Dinámica clásica como dinámica cuántica

observada

Julián López Carballal

Director: Alfredo Luis Aina

Resumen

La mecánica cuántica y la mecánica clásica son dos teorías completamente distintas.

Sin embargo, según el principio de correspondencia introducido por Niels Bohr [1],

la mecánica cuántica debe reducirse a la mecánica clásica en el límite apropiado. Es

un resultado conocido que la dinámica cuántica es aproximadamente clásica para

tiempos cortos si el estado inicial es “lo suficientemente clásico”, como por ejem-

plo un estado coherente [2]. En este trabajo, proponemos una modificación de la

dinámica cuántica consistente en proyecciones frecuentes sobre estados coherentes

(equivalentes a medir la amplitud compleja a) dando lugar a la dinámica clásica.

Abstract

Quantum mechanics and classical mechanics are two completely distinct theories.

However, according to the correspondence principle introduced by Niels Bohr [1],

quantum mechanics must reduce to classical mechanics in the appropiate limit. It is

known that quantum dynamics is approximately classical for short times if the initial

state is “classical enough”, e.g. a coherent state [2]. In this project, we propose a

modification of the quantum dynamics consisting in frequent projections onto cohe-

rent states (equivalent to measuring the complex amplitude a) giving rise to classical

dynamics.

Índice

1. Introducción 1

2. Objetivos 2

3. Metodología 3

4. Dinámica clásica 3

4.1. Régimen newtoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

4.2. Régimen liouvilliano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

5. Dinámica cuántica 5

5.1. Estados coherentes y aproximación lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

5.2. Observación continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

5.3. Contextualidad en la medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

6. Dispositivo experimental 16

7. Conclusiones 19

1. Introducción

El principio de correspondencia, introducido por Bohr [1], establece que la mecánica

cuántica debe reducirse a la mecánica clásica en el límite apropiado. Normalmente se

suele decir que en el llamado “límite clásico” ħh→ 0 se produce esta correspondencia en-

tre las dos teorías, aunque este límite tiene ciertas sutilezas [3] y no siempre reproduce

la mecánica clásica. Por ello, en este trabajo investigamos otro tipo de límite clásico, con-

sistente en la observación de la dinámica mientras tiene lugar, en nuestro caso mediante

la medida de la amplitud compleja de un haz de luz. Cuánticamente la medida adopta

la forma matemática de proyecciones frecuentes sobre estados coherentes, los estados de

luz considerados universalmente como más clásicos.

Como ejemplo bien conocido de dinámica cuántica que debe desparecer en el límite clá-

sico tenemos las reavivaciones cuánticas, un fenómeno que se da en una gran variedad de

sistemas cuánticos y medido por primera vez en 1991 [4] en el cual un paquete de ondas

inicialmente localizado en x evoluciona a tiempos cortos de manera aproximadamente

clásica con perodicidad Tcl . Después de varios periodos, se ensancha y deja de estar locali-

zado llegando incluso a encontrase extendido sobre toda la trayectoria clásica, fenómeno

conocido como colapso en este contexto. En una escala de tiempo Trev (normalmente

mucho más grande que Tcl) el paquete de ondas se relocaliza y vuelve a comportarse de

manera aproximadamente clásica, mientras que si consideramos la evolución cerca de

p/qTrev el sistema forma una superposición de q paquetes de ondas moviéndose por la

trayectoria clásica, dando lugar a estados no clásicos como gatos de Schrödinger para

p = 1, q = 2 [2]. De forma intuitiva, Tcl nos da el tiempo característico en el que el siste-

ma se comporta clásicamente, y Trev nos da el tiempo característico en el que empiezan a

surgir los primeros efectos cuánticos. A partir de este resultado, cabe preguntarse si hay

alguna manera de evitar que un paquete de ondas inicialmente localizado se disperse y

termine por dar estados no clásicos, modificando la dinámica cuántica de alguna manera

para obtener la dinámica clásica.

1

En concreto, en este trabajo estudiaremos la modificación de la dinámica que resulta de la

observación de la amplitud compleja, en sus partes real e imaginaria, que en este trabajo

se denotarán como x y p por ser formalmente equivalentes a la posición y momento lineal

de una partícula en una dimensión. La medida resultará cuánticamente de la proyección

frecuente del sistema observado sobre estados coherentes, ya que dichos estados están

localizados en x , p y por lo tanto son buenos candidatos para darnos una dinámica clásica

(si proyectásemos sobre estados no clásicos, no obtendríamos la dinámica clásica).

Para realizar esta observación del sistema no es necesario que exista un observador con-

creto o una intención explícita de medir por un observador humano: cualquier interacción

con un mundo exterior lo suficientemente complicado tiene el mismo efecto siempre que

el estado del mundo exterior sea lo suficientemente complejo para que no sea posible

apreciar el rastro que el sistema de interés deja sobre el mundo. Es la teoría de la deco-

herencia. [5].

2. Objetivos

El objetivo de este trabajo es intentar obtener la evolución clásica como la evolución cuán-

tica si realizamos medidas proyectivas de la amplitud compleja a de manera continua. En

óptica cuántica es usual describir la propagación de la onda como una dinámica genera-

da por cierto hamiltoniano de tal modo que se preserva la forma usual de las ecuaciones

de evolución típicas de la mecánica cuántica. Grosso modo el tiempo equivale en esta

imagen a la distacia recorrida. En este trabajo en particular, consideraremos el siguiente

hamiltoniano:

H = ħha†a+ħhχ(a†a)2,

donde a es el operador amplitud compleja del campo electromagnético que satisface la

siguiente regla de conmutación canónica [a, a†] = 1. Este hamiltoniano modela la propa-

gación de la luz en un medio óptico no lineal de tipo Kerr. La propagación resulta entonces

de resolver ecuaciones dinámicas típicas en cuántica en imagen de Heisenberg como por

ejemplo a = −i[a, H].

2

3. Metodología

El trabajo es principalmente teórico-analítico, analizando la dinámica clásica en la sección

4 y la dinámica cuántica en la 5. También proponemos posibles maneras de realizar la

medida cuántica de la amplitud compleja experimentalmente en la sección “6. Dispositivo

experimental”.

4. Dinámica clásica

4.1. Régimen newtoniano

Clásicamente el operador amplitud compleja a se convierte en la variable amplitud com-

pleja α. Por sencillez, seguiremos describiendo la evolución en forma de dinámica ge-

nerada por un hamiltoniano, sustituyendo conmutadores por paréntesis o corchetes de

Poisson. Clásicamente el hamiltoniano toma la forma:

Hc = |α|2 +χ|α|4 = Ω|α|2,

siendoΩ= 1+2χ|α|2. Obtenemos fácilmente la dinámica clásica usando que α= α, Hc,

donde ., . son los corchetes de Poisson, teniendo en cuenta que |α| es claramente una

constante del movimiento:

α(t) = α(0)e−iΩt , Ω= 1+ 2χ|α|2.

Esta es la evolución típica en un medio no lineal donde el índice de refracción depende

de la intensidad de la onda |α|2, y recordamos que en este modelo tiempo equivale esen-

cialmente a distancia recorrida. En este contexto se ha llamado a esta evolución temporal

la dinámica clásica newtoniana [6], en el que hay una trayectoria bien definida α(t).

3

4.2. Régimen liouvilliano

Adelantando contenido de la sección 5, vamos a investigar el concepto de colapso1 de una

distribución de probabilidad. El colapso en este contexto se da cuando una distribución de

probabilidad inicialmente localizada en x en la base de posiciones se ensancha y deja de

estar localizada hasta ocupar todas las trayectoria clásica, y por lo tanto su media decae

y tiende a cero. Clásicamente podemos elegir una distribución inicial para α parecida a

la distribución cuántica que estudiaremos:

Q(α′) =1π

e−|α′−α|2 =

1π|⟨α′|α⟩|2,

es decir, la distribución en estados coherentes del estado inicial cuántico (véase sección

“5. Dinámica cuántica”). Se obtiene que la evolución clásica promediada es

⟨α(t)⟩=−α0

(i − 2χ t)2exp

−4χ2 t2|α0|2

1+ 4χ2 t2

exp

−i t1+ 2χ|α0|2 + 4χ2 t2

1+ 4χ2 t2

.

Esta dinámica, que sí presenta un colapso a diferencia de la anterior, la denotaremos por

dinámica clásica liouvilliana.

Igualando la primera exponencial a 1/e obtenemos un tiempo característico de este co-

lapso clásico:

Tcol =1

p

4χ2(|α0|2 − 1)'

12χ|α0|

,

en consonancia con la derivación de [6] que da una estimación Tcol ∼ (χ|α0|p

2)−1

Como podría ser de esperar este tipo de promedio sobre condiciones iniciales desemboca

en una dinámica irreversible hacia un colapso sin reavivaciones (de nuevo definidas en

la sección 5), como muestra la figura para la parte real de ⟨α(t)⟩.1No seguimos aquí la definición de colapso de la función de ondas que se suele emplear en mecánica

cuántica

4

Figura 1: Colapso clásico para α0 = 1,χ = 0.01. Se representa ⟨Re(α)⟩ frente al tiempo.

5. Dinámica cuántica

Para elegir el hamiltoniano, nos hemos basado en ciertas consideraciones sobre la dinámi-

ca cuántica y su relacción con la dinámica clásica. Se puede construir una cuasidistribu-

ción de probabilidad conjunta W (x , p), llamada función de Wigner 2, cuyas distribuciones

marginales

f (x) =

∫

dp W (x , p), f (p) =

∫

d x W (x , p),

coinciden con la distribución de probabilidad en coordenadas y momentos respectiva-

mente, dadas por el módulo al cuadrado de las funciones de onda en representación de

coordenas y de momentos, |ψ(x)|2, |φ(p)|2. La evolución temporal de la función de Wig-

ner viene dada por una ecuación diferencial realmente compleja [7]

∂W∂ t=

2ħh

H sin

ħh2

←

∂x

→

∂p −←

∂p

→

∂x

W = H ←

∂x

→

∂p −←

∂p

→

∂x

W+ħh2

4H ←

∂x

→

∂p −←

∂p

→

∂x

3W+O(ħh4),

donde←

∂x indica derivada parcial respecto de x únicamente al término de la izquierda y

viceversa.2No es una distribución de probabilidad al uso, ya que puede tomar valores negativos en ciertas regiones

pequeñas del orden de ħhs. Este comportamiento se suele tomar como criterio de no clasicidad.

5

Esta estructura tan compleja para la ecuación diferencial que gobierna la dinámica recibe

el nombre de corchete de Moyal, ya que hasta primer orden en ħh coincide con el corchete

de Poisson clásico:

∂W∂ t= H, W= H, W+O(ħh)2.

En este sentido, la dinámica clásica sí que es el límite ħh→ 0 de la dinámica clásica.

Por otro lado, si un hamiltoniano cuántico no tiene términos de orden superior a x2, p2,

su dinámica será idéntica a la dinámica clásica, mientras que si contiene términos de or-

den superior su dinámica será cuántica; la dinámica del oscilador armónico cuántico es

completamente clásica en este aspecto. De esta manera, añadiendo una pequeña perturba-

ción al hamiltoniano del oscilador armónico obtenemos un comportamiento ligeramente

cuántico, y elegimos además una perturbación de tipo Kerr típica en el contexto de la

óptica.

Presentamos una evolución completamente cuántica para el valor medio de la amplitud

compleja cuando el estado inicial es coherente que muestra toda la complejidad y riqueza

de la evolución cuántica:

⟨a⟩= αe−2|α|2 sin2(χ t)e−i[(1+χ)t+|α|2 sin(2χ t)].

En la dinámica cuántica no observada (Figuras 2 y 3), el estado empieza dispersándose

inicialmente y en las primeras fases de la evolución, mientras oscila con periodo clásico:

la varianza de x va creciendo y el valor medio va amortiguándose. A partir de un cierto

momento, la varianza alcanza un valor estacionario y el valor medio llega a 0. Esto es lo

que se conoce como colapso, según hemos visto en la sección “4. Dinámica clásica” tiene

una explicación clásica considerado que la amplitud complejaα tiene cierta incertidumbre

o aleatoriedad inicial.

A partir de este punto, el estado comienza a disminuir su varianza y vuelven a emerger

de nuevo las oscilaciones con el periodo clásico. En la dinámica clásica liouvilliana sin

embargo no se obtienen las reavivaciones, pues su aparición depende crucialmente de que

6

Figura 2: Dinámica cuántica sin mediciones para α0 = 1,χ = 0.01 (mismas condiciones

iniciales que en la Figura 1). Se representa ⟨Re(α)⟩ frente al tiempo.

la energía inicial tome sólo valores discretos, como ocurre en óptica cuántica en términos

de fotones.

Podemos apreciar además las escalas temporales importantes del sistema (véase especial-

mente la Figura 3):

• Tcl =2πħh|E′(n)|

=2π

1+ 2χ nes el tiempo en el que un estado coherente realiza una osci-

lación clásica. En la dinámica newtoniana es el único parámetro temporal que define al

sistema.

• Tcol =1p

4χ2(|α0|2−1)' 1

2χ|α0|es el tiempo característico en el que un estado coherente

que está oscilando colapsa tanto clásica3como cuánticamente.

• Trev =2πħh

|E′′(n)/2|=

2πχ

es el tiempo en el que un estado coherente se dispersa y se

vuelve a recomponer (reviviscencia).

3en régimen liouvilliano

7

Figura 3: Dinámica cuántica sin mediciones para α0 = 3,χ = 0.01. Definimos aquí x =

⟨Re(a)⟩ y representamos su valor medio y varianza

5.1. Estados coherentes y aproximación lineal

Un ingrediente fundamental de la emergencia de la dinámica clásica desde una dinámica

cuántica observada es la aproximación lineal. La idea es que la dinámica cuántica va a ser

interrumpida cada poco tiempo, y que en ese tiempo tan corto la dinámica no lineal de

tipo Kerr se va a poder aproximar por una lineal. Para ello es crucial que tanto el estado

inicial como los estados a los que la medida irá reduciendo el sistema observado van a ser

estados coherentes. Los estados coherentes son los autoestados del operador amplitud

compleja a|α⟩ = α|α⟩, y por tanto los estados más parecidos a un estado de amplitud

compleja bien definida. Por ello van a jugar un papel esencial en todo este trabajo. e

Según la estadística de los estados coherentes, ⟨n⟩= |α|2 y ∆2n = ⟨n2⟩ − ⟨n⟩2 = |α|2.

Por lo tanto en el límite |α| → ∞ el error relativo tiende a 0, ∆n/⟨n⟩ = 1/|α| → 0 y

aproximar el término no lineal n como:

n2 ≈ n2 + 2n(n− n) + · · · ≈ 2nn− n2,

donde n= |α|2 representa el valor medio del número de fotones inicial, que es una cons-

tante de la evolución. Bajo esta aproximación, se demuestra fácilmente que un estado

coherente sigue siendo coherente pero con una amplitud compleja distinta, precisamente

8

aquella que se corresponde con la evolución clásica. De hecho es el operador amplitud

compleja el que evoluciona con la misma expresión clásica:

a(t) = a(0)e−iΩt , Ω= 1+ 2χ|α|2.

5.2. Observación continua

Consideramos un estado cualquiera representado por su matriz densidad ρ escrita en la

representación P de Glauber-Sudarshan:

ρ =

∫

d2 αP(α)|α⟩⟨α|, (1)

donde |α⟩ son los estados coherentes. Una de las propiedades de los estados coherentes

es que forman una base sobrecompleta. Para la ecuación anterior en particular, esto se

traduce en que en vez de tener una expansión como por ejemplo la que tendría ρ en la

base de posiciones

ρ =

∫

d x P(x , x ′) |x⟩ ⟨x ′| .

Usando la base de estados coherentes podemos expresar un estado arbitrario ρ emplean-

do únicamente los elementos diagonales. Esto parece indicar que la óptica cuántica es

una óptica clásica en la que la amplitud compleja siguiera la distribución de probabilidad

P(α), lo que se conoce a veces como el teorema de equivalencia óptica. Como natural-

mente la óptica cuántica no es la óptica clásica hay que pagar un precio por este teorema.

El precio a pagar es que para los estados no clásicos, P(α) deja de comportarse como una

función de probabilidad y se convierte en una distribución más singular que δ2(α−α0).

Ahora pasamos a calcular la trayectoria cuántica observada, que será la sucesión de una

evolución cuántica coherente generada por el hamiltoaniano H interrumpida por unos

saltos repentinos entre dos valores distintos α j y α j+1 cada cierto intervalo τ como re-

sultado de la medida cuántica. En este contexto las α representan amplitudes complejas

de estados coherentes en los que queda el estado reducido tras cada medida. Es decir,

9

que cada medida proyecta el estado en el que se encuentra el sistema sobre un estado

coherente. Nos tenemos que preocupar únicamente de la probabilidad de “saltar” de α j

a α j+1 (a veces llamada la probabilidad condicionada de obtener α j+1 habiendo obtenido

α j en la medida anterior). Definimos esta probabilidad de salto de la manera habitual en

mecánica cuántica:

p(α j+1|α j) = |⟨α j+1 |α j(τ)⟩ |2 = | ⟨α j+1|U(τ) |α j⟩ |2.

En principio, la probabilidad de salto podría haber sido función de todos los valores an-

teriores de la amplitud compleja: p(α j+1|α j,α j−1, . . . ,α1,α0), es decir, podría depender

de cualquier resultado anterior de la medida α j−1,α j−2, . . . . La mecánica cuántica nos res-

tringe fuertemente esta dependencia mediante la idea de colapso de la función de ondas,

que borra todo el historial del sistema. Por ello sólo depende del valor de la amplitud

compleja en el instante inmediatamente anterior.

Para construir la probabilidad de obtener los resultados α1,α2, . . .αN en una serie de N

medidas a intervalos regulares de tiempo τ multiplicamos la probabilidades de todos los

saltos consecutivos:

p(α1,α2, . . .αN ) =

∫

d2α0p(αN |αN−1)p(αN−1|αN−2) · · · p(α1|α0)P(α0).

Si tenemos que τ ∼ Tcl , la aproximación lineal es válida con lo que un estado coherente

sigue siendo coherente pero con una amplitud compleja distinta. Ésta es exactamente la

que corresponde a la evolución clásica. La probabilidad condicionada resulta entonces el

producto escalar de dos estados coherentes

p(α j+1|α j) = exp

−|α j+1 − e−iΩτα j|2

. (2)

La trayectoria más probable será aquella que maximice todos los p(α j+1|α j) que es pre-

cisamente α j+1 = e−iΩτα j. La trayectoria más probable teniendo en cuenta todos los α j

es:

10

α(t) = e−iΩNτα0 = e−iΩtα0.

Podemos ir más allá de la trayectoria más probable y considerar toda la estadística del

estado durante la evolución. Para ello consideramos la distribución de probabilidad final

para α= αN si no guardamos registro de las N − 1 medidas realizadas antes, es decir:

p(α) =

∫

d2α0Q(α|α0)P(α0),

siendo

Q(α|α0) =1πN

∫

d2α1 · · · d2αN−1p(αN |αN−1)p(αN−1|αN−2) · · · p(α1|α0),

donde los factores π aparecen por normalización. El resultado es, usando la forma gaus-

siana de (2),

Q(α|α0) =1πN

exp

−|α− e−iΩNτα0|2

N

, (3)

hasta aquí el resultado es completamente general, y la generalidad la aporta la P(α0):

la ecuación (1) nos garantiza que el estado inicial es una matriz densidad arbitraria.

Podemos apreciar que Nτ es el tiempo t que ha transcurrido desde el inicio. Vemos que

la evolución consiste en la trayectoria clásica con una incertidumbre adicional por las

medidas realizadas. Para esto no influye si el estado inicial es clásico o no clásico; el

resultado es el mismo, ya que la probabilidad de salto depende del estado anterior, y con

la primera proyección obtenemos ya un estado coherente. Con esto es posible calcular

cualquier evaluación estadística sobre la evolución del estado observado.

⟨ f (α)⟩=∫

d2αd2α0 f (α)

∫

Q(α|α0)P(α0).

Si escogemos que P(α0) sea una delta de Dirac centrada en α0 por representar un estado

coherente tenemos:

⟨α⟩= ⟨α0⟩ e−iΩt , ⟨|α− ⟨α⟩ |2⟩= N = t/τ (4)

Se puede comprobar que la función Q(α|α0) (3) cumple la ecuación de Fokker-Planck:

11

∂Q∂ t= Ω

x∂Q∂ p− p∂Q∂ x

+1

4τ

∂ 2Q∂ x2

+∂ 2Q∂ p2

donde hemos considerado α = x + ip. Esta ecuación confirma la difusión característica

del proceso.

El hecho de medir frecuentemente afecta al sistema, y hace que la dinámica que obte-

nemos no sea exactamente la dinámica clásica (newtoniana). En concreto, aunque en la

ecuación (4) el valor medio de α sí que sigue la trayectoria clásica, la varianza crece como

t/τ. Sin embargo, si consideramos la varianza habitual de un estado coherente, que suele

ser Var(α) = |α|, cuando |α| N la varianza introducida por la medida es despreciable y

la trayectoria α1,α2, . . .αN es perfectamente clásica.

Finalmente, para que la proyección frecuente dé dinámica clásica, es crucial que el estado

sobre el que proyectemos sea un estado “clásico”. Si por ejemplo proyectamos sobre esta-

dos número, que son ortogonales y estacionarios bajo este hamiltoniano, la probabilidad

de saltar del estado |n⟩ al |m⟩ con m 6= n es simplemente 0:

p(m, n) = | ⟨m|U(τ) |n⟩ |2 = 0.

La explicación es sencilla: la primera medida reduce el sistema a un autoestado del ha-

miltoniano, y precisamente por ser estacionario ya no evoluciona más.

5.3. Contextualidad en la medida

Podría parecer que si medimos frecuentemente al sistema, en el límite en el que la medida

es muy intensa (N → ∞ en la ecuación (3)) la dinámica se detiene, lo que se conoce

como efecto Zenón cuántico. En este fenómeno, cuando incrementamos la frecuencia de

la medida el sistema va evolucionando más y más lentamente, y en el límite en el que la

medida es infinitamente frecuente la dinámica se congela. Esto sin embargo, no sucede

en este caso.

12

Para explicar la ausencia de efecto Zenón, vamos a considerar dos procesos de medida.

En el primero nos preguntamos si el sistema sigue en el estado inicial |α0⟩ o no:

∆(0) = |α0⟩ ⟨α0| , ∆(¬0) = I − |α0⟩ ⟨α0|

Para esta medida, tenemos que

∆(0) +∆(¬0) = I , ∆(0)∆(¬0) =∆(¬0)∆(0) = 0

Expandimos ahora en serie de Taylor la probabilidad de quedarse en el mismo estado

coherente α0

⟨α0| e−iHτ/ħh |α0⟩ ' 1− iHħhτ−

H2

2ħh2τ2 + . . . .

Por lo tanto, la probabilidad de encontrar el resultado ∆(0) es

p(0) =

⟨α0| e−iHτ/ħh |α0⟩

2 ' 1−∆2Hτ2

ħh2 ' e−∆2Hτ2/ħh2

, (5)

donde ∆2H es la varianza del hamitoniano en el estado inicial ∆2H = H2 −H2.

De acuerdo con la interpretación usual supondremos que tras la medida el estado queda

en el estado |α0⟩.

Por tanto, la probabilidad de que al cabo de un tiempo t en el que se han hecho N medidas

en intervalos τ = t/N hayamos obtenido que el sistema seguía siempre en el mismo

estado inicial |α0⟩ es

P = p(0)N ' e−N∆2Hτ2/ħh2' e−∆

2Ht2/(Nħh2).

Para un tiempo de evolución fijo t, si aumentamos el número de medidas N , es decir,

aumentamos la frecuencia de observación, encontramos el efecto Zenón en forma de una

probabilidad de supervivencia del estado inicial que tiende a la unidad

P → 1 cuando N →∞.

13

En el segundo procedimiento de medida, que es el que hemos usado en los apartados

anteriores, medimos en cuál de todos los posibles |α⟩ se encuentra el sistema y después nos

preguntamos si está precisamente en α= α0. Esto viene descrito por el siguiente proyector:

∆(α) =1π|α⟩ ⟨α| .

Para este tipo de medidas, consideramos ahora todo el continuo de estados coherentes α,

el plano complejo.

∫

d2α∆(α) = I , ∆(α)∆(β) = exp

−12|α− β |2

|α⟩ ⟨β | .

En este caso, como los proyectores no son ortogonales, incluso en el límite de medida

intensa tenemos una probabilidad no nula de salto entre estados coherentes exp(−|α−

β |2). Se verá más tarde que es esto lo que hace que haya una difusión entre estados

coherentes cercanos.

La probabilidad de que en la primera medida obtengamos el resultado α= α0, es decir el

estado inicial es

p(α0) =1π

p(0),

con la misma p(0) de la ecuación (5). Naturalmente la única diferencia es el factor 1/π,

pero esa pequeña diferencia es crucial para el resultado final.

Al realizar la medida sobre un estado arbitrario y realizar un promedio sobre todos los

resultados posibles, nos queda

ρ′promedio =1π

∫

d2β∆(β)ρ∆(β)†,

mientras que de acuerdo con la interpretación usual, para cada realización particular de

este experimento, el estado queda reducido al estado coherente |α⟩ correspondiente al

resultado de la medida α, con probabilidad ⟨α|ρ |α⟩.

ρ′ = |α⟩ ⟨α|

14

Con esto ya podemos calcular la probabilidad de que al cabo de un tiempo t en el que

se han hecho N medidas en intervalos τ = t/N hayamos comprobado que el sistema

seguía siempre en el mismo estado, es decir, nos preguntamos en qué estado coherente se

encuentra el sistema entre todos los posibles y obtenemos siempre α = α0. El resultado

es

P = p(0)N '1πN

e−∆2Ht2/(Nħh2).

Ahora, a diferencia del caso anterior no hay efecto Zenón, ya que debido al factor 1/π la

probabilidad de supervivencia del estado inicial tiende a cero

P → 0 cuando N →∞.

Si ahora no guardamos registro del resultado de las medidas, relajamos un poco las res-

tricciones, ya que en vez de pedir que todos los resultados de la medida sean α= α0, ahora

sólo estamos imponiendo que de media, el resultado sea ⟨α⟩ = α0. En este caso permi-

timos fluctuaciones alrededor de α0 para cada una de las realizaciones del experimento

siempre que estas fluctuaciones tengan media nula.

Tomando el límite en (3),

Q(α|α0) = lımN→∞

1πN

exp

−|α− e−iΩNτα0|2

N

= 0.

A su vez las ecuaciones de valores medios (4) nos dan más información de lo que está

sucediendo:

lımN→∞

⟨α⟩= α0e−iΩt , lımN→∞

⟨|α− ⟨α⟩ |2⟩=∞.

La interpretación física de este límite es que, aunque aumentamos la intensidad de la

medida y clásicamente medir más frecuentemente debiera darnos más información, en

mecánica cuántica perturbamos tanto al sistema que mayor intensidad de medida no

se traduce en más información. Aunque es cierto que en promedio la trayectoria sigue

siendo la clásica, la varianza diverge, y por lo tanto no podemos asegurar en qué estado

coherente se va encontrar el sistema, mostrando la difusión del proceso.

15

En resumen, al tomar el límite de medida intensa N → ∞, si nos preguntamos si el

estado coherente sigue en el estado |α0⟩ o está en cualquier otro estado obtenemos efecto

Zenón. Por otro lado, si nos preguntamos en qué estado coherente se encuentra nuestro

sistema dentro del continuo, y bien suponemos que siempre obtenemos al medir el estado

coherente α = α0, o bien suponemos que de media ⟨α⟩ = α0, entonces no hay efecto

Zenón. Por lo tanto, podemos decir que tenemos un efecto Zenón contextual que depende

de si la medida es discreta o continua.

6. Dispositivo experimental

Para realizar esta proyección sobre estados coherentes experimentalmente, lo que hace-

mos es acoplar de manera periódica a nuestro sistema principal con hamiltoniano H(Q, P)

a un sistema auxiliar que extraerá información del primero, consistente en un detector do-

ble homodino que detecta dos cuadraturas independientes [Px , Py] = 0. El hamiltoniano

total queda:

HT = H(Q, P) +λ

Q Px + P Py

∞∑

n=0

δ(t − nτ) = H +HI .

Como la dinámica de las mediciones está modelizada por una delta de Dirac, podemos

suponer que para cada uno de estos instantes de medición tm = nτ, la evolución coherente

generada por el hamiltoniano H es tan lenta que está “congelada” y no interviene. El

operador evolución en t = tm viene dado por [8]:

UI = exp

−iλ

Q Px + P Py

.

Expresando las operadores Q, P en función de a, a† podemos escribir el hamiltoniano de

interacción como:

HI = λ

Q Px + P Py

= λ

a b† + a† b

,

donde definimos

b =1p

2(Px + iPy), b† =

1p

2(Px − iPy),

16

y b, b† sí conmutan porque están construidos como una combinación lineal de operadores

que conmutan.

Utlizando los autoestados del operador b, es decir b|β⟩ = β |β⟩, podemos dar una ima-

gen muy sencilla de la evolución del estado observado si no guardamos registro de los

resultados de la medida en el sistema auxiliar:

ρdespues = UIρU†I =

∫

d2β Paux(β)e−iλ(aβ∗+a†β)ρantese

iλ(aβ∗+a†β), Paux(β) = ⟨β |ρaux|β⟩,

donde ρantes y ρdespues son las matrices densidad antes y después de la medida, respecti-

vamente.

Tenemos entonces que el efecto de la observación es una serie de desplazamientos aleato-

rios. El operador e−iλ(aβ∗+a†β) se conoce como operador desplazamiento y actuando sobre

un estado coherente lo convierte en otro coherente con un valor de la amplitud compleja

desplazado:

e−iλ(aβ∗+a†β)|α⟩= |α− iλβ⟩.

Consideraremos ahora en más detalle el proceso de medida. El estado inicial lo tomaremos

como estados puros por sencillez:

|ψ⟩ ⊗ |ϕ⟩

donde |ψ⟩ es el estado del sistema principal y |ϕ⟩ es el estado del sistema auxiliar. El

estado después de la medida queda

U |ψ⟩|ϕ⟩= e−iλab†e−iλa† b|ψ⟩eλ

2 b† b/2|ϕ⟩,

donde se ha usado una versión de la fórmula de Baker, Campbell y Hausdorff aprovechan-

do que [b, b†] = 0

e−iλ(ab†+a† b) = e−iλab†e−iλa† beλ

2 b† b/2.

17

Introducimos la resolución de la identidad en términos de estados coherentes entre las

dos exponenciales

U |ψ⟩|ϕ⟩=1π

∫

d2αe−iλab†|α⟩⟨α|e−iλa† b|ψ⟩eλ

2 b† b/2|ϕ⟩,

que lleva a que, como los estados coherentes son autovectores del operador a,

U |ψ⟩|ϕ⟩=1π

∫

d2α⟨α|ψ⟩|α⟩e−iλ(αb†+α∗b)eλ2 b† b/2|ϕ⟩,

que podemos expresar como

U |ψ⟩|ϕ⟩=1π

∫

d2α⟨α|ψ⟩|α⟩|ϕ(α)⟩,

siendo

|ϕ(α)⟩= e−iλ(αb†+α∗b)eλ2 b† b/2|ϕ⟩.

Vamos a ver este resultado en detalle. Recordando que b = (Px + iPy)/p

2 siendo Px ,y

sendos operadores momento en espacios de Hilbert distintos con sus correspondientes

operadores posición X , Y tales que [X , Px] = [Y, Py] = i, siendo |x , y⟩, |px , py⟩ los auto-

estados asociados con

⟨x , y|px , py⟩=1

2πei(px x+py y). (6)

Como los momentos generan las traslaciones en posiciones lo más sensato es medir posi-

ciones con lo que vamos a calcular

⟨x , y|ϕ(α)⟩= ⟨x , y|e−iλ(αb†+α∗b)eλ2 b† b/2|ϕ⟩,

para ver en qué estado queda reducido nuestro sistema y con qué probabilidad.

Usemos que

α=1p

2(q+ ip) αb† +α∗b = qPx + pPy b† b =

12

P2x + P2

y

.

En ⟨x , y|ϕ(α)⟩ introducimos una apropiada resolución de la identidad en momentos para

escribir

⟨x , y|ϕ(α)⟩=∫

dpx dpy⟨x , y|px , py⟩e−iλ(qpx+ppy)eλ2

p2x+p2

y

/4⟨px , py |ϕ⟩.

18

Como estado sonda cogemos la siempre útil Gaussiana centrada en el origen que en re-

presetanción de momentos

⟨px , py |ϕ⟩=σ2

4πe−σ

2

p2x+p2

y

/4.

Además, supondremos que λ= σ, lo que hace que desparezcan las exponenciales reales

y sólo queden complejas, cuya integral en momentos da sendas deltas de Dirac, usando

(6)

⟨x , y|ϕ(α)⟩=λ2

2δ (λq− x)δ (λp− y) .

Por tanto el estado reducido del sistema dependiente del resultado x , y en la medida de

X Y en el sistema auxiliar es

⟨x , y|U |ψ⟩|ϕ⟩=2π

∫

dqdp⟨α|ψ⟩|α⟩⟨x , y|ϕ(α)⟩,

y usando apropiadamente las deltas en ⟨x , y|ϕ(α)⟩

⟨x , y|U |ϕ⟩=1π|α⟩⟨α|, α=

1p

2(x + i y) .

⟨x , y|U |ψ⟩|ϕ⟩=1π⟨α|ψ⟩ |α⟩

Con lo cual, el estado final es un estado coherente. Este resultado coincide con otros

desarrollos paralelos [8].

7. Conclusiones

En este trabajo hemos estudiado cómo se relacciona la dinámica cuántica de un siste-

ma óptico con un término no lineal Kerr en el hamiltoniano con su homólogo clásico,

en dos regímenes distintos: newtoniano, donde el sistema oscila clásicamente sin amor-

tiguamiento, y liouvilliano, donde un densidad de probabilidad clásica consigue imitar el

colapso inicial de la dinámica cuántica. En la dinámica cuántica se dan reviviscencias o

19

reavivaciones, donde la densidad de probabilidad cuántica |ψ(x)|2 consigue recomponer-

se y volver a oscilar con período clásico Tcl . Cuando consideramos la evolución cuántica

con proyecciones frecuentes cada cierto intervalo τ ∼ Tcl y aprovechando la validez de

la aproximación lineal, encontramos que la dinámica sigue una trayectoria clásica, cuyo

valor medio sigue la trayectoria clásica newtoniana, y que su varianza crece como t/τ,

es decir, con el número de medidas. Sin embargo, como en los sistemas clásicos reales

las fluctuaciones de la amplitud ∆α superan ampliamente las puramente cuánticas, en

general ∆α N y la varianza introducida por la medida es despreciable, de modo que

la trayectoria α1,α2, . . .αN es perfectamente clásica. Por lo tanto para alcanzar el límite

clásico vemos que son necesarias dos condiciones: el sistema debe estar medido frecuen-

temente para que la dinámica no llegue a colapsar (τ ∼ Tcl), y además las fluctuaciones

de la amplitud ∆α deben tener un valor suficientemente grande (∆α N = t/τ) .

Referencias

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[2] R.W. Robinett. Quantum wave packet revivals. Physics Reports, 392(1):1 – 119, 2004.

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[3] U. Klein. What is the limit ħh→ 0 of quantum theory? American Journal of Physics,

80(11):1009–1016, 2012. arXiv:1201.0150v4.

[4] John A. Yeazell and C. R. Stroud. Observation of fractional revivals in the evolution

of a rydberg atomic wave packet. Phys. Rev. A, 43:5153–5156, May 1991.

[5] Tanmoy Bhattacharya, Salman Habib, and Kurt Jacobs. The emergence of classi-

cal dynamics in a quantum world. Los Alamos Science 27, 110, 2004. arXiv:quant-

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[6] Adélcio C. Oliveira. Classical limit of quantum mechanics induced by continuous

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[7] D. B. Fairlie T. L. Curtright and C. K. Zachos. A concise treatise on quantum mechanics

in phase space. World Scientific, 2014.

[8] A. J. Scott and G. J. Milburn. Quantum nonlinear dynamics of continuously measured

systems. Phys. Rev. A, 63:042101, Mar 2001. arXiv:quant-ph/0008108v2.

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