DIRECCION GENERAL DEL BACHILLERATO · 1.1 LA DIFERENCIAL Definiciones de f x Interpretación...

SUBSECRETARIacuteA DE EDUCACIOacuteN MEDIA

SUPERIOR DIRECCIOacuteN GENERAL DEL BACHILLERATO CENTRO DE ESTUDIOS DE BACHILLERATO

42 LIC JESUacuteS REYES HEROLES

GUIacuteA PARA EL CURSO INTERSEMESTRAL Y PARA EL EXAMEN EXTRAORDINARIO DE

CAacuteLCULO INTEGRAL

JULIO DE 2012

PROFESOR LUCIO SAacuteNCHEZ CHAacuteVEZ

TEMARIO UNIDAD I DIFERENCIALES E INTEGRAL INDEFINIDA 11 LA DIFERENCIAL

Definiciones de f x

Interpretacioacuten graacutefica de dy

Reglas de la diferenciacioacuten

La diferenciacioacuten como aproximacioacuten del incremento

Errores pequentildeos 12 LA INTEGRAL IDEFINIDA

Antiderivadas

Constante de Integracioacuten

La integral definida y las reglas para la integracioacuten inmediata de diferenciales algebraicas exponenciales y trigonomeacutetricas

UNIDAD II INTEGRAL DEFINIDA Y LOS METODOS DE INTEGRACIOacuteN INTEGRAL DEFINIDA

La notacioacuten de sumatoria

Aacuterea limitada por la grafica de una funcioacuten continua

Concepto de integral definida mediante sumatorias de Riemann TECNICAS DE INTEGRACION

Cambio de variable

Integracioacuten por partes UNIDAD III TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CAacuteLCULO Y LAS APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CACLCULO

Aacuterea y aacuterea entre dos graficas APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

En situaciones de las ciencias naturales y sociales 1-Calcula el incremento de y

La foacutermula para encontrar los incrementos y es

SUBSECRETARIacuteA DE EDUCACIOacuteN MEDIA SUPERIOR DIRECCIOacuteN GENERAL DEL BACHILLERATO CENTRO DE ESTUDIOS DEL BACHILLERATO 42

LIC JESUS REYES HEROLES

)()( 11 xFxxFy

Podemos tener dos casos

a) Calcula y para cualquier valor de x

EJEMPLO Calcula y para cualquier valor de x en la siguiente funcioacuten

xxxF 52)( 2

Paso No 1 Aplicando la foacutermula para y tenemos

]52[)(5)(2 1

2

11

2

1 xxxxxxy

Nota Recuerda que para aplicar la foacutermula uacutenicamente tienes que sustituir es decir cambiar las ldquoxrdquo de tuacute funcioacuten por lo indicado en cada parte de la foacutermula Si

separamos la foacutermula tenemos )( 1 xxF en lugar de las ldquoxrdquo hay que colocar

xx 1 entonces tendremos )(5)(2 11 xxxx

)( 1xF En lugar de las ldquoxrdquo hay que colocar ldquo 1x rdquo entonces tendremos

1

2

1 52 xx

Paso No 2 Realiza todas las operaciones algebraicas yo aritmeacuteticas necesarias

1

2

11

2

1

2

1 5255)2(2 xxxxxxxxy

Nota En este paso )( 1 xx se elevo al cuadrado se multiplico 5 por )( 1 xx y

se multiplico el signo (-) que esta afuera del corchete por los signos que estaacuten dentro del corchete

1

2

11

2

1

2

1 5255242 xxxxxxxxy

Nota En este paso se multiplico el 2 por cada teacutermino que se encuentra dentro del pareacutentesis

xxxxy 524 2

1

Nota Se simplifica y tenemos el resultado

b) Calcular y para valores de 1x y 2x

Para este caso tenemos que sustituir 1x en todas las ldquoxrdquo que se encuentran en el

resultado de y Calculamos tambieacuten x con 12 xxx y sustituimos este valor

EJEMPLO iquestCuaacutel es el y cuando

21 x 122 x de la ecuacioacuten anterior

320

5002080

)10(5)10(2)10)(2(4

10212

2

524

2

1

2

1

y

y

y

sSustituimo

x

x

xxxxy

EJERCICIOS 1- Sea y =3x2 ndash5

a) Calcula el incremento ∆y para cualquier incremento ∆x b) Para la misma ecuacioacuten calcula ∆y cuando x cambia de 2 a 21

2- Sea y = x3

a) Calcula el incremento ∆y correspondiente a un incremento ∆x b) Para la misma ecuacioacuten calcula ∆y cuando

X1 = 1 y ∆x = 002 3- Sea y = 5x

a) Calcula el incremento ∆y correspondiente a un incremento ∆x

4- Sea y = -4x+3

a) Calcula el incremento ∆y cuando X1 = 2 y X2 = 22 5- Sea y = 2x2 ndash 3x

a) Calcula el incremento ∆y correspondiente a cualquier incremento ∆x b) Para la misma ecuacioacuten calcula el incremento ∆y cuando X1 = 1 y ∆x=01

Investiga que es una diferencial y cual es su notacioacuten Resuelve las siguientes diferenciales Una diferencial esta indicada como ldquodyrdquo (diferencial de ldquoyrdquo) y ldquodxrdquo (diferencial de ldquoxrdquo) Para calcularlas se usan las siguientes formulas a) dy = frsquo(x)dx donde frsquo(x) es la derivada de la funcioacuten b) dx = X2 ndash X1 Nota La derivada es un tema que se estudia en Caacutelculo diferencial (Matemaacuteticas V) si no recuerdas como calcular una derivada puedes apoyarte en un formulario para derivar que puedes encontrar en cualquier libro de Calculo Diferencial EJEMPLO a) Sea f(x) = 9x2 + 7 Encuentra la diferencial dy para cualquier valor dx Para resolver la diferencial tienes que calcular la derivada de la funcioacuten Frsquo(x)=18x De acuerdo a la formula dy = frsquo(x)dx la derivada la multiplicas por dx y el resultado es dy =18xdx b) Sea f(x) = 3x3 ndash x2 + 5 Encuentra la diferencial dy para x1 = 2 y x2 = 21 Encontramos dy como en el ejemplo anterior dy = frsquo(x)dx

dy = (9x2 ndash 2x)dx Calculamos el valor de dx ya que no esta presente como dato dx = X2 ndash X1

dx = 21-2 = 01 Sustituimos el valor de x1 y el valor de dx en dy dy = (9x2-2x)dx dy = (9(2)2-2(2)) (01) dy = (36-4) (01) dy = (32) (01) dy = 32 EJERCICIOS 1- Sea f(x)= 7x5 ndash 4x3 ndash 2

a) Encuentra la diferencial dy para cualquier valor de dx 2- Sea f(x) = (2x3 ndash 3)(4x+1)

a) Encuentra la diferencial dy cuando x1 = 2 y dx = 01 3- Sea f(x) = (5-x)3

a) Encuentra la diferencial dy para cualquier valor dx

4- Sea 3)( xxxf

a) Encuentra la diferencial dy para cualquier valor dx b) De la ecuacioacuten anterior calcula dy cuando x1 = 1 y x2 = 11

5- Sea f(x) = 2x3 ndash x2 +x

a) Encuentra la diferencial dy para cualquier valor dx b) De la ecuacioacuten anterior calcula dy cuando x1 = 2 y dx = 01

Calcula las integrales indefinidas Utiliza el formulario que se encuentra a continuacioacuten FORMULARIO

cn

axdxax

nn

1)1

1

cxxInxdx )tan(secsec)10

caxadx)2 cxxdx tansec)11 2

cxInx

dx)()3 cxotxxInxdx )(csccsc)12

cedxe xx)4 cxxdx cotcsc)13 2

cIna

adxa

xx)5 cxxdxx sectansec)14

cxsenxdx cos)6 cxxdxx csccotcsc)15

csenxxdxcos)7

cxxInxdx )(sectan)8

cxsenInxdx )(cot)9

Nota Recuerda que para resolver algunas integrales debes de conocer y manejar las leyes de los exponentes EJEMPLO a) Encuentra la integral

dxxxx )35( 27

Aplicamos la formula

cn

axdxax

nn

1

1

en cada teacutermino y tenemos

dxxxx )35( 27 = cxxx

1112

3

17

5 111217

Realizamos las operaciones y simplificamos


1112

3

17

5 111217

= cxxx

23

3

8

5 238

= cx

xx

28

5 23

8

b) Encuentra la Integral

dxx

xx 34 3

27

Aplicamos las leyes de los exponentes

dxx

xx 34 3

27=

dxx

xx 21

34

3

27


cn

axdxax

nn

1

1


dxx

xx 21

34

3

27 = c

xxxc

xxx

23)2(3

2

3

7

121)13(3

2

14

7 23231211314

Aplicamos las leyes de los exponentes y tenemos el resultado

dxx

xx 34 3

27= c

x

xx

3

2

6

27 23

23

EJERCICIOS RESUELVE LA SIGUIENTES INTEGRALES INDEFINIDAS

1- dxxxx )35( 7

2-

dx

xx

x4

5 23

2

5

3- dxxxx 78 52

4-

dx

xx

2

5

7

3

14

5-

dx

xx 6

29 3

6-

dx

xx 13

5

24

6

3

7-

dx

xxx

3

32

8-

dxx

xx 3

2

74

3

9-

dx

x

x3

7

6

4

5

3

10- dxxxx 24 97

11-

dx

xx 1

5

78

6

4

12-

dxx

x93

2 2

4

13- dxxxx 35 2016

14-

dx

xx 32 6

7

6

7

6

7

15-

dx

xx 5

5

29

34

16- dxxx 347

17-

dx

xx

9

219

43

18- dxxx 24 53

19-

dx

x

2

3 4

20-

dx

xx 8

3

8

Investiga cual es el procedimiento para integrar funciones con el meacutetodo de sustitucioacuten Con ayuda del meacutetodo de sustitucioacuten integra las siguientes funciones EJEMPLO

a) dxxx

2

)24(7 432

Paso No 1 Sustituir el termino que presenta la variable con el mayor exponente por la nueva variable llamada ldquourdquo Entonces para este ejemplo el termino con el exponente mas alto es (4x3+2) por lo tanto u = (4x3+2) Paso No 2

Sabiendo que dx = )( uf

du calculamos el valor de dx para esta funcioacuten

Si frsquo(u)=12x2 entonces dx = 212x

du

Paso No 3 Hacemos la sustitucioacuten de ldquourdquo y el valor de ldquodxrdquo en la funcioacuten

dxxx

2

)24(7 432

= 2

42

122

)(7

x

duux

u = (4x3+2)

dx = 212x

du

Como puedes observar en esta sustitucioacuten puedes eliminar las x2 y nos quedara

dxxx

2

)24(7 432

= 2

42

122

)(7

x

duux =

122

)(7 4 duu

u = (4x3+2)

dx = 212x

du

Multiplicamos los denominadores y se resuelve la integral con las formulas para encontrar la integral indefinida la uacutenica diferencia es que en lugar de tener la variable ldquoxrdquo tenemos la variable ldquourdquo

dxxx

2

)24(7 432

= 2

42

122

)(7

x

duux =

122

)(7 4 duu = du

u

24

)(7 4

= cu

)5(24

7 5

=

u = (4x3+2)

dx = 212x

du

Paso No 4

cu

cu

120

7

)5(24

7 55

El resultado esta en funcioacuten de la variable ldquourdquo hay que cambiar esta variable por la sustitucioacuten que se hizo en el paso 1 u = (4x3+2) Entonces EJEMPLO

b) dxxx

5

cos7 43

Paso No 1 Sustituir la variable de la funcioacuten trigonometrica por la nueva variable llamada ldquourdquo Entonces para este ejemplo el la variable de la funcioacuten trogonometrica es x4 por lo tanto u = x4

Paso No 2




du


dxxx

5

cos7 43

= 3

3

45

cos7

x

duux

u = (4x3+2)

dx = 34x

du

cx

cu

120

)24(7

120

7 535


dxxx

5

cos7 43

= 3

3

45

cos7

x

duux =

45

cos7 duu

u = (4x3+2)

dx = 34x

du

Multiplicamos los denominadores y se resuelve la integral con las formulas para encontrar la integral indefinida de la funcioacuten triginometrica correspondiente la uacutenica diferencia es que en lugar de tener la variable ldquoxrdquo tenemos la variable ldquourdquo

dxxx

5

cos7 43

= 3

3

45

cos7

x

duux =

45

cos7 duu = du

u 20

cos7= c

senu

20

7

u = (4x3+2)

dx = 34x

du

Paso No 4 El resultado esta en funcioacuten de la variable ldquourdquo hay que cambiar esta variable por la sustitucioacuten que se hizo en el paso 1 u = x4

Entonces

csenu

20

7= c

senx

20

7 4

EJERCICIOS

1- dxxx 52 )5(

2- xdxsen84

3- dxxx

4

)85(3 42

4- dxe x 242

5- dxx

x 32 )2(5

4

6- dxxx

3

6tan4 2

7- )53(2 x

dx

8- dxx3 34

9-

dxx )52(

4

10- dxxx

2

cos7 32

Integracioacuten por partes

Una teacutecnica muy importante de integracioacuten es la llamada integracioacuten por

partes Esta teacutecnica puede aplicarse a una amplia variedad de integrales y es

particularmente eficaz para integrandos donde aparecen productos de funciones

algebraicas y trascendentes Por ejemplo funciona muy bien para resolver

integrales como

senxdxedxexxdxx xx y ln 2

La integracioacuten por partes se basa en la formula de la derivada de un

producto

uvvu

dx

duv

dx

dvuuv

dx

d

donde u y v son funciones derivables de x Si uacute y vacute son continuas podemos

integrar ambos lados para llegar al resultado

vduudv

dxvudxuvuv acuteacute

Reescribiendo esta ecuacioacuten se obtiene el siguiente teorema

Esta foacutermula expresa la integral original en teacuterminos de otra integral Dependiendo

de la eleccioacuten de u y de dv puede ocurrir que la segunda integral sea maacutes faacutecil

que la original Como las elecciones de u y de dv son criticas para la buena

marcha del meacutetodo damos unas indicaciones sobre como preceder

Estrategia para integrar por partes

1 Intente tomar como dv la porcioacuten maacutes complicada del integrando que se

ajuste a una regla baacutesica de integracioacuten y como u el factor restante del

integrando

2 Intente tomar como u la porcioacuten del integrando cuya derivada es una

funcioacuten mas simple que u y como dv el factor restante del integrando

Ejemplo 1 Integracioacuten por partes

Hallar dxxe x

Solucioacuten Para aplicar integracioacuten por partes necesitamos escribir la integral en la

forma udv Hay varias maneras de hacerlo

TEOREMA 4- INTEGRACION POR PARTES

Si u y v son funciones de x con derivadas continuas

vduuvudv

1

dvu

x

dv

x

udvu

x

dv

x

u

dxxedxxexdxedxex

La estrategia invita a elegir la primera opcioacuten ya que la derivada de u=x es

maacutes simple que x y ademaacutes dxedv x es la parte maacutes complicada del integrando

que se adapta a una regla baacutesica de integracioacuten

dxduxu

edxedvvdxedv xxx

Integrando por partes obtenemos

Cexe

dxexedxxe

vduuvudv

xx

xxx


Hallar xdxx ln2

Solucioacuten En este caso 2x es maacutes faacutecil de integrar que ln x Ademaacutes la derivada

de ln x es maacutes sencilla que ln x Por tanto tomamos dxxdv 2

dxx

duxu

xdxxvdxxdv

1ln

3

322

Integrando por partes se obtiene

Cx

xx

dxxxx

dxx

xx

xxdxx

9ln

3

3

1ln

3

1

3ln

3ln

33

23

332

Ejemplo 3 Sucesivas integraciones por partes

Hallar senxdxx2

Solucion Los factores 2x y sen x son igualmente faacutecil de integrar pero la derivada

de 2x es maacutes simple que la propia funcioacuten mientras que la derivada de sen x no lo

es En consecuencia optamos por tomar u = 2x

xdxduxu

xsenxdxvsenxdxdv

2

cos

2

Ahora la integracioacuten por partes lleva a que

xdxxxxsenxdxx cos2cos22 Primera integracioacuten por partes

Con esta primera integracioacuten por partes hemos simplificado la integral

original pero la nueva todaviacutea no se ajusta a ninguna regla baacutesica de integracioacuten

Volvamos a aplicar integracioacuten por partes esta vez con u = 2x

dxduxu

senxxdxvxdv

22

coscos


Cxxsenx

senxdxxsenxxdxx

cos22

22cos2

Combinando los dos resultados queda

Cxxsenxxxsenxdxx cos22cos22


Hallar xdx3sec

Solucioacuten La porcioacuten maacutes complicada del integrando que resulta faacutecil de integrar

es sec2 x asiacute que tomamos xdxdv 2sec y xu sec

xtgxdxduxu

tgxxdxvxdxdv

secsec

secsec 22


Segunda Integracioacuten por partes

Ctgxxxtgxxdx

xdxxtgxxdx

xdxxdxtgx

dxxxxtgx

xdxxtgxtgxxdx

secln2

1sec

2

1sec

secsecsec2

secsecsec

1secsecsec

secsecsec

3

3

3

2

23

Con la praacutectica se va adquiriendo habilidad a la hora de elegir u y dv El

resumen que sigue recoge varias clases de integrales comunes junto con las

elecciones aconsejadas para u y dv

Integrales comunes resolubles mediante integracioacuten por partes

1 En integrales de los tipos

axdxsenaxdxdxedvx

axdxxsenaxdxxdxex

axn

nnann

cos oacute y uhacer

cos oacute


dxxdvarctgaxarcsenaxxu

arctgaxdxxoacutearcsenaxdxxxdxx nnn

ny oacute lnhacer

ln


dxedvbxsenbxu

bxdxesenbxdxe axax

axy cos oacute hacer

cos oacute

Agrupar integrales ideacutenticas

EJERCICIOS

Calcula el aacuterea de las funciones comprendida entre los limites asignados (Integral definida) Para resolver este tipo de integrales utilizas las formulas que usaste para resolver integrales indefinidas y una vez que tengas el resultado vas a evaluarlo en los nuacutemeros que se encuentran en los extremos del siacutembolo de integracioacuten que se conoce como limites Ejemplo Resuelve la integral definida

2

1

2

)1084

3( dxx

x

Paso No 1 Integrar con ayuda de las formulas de integracioacuten

2

1

2

)1084

3( dxx

x = cx

xx

1011

8

)12(4

3 1112

= cxxx

102

8

12

3 23

Simplificamos

cxxx

1044

23

Paso No 2 Evaluar en los limites En el resultado se sustituye el valor del limite superior (numero que se encuentra arriba del siacutembolo de integracioacuten) y ha este resultado se le resta la sustitucioacuten por el limite inferior (Numero que se encuentra abajo del siacutembolo de integracioacuten)

c)2(10)2(4

4

)2( 23

c)1(10)1(4

4

)1( 23

c)2(10)4(4

4

8 -

c)1(10)1(4

4

1

c 20162 - c 104250

c6 - c 2514

6+c+1425-c = 2025 El resultado de la integral definida es 2025 Ejercicios Resuelve la integral definida

1-

2

0

3

5 810

7 dxx

x

2- dxxx

2

2

23

5102

3

3-

0

2

225 dxx

4-

3

1

46 dxx

5-

1

1

24

2

1

3

53 dx

xx

6- dxxx

1

1

322

7-

1

3

32

11dx

xx

8-

2

0

3 635 dxxx

9-

2

2

3 1 dxx

10-

0

2

243 dxx

Calcula el aacuterea comprendida entre las dos funciones y los limites asignados EJEMPLO Calcula el aacuterea de comprendida entre las siguientes funciones y = x2+5 y = -x2+10 Comprendida entre los limites x1= -1 y x2= 1 Paso No 1 Graficar en el mismo plano coordenado las dos funciones para ubicar el aacuterea a calcular y conocer que funcioacuten esta arriba del aacuterea

0

2

4

6

8

10

12

14

16

-4 -2 0 2 4

x2+5

-x2+10

Paso No 2 Integrar la resta de la funcioacuten que esta arriba del aacuterea menos la funcioacuten que esta abajo del aacuterea Debes colocar los liacutemites de integracioacuten en los extremos del siacutembolo de integracioacuten

1

1

22 )5()10( dxxx = cxx

dxxdxxx

1

1

32

1

1

22 53

2)52(510

Paso No 3 Evaluar en los liacutemites En el resultado se sustituye el valor del limite superior (numero que se encuentra arriba del siacutembolo de integracioacuten) y ha este resultado se le resta la sustitucioacuten por el limite inferior (Numero que se encuentra abajo del siacutembolo de integracioacuten)

1

1

22 )5()10( dxxx = xcx

53

2 3

cc )1(5

3

)1(2)1(5

3

)1(2 33

cc 5

3

25

3

2 = (-66+5+c) ndash(066-5+c) = (434+c) ndash (-434+c) =

434+c+434-c = 868 EJERCICIOS 1-Encuentra el aacuterea comprendida entre las dos funciones y los limites sentildealados a) y= 3x+2 y = x2+5 Comprendida entre los limites x1 = -1 x2 = 2 2- Encuentra el aacuterea comprendida entre las dos funciones y los limites sentildealados b) y= -x2-3 y = x2+3

Comprendida entre los limites x1 = -1 x2 = 1 3-Encuentra el aacuterea comprendida entre las dos funciones y los limites sentildealados c) y= 4x+1 y = 2x-8 Comprendida entre los limites x1 = 0 x2 = 2 4-Encuentra el aacuterea comprendida entre las dos funciones y los limites sentildealados d) y= 2x2+5 y = -x2+2 Comprendida entre los limites x1 = -2 x2 = 0

TEMARIO UNIDAD I DIFERENCIALES E INTEGRAL INDEFINIDA 11 LA DIFERENCIAL

Definiciones de f x

Interpretacioacuten graacutefica de dy

Reglas de la diferenciacioacuten

La diferenciacioacuten como aproximacioacuten del incremento

Errores pequentildeos 12 LA INTEGRAL IDEFINIDA

Antiderivadas

Constante de Integracioacuten

La integral definida y las reglas para la integracioacuten inmediata de diferenciales algebraicas exponenciales y trigonomeacutetricas

UNIDAD II INTEGRAL DEFINIDA Y LOS METODOS DE INTEGRACIOacuteN INTEGRAL DEFINIDA

La notacioacuten de sumatoria

Aacuterea limitada por la grafica de una funcioacuten continua

Concepto de integral definida mediante sumatorias de Riemann TECNICAS DE INTEGRACION

Cambio de variable

Integracioacuten por partes UNIDAD III TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CAacuteLCULO Y LAS APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CACLCULO

Aacuterea y aacuterea entre dos graficas APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

En situaciones de las ciencias naturales y sociales 1-Calcula el incremento de y

La foacutermula para encontrar los incrementos y es

SUBSECRETARIacuteA DE EDUCACIOacuteN MEDIA SUPERIOR DIRECCIOacuteN GENERAL DEL BACHILLERATO CENTRO DE ESTUDIOS DEL BACHILLERATO 42

LIC JESUS REYES HEROLES

)()( 11 xFxxFy




xxxF 52)( 2


]52[)(5)(2 1

2

11

2

1 xxxxxxy





1

2

1 52 xx


1

2

11

2

1

2




1

2

11

2

1

2

1 5255242 xxxxxxxxy


xxxxy 524 2

1







320

5002080

)10(5)10(2)10)(2(4

10212

2

524

2

1

2

1

y

y

y

sSustituimo

x

x

xxxxy



2- Sea y = x3


X1 = 1 y ∆x = 002 3- Sea y = 5x


4- Sea y = -4x+3









4- Sea 3)( xxxf





cn

axdxax

nn

1)1

1



cxInx



cIna

adxa



csenxxdxcos)7

cxxInxdx )(sectan)8

cxsenInxdx )(cot)9


dxxxx )35( 27


cn

axdxax

nn

1

1



1112

3

17

5 111217



1112

3

17

5 111217

= cxxx

23

3

8

5 238

= cx

xx

28

5 23

8


dxx

xx 34 3

27


dxx

xx 34 3

27=

dxx

xx 21

34

3

27


cn

axdxax

nn

1

1


dxx

xx 21

34

3

27 = c

xxxc

xxx

23)2(3

2

3

7

121)13(3

2

14

7 23231211314


dxx

xx 34 3

27= c

x

xx

3

2

6

27 23

23


1- dxxxx )35( 7

2-

dx

xx

x4

5 23

2

5

3- dxxxx 78 52

4-

dx

xx

2

5

7

3

14

5-

dx

xx 6

29 3

6-

dx

xx 13

5

24

6

3

7-

dx

xxx

3

32

8-

dxx

xx 3

2

74

3

9-

dx

x

x3

7

6

4

5

3

10- dxxxx 24 97

11-

dx

xx 1

5

78

6

4

12-

dxx

x93

2 2

4

13- dxxxx 35 2016

14-

dx

xx 32 6

7

6

7

6

7

15-

dx

xx 5

5

29

34

16- dxxx 347

17-

dx

xx

9

219

43

18- dxxx 24 53

19-

dx

x

2

3 4

20-

dx

xx 8

3

8


a) dxxx

2

)24(7 432





du


dxxx

2

)24(7 432

= 2

42

122

)(7

x

duux

u = (4x3+2)

dx = 212x

du


dxxx

2

)24(7 432

= 2

42

122

)(7

x

duux =

122

)(7 4 duu

u = (4x3+2)

dx = 212x

du


dxxx

2

)24(7 432

= 2

42

122

)(7

x

duux =

122

)(7 4 duu = du

u

24

)(7 4

= cu

)5(24

7 5

=

u = (4x3+2)

dx = 212x

du

Paso No 4

cu

cu

120

7

)5(24

7 55


b) dxxx

5

cos7 43


Paso No 2




du


dxxx

5

cos7 43

= 3

3

45

cos7

x

duux

u = (4x3+2)

dx = 34x

du

cx

cu

120

)24(7

120

7 535


dxxx

5

cos7 43

= 3

3

45

cos7

x

duux =

45

cos7 duu

u = (4x3+2)

dx = 34x

du


dxxx

5

cos7 43

= 3

3

45

cos7

x

duux =

45

cos7 duu = du

u 20

cos7= c

senu

20

7

u = (4x3+2)

dx = 34x

du


Entonces

csenu

20

7= c

senx

20

7 4

EJERCICIOS

1- dxxx 52 )5(

2- xdxsen84

3- dxxx

4

)85(3 42

4- dxe x 242

5- dxx

x 32 )2(5

4

6- dxxx

3

6tan4 2

7- )53(2 x

dx

8- dxx3 34

9-

dxx )52(

4

10- dxxx

2

cos7 32






integrales como



producto

uvvu

dx

duv

dx

dvuuv

dx

d



vduudv










integrando




Hallar dxxe x





vduuvudv

1

dvu

x

dv

x

udvu

x

dv

x

u

dxxedxxexdxedxex




dxduxu

edxedvvdxedv xxx


Cexe

dxexedxxe

vduuvudv

xx

xxx


Hallar xdxx ln2



dxx

duxu

xdxxvdxxdv

1ln

3

322


Cx

xx

dxxxx

dxx

xx

xxdxx

9ln

3

3

1ln

3

1

3ln

3ln

33

23

332


Hallar senxdxx2




xdxduxu

xsenxdxvsenxdxdv

2

cos

2






dxduxu

senxxdxvxdv

22

coscos


Cxxsenx

senxdxxsenxxdxx

cos22

22cos2




Hallar xdx3sec



xtgxdxduxu

tgxxdxvxdxdv

secsec

secsec 22



Ctgxxxtgxxdx

xdxxtgxxdx

xdxxdxtgx

dxxxxtgx

xdxxtgxtgxxdx

secln2

1sec

2

1sec

secsecsec2

secsecsec

1secsecsec

secsecsec

3

3

3

2

23






axdxsenaxdxdxedvx

axdxxsenaxdxxdxex

axn

nnann

cos oacute y uhacer

cos oacute




ny oacute lnhacer

ln


dxedvbxsenbxu

bxdxesenbxdxe axax


cos oacute


EJERCICIOS


2

1

2

)1084

3( dxx

x


2

1

2

)1084

3( dxx

x = cx

xx

1011

8

)12(4

3 1112

= cxxx

102

8

12

3 23

Simplificamos

cxxx

1044

23


c)2(10)2(4

4

)2( 23

c)1(10)1(4

4

)1( 23

c)2(10)4(4

4

8 -

c)1(10)1(4

4

1

c 20162 - c 104250

c6 - c 2514


1-

2

0

3

5 810

7 dxx

x

2- dxxx

2

2

23

5102

3

3-

0

2

225 dxx

4-

3

1

46 dxx

5-

1

1

24

2

1

3

53 dx

xx

6- dxxx

1

1

322

7-

1

3

32

11dx

xx

8-

2

0

3 635 dxxx

9-

2

2

3 1 dxx

10-

0

2

243 dxx


0

2

4

6

8

10

12

14

16

-4 -2 0 2 4

x2+5

-x2+10


1

1

22 )5()10( dxxx = cxx

dxxdxxx

1

1

32

1

1

22 53

2)52(510


1

1

22 )5()10( dxxx = xcx

53

2 3

cc )1(5

3

)1(2)1(5

3

)1(2 33

cc 5

3

25

3

2 = (-66+5+c) ndash(066-5+c) = (434+c) ndash (-434+c) =



)()( 11 xFxxFy




xxxF 52)( 2


]52[)(5)(2 1

2

11

2

1 xxxxxxy





1

2

1 52 xx


1

2

11

2

1

2




1

2

11

2

1

2

1 5255242 xxxxxxxxy


xxxxy 524 2

1







320

5002080

)10(5)10(2)10)(2(4

10212

2

524

2

1

2

1

y

y

y

sSustituimo

x

x

xxxxy



2- Sea y = x3


X1 = 1 y ∆x = 002 3- Sea y = 5x


4- Sea y = -4x+3









4- Sea 3)( xxxf





cn

axdxax

nn

1)1

1



cxInx



cIna

adxa



csenxxdxcos)7

cxxInxdx )(sectan)8

cxsenInxdx )(cot)9


dxxxx )35( 27


cn

axdxax

nn

1

1



1112

3

17

5 111217



1112

3

17

5 111217

= cxxx

23

3

8

5 238

= cx

xx

28

5 23

8


dxx

xx 34 3

27


dxx

xx 34 3

27=

dxx

xx 21

34

3

27


cn

axdxax

nn

1

1


dxx

xx 21

34

3

27 = c

xxxc

xxx

23)2(3

2

3

7

121)13(3

2

14

7 23231211314


dxx

xx 34 3

27= c

x

xx

3

2

6

27 23

23


1- dxxxx )35( 7

2-

dx

xx

x4

5 23

2

5

3- dxxxx 78 52

4-

dx

xx

2

5

7

3

14

5-

dx

xx 6

29 3

6-

dx

xx 13

5

24

6

3

7-

dx

xxx

3

32

8-

dxx

xx 3

2

74

3

9-

dx

x

x3

7

6

4

5

3

10- dxxxx 24 97

11-

dx

xx 1

5

78

6

4

12-

dxx

x93

2 2

4

13- dxxxx 35 2016

14-

dx

xx 32 6

7

6

7

6

7

15-

dx

xx 5

5

29

34

16- dxxx 347

17-

dx

xx

9

219

43

18- dxxx 24 53

19-

dx

x

2

3 4

20-

dx

xx 8

3

8


a) dxxx

2

)24(7 432





du


dxxx

2

)24(7 432

= 2

42

122

)(7

x

duux

u = (4x3+2)

dx = 212x

du


dxxx

2

)24(7 432

= 2

42

122

)(7

x

duux =

122

)(7 4 duu

u = (4x3+2)

dx = 212x

du


dxxx

2

)24(7 432

= 2

42

122

)(7

x

duux =

122

)(7 4 duu = du

u

24

)(7 4

= cu

)5(24

7 5

=

u = (4x3+2)

dx = 212x

du

Paso No 4

cu

cu

120

7

)5(24

7 55


b) dxxx

5

cos7 43


Paso No 2




du


dxxx

5

cos7 43

= 3

3

45

cos7

x

duux

u = (4x3+2)

dx = 34x

du

cx

cu

120

)24(7

120

7 535


dxxx

5

cos7 43

= 3

3

45

cos7

x

duux =

45

cos7 duu

u = (4x3+2)

dx = 34x

du


dxxx

5

cos7 43

= 3

3

45

cos7

x

duux =

45

cos7 duu = du

u 20

cos7= c

senu

20

7

u = (4x3+2)

dx = 34x

du


Entonces

csenu

20

7= c

senx

20

7 4

EJERCICIOS

1- dxxx 52 )5(

2- xdxsen84

3- dxxx

4

)85(3 42

4- dxe x 242

5- dxx

x 32 )2(5

4

6- dxxx

3

6tan4 2

7- )53(2 x

dx

8- dxx3 34

9-

dxx )52(

4

10- dxxx

2

cos7 32






integrales como



producto

uvvu

dx

duv

dx

dvuuv

dx

d



vduudv










integrando




Hallar dxxe x





vduuvudv

1

dvu

x

dv

x

udvu

x

dv

x

u

dxxedxxexdxedxex




dxduxu

edxedvvdxedv xxx


Cexe

dxexedxxe

vduuvudv

xx

xxx


Hallar xdxx ln2



dxx

duxu

xdxxvdxxdv

1ln

3

322


Cx

xx

dxxxx

dxx

xx

xxdxx

9ln

3

3

1ln

3

1

3ln

3ln

33

23

332


Hallar senxdxx2




xdxduxu

xsenxdxvsenxdxdv

2

cos

2






dxduxu

senxxdxvxdv

22

coscos


Cxxsenx

senxdxxsenxxdxx

cos22

22cos2




Hallar xdx3sec



xtgxdxduxu

tgxxdxvxdxdv

secsec

secsec 22



Ctgxxxtgxxdx

xdxxtgxxdx

xdxxdxtgx

dxxxxtgx

xdxxtgxtgxxdx

secln2

1sec

2

1sec

secsecsec2

secsecsec

1secsecsec

secsecsec

3

3

3

2

23






axdxsenaxdxdxedvx

axdxxsenaxdxxdxex

axn

nnann

cos oacute y uhacer

cos oacute




ny oacute lnhacer

ln


dxedvbxsenbxu

bxdxesenbxdxe axax


cos oacute


EJERCICIOS


2

1

2

)1084

3( dxx

x


2

1

2

)1084

3( dxx

x = cx

xx

1011

8

)12(4

3 1112

= cxxx

102

8

12

3 23

Simplificamos

cxxx

1044

23


c)2(10)2(4

4

)2( 23

c)1(10)1(4

4

)1( 23

c)2(10)4(4

4

8 -

c)1(10)1(4

4

1

c 20162 - c 104250

c6 - c 2514


1-

2

0

3

5 810

7 dxx

x

2- dxxx

2

2

23

5102

3

3-

0

2

225 dxx

4-

3

1

46 dxx

5-

1

1

24

2

1

3

53 dx

xx

6- dxxx

1

1

322

7-

1

3

32

11dx

xx

8-

2

0

3 635 dxxx

9-

2

2

3 1 dxx

10-

0

2

243 dxx


0

2

4

6

8

10

12

14

16

-4 -2 0 2 4

x2+5

-x2+10


1

1

22 )5()10( dxxx = cxx

dxxdxxx

1

1

32

1

1

22 53

2)52(510


1

1

22 )5()10( dxxx = xcx

53

2 3

cc )1(5

3

)1(2)1(5

3

)1(2 33

cc 5

3

25

3

2 = (-66+5+c) ndash(066-5+c) = (434+c) ndash (-434+c) =








320

5002080

)10(5)10(2)10)(2(4

10212

2

524

2

1

2

1

y

y

y

sSustituimo

x

x

xxxxy



2- Sea y = x3


X1 = 1 y ∆x = 002 3- Sea y = 5x


4- Sea y = -4x+3









4- Sea 3)( xxxf





cn

axdxax

nn

1)1

1



cxInx



cIna

adxa



csenxxdxcos)7

cxxInxdx )(sectan)8

cxsenInxdx )(cot)9


dxxxx )35( 27


cn

axdxax

nn

1

1



1112

3

17

5 111217



1112

3

17

5 111217

= cxxx

23

3

8

5 238

= cx

xx

28

5 23

8


dxx

xx 34 3

27


dxx

xx 34 3

27=

dxx

xx 21

34

3

27


cn

axdxax

nn

1

1


dxx

xx 21

34

3

27 = c

xxxc

xxx

23)2(3

2

3

7

121)13(3

2

14

7 23231211314


dxx

xx 34 3

27= c

x

xx

3

2

6

27 23

23


1- dxxxx )35( 7

2-

dx

xx

x4

5 23

2

5

3- dxxxx 78 52

4-

dx

xx

2

5

7

3

14

5-

dx

xx 6

29 3

6-

dx

xx 13

5

24

6

3

7-

dx

xxx

3

32

8-

dxx

xx 3

2

74

3

9-

dx

x

x3

7

6

4

5

3

10- dxxxx 24 97

11-

dx

xx 1

5

78

6

4

12-

dxx

x93

2 2

4

13- dxxxx 35 2016

14-

dx

xx 32 6

7

6

7

6

7

15-

dx

xx 5

5

29

34

16- dxxx 347

17-

dx

xx

9

219

43

18- dxxx 24 53

19-

dx

x

2

3 4

20-

dx

xx 8

3

8


a) dxxx

2

)24(7 432





du


dxxx

2

)24(7 432

= 2

42

122

)(7

x

duux

u = (4x3+2)

dx = 212x

du


dxxx

2

)24(7 432

= 2

42

122

)(7

x

duux =

122

)(7 4 duu

u = (4x3+2)

dx = 212x

du


dxxx

2

)24(7 432

= 2

42

122

)(7

x

duux =

122

)(7 4 duu = du

u

24

)(7 4

= cu

)5(24

7 5

=

u = (4x3+2)

dx = 212x

du

Paso No 4

cu

cu

120

7

)5(24

7 55


b) dxxx

5

cos7 43


Paso No 2




du


dxxx

5

cos7 43

= 3

3

45

cos7

x

duux

u = (4x3+2)

dx = 34x

du

cx

cu

120

)24(7

120

7 535


dxxx

5

cos7 43

= 3

3

45

cos7

x

duux =

45

cos7 duu

u = (4x3+2)

dx = 34x

du


dxxx

5

cos7 43

= 3

3

45

cos7

x

duux =

45

cos7 duu = du

u 20

cos7= c

senu

20

7

u = (4x3+2)

dx = 34x

du


Entonces

csenu

20

7= c

senx

20

7 4

EJERCICIOS

1- dxxx 52 )5(

2- xdxsen84

3- dxxx

4

)85(3 42

4- dxe x 242

5- dxx

x 32 )2(5

4

6- dxxx

3

6tan4 2

7- )53(2 x

dx

8- dxx3 34

9-

dxx )52(

4

10- dxxx

2

cos7 32






integrales como



producto

uvvu

dx

duv

dx

dvuuv

dx

d



vduudv










integrando




Hallar dxxe x





vduuvudv

1

dvu

x

dv

x

udvu

x

dv

x

u

dxxedxxexdxedxex




dxduxu

edxedvvdxedv xxx


Cexe

dxexedxxe

vduuvudv

xx

xxx


Hallar xdxx ln2



dxx

duxu

xdxxvdxxdv

1ln

3

322


Cx

xx

dxxxx

dxx

xx

xxdxx

9ln

3

3

1ln

3

1

3ln

3ln

33

23

332


Hallar senxdxx2




xdxduxu

xsenxdxvsenxdxdv

2

cos

2






dxduxu

senxxdxvxdv

22

coscos


Cxxsenx

senxdxxsenxxdxx

cos22

22cos2




Hallar xdx3sec



xtgxdxduxu

tgxxdxvxdxdv

secsec

secsec 22



Ctgxxxtgxxdx

xdxxtgxxdx

xdxxdxtgx

dxxxxtgx

xdxxtgxtgxxdx

secln2

1sec

2

1sec

secsecsec2

secsecsec

1secsecsec

secsecsec

3

3

3

2

23






axdxsenaxdxdxedvx

axdxxsenaxdxxdxex

axn

nnann

cos oacute y uhacer

cos oacute




ny oacute lnhacer

ln


dxedvbxsenbxu

bxdxesenbxdxe axax


cos oacute


EJERCICIOS


2

1

2

)1084

3( dxx

x


2

1

2

)1084

3( dxx

x = cx

xx

1011

8

)12(4

3 1112

= cxxx

102

8

12

3 23

Simplificamos

cxxx

1044

23


c)2(10)2(4

4

)2( 23

c)1(10)1(4

4

)1( 23

c)2(10)4(4

4

8 -

c)1(10)1(4

4

1

c 20162 - c 104250

c6 - c 2514


1-

2

0

3

5 810

7 dxx

x

2- dxxx

2

2

23

5102

3

3-

0

2

225 dxx

4-

3

1

46 dxx

5-

1

1

24

2

1

3

53 dx

xx

6- dxxx

1

1

322

7-

1

3

32

11dx

xx

8-

2

0

3 635 dxxx

9-

2

2

3 1 dxx

10-

0

2

243 dxx


0

2

4

6

8

10

12

14

16

-4 -2 0 2 4

x2+5

-x2+10


1

1

22 )5()10( dxxx = cxx

dxxdxxx

1

1

32

1

1

22 53

2)52(510


1

1

22 )5()10( dxxx = xcx

53

2 3

cc )1(5

3

)1(2)1(5

3

)1(2 33

cc 5

3

25

3

2 = (-66+5+c) ndash(066-5+c) = (434+c) ndash (-434+c) =










4- Sea 3)( xxxf





cn

axdxax

nn

1)1

1



cxInx



cIna

adxa



csenxxdxcos)7

cxxInxdx )(sectan)8

cxsenInxdx )(cot)9


dxxxx )35( 27


cn

axdxax

nn

1

1



1112

3

17

5 111217



1112

3

17

5 111217

= cxxx

23

3

8

5 238

= cx

xx

28

5 23

8


dxx

xx 34 3

27


dxx

xx 34 3

27=

dxx

xx 21

34

3

27


cn

axdxax

nn

1

1


dxx

xx 21

34

3

27 = c

xxxc

xxx

23)2(3

2

3

7

121)13(3

2

14

7 23231211314


dxx

xx 34 3

27= c

x

xx

3

2

6

27 23

23


1- dxxxx )35( 7

2-

dx

xx

x4

5 23

2

5

3- dxxxx 78 52

4-

dx

xx

2

5

7

3

14

5-

dx

xx 6

29 3

6-

dx

xx 13

5

24

6

3

7-

dx

xxx

3

32

8-

dxx

xx 3

2

74

3

9-

dx

x

x3

7

6

4

5

3

10- dxxxx 24 97

11-

dx

xx 1

5

78

6

4

12-

dxx

x93

2 2

4

13- dxxxx 35 2016

14-

dx

xx 32 6

7

6

7

6

7

15-

dx

xx 5

5

29

34

16- dxxx 347

17-

dx

xx

9

219

43

18- dxxx 24 53

19-

dx

x

2

3 4

20-

dx

xx 8

3

8


a) dxxx

2

)24(7 432





du


dxxx

2

)24(7 432

= 2

42

122

)(7

x

duux

u = (4x3+2)

dx = 212x

du


dxxx

2

)24(7 432

= 2

42

122

)(7

x

duux =

122

)(7 4 duu

u = (4x3+2)

dx = 212x

du


dxxx

2

)24(7 432

= 2

42

122

)(7

x

duux =

122

)(7 4 duu = du

u

24

)(7 4

= cu

)5(24

7 5

=

u = (4x3+2)

dx = 212x

du

Paso No 4

cu

cu

120

7

)5(24

7 55


b) dxxx

5

cos7 43


Paso No 2




du


dxxx

5

cos7 43

= 3

3

45

cos7

x

duux

u = (4x3+2)

dx = 34x

du

cx

cu

120

)24(7

120

7 535


dxxx

5

cos7 43

= 3

3

45

cos7

x

duux =

45

cos7 duu

u = (4x3+2)

dx = 34x

du


dxxx

5

cos7 43

= 3

3

45

cos7

x

duux =

45

cos7 duu = du

u 20

cos7= c

senu

20

7

u = (4x3+2)

dx = 34x

du


Entonces

csenu

20

7= c

senx

20

7 4

EJERCICIOS

1- dxxx 52 )5(

2- xdxsen84

3- dxxx

4

)85(3 42

4- dxe x 242

5- dxx

x 32 )2(5

4

6- dxxx

3

6tan4 2

7- )53(2 x

dx

8- dxx3 34

9-

dxx )52(

4

10- dxxx

2

cos7 32






integrales como



producto

uvvu

dx

duv

dx

dvuuv

dx

d



vduudv










integrando




Hallar dxxe x





vduuvudv

1

dvu

x

dv

x

udvu

x

dv

x

u

dxxedxxexdxedxex




dxduxu

edxedvvdxedv xxx


Cexe

dxexedxxe

vduuvudv

xx

xxx


Hallar xdxx ln2



dxx

duxu

xdxxvdxxdv

1ln

3

322


Cx

xx

dxxxx

dxx

xx

xxdxx

9ln

3

3

1ln

3

1

3ln

3ln

33

23

332


Hallar senxdxx2




xdxduxu

xsenxdxvsenxdxdv

2

cos

2






dxduxu

senxxdxvxdv

22

coscos


Cxxsenx

senxdxxsenxxdxx

cos22

22cos2




Hallar xdx3sec



xtgxdxduxu

tgxxdxvxdxdv

secsec

secsec 22



Ctgxxxtgxxdx

xdxxtgxxdx

xdxxdxtgx

dxxxxtgx

xdxxtgxtgxxdx

secln2

1sec

2

1sec

secsecsec2

secsecsec

1secsecsec

secsecsec

3

3

3

2

23






axdxsenaxdxdxedvx

axdxxsenaxdxxdxex

axn

nnann

cos oacute y uhacer

cos oacute




ny oacute lnhacer

ln


dxedvbxsenbxu

bxdxesenbxdxe axax


cos oacute


EJERCICIOS


2

1

2

)1084

3( dxx

x


2

1

2

)1084

3( dxx

x = cx

xx

1011

8

)12(4

3 1112

= cxxx

102

8

12

3 23

Simplificamos

cxxx

1044

23


c)2(10)2(4

4

)2( 23

c)1(10)1(4

4

)1( 23

c)2(10)4(4

4

8 -

c)1(10)1(4

4

1

c 20162 - c 104250

c6 - c 2514


1-

2

0

3

5 810

7 dxx

x

2- dxxx

2

2

23

5102

3

3-

0

2

225 dxx

4-

3

1

46 dxx

5-

1

1

24

2

1

3

53 dx

xx

6- dxxx

1

1

322

7-

1

3

32

11dx

xx

8-

2

0

3 635 dxxx

9-

2

2

3 1 dxx

10-

0

2

243 dxx


0

2

4

6

8

10

12

14

16

-4 -2 0 2 4

x2+5

-x2+10


1

1

22 )5()10( dxxx = cxx

dxxdxxx

1

1

32

1

1

22 53

2)52(510


1

1

22 )5()10( dxxx = xcx

53

2 3

cc )1(5

3

)1(2)1(5

3

)1(2 33

cc 5

3

25

3

2 = (-66+5+c) ndash(066-5+c) = (434+c) ndash (-434+c) =




cn

axdxax

nn

1)1

1



cxInx



cIna

adxa



csenxxdxcos)7

cxxInxdx )(sectan)8

cxsenInxdx )(cot)9


dxxxx )35( 27


cn

axdxax

nn

1

1



1112

3

17

5 111217



1112

3

17

5 111217

= cxxx

23

3

8

5 238

= cx

xx

28

5 23

8


dxx

xx 34 3

27


dxx

xx 34 3

27=

dxx

xx 21

34

3

27


cn

axdxax

nn

1

1


dxx

xx 21

34

3

27 = c

xxxc

xxx

23)2(3

2

3

7

121)13(3

2

14

7 23231211314


dxx

xx 34 3

27= c

x

xx

3

2

6

27 23

23


1- dxxxx )35( 7

2-

dx

xx

x4

5 23

2

5

3- dxxxx 78 52

4-

dx

xx

2

5

7

3

14

5-

dx

xx 6

29 3

6-

dx

xx 13

5

24

6

3

7-

dx

xxx

3

32

8-

dxx

xx 3

2

74

3

9-

dx

x

x3

7

6

4

5

3

10- dxxxx 24 97

11-

dx

xx 1

5

78

6

4

12-

dxx

x93

2 2

4

13- dxxxx 35 2016

14-

dx

xx 32 6

7

6

7

6

7

15-

dx

xx 5

5

29

34

16- dxxx 347

17-

dx

xx

9

219

43

18- dxxx 24 53

19-

dx

x

2

3 4

20-

dx

xx 8

3

8


a) dxxx

2

)24(7 432





du


dxxx

2

)24(7 432

= 2

42

122

)(7

x

duux

u = (4x3+2)

dx = 212x

du


dxxx

2

)24(7 432

= 2

42

122

)(7

x

duux =

122

)(7 4 duu

u = (4x3+2)

dx = 212x

du


dxxx

2

)24(7 432

= 2

42

122

)(7

x

duux =

122

)(7 4 duu = du

u

24

)(7 4

= cu

)5(24

7 5

=

u = (4x3+2)

dx = 212x

du

Paso No 4

cu

cu

120

7

)5(24

7 55


b) dxxx

5

cos7 43


Paso No 2




du


dxxx

5

cos7 43

= 3

3

45

cos7

x

duux

u = (4x3+2)

dx = 34x

du

cx

cu

120

)24(7

120

7 535


dxxx

5

cos7 43

= 3

3

45

cos7

x

duux =

45

cos7 duu

u = (4x3+2)

dx = 34x

du


dxxx

5

cos7 43

= 3

3

45

cos7

x

duux =

45

cos7 duu = du

u 20

cos7= c

senu

20

7

u = (4x3+2)

dx = 34x

du


Entonces

csenu

20

7= c

senx

20

7 4

EJERCICIOS

1- dxxx 52 )5(

2- xdxsen84

3- dxxx

4

)85(3 42

4- dxe x 242

5- dxx

x 32 )2(5

4

6- dxxx

3

6tan4 2

7- )53(2 x

dx

8- dxx3 34

9-

dxx )52(

4

10- dxxx

2

cos7 32






integrales como



producto

uvvu

dx

duv

dx

dvuuv

dx

d



vduudv










integrando




Hallar dxxe x





vduuvudv

1

dvu

x

dv

x

udvu

x

dv

x

u

dxxedxxexdxedxex




dxduxu

edxedvvdxedv xxx


Cexe

dxexedxxe

vduuvudv

xx

xxx


Hallar xdxx ln2



dxx

duxu

xdxxvdxxdv

1ln

3

322


Cx

xx

dxxxx

dxx

xx

xxdxx

9ln

3

3

1ln

3

1

3ln

3ln

33

23

332


Hallar senxdxx2




xdxduxu

xsenxdxvsenxdxdv

2

cos

2






dxduxu

senxxdxvxdv

22

coscos


Cxxsenx

senxdxxsenxxdxx

cos22

22cos2




Hallar xdx3sec



xtgxdxduxu

tgxxdxvxdxdv

secsec

secsec 22



Ctgxxxtgxxdx

xdxxtgxxdx

xdxxdxtgx

dxxxxtgx

xdxxtgxtgxxdx

secln2

1sec

2

1sec

secsecsec2

secsecsec

1secsecsec

secsecsec

3

3

3

2

23






axdxsenaxdxdxedvx

axdxxsenaxdxxdxex

axn

nnann

cos oacute y uhacer

cos oacute




ny oacute lnhacer

ln


dxedvbxsenbxu

bxdxesenbxdxe axax


cos oacute


EJERCICIOS


2

1

2

)1084

3( dxx

x


2

1

2

)1084

3( dxx

x = cx

xx

1011

8

)12(4

3 1112

= cxxx

102

8

12

3 23

Simplificamos

cxxx

1044

23


c)2(10)2(4

4

)2( 23

c)1(10)1(4

4

)1( 23

c)2(10)4(4

4

8 -

c)1(10)1(4

4

1

c 20162 - c 104250

c6 - c 2514


1-

2

0

3

5 810

7 dxx

x

2- dxxx

2

2

23

5102

3

3-

0

2

225 dxx

4-

3

1

46 dxx

5-

1

1

24

2

1

3

53 dx

xx

6- dxxx

1

1

322

7-

1

3

32

11dx

xx

8-

2

0

3 635 dxxx

9-

2

2

3 1 dxx

10-

0

2

243 dxx


0

2

4

6

8

10

12

14

16

-4 -2 0 2 4

x2+5

-x2+10


1

1

22 )5()10( dxxx = cxx

dxxdxxx

1

1

32

1

1

22 53

2)52(510


1

1

22 )5()10( dxxx = xcx

53

2 3

cc )1(5

3

)1(2)1(5

3

)1(2 33

cc 5

3

25

3

2 = (-66+5+c) ndash(066-5+c) = (434+c) ndash (-434+c) =




1112

3

17

5 111217



1112

3

17

5 111217

= cxxx

23

3

8

5 238

= cx

xx

28

5 23

8


dxx

xx 34 3

27


dxx

xx 34 3

27=

dxx

xx 21

34

3

27


cn

axdxax

nn

1

1


dxx

xx 21

34

3

27 = c

xxxc

xxx

23)2(3

2

3

7

121)13(3

2

14

7 23231211314


dxx

xx 34 3

27= c

x

xx

3

2

6

27 23

23


1- dxxxx )35( 7

2-

dx

xx

x4

5 23

2

5

3- dxxxx 78 52

4-

dx

xx

2

5

7

3

14

5-

dx

xx 6

29 3

6-

dx

xx 13

5

24

6

3

7-

dx

xxx

3

32

8-

dxx

xx 3

2

74

3

9-

dx

x

x3

7

6

4

5

3

10- dxxxx 24 97

11-

dx

xx 1

5

78

6

4

12-

dxx

x93

2 2

4

13- dxxxx 35 2016

14-

dx

xx 32 6

7

6

7

6

7

15-

dx

xx 5

5

29

34

16- dxxx 347

17-

dx

xx

9

219

43

18- dxxx 24 53

19-

dx

x

2

3 4

20-

dx

xx 8

3

8


a) dxxx

2

)24(7 432





du


dxxx

2

)24(7 432

= 2

42

122

)(7

x

duux

u = (4x3+2)

dx = 212x

du


dxxx

2

)24(7 432

= 2

42

122

)(7

x

duux =

122

)(7 4 duu

u = (4x3+2)

dx = 212x

du


dxxx

2

)24(7 432

= 2

42

122

)(7

x

duux =

122

)(7 4 duu = du

u

24

)(7 4

= cu

)5(24

7 5

=

u = (4x3+2)

dx = 212x

du

Paso No 4

cu

cu

120

7

)5(24

7 55


b) dxxx

5

cos7 43


Paso No 2




du


dxxx

5

cos7 43

= 3

3

45

cos7

x

duux

u = (4x3+2)

dx = 34x

du

cx

cu

120

)24(7

120

7 535


dxxx

5

cos7 43

= 3

3

45

cos7

x

duux =

45

cos7 duu

u = (4x3+2)

dx = 34x

du


dxxx

5

cos7 43

= 3

3

45

cos7

x

duux =

45

cos7 duu = du

u 20

cos7= c

senu

20

7

u = (4x3+2)

dx = 34x

du


Entonces

csenu

20

7= c

senx

20

7 4

EJERCICIOS

1- dxxx 52 )5(

2- xdxsen84

3- dxxx

4

)85(3 42

4- dxe x 242

5- dxx

x 32 )2(5

4

6- dxxx

3

6tan4 2

7- )53(2 x

dx

8- dxx3 34

9-

dxx )52(

4

10- dxxx

2

cos7 32






integrales como



producto

uvvu

dx

duv

dx

dvuuv

dx

d



vduudv










integrando




Hallar dxxe x





vduuvudv

1

dvu

x

dv

x

udvu

x

dv

x

u

dxxedxxexdxedxex




dxduxu

edxedvvdxedv xxx


Cexe

dxexedxxe

vduuvudv

xx

xxx


Hallar xdxx ln2



dxx

duxu

xdxxvdxxdv

1ln

3

322


Cx

xx

dxxxx

dxx

xx

xxdxx

9ln

3

3

1ln

3

1

3ln

3ln

33

23

332


Hallar senxdxx2




xdxduxu

xsenxdxvsenxdxdv

2

cos

2






dxduxu

senxxdxvxdv

22

coscos


Cxxsenx

senxdxxsenxxdxx

cos22

22cos2




Hallar xdx3sec



xtgxdxduxu

tgxxdxvxdxdv

secsec

secsec 22



Ctgxxxtgxxdx

xdxxtgxxdx

xdxxdxtgx

dxxxxtgx

xdxxtgxtgxxdx

secln2

1sec

2

1sec

secsecsec2

secsecsec

1secsecsec

secsecsec

3

3

3

2

23






axdxsenaxdxdxedvx

axdxxsenaxdxxdxex

axn

nnann

cos oacute y uhacer

cos oacute




ny oacute lnhacer

ln


dxedvbxsenbxu

bxdxesenbxdxe axax


cos oacute


EJERCICIOS


2

1

2

)1084

3( dxx

x


2

1

2

)1084

3( dxx

x = cx

xx

1011

8

)12(4

3 1112

= cxxx

102

8

12

3 23

Simplificamos

cxxx

1044

23


c)2(10)2(4

4

)2( 23

c)1(10)1(4

4

)1( 23

c)2(10)4(4

4

8 -

c)1(10)1(4

4

1

c 20162 - c 104250

c6 - c 2514


1-

2

0

3

5 810

7 dxx

x

2- dxxx

2

2

23

5102

3

3-

0

2

225 dxx

4-

3

1

46 dxx

5-

1

1

24

2

1

3

53 dx

xx

6- dxxx

1

1

322

7-

1

3

32

11dx

xx

8-

2

0

3 635 dxxx

9-

2

2

3 1 dxx

10-

0

2

243 dxx


0

2

4

6

8

10

12

14

16

-4 -2 0 2 4

x2+5

-x2+10


1

1

22 )5()10( dxxx = cxx

dxxdxxx

1

1

32

1

1

22 53

2)52(510


1

1

22 )5()10( dxxx = xcx

53

2 3

cc )1(5

3

)1(2)1(5

3

)1(2 33

cc 5

3

25

3

2 = (-66+5+c) ndash(066-5+c) = (434+c) ndash (-434+c) =



3- dxxxx 78 52

4-

dx

xx

2

5

7

3

14

5-

dx

xx 6

29 3

6-

dx

xx 13

5

24

6

3

7-

dx

xxx

3

32

8-

dxx

xx 3

2

74

3

9-

dx

x

x3

7

6

4

5

3

10- dxxxx 24 97

11-

dx

xx 1

5

78

6

4

12-

dxx

x93

2 2

4

13- dxxxx 35 2016

14-

dx

xx 32 6

7

6

7

6

7

15-

dx

xx 5

5

29

34

16- dxxx 347

17-

dx

xx

9

219

43

18- dxxx 24 53

19-

dx

x

2

3 4

20-

dx

xx 8

3

8


a) dxxx

2

)24(7 432





du


dxxx

2

)24(7 432

= 2

42

122

)(7

x

duux

u = (4x3+2)

dx = 212x

du


dxxx

2

)24(7 432

= 2

42

122

)(7

x

duux =

122

)(7 4 duu

u = (4x3+2)

dx = 212x

du


dxxx

2

)24(7 432

= 2

42

122

)(7

x

duux =

122

)(7 4 duu = du

u

24

)(7 4

= cu

)5(24

7 5

=

u = (4x3+2)

dx = 212x

du

Paso No 4

cu

cu

120

7

)5(24

7 55


b) dxxx

5

cos7 43


Paso No 2




du


dxxx

5

cos7 43

= 3

3

45

cos7

x

duux

u = (4x3+2)

dx = 34x

du

cx

cu

120

)24(7

120

7 535


dxxx

5

cos7 43

= 3

3

45

cos7

x

duux =

45

cos7 duu

u = (4x3+2)

dx = 34x

du


dxxx

5

cos7 43

= 3

3

45

cos7

x

duux =

45

cos7 duu = du

u 20

cos7= c

senu

20

7

u = (4x3+2)

dx = 34x

du


Entonces

csenu

20

7= c

senx

20

7 4

EJERCICIOS

1- dxxx 52 )5(

2- xdxsen84

3- dxxx

4

)85(3 42

4- dxe x 242

5- dxx

x 32 )2(5

4

6- dxxx

3

6tan4 2

7- )53(2 x

dx

8- dxx3 34

9-

dxx )52(

4

10- dxxx

2

cos7 32






integrales como



producto

uvvu

dx

duv

dx

dvuuv

dx

d



vduudv










integrando




Hallar dxxe x





vduuvudv

1

dvu

x

dv

x

udvu

x

dv

x

u

dxxedxxexdxedxex




dxduxu

edxedvvdxedv xxx


Cexe

dxexedxxe

vduuvudv

xx

xxx


Hallar xdxx ln2



dxx

duxu

xdxxvdxxdv

1ln

3

322


Cx

xx

dxxxx

dxx

xx

xxdxx

9ln

3

3

1ln

3

1

3ln

3ln

33

23

332


Hallar senxdxx2




xdxduxu

xsenxdxvsenxdxdv

2

cos

2






dxduxu

senxxdxvxdv

22

coscos


Cxxsenx

senxdxxsenxxdxx

cos22

22cos2




Hallar xdx3sec



xtgxdxduxu

tgxxdxvxdxdv

secsec

secsec 22



Ctgxxxtgxxdx

xdxxtgxxdx

xdxxdxtgx

dxxxxtgx

xdxxtgxtgxxdx

secln2

1sec

2

1sec

secsecsec2

secsecsec

1secsecsec

secsecsec

3

3

3

2

23






axdxsenaxdxdxedvx

axdxxsenaxdxxdxex

axn

nnann

cos oacute y uhacer

cos oacute




ny oacute lnhacer

ln


dxedvbxsenbxu

bxdxesenbxdxe axax


cos oacute


EJERCICIOS


2

1

2

)1084

3( dxx

x


2

1

2

)1084

3( dxx

x = cx

xx

1011

8

)12(4

3 1112

= cxxx

102

8

12

3 23

Simplificamos

cxxx

1044

23


c)2(10)2(4

4

)2( 23

c)1(10)1(4

4

)1( 23

c)2(10)4(4

4

8 -

c)1(10)1(4

4

1

c 20162 - c 104250

c6 - c 2514


1-

2

0

3

5 810

7 dxx

x

2- dxxx

2

2

23

5102

3

3-

0

2

225 dxx

4-

3

1

46 dxx

5-

1

1

24

2

1

3

53 dx

xx

6- dxxx

1

1

322

7-

1

3

32

11dx

xx

8-

2

0

3 635 dxxx

9-

2

2

3 1 dxx

10-

0

2

243 dxx


0

2

4

6

8

10

12

14

16

-4 -2 0 2 4

x2+5

-x2+10


1

1

22 )5()10( dxxx = cxx

dxxdxxx

1

1

32

1

1

22 53

2)52(510


1

1

22 )5()10( dxxx = xcx

53

2 3

cc )1(5

3

)1(2)1(5

3

)1(2 33

cc 5

3

25

3

2 = (-66+5+c) ndash(066-5+c) = (434+c) ndash (-434+c) =



17-

dx

xx

9

219

43

18- dxxx 24 53

19-

dx

x

2

3 4

20-

dx

xx 8

3

8


a) dxxx

2

)24(7 432





du


dxxx

2

)24(7 432

= 2

42

122

)(7

x

duux

u = (4x3+2)

dx = 212x

du


dxxx

2

)24(7 432

= 2

42

122

)(7

x

duux =

122

)(7 4 duu

u = (4x3+2)

dx = 212x

du


dxxx

2

)24(7 432

= 2

42

122

)(7

x

duux =

122

)(7 4 duu = du

u

24

)(7 4

= cu

)5(24

7 5

=

u = (4x3+2)

dx = 212x

du

Paso No 4

cu

cu

120

7

)5(24

7 55


b) dxxx

5

cos7 43


Paso No 2




du


dxxx

5

cos7 43

= 3

3

45

cos7

x

duux

u = (4x3+2)

dx = 34x

du

cx

cu

120

)24(7

120

7 535


dxxx

5

cos7 43

= 3

3

45

cos7

x

duux =

45

cos7 duu

u = (4x3+2)

dx = 34x

du


dxxx

5

cos7 43

= 3

3

45

cos7

x

duux =

45

cos7 duu = du

u 20

cos7= c

senu

20

7

u = (4x3+2)

dx = 34x

du


Entonces

csenu

20

7= c

senx

20

7 4

EJERCICIOS

1- dxxx 52 )5(

2- xdxsen84

3- dxxx

4

)85(3 42

4- dxe x 242

5- dxx

x 32 )2(5

4

6- dxxx

3

6tan4 2

7- )53(2 x

dx

8- dxx3 34

9-

dxx )52(

4

10- dxxx

2

cos7 32






integrales como



producto

uvvu

dx

duv

dx

dvuuv

dx

d



vduudv










integrando




Hallar dxxe x





vduuvudv

1

dvu

x

dv

x

udvu

x

dv

x

u

dxxedxxexdxedxex




dxduxu

edxedvvdxedv xxx


Cexe

dxexedxxe

vduuvudv

xx

xxx


Hallar xdxx ln2



dxx

duxu

xdxxvdxxdv

1ln

3

322


Cx

xx

dxxxx

dxx

xx

xxdxx

9ln

3

3

1ln

3

1

3ln

3ln

33

23

332


Hallar senxdxx2




xdxduxu

xsenxdxvsenxdxdv

2

cos

2






dxduxu

senxxdxvxdv

22

coscos


Cxxsenx

senxdxxsenxxdxx

cos22

22cos2




Hallar xdx3sec



xtgxdxduxu

tgxxdxvxdxdv

secsec

secsec 22



Ctgxxxtgxxdx

xdxxtgxxdx

xdxxdxtgx

dxxxxtgx

xdxxtgxtgxxdx

secln2

1sec

2

1sec

secsecsec2

secsecsec

1secsecsec

secsecsec

3

3

3

2

23






axdxsenaxdxdxedvx

axdxxsenaxdxxdxex

axn

nnann

cos oacute y uhacer

cos oacute




ny oacute lnhacer

ln


dxedvbxsenbxu

bxdxesenbxdxe axax


cos oacute


EJERCICIOS


2

1

2

)1084

3( dxx

x


2

1

2

)1084

3( dxx

x = cx

xx

1011

8

)12(4

3 1112

= cxxx

102

8

12

3 23

Simplificamos

cxxx

1044

23


c)2(10)2(4

4

)2( 23

c)1(10)1(4

4

)1( 23

c)2(10)4(4

4

8 -

c)1(10)1(4

4

1

c 20162 - c 104250

c6 - c 2514


1-

2

0

3

5 810

7 dxx

x

2- dxxx

2

2

23

5102

3

3-

0

2

225 dxx

4-

3

1

46 dxx

5-

1

1

24

2

1

3

53 dx

xx

6- dxxx

1

1

322

7-

1

3

32

11dx

xx

8-

2

0

3 635 dxxx

9-

2

2

3 1 dxx

10-

0

2

243 dxx


0

2

4

6

8

10

12

14

16

-4 -2 0 2 4

x2+5

-x2+10


1

1

22 )5()10( dxxx = cxx

dxxdxxx

1

1

32

1

1

22 53

2)52(510


1

1

22 )5()10( dxxx = xcx

53

2 3

cc )1(5

3

)1(2)1(5

3

)1(2 33

cc 5

3

25

3

2 = (-66+5+c) ndash(066-5+c) = (434+c) ndash (-434+c) =




du


dxxx

2

)24(7 432

= 2

42

122

)(7

x

duux

u = (4x3+2)

dx = 212x

du


dxxx

2

)24(7 432

= 2

42

122

)(7

x

duux =

122

)(7 4 duu

u = (4x3+2)

dx = 212x

du


dxxx

2

)24(7 432

= 2

42

122

)(7

x

duux =

122

)(7 4 duu = du

u

24

)(7 4

= cu

)5(24

7 5

=

u = (4x3+2)

dx = 212x

du

Paso No 4

cu

cu

120

7

)5(24

7 55


b) dxxx

5

cos7 43


Paso No 2




du


dxxx

5

cos7 43

= 3

3

45

cos7

x

duux

u = (4x3+2)

dx = 34x

du

cx

cu

120

)24(7

120

7 535


dxxx

5

cos7 43

= 3

3

45

cos7

x

duux =

45

cos7 duu

u = (4x3+2)

dx = 34x

du


dxxx

5

cos7 43

= 3

3

45

cos7

x

duux =

45

cos7 duu = du

u 20

cos7= c

senu

20

7

u = (4x3+2)

dx = 34x

du


Entonces

csenu

20

7= c

senx

20

7 4

EJERCICIOS

1- dxxx 52 )5(

2- xdxsen84

3- dxxx

4

)85(3 42

4- dxe x 242

5- dxx

x 32 )2(5

4

6- dxxx

3

6tan4 2

7- )53(2 x

dx

8- dxx3 34

9-

dxx )52(

4

10- dxxx

2

cos7 32






integrales como



producto

uvvu

dx

duv

dx

dvuuv

dx

d



vduudv










integrando




Hallar dxxe x





vduuvudv

1

dvu

x

dv

x

udvu

x

dv

x

u

dxxedxxexdxedxex




dxduxu

edxedvvdxedv xxx


Cexe

dxexedxxe

vduuvudv

xx

xxx


Hallar xdxx ln2



dxx

duxu

xdxxvdxxdv

1ln

3

322


Cx

xx

dxxxx

dxx

xx

xxdxx

9ln

3

3

1ln

3

1

3ln

3ln

33

23

332


Hallar senxdxx2




xdxduxu

xsenxdxvsenxdxdv

2

cos

2






dxduxu

senxxdxvxdv

22

coscos


Cxxsenx

senxdxxsenxxdxx

cos22

22cos2




Hallar xdx3sec



xtgxdxduxu

tgxxdxvxdxdv

secsec

secsec 22



Ctgxxxtgxxdx

xdxxtgxxdx

xdxxdxtgx

dxxxxtgx

xdxxtgxtgxxdx

secln2

1sec

2

1sec

secsecsec2

secsecsec

1secsecsec

secsecsec

3

3

3

2

23






axdxsenaxdxdxedvx

axdxxsenaxdxxdxex

axn

nnann

cos oacute y uhacer

cos oacute




ny oacute lnhacer

ln


dxedvbxsenbxu

bxdxesenbxdxe axax


cos oacute


EJERCICIOS


2

1

2

)1084

3( dxx

x


2

1

2

)1084

3( dxx

x = cx

xx

1011

8

)12(4

3 1112

= cxxx

102

8

12

3 23

Simplificamos

cxxx

1044

23


c)2(10)2(4

4

)2( 23

c)1(10)1(4

4

)1( 23

c)2(10)4(4

4

8 -

c)1(10)1(4

4

1

c 20162 - c 104250

c6 - c 2514


1-

2

0

3

5 810

7 dxx

x

2- dxxx

2

2

23

5102

3

3-

0

2

225 dxx

4-

3

1

46 dxx

5-

1

1

24

2

1

3

53 dx

xx

6- dxxx

1

1

322

7-

1

3

32

11dx

xx

8-

2

0

3 635 dxxx

9-

2

2

3 1 dxx

10-

0

2

243 dxx


0

2

4

6

8

10

12

14

16

-4 -2 0 2 4

x2+5

-x2+10


1

1

22 )5()10( dxxx = cxx

dxxdxxx

1

1

32

1

1

22 53

2)52(510


1

1

22 )5()10( dxxx = xcx

53

2 3

cc )1(5

3

)1(2)1(5

3

)1(2 33

cc 5

3

25

3

2 = (-66+5+c) ndash(066-5+c) = (434+c) ndash (-434+c) =




b) dxxx

5

cos7 43


Paso No 2




du


dxxx

5

cos7 43

= 3

3

45

cos7

x

duux

u = (4x3+2)

dx = 34x

du

cx

cu

120

)24(7

120

7 535


dxxx

5

cos7 43

= 3

3

45

cos7

x

duux =

45

cos7 duu

u = (4x3+2)

dx = 34x

du


dxxx

5

cos7 43

= 3

3

45

cos7

x

duux =

45

cos7 duu = du

u 20

cos7= c

senu

20

7

u = (4x3+2)

dx = 34x

du


Entonces

csenu

20

7= c

senx

20

7 4

EJERCICIOS

1- dxxx 52 )5(

2- xdxsen84

3- dxxx

4

)85(3 42

4- dxe x 242

5- dxx

x 32 )2(5

4

6- dxxx

3

6tan4 2

7- )53(2 x

dx

8- dxx3 34

9-

dxx )52(

4

10- dxxx

2

cos7 32






integrales como



producto

uvvu

dx

duv

dx

dvuuv

dx

d



vduudv










integrando




Hallar dxxe x





vduuvudv

1

dvu

x

dv

x

udvu

x

dv

x

u

dxxedxxexdxedxex




dxduxu

edxedvvdxedv xxx


Cexe

dxexedxxe

vduuvudv

xx

xxx


Hallar xdxx ln2



dxx

duxu

xdxxvdxxdv

1ln

3

322


Cx

xx

dxxxx

dxx

xx

xxdxx

9ln

3

3

1ln

3

1

3ln

3ln

33

23

332


Hallar senxdxx2




xdxduxu

xsenxdxvsenxdxdv

2

cos

2






dxduxu

senxxdxvxdv

22

coscos


Cxxsenx

senxdxxsenxxdxx

cos22

22cos2




Hallar xdx3sec



xtgxdxduxu

tgxxdxvxdxdv

secsec

secsec 22



Ctgxxxtgxxdx

xdxxtgxxdx

xdxxdxtgx

dxxxxtgx

xdxxtgxtgxxdx

secln2

1sec

2

1sec

secsecsec2

secsecsec

1secsecsec

secsecsec

3

3

3

2

23






axdxsenaxdxdxedvx

axdxxsenaxdxxdxex

axn

nnann

cos oacute y uhacer

cos oacute




ny oacute lnhacer

ln


dxedvbxsenbxu

bxdxesenbxdxe axax


cos oacute


EJERCICIOS


2

1

2

)1084

3( dxx

x


2

1

2

)1084

3( dxx

x = cx

xx

1011

8

)12(4

3 1112

= cxxx

102

8

12

3 23

Simplificamos

cxxx

1044

23


c)2(10)2(4

4

)2( 23

c)1(10)1(4

4

)1( 23

c)2(10)4(4

4

8 -

c)1(10)1(4

4

1

c 20162 - c 104250

c6 - c 2514


1-

2

0

3

5 810

7 dxx

x

2- dxxx

2

2

23

5102

3

3-

0

2

225 dxx

4-

3

1

46 dxx

5-

1

1

24

2

1

3

53 dx

xx

6- dxxx

1

1

322

7-

1

3

32

11dx

xx

8-

2

0

3 635 dxxx

9-

2

2

3 1 dxx

10-

0

2

243 dxx


0

2

4

6

8

10

12

14

16

-4 -2 0 2 4

x2+5

-x2+10


1

1

22 )5()10( dxxx = cxx

dxxdxxx

1

1

32

1

1

22 53

2)52(510


1

1

22 )5()10( dxxx = xcx

53

2 3

cc )1(5

3

)1(2)1(5

3

)1(2 33

cc 5

3

25

3

2 = (-66+5+c) ndash(066-5+c) = (434+c) ndash (-434+c) =




dxxx

5

cos7 43

= 3

3

45

cos7

x

duux =

45

cos7 duu

u = (4x3+2)

dx = 34x

du


dxxx

5

cos7 43

= 3

3

45

cos7

x

duux =

45

cos7 duu = du

u 20

cos7= c

senu

20

7

u = (4x3+2)

dx = 34x

du


Entonces

csenu

20

7= c

senx

20

7 4

EJERCICIOS

1- dxxx 52 )5(

2- xdxsen84

3- dxxx

4

)85(3 42

4- dxe x 242

5- dxx

x 32 )2(5

4

6- dxxx

3

6tan4 2

7- )53(2 x

dx

8- dxx3 34

9-

dxx )52(

4

10- dxxx

2

cos7 32






integrales como



producto

uvvu

dx

duv

dx

dvuuv

dx

d



vduudv










integrando




Hallar dxxe x





vduuvudv

1

dvu

x

dv

x

udvu

x

dv

x

u

dxxedxxexdxedxex




dxduxu

edxedvvdxedv xxx


Cexe

dxexedxxe

vduuvudv

xx

xxx


Hallar xdxx ln2



dxx

duxu

xdxxvdxxdv

1ln

3

322


Cx

xx

dxxxx

dxx

xx

xxdxx

9ln

3

3

1ln

3

1

3ln

3ln

33

23

332


Hallar senxdxx2




xdxduxu

xsenxdxvsenxdxdv

2

cos

2






dxduxu

senxxdxvxdv

22

coscos


Cxxsenx

senxdxxsenxxdxx

cos22

22cos2




Hallar xdx3sec



xtgxdxduxu

tgxxdxvxdxdv

secsec

secsec 22



Ctgxxxtgxxdx

xdxxtgxxdx

xdxxdxtgx

dxxxxtgx

xdxxtgxtgxxdx

secln2

1sec

2

1sec

secsecsec2

secsecsec

1secsecsec

secsecsec

3

3

3

2

23






axdxsenaxdxdxedvx

axdxxsenaxdxxdxex

axn

nnann

cos oacute y uhacer

cos oacute




ny oacute lnhacer

ln


dxedvbxsenbxu

bxdxesenbxdxe axax


cos oacute


EJERCICIOS


2

1

2

)1084

3( dxx

x


2

1

2

)1084

3( dxx

x = cx

xx

1011

8

)12(4

3 1112

= cxxx

102

8

12

3 23

Simplificamos

cxxx

1044

23


c)2(10)2(4

4

)2( 23

c)1(10)1(4

4

)1( 23

c)2(10)4(4

4

8 -

c)1(10)1(4

4

1

c 20162 - c 104250

c6 - c 2514


1-

2

0

3

5 810

7 dxx

x

2- dxxx

2

2

23

5102

3

3-

0

2

225 dxx

4-

3

1

46 dxx

5-

1

1

24

2

1

3

53 dx

xx

6- dxxx

1

1

322

7-

1

3

32

11dx

xx

8-

2

0

3 635 dxxx

9-

2

2

3 1 dxx

10-

0

2

243 dxx


0

2

4

6

8

10

12

14

16

-4 -2 0 2 4

x2+5

-x2+10


1

1

22 )5()10( dxxx = cxx

dxxdxxx

1

1

32

1

1

22 53

2)52(510


1

1

22 )5()10( dxxx = xcx

53

2 3

cc )1(5

3

)1(2)1(5

3

)1(2 33

cc 5

3

25

3

2 = (-66+5+c) ndash(066-5+c) = (434+c) ndash (-434+c) =



1- dxxx 52 )5(

2- xdxsen84

3- dxxx

4

)85(3 42

4- dxe x 242

5- dxx

x 32 )2(5

4

6- dxxx

3

6tan4 2

7- )53(2 x

dx

8- dxx3 34

9-

dxx )52(

4

10- dxxx

2

cos7 32






integrales como



producto

uvvu

dx

duv

dx

dvuuv

dx

d



vduudv










integrando




Hallar dxxe x





vduuvudv

1

dvu

x

dv

x

udvu

x

dv

x

u

dxxedxxexdxedxex




dxduxu

edxedvvdxedv xxx


Cexe

dxexedxxe

vduuvudv

xx

xxx


Hallar xdxx ln2



dxx

duxu

xdxxvdxxdv

1ln

3

322


Cx

xx

dxxxx

dxx

xx

xxdxx

9ln

3

3

1ln

3

1

3ln

3ln

33

23

332


Hallar senxdxx2




xdxduxu

xsenxdxvsenxdxdv

2

cos

2






dxduxu

senxxdxvxdv

22

coscos


Cxxsenx

senxdxxsenxxdxx

cos22

22cos2




Hallar xdx3sec



xtgxdxduxu

tgxxdxvxdxdv

secsec

secsec 22



Ctgxxxtgxxdx

xdxxtgxxdx

xdxxdxtgx

dxxxxtgx

xdxxtgxtgxxdx

secln2

1sec

2

1sec

secsecsec2

secsecsec

1secsecsec

secsecsec

3

3

3

2

23






axdxsenaxdxdxedvx

axdxxsenaxdxxdxex

axn

nnann

cos oacute y uhacer

cos oacute




ny oacute lnhacer

ln


dxedvbxsenbxu

bxdxesenbxdxe axax


cos oacute


EJERCICIOS


2

1

2

)1084

3( dxx

x


2

1

2

)1084

3( dxx

x = cx

xx

1011

8

)12(4

3 1112

= cxxx

102

8

12

3 23

Simplificamos

cxxx

1044

23


c)2(10)2(4

4

)2( 23

c)1(10)1(4

4

)1( 23

c)2(10)4(4

4

8 -

c)1(10)1(4

4

1

c 20162 - c 104250

c6 - c 2514


1-

2

0

3

5 810

7 dxx

x

2- dxxx

2

2

23

5102

3

3-

0

2

225 dxx

4-

3

1

46 dxx

5-

1

1

24

2

1

3

53 dx

xx

6- dxxx

1

1

322

7-

1

3

32

11dx

xx

8-

2

0

3 635 dxxx

9-

2

2

3 1 dxx

10-

0

2

243 dxx


0

2

4

6

8

10

12

14

16

-4 -2 0 2 4

x2+5

-x2+10


1

1

22 )5()10( dxxx = cxx

dxxdxxx

1

1

32

1

1

22 53

2)52(510


1

1

22 )5()10( dxxx = xcx

53

2 3

cc )1(5

3

)1(2)1(5

3

)1(2 33

cc 5

3

25

3

2 = (-66+5+c) ndash(066-5+c) = (434+c) ndash (-434+c) =




producto

uvvu

dx

duv

dx

dvuuv

dx

d



vduudv










integrando




Hallar dxxe x





vduuvudv

1

dvu

x

dv

x

udvu

x

dv

x

u

dxxedxxexdxedxex




dxduxu

edxedvvdxedv xxx


Cexe

dxexedxxe

vduuvudv

xx

xxx


Hallar xdxx ln2



dxx

duxu

xdxxvdxxdv

1ln

3

322


Cx

xx

dxxxx

dxx

xx

xxdxx

9ln

3

3

1ln

3

1

3ln

3ln

33

23

332


Hallar senxdxx2




xdxduxu

xsenxdxvsenxdxdv

2

cos

2






dxduxu

senxxdxvxdv

22

coscos


Cxxsenx

senxdxxsenxxdxx

cos22

22cos2




Hallar xdx3sec



xtgxdxduxu

tgxxdxvxdxdv

secsec

secsec 22



Ctgxxxtgxxdx

xdxxtgxxdx

xdxxdxtgx

dxxxxtgx

xdxxtgxtgxxdx

secln2

1sec

2

1sec

secsecsec2

secsecsec

1secsecsec

secsecsec

3

3

3

2

23






axdxsenaxdxdxedvx

axdxxsenaxdxxdxex

axn

nnann

cos oacute y uhacer

cos oacute




ny oacute lnhacer

ln


dxedvbxsenbxu

bxdxesenbxdxe axax


cos oacute


EJERCICIOS


2

1

2

)1084

3( dxx

x


2

1

2

)1084

3( dxx

x = cx

xx

1011

8

)12(4

3 1112

= cxxx

102

8

12

3 23

Simplificamos

cxxx

1044

23


c)2(10)2(4

4

)2( 23

c)1(10)1(4

4

)1( 23

c)2(10)4(4

4

8 -

c)1(10)1(4

4

1

c 20162 - c 104250

c6 - c 2514


1-

2

0

3

5 810

7 dxx

x

2- dxxx

2

2

23

5102

3

3-

0

2

225 dxx

4-

3

1

46 dxx

5-

1

1

24

2

1

3

53 dx

xx

6- dxxx

1

1

322

7-

1

3

32

11dx

xx

8-

2

0

3 635 dxxx

9-

2

2

3 1 dxx

10-

0

2

243 dxx


0

2

4

6

8

10

12

14

16

-4 -2 0 2 4

x2+5

-x2+10


1

1

22 )5()10( dxxx = cxx

dxxdxxx

1

1

32

1

1

22 53

2)52(510


1

1

22 )5()10( dxxx = xcx

53

2 3

cc )1(5

3

)1(2)1(5

3

)1(2 33

cc 5

3

25

3

2 = (-66+5+c) ndash(066-5+c) = (434+c) ndash (-434+c) =



1

dvu

x

dv

x

udvu

x

dv

x

u

dxxedxxexdxedxex




dxduxu

edxedvvdxedv xxx


Cexe

dxexedxxe

vduuvudv

xx

xxx


Hallar xdxx ln2



dxx

duxu

xdxxvdxxdv

1ln

3

322


Cx

xx

dxxxx

dxx

xx

xxdxx

9ln

3

3

1ln

3

1

3ln

3ln

33

23

332


Hallar senxdxx2




xdxduxu

xsenxdxvsenxdxdv

2

cos

2






dxduxu

senxxdxvxdv

22

coscos


Cxxsenx

senxdxxsenxxdxx

cos22

22cos2




Hallar xdx3sec



xtgxdxduxu

tgxxdxvxdxdv

secsec

secsec 22



Ctgxxxtgxxdx

xdxxtgxxdx

xdxxdxtgx

dxxxxtgx

xdxxtgxtgxxdx

secln2

1sec

2

1sec

secsecsec2

secsecsec

1secsecsec

secsecsec

3

3

3

2

23






axdxsenaxdxdxedvx

axdxxsenaxdxxdxex

axn

nnann

cos oacute y uhacer

cos oacute




ny oacute lnhacer

ln


dxedvbxsenbxu

bxdxesenbxdxe axax


cos oacute


EJERCICIOS


2

1

2

)1084

3( dxx

x


2

1

2

)1084

3( dxx

x = cx

xx

1011

8

)12(4

3 1112

= cxxx

102

8

12

3 23

Simplificamos

cxxx

1044

23


c)2(10)2(4

4

)2( 23

c)1(10)1(4

4

)1( 23

c)2(10)4(4

4

8 -

c)1(10)1(4

4

1

c 20162 - c 104250

c6 - c 2514


1-

2

0

3

5 810

7 dxx

x

2- dxxx

2

2

23

5102

3

3-

0

2

225 dxx

4-

3

1

46 dxx

5-

1

1

24

2

1

3

53 dx

xx

6- dxxx

1

1

322

7-

1

3

32

11dx

xx

8-

2

0

3 635 dxxx

9-

2

2

3 1 dxx

10-

0

2

243 dxx


0

2

4

6

8

10

12

14

16

-4 -2 0 2 4

x2+5

-x2+10


1

1

22 )5()10( dxxx = cxx

dxxdxxx

1

1

32

1

1

22 53

2)52(510


1

1

22 )5()10( dxxx = xcx

53

2 3

cc )1(5

3

)1(2)1(5

3

)1(2 33

cc 5

3

25

3

2 = (-66+5+c) ndash(066-5+c) = (434+c) ndash (-434+c) =






xdxduxu

xsenxdxvsenxdxdv

2

cos

2






dxduxu

senxxdxvxdv

22

coscos


Cxxsenx

senxdxxsenxxdxx

cos22

22cos2




Hallar xdx3sec



xtgxdxduxu

tgxxdxvxdxdv

secsec

secsec 22



Ctgxxxtgxxdx

xdxxtgxxdx

xdxxdxtgx

dxxxxtgx

xdxxtgxtgxxdx

secln2

1sec

2

1sec

secsecsec2

secsecsec

1secsecsec

secsecsec

3

3

3

2

23






axdxsenaxdxdxedvx

axdxxsenaxdxxdxex

axn

nnann

cos oacute y uhacer

cos oacute




ny oacute lnhacer

ln


dxedvbxsenbxu

bxdxesenbxdxe axax


cos oacute


EJERCICIOS


2

1

2

)1084

3( dxx

x


2

1

2

)1084

3( dxx

x = cx

xx

1011

8

)12(4

3 1112

= cxxx

102

8

12

3 23

Simplificamos

cxxx

1044

23


c)2(10)2(4

4

)2( 23

c)1(10)1(4

4

)1( 23

c)2(10)4(4

4

8 -

c)1(10)1(4

4

1

c 20162 - c 104250

c6 - c 2514


1-

2

0

3

5 810

7 dxx

x

2- dxxx

2

2

23

5102

3

3-

0

2

225 dxx

4-

3

1

46 dxx

5-

1

1

24

2

1

3

53 dx

xx

6- dxxx

1

1

322

7-

1

3

32

11dx

xx

8-

2

0

3 635 dxxx

9-

2

2

3 1 dxx

10-

0

2

243 dxx


0

2

4

6

8

10

12

14

16

-4 -2 0 2 4

x2+5

-x2+10


1

1

22 )5()10( dxxx = cxx

dxxdxxx

1

1

32

1

1

22 53

2)52(510


1

1

22 )5()10( dxxx = xcx

53

2 3

cc )1(5

3

)1(2)1(5

3

)1(2 33

cc 5

3

25

3

2 = (-66+5+c) ndash(066-5+c) = (434+c) ndash (-434+c) =



Ctgxxxtgxxdx

xdxxtgxxdx

xdxxdxtgx

dxxxxtgx

xdxxtgxtgxxdx

secln2

1sec

2

1sec

secsecsec2

secsecsec

1secsecsec

secsecsec

3

3

3

2

23






axdxsenaxdxdxedvx

axdxxsenaxdxxdxex

axn

nnann

cos oacute y uhacer

cos oacute




ny oacute lnhacer

ln


dxedvbxsenbxu

bxdxesenbxdxe axax


cos oacute


EJERCICIOS


2

1

2

)1084

3( dxx

x


2

1

2

)1084

3( dxx

x = cx

xx

1011

8

)12(4

3 1112

= cxxx

102

8

12

3 23

Simplificamos

cxxx

1044

23


c)2(10)2(4

4

)2( 23

c)1(10)1(4

4

)1( 23

c)2(10)4(4

4

8 -

c)1(10)1(4

4

1

c 20162 - c 104250

c6 - c 2514


1-

2

0

3

5 810

7 dxx

x

2- dxxx

2

2

23

5102

3

3-

0

2

225 dxx

4-

3

1

46 dxx

5-

1

1

24

2

1

3

53 dx

xx

6- dxxx

1

1

322

7-

1

3

32

11dx

xx

8-

2

0

3 635 dxxx

9-

2

2

3 1 dxx

10-

0

2

243 dxx


0

2

4

6

8

10

12

14

16

-4 -2 0 2 4

x2+5

-x2+10


1

1

22 )5()10( dxxx = cxx

dxxdxxx

1

1

32

1

1

22 53

2)52(510


1

1

22 )5()10( dxxx = xcx

53

2 3

cc )1(5

3

)1(2)1(5

3

)1(2 33

cc 5

3

25

3

2 = (-66+5+c) ndash(066-5+c) = (434+c) ndash (-434+c) =



EJERCICIOS


2

1

2

)1084

3( dxx

x


2

1

2

)1084

3( dxx

x = cx

xx

1011

8

)12(4

3 1112

= cxxx

102

8

12

3 23

Simplificamos

cxxx

1044

23


c)2(10)2(4

4

)2( 23

c)1(10)1(4

4

)1( 23

c)2(10)4(4

4

8 -

c)1(10)1(4

4

1

c 20162 - c 104250

c6 - c 2514


1-

2

0

3

5 810

7 dxx

x

2- dxxx

2

2

23

5102

3

3-

0

2

225 dxx

4-

3

1

46 dxx

5-

1

1

24

2

1

3

53 dx

xx

6- dxxx

1

1

322

7-

1

3

32

11dx

xx

8-

2

0

3 635 dxxx

9-

2

2

3 1 dxx

10-

0

2

243 dxx


0

2

4

6

8

10

12

14

16

-4 -2 0 2 4

x2+5

-x2+10


1

1

22 )5()10( dxxx = cxx

dxxdxxx

1

1

32

1

1

22 53

2)52(510


1

1

22 )5()10( dxxx = xcx

53

2 3

cc )1(5

3

)1(2)1(5

3

)1(2 33

cc 5

3

25

3

2 = (-66+5+c) ndash(066-5+c) = (434+c) ndash (-434+c) =



c)2(10)2(4

4

)2( 23

c)1(10)1(4

4

)1( 23

c)2(10)4(4

4

8 -

c)1(10)1(4

4

1

c 20162 - c 104250

c6 - c 2514


1-

2

0

3

5 810

7 dxx

x

2- dxxx

2

2

23

5102

3

3-

0

2

225 dxx

4-

3

1

46 dxx

5-

1

1

24

2

1

3

53 dx

xx

6- dxxx

1

1

322

7-

1

3

32

11dx

xx

8-

2

0

3 635 dxxx

9-

2

2

3 1 dxx

10-

0

2

243 dxx


0

2

4

6

8

10

12

14

16

-4 -2 0 2 4

x2+5

-x2+10


1

1

22 )5()10( dxxx = cxx

dxxdxxx

1

1

32

1

1

22 53

2)52(510


1

1

22 )5()10( dxxx = xcx

53

2 3

cc )1(5

3

)1(2)1(5

3

)1(2 33

cc 5

3

25

3

2 = (-66+5+c) ndash(066-5+c) = (434+c) ndash (-434+c) =



7-

1

3

32

11dx

xx

8-

2

0

3 635 dxxx

9-

2

2

3 1 dxx

10-

0

2

243 dxx


0

2

4

6

8

10

12

14

16

-4 -2 0 2 4

x2+5

-x2+10


1

1

22 )5()10( dxxx = cxx

dxxdxxx

1

1

32

1

1

22 53

2)52(510


1

1

22 )5()10( dxxx = xcx

53

2 3

cc )1(5

3

)1(2)1(5

3

)1(2 33

cc 5

3

25

3

2 = (-66+5+c) ndash(066-5+c) = (434+c) ndash (-434+c) =




1

1

22 )5()10( dxxx = cxx

dxxdxxx

1

1

32

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1

22 53

2)52(510


1

1

22 )5()10( dxxx = xcx

53

2 3

cc )1(5

3

)1(2)1(5

3

)1(2 33

cc 5

3

25

3

2 = (-66+5+c) ndash(066-5+c) = (434+c) ndash (-434+c) =



DIRECCION GENERAL DEL BACHILLERATO · 1.1 LA DIFERENCIAL Definiciones de f x Interpretación...

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