenta lo estudiado en los captulos anteriores, se concluye que el punto o puntos crticos de cualquier seccin transversal tienen estados de esfuerzo como el de la figura 7.7. Entonces, el estado de esfuerzo es biaxial, donde uno de los esfuerzos normales es igual a cero.

Ss

S S

Ss

Figura 7.7 Estado de esfuerzo usual de los puntos crticos de un rbol

Para rboles de seccin circular slida, los esfuerzos S y Ss de la figura 7.7 estn dados por:

S

F Mc

4F 32M .

(7.6)P A I

P d 2

d 3

S Tc 16T .

(7.7)s J d 3

El valor de P es igual a uno si la fuerza F es de traccin. Para otros tipos de secciones se deben usar las ecuaciones que correspondan de acuerdo con lo estudiado en el captulo 2.

La determinacin de la seccin o secciones crticas se basa parcialmente en estas ecuaciones. De acuerdo con stas, la seccin es ms crtica si: Su dimetro es pequeo. Las cargas PF, M y T son grandes. Adicionalmente, por el criterio de fatiga, una seccin es ms crtica en la medida en que tengadiscontinuidades, gran rugosidad superficial, etc..

Como generalmente no existe una seccin en la cual las propiedades seccionales sean menores y las cargas sean mayores, etc., deben analizarse las secciones crticas de los diferentes tramos del rbol. No necesariamente la seccin crtica es aquella en la cual alguna carga es mxima o alguna propiedad es mnima, ya que alguna combinacin de propiedades y cargas sub-crticas podra ser la ms crtica. Debe tenerse un cuidado similar al escoger los puntos crticos (de las secciones crticas), si no existe un punto en el cual acten simultneamente los esfuerzos mximos por carga axial, flexin y torsin.

7.2.2 Anlisis esttico de rboles dctiles uniformes de seccin transversal circular slida

El anlisis esttico de un rbol consiste en verificar que ste no fallar inmediatamente despus de aplicar ciertas cargas. Este anlisis podra efectuarse para:(a) Comprobar su resistencia esttica a las cargas nominales3. Esto es poco usual ya que debe verificarse la resistencia a la fatiga de los rboles (las ecuaciones de fatiga dadas en el captulo 5cubren tambin las fallas estticas).(b) Comprobar su resistencia esttica a las cargas dinmicas (cargas pico). Esta comprobacin s debe hacerse ya que normalmente en los arranques o cuando hay sobrecargas, los rboles estn sometidosa esfuerzos mayores a los nominales. Como se prev que estas cargas se repiten un nmero muypequeo de veces, stas no tenderan a producir falla por fatiga, siendo suficiente el anlisis de diseo esttico.

En un diseo para cargas estticas, se aplica una teora de falla esttica adecuada al punto o puntos ms crticos del rbol, los cuales tienen estados de esfuerzo como el de la figura 7.7 y esfuerzos dados por las ecuaciones 7.6 y 7.7, si la seccin es circular slida.

Como en su gran mayora los rboles se fabrican con barras circulares de materiales dctiles y uniformes (resistencia a la traccin igual a la de compresin), plantearemos las ecuaciones de diseo para rboles con estas caractersticas. Para un rbol dctil y uniforme de seccin transversal circular slida, las ecuaciones 7.6 y 7.7 se pueden expresar como:

3 Cargas nominales son las soportadas por el rbol bajo condiciones de trabajo normal, sin tener en cuenta cargas de arranque o cargas pico. Las cargas pico son cargas altas que ocurren pocas veces durante el funcionamiento del rbol.

S

4F

32M

y S 16T .

(7.8) P d 2

d 3

s d 3

Ntese que para S se toman, de la ecuacin 7.6, ya sea los dos signos positivos o los dos negativos; la razn de esto es que el punto crtico de un rbol de seccin circular y material uniforme es aquel en el cual acta el esfuerzo normal mximo, es decir, en donde se suman los esfuerzos por carga axial y por flexin. No importa si el esfuerzo resultante es de traccin o de compresin, ya que la resistencia esttica de un material uniforme es igual para estos dos tipos de esfuerzo.

A un material dctil se le aplica la Teora del Esfuerzo Cortante Mximo (TECM) o la teora de von Mises-Hencky (teora de la energa de distorsin), la cual es equivalente a la Teora del Esfuerzo Cortante Octadrico (TECO). Las ecuaciones de diseo de estas teoras, para el estado de esfuerzo de nuestro punto crtico (figura 7.7), estn dadas por:

TECM

2

2 S

2 S s

2S y

2 S s 1

S 2 .

(4.23R) N

S

0.5S

N 0.5

TECO/von Mises

y y

2

2 S

2 Ss

2S y

2 S s 1

S 2 .

(4.43R) N

S

0.577S

N 0.577 y y

Reemplazando las ecuaciones 7.8 (con P = 1) en las ecuaciones anteriores y organizando se obtiene:

Para la TECM

2 2 S y 4 1 / 2 (8M Fd ) 64T .

(7.9)N d 3

eTECM

2 S y

d 6 (F 2 )d 2 (16MF )d 64(M 2 T 2 ) 0.

(7.10) 4N

Para la TECO/von Mises

S y 4 (8M Fd )2 48T 2 1/ 2 .

(7.11)N d 3

evo n Mises

2 S y

d 6 (F 2 )d 2 (16MF )d (64M 2 48T 2 ) 0.

(7.12) 4N

Ntese que los trminos intermedios en las ecuaciones 7.9 y 7.11 estn igualados a Sy/N; por lo tanto, corresponden a los esfuerzos equivalentes de las teoras. Las ecuaciones 7.9 a 7.12 tienen, entre otras, las siguientes condiciones: El anlisis es de diseo esttico El material es dctil y uniforme El punto crtico no tiene esfuerzos producidos por cortante directo ni por ajustes de interferencia

La seccin a analizar es circular slidaSi la seccin de anlisis est sometida a compresin, no existe posibilidad de pandeo en dicha seccin. En caso de pandeo, el esfuerzo no es proporcional a la fuerza de compresin y los factores de seguridad calculados con las ecuaciones no seran correctos (ntese que el trmino P de la ecuacin 7.8 se ha omitido en las ecuaciones de diseo).

Los signos de la ecuacin 7.8 no aparecen en las ecuaciones anteriores, debido a que el esfuerzo S est elevado al cuadrado. Entonces, se debe tener en cuenta que los valores de M y F se toman siempre positivos, independientemente de si producen traccin o compresin en el punto y, por supuesto, de si en el diagrama de momento M es negativo o positivo4.

Si adems de las condiciones anteriores, no existe fuerza axial en la seccin de anlisis (F = 0), las ecuaciones 7.9 a 7.12 se reducen a:

Para la TECM

1 32 M 2 T 2 1 / 2 .N d 3 S

(7.13)y

1 / 3 d 32N M 2 T 2 1 / 2 .

(7.14)S y

Para la TECO/von Mises

1 16 4M 2 3T 2 1 / 2 .N d 3 S

(7.15)y

1 / 3

d 16N 4M 2 3T 2 1 / 2 .

(7.16)S y

Como se dijo anteriormente, las ecuaciones de diseo para cargas estticas se usan normalmente para la verificacin de la resistencia a las cargas pico. En este caso, M, T y F seran las cargas pico mximas, y no las cargas normales de trabajo. Si el factor de seguridad calculado con la ecuacin 7.9, 7.11, 7.13 7.15 es muy pequeo (menor que el admisible), debe redisearse el rbol calculando un nuevo dimetro con la ecuacin 7.10, 7.12, 7.14 7.16. En el siguiente ejemplo se ilustra la aplicacin del anlisisesttico de rboles.

EJEMPLO 7.1El rbol escalonado de la figura transmite una potencia de 10 kW a 1200 r/min y est apoyado en dos rodamientos de bolas A y C. La potencia es suministrada por un pin a la rueda helicoidal B, atravs del punto de contacto indicado. La potencia sale por la polea D, la cual tiene dos ranuras enV (transmisin por correas en V). La fuerza en el lado tenso de la correa, F1, es tres veces la del lado flojo, F2. Las componentes de la fuerza de contacto en el engrane B estn relacionadas as: Fa = 0.2Ft y Fr = 0.27Ft. Los dimetros primitivos de la rueda y de la polea son DB = 132 mm y DD = 162 mm, respectivamente. El rbol es de acero SAE 1045 laminado en fro. Determinar el

4 El signo del par flector en el diagrama de momento flector sirve, por ejemplo, para saber la direccin en la cual acta, pero sin importar el signo, siempre existirn esfuerzos de traccin y esfuerzos de compresin en una seccin sometida a flexin.

dimetro mnimo que debe tener la seccin ms cargada del rbol (que no necesariamente es la ms crtica), para que resista tanto las cargas nominales (al menos unas pocas veces antes de la falla por fatiga) como las cargas pico. Suponer que estas ltimas son el doble de las cargas nominales. Usar la TECO/von Mises con un factor de seguridad N = 1.5, tanto para las cargas nominales como para las pico.

Fr D yFt BF2FaA C Polea Dy

z x z

F1

50 mm 50 mm

30 mm

Correas

Figura 7.8 rbol de transmisin de potencia

Solucin:Debido a que las cargas nominales son variables, la falla ocurrira por fatiga; por lo tanto, el anlisis por fatiga (seccin 7.2.3) es ms adecuado que el anlisis esttico para estas cargas (no se requiereanlisis esttico para las cargas nominales). Como las cargas dinmicas (pico) son mayores que las nominales, debe verificarse la resistencia del rbol a las cargas pico. Esto se hace mediante elprocedimiento de diseo esttico ya que las cargas pico no tienden a producir falla por fatiga si se repiten muy pocas veces durante la vida til del rbol.

Para determinar la seccin que est sometida a las mayores cargas, deben construirse los diagramas de par de torsin, momento flector y fuerza axial; pero antes se deben calcular todas las fuerzas externas que actan sobre el sistema y las reacciones en los apoyos (rodamientos).

Diagrama de cuerpo libre:Al analizar un rbol, es conveniente hacer diagramas de cuerpo libre para las diferentessolicitaciones, es decir, hacer un diagrama para los pares de torsin, uno para las fuerzas axiales y otros dos para las cargas transversales y momentos flectores que actan en dos planos perpendiculares. Sin embargo, para facilitar el entendimiento de este procedimiento, la figura 7.9 presenta el diagrama de cuerpo libre completo del rbol. La reaccin en cada apoyo podra tener componentes en x, y y z. Sin embargo, en el montaje se tiene que decidir cul rodamiento soportar carga axial, ya que cualquiera de los dos o ambos lo pueden hacer. Por facilidad de montaje, es conveniente que el rodamiento C soporte la carga axial y que el otro quede libre axialmente. Si el rodamiento A soportara dicha carga, tendra que tener un ajuste a presin para evitar su movimiento. Esto no ocurre con C, ya que el hombro soporta la fuerza y no se requiere un ajuste a presin especial. Adems, de esta manera parte del rbol queda a compresin, lo cual inhibe la fatiga. Ntese que los pequeos ngulos que las fuerzas F1 y F2 forman con el eje z se han despreciado.

RAy

Fr FtFa

RAz

DB/2

A

y Bz x RCx

RCy

F2

RCz

DD/2

C

D

F1

Figura 7.9 Diagrama de cuerpo libre del rbol de la figura 7.8

Clculo del par de torsin y diagrama de par de torsin:Como el sistema tiene una sola entrada y una sola salida de potencia, se requiere calcular un solo par de torsin, T, el cual depende de la potencia, P, y de la frecuencia de giro, n, de acuerdo con T = P/(2n) (ecuacin 3.16, captulo 3). Si la frecuencia de giro est en revoluciones por minuto y la potencia en watt, el par de torsin nominal TN, en Nm, est dado por la ecuacin 3.17 (captulo 3):

60P (60)(10 103 )T N m 79.58 N m.N 2n

(2 )(1200)

El par de torsin pico es el doble del nominal, entonces T = 159.15 Nm.

De la figura 7.9 se deduce que las fuerzas que producen momentos con respecto al eje del rbol (eje x) son Ft, F1 y F2. Por la rueda entra toda la potencia; entonces, el par de torsin producido por la fuerza pico Ft debe ser igual a T (par pico). Similarmente, por la polea sale toda la potencia; entonces, el par de torsin total producido por las fuerzas F1 y F2 es igual T.

Analizando las fuerzas de la figura 7.9, se concluye que los pares de torsin en B y D tienen sentidos contrarios (ya que F1 > F2); por lo tanto, la suma de stos es igual a cero, como debe ser, ya que el sistema est en equilibrio (cuando el rbol rota a velocidad constante).

La figura 7.10 muestra el diagrama de cuerpo libre de pares de torsin y el diagrama de par de torsin del rbol. Ntese que los rodamientos en A y C no tienen reacciones, ya que ellos permiten la rotacin libre del rbol. Segn la figura, en el tramo AB no hay par de torsin interno y el tramo ms cargado a torsin es el BCD, con un par constante de 159.15 Nm.

xTA T B C D

T T = 159.15 Nm

A B C D x

Figura 7.10 Diagrama de cuerpo libre de pares de torsin y diagrama de par de torsin

Clculo de fuerzas externas:En la rueda dentada, la nica componente que produce torsin en el rbol es la fuerza tangencial, Ft. El par de torsin producido por esta fuerza est dado por (figura 7.9):

DF B T ,

(7.17)t 2

de donde

tF 2T (2)(159.15 N m) 2411.4 N.DB 0.132m

De las expresiones dadas en el enunciado tenemos que:

Fa 0.20Ft ,

Fr 0.27Ft ,

ent onces

ent onces

Fa (0.20)(2411.4 N) 482.27N.

Fr (0.27)(2411.4 N) 651.07N.

En la polea ambas fuerzas, F1 y F2, producen pares de torsin. Dichos pares tienen sentidos contrarios y, por lo tanto, se deben restar y multiplicar por el radio primitivo de la polea para calcular el par de torsin. Entonces, el par de torsin resultante producido por las fuerzas en la polea est dado por (figura 7.9):

(F F ) DD T ;1 2 2

como

F1 3F2 ,

(3F F ) DD T ,2 2 2

de donde

F T (159.15 N m) 982.41 N

1y F 2947.2 N.

2DD 0.162m

Clculo de las reacciones:En la figura 7.10 se present el diagrama de cuerpo libre teniendo en cuenta slo los pares de torsin.Los diagramas de cuerpo libre para las fuerzas axiales y las fuerzas transversales y momentos flectores se dan en la figura 7.11.

x yx

Fa RCx

FrMFa

xz Ft

F1 + F2

A B C D

ARAy

0.05 m B

0.05 m

CRCy

0.03 m D

ARAz

0.05 m B

0.05 m

CRCz

0.03 m D

(a) Fuerzas axiales (b) Plano xy (c) Plano xz

Figura 7.11 Diagramas de cuerpo libre de fuerzas axiales, fuerzas transversales y momentos flectores

Ntese que la fuerza Fa ha sido desplazada al eje del rbol en la figura 7.11.a, con lo cual se genera un momento flector MFa = Fa (DB/2) que aparece en la figura 7.11.b. Adems, la fuerza Fa es contrarrestada slo con el apoyo en C (el escaln permite que se transmita la fuerza axial del rbol al rodamiento), ya que el apoyo en A no tiene la capacidad para hacerlo. Los pares producidos al desplazar las fuerzas Ft, F1 y F2 al eje x son pares de torsin y ya se tuvieron en cuenta en la figura7.10. Para la construccin de estos diagramas de cuerpo libre se despreci el pequeo ngulo que lasfuerzas F1 y F2 forman con el eje z.

Planteando las ecuaciones de equilibrio, es decir, sumatoria de fuerzas en las direcciones x, y y z, y la sumatoria de momentos en los planos xy y xz, se tiene: Fx 0; Fy 0;

Fz 0;

Fa RCx 0,

RAy RCy Fr 0,

Ft (F1 F2 ) RAz RCz 0,

+ M Axy

0;

0.1RCy 0.05Fr M Fa

0,

+ M Axz

0;

0.1RCz 0.05Ft 0.13(F1 F2 ) 0,

de donde

RAy

7.24 N,

RAz

26.81 N,

RCx 482.27 N,

RCy 643.83 N

y RCz 6314.2 N.

Diagramas de fuerza cortante, momento flector y carga axial:Con los resultados anteriores se construyen los diagramas de fuerza cortante, de momento flector yde carga axial (figura 7.12). Como normalmente las fuerzas cortantes no se tienen en cuenta en el diseo, los diagramas de fuerza cortante slo interesan para la construccin de los de momento flector. Como interesa el momento total en las diferentes secciones (no sus componentes en xy y xz), se construye, adems, un diagrama de momento flector resultante. En una seccin particular, la magnitud del momento resultante est dada por la ecuacin 7.5.

Vy (N) 7.24A B C D x

Vz (N)

26.81

3929.6

643.83

A B C D x

2384.6

(a) Diagrama de fuerza cortante en y (b) Diagrama de fuerza cortante en z

Mxy (Nm)

32.19

Mxz (Nm) 1.34

A B C D x

0.362A B C D x

117.89

(c) Diagrama de momento flector en xy (d) Diagrama de momento flector en xz

MR (Nm)

32.22

117.89

F (N)

A B C D x

1.39A B C D x

482.275

(e) Diagrama de momento flector resultante

(f) Diagrama de fuerza axial (en x)

Figura 7.12 Diagramas de fuerza cortante, momento flector y carga axial

Clculo del dimetro en la seccin ms cargada:De los diagramas de la figuras 7.10 y 7.12(analice slo los diagramas de carga axial, Mpara de torsin y momento flector resultante)se concluye que la seccin ms cargada es laC, ya que para esta seccin todas las cargas Fson mximas. La seccin C est sometida aun momento flector M = 117.89 Nm, un par Tde torsin T = 159.15 Nm y una fuerza axialde compresin F = 482.275 N, tal como semuestra en la figura 7.13.

Figura 7.13 Cargas en la seccin C del rbol

En las secciones 7.2.1 y 7.22 se concluy que el punto crtico para este caso es como el mostrado en la figura 7.7 y que las ecuaciones de diseo para la TECO/von Mises son la 7.11 y la 7.12. Para calcular el dimetro de la seccin C utilizamos la ecuacin 7.12, donde, como se ha dicho, M, T y F se toman positivos:

2 S y

d 6 (F 2 )d 2 (16MF )d (64M 2 48T 2 ) 0,

donde

4N

N = 1.5 Sy = 531 MPa, obtenido de la tabla A-3.2 (apndice 3) para el acero 1045 laminado en fro M = 117.89 Nm T = 159.15 Nm F = 482.275 N.

Como todo el ejemplo se ha resuelto partiendo del par de torsin pico, las cargas anteriores son tambin cargas pico. Reemplazando estos datos en la ecuacin anterior se obtiene:

6

2 531 10

d 6 (482.2752 )d 2 [(16)(117.89)(482.275)]d [(64)(117.89) 2 (48)(159.15) 2 ] 0,

(4)(1.5)

de donde, resolviendo, d = 0.0174 m = 17.4 mm.

Este dimetro es el mnimo que debe tener el escaln donde se aloja el rodamiento de bolas C. El siguiente paso consiste en estandarizar este dimetro con base en los dimetros internos estndar de rodamientos de bolas. Algunos dimetros, en mm, de rodamientos rgidos de bolas son: 4, 5, 6, 7, 8,9, 10, 12, 15, 17, 20, 25, 30, ....; entonces, el dimetro mnimo de la seccin C debe ser de 20 mm.

Como se ha dicho, el clculo de rboles implica muchos pasos de comprobacin, as que este clculo podra considerarse como un paso inicial en el diseo del rbol.

7.2.3 Anlisis por fatiga de rboles dctiles

Introduccin

Como se dijo en la seccin 7.1, los rboles soportan cargas variables y, por lo tanto, debe comprobarse su resistencia a la fatiga. Por ejemplo, unas cargas constantes T, M y F en un rbol, producen esfuerzos normales variables, ya que el momento flector M es giratorio relativo a un observador parado en un punto del rbol rotativo (figura 7.14). Eventualmente, en caso de no tener la suficiente informacin para efectuar el diseo por fatiga, un anlisis de diseo esttico podra reemplazarlo, si se usa un factor de seguridad bastante grande; sin embargo, este ltimo diseo no garantiza la duracin requerida del rbol.

M S M M

Sm = 0

t

McSa = ItSa

Figura 7.14 Un par flector constante en magnitud y direccin produce esfuerzos variables, ya que el rbol gira

En este captulo nos limitaremos al anlisis de rboles cuyos puntos crticos tengan estados de esfuerzo como el de la figura 7.15 (estado de esfuerzo biaxial con un solo esfuerzo normal y un esfuerzo cortante). Este tipo de estado de esfuerzo se obtiene en las secciones de los rboles en las que no existan ajustes con interferencia (o si existen, los esfuerzos son tan pequeos que no es necesario tenerlos en cuenta), y que adems no existan (o sean despreciables) esfuerzos producidos por fuerzas cortantes. Esto ltimo no es problema, ya que es prctica comn no tener en cuenta los esfuerzos producidos por estas fuerzas.

Ss

S S

Ss

Figura 7.15 Estado de esfuerzo de los puntos crticos de un rbol, cuando no se tienen en cuenta o no existen esfuerzos producidos por cortante directo y por ajustes forzados

En el captulo 5 (seccin 5.12) se presentaron ecuaciones generales para esfuerzos multiaxiales en fatiga. Por lo tanto, estas ecuaciones podran usarse para cualquier caso de diseo de rboles, en particular, cuando en algn punto crtico de un rbol se tienen ms esfuerzos que aquellos de la figura 7.15.

A continuacin se presentan tres mtodos para el anlisis por fatiga de rboles con puntos crticos como el mostrado en la figura 7.15. El mtodo von Mises (estudiado en el captulo 5), el mtodo adoptado por Faires[1] y el mtodo ASME.

Mtodo von Mises

Reemplazando las ecuaciones 5.84 y 5.85 (teniendo en cuenta que uno de los esfuerzos normales, XX oYY, es cero) en las ecuaciones 5.86 y 5.87, del captulo 5, se obtiene:

1 2 3 2

2 3 2 m m a a

(usando Soderberg)

(7.18)N S y Sn

1 2 3 2

2 3 2 m m a a

(usando Goodman modificada),

(7.19)N Su Sn

donde los esfuerzos y pueden calcularse as:

m K fm(T ) Sms

y a K ff (T ) Sas ,

(7.20)

m K fm( F ) Sm( F ) K fm( M ) Sm( M )

y a K ff ( F ) Sa( F ) K ff ( M ) Sa( M ) .

(7.21)

Los subndices (T), (F) y (M) para los factores Kfm y Kff indican que stos corresponden a torsin, carga axial y flexin, respectivamente. Los esfuerzos Sm(F) y Sa(F) son las componentes media y alternativa del esfuerzo producido por la fuerza axial, y los esfuerzos Sm(M) y Sa(M) son las componentes media y alternativa del esfuerzo producido por flexin. Ntese que no es necesario verificar la condicin de resistencia esttica de la ecuacin 5.87, si se verifica la resistencia del rbol a las cargas dinmicas.

Este mtodo puede utilizarse para el diseo de rboles que cumplan las siguientes condiciones en el punto a analizar: Material dctil o frgil.

Los esfuerzos normal y cortante varan en fase y con la misma frecuencia (los esfuerzos alcanzan sus valores mximos al mismo tiempo, al igual que sus valores mnimos). Sin embargo, podra utilizarse si esto no se cumple. Se espera que en la mayora de los casos los resultados sean conservadores.El estado de esfuerzo es como el de la figura 7.15; para lo cual los esfuerzos debidos a ajustes de interferencia y a fuerzas cortantes, si los hay, son despreciables. Si la seccin de anlisis est sometida a compresin, no existe posibilidad de pandeo del rbol endicha seccin.

Mtodo adoptado por Faires

La ecuacin siguiente es una variante de la propuesta por Faires[1] 5:

2 K S

2K S

SN 1 Sm

[ ff a ]

Sms

ff (T ) as y

Sn MF

S ys

Sns

; si Sm 0,

(7.22.a)

2K S

2K S 1 [ ff a ]

Sms

ff (T ) as N S

n MF

S ys

Sns

; si Sm 0,

(7.22.b)

donde:

- Sys = 0.5Sy y Sns = 0.5SnMF, para la TECM

- Sys = 0.577Sy y Sns = 0.577SnMF, para la TECO/von Mises

-SnMF est dada, por ejemplo, por la ecuacin 5.50 o la correspondiente, segn el material y la vida esperada, excepto que no se incluye Kcar. Por ejemplo, para materiales que exhiben codo en 106 ciclos y nc > 106, SnMF = Ka Kb Kc Kd Ke Se

- Sm y Sms son los esfuerzos medios normal y cortante respectivamente

- Sas es el esfuerzo alternativo cortante

- [K

K ff ( F ) Sa ( F ) K ff ( M ) Sa ( M ) S ] ; por lo tanto,

K ff ( F ) Sa ( F ) ff a

Kcar( F )

Kcar( M )

[K ff Sa ]

0.7

K ff ( M ) Sa ( M )

-Kff(F), Kff(M) y Kff(T) son los factores de concentracin de esfuerzos por fatiga para vida finita para carga axial, flexin y torsin respectivamente

-Sa(F) y Sa(M) son las componentes del esfuerzo alternativo aportadas por la carga axial y el momento flector respectivamente.

La ecuacin 7.22 es vlida para el diseo de rboles que cumplan las mismas condiciones dadas para el mtodo von Mises, con la condicin adicional de que el rbol sea de material dctil.

Procedimiento propuesto por la ASME

Para el caso de rboles que cumplan las condiciones dadas para el mtodo anterior y, adems, que la seccin de anlisis sea circular slida y est sometida slo a un par de torsin y a un momento flector constantes, se puede utilizar la norma para el diseo de rboles de transmisin ANSI/ASME B106.1M-1985 (ASME: American Society of Mechanical Engineers; ANSI: American National Standards

5 Faires[1] presenta slo la ecuacin para Sm 0.

Institute). Esta norma est basada en datos experimentales, por lo que constituye un mtodo de clculo adecuado. Aunque este mtodo tiene algunas restricciones ms, muchos rboles las cumplen.

La norma establece que el dimetro, d, en la seccin de anlisis puede calcularse con:

2

2

1/ 2

1/ 3

,

d 32N K

M 3 T

(7.23)

Sf n

4 S y

de la cual podemos despejar el factor de seguridad:

3

2 2

1 / 2N d K

M 3 T ,

(7.24)

32

f

Sn

4 S y

donde M y T son los pares de flexin y torsin, respectivamente, los cuales son constantes en la seccin de anlisis, y Kf y Sn se calculan para la carga de flexin (Kf y Sn afectan al momento flector, que es el que produce los esfuerzos variables).

Las condiciones de las ecuaciones 7.23 y 7.24 son:

- Par de torsin constante: T = Tm y Ta = 0, con lo que Sms = Tc/J y Sas = 0.- Flexin giratoria con momento constante: M = Mm y Ma = 0, pero Sm = 0 y Sa = Mc/I (ver figura 7.14).- Material dctil.- Seccin transversal circular slida.- No existe fuerza axial ni otro tipo de carga diferente de torsin y flexin.

Cuando se cumplen estas condiciones, las ecuaciones 7.23 y 7.24 son equivalentes a la 7.22.

A continuacin se hace la deduccin de la ecuacin de la ASME. La figura 7.16 muestra los resultados tpicos que se obtienen al someter probetas dctiles a flexin giratoria y torsin esttica combinadas (los primeros ensayos de este tipo fueron hechos en la dcada de 1930[2]). Los puntos de ensayo siguen una relacin elptica en un diagrama esfuerzo medio cortante, Sms, contra esfuerzo alternativo normal, Sa.

Sa

Se

Los puntos de falla siguen una tendencia como sta

Sys

Sms

Figura 7.16 Tendencia tpica de los datos de ensayo a la fatiga de probetas dctiles sometidas a una combinacin de flexin giratoria y torsin esttica

El estndar de la ASME est basado en la lnea de falla mostrada en la figura 7.16, la cual tiene por ecuacin:

2

2 S S a

ms S ' S

1.

(7.25) e

ys

Si introducimos el factor de seguridad y los factores que modifican la resistencia a la fatiga, se obtiene6:

2 NK S

2 NS f a

ms Sn

S ys

1.

(7.26)

Los esfuerzos Sa y Sms para una seccin circular slida estn dados por:

S Tc 16T ,

(7.27)ms J

d 3

S Mc 32M .

(7.28)a I d 3

Recurdese que a pesar de que el momento flector es constante, el giro del rbol produce un esfuerzo repetido invertido, y la componente alterna del esfuerzo se calcula con dicho par flector. Al reemplazar las ecuaciones 7.27 y 7.28 en la 7.26 se obtiene:

2

2 MNK 32 f

16TN

1.

n d 3 S

d 3 S

ys

(7.29)

Factorizando algunos trminos y utilizando la relacin de la TECO/von Mises Sys = 0.577Sy =(ecuacin 4.35, captulo 4), se obtiene:

S y / 3

N MK

T

2 2 32

f 3

1.

(7.30)

n d 3 S

2S y

Al despejar el dimetro de la ecuacin anterior se obtiene la ecuacin 7.23.

2EJEMPLO 7.2Determinar el dimetro mnimo que debe tener la seccin donde se aloja el rodamiento C delejemplo 7.1, con el fin de que la seccin del hombro donde se apoya dicho rodamiento resista las cargas de fatiga. Tomar un factor de seguridad de N = 1.5. Los datos del problema, al igual que la figura, se repiten aqu. El rbol transmite una potencia de 10 kW a 1200 r/min, y est apoyado en dos rodamientos de bolas A y C. La potencia es suministrada por un pin a la rueda helicoidal B, a

6 Esta ecuacin es vlida, si el esfuerzo medio cortante y el alternativo normal mantienen siempre su proporcin al producirse una sobrecarga.

travs del punto de contacto indicado. La potencia sale por la polea D, la cual tiene dos ranuras en V (transmisin por correas en V). La fuerza en el lado tenso de la correa, F1, es tres veces la del lado flojo, F2. Las componentes de la fuerza de contacto en el engrane B estn relacionadas as: Fa = 0.2Ft y Fr = 0.27Ft. Los dimetros primitivos de la rueda y de la polea son DB = 132 mm y DD = 162 mm, respectivamente. El rbol es de acero SAE 1045 laminado en fro.

Fr D yFt BF2FaA C Polea Dy

z x z

F1

50 mm 50 mm

30 mm

Correas

Figura 7.17 rbol de transmisin de potencia

Solucin:En el ejemplo 7.1 se hizo un diseo para las cargas dinmicas utilizando un procedimiento de diseo esttico. En este ejemplo debe hacerse el diseo por fatiga, utilizando las cargas nominales, no lascargas pico. Utilizaremos los resultados del ejemplo 7.1, pero teniendo en cuenta que todas las cargas nominales son la mitad de las pico.

Clculo del par de torsin y diagrama de par de torsin:En el ejemplo 7.1 se calcul el par de torsin nominal (denominado all TN):

60P (60)(10103 )T N m 79.58 N m.2n

(2 )(1200)

El diagrama de cuerpo libre de pares de torsin y el diagrama de par de torsin son similares a los de la figura 7.10, excepto que se toman los pares nominales.

TA T B C D

T T = 79.58 Nm

A B C D x

Figura 7.18 Diagrama de cuerpo libre de pares de torsin y diagrama de par de torsin

Fuerzas en el rbol:Las fuerzas nominales (fuerzas externas y reacciones) son la mitad de las fuerzas pico. Las fuerzas externas son iguales a:

Ft 1205.7 N,

Fa 241.14 N,

Fr 325.54 N,

F1 1473.6 N y

F2 491.21 N.

Los diagramas de cuerpo libre son los mismos de la figura 7.11:

x yx

Fa RCx

FrMFa

xz Ft

F1 + F2

A B C D

ARAy

0.05 m B

0.05 m

CRCy

0.03 m D

ARAz

0.05 m B

0.05 m

CRCz

0.03 m D

(a) Fuerzas axiales (b) Plano xy (c) Plano xz

Figura 7.19 Diagramas de cuerpo libre de fuerzas axiales, fuerzas transversales y momentos flectores

Las reacciones en los apoyos son:

RAy 3.62 N,

RAz 13.41 N,

RCx 241.14 N,

RCy 321.92 N

y RCz 3157.1 N.

Diagrama de momento flector resultante y diagrama de carga axial:

Estos diagramas son iguales a los de la figura 7.12, excepto que todos los valores deben dividirse por dos.

MR (Nm)

16.11

58.95

F (N)

A B C D x

0.70A B C D x

241.14

(a) Diagrama de momento flector resultante

(b) Diagrama de fuerza axial (en x)

Figura 7.20 Diagramas de momento flector resultante y carga axial

Esfuerzos nominales en la seccin de anlisis:De acuerdo con el enunciado, la seccin que se debe analizar es el cambio de seccin donde se apoyael rodamiento C (esta seccin no necesariamente es la ms crtica). Las cargas en esta seccin son: un momento flector M 58.95 Nm, un par de torsin T = 79.58 Nm y una fuerza axial de compresin F = 241.14 N, tal como se muestra en la figura 7.21. Ntese que el momento flector en el hombro es un poco menor que aquel en la seccin C. Como no se conoce la dimensin del rodamiento, se asumir el valor de M dado arriba.

AM Ss

F SF

T SMB

Figura 7.21 Cargas en la seccin de anlisis y distribuciones de esfuerzos

La figura muestra tambin las distribuciones de los esfuerzos producidos por las tres cargas. La fuerza F produce un esfuerzo uniforme de compresin, el momento flector M produce una distribucin lineal de esfuerzos, con los esfuerzos mximos en los puntos A y B, y el par de torsin T produce esfuerzos cortantes, los cuales son mximos en la periferia. Cualquier punto de la periferia de la seccin C es igualmente crtico, ya que el punto gira pasando por todos los estados de esfuerzo alrededor de la circunferencia.

La figura 7.22 muestra los diagramas de las tres cargas con respecto al tiempo; todas las cargas son constantes. La figura 7.23 muestra la forma en que varan los esfuerzos. El nico esfuerzo variable es el producido por flexin, ya que cualquier punto de la seccin pasa por el punto A (compresin), por el punto B (traccin), por el eje neutro, etc., debido al giro del rbol.

T T = 79.58 Nm F

t M M = 58.95 Nm

t F = 241.14 N t

Figura 7.22 Diagramas T-t, F-t y M-t. Todas las cargas son constantes

Ss SF

t SMt

t

Figura 7.23 Diagramas esfuerzo-tiempo. El par de torsin y la fuerza de compresin producen esfuerzos constantes, mientras que el giro del rbol produce un esfuerzo totalmente alternante por flexin

Los esfuerzos cortantes estn dados por:

S 16Tm 16T 1679.58 N m y S

16Ta 0.

ms d 3

d 3

d 3

as d 3

Para determinar los esfuerzos normales, calcularemos la componente media y la componente alternativa del esfuerzo producido por la fuerza axial, y la componente media y la alternativa del esfuerzo de flexin:

S Fm 4Fm 4 241.14 N y S

Fa 0.m( F )

A d 2

d 2

a ( F ) A

S Mc 32M

3258.95 N mSm( M ) 0 y

a( M ) I

d 3

.d 3

Ntese que la componente media del esfuerzo normal es debida slo a la fuerza, y que la componente alternativa es debida slo al momento flector.

Ecuaciones de diseo:Podemos utilizar, por ejemplo, la ecuacin 7.18 y la 7.22.b, ya que la seccin de anlisis cumple las condiciones de stas:

1 2 3 2

2 3 2 m m a a

(mt odovon Mises, usando Soderberg)

(7.18R)N S y Sn

2K S

2K S 1 [ ff a ]

Sms

ff (T ) as R N S

n MF

S ys

Sns

; si Sm 0

(mt odoFaires),

(7.22.b )

Sin embargo, Sas = 0 y, por lo tanto, a = 0.

Propiedades del material:- Sy = 531 MPa y Su = 627 MPa, para el acero 1045 laminado en fro (tabla A-3.2, apndice 3)-Sys = 0.577Sy = 0.577531 MPa = 306 MPa (usando la TECO/von Mises, ecuacin 4.35, captulo 4)- Se = 0.5Su = 0.5627 MPa = 313.5 MPa (ecuacin 5.2, captulo 5)

Factores que reducen la resistencia a la fatiga:En este problema, la nica carga que produce esfuerzos variables es el momento flector. Al analizardetenidamente las ecuaciones de diseo, se concluye que los siguientes factores deben calcularse para flexin; esto quedar evidenciado al reemplazar dichos factores en algunas ecuaciones.

- Ka = 0.77, acero con Su = 627 MPa = 91 ksi; asumiendo rbol mecanizado (figura 5.11)- Kb = 0.889, de la ecuacin 5.21 para flexin, asumiendo d = 20 mm, que es el dimetroescogido en el ejemplo 7.1, con de = d (flexin giratoria, ecuacin 5.23.a)- Kc = 0.753, trabajando con una confiabilidad de 99.9% (tabla 5.2)- Kd = 1, la temperatura en el rbol es menor de 450 C (ecuacin 5.26)- Ke = 1, no se prev corrosin ni otros factores adicionales que reduzcan la resistencia- Kcar = 1, flexin

- K = (0.77)(0.889)(0.753)(1)(1)(1) = 0.516

Con este factor podemos calcular la resistencia a la fatiga corregida:- Sn = KSe = 0.516313.5 MPa = 161.8 MPa (ecuacin 5.50)

Factores de concentracin de esfuerzos:-Kt(T) 1.95, Kt(M) 2.45 y Kt(F) 2.6 (extrapolacin). El punto crtico pertenece a una seccin con un hombro. Estos coeficientes se calculan asumiendo el radio de redondeo y el dimetro mayor del escaln, de la figura A-5.10, para torsin, A-5.11, para flexin, y A-5.12, para carga axial, con r/d = (0.5 mm)/(20 mm) = 0.025 y D/d = (25 mm)/(20 mm) = 1.25.

- a ( F )

a ( M ) 0.346 mm0.5,

a (T ) 0.277 mm0.5, acero con Su = 627 MPa (tabla 5.3)

- q( F )

q( M )

1 1

a ( M ) /

r 1 1 0.346 mm0.5 /

0.5 mm 0.671 (ecuacin 5.31)

- q(T )

1 1

a (T ) /

r 1 1 0.277 mm0.5 /

0.5 mm 0.719 (ecuacin 5.31)

- K f ( M ) 1 q( M ) (Kt ( M ) 1) 1 0.671(2.45 1) 1.97 (ecuacin 5.30)

- Kff(M) = Kf(M) = 1.97, para vida infinita (ecuacin 5.34)

- K f ( F ) 1 q( F ) (Kt ( F ) 1) 1 0.671(2.6 1) 2.07 (ecuacin 5.30)

- K f (T ) 1 q(T ) (Kt (T ) 1) 1 0.719(1.95 1) 1.68 (ecuacin 5.30)

- Se toma K fm( F ) K f ( F ) 2.07 y K fm(T ) K f (T ) 1.68 (ecuaciones 5.32 y 5.33)

Clculo del dimetro por el mtodo von Mises:Los esfuerzos estn dados por las ecuaciones 7.20 y 7.21:

- a 0

1.681679.58 N m 680.9 N m- m

K fm(T ) Sms

d 3

d 3

2.074 241.14 N 635.5 N m- m K fm( F ) Sm( F )

K fm( M ) Sm( M )

d 2 d 2

-

1.97 3258.95 N m 1183N ma K ff ( F ) Sa ( F )

K ff ( M ) Sa( M )

d 3 d 3

Reemplazando los datos en la ecuacin de von Mises se obtiene:

2 2 2 635.5 1 d[m]2

3 680.9 d[m]3

1183 d[m]3 ,1.5

531106

161.8 106

de donde se obtiene que d = 24.3 mm. Este dimetro es el mnimo que debe tener el escaln donde se aloja el rodamiento de bolas C. Dicho dimetro result ser mayor que el valor obtenido en el ejemplo 7.1, donde se analiz la resistencia a las cargas dinmicas. Se estandariza con base en los dimetros internos estndar de rodamientos de bolas (, 17, 20, 25, 30,); entonces, el dimetro mnimo de la seccin C debe ser de 25 mm.

Como Kb fue asumido con d = 20 mm, se calculan nuevamente los parmetros necesarios: Kb =0.870, K = 0.505, Sn = 158.2 MPa, d = 24.4 mm, el cual es menor que el dimetro estndarseleccionado. Por lo tanto:d = 25 mm.

Clculo del dimetro por el mtodo Faires:Los trminos [Kff Sa] y SnMF estn dados por:

K ff ( F ) S a ( F )

1.97 32 58.95 N m 1183N m- [K ff Sa ]

0.7

K ff ( M ) Sa( M )

K ff ( M ) Sa( M )

d 3 d 3

-SnMF = Ka Kb Kc Kd Ke Se = (0.77)(0.870)(0.753)(1)(1)313.5 MPa = 158.2 MPa. Como se dijo, no se incluye Kcar. Adems, se toma el valor de Kb calculado con d = 25 mm.

Reemplazando los datos en la ecuacin de Faires:

2

2 1 1183N m

16

79.58 N m ,1.5

(158.2 106 P a) d 3

(306106 P a)d 3

de donde

1.5

2 1183N m

1679.58 N m

1/ 32

22.5 mm.

d

158.2 106 N/m 2

(306

106 N/m 2 )

Este dimetro es menor que el obtenido con el mtodo von Mises (24.4 mm); por lo tanto, el mtodo Faires result ser menos conservador para esta seccin de anlisis. Sin embargo, al estandarizar se obtiene nuevamente

d = 25 mm.

Este clculo por fatiga arroj un dimetro mayor que aquel obtenido en el clculo por cargas dinmicas. El dimetro definitivo del rbol depender tambin de las condiciones de rigidez, las cuales son normalmente ms exigentes.

7.3 RIGIDEZ DE LOS RBOLES

7.3.1 Introduccin

Las cargas aplicadas sobre los rboles producen diferentes tipos de deformaciones. Es necesario que stas sean suficientemente pequeas, de lo contrario pueden producir efectos indeseables como golpeteos, vibraciones excesivas, imprecisin en la transmisin del movimiento, desgastes inadmisibles en los elementos acoplados, como ruedas dentadas y rodamientos. Comnmente, el criterio de rigidez es ms exigente que el de fatiga o el de resistencia a las cargas pico; el rbol quedara con una resistencia mecnica por encima de la requerida; por lo tanto, es importante efectuar la comprobacin de los rboles a la rigidez. Esta comprobacin consiste en el clculo de las diferentes deformaciones del rbol, asegurando que stas sean menores o iguales a los valores admisibles.

7.3.2 ngulo de torsin

Un par de torsin actuando sobre un tramo de rbol produce una deformacin angular: una de las caras del tramo gira respecto a la otra, como se muestra en la figura 7.24. Esta desviacin, denominada ngulo de torsin, puede producir, por ejemplo, imprecisin en la transmisin del movimiento, la cual puede afectar mquinas y dispositivos de precisin como centros de mecanizado, mquinas de control numrico y barras de torsin.

T

T

Figura 7.24 ngulo de torsin de un rbol

El ngulo de torsin, , en radianes, producido por un par de torsin T sobre un tramo de rbol de longitud L, mdulo polar de inercia J y material con mdulo de rigidez G, debe ser menor o igual al valor admisible [ ]:

TL .JG

(7.31)

La tabla 7.1 suministra algunos valores para el ngulo de torsin admisible para cuatro aplicaciones.

Tabla 7.1 Deformaciones permisibles de rboles. Fuente: Ivanov[3].

DeformacinAplicacinDeformacin permisible*Deflexin (debida a flexin)yDeflexin mxima en rboles quesoportan ruedas dentadas[y] = (0.0002...0.0003)L, donde L es ladistancia entre apoyosEn el sitio de asiento de ruedas dentadascilndricas[y] = (0.01...0.03)m, donde m es elmdulo de la transmisinEn el sitio de asiento de ruedas dentadascnicas e hipoidales[y] = (0.005...0.007)m, donde m es elmdulo de la transmisinDeflexin mxima en los rboles de losmotores asncronos[y] = 0.1h, donde h es la holgura entre elrotor y el estatorDeflexin mxima en rboles deventiladores[y] = (0.0003...0.0005)D, donde D es eldimetro del rotorDeflexin angular (debida a flexin)En el sitio de asiento de ruedas dentadas[] = 0.001 radEn un cojinete[] = 0.001 radEn el asiento de rodamientos de bolas[] = 0.01 radEn el asiento de rodamientos de rodilloscilndricos[] = 0.0025 radEn el asiento de rodamientos cnicos[] = 0.0016 radEn el asiento de rodamientos esfricos[] = 0.05 radngulo de torsin(por unidad de longitud) / LGras desplazables y porttiles[ / L] = 0.0045...0.006 rad/mHusillos de tornos y taladros[ / L] = 0.00175 rad/mrboles medios de destinacin general[ / L] = 0.009 rad/mrboles de cardanes de vehculos(d = 30...50 mm)[ / L] = 0.005...0.007 rad/m* Otras recomendaciones[4] indican que: y 0.005 in en los asientos de ruedas dentadas; 1 + 2 < 0.03, donde 1 y2 son las deflexiones angulares de un par de ruedas dentadas engranando; y que y en cojinetes de contacto deslizantedebe ser menor que el espesor de la pelcula de aceite.* El mdulo, m, de una transmisin por ruedas dentadas es un parmetro que define el tamao de los dientes.

7.3.3 Deflexiones

Los momentos flectores sobre los rboles producen deflexiones, las cuales son de dos tipos; las deflexiones, y, que consisten en la desviacin (desplazamiento) de los puntos de la elstica, y las deflexiones angulares, , que consisten en el cambio de la pendiente de la elstica. Las deflexiones

excesivas son muy perjudiciales, ya que pueden provocar gran vibracin y sobrecargas en cojinetes, ruedas dentadas y otros elementos acoplados, que en definitiva producen grandes aumentos de los esfuerzos, pudindose dar la falla del rbol (figura 7.25). En la tabla 7.1 se presentan valores admisibles para las deflexiones de rboles.

Centro de gravedad del sistema excntrico, debido a y2, produciendo vibracin autoexitada y aumento de los esfuerzos

Prdida parcial del engrane y engrane no uniforme debido a las deflexiones y2 y 2, lo que produce sobrecarga y desgaste excesivos en las puntas de los dientes

1 3y2

Sobrecarga del cojinete de contacto deslizante (buje) debido a 3, lo que produce desgaste excesivo y no uniforme

Sobrecarga del cojinete de contacto rodante (rodamiento) debido a ladeflexin angular 1, lo que causa 2reduccin de su vida til

Figura 7.25 Deflexiones en un rbol. Las deflexiones se muestran exageradas. Se muestran dos tipos de cojinetes: de contacto rodante y de contacto deslizante; en general, un rbol tiene uno solo de estos tipos

Las deflexiones de los rboles (o vigas en general) pueden calcularse con diferentes mtodos, como el mtodo de integracin, el de energa, el de rea-momento y el de superposicin. Estos mtodos se estudian en libros y cursos de resistencia de materiales y no hacen parte de nuestro estudio.

7.3.4 Deformacin axial

Las deformaciones axiales en rboles podran tambin ser perjudiciales. La deformacin total producida por una fuerza axial F sobre un tramo de rbol de longitud L, rea de la seccin transversal A y material con mdulo de elasticidad E, debe ser menor o igual que la admisible, []:

FL .AE

(7.32)

7.4 DISEO DE RBOLES

7.4.1 Pasos en el diseo de rboles

Como se mencion en la seccin 7.1, el diseo de rboles consta de varios pasos. De acuerdo con el procedimiento de diseo propuesto por Romero et al.[5], primero se debe efectuar un diseo previo o preliminar, ya que son muchas las variables desconocidas; despus de ste, se hacen comprobaciones de resistencia dinmica y a la fatiga, rigidez, vibraciones, etc..

7.4.2 Diseo previo o de proyecto

Cuando se inicia el diseo de un rbol, normalmente se conoce la potencia a transmitir y la frecuencia de giro, con los cuales se calcula el par de torsin (o pares de torsin, si hay varias entradas o salidas de potencia). Tambin puede tenerse un conjunto de datos sobre los elementos que se montan sobre el rbol. Sin embargo, las caractersticas constructivas de ste, sus dimetros y las longitudes de apoyo de las piezas no se conocen. Tomando las decisiones constructivas y de montaje durante el clculo o diseo previo, se obtienen las longitudes y dimetros de todos los tramos:

1) Se selecciona el material de rbol, el cual, segn recomendaciones[5,6], puede ser de acero al carbono SAE 1020 a 1050 (por ejemplo, 1035, 1040 1045), los cuales son de bajo costo. Cuando los criterios de resistencia resulten dominantes sobre aquellos de las deformaciones, puede seleccionarse un acero de mayor resistencia como los aceros aleados SAE 3140, 4140 4340 (tambin 3150, 5140,1340, 1350 y 8650[6]). Para aplicaciones en las cuales un rbol y alguna o algunas piezas como engranes se fabrican de una sola pieza, se puede utilizar hierro fundido o hierro nodular, por facilidadde construccin[2]. Para aplicaciones marinas o con ambientes corrosivos se podra utilizar bronce o acero inoxidable.

2) Se calcula el dimetro del extremo saliente del rbol (por ejemplo, donde est ubicada la polea, la rueda dentada o el acople) o el dimetro del tramo donde se ubican las ruedas dentadas, para el caso de un rbol intermedio de un reductor de velocidades. Como no se conoce el momento flector mximo, ya que ste depende de las longitudes de los diferentes tramos, dicho dimetro se calcula con base en el par de torsin mximo nominal, usando un factor de seguridad grande (ya que los efectos de flexin, carga axial y cortante no se tienen en cuenta en este paso). Para una seccin circular maciza, el esfuerzo cortante mximo, Ss, producido por el par de torsin nominal mximo, T, est dado por:

S Tc 16T ,

(7.33)s J d 3

donde J, c y d son el momento polar de inercia, el radio y el dimetro, respectivamente, de la seccin transversal escogida.

El par de torsin se calcula con la potencia, P (en el tramo de inters, si hay varias entradas o salidas de potencia) y la velocidad angular, :

T P ,

(7.34)

donde est en radianes por unidad de tiempo. Normalmente, se maneja frecuencia de giro, n, en vez de velocidad angular. Si P est dada en watt y n en r/min, el par de torsin, T, en Nm, est dado por:

T[N m] 60P[W] ,2n[r/min]

(7.35)

donde 2 y 60 aparecen debido a la conversin de unidades, revoluciones a radianes y minutos a segundos respectivamente. Similarmente:

T[lbf in] 63000P[hp] .n[r/min]

(7.36)

El esfuerzo cortante de la ecuacin 7.33 debe ser menor o igual al esfuerzo cortante de diseo o esfuerzo admisible, Ssd, el cual es igual a la resistencia del material sobre un factor de seguridad grande. Se recomienda que:[5]

(a) Si el dimetro que se est calculando es el de entrada de potencia (o el del extremo saliente del rbol)

Ssd = (20...25) MPa, (7.37.a)

(b) Si el dimetro que se est calculando es donde se ubican las ruedas dentadas en un rbol intermedio de la transmisinSsd = (10...20) MPa. (7.37.b) Despejando el dimetro d de la ecuacin 7.33 y teniendo en cuenta que el esfuerzo debe ser menor oigual al admisible, se obtiene que:

1/ 3 16T .d

(7.38) Ssd

El dimetro d se aproxima al valor estndar ms cercano.

3) Los dimetros de los escalones restantes se van determinando sumndole o restndole a los dimetros obtenidos de 2 a 5 mm. Debe tenerse en cuenta que la relacin entre dos dimetros adyacentes no debe ser mayor de 1.2, con el fin de evitar una elevada concentracin de esfuerzos. Los dimetros calculados se normalizan.

Durante la normalizacin de los dimetros de los escalones se deben tener en cuenta las medidas preferidas, las medidas de los rodamientos y de los otros elementos que se van a montar en el rbol. Particularmente, los puestos de los rodamientos deben tener dimetros que coincidan con los de los agujeros de stos; adems, la diferencia entre el dimetro donde se aloja un rodamiento y el dimetro del escaln siguiente, debe ser tal que el redondeo del rodamiento no impida un correcto apoyo de ste sobre la pared del escaln (los catlogos de rodamientos suministran informacin acerca de las diferencias mnimas entre los dos dimetros en los que se apoyan stos).

7.4.3 Revisin de la resistencia esttica

Como se mencion en la seccin 7.2.2, la revisin de la resistencia esttica no es necesaria si se efecta la revisin de la resistencia a la fatiga. Sin embargo, si se quiere efectuar este clculo, se pueden utilizar las ecuaciones adecuadas de la seccin 7.2.2. El procedimiento para la revisin de los dimetros del rbol a la resistencia esttica consiste en:

1) Determinar las fuerzas tangenciales, radiales y axiales que aparecen en las ruedas dentadas, poleas, rotores, etc.. Dichas fuerzas se calculan con las dimensiones y caractersticas de los elementos que se montan sobre el rbol y con el par o pares de torsin.

2) Construir cuatro diagramas de cuerpo libre: (i) de pares de torsin, (ii) de fuerzas axiales y (iii) dos diagramas de fuerzas transversales y momentos flectores, correspondientes a dos planos ortogonales (estos dos planos contienen el eje axial).

3) Determinar las reacciones en los apoyos (cojinetes).

4) Construir diagramas de (i) momento de torsin, (ii) fuerza axial y (iii) momento flector en los planos ortogonales.

5) Trazar el diagrama de momento flector resultante. En cualquier seccin del rbol, el momento flector resultante MR est dado por:

M2M R xy

M xz

2 1 / 2 .

(7.39)

donde Mxy y Mxz son los momentos flectores en los dos planos ortogonales, de la seccin de inters.

6) Determinar el factor de seguridad de las secciones crticas del rbol mediante la ecuacin 7.9, 7.11,7.13 7.15 (siempre que se cumplan las condiciones de la ecuacin utilizada). Si el factor de seguridad para alguna seccin es muy pequeo (menor que el admisible), debe redisearse el rbolcalculando un nuevo dimetro con la ecuacin 7.10, 7.12, 7.14 7.16 (siempre que se cumplan lascondiciones de la ecuacin utilizada).

7.4.4 Revisin de la resistencia a la fatiga

Debe verificarse que el rbol resiste las cargas variables indefinidamente o durante el tiempo requerido. Al igual que la revisin de la resistencia esttica, se verifica que los factores de seguridad sean mayores a los admisibles, para las diferentes secciones del rbol. De acuerdo con Ivanov[3], el factor de seguridad, N, para el diseo general de mquinas puede ser del orden de 1.3 a 1.5 (para la fluencia); sin embargo deben utilizarse factores de seguridad ms grandes en la medida en que existan mayores incertidumbres.

El procedimiento de revisin de resistencia a la fatiga es similar al descrito en la seccin 7.4.3, teniendo en cuenta como varan, con el tiempo, los diagramas de momento flector, de par de torsin y de carga axial. Tambin se tienen en cuenta los factores de concentracin de esfuerzos por fatiga. Para el clculo de los factores de seguridad se usa la ecuacin 7.18, 7.19, 7.22 7.24.

7.4.5 Revisin de la resistencia a las cargas dinmicas

Esta revisin tambin se denomina clculo de limitacin de las deformaciones plsticas. Con este clculo se pretende verificar que el rbol no fallar plsticamente debido a las cargas pico (de arranque o por sobrecargas), las cuales siempre ocurren. En los arranques el par de torsin es normalmente mayor que el nominal. Si a esto se le suma el hecho de que las holguras en los diferentes elementos de la transmisin (por ejemplo, backlash en las ruedas dentadas) generan impactos durante el arranque, las cargas son significativamente ms grandes que las de trabajo normal. Los valores mximos de las diferentes cargas sobre el rbol superan el doble de los nominales[5].

Para la revisin de la resistencia a las cargas dinmicas se utiliza el procedimiento de diseo esttico, previendo que el nmero de veces que se repiten las cargas pico no es lo suficientemente grande como para producir falla por fatiga. Entonces, este clculo es similar al descrito en la seccin 7.4.3, pero los valores de las fuerzas y de los momentos son mayores. El factor de seguridad para cargas dinmicas es del orden de 1.3 a 1.5 (para la fluencia) [5].

7.4.6 Revisin del rbol a la rigidez

Los rboles deben ser los suficientemente rgidos para garantizar el correcto funcionamiento de las ruedas dentadas, cojinetes, rotores y dems elementos que se monten sobre ellos. Las deformaciones excesivas dan lugar a sobrecargas, vibraciones y deficiencias en el contacto entre dos elementos (por ejemplo, los dientes de dos ruedas dentadas), lo cual produce desgastes prematuros y reduccin de la vida til de los

elementos. Como se vio en la seccin 7.3, existen cuatro tipos de deformacin (axial, por torsin, deflexin y deflexin angular), las cuales deben controlarse.

La revisin de la rigidez del rbol consiste en verificar que las diferentes deformaciones, calculadas con las ecuaciones 7.31 y 7.32, entre otras, sean menores que las admisibles. La tabla 7.1 present algunos valores recomendados de deformaciones permisibles.

Aunque las deformaciones pueden calcularse con las frmulas de resistencia de materiales, cuando el rbol es escalonado (con tramos de dimetros diferentes a lo largo de su longitud) puede determinarse un dimetro equivalente dE mediante la expresin:

1/ 2 d d

1 ,

(7.40)E max n (

/ 4 ) i1 i i

donde dmax es el dimetro mximo del rbol, n es el nmero de tramos, i = Li / L y i = di / dmax; en estas ltimas, L es la longitud total del rbol (L = Li) y Li y di son la longitud y el dimetro, respectivamente, del tramo nmero i. Ntese que las piezas que se montan en el rbol a presin se tienen en cuenta como parte del rbol y que el dimetro di se toma igual al dimetro de la manzana; en tramos estriados di se toma igual al dimetro medio de las estras[5].

Al utilizar la ecuacin 7.40, los clculos se simplifican y la exactitud obtenida es normalmente suficiente.

7.4.7 Revisin del rbol a las vibraciones

Todo sistema tiende a vibrar con amplitudes excesivas cuando la frecuencia de excitacin es similar a alguna de las frecuencias crticas (o frecuencias naturales); cuando son aplicadas al sistema, ste entra en resonancia. Cuando hay resonancia el sistema tiende a vibrar excesivamente, lo cual puede llegar a producir su falla. Los rboles, en unin con elementos que sobre ellos se montan, tambin tienen sus frecuencias naturales (en los modos de flexin y torsin); por lo tanto, la frecuencia de giro del rbol debe estar bastante alejada de las frecuencias naturales.

Las revoluciones crticas ncr(M) en el modo de flexin pueden calcularse por la frmula de Rayleigh:

W y

W y

W y

1 / 2 1 1 2 2 n n ncr ( M ) [r/min] 946 W y 2

W y 2

W y 2 ,

(7.41) 1 1

2 2

n n

donde Wi es el peso de cada masa sobre el rbol y yi la deflexin esttica, en mm, debida a la carga Wi para el caso sencillo en que la carga acta en medio de los apoyos. Las revoluciones crticas pueden obtenerse tambin de la frmula de Dunkerley (de exactitud aceptable):

)1/ ncr(M 2 = (1/ n12

+ 1/ n22

+ + 1/ n

n2), (7.42)

idonde ni son las revoluciones crticas calculadas para cada masa concentrada individual: ni = 946/y 0.5.

Las revoluciones crticas ncr(T) en el modo de torsin, si el rbol tiene una sola entrada y una sola salida de potencia, estn dadas por:

1/ 2n 60 GJ ,

(7.43)cr (T ) L I T m

donde G es el mdulo de rigidez, LT es la longitud sometida a torsin, J (momento polar de inercia) =4 2dE /32, e Im es el momento de inercia msico del rbol, Im = ma dE /4, donde ma es la masa del rbol.

Para evitar el peligro de resonancia, se debe cumplir que n 106, SnMF = Ka Kb Kc Kd Ke Se

- [K

K ff ( F ) Sa ( F ) K ff ( M ) Sa ( M )S ] ; por lo tanto,

K ff ( F ) Sa( F )ff a

Kcar( F )

Kcar( M )

[K ff Sa ]

0.7

K ff ( M ) Sa( M )-Kff(F), Kff(M) y Kff(T): factores de concentracin de esfuerzos por fatiga para vida finita para carga axial, flexin y torsin respectivamente-Sa(F) y Sa(M): componentes del esfuerzo alternativo aportadas por la carga axial y el momento flector respectivamente.

Mtodo ASMEEcuacin ANSI/ASME, Norma B106.1M1985 para diseo de rboles de transmisin. Cuando se cumplen lascondiciones mencionadas abajo, la norma es equivalente al anlisis por fatiga mediante el mtodo Faires.

2

21 / 2

1 / 3

3 2

2 1 / 2 32 N

M 3 T

N d K M

3 T d

K f

4Sn

S y

32

f Sn

4 S y

Condiciones:- Par de torsin constante: T = Tm y Ta = 0 (Sms = Tc/J y Sas = 0)- Flexin completamente invertida: M = Mm y Ma = 0 (Sm = 0 y Sa = Mc/I)- Material dctil- Seccin transversal circular slida- No existe fuerza axial ni otro tipo de carga diferente de torsin y flexin

RIGIDEZ DE LOS RBOLES

ngulo de torsin:

TL JG

Deflexiones: se calculan con mtodos de deflexin de vigas

Deformacin total (axial):

FL AE

DISEO DE RBOLES

Diseo previo:- Material: acero SAE 1035, 1040 1045, si es necesario, SAE 3140, 4140 4340

1/ 3 T - Dimetro previo: d 16

, donde S

= (2025) MPa (dimetro de entrada o saliente) sd Ssd

Ssd = (1020) MPa (dimetro donde se ubican las ruedas dentadas de un rbol intermedio)

-Para los dimetros de escalones restantes: sumar o restar (2 a 5) mm para obtener el dimetro de un escaln adyacente. La relacin entre los dimetros de dos escalones consecutivos no debe ser mayor de 1.2. Todos los dimetros deben normalizarse

Revisin de la resistencia a la fatiga:Usar una ecuacin de diseo adecuada para cargas variables combinadas. Verificar que el factor de seguridad seamayor de 1.3 a 1.5.

Revisin de la resistencia a las cargas dinmicas:Usar una ecuacin de diseo adecuada para cargas estticas combinadas. Verificar que el factor de seguridad seamayor de 1.3 a 1.5.

Revisin del rbol a la rigidez:Calcular las deformaciones del rbol y compararlas con los valores admisibles (tabla 7.1). Para simplificar losclculos puede hallarse un dimetro equivalente:

nd d

( / 4 )

1 / 2

E max

i 1 i i

Revisin del rbol a las vibraciones:

W y

W y

W y

1 / 2 1 1 2 2 n n Modo de flexin:

ncr ( M ) [r/min] 946 W y 2

W y 2

W y 2 1 1

2 2

n n

60 GJ

1 / 2Modo de torsin:

ncr (T ) L I T m

7.6 REFERENCIAS Y BIBLIOGRAFA

[1] FAIRES, V. M.. Diseo de Elementos de Mquinas. Mxico: Editorial Limusa, 1995. 4 Reimpresin.[2] NORTON, Robert L.. Diseo de Mquinas. Mxico: Ed. Prentice-Hall (Pearson), 1999. [3] IVANOV, M. N.. Elementos de Mquinas. Mosc: Escuela Superior, 1984.[4] JUVINALL, R. C. y MARSHEK, K. M.. Fundamentals of Machine Component Design. NuevaYork: John Wiley & Sons, 1991, p. 656.[5] ROMERO, C. A., QUINTERO, H. F., VANEGAS, L. V., CALLE, G. y OROZCO, C. A.. Diseo de rboles para Ventiladores. Scientia et Technica, No. 8, 1998, pp. 155-180.[6] BUDYNAS, R. G y NISBETT, J. K.. Diseo en Ingeniera Mecnica de Shigley. Mxico:McGraw-Hill Interamericana, 2008.[7] CATLOGO FAG: Programa Standard FAG. Catlogo WL 41 510/2 SE, edicin 1988.

7.7 EJERCICIOS PROPUESTOS

E-7.1 El rbol mecanizado mostrado, de acero 1030 laminado en caliente, recibe una potencia de 6 kW a 800 r/min mediante un acople flexible en el extremo izquierdo y la transmite a otro rbol mediante una transmisin por correas en V. La polea tiene 80 mm de dimetro primitivo. La relacin entre las fuerzas de la polea es de 3. Trabaje con N = 1.8 y una confiabilidad de 99.9%.(a) Trace los diagramas de fuerza cortante, carga axial, momento flector y par de torsin del rbol. (b) Dibuje el estado de esfuerzo del punto crtico.(c) Calcule el dimetro mnimo que debe tener el rbol para que soporte indefinidamente las cargas.

60 mmy

z x

d

Cueros yde perfilz x

Puestos de rodamiento

70 mm 70 mm

Figura E-7.1

E-7.2 Para el rbol del ejercicio anterior:(a) Calcular el dimetro mnimo si ste debe soportar unas cargas pico que son el doble de las cargas nominales.(b) Cul debe ser el dimetro del rbol para que ste soporte tanto las cargas de fatiga como las cargasdinmicas?

E-7.3 El rbol mostrado es de acero laminado en caliente con Sy = 500 MPa, Su = 600 MPa y HB = 180; transmite una potencia de 8 kW a 1200 r/min. La potencia es recibida por un pin helicoidal B de 12 cm de dimetro primitivo, 20 de ngulo de presin y 15 de ngulo de inclinacin de los dientes y es entregada por una polea C con ranuras en V, de 10 cm de dimetro primitivo. Las fuerzas en la polea tienen una relacin de 3 a 1, y las ruedas van montadas al rbol mediante chaveteros de perfil. Usando el mtodo adoptado por Faires con la TECM, calcule el dimetro mnimo que debe tener el rbol para que ste tenga una duracin indefinida. Trabajar con una confiabilidad de 99% y N = 2.

y

x z B

y

zx B C A

Cueros yde perfilD z xC

0.1 m 0.2 m 0.1 m

Figura E-7.3

E-7.4 El rbol mecanizado de la figura, de acero SAE 1030 laminado en fro, transmite una potencia de73.6 hp (54.884 kW) a 1747 r/min. Recibe potencia de un motor elctrico, a travs de un acople flexible montado en el escaln de 30 mm de dimetro, y entrega potencia a travs de un pin cilndrico dedientes rectos, de 80 mm de dimetro primitivo y 20 de ngulo de presin. El rbol est apoyado en dosrodamientos rgidos de bolas FAG 6207 de 17 mm de ancho, 35 mm de dimetro interior y 72 mm de dimetro exterior. El acople y el pin estn montados en el rbol mediante chaveteros de perfil. Los dimetros de los escalones de 35, 42 y 50 mm, as como las dimensiones de las ranuras, han sido decididos, en parte, teniendo en cuenta que los rodamientos deben tener un adecuado apoyo en los hombros (la informacin es suministrada por el catlogo). Para las ranuras asuma que el coeficiente terico de concentracin de esfuerzos es el mayor entre el valor obtenido para un cambio de seccin (con relacin de dimetros d3/d2) y aquel para una ranura anular (con relacin de dimetros d1/d2). Determine el factor de seguridad del rbol para:(a) Las cargas variables, usando el mtodo ASME.(b) Las cargas dinmicas, si stas son 2.5 veces las nominales.

Medidas: mm

y

R2.5

42

50

45

R1.5R1.5

d330 35 35 xz d1

3.5 d2

d1 = 35 42; d2 = 33 40; d3 = 42 50

80 17 37 30 7 17

Detalle ranuras

Figura E-7.4

E-7.5 El rbol de acero 1030 laminado en fro est apoyado en dos rodamientos de bolas, recibe potencia a travs de una polea de una transmisin por correas en V y entrega potencia a travs de una rueda cilndrica helicoidal. Las direcciones de las fuerzas en la polea y en la rueda se muestran en la figura (verifique las direcciones teniendo en cuenta el sentido de giro del rbol y la direccin de inclinacin de los dientes de la rueda). El rbol transmite 17.9 kW a 587 r/min. La rueda tiene un dimetro primitivo DR = 89.39 mm y 21 dientes con un ngulo de presin p = 20 y un ngulo de inclinacin = 20. La polea tiene una dimetro primitivo DP = 20 in (508 mm) y una relacin de las fuerzas en el lado tenso y en el lado flojo F1/F2 = 3.66. Los dimetros de los escalones del rbol, de izquierda a derecha, son d1 = 30 mm, d2 = 35 mm, d3 = 45 mm, d4 = 40 mm y d5 = 35 mm. Los cambios de seccin tienen radios de redondeo de 1 mm. Para todos los concentradores de esfuerzos tome Kfm = Kff= Kf.(a) Calcule el factor de seguridad del rbol usando la ecuacin propuesta por Faires para los esfuerzosvariables, trabajando con una confiabilidad de 99.9%.(b) Cul es la seccin crtica del rbol con respecto a la fatiga?(c) Cules son el momento flector, el par de torsin y la fuerza axial en dicha seccin?

Polea

y

z d1

Ruedad3

d2

Sentido de giro

d4 d5 x

Vista frontal

Chavetero de perfil

82

Ft

FaFr

40 17 6 52

Chavetero de perfil

185

18

Medidas: mm

y

Sentido de giro

Polea

x zVista lateral izquierda

17

F2

Correas

17

F1

Figura E-7.5

Respuestas:E-7.1 (c) d = 33.2 mm (mtodo von Mises - Soderberg).d = 32.4 mm (mtodo von Mises - Goodman modificada).d = 31.4 mm (mtodo Faires - TECO/von Mises; mtodo ASME).

d = 31.5 mm (mtodo Faires - TECM).E-7.2 (a) d = 27.0 mm (TECO/von Mises); d = 27.3 mm (TECM). (b) Dimetro determinado en E-7.1(c).E-7.3 d = 34.8 mm.E-7.4 (a) N = 3.11.(b) N = 1.80 (TECO/von Mises).E-7.5 (a) N = 1.34 (mtodo Faires - TECM); N = 1.35 (mtodo Faires - TECO/von Mises). (b) La seccin ubicada a 139 mm del extremo izquierdo del rbol.(c) M = 201.6 Nm; T = 291.2 Nm; F = 2371 N (compresin).