REAL ACADEMIA DE CIENCIASEXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES

DISCURSO INAUGURAL

DEL AÑO ACADÉMICO 1996-1997

LEÍDO EN LA SESIÓN CELEBRADA EL DÍA 16 DE OCTUBRE DE 1996

POR EL ACADÉMICO NUMERARIO

EXCMO. SR. D. JOSÉ MARÍA MONTESINOS AMILIBIA

SOBRE EL TEMA

NÚMEROS, COMBINATORIA Y NUDOS:DE LO DISCRETO AL CONTINUO

MADRIDDOMICILIO DE LA ACADEMIA

VALVERDE, 22 TELÉFONO - 521 25 291996

Depòsito legal: M. 35.088-1996

Reproducido en Realigraf, S. A. - Pedro Tezano, 26 - 28039 Madrid

Números, combinatoria y nudos: de lo discreto alcontinuo

Excmo. Sr. Presidente, Excma. Sra. Académica, Excmos. Sres. Académicos,Señoras y Señores.

Siguiendo un turno ya tradicional, me ha correspondido pronunciar el discursode apertura de este nuevo año académico 1996-1997, y agradezco mucho a miscompañeros de Academia la atención que han tenido al confiarme este encargo.

1. Introducción

Los Señores Académicos que me han precedido en esta tarea habránseguramente experimentado la incertidumbre y perplejidad del científico metido ensus personales investigaciones a quien se le pide que las explique en román paladino:Quiero fer una prosa -decía Berceo- en román paladino, con el cual suele el pueblofablar a su vecino, ca non so tan letrado por fer otro latino, bien valdrá, como creo,un vaso de bon vino. El bueno de Berceo sabía perfectamente latín, pero el vino de laRioja le gustaba más. Le pasaba más o menos como a las modistillas de San Sebas-tián: Iru damatxo Donostiyako,..., josten ere ba-dakite, baña ardua edaten obeki (*).

No estoy, naturalmente, pidiendo que la ya tradicional jarrita de agua, con quenos aclaramos la garganta los oradores, sea sustituida por algún vino de calidad;simplemente manifiesto que es una buena lección, que todo científico debe aprender,la de tener que comunicar su ciencia de modo que brote de sus labios en lenguajellano y comprensible para todos. ¡Ah! y sin aspavientos por las dificultades que elloentraña, aprendiendo a soterrarlas bajo una pizca de humor como el gran Berceo nosenseña.

Y que esto es difícil se ve hasta en los Congresos de Matemáticasespecializados, (cuanto más en los generales como los Congresos Internacionales quese realizan -como las Olimpiadas- cada cuatro años). Con frecuencia, en efecto, unconferenciante que está llenando pizarra tras pizarra de demostraciones, teoremas,ideas, dibujos, etc., dice: "bueno, aquí les he engañado un poco: el argumento es másdifícil". ¡Y esto, a especialistas! Y es que cualquier ciencia, y especialmente laCiencia Matemática, ha de ser tratada con delicadeza. A veces, la más pequeñavariación de un enunciado lo hace falso. Les contaré al respecto una pequeñaanécdota que, les adelanto, acaba trágicamente.

La anécdota es un poco larga, así que "paciencia, y barajar". Sólo les prometoque no va a empezar con el consabido: "Ya en el siglo sexto antes de Cristo, etc.",pues cuando esto sucede el público se arrellana cómodamente en su asiento, para una

Las tres damitas de San Sebastián, coser también ya saben, pero vino beben mejor. (Canciónpopular donostiarra).

agradable siesta. Mi anécdota comienza en 1904 y acaba en los años 80. Así puessólo dura 76 años.

Bueno, para ser exactos, empieza un poco antes, a finales del pasado siglo, loque ocurre es que el enunciado de la Conjetura de Poincaré (que es el telón de fondode la anécdota) se publicó en 1904. Enrique Poincaré fue un sabio universal (se diceque el último sabio universal, aunque esto no lo sabemos: la Historia demuestra quese puede volver a la Edad de Piedra, y más en una época donde se comercia conbombas atómicas); pues bien, este sabio universal (que además poseía todas lasparticularidades del científico mítico); este sabio universal, digo, tenía la costumbre,bastante curiosa también, de escribir sus trabajos de investigación a vuelapluma y dejamás corregir pruebas de imprenta. Además, en su sorprendente modo de concebir laciencia, cuando comenzaba a escribir algo, iba directamente al grano, sin percatarseaparentemente de la enorme dificultad que entonces conlleva el leer sus artículos: yapondré un ejemplo después, de un diagrama de Heegaard, que, tras años deinvestigación en estas materias, sigue produciéndome gran perplejidad.

2. La Conjetura de Poincaré

Pues aclaremos de entrada que la Conjetura de Poincaré no es tal Conjetura dePoincaré: ciertamente Poincaré es su autor, pero no es en absoluto una conjetura: es,sencillamente, una pregunta y una profecía simultáneamente. No le cuadra pues lo deconjetura, así que propongo que en este rato de charla la llamemos, de cuando encuando "Pregunta de Poincaré".

Por cierto que sobre la "Conjetura de Poincaré" corren entre nosotros multitudde anécdotas, pero como se basan en cosas matemáticas muy técnicas sólo nos hacenreír a nosotros. Entre paréntesis "nosotros" somos un cierto tipo de Geómetras queahora se llaman "topólogos de baja dimensión". Siempre estamos rodeados de nudos,poliedros, espacios hiperbólicos, y cosas parecidas que podemos visualizar. Nuestromodo de demostrar es ver: si no vemos, no creemos. Esto hace todo extremadamentevariado, cromático, y altamente geométrico. Lo malo es que para convencer a uncolega de algo, necesitamos hacer constantes movimientos con las manos. Nuestrosdetractores, que afortunadamente van disminuyendo en la medida en que nuestraciencia va alcanzando más popularidad, dicen que sólo sabemos mover las manos.

Pero, vamos a lo nuestro. Estábamos con la "Pregunta de Poincaré" y ahoracaigo en que no hay razón ninguna para suponer que ustedes sepan en qué consiste.Consiste en que algo no existe: esto no es un chiste de los nuestros: se lo han tomadoen serio centenares, tal vez miles de matemáticos, desde que Poincaré profetizara en1904 que la cuestión "nos llevaría demasiado lejos". Algunos de ustedes estaránpensando quizás: "bueno, deja de marear la perdiz y dinos de una vez qué es laConjetura o Pregunta de Poincaré". Les confieso que mareo la perdiz para evitarles austedes uno demasiado repentino, porque ahora no me queda más remedio que ir algrano, y el garbanzo es duro. Si quisiera atordiries un poco, bastaría enunciar algoincomprensible pero gramaticalmente correcto: lo malo es que, el que sabe de qué va,me llamaría con toda razón pedante, y, el que no lo sabe, sufriría un vahído y desearíaabandonar esta sala lo antes posible. Así que voy a emplear el ejemplo del perro.

Empecemos con un perro bidimensional: un perro de papel muy fino, perovivo. Bueno, mejor pensado, tomemos dos perros bidimensionales Pí y P2. El primer

perro, el P,, vive "planamente" en la superfìcie de una inmensa esfera tambiénbidimensional: así que Pl, al que llamaré Tino, cree que vive en un plano infinito: nolo olvidemos: la esfera en que vive Tino es enorme con respecto al tamaño de Tino.El segundo perro, al que llamaré Frascuelo, vive en la superficie de una inmensarosquilla. La superficie de una rosquilla, por razones arquitectónicas que no conozcobien, se llama entre nosotros "toro". Frascuelo, pues, vive sobre un inmenso toro,también bidimensional y a él también le parece, como a Tino, que vive en un planoinfinito. Ambos, Frascuelo y Tino, están atados a sendas estacas bidimensionales(más parecidas a un par de pesetas que a otra cosa, pues son planas), mediantecorreas de pequeña longitud, infinitamente extensibles y elásticas. Pero, nótenlo bien,las correas son planas, (como cinturones sin tercera dimensión) y nunca abandonan lasuperficie: siempre están sobre la esfera de Tino o sobre el toro de Frascuelo. Asíque, para entendernos, si Tino está atado al polo norte de su esfera y se pasea hasta elpolo sur, su correa seguirá un meridiano de la esfera: no se saldrá de la esfera para irrectamente de norte a sur por el "espacio exterior o interior": este espacio exterior ointerior simplemente no existe, porque queremos que no exista; sería como la cuartadimensión en nuestro espacio tridimensional: la experiencia demuestra que cualquierperro tridimensional, llamémosle León, atado con una correa, puede deambular porahí, pero siempre vemos la correa. Si hubiera una cuarta dimensión en la que nuestroespacio tridimensional estuviera sumergido (como lo está la esfera de Tino en unespacio tridimensional), y permitiéramos que la correa de León se saliera del espacio,para viajar por la cuarta dimensión, simplemente no veríamos la parte de la correa deLeón que está en la cuarta dimensión: se habría desvanecido en el aire. Bueno, puesesto es lo que no queremos. Queremos que Frascuelo y Tino tengan su correa sobre eltoro y la esfera, respectivamente.

Si Tino pasea por la esfera, que podemos imaginar como la superficie de laTierra, y vuelve a la estaca, la correa recobrará su longitud inicial: no estará estirada.Esto es cierto con una excepción únicamente: el caso en que Tino vaya por unmeridiano completo. Entonces la correa de Tino dará una vuelta completa a la esferapasando por el polo sur y llegando a la estaca situada en el polo norte, y la correa nose contraerá, suponiendo que la resistencia que oponen al suelo las patas de Tinoimpidan que éste sea arrastrado hacia atrás por la tensión de la correa. Pero,recuerden, somos topólogos. La más pequeña alteración de la posición de la correa deTino la liberará del polo sur y en ese instante la correa se contraerá, barriendo en sucontracción todo el Océano Pacífico, por ejemplo, para volver a alcanzar su tamañooriginal cerca de la estaca de Tino.

Esto que estoy diciendo, obviamente, es un modo de visualizar ideas yconceptos topológicos empleando perros y correas y estacas. Topològicamente, laestaca se llama punto base de la esfera; un camino recorrido por Tino que acaba en elpunto base se llama un camino o un lazo; el barrido que realiza la correa pararecobrar su longitud inicial se llama una homotopía del lazo; la correa, con sulongitud inicial colocada junto a la estaca, dibuja un lazo que se llama el lazo trivial yse representa por 1. Es posible multiplicar el lazo L¡ por el lazo L2 como sigue: elpunto final del lazo L¡ se desprende de la estaca y se ata al punto inicial, desprendidode la estaca, de L2. El lazo resultante consiste en que Tino recorre Lj yseguidamente L2 ; se representa por L, • L2 . Nótese que si considero un lazocualquiera L existe un lazo que consiste en recorrer L en sentido inverso; se llama

lazo L ' ; entonces L·L ' es la correa que parte de la estaca recorre todo L y luego,sin tocar la estaca, recorre L al revés: la correa obviamente se contrae hastaconvertirse en el lazo trivial 1. Así que L·L""1 =1. Hemos llegado al corazón de laidea de Poincaré: si en un espacio (sea la esfera de Tino o el toro de Frascuelo o elespacio en que vivimos) marcamos un punto base E (estaca) y tomamos todos loscaminos L que parten y concluyen en E; y suponemos iguales dos caminos L[, L2 quedifieren en una homotopía (L¡ barre cierta área y se convierte en L2); es posibledefinir en este espacio de caminos un producto con identidad 1 (el camino trivial), talque todo camino L tiene inverso L"1 (es decir L·L""1 = 1) y el producto es asociativo.Esta estructura de caminos con producto de caminos es lo que los matemáticosllamamos un grupo. El grupo de caminos de un espacio se llama el grupo dePoincaré o grupo fundamental del espacio.

Volvamos a la esfera de Tino. Su estaca se llama E. Como todo camino basadoen E es homotópico al camino trivial, es decir, se contrae sobre la esfera hastareducirse al lazo inicial, resulta que el grupo de Poincaré de la esfera es el grupo queconsta de un único elemento: a saber 1, el camino trivial.

Desde el punto de vista de Tino es francamente confortable saber que vive enun espacio cuyo grupo de Poincaré es trivial; pues, en efecto, si Tino se da un garbeopor su esfera y vuelve a la estaca y se pone a dormir, lo hará plácidamente sin quenada le perturbe el sueño. No le pasará lo mismo a Frascuelo. Este tal vez hayapaseado en torno a la periferia del inmenso toro en que vive, y cuando se eche adormir junto a su estaca, la correa no se habrá contraído porque el camino L seguidopor la correa no puede barrer área hasta llegar a la estaca sin salirse del toro. Así quela correa de Frascuelo, cuando éste se eche a dormir, tendrá una enorme longitud yestará tensísima. Al comenzar Frascuelo su dulce sueño y al perder sus patas contactosuficiente con el suelo como para que el rozamiento compense la tensión de sucorrea, se verá de repente arrastrado por la correa, la cual recobrará su longitudinicial recorriendo L"1, porque al ser L ï 1, el único modo de que L se convierta en 1es multiplicarlo por L"1. En resumen, la vida de Frascuelo será un verdadero infierno,y si es suficientemente prudente, limitará sus paseos a un entorno de la estaca cuyogrupo de Poincaré sea trivial.

Bueno, pues ya estoy en condiciones de decirles cuál es la Conjetura dePoincaré. Antes de nada les comunico que la esfera y el toro son ejemplos de lo quelos topólogos llamamos variedades bidimensionales cerradas: no tienen borde, comolo tendría, por ejemplo, el casquete norte de la esfera terrestre, cuyo borde es elecuador, y se pueden cubrir con un número finito de mapas. Es claro que la superficieterrestre puede describirse con un atlas de un número finito de mapas y pasa igualcon el toro. También hay variedades tridimensionales cerradas. Las hojas del atlasson cubos, en lugar de páginas rectangulares, y hay un número finito de hojascúbicas. Una variedad tridimensional, de las infinitas que hay, es interesante paranosotros: la esfera tridimensional S3.

Para visualizarla pensemos primero en su análogo bidimensional: la superficieesférica S2. Vamos a hacer una tomografia de S2 : la cortamos por una infinidad deplanos paralelos. Veremos primero un punto aislado (el polo norte); despuéspequeños círculos concéntricos (paralelos de la tierra) que crecen en diámetro hastaalcanzar un máximo en el ecuador; luego el proceso se invierte: los círculos van

decreciendo en diámetro hasta reducirse a un solo punto (el polo sur). Unatomografia de la esfera tridimensional ó 3-esfera S3 comienza también con un puntoaislado (polo norte); después siguen pequeñas superficies esféricas concéntricas quecrecen en diámetro hasta alcanzar un máximo en una superficie esférica llamadaecuatorial; luego el proceso se invierte: las superficies esféricas decrecen en diámetrohasta convertirse en un solo punto (polo sur). Como ven, la reunión del polo nortejunto con todas las superficies esféricas que lo tienen por centro hasta alcanzar elecuador, forman una bola tridimensional ß,. Asimismo las esferas bidimensionalesque rodean al polo sur forman otra bola tridimensional B2, que tiene en común con

Bl la 2-esfera ecuatorial. La bola Bí es el casquete norte de S3 y la B2 es el casquete

sur de S3 : ambos casquetes están pegados entre sí por sus fronteras comunes: lasuperficie esférica ecuatorial S2. Pueden visualizarlo de otro modo. Imagínense anteun espejo. Delante de él ponen una bola 3-dimensional (una naranja, por ejemplo):esta es la bola B¡ cuyo centro es el polo norte; reflejada en el espejo aparece lanaranja B2 cuyo centro es el polo sur. Si acercan la naranja al espejo, la frontera de lanaranja (ecuador bidimensional) parece identificarse con su imagen. De hecho, estaidentificación podría llevarse a cabo si la naranja fuera tan grande que su fronterallegara a ser el plano infinito del espejo. Así S3 no es otra cosa que los dos lados delespejo más un punto ideal en el °°. Es decir es el espacio euclideo cerrado con unpunto ideal en el °°. Ocurre que el grupo de Poincaré de la esfera tridimensional S3

es trivial, como en el caso de S2.La Conjetura de Poincaré es que, exceptuada la esfera tridimensional S3,

ninguna otra variedad tridimensional M posee grupo de Poincaré trivial. Es decir, siel grupo de Poincaré de M es trivial entonces M es S3. Bien, hoy en día esto estátodavía sin demostrar. Así que tal y como están las cosas podría existir uncontraejemplo a la Conjetura: sería una 3-variedad cerrada M tal que su grupo dePoincaré fuera trivial sin que M fuera S3. También podría no existir talcontraejemplo. Simplemente, no lo sabemos: la Conjetura de Poincaré es unproblema abierto. Es el problema abierto más importante de la Topología.

Lo curioso de este asunto es que uno podría conjeturar lo mismo en otrasdimensiones. Así por ejemplo: si M es una 2-variedad cerrada con grupo de Poincarétrivial, ¿es M-S21 Respuesta: sí. También: si M, n>3, es una n-variedad cerrada

homotópicamente equivalente a la n-esfera S", ¿es M homeomorfa a S" ? Respuesta:sí. Nos encontramos con que la única dimensión que ignoramos es la dimensión 3,precisamente la dimensión sobre la que Poincaré formuló su pregunta.

Me parece pues que he dejado las cosas claras. En dimensión tres no se sabe siuna variedad cerrada ha de ser S3 si su grupo de Poincaré es trivial.

3. Generalización de Waldhausen de la conjetura de Poincaré

Piensen en una panadería. Sobre la mesa de marmol hay una masa de harina:una torta. Eso se llama una bola en topología. Hagan 20 agujeros a la torta que laatraviesen de arriba abajo hasta la mesa de marmol. Eso se llama un brazalete degénero 20 en topología. Hemos dicho antes que S3 se obtiene pegando dos bolasBI y B2 por su frontera: se dice que S3 tiene género cero (porque los brazaletes

Bl, B2 al no tener agujeros se dice que tienen género cero). Pues bien, ocurre quetoda 3-variedad cerrada se obtiene pegando dos brazaletes del mismo género por sufrontera. La misma 3-variedad admite muchos modos de estos pegados. Pero dadauna 3-variedad cerrada M habrá un modo de obtenerla pegando dos brazaletes demínimo género; este mínimo genero se llama el género de M y se representa porg ( M ) . Así g(s3) = 0. Recíprocamente si g(M) = 0 entonces M es S3. Así que

podemos reformular la Pregunta de Poincaré así: si el grupo de Poincaré de M estrivial entonces g (M) - O.

Ahora empieza el drama que anuncié al principio y que acaba trágicamente.Todo comienza con una ingenua observación. Sea G un grupo; un conjunto deelementos de G se dice que generan G si a base de multiplicar esos elementos y susinversos de todos los modos posibles se pueden obtener todos los demás elementosde G. Naturalmente, todo grupo G posee un sistema de generadores: el propioconjunto de todos los elementos de G. Esta idiotez es típica de los matemáticos. Nosdefendemos diciendo que al menos todo grupo admite algún sistema de generadores.Naturalmente de lo que se trata es del mínimo posible de elementos que generan G:este mínimo se llama el rango de G y se denota por rango(G).La ingenua observacióna que antes me refería es que si M es una 3-variedad cerrada el rango del grupo dePoincaré de M, que denotamos rango (M) es menor o igual que g (M) : el rango de Mes menor o igual que su género. Demostrar esto es una obviedad así que es unaingenua observación. Recordemos de nuevo: rango, menor o igual que género. Rangoes concepto algebraico; género es concepto geométrico: el rango dice algo sobre la 3-variedad M de carácter algebraico, es decir, dice algo más débil que el género; elgénero es geométrico: una afirmación sobre el género es más fuerte que unaafirmación sobre el rango. Pues bien, cuando los matemáticos no sabemos qué hacer,solemos generalizar: la experiencia nos ha demostrado muchas veces lo efectivo quees esto, siempre que el enunciado más general sea correcto. Lo que ocurre con laPregunta de Poincaré es que es finísima: la amarga historia de muchas"demostraciones" enseña que si uno generaliza tiene muchas probabilidades de que lageneralización sea falsa. Así que una jugarreta muy buena que podemos gastar anuestros colegas es generalizar la Conjetura de Poincaré y dejar que los demás seestrellen.

Esto es precisamente lo que hizo el alemán F. Waldhausen. Este matemático,que andará por los sesenta, es uno de los más brillantes de la tradición de topologo-geómetras alemanes que contiene a Dehn, Reidemeister, Kneser, Haken. Pues bien,Waldhausen publicó por el año 1978 ("Algunos problemas de 3-variedades". Proc.ofSymposia in Pure Math, 32,313-322) la siguiente Conjetura:

rango (M) = g (M)Noten que ahora rango es igual a género. Esto es muy fuerte: se trata de obtener unresultado geométrico (sobre el género) a partir de uno algebraico (sobre el rango),para toda M: de lo débil pasar a lo fuerte: muy peligroso.

Lo interesante de la Conjetura de Waldhausen es que generaliza la Conjeturade Poincaré, porque si el grupo de Poincaré de M es trivial su rango es cero y ello,según la Conjetura de Waldhausen, debe implicar que el género de M es cero, lo queentraña que M = S3 : la Conjetura de Poincaré.

En la astuta trampa tendida por Waldhausen cayó cierto matemático muybueno de la Universidad de Urbana. En esa universidad hay otros dos matemáticosconocidos por sus intentos con la Conjetura de Poincaré. Uno es el alemán Haken,mencionado antes, (que resolvió el problema de los cuatro colores). El otro es Craggsquien ha investigado el problema del rango durante años. Al matemático al que merefiero, que cayó en la trampa, le llamaremos X, siguiendo una antigua tradiciónalgebraica. Para que se hagan una idea de cómo están las cosas, Haken suele decirque ha escrito hasta cuarenta "demostraciones" de la Conjetura de Poincaré. Una vezle pregunté su opinión sobre la Conjetura y me contestó que cree que es falsa y quepor eso ha dejado de trabajar en ella <*). Pero vayamos a X. X trabajó exclusivamenteen la Conjetura de Waldhausen hasta 1984; X trataba de demostrar que la Conjeturade Waldhausen es cierta. Supongo que escribió, en todo ese tiempo, centenares deresultados matemáticos, aunque no lo sabemos, pues no publicó nada.

Bueno, para acortar un poco la anécdota, el hecho es que un matemáticofrancés M. Boileau y otro alemán H. Zieschang, trabajando juntos, encontraron en1984 un contraejemplo a la Conjetura de Waldhausen.

El ejemplo apareció publicado en la prestigiosa revista Inventiones(Inventiones Math., 76, 455-468); y al mes, X moría de cáncer. En carta de Craggs,escrita días después de la muerte, me decía que el impacto moral sufrido por X fuetan fuerte que él (Craggs) y Haken estaban seguros de que el cáncer se desarrollócomo consecuencia del disgusto.

Lo más sangrante es que el contraejemplo es fácil: una variedad fibrada deSeifert que tiene género 3 y rango 2. El ejemplo es muy bueno, pues se aprecia bien elpor qué de la imposibilidad de realizar geométricamente cierta manipulaciónalgebraica. Lo curioso es la falta de eco que entre los geómetras ha tenido esteejemplo. En mi opinión, un geómetra que esté convencido de la falsedad de laConjetura de Poincaré debería dedicar sus mejores esfuerzos a examinar esteejemplo. Lo malo es si, en el ínterin, alguien prueba la Conjetura de Poincaré.

4. La conjetura de Poincaré y la dimensión 4

Pero volvamos a la trampa preparada por F. Waldhausen. Como hemos visto,ya se ha cobrado una víctima mortal. En la misma línea yo he preparado otra trampa.("Nota sobre un resultado de Boileau-Zieschang" Lect. Notes, London Math. Soc.112, 241-252(1986); "La discrepancia entre el rango y el género de Heegaard de una 3-variedad" Note di Matemática, Suplem. al v. 9., 101-117 (1989), de una conferenciapronunciada en Lecce el 23 de junio de 1989). Se trata de una generalización de laPregunta de Poincaré que en principio es más fina que la de Waldhausen. Lesadelanto que todavía no soy reo de homicidio. Mi conjetura, que generaliza la dePoincaré, permanece abierta. Más que conjetura la he formulado como pregunta, puessospecho que la respuesta es también negativa, y sabe muy mal leer que unaconjetura propia es falsa (lo digo por propia experiencia).

Lo que hago es generalizar esta vez el concepto de género de una variedadtridimensional cerrada M. Le quito a M una bola tridimensional y obtengo unavariedad Mt con frontera la esfera que es el borde de la bola quitada. Entonces M.se puede ver como un brazalete de género igual al género de M, al que se le pegan g

(*) Dijo la zorra: "están verdes".

discos a lo largo de sus fronteras y luego se ensanchan estos discos para que elresultado sea tridimensional. Si formamos el producto cartesiano de M, por el

intervalo cerrado [-1,1], obtenemos una variedad de dimensión cuatro M cuyo borde

es el resultado de pegar Af. consigo mismo a lo largo de su frontera: es decir el borde

de M es 2M (que se llama el doble de M). El hecho de que M, sea representable

como un brazalete de género g, más g discos ensanchados implica que M puederepresentarse como un brazalete cuatridimensional de género g con g discosensanchados hasta la dimensión cuatro. Al mínimo g posible para esta última

representación de M lo llamo supergénero de M, sg (M). Acabo de demostrar quepara toda M, sg(M)<g(M). Pues bien mi pregunta es esta: ¿es el rango de M igualal supergénero de MI Naturalmente que podría ocurrir que el género de M fuerasiempre igual a su supergénero, pero esto no se sabe. Si así fuera, mi preguntacoincidiría con la Conjetura de Waldhausen que es falsa. En particular el género delContraejemplo de Boileau-Zieschang, mencionado antes, es 3; yo sospecho que elsupergénero es 3, también, con lo cual mi pregunta tendría respuesta negativa, peroesto sigue siendo un problema abierto.

Mi pregunta, de tener respuesta afirmativa, implica también la Pregunta dePoincaré. En efecto, si el rango de M es cero, entonces el supergénero de M seríacero; luego M sería un brazalete cuatrodimensional de género cero: es decir una bolade dimensión cuatro. Entonces el borde de M sería el borde de una bola dedimensión cuatro, es decir la esfera de dimensión tres. Pero como el borde de M esel doble de M, deduciríamos que el doble de M es S3. Es decir, en S3 habría una 2-esfera S2 que, a uno y otro lado, bordearía Mt. Pero un cierto teorema de J.W.

Alexander dice que tal S2 debe bordear dos bolas de dimensión tres. Enconsecuencia, M. es una bola de dimensión tres. Y como M se obtiene de M,pegándole la bola que le quitamos al principio deducimos que el género de M es cero,luego M es S3 : la Pregunta de Poincaré.

5. Algunas consideraciones sobre el infinito y lo finito

Ahora pasemos al meollo de mi conferencia. Quiero hoy aquí ilustrar larelación entre el infinito matemático y lo finito. Para ello tomaré tres ejemplossencillos, uno de Teoría de Números, otro de Topología Combinatoria, y el tercero deTeoría de Nudos en que se ve cómo este infinito matemático está frecuentementesustentado por alguna parte de la Ciencia Matemática de carácter finito, como laTeoría de Números, la Combinatoria, la Teoría de Nudos, etc.; teniendo presente quelos enunciados matemáticos suelen tener siempre un tinte universal y quepropiamente hablando las anteriores teorías son también teorías del infinito, pero deun infinito discreto en contraposición al infinito continuo que es el difícil deconceptualizar.

Esta tensión entre lo finito y lo infinito es una constante en la Historia de lasMatemáticas, y la fuente de la que han surgido, surgen y surgirán las grandes ideasque hacen de las Matemáticas la Reina de las Ciencias. Como botón de muestrapiensen un momento en la Historia del cálculo infinitesimal, adelantado por

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Arquímedes, descubierto por Leibniz y Newton y fundamentado primero por Cauchyy más recientemente por Robinson.

En un libro de reciente aparición, esento en inglés por Donald Spencer, ytitulado "Fechas clave en la historia de los números", aparecen algunas efeméridescuriosas que no avalan precisamente la calidad del libro, pero que a nosotros nospueden servir para llegar a lo nuestro. Yendo al año 1710, se lee que cierto esclavo deVirginia, llamado Tomás Fuller, podía multiplicar números de 4 y 5 dígitosmentalmente y además calcular, también mentalmente, el número de segundos de unperíodo de tiempo dado. La verdad es que no sé por qué Spencer incluye este extrañoe insólito dato histórico como una "fecha clave en la historia de los números", a noser que se refiera a los números de circo. Pero dejando de lado los gustos de Spencer,sorprende que un esclavo, al que podemos suponer ignorante, tuviera un poder mentaltan fuerte. Podemos preguntarnos si la característica más genuina de un matemáticoconsiste en la posesión de análoga 'potencia de cálculo. Dentro del mismo orden decosas veamos otra efemérides, ésta del año 1751. Parece ser que en tal año, ciertoJedediah Buxton calculó mentalmente el número de pulgadas cúbicas de un bloquede piedra de 23.145.789 yardas de largo, 5.642.732 de ancho y 54.965 de alto.Reconocerán ustedes que ahora la cosa es aún más curiosa: ¡el bloque era de piedra!,naturalmente tan inexistente como si hubiera sido de regaliz, pero queda la duda de siel tal Jedediah hubiera podido con el cálculo si el bloque fuera de madera y demedidas más modestas que una piedra de 50 kilómetros de altura. La verdad es queleyendo esta efemérides no sé de qué extrañarme más, si de las peculiares medidasdel bloque o de su naturaleza. Parece que aquí nos encontramos frente a un problemade psiquiatría o psicología más que con "una fecha clave de la teoría de losnúmeros". Quizá la Ciencia que se llama Moderna podrá explicarnos el origen dehazañas tan sorprendentes.

En otro orden de cosas, un poco más serias, está el cálculo realizado porLeonardo Euler en 1732. También éste era un gran calculista, pero sobre todo era ungran matemático, y sin embargo se empeñó en ver si el quinto número de Fermat232 +1 = 4.294.967.297 era o no primo. Esta vez no sabemos, ni se nos dice, cuántotiempo dedicó a ello, pero uno puede sospechar que mucho. Pues bien, Eulercomprobó que ese número tan grande, es compuesto; concretamente el producto de641 y 6.700.417. ¿Por qué un esfuerzo tan considerable y aparentemente tan inútil?Ciertamente por imperativo de la Investigación Matemática, que muchas veces es tanexperimental como puedan serlo la Física o la Química. En la InvestigaciónMatemática, como en Astronomía, es precisa la observación. En último extremo lasgrandes computadoras modernas son para nosotros, los matemáticos, como potentestelescopios. ¿De qué habrían sido capaces Euler ó Gauss, por ejemplo, de tener laasistencia de tales máquinas? La respuesta está por encima de toda ponderación.

Otro ejemplo similar, que además de capacidad de cálculo revela una granpaciencia, es el que ofrece Antonio Fenkel: en 1776 tenía calculados los factoresprimos de todos los números hasta 2.000.000. ¿Qué motivación empujaba a estoshombres? Sólo puedo imaginar la curiosidad o la observación; la misma que haimpulsado a muchas personas a calcular miles de decimales de n , como en el caso delos hermanos David y Gregorio Chudnovsky, rusos, que en 1989 tenían calculados1.011.196.691 decimales. El conocimiento de n con varios decimales de aproximaciónes un problema histórico de enorme importancia pues mediante él pueden construirsetablas trigonométricas de gran interés en navegación y astronomía (confección de

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&&•y^COLTIVO A LA fi. ACADEMIA OF C'ESÜIM

CARL FRIEDRICH GAUSS

WERKE

A C H T E R B A N D .

HERAUSGEGEBEN

TON DER

KÖNIGLICHEN GESELLSCHAFT DER WISSENSCHAFTEN

zu

G O T T I N GEN.

IN COMMISSION BEI B. G. TEUBNER Dì LEIPZIG.

1900.

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284 NACHLASS.

Man kann die möglichen Tracte auch als geschlossene ansehen, und folg-lich aus jedem möglichen durch Vorrückung des Anfangsgliedes andere ab-leiten. Die 24 möglichen, welche sich unter den 105 Tracten für 4 vollstän-dige Knoten befinden, erscheinen in dieser Abhängigkeit so :

1. 3954. 89

15. 105. 73. 33

3. 45. 7. 75. 31. 9. 81. 37

10. 91. 46. 48. 56. 100. 76. 40

I. 4

II. 2

II. 5

IV. l

III. 4

vm. i

Sehr vereinfacht wird die Registrirung, indem man die Plätze mit 0, 1,2,3 u. s. w. bezeichnet, und diejenigen Paare von Plätzen, die Einem Knotenentsprechen, neben einander setzt. In einem möglichen geschlossenen Tractemuss jedes Paar aus einer geraden und einer ungeraden Zahl bestehen. Z. B.

Nr. 91

0.72.54.16.3

Nr. 48

0.32.74.16.5

u. s. w.

Dieses Criterium hört aber bei Perioden von mehr als 4 Knoten auf, fürdie Möglichkeit zureichend zu sein; z.B. abcadcedbe oder ( 3 5 7 9 ! ) i8*»obgleich dem Criterium genügt ist, unmöglich.

Ebenso ist unmöglich abcabdecde [oder] ( ' 7' ^ ' ADie vollständige lexicographische Aufzählung aller 120 Tractcombinationen

für 5 Knoten auf der folgenden Seite [, wobei die unmöglichen Tracte durcheinen Stern bezeichnet sind.]

13

calendarios). Pero el cálculo de tantos millones de decimales no se explica por suutilidad práctica. Desde este punto de vista bastan 5 decimales para casi todos losproblemas que hallamos en las aplicaciones. Como dice H. Tietze en su libro"Famosos problemas de las Matemáticas", "cuatro decimales bastan para determinarla circunferencia de un círculo con error menor que un milímetro si el radio es de 30metros o menos. Si el radio es tan grande como el de la Tierra son suficientes 10decimales. Si el círculo tiene un radio tan grande como la distancia de la Tierra al Solbastan 50 decimales, para determinar la circunferencia con error menor que unmilímetro. Para ver la increíble exactitud que se obtiene con 100 decimales de nconsideremos el siguiente problema: Tomemos una esfera, con nuestra Tierra comosu centro, y que se extiende hasta Sirio. Pues la velocidad de la luz es de 300.000kilómetros por segundo, tardaríamos 8 años y 9 meses en alcanzar la superficie de laesfera desde la Tierra. Llénese esta esfera con microbios, de tal manera que cadamilímetro cúbico contenga un billón de microbios. Ahora, si todos estos microbios seextienden sobre una línea recta, de tal manera que la distancia entre los sucesivosmicrobios es igual a la distancia que hay entre la Tierra y Sirio, y la distancia delprimero al último se toma como radio de un círculo, entonces el error, al calcular lacircunferencia de este círculo usando 100 decimales de n , será menor que un décimode la millonésima parte de un milímetro". Así que las razones prácticas explican loscálculos de Arquímedes (240 AC) que conocía dos decimales de n , o por poner unejemplo exótico, los de Takakazu Seki, nacido hacia 1642 en Tokyo (entonces Edo),que obtuvo el valor 3,14159265358 inscribiendo un polígono de 217 =131.072 lados enla circunferencia. Si hubiera tenido más paciencia, su método le habríaproporcionado hasta 16 decimales exactos; pero esto lo sabemos hoy: Seki no sabíacuántos decimales eran exactos. El discípulo de Seki, Katahiro Takebe (1664-1739)obtuvo la aproximación 5419351/1725033 = 3,141592653589 ... mediante el empleo defracciones continuas.

6. De lo finito a lo infinito en teoría de números

Los cálculos de los hermanos Chudnovsky no se explican por razonesprácticas. Sin embargo su trabajo no es banal. Se trata aquí del número n : uno de losnúmeros más importantes de las Matemáticas, y lo que entre otras cosas se busca es sihay alguna regularidad en la aparición de decimales. Siendo n un número irracional,su desarrollo decimal no es periódico y no parece posible conocer la cifra queocupará un lugar previamente elegido del desarrollo, sin conocer las cifras anteriores.A este respecto nos dice Luis Santaló, en su interesante libro "La matemática: unafilosofía y una técnica", que "si suponemos que las letras del alfabeto mayúsculas yminúsculas más los signos de puntuación constituyen un total de 100 caracteres deimprenta diferentes y adoptamos un sistema de numeración de base 100 de maneraque sus 100 cifras representen los caracteres de imprenta mencionados, podremosdecir, siguiendo a Borei, que un número irracional como n o logaritmo de 3 estaráescrito en este sistema de numeración según una serie ilimitada de páginas en las quelos caracteres se sucederán según una ley aritmética que desconocemos pero que estárigurosamente determinada por la definición misma del número considerado. Si estenúmero es absolutamente normal todas las agrupaciones de caracteres son igualmenteprobables y por consiguiente, prolongando cuanto sea necesaria la escritura de este

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nùmero, estamos seguros de que hallaremos con la frecuencia que se desee todas lasagrupaciones posibles. Si escribimos el número n, que suponemos absolutamentenormal, en este sistema de numeración, hallaremos entonces, tarde o temprano, lapágina que ahora estoy escribiendo como también se hallará el texto completo de lasobras de Víctor Hugo y también el texto de los periódicos que aparecerán de aquí aun siglo, si es que en esta época va a haber periódicos. Todo ello está contenido en elnúmero n junto con otras muchas cosas".

Un número es normal cuando la frecuencia de todas las cifras O, 1, 2 hasta 9 enel desarrollo del número es la misma para todas ellas y por lo tanto es igual a undécimo. Si sucede lo mismo para cualquier otro sistema de numeración de base nodecimal, sea el que sea, se dice que el número es absolutamente normal. Claro es queno sabemos si n es absolutamente normal, aunque los cálculos hechos hasta ahora loconfirman. Esta frase de Borei, que produce el vértigo de lo infinito, no es sino unaadvertencia para la adecuada comprensión de la ley de los grandes números deJacobo Bernouilli, y un recordatorio de lo sutil que puede resultar la teoría deprobabilidades. (Consúltese a este respecto el artículo de W. Weaver en el ScientificAmerican de Octubre de 1950 y el libro de G.J. Székely: "Paradojas en Teoría de laProbabilidad y en Estadística Matemática" Reide. Pubi. Co. (1986).)

Lo que llevamos dicho ilustra muy bien la diferencia que hay entre lasmatemáticas y el cálculo. Para Leibniz la repetición de cálculos, basados en unmismo algoritmo, era una tarea propia de esclavos y por eso trabajó en la invenciónde una máquina que los llevara a cabo automáticamente. Hoy en día su sueño es unarealidad y podemos, con gran facilidad realizar las operaciones pasmosas de loscalculistas mencionados. Las matemáticas no son un mero ejercicio de cálculo.Aunque esto es obvio, la mayoría de la gente de la calle cree lo contrario. Un amigomío, doctor en filosofía, cuando le dije a qué me dedicaba, me espetó: "¡pero lasmatemáticas son una ciencia clausa!". Más penoso es constatar que hay personas, conuna elevada educación universitaria o técnica, que ni siquiera conocen la naturalezade las matemáticas. A este respecto y precisamente hablando de la cuadratura delcírculo, nos dice Otto Toeplitz en su maravilloso libro "El Cálculo: un enfoquegenético" que "hay gente que no comprende el punto principal del problema. Porejemplo del sofista Antifón que vivía en Atenas en torno a la misma época queHipócrates, Aristóteles relata que inscribió un cuadrado en un círculo y entoncesconstruyó triángulos isósceles sobre sus lados formando un octógono regular inscritoen el círculo y similarmente un polígono regular de dieciséis lados y asísucesivamente. Como todo polígono rectilíneo puede ser transformado en uncuadrado, Antifón creía que existe o que debe existir un polígono de un númerosuficientemente grande de lados idéntico al círculo y que el cuadrado en el cual estepolígono pudiera ser transformado sería la solución a la cuadratura del círculo. Esteargumento que era suficientemente válido para un círculo concreto, dibujado inclusocon un compás muy fino, fue rechazado por Aristóteles como inválido para el círculoideal de la geometría. También Hipócrates tenía este concepto claro de que lageometría era una ciencia exacta que trataba con configuraciones ideales como sedemuestra en una cita de Anaxágoras. Precisamente es aquí, en que se trata de ladiscusión de un tema concreto especial y no en un debate filosófico, donde vemos ladiferencia existente entre el pensamiento de los sofistas de aquella época y elverdadero pensamiento científico nacido en aquellos tiempos. Hoy también, despuésde dos mil años de historia de la ciencia hay todavía muchos que son incapaces de

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comprender la naturaleza ideal de los objetos de la Ciencia Matemática y loscontemplan como cosa de importancia menor o como un, más o menos, superfluorizar el rizo. Así los sofistas aparecen aquí, no como personas ridiculas, sino comorepresentantes de una actitud mental que existe hasta hoy y que continúa luchandocontra la ciencia pura. Las divergencias existentes hoy en día entre los matemáticospuros y aplicados no son sino la continuación de esta antiquísima lucha".

Teniendo presente esta ignorancia, resulta grandioso que ya entonces losgriegos tuvieran el concepto de rigor matemático y la idea de demostraciónlógicamente rigurosa que seguimos teniendo nosotros ahora. Téngase en cuenta queen Oriente (China, Corea, Japón, India), aunque compartían con los griegos elconocimiento de muchas proposiciones matemáticas, no tenían una idea clara de"demostración". A este respecto es ilustrativa, en la biografía de Ramanujan, suprimer contacto con la matemática occidental representada por Hardy. Hardydescubrió que el modo de pensamiento por el que Ramanujan obtenía sus fórmulasno era ni mucho menos plasmable en lo que reconocemos nosotros como"demostración"; era una indefinida mezcla de intuición, genialidad y cálculo. Hardy,comprendiendo que una educación matemática al estilo occidental podría dañar eltalento de Ramanujan, lo tomó directamente a su cargo como pupilo. Aquí tenemosotro ejemplo de la sorprendente complejidad de la mente humana. Por eso aquellosque quieren reproducir mediante una máquina las capacidades de nuestra mente,bueno sería que estudiaran estos casos de calculistas y matemáticos mencionados yconcluir que es un ingenuo reduccionismo el suponer que nuestro cerebro no es sinouna máquina lógica, más o menos perfecta.

Pero volvamos al número n . Hemos dicho que es un número irracional y quepor tanto no parece que podamos predecir cuál será el decimal que ocupará un lugardado de este número sin calcular todos los precedentes. ¿Significa esto que noconocemos el número n ? Esta pregunta parece tener ribetes filosóficos. Desde luego,por definición, K es el perímetro de un círculo de diámetro 1, y no parece que seadifícil intuir lo que es un círculo. Desde este punto de vista tenemos una percepciónclarísima de lo que es n . El problema surge cuando tratamos de hallar su desarrollodecimal. Pero ¿qué es un desarrollo decimal? Simplemente una serie convergente deun cierto tipo especial, y se suele identificar la serie con el número al que converge.En este sentido la serie

1 4 1 5 93 H 1 — H — H T H T" + ...

10 IO2 IO3 IO4 IO5

que da el desarrollo decimal de n nos es totalmente desconocida a partir de un ciertolugar, luego n (el número que representa) nos es, desde este punto de vista, casitotalmente desconocido. Podemos aproximarnos a él cuanto queramos pero la seriesigue siendo un misterio. Supongo que ya ustedes se estarán preguntando que si eldesarrollo decimal de n nos es totalmente desconocido a partir de un lugar, cómo esque se pueden seguir calculando decimales de n a medida que nuestra potencia decálculo aumenta. La razón está en que poseemos definiciones de n mediante series(infinitas, claro) cuyos infinitos términos nos son totalmente conocidos. La aparenteantinomia radica en que los términos de estas series siguen una ley tal que podemosdecir exactamente el número que ocupa un lugar cualquiera de la serie sin calcular

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los precedentes. Por ejemplo, tenemos la elegante serie de Leibniz descubierta en1674:

, 1 1 1 1 1K = 4 | l - - + --7 + --ïï + -...

¿Conocemos entonces TI ? La respuesta es pues ambigua: sí y no: según. Parailuminar más este tipo de pregunta filosófica vamos a comparar n con otro númeroimportante de las matemáticas: el número e. Pero, antes de ello, veamos cómo esposible llegar al resultado de Leibniz: algo que en principio parece casi mágico.Seguiré aquí la espléndida exposición de Hubert y Cohn-Vossen en su celebradolibro "Geometría e imaginación".

Tomamos en el plano la red de puntos de coordenadas enteras. Podemos pensaren los puntos de intersección de una hoja de papel cuadriculado. Gauss consideró elcírculo de radio r centrado en uno de los puntos de la red y trató de hallar el númerop de puntos (de la red, se entiende y se entenderá) que caen en él. Gauss obtuvo losresultados siguientes:

r = 10, p=317

r = 20, p = 1257

r = 30, p = 2821

r = 100, p =31417

r = 200, p = 125629

r = 300, p = 282697

Notamos que cuando r vale 10 ó 100, p vale 317 ó 31417, respectivamente; númerosque nos recuerdan el desarrollo decimal de n : 3,1415 ... Esto es porque el círculo deradio 10 tiene área 100 n , aproximadamente igual a 314, y el de radio 100 tiene área1000071, aproximadamente igual a 31415. Naturalmente p = 317 no difiere mucho de314; ni p = 31417, de 31415, porque al haber 317 puntos en el círculo de radio 10, el

área total de los cuadrados cuyo origen son esos 317 puntos es 317, que difiere delOOTt, en valor absoluto, en menos del área de todos los cuadrados cortados por laperiferia del círculo. Veamos esto un poco más despacio. Queremos saber ladiferencia n r2 — p en valor absoluto; K r2 consta de una parte verde no cubierta porlos p cuadrados, y una parte, digamos blanca, cubierta por ellos; p consta de la parte

blanca y de una parte roja que se sale del círculo. Así que K r2 - p es (verde +

blanco) menos (blanco + rojo), es decir (verde - rojo). En valor absoluto K r2 - p es(verde- rojo) ó (rojo - verde), según cuál de ellos sea positivo; pero en todo caso elvalor absoluto de TC r2 - p es menor que (verde + rojo). Pero las partes verde y rojaestán formadas de partes de cuadrados de la red que tocan a la periferia del círculo;por tanto, en valor absoluto, TC r2 - p es menor que el área de los cuadrados tocadospor la periferia; esta área es menor que la de un anillo ó banda cuya línea central es laperiferia del círculo y cuyos bordes son dos circunferencias de radiosr + V^ y r - V2 , ya que la diagonal de un cuadrado de la red es V2 . Pero el área de

tal anillo es la longitud 2n r, de su línea central, por su anchura 2-\/2 , o sea 4n^Í2r.

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Hemos pues demostrado que en valor absoluto n r2 -p es menor que 4 n T/2 r. Aqui

está el quid de la cuestión pues mientras el área del círculo de radio r depende de r 2 ,el área de la banda de anchura zV2 centrada en la circunferencia de radio r depende,no del cuadrado de r, sino de r simplemente. Dividiendo todo por r2 (o,

geométricamente, reduciendo todo por una contracción de razón - ) tendremos que

el valor absoluto de la diferencia n —- es menor que . Al hacer tender r ar r

infinito, tiende a cero, luego n es el límite de —- cuando r tiende a infinito.r

Este es un resultado sencillo pero significativo. Digámoslo de nuevo: tomamos elcírculo de radio r, tomamos el número p de puntos de la red que caen en él, entonces

p / r 2 tiende a n cuando r tiende a infinito.Veamos que esto es así con los ejemplos calculados por Gauss:

r=10, p / r 2 =3,17

r = 20, p / r2 = 3,1425

r = 30, p/r2=3,134

r=100, p / r 2 =3,1417

r = 200, p / r2 = 3,140725

r = 300, p / r 2 =3,14107

Se trata ahora de calcular p / r 2 (cuando r tiende a infinito) de otra manera, loque nos llevará a la serie de Leibniz. La clave del cálculo que vamos a hacer estribaen hacer tender r a infinito de un modo especial. Concretamente, haremos que rrecorra los impares n mayores que 1 : n = 3, 5, 7, ... y, llamando esta vez v al númerode puntos de la red que caen en el círculo de radio n, vamos a calcular TI como el

límite de — cuando n tiende a infinito sobre los impares mayores que 1.n

Previamente vamos a dividir los números impares en dos partes disjuntas: aquéllosque forman la progresión aritmética de razón 4:{1,5,9,13,17,...}, que llamaremos (sólopara entendernos aquí) superimpares: impares congruentes con 1 módulo 4; y losnúmeros subimpares, congruentes con 3 módulo 4, y que forman la progresión{3,7,11,15,19,...}. Quiero meramente indicar ahora que los superimpares son losdenominadores de los términos positivos de la serie de Leibniz, mientras que lossubimpares corresponden a los términos negativos.

Si queremos calcular el límite de v I n2 la cuestión clave es calcular v dado n.Naturalmente, uno puede trazar con un compás muy fino en una hoja cuadriculada uncírculo de radio n y contar el número v de puntos de la red que caen en el círculo.Este instructivo procedimiento ni es general, ni es exacto: tiene que haber algo másinteligente. De momento observemos que la distancia de un punto de la red al centro(0,0) del círculo es la raíz cuadrada de un número entero, por el teorema de Pitágoras.Así que trazaremos dentro del círculo de radio n, las circunferencias de radios

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Vf, Vi -v/3,..., V«2 contaremos cuántos puntos de la red hay sobre cada una de ellas yla suma dará v-1, pues hemos prescindido del centro del círculo que también es unpunto de la red. La cuestión ahora se ha convertido en averiguar cuántos puntos de lared hay en la circunferencia de radio Vm . Por ejemplo en la de radio VT hay cuatro;en la de radio V2 no hay ninguno, y tampoco en la de radio Vã ; pero en la de radioV5 hay ocho. ¿Qué problema tenemos entre manos? Simplemente un problema deteoría de números: en la circunferencia de radio -Jm caen tantos puntos de la redcomo modos distintos existen de expresar m como suma de dos cuadrados de enteros.Este problema ya fue considerado por Pedro de Fermat en 1640, y la fascinanterespuesta es que el número distinto de maneras de expresar m como suma de doscuadrados es cuatro veces la diferencia entre el número de superimpares divisoresde my el número de subimpares divisores de m. No voy a demostrarlo, pero veamosalgún ejemplo: 30 posee dos divisores superimpares (1 y 5) y dos divisores subimpares(3 y 15); luego 30 no es suma de dos cuadrados, y sobre la circunferencia de radio V3Õno cae ningún punto de la red. Por el contrario 10 posee dos divisores superimpares(1 y 5) y ninguno subimpar; luego 10 se puede escribir de 4x2 = 8 modos distintoscomo suma de dos cuadrados, a saber: 10=(±l)2 +(±3)2 =(±3)2 +(±l)2 , y sobre la

circunferencia de radio Vü) caen ocho puntos de la red, a saber (l, 3), (3,1) y sus

simétricos respecto a los ejes coordenados.

Como en la circunferencia de radio Vm caen tantos puntos de la red comocuatro veces la diferencia entre el número de superimpares, divisores de m, y el

número de subimpares divisores de m, para calcular tomaremos los números

1, 2, 3, etc ..., hasta n2 (radio al cuadrado del círculo en estudio); a continuacióncontaremos los superimpares divisores de 1, los superimpares divisores de 2, etc ...,los superimpares divisores de n2, y obtendremos un número S; luego haremos lo

mismo pero usando subimpares, y obtendremos un número s. Entonces = S - s.

Esta cuenta puede hacerse de otra manera y aquí está el nudo de la cuestión.Tomaremos un superimpar fijo, por ejemplo el 5, y nos preguntaremos cuántos de losnúmeros 1, 2, 3 hasta n2 lo poseen como divisor: obviamente son los números 5, 10,15 etc ... múltiplos de cinco menores o iguales que n2. ¿Cuántos de estos múltiploshay? Pensemos en los números 1, 2, 3,..., n2 como los pisos de un edificio. Estamoscontando el número de pisos que son múltiplos de cinco, menores o iguales que n2.Hay tantos de éstos como pisos son necesarios para alcanzar aquél piso enque se encuentra el número n215 . Este piso en el que está n 2 1 5 se denota por\n21 si y es la parte entera del número n215. (Por ejemplo

[-7,2] = -8, [5] = 5, [17,3] = 17. ) En resumen, hemos demostrado la igualdad

( v - l ) / 4 = [ n 2 / l ] - [ « 2 / 3 ] + [ W2 / 5 ] - [ n 2 / 7 ] + . . . ± [ n 2 / « 2 ] (1)

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cuyos (n2 + i ) /2 términos de la derecha nos permiten calcular v. Así por ejemplo,

para n = 5 tendremos 13 términos que bajan en valor absoluto desde 25 hasta 1alternando signos. Tendremos en este caso

V = 1 + 4(25 -8 + 5-3 + 2-2 + 1-1 + 1-1 + 1-1 + 1) = ! + 4(20) = 81.

Así que para n = 5 hay 81 puntos en el círculo de radio 5.Para obtener la serie de Leibniz hay que quitar los corchetes en la expresión

anterior. Si lo hiciéramos cometeríamos en valor absoluto un error

0 < e 1 - e 3 + e 5 - e 7 + . . . + £ :(n2 + l ) / 2 ,

pues el error e; al quitar el corchete i-ésimo es o <e, <l . El error cometido sería de

la forma ±e.(n2 +1J/2, 0 < e < l , donde e depende de n. En este error aparece el

término n2 que haría imposible proseguir nuestro argumento, pues al pasar al límite(v -1) / 4n2 , (cuando n = 3,5,7,... ), e / 2 podría no tender a cero. Hay pues que obrarcon más cuidado.

Primero observamos que los términos de la expresión (1) bajan en valorabsoluto desde f n 2 / l ] = n2 hasta \n2/n\ = n y luego, siendo menores en valor

absoluto que n bajan hasta 1. Esto se ve claro en el ejemplo n = 5. Primerotenemos (« + i ) / 2 términos {25,-8,5}, que despojados de corchetes producen unerror ±e1.(n + l ) / 2 , 0 < e 1 < l , y como (n + l ) / 2 < « , para « = 3,5,7, podemosescribirlo como e^, O^ <1; después, quedan n (n -1) / 2 términos que acaban en 1,son menores en valor absoluto que n y alternan signos: {-3,2,-2,l,-l,l-l,l,-l,i}. Su

suma es menor que n y la podemos escribir así e2«, O <e2 <1. Esto resuelve nuestroproblema: escribimos (1) así:

(v-l)/4 = (n2 / l )-(n2 /3) + ...±(n2 / n ) ± £ . l n ± e 2 n , (2)

y al dividir por n2 obtenemos:

( v / 4 n 2 ) - ( l / 4 n 2 ) = l-(l/3) + ( l /5)-( l /7) + . . . ± ( l / n ) ± e 1 / n ± e 2 In (3)

Al hacer tender n a infinito sobre los impares mayores que 1, la sucesión(v / 4n2 ) - (1 / 4n2 ) tiene el mismo límite que la v / 4«2 ya que I / 4n2 tiende a cero;este límite -lo sabemos ya- es n / 4 . Asimismo, la sucesión del lado derecho de (3).cuando n- 3,5,7,..., tiene el mismo límite que la sucesiónl-(l /3) + (l/5)-...±(l/n).Portanto:

m / 4 = 1-(1/3)+ (1/5)-(1/7) + ...

como queríamos demostrar.

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Merece la pena analizar brevemente la anterior demostración. En ella hay dospartes: Una parte, que podemos llamar finita, se basa en un teorema de teoría denúmeros: "de cuántas maneras puede escribirse un número natural como suma de doscuadrados". La segunda parte es un paso al límite que típicamente incluye ciertasestimaciones. Así el análisis del número irracional n (un número "infinito" en ciertomodo) se apoya en un resultado de teoría de números y en un paso al límite. Nóteseque en la serie de Leibniz queda un "rastro" del teorema de números, a saber losdenominadores superimpares tienen signo +, y los subimpares, signo -. De estamanera, aunque la sola contemplación de la serie no nos dice nada, el proceso dedemostración aparece plasmado en ella de modo patente, lo que produce unasensación psicológica de que poseemos el sentido de la serie. Esta observación esmuy útil para aquellos que, además de la investigación nos dedicamos a la enseñanza.En ambos campos no es suficiente el mero desarrollo lógico de la demostración; esnecesario plasmar en el enunciado del teorema, aunque sea sólo en nuestra mente, lasocultas relaciones que han hecho posible su demostración. Naturalmente que estaserie puede obtenerse con otros métodos. Creo que siempre hay que inclinarse poraquellos que iluminan el significado del teorema; y si, es preciso, dar diversasdemostraciones del mismo teorema si ellas iluminan el resultado desde distintosángulos. Aquí radica el salto de la "chispa" intelectual que permite el descubrimientomatemático.

Veamos si el clásico modo de demostración es o no, más luminoso. Hacemosuso del cálculo diferencial. La serie de Leibniz es el polimonio infinito (serie depotencias)

/(z)=z-(z3 /3) + ( z 5 / 5 ) - ( z 7 / 7 ) + ...

evaluado en z = l. Derivando f(z) se obtiene un polinomio conocido

f ( z ) = z-z2 + z4 -z6 +... = , (donde la última igualdad sólo vale para |z|<l).l + z

Pero l / (l + z2 i es la derivada de la función inversa de la tangente. Por tanto f(z) y

arc tang (z) difieren en una constante, que es cero pues /(0) = arc tang (0) = O , luegoarc tang(z) = f ( z ) , para |z |>l. La situación es delicada porque nosotros queremos

ver que esta última igualdad vale para z = l, es decir f (ï) = are tang(l) = n 14 , y laigualdad sólo la tenemos para |z|<l. Recapitulando: la función /(z) está bien

definida y es continua en el intervalo [o, l) pues ahí coincide con arc tang (z).

Pero sabemos un poco más: /(l) está bien definida; en efecto: /(l), la serie de

Leibniz 1-- + --..., es una serie alternante cuyos términos decrecen numéricamente3 5 ^

y se aproximan al límite 0. Por tanto la serie /(l) converge. Solo falta ver quela función /, definida en [0,l], es continua, pues si es así

TI / 4 = are tang (l) = Urn arc tang (z) = Um f (z) = /(l). La continuidad de / en [O, l] sez-»l z-»l

establece demostrando la continuidad uniforme de la serie /(z)en[0,l]; como cada

término de esta serie es continuo en [O, l], también es continua /(z) en [O, l]. Los

detalles están en cualquier libro de funciones de variable compleja. ¿Es más luminosaesta demostración? En cierto modo sí, pues coloca la serie de Leibniz en un contexto

21

más amplio, pero por otro lado no arroja mucha luz sobre la forma concreta de laserie. Esencialmente lo que aquí sucede es que el proceso finito que da lugar a laserie infinita ha sido absorbido por un proceso finito universal sobre el que seconstruye todo el cálculo diferencial. Nosotros hemos usado un proceso finitoparticular para nuestro problema, que ha arrojado mucha luz sobre lasparticularidades del mismo. Esta posibilidad de un proceso finito universal es lo quehizo posible el cálculo diferencial totalmente general descubierto por Leibniz yNewton, superando los métodos particulares (basados en procesos finitos particularesadaptados a cada tipo de problema) desde Arquímedes a Fermat. Pero creo queconviene entender que en la medida en que un proceso se automatiza se gana enpotencia, pero es posible perder muchos interesantes resultados también. En laenseñanza de las Matemáticas conviene tener bien aprendida esta experiencia.Veremos que algo parecido a esto sucede en el ejemplo siguiente, en donde el papelescamoteador del proceso finito lo realiza la teoría de homología.

Pero pasemos a la prometida comparación entre el número TI y el número e.Ya sabemos que en el sistema de base 10 los números racionales tienen un desarrollodecimal periódico (puro o mixto). Y tienen un desarrollo no periódico losirracionales. Ya hemos indicado que el desarrollo decimal de n o de cualquiernúmero, es en realidad una serie convergente. Aquí quiero subrayar el hecho de quelos decimales del desarrollo dependen de la base de numeración elegida: no sonintrínsecos al número. En otras palabras, trabajando en base 7 el desarrollo septimalde TI sería totalmente distinto del decimal (véanse las tablas al final del artículo). Porotro lado, los términos de la serie de Leibniz para 7t dan un desarrollo intrínseco den . La cuestión natural es: ¿Hay algún tipo de desarrollo intrínseco que valga paratodos los números reales? Intrínseco quiere decir que la lista de números que definenel desarrollo de un número no depende de la base de numeración elegida. Larespuesta es afirmativa y el desarrollo se llama "desarrollo en fracción continua de unnúmero".

Para comprender el desarrollo en fracción continua de un número se me hanocurrido un par de métodos geométricos de explicación, que paso a describirles.Empecemos con el primero. Imaginemos un rascacielos de altura infinita ysumamente delgado, tanto que es una semirrecta con su extremo descansando sobreel suelo. El rascacielos tiene infinitos pisos. La planta baja es el piso 0. Ademásposee un ascensor cuya altura es exactamente la de uno cualquiera de los pisos. Laplanta baja del rascacielos es el centro de una semiesfera de cristal cuya clave llegajusto al piso 1. Con estos requisitos imaginemos que queremos obtener el desarrolloen fracción continua del número TI . El número n lo imaginamos como un punto b^que está levitando en el aire del piso 3: apuntamos 3 como el primer número av deldesarrollo en fracción continua de TC . Ahora bajamos, en ascensor hasta la plantabaja: allí TI habrá bajado y será un número dl=bl-aí: la parte decimal de TC = bl

levitando bajo la bóveda de cristal a cierta altura (0.1415 ...) del suelo. Ahora leaplicamos a dl una sesión de rayos láser de la siguiente manera. Tomamos en elcírculo que forma la base de la bóveda dos puntos diametralmente opuestos, P y Q,por ejemplo. Desde P lanzamos un rayo láser hasta dl que perforará la bóveda en d(y desde Q, a continuación, un rayo láser que pasando a través de la perforación d{llega hasta el rascacielos (más arriba de la bóveda) y marca un punto ¿>2 en algún

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piso del rascacielos. El segundo número a2 del desarrollo en fracción continua de n

es el piso en que está b2 . Ocurre que b2 está en el piso 7 = a2. Procediendo así

obtenemos el desarrollo en fracción continua de n : {3,7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,...} .

(véase la tabla al final del artículo). Nótese que b2 es, simplemente, el inverso de d{

construido geométricamente.La contrapartida algebraica del proceso anterior es el siguiente algoritmo que a

un número real x > O asigna su desarrollo {a¡, a2, a3,...} en fracción continua:

i.- v=*; ai :=[ei] ; di-=bi ~ai2- b2 : = 1 / dl ; a2 : - [b2 ]; d2:-b2-a2

n-bn: = \l dn_, ; a„: = [ b n ] ; d n : = bn-an

donde c, > O, a¡ > O, para i > l .Entonces se ve claramente que el número x es

x = a¡ +-a2+-

fl»+- + ZT

Si al cumulante x = a¡ -ì - lo denotamos por (a,, a2,..., an ), ela2 + •

a, +... + —3 a„

miembro de la derecha en la expresión anterior de x es, por definición, el límite de la

sucesión de cumulantes {(G! ), (^, a2 ), (a,, a2, a3 ),...}; límite que vale x.

Por ejemplo, en el caso del número n , el cumulante (3,7) = 3 + l / 7 = 22 /7 =

3,142... se aproxima razonablemente bien a TI a pesar de ser tan corto. La razón esque el cumulante siguiente (3, 7, 15) acaba en el piso a3 = 15, lo cual ocurre porquelevitando bajo la bóveda de cristal hay un número d2 tan cercano al origen como paraque su inverso &3 (obtenido mediante los rayos láser) alcance el piso 15.

Mejor aproximación dará, por tanto, el cumulante anterior al (3, 7, 15,1, 292), yaque el piso 292 es muy alto. Así tenemos (3,7,15,l) = 355/113 = 3,1415929... que da TI

con 6 decimales exactos. Esta aproximación era conocida desde la antigüedad y asíSpencer, en su libro de efemérides, dice que "en tomo al 480 después de Cristo, elmatemático chino Tse Ch'ung-chih daba 22 /7 = (3,7) como valor de n "no fino" y355 /113 = (3,7,15, l) como el valor "fino" de n ". En Occidente hubo que esperar al año

1573. En este año "Valentinus Otho encontró el antiguo valor chino de n , a saber355/113" . En 1585 "Adrián Anthoniszoon redescubrió el antiguo valor chino de n ,355/113, pero parece que por pura casualidad, ya que primero estableció ladesigualdad

377 / 120 > 7 t> 333 / 106

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y luego sacó la media aritmética de numeradores y denominadores, para obtener elvalor "exacto" de n ". Como mera curiosidad, si uno desea obtener la aproximación aTC que da 355/113 mediante la serie de Leibniz, ¡necesitaríamos calcular 3.748.630términos de la serie! Se ve pues que la serie, en sí misma, no es práctica para elcálculo de decimales de n. Sin embargo un adecuado empleo de ella permitecálculos más precisos. (Véase el libro en inglés de Harold M. Edwards, "Cálculoavanzado: un enfoque mediante formas diferenciales" Birkhäuser 1994, sección 7.5,problema 1.)

El cumulante de rc de orden 432 acaba en el piso 20776, por eso el cumulantede orden 431 se aproxima a TI con 434 cifras decimales exactas.

El segundo método de visualización geométrica de las fracciones continuas esmás sugerente. Supongamos que deseamos desarrollar el número real positivo x enfracción continua. Tomamos una mesa rectangular de billar de altura 1 y de anchura&! = x, como la de la figura siguiente en que x = 17 /13. Se lanza una bola desde la

LJ_l4j-J-4^/fei4-4^.U I U

esquina inferior izquierda con ángulo de 45°. Cada vez que la bola da en una banda, lamesa de billar pierde el cuadrado cuya diagonal ha sido recorrida por la bola. Vamosanotando el número de cuadrados de un determinado tamaño que vandesapareciendo. Si el primer cuadrado quitado no es de tamaño 1 x 1 es que x < 1, yañadiremos un cero al comienzo de nuestra lista de números. Se obtiene así eldesarrollo en fracción continua de x, (a1;a2,a3,...). En la figura siguiente se tiene

(l;3,4). También puede imaginarse que tenemos un rectángulo de l x x que hay queenlosar. En lugar de imaginar que quitamos una losa por cada diagonal recorrida porla bola de billar, la ponemos. De este modo, un enlosador va empleandosucesivamente losas: primero ^ >0 losas de tamaño 1x1; después a2 >0 losas de

tamaño ¿?, x r f , , donde dl=bl-al\ etc ... Es claro que a, = [bl], y que tz2 = [l/dj;

etc. Es ahora fácil ver cuándo la sucesión {ai,a2...} es finita. Si la sucesión acaba,

{íZj,a2,...,at}, es que el lado de la penúltima baldosa puede cubrirse con ak de lasúltimas baldosas utilizadas, luego el lado de la penúltima baldosa es conmensurablecon el lado de la última baldosa. Procediendo así, resulta que los lados de todas lasbaldosas son conmensurables con el lado de la última baldosa empleada. Luego si laaltura de la habitación admite m de estas últimas baldosas y el horizontal admite n,entonces x consta de n partes de 1/m; es decir x - m l n. El recíproco es obvio. Así

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que el desarrollo de x es periódico si y sólo si x es racional. Mi alumno de doctorado,el Sr. Crespí de Valldaura ha obtenido, empleando el método del billar, unademostración absolutamente elemental de que el desarrollo en fracción continua dex es periódico si y sólo si x es de la forma (a + bjc) l d en donde a, b, d son enteros;d & O y c es entero positivo y no es cuadrado perfecto. En su tesis, el mismo señorestudia la obvia generalización del desarrollo de je cuando el ángulo de tiro de la bolade billar no es de 45°.

Comparando esto con el desarrollo decimal de un número, en que sonperiódicos precisamente los racionales, parece como si con el desarrollo en fraccióncontinua bajáramos un escalón hacia un conocimiento más profundo de los números.Así por ejemplo, el desarrollo en fracción continua de VÎ7 es (4;8,8,8,...). Pero hay

sorpresas más interesantes. Ya hemos indicado que el desarrollo en fracción continuadel número TU no parece seguir pauta ninguna . Esto contrasta hasta el asombro conel desarrollo en fracción continua del número e. Este número, al igual que rc , no sóloes irracional sino trascendente: es decir, ninguno de ellos es raíz de un polinomio concoeficientes enteros. Y sin embargo, mientras que TC no parece ofrecer pauta algunaen su desarrollo en fracción continua, vean ustedes cuál es el desarrollo en fraccióncontinua de e: «-1 = 11,1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,...}de tal manera que podemos decirde antemano cuál será la cifra que ocupará un determinado lugar. Podemos decir quedentro del contexto de los desarrollos en fracción continua, los números racionales,los irracionales cuadráticos y el número e nos son perfectamente conocidos. Elnúmero TI sigue siendo un misterio.

Nótese que los términos del desarrollo de e en fracción continua suben porencima de toda cota. Curiosamente, calculando el desarrollo en fracción continua de7t se observa que el número de pisos altos es pequeño en comparación al número detérminos del desarrollo. Si x = (a0 -, a^, a2,...), a0 > O, a, > 1, llamaremos pisos a los a, .

Sea Ek la colección de números que llegan al piso k y no más. Sea IB lacolección de números que poseen un último piso. Obviamente IB es la reunión detodos los Bt . Podemos imaginar los números como una ciudad con edificios dedistintas alturas. El número e tiene altura infinita. No se sabe si K tiene altura finita oinfinita. (En las tablas al final del artículo, todas cortesía del Sr. Crespí de Valldaura,aparecen los "pisos altos" de los primeros números del desarrollo de n .)

Si E = B n (O, l) son los números de altura finita del intervalo abierto (O, l), es

conocido que E posee una cantidad no numerable de elementos. Sin embargo, Eposee medida cero. Dicho de otro modo: la probabilidad de que un número entreO y 1, elegido al azar, tenga altura finita es cero. El artículo de J. Shallit "Númerosreales con cocientes parciales acotados" aparecido en L'Enseigement Mathématique38(1992)151-187 contiene muy interesantes noticias sobre estos números de alturafinita. Sobre estos números Lang dijo en 1966 que "quitando los irracionalescuadráticos no se conocen ejemplos sencillos de irracionales de altura constante. Lamejor conjetura es que no existen". La conjetura es falsa; en efecto el número /(«)definido por la serie:

f(n) = n~2° +n~2> + n~22 + n~2' +...

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tiene altura n + 2 si n > 3 . Pero si n = 2 tiene altura 6. Por ejemplo /(3) tiene alturacinco y en efecto:

/(3) = (0:2,5,3,3,1,3,5,3,1,5,3,1,...)

Además los números /(«) son todos trascendentes de altura finita como fuedemostrado en 1979.

En cuanto al desarrollo en fracción continua de los números algebraicos pocoes conocido. Quitados los irracionales cuadráticos que tienen desarrollo periódico, nose sabe siquiera si son de altura finita o no.

Volviendo al número e, huelga decir que al igual que ocurre con el númeroTI , poseemos desarrollos en serie de e que nos permiten calcular cuantos decimalesdeseemos. A este respecto, se me ocurrió definir un nuevo número, que no he halladoen la literatura, y que propongo llamar número p. El número p, por definición, esaquél cuyo desarrollo en fracción continua es la sucesión de números primos. Puedecalcularse con la precisión que se quiera en la medida en que hallemos nuevosnúmeros primos. Su desarrollo decimal y septimal aparece en las tablas al final delartículo. Sobre el número p lo único que sé es que es irracional, ya que esto equivalea que la sucesión de números primos es infinita. Cualquier otra información quealguien pueda dar de este nuevo número, por ejemplo un desarrollo en serie,cambiaría la faz de las matemáticas, así que dudo mucho que, en la situación actualde nuestros conocimientos, pueda nadie decir nada substancial sobre p. Pero unexamen de su desarrollo decimal es tanto o más importante que el del número n .

Asimismo otro nuevo número que propongo aquí llamar número g (de"gemelos") es el número cuyo desarrollo en fracción continua es la sucesión deprimos gemelos. Dos primos se dicen gemelos si difieren en menos que 3: 2, 3 songemelos; 3, 5 son gemelos, etc. Como no se sabe si la sucesión de gemelos esinfinita, ni siquiera podemos adelantar si el número g es racional o irracional.

7. De lo finito a Io infinito en la Topología Combinatoria

Vamos ya a abandonar los números y entremos de lleno en la geometría. Setrata de un proceso infinito basado en otro finito de carácter combinatorio. Me refieroa la demostración del teorema del punto fijo utilizando el lema de Sperner. Tambiénaquí hay un sustento finito: el lema de Sperner y un paso al límite.

El teorema del punto fijo de Brouwer dice que en un tetraedro de dimensión n(o n-simple) toda función continua del tetraedro en sí mismo tiene un punto fijo.Pensaremos en un triángulo, « = 2; la demostración general es esencialmente lamisma.

Si el triángulo T posee una función continua /: T -» T sin punto fijo, entoncespara cada punto í er definimos un punto r(t)edT (frontera de 7) proyectando tdesde f (i) hasta 9r. Esta función r: r->3r es continua y es la identidad en 3r : enefecto, si tedT al proyectar t desde f(f) obtenemos t; pues í ya está en 3r. Lafunción r se llama una retracción de T en su frontera 97". Se trata de ver que no sonposibles tales retracciones.

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Supongamos los vértices de T marcados O, 1, 2 y sea r:T->ar unaretracción. Entonces podemos asignar a todo punto t<=T un número O, 1 ó 2 delsiguiente modo:

1- Sí r (í) e [O,l), n(í) = 0

2.-SÍ r(í)e[l,2), n(í) = l

3-Si r(í)e [2,0), n(t) = 2

Obsérvese que los puntos de [o, l] tienen asignado el O, ó el 1 ; los de [l, 2], el

1 ó el 2; y los de [2,0] el 2 ó el 0. Los puntos del interior de r(=r\3r) tienenasignado el número O, 1, ó 2.

El sustento finito del teorema que dice que no existe tal retracción es el lemade Sperner que enunciaré para un triángulo, pero que vale igualmente para un n-simple con las alteraciones obvias. Dice así el lema de Sperner: Sea el triángulor = (0,1,2) triangulado, (es decir Tes unión de triángulos en número finito, de modoque si dos triángulos se tocan lo hacen exactamente a lo largo de una cara común).Supongamos que los vértices de la arista [o,l] están marcados con O ó 1; los de la

arista [l, 2], con 1 ó 2; los de la arista [2, o] con 2 ó 0; y los de T \ 3 T con O, 1 ó 2,

indistintamente. Entonces existe un triángulo de la triangulación de T cuyos vérticesestán marcados con números O, 1, 2 distintos dos a dos. La demostración siguiente,bellísima, la leí hace más de veinte años, pero no sé donde.

Cerca del lado [o, l] de T tomamos un vértice nuevo V exterior al triángulo T

y asignamos a Vel número 0. Después juntamos Vcon los vértices de la triangulaciónde T que caen en la arista [o,i]. De este modo obtenemos un cuadrilátero C

triangulado (V,o,2,l) y numerado (0,0,2,1). Vemos que C sólo posee una arista

[0,1] en su frontera. Ahora vamos a realizar un juego. Nos encontramos fuera delcuadrilátero C y vamos a entrar en su interior y a deambular siguiendo las siguientessencillas reglas:

(1) Sólo podemos atravesar aristas marcadas [0,1].

(2) Una vez atravesada una arista, ya no podemos volver a atravesarla.

Comenzamos nuestro paseo y necesariamente entramos en el recinto Catravesando la única arista [0,1] que posee en su frontera, lo cual implica que, si

seguimos las reglas, ya nunca jamás saldremos de C. El proceso de cruzar aristas[o,l] acabará antes o después porque hay sólo un número finito de ellas. Cuando ya

no podamos cruzar ninguna más es que hemos entrado por una arista [0,1] en un

triángulo cuyo vértice restante es 2. Este es un triángulo marcado (o, l, 2), y no es delos nuevos (los que poseen el vértice nuevo V), porque ninguno de estos triángulosnuevos está marcado con (0,1,2). Luego el triángulo (0,1,2) pertenece a la

triangulación de T, como queríamos demostrar.

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Ahora viene el proceso de paso al límite. Tomamos triangulacionesT^T-j.r,,,... de T tales que son cada vez más finas. Se puede definir como tamaño deuna triangulación T¡ el de su triángulo más grande (aquél que posee dos puntos quemaximizan la distancia). (No es difícil ver que las sucesivas triangulacionesbaricéntricas de 71 tienen tamaños que tienden a cero.)

La función n -. T -^ {o, i, 2} asigna a los vértices de T¡ números que cumplen las

hipótesis del lema de Sperner, luego T¡ posee un triángulo A¡ marcado con números(o, i, 2). La sucesión de los baricentros B¡ de los A¡ es infinita y siendo T compacto,

tal sucesión B¡ tiene un punto límite Q. En todo entorno de Q hay infinitosbaricentros, luego en todo entorno de Q hay un triángulo A¡ . Por tanto Q es límitede los vértices de estos triángulos. Luego Q es límite de puntos marcados con O y porcontinuidad (ya que los puntos marcados con O van al intervalo [o, l )) r (Q) pertenece

a [0,1]. Pero también Q es límite de puntos marcados con 1; luego r (g) e [1,2]. Por

tanto r(g)e[o,l]n[l,2] = {l}. Pero Q es límite de puntos marcados con 2; luego

r(g)e[2,o]; pero es imposible esto, ya que el vértice l de T no yace en la arista

opuesta [2, o]. Esta contradicción nos dice que r no existe. Por tanto el teorema delpunto fijo de Brouwer es correcto.

El argumento, de hecho, es constructivo. Se toma Tj triangulación de T; si/ : T -> T posee un vértice fijo hemos acabado. En caso contrario se toma unatriangulación T2 más fina que r,, etc. Si ninguna de las triangulacionesTj,?:,,^,...,cada vez más fina, posee vértice fijo, podemos variar ligeramente elargumento anterior del siguiente modo: Asignamos a los puntos de T, no fijos por/,un número {o, 1,2}como sigue. Tomamos la flecha (í,/(f))y la trasladamos,

paralelamente, al baricentro de T, de modo que t ocupe el baricentro.La figura 1 indica el número que hay que asignar a í. Se cumplen así para las

/

triangulaciones T,,r2,rn ,... las hipótesis del lema de Sperner, y en cada T¡ hay untriángulo A. marcado (o, l, 2) ; el lim A¡ es un punto fijo Q, ya que a él convergen

i—»°°sucesiones de ceros, de unos y de doses, y como la flecha (g,/(g)) no puededirigirse en tres direcciones distintas, es que no hay flecha en Q: es decir /(g) = g.Este argumento prueba directamente el teorema del punto fijo de Brouwer, pero noel teorema más fuerte de la inexistencia de retracción de T en 9 T.

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En los cursos de topología algebraica se prueba la inexistencia de laretracción r observando que el triángulo de funciones continuas conmutativo

(donde y es la inclusión canónica), induce mediante el functor de homología singularentera un triángulo conmutativo de grupos abelianos y homomorfismos

ZSH^QT-.Z)

H„_,(T)^n- l

que es imposible (T tiene dimensión ti). Lo que ocurre es que en este argumento elsustento finito y el paso al infinito han sido escamoteados por el functor dehomología. En qué punto de la definición de homología ocurre el sustento finito y elpaso al límite es algo indispensable de explicar en un curso de homología. Pero esmuy sutil y puede, si no se hace bien, invalidar todo el resultado del curso.

8. De lo imito a lo infinito en teoría de nudos

Vamos ahora a abandonar la "Topología continua" y vayamos a la devariedades. Se trata ahora de mostrar que el sustento finito de la existencia de una 3-variedad abierta y contractible no homeomorfa a R3 , es la teoría de nudos. Deeste modo colocamos a un mismo nivel la teoría de números, la combinatoria y lateoría de nudos. Ocurre que entre estas tres teorías hay múltiples y muy bellasinterrelaciones que explicaré al final.

Hagamos un poco de historia que servirá para centrar el problema que ahoratenemos entre manos. Estamos a finales del pasado siglo cuando la Topología nacedel cerebro de Poincaré, tras un período de gestación que ocupa la mitad de ese siglo.Es la época en que Poincaré ha probado su teorema de dualidad para variedadestrianguladas y cerradas. Entonces en su "Segundo complemento al Analysis Situs"(Proc. London Math. Soc. 32 (1900) 277-308) conjetura que una 3-variedad cerrada(compacta y sin frontera) debe ser homeomorfa a la 3-esfera S3 si tiene los mismosgrupos de homología que S3. Cuatro años más tarde demuestra la falsedad de supropia conjetura en su "Quinto Complemento al Analysis Situs" (Rendiconti Circ.Mat. Palermo 18 (1904), 45-110) mediante el famoso contraejemplo que hoy lleva elnombre de variedad de Poincaré. Se trata de una 3-variedad cerrada P3 que eshomológicamente como S3 pero difiere de ella en el grupo fundamental (definido porPoincaré para este objeto). El grupo fundamental de P3 es una extensión central delgrupo cíclico de dos elementos, mediante el grupo alternante de 5 cifras A5. El grupo

fundamental de P3 resulta pues finito de 120 elementos, mientras que el de S3 constade un sólo elemento. El lector interesado en estas cosas puede consultar mi artículoen catalán "Puntos de vista sobre el problema de Poincaré" (en "El desarrollo de lasmatemáticas en el siglo XIX", Archivos de la Sección de Ciencias, LXXV. Instituto

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de Estudios Catalanes, Barcelona 1984, o en mi libro en inglés "Teselaciones clásicasy 3-variedades" Springer 1987). El contraejemplo P3 aparece en el artículo dePoincaré citado antes y también, reproducido mostrando su simetría, en mi artículoen catalán. Es un diagrama de Heegaard que siempre ha suscitado en mí granperplejidad pues Poincaré no da ni la más leve indicación de cómo lo puede haberobtenido y no puedo creer que haya sido debido al azar.

Visto pues por el mismo Poincaré que hay 3-esferas homológicas, como P3 ,no homeomorfas a S3, lanza al final de su "Quinto Complemento" el famoso reto quesigue abierto para vergüenza de geómetras. Dice así Poincaré, en el mejor estilogallego: "Quedaría por estudiar la pregunta: ¿es posible que el grupo fundamental deV3 se reduzca a la sustitución idéntica, sin que V3 sea S3 ? ". La expectaciónnegativa a esta pregunta es lo que hemos llamado la Pregunta o Conjetura dePoincaré.

Si no estoy equivocado la primera "demostración" falsa, publicada, de laConjetura de Poincaré (de las numerosísimas que después se han encontrado), sedebe a J.H.C. Whitehead. En 1934 publicó un artículo, que se puede hallar en susobras completas, en el que entre otras cosas "demuestra" la Conjetura de Poincaré.Whitehead inmediatamente comprendió su error ya que su demostraciónproporcionaba un resultado más general que el buscado ya que valía para 3-variedades abiertas, además de para las cerradas; una situación similar a la trampa deWaldhausen mencionada más arriba. Whitehead, sin embargo, no cayó en su propiatrampa y sospechó inmediatamente que su argumento era incorrecto, y conextraordinario ingenio construyó rápidamente una 3-variedad W3 (la variedad deWhitehead) abierta (no compacta, pero sin frontera) y contractible (del tipo dehomotopía de un punto) pero no homeomorfa a R3. Nótese que el compactificado deAlexandroff de R3 es S3 ; el compactificado de Alexandroff de W3 no es una 3-variedad. Si así fuera tendríamos el deseado contraejemplo a la conjetura dePoincaré. En breves palabras, Whitehead probó que la generalización de la Conjeturade Poincaré a variedades abiertas es falsa. Un resultado análogo al de Boileau-Zieschang mencionado más arriba.

Se trata aquí de describir el contraejemplo W3 de Whitehead. Se obtiene porun proceso al infinito cuyo sustento finito es la teoría de nudos.

Comencemos estudiando el sistema de nudos (enlace) de la Figura 2, que sellama el enlace de Whitehead.

/£,

V

30

1. El nudo N2 es trivial y la curva Nlt que cae en s3 \ N2, tiene nùmero de enlacecero con N2 por tanto es nulhomóloga en s3 \ N2 . (Que es nulhomóloga se puede verdirectamente observando que N¡ bordea un toro en el complemento de N2). SiendoN2 trivial, se infiere que Nl es también nulhomótopa en s3 \ N2 . Esta es unapropiedad sencilla, pero que emplearemos luego.

2. Tomemos un pequeño entorno tubular r1 de Nl. Vamos a demostrar ahora que

i#: nl(dTl)>->nl(s3 \L)

es decir que el homomorfismo i# inducido en grupos de Poincaré por la inclusióncanónica f :3r* c^s3 \ L es inyectivo (la flecha >-> significa inyección).

Calculemos TC , (s3 \ L) . Tomando los meridianos x e y de Figura 2 obtenemos

la presentación siguiente de je l (s3 \ L) :

x^-.x^yx^y^xy^x^y^^yx^y^xy^x^y^x . El grupo fundamental de ar1 está

generado por una curva paralela a Nl que llamaremos m, y por la curva x que

llamaremos /. La curva m pensada en n l (s3 \ Lj representa la palabra

y~ly~lxyx~lyxy~lx~ly. Tenemos que demostrar que si i# (malb} es el elemento trivial

entonces a = b = 0.

Definamos el homomorfismo K l (s3 \ L) -> C2 * C2 , mediante x H» ß a, y i-> a ,

donde a genera el primer factor C2 y ß el segundo factor C2 del producto libreC2 * C2. Puede verse que esta asignación es un homomorfismo porque la única

relación xw=wx,(w=yx~ly~lxy~lx~ly} va a la identidad. En efecto:

w i - > a a ß a ß a a a ß a = (ß(x)3

En este homorfismo mi->(ßa)4 . Como la palabra ß<x es reducida, en

C2 * C2 , (ß a)4 tiene orden infinito.

Supongamos que malb es contractible en s3 \ L. Entonces también escontractible en s3 \ Nl z> S3 \ L . Pero en S3 \ Nl la curva m es contractible, luego lb

es contractible en S3\Nl; pero siendo i=x un generador de nl(s3\Nl^ = Z

deducimos que b = 0. Es decir ma es contractible en s3 \ L. Lo cual implica que

(ßa)4a es trivial y esto solo ocurre si a = 0 pues (ßa)4 tiene orden infinito en C2 *C2.

Así pues hemos demostrado que z'# : ití (ar')>-> TC, (s3 \ L)CS inyectiva.

3. Un tercer resultado de teoría de nudos necesitaremos todavía. Vamos a demostrarque si T2 es un pequeño entorno tubular de N2 , también el siguiente homomorfismoinducido por inclusión es inyectivo:

7t1(ar2)>^7c1(53 \L)

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La razón es muy obvia ya que el enlace de Whitehead es intercambiable: hay una

involución de (s3, L) que en vía #, a N2 y recíprocamente (ver Figura 3).

tu-/**'Hasta aquí el sustento finito de nuestra construcción infinita. Es ya tiempo de definirla famosa variedad de Whitehead. Se parte de un toro sólido rt contenido en s3 ydesanudado (Figura 4).

Dentro de r; se toma un toro sólido T 2 , tal como se indica en la Figura 2, y se

procede inductivamente con T2 como si fuese T; . Entonces S3 \ n T¡ es una 3-

variedad abierta y contractible diferente de R3 que llamaremos w3 : la variedad deWhitehead. Nótese que w3 es el resultado de quitar de s3 un cerrado, compacton T¡, luego iv3 es un abierto de s3 y por tanto una 3-variedad triangulable (coninfinitos tetraedros). La naturaleza de n T¡ no es fácil de entender. El meridiano m deFigura 4 bordea un disco en r, que corta a n 7) en un conjunto de Cantor. Así queH T¡ es una especie de conjunto de Cantor x R enlazado consigo mismo de un modomuy complicado.

w3 puede describirse de otra manera. Llamamos T' al cierre de s3 \T¡ .

Entonces W Í = \ J T 1 . Nótese que T1'1 c r'. Veamos cómo se relaciona estaconstrucción con el enlace de Whitehead. Comparando la Figura 4 con la Figura 2, se

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observa que N1 =m y N2 es el ánima de T2 . Nótese que r1 (el exterior de r, en s3 )tiene como ánima a N^m.

La propiedad 1. del enlace L implica por tanto que nl (r1), generado por

Ní = m, es enviado a cero por la inclusión canónica:

i,:*^1)-^,^2)

y a que Nl es nulhomótopo en S3 \ N2 que tiene el tipo de homotopía del cierre de

s3 \T2,o sea T2.

Por inducción, pues todas las parejas ir2,r1},...,ir",r""1 i, ... son

homeomorfas, obtenemos que todos los homomorfismos im inducidos por inclusión:

^(r1) —i-^fr2) —^-»^(r3) —i-> ... son cero.

Dado entonces un lazo en w3 = U r' , como es un compacto, necesariamente

ha de caer en algún T' , lo que implica que su imagen en r'+1 es nulhomótopa. Así sededuce que n^w3} es trivial. Por otro lado si tomamos f:sm—>w3 continua,

f ( s m ] estará contenida, por compacto, en algún r!. Pero T' tiene el tipo de

homotopía de s1 luego/es nulhomótopa en T' (y por tanto en w3 ). Esto demuestra

que nm (w3} = l, para todo m >1. Como w3 es un poliedro (un abierto de S3 ) se

deduce que w3 es coritractible.Veamos que w3 no es homeomorfa a R3 . La diferencia está en el infinito. En

el caso de R3 si se compactifica con un punto °° , los entornos de R3 + °° en torno alnuevo punto son bolas tales que privadas del °° tienen el tipo de homotopía de la2-esfera y por tanto son simplemente conexas. En otras palabras R3 es unióncreciente de bolas, mientras que w3 es unión creciente de toros sólidos con lapeculiaridad que el toro n-ésimo cae en el (n +1) - esimo como r2 cae en r,. Por

tanto será de esperar que T1 no esté contenido en ningún compacto cuyocomplemento (entorno de la compactificación de Alexandroff de °° ) seasimplemente conexo. Es decir w3 "no es simplemente conexa en el infinito". Portanto para distinguir R3 de w3 emplearemos la siguiente obvia propiedad de R3 :

todo compacto de R3 está contenido en otro compacto (una bola) cuyo complementoes simplemente conexo ( = tiene grupo fundamental trivial y es conexo).

Veamos que esta propiedad topològica de R3 no la comparte W3. En efecto,veamos que el compacto r1 no está contenido en ningún compacto K de w3 cuyocomplemento es simplemente conexo. Supongamos lo contrario

Vamos a jugar con las dos descripciones de w3. Recuérdese:W3=S3 \C\T¡ =\JT1 .Si T1 está contenido en un compacto, este compacto K está

o o

contenido en algún Tm y por tanto w3 \ K z> w3 \ Tm = Tm . Pero entonces el

33

meridiano x de Tm sería un elemento de TC , (w3 \ K] = o, y por tanto tal meridiano

seria contractible en w3 \ K c w3 \ T1 c w3 \ T1 = r, \ n T¡ . Veamos que esto es falso.En efecto, tenemos los homomorfismos inducidos por inclusión:

TC, (TÍ \ r2)—&->«, (T; \ T3)—a-»«, (r, \ r4)^...-»n, (r, \ n r,)=/im TC, (r, \ TJ)

y el meridiano * de rm cae en r, \ rm . Basta probar que:

(A) TC, (9 rm ) >—^4-» TC , (r, \ Tm ) es inyectivo, donde el homomorfismo es inducido

por inclusión.

De este modo j#(x) *o en TC f T \ T }..^ ' i \ l m)

(B) La sucesión de homomorfismos inducidos por inclusión Í2,i3,i4,... es una

sucesión de inyecciones. Entonces j#(x) no muere en ningún TC, (r, \ 7¡.), /=2,3,... y.por tanto representa un elemento no trivial del límite directo del sistema i,, i2, i3,...,

que es n ! (r, \ n r¡ ). Así x no es contractible en r, \ n T¡ como queremos demostrar.

Vamos a probar todo a la vez, por inducción usando el teorema de VanKämpen. Supongamos que TC l (rn_2 \ Tn_\ ) -> n 1 (r¡ \ Tn_¡ ) es inyectiva para todo n > 3 y

veamos que es cierto para n+1. (Para n =3 el homomorfismo es

TI j (T; \ r2 ) TC j (T; \ r2 ) que es la identidad.)

Analicemos qué significa la propiedad 2 de L. Decíamos

Kl(dTl}>-*Kl(s3 \L)

que equivale a TC i (3 r, ) >-^TC ¡ (r, \ 72 ). La propiedad 3 de L dice

7c1(ar2)>->Tc](s3 \L)

que equivale a TC , (3 T2 ) >-> TC , (T{ \ T2 ). La propiedad 3 y la hipótesis de inducción

dicen que la composición siguiente es inyectiva:

_ /-, „ \ ^ 3 /_, \ _, \ inducción /_ . _ \711 la:r«-l)> >7 ll Vn-2 X r«-J>- ^71! l7! \ Tn-l)

y esta es la propiedad (A) que queríamos probar antes.

La propiedad 2 dice que es inyectiva la

«iH-,)*-—*-»*,(*;_, \r„)

34

Obsérvese que la intersección (r, \ rn_1)n(?;_1 \ rn) tiene el tipo de

homotopía de 3 r„_, . Por el teorema de Van Kämpen las dos flechas de la derecha delsiguiente diagrama son inyectivas

* i fr \ r,.,)

X V^A

"¡(¿Tn-ljf K l f c M ; )

\ _/B«ifc-i^)

pues la unión (r, \ Tn_, ) U (r,., \ r„ ) = r, \ rn.

La flecha ß es el siguiente paso de la inducción que con esto queda probada, yla flecha A es la afirmación (5) que queríamos probar.

Por tanto w3 no es homeomorfo a R3 .Una notable propiedad de w3 es que w3 XK = 1S.4 .El lector sabrá hacer esto

como ejercicio.He elegido este ejemplo para ilustrar cómo la teoría de nudos está en el centro

de los problemas de la topología de 3-variedades abiertas. También está en el centrode la topología de las 4-variedades. Precisamente M. Freedman, el que demostró laConjetura de Poincaré topològica en dimensión 4, utilizó de manera esencial la

f*i

variedad de Whitehead . Curiosa ironía del destino: ¡lo que sirvió de contraejemploa una "demostración" de la Conjetura de Poincaré en dimensión 3 fue pieza parademostrarla en dimensión cuatro!

No es este el sitio para explicar de qué modo interviene w3 en este problema4-dimensional. El lector interesado puede leer M. Freedmann y F. Quinn, "Topologíade 4-variedades" en Princeton U. Press. Pero quiero indicar aquí que la teoría denudos es tan esencial para la Geometría como lo es la teoría de números para todaslas Matemáticas.

Otros aspectos parecidos del tema tratado surgen en el cálculo infinitesimal,pero están tan trillados y son tan conocidos que sólo queda dirigir al lector a loslibros, múltiples, que explican el desarrollo histórico del cálculo; o genético, como elcitado de O. Toeplitz.

Otro tema más arduo pero muy interesante es el de curvatura en superficiespoliédricas y sus relaciones con superficies suaves. Hay que remontarse a Descartes yacabar en los trabajos de Alexandroff y Pogolerov para hacerse idea cabal de lamaravillosa belleza de esta relación.

Y para terminar querría decir que entre los sustentos de las anterioresconstrucciones infinitas existen relaciones sorprendentes. Por ejemplo entre la teoríade nudos y la combinatoria hubo relaciones importantes al principio de la historia dela teoría de nudos (trabajos de Reidemeister, Goeritz, Alexander, Fox, y la escuelajaponesa contemporánea de Fox), pero esta relación ha revivido últimamente con los

<<c> Es opinión mía que la demostración de Freedman no ha pasado todavía el examen crítico de un número suficientemente

alto de especialistas.

35

trabajos de muchos matemáticos que han creado una nueva rama de la teoría denudos que yo llamaría "teoría combinatoria de nudos". Estos trabajos, todavía enestado incipiente, y muy similares a los de la clásica teoría de grafos, han interesado aalgunos físicos teóricos. (Para una aplicación curiosa a la Física, véase un recientetrabajo del Profesor Antonio Fernández Ranada sobre la explicación del rayo enbola, aparecido en Nature.) Esta mutua relación con los físicos ha proporcionadovaliosas ideas que también han encontrado (mediante la teoría de nudos) suaplicación en el hallazgo de nuevos invariantes de 3-variedades cerradas.

Por otro lado la teoría de nudos, también recientemente, ha tenido un potentealiado en la geometría riemanniana de manos de W. Thurston. Este matemático hageneralizado (revitalizando antiguas investigaciones de Satake) el concepto devariedad al de calidoscopio ("orbifold") en el que las singularidades son enlaces yaun grafos en una 3-variedad cerrada. Ha puesto de manifiesto la relación entre losnudos y la geometría hiperbólica. Como el grupo de isometrías de esta geometría esun grupo de Lie complejo, tiene sentido hablar de sus subgrupos aritméticos. Así seencuentran sorprendentes relaciones entre los nudos y la teoría de números. Porejemplo el volumen de un nudo "aritmético" puede expresarse mediante las funcionesclásicas de la teoría analítica de números.

El primero que observó este tipo de relación fue L. Bianchi al final del siglopasado quien probó que el número de puntos cuspidales del cociente del espaciohiperbólico por PSL(2,.#(£>)), donde .#(£>) es el anillo de enteros del cuerpo

O(V^O),CD entero libre de cuadrados y positivo), coincide con el número de clases

de ideales del anillo -#(/>). Este bellísimo teorema relaciona los nudos con losnúmeros, ya que los puntos cuspidales pueden completarse cerrándolos con un nudo.

Otra relación entre los nudos y los números procede de los nudos fibrados yen general de los invariantes cada vez más sofisticados hallados por los matemáticosque se dedican a los nudos. No sorprende esta relación ya que ambos objetos, nudos ynúmeros, parecen estar en la base de todas las matemáticas.

Espero que algún día tenga tiempo para poner de manifiesto estas relacionestan variadas y sugestivas. Ahora no quiero abusar más de su paciencia, sóloagradecerles la atención que me han prestado. Muchas gracias.

36

\!i f-

57

atf -èr^Çi

IN A NA L T S I N

fi R II\J JA U

A ü C TO R E

«ss» íW^ f^^f. <^ "ï* <syt " A WSi "W"* ^'"^ì. tÇg"^ "W' "3" " « " 'íf iS j*»«*,"

EÜLEB.O,.Profe/òre Regio B E R o L i N E N s i > C^ Academia Im-

perialis Scïentiarum P E T R O P O L I T A N ^ EC/ ü^^^u^L&^^^^. Socio.

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E Â. U S- Ä K N ¿&;,

^gud M À . R C U W - M I C H A E I E M "BouscsjüET 8c Socios

M D C C X L V I I I .

.58

ÂC LOGARITHM. P E Zi SERIES SXPLrC'A T. jy

ìlio» Logarithmoram hyperboiicorura yfus In calculo integrali GAe;VlEfiiiius dcmonftrabitur.

C A P U T V i l i

Dê qti&nMMiitus tranfcendsnï$ttï ex Gremio ortù.

121?, ITÍ Oft Logarithmos & quantïtates exponentiates con-JL fideran debent Arcus circulares eorumque Sinus &:

Cofinus, quia non folum alìud qtíàntkâtum tranfcendcntium.ge-nus conftituunt, fed edam ex ipfe Logarithmus & exponen-tialìbus » quando imaginaras quantkatibus invoivuncurs pröve-jniunt 3 id quod infra elarìus patebir,

Ponamus ergo Radium Circuii feu Sinum totum effe = i,atque iatis Hquet Peripheriara hujus Circuii ìn numeris. ra>tionalibus exaôe exprimi non poflfc , per approximatìonesautem inventa eft Semfcírcumferentia hujus Circulí effe .=3 , 14.1 f91653 5^9793 2384<Í2<$43 ï%3'27P59'2.8g'4ij?7i6ij?3.pP3;751 oy 8 20í>74944Tp2 5078104062802.08^85280348253421J70(57<?8íi48o8íí5i32723oáíí47op3844<5-f-j pro quo nume-ro, brevkatis ergo > ícribam yr-, ira ut fit ÎT == Semkircurnferen-tí« Circuli., eujus Radius =r-i, feu 55- erk iongifudo Arcus-180 graduum.

127« Denotante z> Arcürn hujus Circuli quemcunque, cü«-jw Radium perpetuo affumo = i >• hu)us Arcus « confide«rari potÍlfimum íblent Sinus & Colín us, Sinum auçern Àreüsz inpofterum hoc modoindicabo *ßn. Ä. «, feu tanuim fm> z.,Cofínüm vero hoc modo cof. A. z. 3 fcu tantutn co/I z. Ita 3

cura v fit Arcus 180° , cric fw. o = o ; cof. o TT = i ; &fifi. — 7T = 1 , ¿-(P/7 — 7T = O ; /#. ÎÏT = O J f Of. W =:.-— l Ü

Sf 2f

ß„t JL w==—. i • • cof, 3— <ff^= o j ßn. 27T == o j &£·^/72?r=ï.

Omnes ergo Sinus & Cofinus intra limites -j- i & -— i con-M 3,. tihcp^

39

5.040 dígitos decimales de it

3. 141590628653594665931339378925092188301105392757784201929780261932875566111035305082998488774726602467823586923479761452438525688738837210667396298258496255977299725136542848864565094021782475640735730374231910718199514621825666006357478699414845832267111982387091597120852434492941893211165863580396700233908171637376124375104801063326639325602604966222242631

265352089908128344616072690360611739491217176960919561149951118814687395909185295331124012684710580354781699567535649192332396717986360118634138922620245179754924680976276481596116522889385814270952310073148481217995502262599213247363836007882912871836990734554814184433744173215103968603966620126579787764546675254551768957309412175187900390228318624771529860

89793

8628048111284750249101133819329833629317736372129005973710101159521642689956861785836040478150163600909276369817321073940494695068067440865852248493998930184598807978456035488797109009747755134270578500537983915231666150340884052523055644703520986585283316549857326029136084264262665578558178771591344645820211567515961414722297989769247210947268915080998

23846

3482574502648234127305305611797336267523178722196017328003136286301989773622785516035534649351193417210790742672147143330165300642278623264594077651436175372736715692850662305893141490951323166103906206146015910388114215190717145987631609573539616398635505946154893276564448543410309250072985560401718079749557357515890113179662236567240317547364953088687

26433

3421184102378677245848820310514406584674146848640316096783878823538095259948890763707620802533821641750935425272350454774668025125203919958126719142989284644695143590168477456566916759879641213591983880674956189301403068048631028976359527065725131501764796371882391180939637677322471103606584552274942708261581782969389747647717211463821186425239844441326

83279

7067970193831657006646652185486643081846409014418131859528863787525720138915098366010466842430021992029557862514144624164988620511949453390447826091908138284865977002739449803368675261345152695367447891927146752093703844317347064142187957222108397016185350270919325773446983869780557859876496541704206683040025664541311177262591605306708204081778933304721

502888214885211271200631513841074468602176694224955981350244587539375110654249728175447101259063558745863321165181819735862512723273929047127802784826659256868338367129615226755936228746554937462231440847881911142696213777345649654011031251091755791551511893228199497463403079522828073376348611726654562236343201262779177904224142771663609619000036750963456951

419710865105559190915881746951237993949405132343016297759455320839577885863177526374681942949126402415030534494175768548898357917884896371375900901476093728689436222608944676734568894057818934364295244896897939123978559549202145399712047120671161369868517618543099266730074696847818915668209104508530053898587828594450119782854854925475712042296159060878062396

693993282364462456484881594151627496395200056465494771334690814201857727886834794939395559933137496428618872024672816136694856085708412869609465799090216962774162609416948895217432601013129754285849373321495206489406638960541057966280453292722918209114376896324488958360211203123544110653103348861434945615698313021299615647554033487389180761711735027693258645

375100664729489566922092016094567352473781271585370996083026617178053259361131511925561989677027326329745755969097711573562098438384886956366407826401461515599191246868555213841125503308482184447187114571314196907183778746659268563903981918098164442157618132935757141428191305265810446989655034644318314070523564715489030320321571986656383296377350725993973021

582090938454930346039628233057188571907045263105075187042522766911712253381557480604046767898919141955706023647727952552921928279626945437199512636394570988559208051584845225415076861796829995265014578687563428649420830325201100557595126186909150067535155308982828913883203302131482325269181136558676112708089350979046391986985306494947166492133835407805463159

74944

4609538196486109254027036527242179856082922797211330825473036806682796572420927783744521049272674983806653800013347221847976660424172879468343745583875245924388063539954606947286808948786782654031943575444319619069749744081065677112586280171033465088570640592303203380194957627162620567686797514004073065725923947131514014228501141627475751567041934181931

59230

5058244288454329171557595891226094377857689254999933446598251300182303454150167194482752160426985054499118164757418272558145419652467769835253050410595395943904422076672794510920872265810511590270643006437567949207728507658795770073215350676711049099204672332682490762118572601052476935324956614854735740609907296212870881375654068888014959038674473795167

78164

2317210975664823643691953793817027771342892359983785035349049278701952069591390055379205699227994588988180600149468025421009585022465755957068203788594310451244222588239896596476098048541354993442184545123520803467232518699814203379198127483141289859525900972937589011002433465227125704416606800326997954596547073400859985043284330786950156435137441835381

40

5.040 dígitos septimales de n

3. 06636

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4.977 términos de la fracción continua de n

. 44

Coeficientes superiores a 100 del desarrollo en F.C. de TInúmero coeff nùmero coeff nùmero cocff5 292 2105 256 3812 827780 161 2155 121 3826 242197 120 2168 391 3867 520223 127 2199 252 3916 588308 436 2356 106 4020 1431432 20776 2477 193 4127 212602 106 2553 152 4193 331670 141 2560 473 4216 117726 125 2565 108 4242 143870 376 2689 141 4323 501872 107 2845 188 4348 154961 129 3085 310 4401 1801002 193 3090 211 4552 134lili 114. 3158 210 4606 5271216 123 3204 113 4666 1721222 156 3249 325 4701 12821360 148 3274 1722 4739 2041484 161 3291 292 4900 1641498 528 3374 1041546 102 3403 1111759 155 3435 2041858 217 3440 1181866 196 3642 1422054 620 3745 2122078 425 3778 2159

46

5.040 dígitos decimales de/>=(2;3,5,7,ll,13,...)

2. 31303

3177656712871800191113712107111066974956873945071747772602461455719489174310299633805078942627424929178311691916757227685556394557788581972814339132486936012586329743903873359732385631919940589427922857928636164680524234318550286759851559151327370789034149610395002456892306800919210617472692259690764616859394068558987706527456528183342330473021686998208

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5.040 dígitos septimales de/j=(2;3,5,7,ll,13,...)

21224 1313340432 4560054465 4132062112 6016314056 3424423534 1422202433 3035616466 4434332243 1400362204 6146265650 3513463344 4024356561 2021330142 5416615014 1234266134 5303123065 1423306302 4342441504 0331205234 2366554203 0266451220 4366616465 0421460636 3050033030 6045014431 1354652255 4123412256 2143014031 5521246340 6232540041 3406414625 4501616266 5611303154 3432326466 2343315506 1604640244 5540422526 5010051040 5202115303 6236646336 6035200342 2021533451 2362563434 0154252603 6200652556 4603133404 4641231242 1112651513 1112142344 2050455025 1515652405 4456146155 6434350261 4623126145 6235111362 1615225500 4043216554 0206443444 1516366422 6553544501 4620306646 6650544322 5416003221 0124055535 3262111523 4333635434 5253322566 5516152300 4521034522 5521226510 2052142556 21564

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ERRATAS ADVERTIDAS

• Pag. 19, línea 5.- Debe decir: "en la de radio V2 hay cuatro y ninguno en la de radio >/3

• Pag. 21, línea 29.- Debe decir: " | z \ < l ".

• Pag. 24, linea 20.- Debe decir: "En la figura anterior".

• Pag. 24, línea -1.- Debe decir "ni m".

• Pag. 25, línea 1.- Debe decir "finito" en vez de periódico.

• Pag. 32, línea -12.- Debe decir "Figura 4".