Dinámica de Sistemas

Neuronales

Germán Mato

Física Estadística e Interdisciplinaria

Centro Atómico Bariloche

CNEA y CONICET

Escuela “J. A. Balseiro” 2014

Modelado en Neurociencias

• Lunes

– Modelos de conductancia (1 neurona)

• Martes

– Modelos reducidos (1 neurona)

• Miércoles

– Modelos de bursts (1 o mas neuronas)

• Jueves

– Osciladores acoplados (redes)

– Estado balanceado (redes) (Soledad

Gonzalo)

• Viernes

– Seminario

– Práctica

Dinámica Neuronal

• Membrana lipídica

• Permeabilidad selectiva

• Bombas iónicas

Dinámica Neuronal

• Desbalance en la concentración de

iones

• Diferencia de energía entre el

interior y el exterior de la

membrana:

eVE

Tk

E

Ion

Ion

Bout

inexp

][

][

Dinámica Neuronal

• Ecuación de Nernst

• Para este valor del potencial el flujo neto

de la corriente de iones es nulo

• Si la membrana es permeable a un solo

ion este es un valor de equilibrio

in

outB

ion

Ion

Ion

e

TkV

][

][ln

Dinámica Neuronal

• Normalmente hay mas de una

especie iónica que puede pasar a

través de la membrana

• Ecuación de Goldman-Hodgkin-Katz:

outClinKinNa

inCloutKoutNaB

ClPKPNaP

ClPKPNaP

e

TkV

][][][

][][][ln

Dinámica Neuronal

• Deducción ecuación de Goldman-

Hodgkin-Katz:

membrana

interior exterior

z

0 L

Ion monovalente A (carga nAe, nA=+/- 1), concentración [A](z),

diferencia de potencial V, campo eléctrico V/L

Dinámica Neuronal

• Deducción ecuación de Goldman-

Hodgkin-Katz:

Flujo del ion A:

Ec. de Stokes-Einstein:

enL

VA

dz

AdDj

AAAA][

][

mobilidad:

difusión de constante:

A

AD

TkDBAA

Dinámica Neuronal

• Deducción ecuación de Goldman-

Hodgkin-Katz:

out

in

A

A

L

A

BA

A

A

B

AA

dz

enL

V

Tk

A

D

j

Ad

enL

V

Tk

A

dz

AdDj

][

][

0][

][

][][

Dinámica Neuronal

• Deducción ecuación de Goldman-

Hodgkin-Katz:

L

DP

Tk

eVc

cn

cnAAPcnj

A

A

B

A

Ainout

AAA

)exp(1

)exp(][][

Dinámica Neuronal

• Deducción ecuación de Goldman-

Hodgkin-Katz:

• La corriente eléctrica asociada al ion A es:

y la condición que la corriente eléctrica total se anule es:

0

A

Atot

AAA

JJ

jenJ

Dinámica Neuronal

• Deducción ecuación de Goldman-

Hodgkin-Katz:

• lo que resulta en:

A A

Ainout

A

cn

cnAAP 0

)exp(1

)exp(][][

Dinámica Neuronal

• Deducción ecuación de Goldman-

Hodgkin-Katz:

• Usando y separando iones positivos y

negativos:

A A

inout

A

inout

Ac

cAAP

c

cAAP 0

)exp(1

)exp(][][

)exp(1

)exp(][][

1A

n

Dinámica Neuronal

• Deducción ecuación de Goldman-

Hodgkin-Katz:

• De aquí se obtiene:

Y despejando exp(c):

A A

inout

A

inout

Ac

cAAP

c

cAAP 0

1)exp(

)exp(][][

)exp(1

)exp(][][

Dinámica Neuronal

• Deducción ecuación de Goldman-

Hodgkin-Katz:

se obtiene:

A

outA

A

inA

A

inA

A

outA

BAPAP

APAP

Tk

eV

][][

][][

)exp(

Dinámica Neuronal

• Corrientes iónicas a través de la

membrana

)(ionionion

VVgI

:ion

V Potencial de inversión

:ion

g Conductancia

Dinámica Neuronal

)(ionionion

VVgI

(ver ejercicio 1 de la práctica)

Dinámica Neuronal

• Exceso de cargas negativas en el

interior de la membrana

•

• Exceso de sodio en el exterior:

• Exceso de potasio en el interior:

• En “reposo” el ion mas permeable es

el potasio

mVV 8050

mVVNa

50

mVVK

80

Dinámica Neuronal

Circuito equivalente

Dinámica Neuronal

• Si las conductancias iónicas fueran

constantes, el sistema sería lineal y

alcanzaría siempre algún estado de

equilibrio.

ion

extionII

dt

dVC

)(ionionion

VVgI

Dinámica Neuronal

• La descripción “standard” de los

modelos de conductancia tiene en

cuenta la ecuación de conservación

de la corriente mas la dinámica de

las conductancias iónicas

• Los potenciales de inversión

se suponen constantes

iong

ionV

Dinámica Neuronal

• En principio el flujo de los iones

debería modificar al cambiar el

cociente

• Pero este es un efecto de “volumen”,

mientras que el cambio de potencial

eléctrico es un efecto de “superficie”

in

out

Ion

Ion

][

][ion

V

Dinámica Neuronal

• Se puede lograr la depolarización de

la membrana con un cambio

despreciable en la concentración!

(ver ejercicio 2)

• Las bombas iónicas se pueden

encargar de mantener las

concentraciones constantes

• Conductancia iónicas no-lineales

• Los canales son altamente selectivos

Dinámica Neuronal

• Corriente a través de uno de los

canales de la membrana

Dinámica Neuronal

• El canal se abre o cierra

aleatoriamente

• Controlado por cambios

conformacionales del canal

• La probabilidad de apertura

depende del potencial de la

membrana

Dinámica Neuronal

Dinámica Neuronal

• Ecuación maestra:

1-β

Abierto

β α

1-α

Cerrado

AbiertoAbierto

AbiertoPP

dt

dP)1(

Dinámica Neuronal

• O equivalentemente:

donde:

Abierto

Equilibrio

AbiertoAbiertoPP

dt

dP

1,

Equilibrio

AbiertoP

Dinámica Neuronal

• En principio se necesitan varios cambios

conformacionales para abrir un canal.

• La probabilidad total será el producto de

las probabilidades.

• Por ejemplo para el canal de potasio del

modelo Hodgkin-Huxley se necesitan 4

cambios:

Dinámica Neuronal

• Canal de potasio HH

donde

40

nggKK

)(

)(

V

nVn

dt

dn

n

Dinámica Neuronal

• Variable de activación

-100 -80 -60 -40 -20 0 200,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

nin

f(V

)

V (mV)

Dinámica Neuronal

• Canal de sodio HH

hmggNaNa

30

)(

)(,

)(

)(

V

hVh

dt

dh

V

mVm

dt

dm

hm

Dinámica Neuronal

• Variables de activación e

inactivación

-100 -80 -60 -40 -20 0 200,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

min

f(V

)

V (mV)

-100 -80 -60 -40 -20 0 200,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

hin

f(V

)

V (mV)

Dinámica Neuronal

• Dinámica HH

(ver ejercicio 3)

)(/))((/

)(/))((/

)(/))((/

)()()(/43

VnVndtdn

VhVhdtdh

VmVmdtdm

IVVgVVngVVhmgdtCdV

n

h

m

extClClKKNaNa

Dinámica Neuronal

• Potencial de acción

Dinámica Neuronal

Propagación potencial

de acción

Dinámica Neuronal

Propagación potencial

de acción

axial aresistenci :

diametro :

),(4

),(),(),(

2

2

R

d

txx

V

R

dtxItxI

t

txVC

ion

extion

Dinámica Neuronal

Modelos multi-

compartimentales

Dinámica Neuronal

• Las neuronas son sistemas

dinámicos.

• Los estados de reposo

corresponden a equilibrios estables.

• Las oscilaciones periódicas estables

son ciclos límites.

• La transición entre un

comportamiento y otro involucra

una bifurcación.

Dinámica Neuronal

1. Potencial de membrana

2. Variables de excitación (corrientes

de sodio)

3. Variables de recuperación

(corrientes de potasio)

4. Variables lentas (corrientes de

calcio): bursts, adaptación.

Dinámica Neuronal

Dinámica Neuronal

Bifurcaciones saddle-node

Dinámica Neuronal

Bifurcaciones Hopf

Dinámica Neuronal

• La forma de la bifurcación controla:

1. La curva f-I (clase 1 o clase 2)

2. Cuales son los estímulos óptimos

para generar potenciales de acción

(integradores o resonadores)

3. Si los potenciales de acción son

todo o nada

Dinámica Neuronal

• Curvas f-I:

Tipo I

Modelo WB

Tipo II

Modelo HH

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8

0

20

40

60

80

100

f (H

z)

Iext

0 10 20 30

0

20

40

60

80

100

f (H

z)

Iext

Dinámica Neuronal

• Curvas f-I:

Tipo I

Modelo WB

Tipo II

Modelo HH

Dinámica Neuronal

• Altamente no-lineal

• Coexisten varias escalas de tiempo

• Puntos fijos y estados oscilatorios