TE = Punto de empalme entre la recta y la espiralEC = Punto de empalme entre la espiral y el arco circularCE = Punto de empalme entre el arco circular y la espiralET = Punto de empalme entre la espiral y la recta∆   = Deflexión de la curva.Rc = Radio curva circularLe = Longitud curva espiralӨe = Delta o deflexión curva espiralXc = Coordenada X de la espiral en los puntos EC y CEYc = Coordenada Y de la espiral en los puntos EC y CEP   = Disloque = Desplazamiento del arco circular con respecto a la tangenteK  = Abscisa Media. Distancia entre el TE y el punto donde se produce el disloqueTe = Tangente de la curva. Distancia TE – PI y PI - ETEe = ExternaTl  = Tangente larga. Distancia entre TE o ET y PIeTc = Tangente corta. Distancia entre PIe y EC o CECe = Cuerda larga de la espiral. Línea que une TE con EC y CE con ETФ  = Angulo de la cuerda larga de la espiral∆c = Deflexión de la curva circularG  = Grado de curvatura circularLc = Longitud curva circularCc = Cuerda larga circular

Estudio de la Clotoide o Espiral de Euler.

Su expresión más simple es           A2 = R x L

Corresponde a la espiral con más uso en el diseño de carreteras, sus bondades con respecto a otros elementos geométricos curvos, permiten obtener carreteras cómodas, seguras y estéticas.

Las principales ventajas de las espirales en alineamientos horizontales son las siguientes:

-   Una curva espiral diseñada apropiadamente proporciona una trayectoria natural y fácil de seguir por los conductores, de tal manera que la fuerza centrífuga crece o decrece gradualmente, a medida que el vehículo entra o sale de una curva horizontal.

-   La longitud de la espiral se emplea para realizar la transición del peralte y la del sobreancho entre la sección transversal en línea recta y la sección transversal completamente peraltada y con sobreancho de la curva.

-   El desarrollo del peralte se hace en forma progresiva, con lo que se consigue que la pendiente transversal de la calzada sea, en cada punto, la que corresponde al respectivo radio de curvatura.

-   La flexibilidad de la clotoide y las muchas combinaciones del radio con la longitud, permiten la adaptación a la topografía, y en la mayoría de los casos la disminución del movimiento de tierras, para obtener trazados más económicos.

Con el empleo de las espirales en autopistas y carreteras, se mejora considerablemente la apariencia en relación con curvas circulares únicamente.  En efecto, mediante la aplicación de espirales se suprimen las discontinuidades notorias al comienzo y al final de la curva circular (téngase en cuenta que sólo se utiliza la parte inicial de la espiral), la cual se distorsiona por el desarrollo del peralte, lo que es de gran ventaja también en el mejoramiento de carreteras existentes.

Ecuaciones Paramétricas

La clotoide se puede definir como una curva tal que su radio es inversamente proporcional a su longitud.  Su ecuación intrínseca es:

Donde:

L          :           Longitud desde el origen a los puntos indicados, (m)

R         :           Radios en los puntos indicados, (m)

A         :           Parámetro de la clotoide, (m)

Parámetro A

a.  Consideraciones generales

- Por definición, en las clotoides la curvatura varía gradualmente desde cero (0) en la tangente, hasta un valor máximo correspondiente al de la curva circular espiralizada, ya que el radio de la curva, en cualquier punto de la espiral, varía con la distancia desarrollada a lo largo de la misma, manteniendo su parámetro A constante.  Es decir, aún cuando el radio y la longitud de los distintos puntos de la clotoide tienen diferentes valores, estos están ligados entre sí, de modo que su producto es un valor constante, pudiéndose fácilmente calcular uno de ellos cuando se conoce el valor del otro;

- Las clotoides de parámetro A grande, aumentan lentamente su curvatura y, por consiguiente, son aptas para la marcha rápida de los vehículos.  Las espirales de parámetro A pequeño aumentan rápidamente su curvatura y, por consiguiente, se utilizan para velocidades de marcha reducida;

- El parámetro A, al fijar el tamaño de la clotoide, fija la relación entre R (radio), L (longitud) y q (ángulo central de la espiral).

b.  Cálculo

Si en la fórmula A2=R x L hacemos R=L, entonces: A = R = L, y el punto en que tal cosa ocurre es el punto paramétrico de la clotoide, punto en el cual el radio de curvatura y la longitud del arco desde el origen son iguales.  En el punto paramétrico corresponde un arco entre las tangentes de 28°38’52”.

Elementos de la Clotoide

R x L = A2         --->         Rc x Le = R x L    ----->            R = (Rc x Le)/ L

∆ = 2Өe  + ∆c

Otra característica de la clotoide es  Ө = L2/2RLe ; significa que el ángulo central de la Clotoide , Ө, varía proporcionalmente al cuadrado de de su arco, o distancia desde TE hasta el punto considerado.

Si, Ө = Өe  ; entonces;  L = Le  y R = Rc ; sustituyendo   Өe =  Le/2Rc  (Rad.)

Si se quiere en Grados; multiplicar por (180/pi)

Relacionando las dos ecuaciones de Ө  y  Өe  tenemos;

(Ө/ Өe) =   L2/2RLe / Le/2Rc  = (L/Le)2   ---->        (Ө/ Өe)  =     (L/Le)2

 Las Coordenadas cartesianas de un punto sobre la curva (PSC) serán:

X = L (1 – Ө2/ 10)                              Y = L (Ө/ 3 – Ө3/ 42)      Ө en Rad.

En el punto EC ó CE tendremos

Xe  = Le  (1 – Өe2/ 10)                         Ye  = Le  (Өe/ 3 – Өe

3/ 42)      Ө en Rad.

Reemplazando en Y, el valor de  Ө; tenemos la Ecuación general de la Curva

Y = L3   / 6RLe

Que indica que la Clotoide es aproximadamente una parábola cúbica.

Si se observa la Figura 03 se puede notar que la espiral desplaza la curva circular hacia el centro de esta separándola un distancia Ye en el punto donde estas empalman (EC y CE) y una distanciap, llamada disloque, en el PC. Aunque el PC no existe dentro de la curva, es el punto donde supuestamente estaría ubicado éste si no se tiene la curva espiral, en otras palabras, es el punto donde la tangente a la prolongación de la curva circular es paralela a la tangente de la curva.El punto PC está ubicado a una distancia K desde el TE en la dirección de la tangente. El valor de K se conoce como abscisa media ya que su valor es aproximadamente igual a la mitad de Le. Podría decirse entonces, que el disloque es el valor de Y en la mitad de la curva espiral y que la mitad de la curva espiral reemplaza parte de la curva circular.De la Figura 003 se tiene que:

K, P, entonces son las coordenadas cartesianas del punto PC

La utilidad del disloque radica en que de acuerdo a su valor se define la necesidad o no de utilizar curvas de transición. Un valor muy pequeño significa que la trayectoria de la curva circular simple es muy similar a la descrita con curvas de transición por lo que se podría prescindir de estas. Un valor alto indica que las dos trayectorias son lo suficientemente diferentes para considerar que se deben usar las espirales de transición.De acuerdo a la fórmula de cálculo del disloque se puede observar que al aumentar el radio disminuye el peralte por lo que curvas con radios muy grandes no requiere de espirales de transición. Aunque se han manejado valores límites para disloque, inicialmente fue de 0.30 m y luego de 0.1 m, por debajo de los cuales se recomienda no usar transiciones, los diseños actuales contemplan el uso de espirales para todas las curvas de un trazado sin importar el valor del disloque.

Ubicación del TE (o ET)De la Fig. 01 obtenemos que:

De la misma figura obtenemos que el valor de la externa será:Ec= (Rc+P)(sec ∆/2) - Rc

El valor de la Tangente Larga y la Tangente Corta será:

Tc= Ye/ (senӨe)                                         Tl= Xe – Tc (cosӨe)  

 El valor de la cuerda Larga Ce, de la figura 02, tenemos

                             

De la fig. 02 tomamos que el ángulo Ф llamado ángulo de deflexión, es el formado por la línea que une un punto cualquiera sobre la clotoide con el TE y la línea TE-PI. Si aceptamos que este ángulo es lo suficientemente pequeño, entonces aceptamos que el arco se confunde con la cuerda, por lo tanto:

y = L sen Ф;  = L . Ф , entonces;    Ф = y/L.   reemplazando “y” de la ecuación general, tenemos;

Ф = L2/(6RcLe);   pero sabemos que Ө = L2/2RLe,  entonces: Ф = Ѳ / 3

Los parámetros de la curva circular se obtienen de las mismas formulas de la curva circular simple. Sabiendo que:

∆ = 2Өe  + ∆c

L = 2Le + Lc

Lc = (π Rc ∆c)/ 180