Dinámica de Sistemas - Modelo_Contagio deenfermedadCamilo Bernal

6 de julio de 2012

Índice1. Descripción del problema 1

2. Diagramas de Causa y efecto 2

3. Modelo de simulación 4

4. Resultados 54.1. Escenario 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54.2. Resultados de escenario 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54.3. Escenario 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74.4. Resultados de escenario 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84.5. Escenario 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.6. Resultados de escenario 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1. Descripción del problemaEl problema que se pretende modelar implica el análisis de comportamiento

de una enfermedad contagiosa durante un determinado período de tiempo queva desde el instante t0 hasta el instante t1. Se tiene una población inicial enla cual aparece el agente infeccioso. Inicialmente las personas contagian a otraspersonas cercanas a ellas a una tasa relativamente alta. Las personas infectadascaen en un nuevo estado llamado enfermedad y después evolucionarán a otroestado de acuerdo al desarrollo del agente infeccioso en el cuerpo, las personasenfermas tendrán dos posibilidades: recuperarse o morir. Adicional a esto, laspersonas que hayan logrado recuperarse de la enfermedad desarrollarán defensascontra la misma y la probabilidad de infectarse será menor.

El objetivo fundamental del modelo es analizar el comportamiento de laenfermedad a través del tiempo y el impacto que tendrá sobre las personas.

A continuación se presenta una lista de los datos que se emplearán en elmodelo.

P.Sana = Poblacion inicial sin enfermedad

P.Enferma =´ t1

t0Contagios+P.Recaıda−P.Recuperada−P.Muerta δt

P.Recuperada =´ t1

t0Recuperados−Recaıdos δt

P.Muerta =´ t1

t0Muertes δt

Contagios = P. Sana ∗ TC(Tasa de contagio)

Muertes = P.Enferma ∗ TM(Tasa deMuertes)

Recuperados = P.Enferma ∗ TR

Recaıdas = (P. Sana+ P.Recuperada) ∗ TREC(Tasa deRecaıdas)

PC = Probabilidad de contacto

PCG = Probabilidad de contagio

PREC = Probabilidad de recaer

PR = Probabilidad de recuperacion

PM = Probabilidad demuerte

TC = PC ∗ PCG

TR = PR

TM = PM

TREC = PC ∗ PRE

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2. Diagramas de Causa y efectoLa figura 1 muestra un diagrama de causa y efecto centrado en las muertes

debidas a la enfermedad.

Figura 1: Diagrama de Causa y efecto

Fuente: Autor

En el diagrama se identifican como causas fundamentales de muerte de laspersonas los contagios y las recaídas posteriores. Comúnmente la defensa des-plegada por el organismo humano suele ser más rápida que la mutación de losagentes infecciosos, pero existen casos muy importantes en los cuales el organis-mo ’pierde la batalla’ contra las enfermedades en el largo plazo.

La esencia del modelo en su forma más básica consistirá en reconocer lainteracción entre los diversos elementos del sistema. Se busca que los primerosplanteamientos sean más sencillos y su complejidad vaya aumentando según elnivel de comprensión del problema que estamos teniendo. La figura 2 muestra undiagrama del modelo causal que representa la concepción esencial del problemaplanteado.

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Figura 2: Modelo causal

Fuente: Autor

Los cuadros presentados en color representan las variables de nivel, los re-cuadros en blanco representan las variables auxiliares y las letras sin recuadrorepresentan las contantes del modelo.

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3. Modelo de simulaciónPara realizar el modelo de simulación se hizo uso del software Vensim V5.11A

en su versión de prueba1 y se intenta contemplar varios escenarios. La figura 3muestra el aspecto del modelo planteado utilizando diagramas de Forrester enel software mencionado.

Figura 3: Diagrama de Forrester - Vensim

Fuente: Autor

1Esta versión impide guardar y otras tantas cosas, una gran desventaja de educar a laspersonas en software privativo

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4. ResultadosLos resultados del ejercicio de simulación dependerán del escenario que se

quiera considerar. Para este modelo se realizó la simulación para un total de 10años mes tras mes contemplando tres escenarios diferentes. A continuación sedescriben los tres escenarios con sus respectivos resultados.

4.1. Escenario 1Se concibe la aparición de una infección de muy alto contagio y alta ta-

sa de mortalidad, adicionalmente la tasa de recuperación es baja y la tasa derecaídos bastante alta. Este tipo de comportamiento puede representar el esce-nario de aparición de una súper-bacteria para la cual no se encuentra cura. Losparámetros considerados se muestran a continuación.

Población inicial: 100 personas

Duración: 10 años

Unidad de tiempo: meses

Tasa de contagio: 50% (de las personas sanas)

Tasa de muerte: 50% (de las personas enfermas)

Tasa de recuperación: 50% (de las personas enfermas)

Tasa de recaída: 40% (de las personas recuperadas)

4.2. Resultados de escenario 1Al cabo de seis meses se ha enfermado la gran mayoría de la población

(Figura 4).

Figura 4: P. Sana - Escenario 1

Fuente: Autor

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La población enferma aumenta muy rápidamente los primeros dos meses yal cabo de año y medio ha desaparecido casi por completo (Figura 5).

Figura 5: P. Enferma - Escenario 1

Fuente: Autor

La Población recuperada en realidad no tiene oportunidad en este escenario,debido a que la tasa de muerte es demasiado alta, al igual que la posibilidad derecaer. Se puede observar la aparición de valores negativos, cuando el sistemaintenta buscar un equilibrio global en su comportamiento sin que se halla dadorango para la población recuperada; obviamente sólo los valores positivos hande tener algún significado en la práctica (Figura 6).

Figura 6: P. Recuperada - Escenario 1

Fuente: Autor

A la enfermedad le toma aproximadamente 2 años acabar con la población.

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La mortalidad crece muy rápido el primer año y empieza a disminuir el ritmo alos 18 meses (Figura 7).

Figura 7: P. Muerta - Escenario 1

Fuente: Autor

La figura 8 muestra el comportamiento de la población enferma en el primerescenario junto con el comportamiento de los principales factores asociados.

Figura 8: Causas P. Enferma - Escenario 1

Fuente: Autor

4.3. Escenario 2El siguiente escenario considera la aparición de una agente infeccioso cuya

tasa de contagio puede considerarse mediana, alta tasa de muerte y un rápidodesarrollo de las defensas del cuerpo, con lo cual la tasa de recaída es mucho

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más baja. Este tipo de comportamiento puede representar la mutación de unagripe ante la cual los antibióticos no responden adecuadamente en una ciertaproporción de la población y requiere tiempo para que sea el cuerpo humanoquien se encargue de crear los mecanismos más eficaces de manera natural.

Población inicial: 100 personasDuración: 10 añosUnidad de tiempo: mesesTasa de contagio: 20% (de las personas sanas)Tasa de muerte: 50% (de las personas enfermas)Tasa de recuperación: 50% (de las personas enfermas)Tasa de recaída: 5% (de las personas recuperadas)

4.4. Resultados de escenario 2El descenso de la población sana es especialmente rápido durante el primer

año. Al cabo de 18 meses ha desaparecido la gran mayoría de esta población(Figura 9)

Figura 9: P. Sana - Escenario 2

Fuente: Autor

La población enferma aumenta muy rápido y alcanza su máximo aproxima-damente a los dos meses de la aparición del agente infeccioso; a partir de estepunto empieza a disminuir rápidamente durante el siguiente año (Figura 10)

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Figura 10: P. Enferma - Escenario 2

Fuente: Autor

El número de personas recuperadas aumenta rápidamente durante el primeraño. Después de este período continuará disminuyendo durante todo el períodoconsiderado (Figura 16)

Figura 11: P. Recuperada - Escenario 2

Fuente: Autor

El número de muertes crece de una manera especialmente importante duran-te el primer año en el cual desaparece aproximadamente el 75% de la población;después tiende a disminuir hasta que desaparecen casi todas las personas al finalde los 10 años (Figura 12).

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Figura 12: P. Muerta - Escenario 2

Fuente: Autor

La figura 13 muestra el comportamiento de la población enferma en el segun-do escenario junto con el comportamiento de los principales factores asociados.

Figura 13: Causas P. Enferma - Escenario 2

Fuente: Autor

4.5. Escenario 3El último escenario considerado representa el caso de una enfermedad in-

curable, como por ejemplo enfermedades relacionadas con el sistema genético oalgún tipo de virus especialmente agresivo y mortal, como el virus el VIH-SIDA.En este caso se considera una baja tasa de contagio, una altísima tasa de muertey una tasa de recaída media.

Población inicial: 100 personas

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Duración: 10 añosUnidad de tiempo: mesesTasa de contagio: 10% (de las personas sanas)Tasa de muerte: 80% (de las personas enfermas)Tasa de recuperación: 20% (de las personas enfermas)Tasa de recaída: 30% (de las personas recuperadas)

4.6. Resultados de escenario 3Aproximadamente las tres cuartas partes de la población sana enfermarán

durante el primer año, al resto le tomará alrededor de 2 años adicionales (Figura14)

Figura 14: P. Sana - Escenario 3

Fuente: Autor

Durante el primer mes y parte del segundo se enfermará la tercera parte dela población; al resto le tomará aproximadamente un año y medio enfermarsecompletamente (Figura 15)

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Figura 15: P. Enferma - Escenario 3

Fuente: Autor

En los primeros dos años se logran recuperar alrededor de 10 personas, antesde recaer nuevamente (Figura 16)

Figura 16: P. Recuperada - Escenario 3

Fuente: Autor

Bajo este escenario las tres cuartas partes de la población morirán en losprimeros 18 meses, al resto le tomará un poco más de tiempo y al final de los10 años lograrán sobrevivir unos pocos (Figura 17)

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Figura 17: P. Muerta - Escenario 3

Fuente: Autor

La figura 18 muestra el comportamiento de la población enferma en el segun-do escenario junto con el comportamiento de los principales factores asociados.

Figura 18: Causas P. Enferma - Escenario 3

Fuente: Autor

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