Dinámica de Sistemas Dinámica de Sistemas Dinámica de Sistemas Dinámica de Sistemas

NeuronalesNeuronalesNeuronalesNeuronales

Germán MatoGermán MatoGermán MatoGermán Mato

Física Estadística e Interdisciplinaria Física Estadística e Interdisciplinaria Física Estadística e Interdisciplinaria Física Estadística e Interdisciplinaria

Centro Atómico BarilocheCentro Atómico BarilocheCentro Atómico BarilocheCentro Atómico Bariloche

CNEA y CONICETCNEA y CONICETCNEA y CONICETCNEA y CONICET

Escuela “J. A. Balseiro” 2009Modelado en Neurociencias

Dinámica Neuronal

• Membrana lipídica

• Bombas iónicas

Dinámica Neuronal

• Desbalance en la concentración de iones

• Diferencia de energía entre el inmterior y el exterior de la membrana:

eVE

Tk

E

Ion

Ion

Bout

in

=∆

∆−=

+

+

exp][

][

Dinámica Neuronal

• Ecuación de Nernst

• Para este valor del potencial el flujoneto de la corriente de iones esnulo.

=

+

+

in

outB

Ion

Ion

e

TkV

][

][ln

Dinámica Neuronal

• Normalmente hay mas de una especie iónica

• Ecuación de Goldman-Hodgkin-Katz:

++++

=outClinKinNa

inCloutKoutNaB

ClPKPNaP

ClPKPNaP

e

TkV

][][][

][][][ln

Dinámica Neuronal

• Corrientes iónicas a través de la membrana

)( ionionion VVgI −=

:ionV Potencial de inversión

:iong Conductancia

Dinámica Neuronal

)( ionionion VVgI −=

Dinámica Neuronal

• Exceso de cargas negativas en el interior de la membrana

•

• Exceso de sodio en el exterior:

• Exceso de potasio en el interior:

mVV 8050 −↔−≈

mVVNa 50≈

mVVK 80−≈

Dinámica Neuronal

Circuito equivalente

Dinámica Neuronal

• Si las conductancias iónicas fueran constantes, el sistema sería lineal y alcanzaría siempre algún estado de equilibrio.

∑ −−=ion

extion IIdt

dVC

• Conductancia iónicas no-lineales

• Los canales son altamente selectivos

Dinámica Neuronal

• Corriente a través de uno de los canales de la membrana

Dinámica Neuronal

• El canal se abre o cierra aleatoriamente

• Controlado por cambios conformacionales del canal

• La probabilidad de apertura depende del potencial de la membrana

Dinámica Neuronal

Dinámica Neuronal

• Ecuación maestra:

1-β

Abierto

β α

1-α

Cerrado

AbiertoAbiertoAbierto PPdt

dPβα −−= )1(

Dinámica Neuronal

• O equivalentemente:

donde:

τAbierto

Equilibrio

AbiertoAbierto PP

dt

dP −=

βατ

βαα

+=

+=

1,Equilibrio

AbiertoP

Dinámica Neuronal

• En principio se necesitan varios cambios conformacionales para abrir un canal.

• La probabilidad total será el producto de las probabilidades.

• Por ejemplo para el canal de potasio del modelo Hodgkin-Huxley se necesitan 4 cambios:

Dinámica Neuronal

• Canal de potasio HH

donde

40 ngg KK =

)(

)(

V

nVn

dt

dn

nτ−

= ∞

Dinámica Neuronal

• Variable de activación

-100 -80 -60 -40 -20 0 200,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

n inf(V

)

V (mV)

Dinámica Neuronal

• Canal de sodio HH

hmgg NaNa

30=

)(

)(,

)(

)(

V

hVh

dt

dh

V

mVm

dt

dm

hm ττ−

=−

= ∞∞

Dinámica Neuronal

• Variables de activación e inactivación

-100 -80 -60 -40 -20 0 200,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

min

f(V)

V (mV)

-100 -80 -60 -40 -20 0 200,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

h inf(V

)

V (mV)

Dinámica Neuronal

• Potencial de acción

Dinámica Neuronal

Propagación potencial

de acción

Dinámica Neuronal

Propagación potencial

de acción

axial aresistenci :

diametro :

),(4

),(),(),(

2

2

R

d

txx

V

R

dtxItxI

t

txVC

ionextion ∂

∂+−−=

∂∂

∑

Dinámica Neuronal

Modelos multi-

compartimentales

Dinámica Neuronal

• Las neuronas son sistemas dinámicos.

• Los estados de reposo corresponden a equilibrios estables.

• Las oscilaciones periódicas son ciclos límites.

• La transición entre un comportamiento y otro involucra una bifurcación.

Dinámica Neuronal

1. Potencial de membrana

2. Variables de excitación (corrientes de sodio)

3. Variables de recuperación(corrientes de potasio)

4. Variables lentas (corrientes de calcio): bursts, adaptación.

Dinámica Neuronal

Dinámica Neuronal

Bifurcaciones saddle-node

Dinámica Neuronal

Bifurcaciones Hopf

Dinámica Neuronal

• La forma de la bifurcación controla:

1. La curva f-I

2. Si los potenciales de acción son todo o nada

3. Si hay rebote post-inhibitorio

4. Cuales son los estímulos óptimospara generar potenciales de acción.

Dinámica Neuronal

• Curvas f-I:

Tipo IModelo WB

Tipo IIModelo HH

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,80

20

40

60

80

100

f (H

z)

Iext

0 10 20 300

20

40

60

80

100

f (H

z)

Iext

Dinámica Neuronal

• Altamente no-lineal

• Coexisten varias escalas de tiempo

• Puntos fijos y estados oscilatorios

Dinámica Neuronal

• Necesitamos aproximaciones.

• Aproximación basada en linealizarla dinámica alrededor del potencial de reposo.

• Modelo Integrate-and-Fire lineal.

Dinámica Neuronal

• Modelo Integrate-and-Fire lineal

• Frecuencia of oscilaciones:

0)(,1)( si

/

==

+−=+tVtV

IVdtdVτ

)/11ln(

11

ITf

−−==τ

Dinámica Neuronal

• Modelo Integrate-and-Fire lineal

• Trayectoria

0.0 0.3 0.6 0.9 1.20.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

t

V(t

)

Dinámica Neuronal

• Modelo Integrate-and-Fire lineal

• Curva f-I

0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,00,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

τf

I

Dinámica Neuronal

• Modelo Integrate-and-Fire lineal

• Es posible calcular analíticamente el potencial post-sináptico generado por una corriente. Por ejemplo si entonces)/exp()( synsynsyn tgtI τ−=

ττττ

−

−−−=∆

syn

syn

syn

ttgtV

)/exp()/exp()(

Dinámica Neuronal

• Stochastic response model

• No hay un umbral “rígido” sino una probabilidad por unidad de tiempo de generar un potencial de acción

( )[ ]{ })()(exp1ln)( VVVP −−−+= θαθααβ

-4 -2 0 2 40

1

2

3

4

5

P(V

)

V