DIRECCIÓN PROVINCIAL DE EDUCACIÓN PRIMARIA

DIRECCIÓN PROVINCIAL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA

DIRECCIÓN PROVINCIAL DE EDUCACIÓN DE GESTIÓN PRIVADA

Propuestas curriculares para el último trimestre de laeducación Primaria y el primero de la educación Secundaria

Proyecto articulación MatemáticaContinuidad de la enseñanza - un desafío compartido

Introducción

En este texto partimos del encuadre del área de Matemática de los Diseños Curriculares de ambos niveles

educativos deteniéndonos en algunas ideas que resultan claves para pensar en la continuidad pedagógica y en las

trayectorias escolares de los alumnos. Luego plantearemos algunas situaciones de enseñanza posibles para

explicitar ciertos criterios que orienten el diseño y gestión de propuestas didácticas dirigidas a sostener el trabajo

matemático de los alumnos y el avance de sus aprendizajes en el marco de Proyectos de Articulación.

La continuidad de las propuestas curriculares del área de Matemática de ambos niveles

La idea de articulación suele estar muy presente en los docentes, particularmente en los de 6º año de la escuela

primaria y 1º año de secundaria. Muchos de los de 6° año de la escuela primaria deciden enseñar ecuaciones o

cálculos combinados, partiendo de la idea de que esos contenidos son necesarios para el inicio de la escuela

secundaria. Es decir, se adelantan contenidos que se consideran que ayudarán a los alumnos en su tránsito inicial

por la escuela secundaria. Asimismo debe destacarse que no es indicación del Diseño Curricular de Secundaria el

trabajo con ejercicios combinados sino análisis reflexivo con uso de calculadora.

Sin embargo, creemos que adelantar contenidos no constituye una buena articulación. La noción de articulación

refiere a la unión de partes diferentes entre sí, pero que forman un todo. El reconocimiento de las diferencias y la

constitución de un todo lleva a la necesidad de un trabajo en conjunto.

La propuesta curricular del área de ambos niveles plantea claramente el rol central de la resolución de problemas

para introducir a los alumnos en el quehacer matemático. El Diseño Curricular para la Educación Primaria subraya

que:

“Un desafío [para la Escuela Primaria] consiste entonces en desplegar diversas propuestas que permitan a los

alumnos/as aprender matemática 'haciendo matemática'. Iniciarse en el trabajo matemático de esta manera es

bien diferente de pensar que primero se enseñan los 'elementos', los 'rudimentos' para usarlos más tarde, cuando

empiece la 'matemática en serio'. Se trata, por el contrario, de hacer matemática 'en serio' desde el inicio.”

(Diseño Curricular para la Educación Primaria, 2008, p. 171).

Por su parte, el Diseño Curricular para la Educación Secundaria plantea que:

“Hacer matemática es básicamente resolver problemas ya sea que provengan del interior o del exterior de la

matemática, y por lo tanto ocupa un lugar central en la enseñanza.

Es necesario destacar que la sola resolución de problemas no es suficiente: para la construcción de conocimientos

transferibles a situaciones nuevas es necesaria la reflexión sobre lo realizado y la intervención del docente para

que establezca las relaciones entre lo construido y el saber científico.

En la ESB las situaciones que se planteen deberán ir más allá de la aplicación de los conceptos. Deberá analizarse

el funcionamiento de los conocimientos como herramientas para la solución de problemas desde un punto de

vista que ayude a reconocer la necesidad de generalizaciones y permita pensar las nociones construidas como

objetos matemáticos”. (Diseño Curricular ES1, 2006, p. 174)

Las propuestas de ambos diseños curriculares plantean claramente una continuidad. En este sentido, creemos que

la articulación puede sostenerse desde el tipo de tarea matemática que se le solicita a los alumnos, más allá de los

contenidos abordados.

Propuesta didáctica

El material que se presenta puede utilizarse tanto en el último trimestre de sexto año de EP, como en primer

trimestre de primer año de ES. Se trabaja sobre contenidos que se abordan en ambos niveles, aunque con

diferentes niveles de complejidad. Como consecuencia de esto, el tratamiento de los problemas, las instancias de

trabajo colectivo y las sistematizaciones no serán iguales.

La primera parte de la propuesta aborda un trabajo integrador que se apoya en el análisis de regularidades,

observaciones y conjeturas en la Tabla Pitagórica. Proponemos una reflexión sobre los conceptos de

multiplicación, múltiplos, factores, divisores, números primos y factores primos atravesados por una mirada

curiosa, inquisidora y comprensiva por parte de los estudiantes.

Actividad 1

1. En el aula de 6° A de una escuela hay 24 alumnos. Para realizar diferentes actividades, se los quiere dividir en

grupos formados por la misma cantidad de alumnos cada uno, sin que sobre ninguno.

a) Para la primera actividad se armaron grupos de 6 alumnos. ¿Cuántos grupos se armaron?

b) ¿Se podrían formar grupos distintos a los anteriores para realizar las demás actividades? ¿De qué

cantidad de alumnos deberían ser los grupos y cuántos grupos quedarían formados? ¿Hay más de una

posibilidad?

2. En el aula de 6° B hay 36 alumnos y se los quiere dividir también en grupos formados por la misma cantidad de

alumnos cada uno, sin que sobre ninguno. ¿Cuántos grupos se podrían formar y de qué cantidad de integrantes?

¿Hay más de una posibilidad?

3. En una actividad compartida por 6° A y 6° B, se propone armar grupos en los que no se mezclen los alumnos de

las dos clases, de modo que todos los grupos tengan la misma cantidad de alumnos y que no queden alumnos sin

participar. ¿De cuántos alumnos pueden ser estos grupos?

Análisis y gestión Este primer conjunto de problemas pone en escena a los divisores de un número. La parte a) del problema 1, si bien

resulta simple, tiene por objetivo que los alumnos comprendan la situación que se plantea, por un lado, y por el

otro, que comiencen a considerar a la división como una herramienta útil para hallar la cantidad de grupos con 6

alumnos. La parte b) propone pensar en otras cantidades para los grupos, que son divisores de 24, y la cantidad de

grupos que se pueden formar, que es el cociente de la división entre 24 y cada uno de los divisores. Puede resultar

interesante discutir que, para este contexto, considerar grupos de 1 alumno equivale a que cada uno trabaje solo,

mientras que un grupo de 24 alumnos significa que toda la clase trabaja junta.

El docente podría en este momento sistematizar que los números por los que se puede dividir exactamente a 24

son sus divisores: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24.

El problema 2 requiere de los mismos conocimientos que el 1, solo que en este caso no se proporciona ninguna

ayuda para hallar los posibles divisores. En una instancia de trabajo colectivo será importante proponer y discutir

sobre estrategias que permitan ser exhaustivos en cuanto a la búsqueda de divisores de un número.

En el problema 3, se trata de encontrar números que al mismo tiempo sean divisores de 24 y de 36: 1, 2, 3, 4, 6 y

12, es decir los divisores comunes.

Actividad 2

La siguiente Tabla Pitagórica, donde aparecen todos los productos desde 1 × 1 hasta 12 × 12, encierra un

abundante número de particularidades, curiosidades y regularidades que son interesantes de descubrir.

En esta primera propuesta les pedimos que observen la tabla y escriban cuántas veces aparece repetido el 36.

¿Qué sucede con el 31?

Para cada caso escriban todos los productos que dan 36 y 31.

Análisis y gestiónEsta actividad pone de relieve los productos en una tabla Pitagórica y propone analizar sus factores. Es decir,

implica relacionar cada aparición de un número en la tabla con una multiplicación diferente que lo tiene como

producto. Resulta importante analizar con los alumnos que los factores se obtienen de la fila y columna donde se

encuentra el producto.

Hemos propuesto considerar al 36 y el 31, uno de los cuales tiene varios factores mientras que el otro es un

número primo, razón por la cual no se encuentra en la tabla.

El trabajo realizado a propósito de este problema es la base para recordar la definición de múltiplo.

Actividad 3

1. Decidan si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Fundamenten su decisión.

a) 24 es múltiplo de 8.

b) 72 es divisor de 12.

c) 2 y 3 son múltiplos de 6.

d) 36 es divisible por 9.

2. Escriban todos los números de la tabla que solo puedan expresarse como un producto en el que exactamente

uno de los factores sea 1. Por ejemplo: 7 = 1 x 7 = 7 x 1

Análisis y gestión

El objetivo de la actividad 1 es que los alumnos se familiaricen con el uso de los términos “múltiplo”, “divisor” y

“divisible”, y que fundamenten su uso sobre la base de las definiciones que se recuerdan en el enunciado.

Por ejemplo, se podría fundamentar que 72 no es divisor de 12 porque no existe ningún número natural que

multiplicado por 72 dé 12, que es menor que 72. El docente podría repreguntar por la relación inversa, si es cierto

Para recordarUn número es múltiplo de otro si puede escribirse como un producto entre ese número y otro número natural. En ese caso se dice que el segundo es divisor del primero.Por ejemplo, 15 es múltiplo de 3 y 3 es divisor de 15, pues 15 = 3 x 5.Un número es divisible por otro si este último es divisor del primero.Por ejemplo, 15 es divisible por 3 y por 5.

que 12 es divisor de 72. Así, para responder a esta pregunta se deberá poner en juego la definición y encontrar un

número de manera que 12 multiplicado por ese número dé 72 (en este caso, 6). Podría ahondarse en cómo se

encuentra ese número si no se dispone de la tabla Pitagórica. Es posible afirmar que como 72 = 12 x 6, entonces al

dividir 72 por 12 el cociente es 6 y el resto, 0.

De aquí se puede escribir la definición de múltiplo de la siguiente manera: Un número es múltiplo de otro si al

dividir el primero por el segundo el resto es 0.

Resulta también importante expresar la misma relación de diferentes maneras. Por ejemplo, las siguientes

afirmaciones son equivalentes:

12 es divisor de 72. 72 es divisible por 12. 72 es múltiplo de 12. El resto de la división entre 72 y 12 es 0.

En la actividad 2 se presenta un caso particular, el de los números que solo pueden expresarse como un producto donde exactamente uno de los factores sea 1. Estos números solo tendrán dos divisores, el mismo número y 1. A partir de esta observación, el docente podrá definir números primos.

Luego de analizar la definición anterior, el docente podrá proponer las siguientes actividades para resolver en grupos:

1. Decidan si 1 es un número primo.2. Encuentren otros números primos que no estén en la tabla Pitagórica. 3. ¿Es posible que un número primo aparezca más de dos veces en la tabla Pitagórica? Las preguntas anteriores tienen como propósito profundizar en la comprensión de la noción de número primo. Creemos importante que las respuestas a las preguntas queden registradas en las carpetas de los alumnos, por ejemplo de la siguiente manera:

� El número 1 solo puede escribirse como 1 x 1. Como los dos factores son 1, y no solo uno de ellos, entonces no es primo.

� Si un número aparece más de dos veces en la tabla, entonces tiene otros factores además de 1 y el mismo número, por lo que no puede ser primo.

� Hay números que aparecen dos veces en la tabla pero que no son primos. Por ejemplo, el 33. No es primo porque es posible expresarlo como 3 x 11, donde ninguno de los factores es 1.

Un número natural es primo si solo puede expresarse como un producto donde exactamente uno de los factores es 1. Algunos ejemplos de números primos son: 2 (pues 2 = 1 x 2 = 2 x 1), 5, etc.

Actividad 4 1

En el siguiente cuadro, los números han sido pintados de colores según un código particular:

1. Observen este cuadro y analicen qué significado o sentido tienen los colores en los números. a) ¿Por qué creen que el 2, 4, 8 y 16 tienen el mismo color? ¿Por qué el 4, 8 y 16 tienen además más de una zona de ese color? b) Encuentren dos números más que solo tengan el color amarillo. c) ¿Qué pueden decir de los números que tienen el color celeste? d) ¿Qué significa el 17 que está escrito en el número 51? e) Expliquen el por qué de los colores de los números 81, 42 y 52. f) Escriban un texto que explique y ayude a una persona que nunca vio el cuadro a poder interpretar el sentido de los colores.

1 Basado en una actividad Prime Climb de Daniel Finkel y Catherine Cook disponible en:http://mathforlove.com/

Análisis y gestión

En esta actividad se propone un cuadro de números, donde cada uno de ellos está identificado con uno o más colores vinculados con sus divisores. Las preguntas que se plantean tienen por finalidad que los alumnos puedan expresar la relación entre cada número y el o los colores que lo representan.

La pregunta a. propone explorar la relación entre los números 2, 4, 8 y 16. El hecho de que todos tengan solo el color amarillo, y que el primero de ellos sea el 2, lleva a intentar relacionar a los demás con él. La cantidad de veces que ese color está en cada uno de los números funciona como indicio que permite expresar cada relación, que puede adquirir diversas formas. Por ejemplo, es esperable que algunos alumnos escriban: 4 = 2 x 2, 8 = 2 x 2 x 2 y 16 = 2 x 2 x 2 x 2. También es probable que utilicen productos como 8 = 4 x 2. Será tarea del docente hacer evolucionar esas escrituras hacia otras que solo utilicen productos y el número 2. Es posible que sea necesario recordar la definición de potenciación para obtener: 4 = 2 x 2 = 2 , 8 = 2 x 2 x 2 = 2 , 16 = 2 x 2 x 2 x 2 = 2 .

La pregunta b. propone extender la idea explorada en la parte a. Los números que tienen solo el color amarillo son aquellos que pueden escribirse como producto usando solo al 2 como factor, por ejemplo, 2 =32, 2 =64.

Para responder a la pregunta c., es posible que los alumnos digan que los que tienen color celeste están en la columna del 5 o en la del 10. También podrán decir que terminan en 0 o en 5. Será importante registrar que todos ellos son múltiplos de 5.

La pregunta d. propone avanzar con el análisis de los códigos de colores usados en el cuadro. En este caso, el color rojo ya ha sido usado para otros números, por lo que resulta necesario aclarar que en este caso identifica al factor 17. El docente puede proponer a los alumnos que escriban a 51 como producto de números, que en este caso resulta 51 = 17 x 3, donde el 3 resulta del color verde.

Las relaciones entre los colores y los números construidas hasta el momento tienen que ser puestas en juego para responder a la pregunta e.. Se espera que los alumnos puedan realizar afirmaciones del estilo:

Como en el 81 aparece 4 veces el color verde, que simboliza al 3, entonces 81 = 3 x 3 x 3 x 3 = 3 . El 42 está formado por el amarillo (2), verde (3) y violeta (7), por lo que puede escribirse como 42 = 2 x 3 x 7. El número 52 tiene dos veces el amarillo (2) y una vez el rojo (13). Luego, 52 = 2 x 2 x 13 = 2 ×13

Por último, la pregunta f. tiene por finalidad que los alumnos puedan dejar un registro de las relaciones entre los colores, los números y su descomposición en factores primos. En un primer momento, puede proponerse que cada grupo elabore su respuesta. Luego, en un espacio de discusión colectiva será posible discutir acerca de las mismas con el objetivo de elaborar un escrito común a la clase.

Como conclusión del trabajo hecho, el docente podrá proponer la siguiente sistematización:

2 3 4

5 6

4

2

Los números naturales pueden expresarse como producto de números primos, por ejemplo:72 puede expresarse como

72 puede expresarse como 72=2×2×2×3×3=2 ×3 . 23

Actividad 5

Expresen los siguientes números como producto de sus factores primos. Se pueden ayudar con el cuadro de

números de la actividad 4. Luego, comprueben haciendo los cálculos.

24=

32=

27=

72=

91=

31=

Análisis y gestión

El propósito de esta Actividad es que los alumnos reinviertan las relaciones elaboradas a partir de la actividad

anterior y continúen conformando la caracterización de los números como producto de factores primos,

trabajando la relación entre los colores y los factores primos que componen los números

Se espera que, dado un número, puedan expresarlo como producto de otros, especialmente como producto de

números primos y utilizando también una escritura que incluya potencias.

Se incluye como último número con el cual trabajar el 31, que es un número primo. El objetivo es que lo reconozcan

como tal, al no encontrar números distintos de 1 y de 31 que multiplicados den 31. Es posible también proponer

buscar otros números primos para analizar cómo están coloreados. Se trata de ver que están representados con

un solo color, del mismo modo que el número 1, lo cual plantea una nueva ocasión para diferenciarlo de los

números primos.

Actividad 6

En la siguiente tabla Pitagórica se han coloreado los números de manera diferente a la tabla de la actividad

anterior.

1. ¿Qué representan el color rojo y el color verde del número 6?

2. Observen que todos los números de la columna del 6 tienen por lo menos una parte roja y una parte verde. ¿A

qué se debe esto? ¿Qué otros colores forman estos números?

3. ¿Sucede lo mismo en las demás columnas? ¿Por qué?

Análisis y gestión

El propósito de estas consignas es que los alumnos analicen cómo se relacionan los factores que componen un

número y los que componen un múltiplo del mismo.

Con respecto a las primeras dos preguntas, en la tabla se puede observar que el número 6 está compuesto por los

colores rojo y verde, que corresponden al número 2 y al número 3, respectivamente. Al analizar todos los números

que forman la columna del 6 se puede concluir que están formados también por una parte roja y una parte verde

debido a que son múltiplos de 6. Por lo tanto, también son múltiplos de 2 y de 3. A su vez, se agregan una o varias

porciones más de colores, dependiendo del número por el cual se está multiplicando al 6. Por , el número 30 tiene

una parte roja, una verde y una celeste, esta última correspondiente al número 5, ya que 30=6×5=2×3×5. O el

número 24, que tiene 3 partes rojas y una verde: 24 = 6 x 4 = 3 x 2 x 4 = 3 x 2 x 2 x 2.

Aquí el docente puede preguntar a los alumnos qué relación hay entre la escritura y las porciones y colores que

componen al 24 en la tabla.

Cabe mencionar que una escritura como la anterior, en donde el “resultado” aparece a la izquierda, no utiliza el

símbolo “=” solamente para indicar “cuánto da” un cálculo, sino que expresa la equivalencia de resultados en

ambos miembros. Es por esto que su utilización durante la gestión de la clase puede favorecer una interpretación

de tipo algebraico.

El propósito de la tercera pregunta es que los alumnos generalicen y/o pongan a prueba sus conjeturas o

conclusiones generales a las que arribaron a partir del trabajo con las primeras dos preguntas. Es esperable que

hayan formulado sus conclusiones y argumentaciones sobre la base de los números 2, 3, 6 y los demás números

de la tabla del 6. Con esta tercera pregunta se intenta que las formulaciones sean de tipo más general, sin apelar

tanto a los números en particular. Por ejemplo, el número 7 está compuesto de una sola parte de un solo color y, al

igual que en el caso del 6, todos los números de su columna conservan esta parte de este color, mientras se

agregan otras partes de colores dependiendo de por qué número se lo esté multiplicando.

Actividad 7

Les proponemos analizar los números que están compuestos de un solo color. Algunos de ellos, además de tener

un solo color, están compuestos por más de una parte. ¿A qué creen que se debe esto?

¿Qué tienen en común y en qué se diferencian los números de un solo color completo y los que tienen un solo color

pero más de una parte?

Análisis y gestión

El propósito de esta Actividad es que los alumnos trabajen sobre la definición de número primo a partir de la

comparación entre números en los cuales interviene un solo factor en su descomposición en factores primos. El

objetivo es que puedan establecer que para que un número sea primo no es suficiente que aparezca solamente un

factor, sino que ese factor “tiene que aparecer una sola vez”, además del 1. Pues si un factor “aparece más de una

vez”, el número posee más de dos divisores.

Se podría usar de ejemplo el número 25. En el cuadro está conformado por un solo color y, sin embargo, no es un

número primo. Esto se debe a que en su descomposición en números primos el 5 “aparece dos veces” (25=5 ) y, por

lo tanto, tiene de divisores a 1 y a 25, pero también a 5. Es decir que tiene tres divisores y no dos.

Actividad 8

Juego de adivinar el número

Organización de la clase: cada equipo tiene una tabla pitagórica con colores, (con la cual se viene trabajando). El

docente elige uno de los números de la tabla sin que los alumnos sepan de cuál se trata.

Consigna: Yo elegí un número. Cada grupo a su turno deberá realizar una pregunta que se responda por sí o por no,

con el objetivo de adivinar cuál es. Si algún equipo arriesga y no adivina, deja de jugar. Pero si arriesga y adivina,

para poder ganar debe expresar el número mediante el producto de sus factores primos. Deberán discutir en cada

grupo cuáles son las preguntas más convenientes a realizar.

Análisis y gestiónEsta actividad tiene por objetivo que los estudiantes caractericen los números a partir de su descomposición en

factores primos. Varias de las preguntas que los alumnos realicen servirán como punto de partida para un

posterior análisis en torno a este tipo de caracterización de los números.

A continuación proponemos un ejemplo de una ronda del juego. Supongamos que el docente elige el número 60.

Los alumnos podrían preguntar por la cantidad de colores que componen el número. En este caso serían tres. Pero

esta información no es suficiente, ya que hay muchos números compuestos por tres colores. Podrían seguir

preguntando si está compuesto por 2 colores o 3 colores y luego preguntar por los colores: ¿está el rojo? hasta

determinar que tiene 3 colores que son, en este caso, verde, celeste y rojo. Pero esta información tampoco es

suficiente. Por ejemplo, el número 30 también está compuesto únicamente por estos tres colores. Las preguntas

podrían desarrollarse entonces hacia la cantidad de veces que se usa cada color para formar el número. Para el

2

número 60 se usa dos veces el rojo, una vez el verde y una vez el celeste. Mediante esta caracterización sí queda

definido de manera única y se corresponde con la expresión a partir de su descomposición en factores primos:

60=2 ×3×5

A medida que transcurre el juego es esperable y deseable que los alumnos construyan las preguntas que les

permitan deducir más rápidamente cuál es el número elegido y, de esta manera, determinen cuáles son las

características que definen de manera única a cada número. Por otro lado, la intención del docente estará

ligada a la caracterización de los números a partir de los factores que componen los números ayudando a los

estudiantes a independizarse de los colores que los representan. Así, en lugar de cuántos colores conforman

un número se debería hacer referencia a cuántos factores primos lo componen.

Otros números interesantes que puede elegir el docente para que los alumnos adivinen son el 54 (dos

factores, tres de un factor y uno del otro), 35 (dos factores, un factor de uno y uno del otro), 32 (cinco

factores iguales), etc.

Es deseable que la presencia de los colores haga más sencillo el análisis de los factores primos de cada

número pero por sobre todo ayude en la construcción del sentido de la factorización de los números.

A partir de lo trabajado anteriormente podremos abordar el análisis de los divisores de los números.

El docente podrá plantear a sus alumnos que escriban los divisores del número 42.

Se trata de una actividad que pone en relación a la factorización de un número en sus factores primos con

sus divisores. Se espera que algunos alumnos logren listar algunos divisores de 42 a partir de sus

conocimientos, mientras que otros podrán expresarlo como producto de otros números naturales, como por

ejemplo:

2 x 21

2 x 3 x 7

6 x 7

1 x 3 x 14

1 x 42

1 x 2 x 21

1 x 6 x 7

2

El docente podrá en ese momento ayudar a relacionar los factores con los divisores: Todos los factores de las

descomposiciones en producto de 42 son divisores de 42.

Los divisores de 42 son entonces: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 y 42.

Actividad 9Las siguientes tablas muestran los números naturales hasta el 32 y sus divisores:

a) ¿Cuáles son los números que tienen dos divisores?

b) Busquen los números primos en las tablas anteriores.

c) ¿Cuáles son los números que tienen una cantidad impar de divisores?

d) Les pedimos que se organicen en grupos diferentes y continúen esta tabla (cada grupo lo hace para diferentes

números) para pegarla en el aula y tenerla disponible para cuando les resulte útil.

Más sobre divisores:

e) Registren los números con más cantidad de divisores.

f) Elijan dos números con muchos divisores, analicen los divisores comunes y registren cuál es el mayor de ellos.

g) ¿Qué característica tiene el anteúltimo número de cada columna mirando la columna hacia arriba?

h) ¿Cómo podemos saber si falta algún divisor en una columna?

i) En los números que tienen cuatro divisores, ¿hay mayor cantidad de números primos como divisores? ¿Habrá

alguna razón?

Análisis y gestión

La idea de estas actividades es revisar los divisores de los números propuestos y poder determinar cuáles tienen

mayor o menor cantidad y qué relación tiene ese hecho con los factores primos que lo componen.

También se propone discutir con los estudiantes de qué manera es posible recorrer de manera exhaustiva y

organizada todos los divisores, por ejemplo empezando con un factor primo 2, etc.

Como parte de la gestión, resulta importante que el docente aproveche para recordar algunas definiciones y

registrar estrategias y propiedades que luego serán reutilizadas. Por ejemplo, podrá, junto con los alumnos,

construir una definición para el Máximo Común Divisor sobre la base de la resolución del ítem f.

Actividad 10a) Encuentren todos los múltiplos de 7 mayores que 80 y menores que 150. Expliquen cómo los encontraron.

b) Andrea dice que para encontrar cualquier múltiplo de 15, multiplica 15 por cualquier número natural. Por

ejemplo, dice que 15 x 23 es múltiplo de 15. Expliquen por qué es verdad lo que afirma Andrea y utilicen el mismo

método para encontrar otros múltiplos de 15.

c) Encuentren todos los números múltiplos de 16 que sean mayores que 260 y menores que 1500. Expliquen cómo

los encontraron.

d) ¿Cuáles son todos los números que no son múltiplos de 3 mayores que 200 y menores que 450?

e) ¿Cuántos múltiplos de 3 se encuentran entre los 1.000 primeros números naturales?

Análisis y gestión

El objetivo de esta actividad es que los estudiantes puedan reutilizar la definición de múltiplo para encontrar

múltiplos sin necesidad de dividir y que identifiquen que los múltiplos no se limitan a los números que están en la

tabla de multiplicar.

En la parte a. es posible que los alumnos listen los números desde 81 a 149 y prueben cuáles son múltiplos de 7 a

través de divisiones. Este procedimiento es correcto y esperable, ya que muchas veces los estudiantes no disponen

de otra herramienta para determinar si un número es o no múltiplo de otro.

Puede notarse que a lo largo de esta secuencia hemos propuesto trabajar con ambas definiciones de múltiplo, sin

embargo la que tal vez esté más arraigada es la de que “al dividir el resto es 0”, que requiere de una cuenta. A

partir del ítem b. se propone analizar la generación de múltiplos a través de multiplicaciones.

Es interesante reflexionar acerca de cuándo cada definición resulta más adaptada para resolver un problema. Por

ejemplo, si se trata de determinar si el número 266 es múltiplo de 7, es posible que convenga dividirlo por 7. En

cambio, si la tarea consiste en hallar un múltiplo de 7 mayor que 200, la estrategia más conveniente consiste en

buscar un número de modo que al multiplicarlo por 7 dé un producto mayor que 200.

Esta forma de encontrar los múltiplos es más económica y permite buscar múltiplos tan grandes como se quiera

y/o en un rango mayor de números, sin la necesidad de comprobar. Sabiendo que un número es el resultado de

multiplicar a 7 por un número natural se puede asegurar que es múltiplo de 7 sin la necesidad de hacer cuentas.

Como consecuencia, se podrá debatir con los alumnos acerca de que una escritura multiplicativa permite analizar

si un número es múltiplo de otro sin la necesidad de realizar un cálculo. Por ejemplo, es posible afirmar que el

número que resulta de la cuenta 7 x 23 es múltiplo de 7 porque puede expresarse como el producto entre 7 y un

número natural. También, por la misma razón, se puede decir que es múltiplo de 23.

Por otro lado es necesario que en una segunda etapa puedan obtener por cuánto multiplicar al 7 para pasarse de

80. En este caso se puede hallar mentalmente a través de estimaciones. A partir de que 7 x 10 = 70, se puede

“llegar” a que 7 x 12 = 84.

El primer múltiplo de 7 mayor que 80 es entonces 84. Para saber hasta cuál número hay que multiplicar a 7 para

no pasarse de 150 también se pueden realizar estimaciones. Resulta más o menos sencillo porque 7 x 20 = 140, 7

x 21 = 147 y el siguiente múltiplo se pasa de 150.

Luego, los números que son solución son todos los múltiplos de 7 desde 7 x 12 hasta 7 x 21. La cantidad total es 21

- 12 + 1. El reconocimiento de este cálculo para hallar la cantidad de múltiplos puede requerir de un debate en

clase. Se podría acompañar con una propuesta de análisis para cantidades menores, en donde sea posible

comprobar a través del conteo de casos. Por ejemplo, contar la cantidad de números que hay entre el 5 y el 10,

incluyendo ambos números.

En las actividades siguientes se trabaja con números más grandes, por lo que es posible que para analizar entre

qué múltiplos moverse resulte insuficiente apelar a estrategias de estimación y sea conveniente dividir utilizando

la calculadora.Esto, además permitirá hacer una lectura de lo que devuelve el el visor de la calculadora al hacer esa

división. Por ejemplo, para los múltiplos de 16 entre 260 y 1500 puede hacerse lo siguiente, donde las divisiones

sirven para determinar por cuáles números debe multiplicarse al 16:

Al hacer 260 : 16 la calculadora indica 16,25. Será interesante realizar una reflexión respecto a la parte decimal, ya

que es posible que muchos alumnos consideren que 16 es el cociente y 25 el resto.

Este número indica que si se hace 16 x 16 el resultado será menor que 260 por lo que el primer múltiplo mayor que

260 se podrá obtener haciendo 16 x 17.

De la misma manera, al hacer 1500 : 16 la calculadora da 93,75 como resultado, por lo que el múltiplo de 16 más

cercano a 1500 y menor que él será 16 x 93.

Por lo tanto, todos los múltiplos de 16 que se piden están entre 16 x 17 y 16 x 93.

Para el caso de los números que no son múltiplos de 3, en el ítem d., es necesario tener en cuenta que si un

múltiplo de 3 tiene resto 0 al dividirse por 3, entonces los que no son múltiplos de 3 tienen resto 1 o 2 al dividirlos

por 3.

Por lo tanto, si a un múltiplo de 3 se le suma 1 o 2, el número resultante será 1 o 2 unidades mayor que un múltiplo

de 3. Es decir, su resto al dividirlo por 3 será 1 o 2.

Por ejemplo, el número 3 x 238 es múltiplo de 3 porque resulta de la multiplicación entre 3 y un número natural.

Luego, los números 3 x 238 + 1 ó 3 x 238 + 2 seguro no son múltiplos de 3, pues lo que se le agrega a 3 x 238 no es

múltiplo de 3.

A modo de cierre

La propuesta que hemos presentado se apoya en la concepción de enseñanza y aprendizaje de la Matemática que

se propone en los Diseños Curriculares de la escuela Primaria y Secundaria. Se trata de situaciones que apuestan a

que los alumnos construyan sus conocimientos en lugar de que se les revelen formas de resolver ajenas y con

pocas posibilidades de que se las apropien.

Esta selección de actividades, que están presentadas en forma secuenciada, permite abordar un tema que es parte

tanto de los contenidos de 6° año de la Escuela Primaria como de 1° año de la Escuela Secundaria. Este hecho

permitiría trabajar una parte de ella en un año y otra en el otro.

Claramente es una sugerencia y cada docente puede recorrer esta secuencia de la manera que crea más

conveniente con sus alumnos, saltear problemas, agregar más o incluir intermedios.

Es solo una propuesta que tiene por objetivo que tanto en uno como en otro año se trabaje de manera similar, con

el objetivo de que los alumnos no sientan un salto brusco. Por un lado, se busca que los docentes de 6° no crean

que deben enseñar contenidos de otro año para que los alumnos estén mejor “preparados”. Por otro lado, se busca

que los docentes de 1° año comiencen el trabajo con sus alumnos sobre la base de los conocimientos que poseen al

ingresar en la escuela secundaria.

Tanto en un año como en el otro la finalidad es que los alumnos construyan conocimientos que les permitan

trabajar en forma autónoma y haciéndose cargo de la validez de sus producciones.

Hacer matemática implica el desafío de resolver problemas, enfrentándose a ellos, basándose en los

conocimientos disponibles para intentar hallar su solución. Implica idas y vueltas, empezar de nuevo, buscar otros

conocimientos que permitan resolverlos, buscar ayuda, etc. Esperamos que nuestros estudiantes tengan la

oportunidad de hacerlo y poder acompañarlos en ese camino.

reescribir, resumir, citar, expandir un texto, leer para resolver problemas como escritor; así también participar de

diversas situaciones donde los alumnos escuchan leer y leen por sí mismos, dictan al docente, copian con sentido,

escriben por sí mismos, narran o exponen oralmente frente a otros, con diferentes propósitos comunicativos y

didácticos, con diversos destinatarios, transitando diversidad de géneros y formatos textuales, entre otros.

La alternancia metodológica tanto en la consideración del tiempo didáctico a través de las modalidades Ÿorganizativas (planificación por proyectos, secuencias, situaciones permanentes/habituales, situaciones

sistemáticas y ocasionales) como en la organización de los agrupamientos en modalidad colectiva, en pequeños

grupos (parejas, tríos) y/o en forma individual.

La creación de un ambiente cooperativo en donde se procuran una serie de interacciones entre los alumnos, Ÿcon alternancia de roles, con prácticas donde uno escribe y otro comenta oralmente lo producido por otro, uno

copia y el otro relee y corrige, uno escribe y el otro controla la ortografía, uno revisa y reescribe y el otro pasa en

limpio con marcas de edición acordadas.

Pensar la articulación como un proceso complejo y sistémico -aquello que une, que entrelaza, que no implica diluir

lo que es la especificidad de cada nivel y que el proceso formativo de los niños y jóvenes requiere tiempos

prolongados- otorga a la enseñanza un lugar central que permite reconocer las particularidades de cada nivel y

que garantiza continuidades y acuerdos que se sostienen entre la escuela primaria y la escuela secundaria.

Propósitos didácticos Se espera que la enseñanza:

Proponga variadas situaciones de lectura, escritura e intercambio oral y fomente la reflexión sobre los contextos Ÿde producción y de recepción de esas prácticas.

Promueva la formación de lectores literarios que puedan profundizar y diversificar gradualmente recorridos de Ÿlectura, explorar las potencialidades del lenguaje estético para la creación de mundos posibles y establecer

distintas relaciones entre la literatura y otros lenguajes artísticos. En esta propuesta se hace el recorte de la

formación de lectores de literatura fantástica y de ciencia ficción.

Favorezca la apropiación gradual de estrategias de lectura, escritura y oralidad en el ámbito de estudio. ŸPropicie instancias de reflexión sobre el lenguaje.ŸOrganice el tiempo didáctico de manera que se garantice la continuidad en la apropiación de las prácticas a Ÿtravés de una propuesta didáctica que consta de dos tramos, los que propician progresión y necesaria

articulación entre la Primaria y la Secundaria.

Bibliografía:

- Dirección General de Cultura y Educación de la Provincia de Buenos Aires. (2008). Diseño Curricular para la

Educación Primaria. Segundo Ciclo. Recuperado de:

- Dirección General de Cultura y Educación de la Provincia de Buenos Aires. (2008). Diseño Curricular para la

Educación Secundaria: 1º año ESB. Recuperado de:

- Dirección Provincial de Educación Inicial y Dirección Provincial de Educación Primaria. (2016). Continuidad de la

enseñanza entre el nivel inicial y el nivel primario. Un desafío compartido. Recuperado de:

- Novembre, A. y Tarasow, P. (2013). Algunos caminos posibles en la articulación entre la escuela primaria y

secundaria en matemática. Revista Novedades Educativas, (271).

- Grimaldi, V. y Itzcovich, H. (2013). Tensiones en el paso de la escuela primaria a la escuela media. Algunas

reflexiones en el área de matemática. En Broitman, C. (Comp.) Matemáticas en la escuela primaria II. Buenos Aires,

Argentina: Paidós.

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