Dinámica

Definiciones Sistemas sin amortiguacion Resortes en paralelo Resortes en serie Diagrama de cuerpo libre Ley del movimiento de Newton El pincipio de D’Alembert Solucion a la ecuacion diferencial del movimiento Sistemas de un grado de libertad con amortiguacion Respuesta de sistemas con un grado de libertad a exitaciones armonicas

Dinamica estructural

Juan Carlos Castro Medina

Universidad Pedagogica y Tecnologica de ColombiaEspecializacion en estructuras

2 de marzo de 2012

J. C. Castro-Medina UPTC

Indice

1 Definiciones

2 Sistemas sin amortiguacion

3 Resortes en paralelo

4 Resortes en serie

5 Diagrama de cuerpo libre

6 Ley del movimiento de Newton

7 El pincipio de D’Alembert

8 Solucion a la ecuacion diferencial del movimiento

9 Sistemas de un grado de libertad con amortiguacion

10 Respuesta de sistemas con un grado de libertad a exitacionesarmonicas

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1 Definiciones

4 Resortes en serie

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1 Definiciones

4 Resortes en serie

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1 Definiciones

4 Resortes en serie

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1 Definiciones

4 Resortes en serie

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1 Definiciones

4 Resortes en serie

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1 Definiciones

4 Resortes en serie

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4 Resortes en serie

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1 Definiciones

4 Resortes en serie

Indice

1 Definiciones

4 Resortes en serie

Definiciones

Modelo matematico: es la designacion simbolica del sistemaidealizado de sustitucion que incluye todas las simplificacionesimpuestas al problema fısico.

Grados de libertad : Es el numero de coordenadasindependientes necesario para especificar la configuracion oposicion de un sistema en cualquier instante de tiempo.

Definiciones

Modelo matematico: es la designacion simbolica del sistemaidealizado de sustitucion que incluye todas las simplificacionesimpuestas al problema fısico.Grados de libertad : Es el numero de coordenadasindependientes necesario para especificar la configuracion oposicion de un sistema en cualquier instante de tiempo.

Los modelos matematicos de un grado de libertad serepresentan asi:

Un elemento de masa m, que representa la la masa opropiedad de inercia de la estructura.

Un elemento resorte k , que representa las fuerzas internas delsistema y la capacidad de la estructura de almacenar energıa

potencial.

Un elemento amortiguacion c, que representa lascaracterısticas friccionales y las perdidas de energıa delsistema.

La fuerza de excitacion F(t) que representa las fuerzasexteriores que actuan sobre el sistema estructural.

Los elementos puros no existen en nuestro mundo fısico y quelos modelos matematicos son idealizaciones conceptuales de

sistemas reales

Sistemas sin amortiguacion

Condiciones iniciales

Las dos figuras representan modelos matematicosdinamicamente equivalentes.La masa m esta restringida por la fuerza k del resorte amoverse linealmenteLa fuerza k en el modelo representa la resistencia delelemento el cual depende de modelos constitutivos, Inercia yLa fuerza es directamente proporcional al modelo constitutivoasi: F ∝ ky ¡¡¡¡¡ojo esto rompe!!!!

Condiciones inicialesLas dos figuras representan modelos matematicosdinamicamente equivalentes.

La masa m esta restringida por la fuerza k del resorte amoverse linealmenteLa fuerza k en el modelo representa la resistencia delelemento el cual depende de modelos constitutivos, Inercia yLa fuerza es directamente proporcional al modelo constitutivoasi: F ∝ ky ¡¡¡¡¡ojo esto rompe!!!!

Condiciones inicialesLas dos figuras representan modelos matematicosdinamicamente equivalentes.La masa m esta restringida por la fuerza k del resorte amoverse linealmente

La fuerza k en el modelo representa la resistencia delelemento el cual depende de modelos constitutivos, Inercia yLa fuerza es directamente proporcional al modelo constitutivoasi: F ∝ ky ¡¡¡¡¡ojo esto rompe!!!!

Condiciones inicialesLas dos figuras representan modelos matematicosdinamicamente equivalentes.La masa m esta restringida por la fuerza k del resorte amoverse linealmenteLa fuerza k en el modelo representa la resistencia delelemento el cual depende de modelos constitutivos, Inercia y

La fuerza es directamente proporcional al modelo constitutivoasi: F ∝ ky ¡¡¡¡¡ojo esto rompe!!!!

Condiciones inicialesLas dos figuras representan modelos matematicosdinamicamente equivalentes.La masa m esta restringida por la fuerza k del resorte amoverse linealmenteLa fuerza k en el modelo representa la resistencia delelemento el cual depende de modelos constitutivos, Inercia yLa fuerza es directamente proporcional al modelo constitutivoasi: F ∝ ky ¡¡¡¡¡ojo esto rompe!!!!

Resortes en paralelos

La rigidez total que se requiere para generar undesplazamiento relativo de resortes en paralelo es igual a lasuma de las rigideces parciales.

KT = k1 + k2 (1)

KT =n∑

ki (2)

Considerar ejemplos reales

KT = k1 + k2 (1)

KT =n∑

ki (2)

KT = k1 + k2 (1)

KT =n∑

ki (2)

KT = k1 + k2 (1)

KT =n∑

ki (2)

Resortes en serie

KT =n∑

Resortes en serie

KT =n∑

Resortes en serie

KT =n∑

Resortes en serie

KT =n∑

Resortes en serie

KT =n∑

Considerar ejemplos realesJ. C. Castro-Medina UPTC

Diagrama de cuerpo libre

Es un bosquejo aislado de cuerpos. En terminos de dinamicase describen:

Condiciones externas. (boundari conditions) o condiciones deborde

Masa de elementos

Rigidez de los elementos

Masa de elementos

Ley del movimiento de Newton

Se definira a partir de un oscilador simple

El objetivo es predecir la aceleracion, velocidad ydesplazamiento en cualquier instante de tiempo t a partir delas condiciones iniciales t = 0Escrita en terminos de aceleracion:

F = ma (5)

F Es la resultante de fuerzas que actuan sobre una partıcuaa Es la aceleracion resultantem es la masa de la partıcula

Se definira a partir de un oscilador simpleEl objetivo es predecir la aceleracion, velocidad ydesplazamiento en cualquier instante de tiempo t a partir delas condiciones iniciales t = 0Escrita en terminos de aceleracion:

F = ma (5)

F Es la resultante de fuerzas que actuan sobre una partıcua

a Es la aceleracion resultantem es la masa de la partıcula

F = ma (5)

F Es la resultante de fuerzas que actuan sobre una partıcuaa Es la aceleracion resultante

m es la masa de la partıcula

F = ma (5)

Al descomponer la expresion 5 en coordenadas cartesianasx , y , z se obtiene:

ΣFx = max (6)

ΣFy = may (7)

ΣFz = maz (8)

ΣFx = max (6)

ΣFy = may (7)

ΣFz = maz (8)

ΣFx = max (6)

ΣFy = may (7)

ΣFz = maz (8)

ΣFx = max (6)

ΣFy = may (7)

ΣFz = maz (8)

Para el movimiento plano de un cuerpo rıgido y simetrico, conrespecto al plano de movimiento (plano x-y), la ley delmovimiento de Newton dan las siguientes ecuaciones:

ΣFx = m(aG )x (9)

ΣFy = m(aG )y (10)

ΣMG = IGα (11)

(aG )y , (aG )x son las componentes de la aceleracion medidas apartir del centro de masas G del cuerpo, α es la aceleracionangularIG es momento de inercia de la masa del cuerpo respecto delcentro Gsi el cuerpo es rıgido y rota alrededor de G el momento sedetermina por:

ΣM0 = I0α (12)

Aplicar conceptos

ΣFx = m(aG )x (9)

ΣFy = m(aG )y (10)

ΣMG = IGα (11)

ΣM0 = I0α (12)

Aplicar conceptos

ΣFx = m(aG )x (9)

ΣFy = m(aG )y (10)

ΣMG = IGα (11)

ΣM0 = I0α (12)

Aplicar conceptos

ΣFx = m(aG )x (9)

ΣFy = m(aG )y (10)

ΣMG = IGα (11)

ΣM0 = I0α (12)

Aplicar conceptos

ΣFx = m(aG )x (9)

ΣFy = m(aG )y (10)

ΣMG = IGα (11)

(aG )y , (aG )x son las componentes de la aceleracion medidas apartir del centro de masas G del cuerpo, α es la aceleracionangular

IG es momento de inercia de la masa del cuerpo respecto delcentro Gsi el cuerpo es rıgido y rota alrededor de G el momento sedetermina por:

ΣM0 = I0α (12)

Aplicar conceptos

ΣFx = m(aG )x (9)

ΣFy = m(aG )y (10)

ΣMG = IGα (11)

(aG )y , (aG )x son las componentes de la aceleracion medidas apartir del centro de masas G del cuerpo, α es la aceleracionangularIG es momento de inercia de la masa del cuerpo respecto delcentro G

si el cuerpo es rıgido y rota alrededor de G el momento sedetermina por:

ΣM0 = I0α (12)

Aplicar conceptos

ΣFx = m(aG )x (9)

ΣFy = m(aG )y (10)

ΣMG = IGα (11)

ΣM0 = I0α (12)

Aplicar conceptos

ΣFx = m(aG )x (9)

ΣFy = m(aG )y (10)

ΣMG = IGα (11)

ΣM0 = I0α (12)

Aplicar conceptos

Theorem

Un sistema puede ser puesto en estado de equilibrio dinamicoagregando a las fuerzas externas una fuerza ficticia llamada deinercia.

my + ky = 0 (13)

Demostrar que se obtiene la misma ecuacion diferencial en unsistema masa resorte. En un sistema horizontal y vertical.

Solucion

En direccion horizontal viendo el diagrama de cuerpo libre sedetermina:

my + ky = 0

En direccion vertical. El resorte esta en equilibrio:

ky0 = W

Si el resorte se estira entnces:

Fr = k(y0 + y)Fr = W + ky

Utilizando este resultado y aplicandolo en la figura se obtienela ley del movimiento de Newton: −(W + ky) + W = my

Solucion

my + ky = 0

ky0 = W

Solucion

my + ky = 0

ky0 = W

Solucion

my + ky = 0

ky0 = W

Solucion

my + ky = 0

ky0 = W

Solucion

my + ky = 0

ky0 = W

Solucion

my + ky = 0

ky0 = W

Solucion

my + ky = 0

ky0 = W

Solucion a la ecuacion diferencial del movimiento

my + ky = 0

La variable dependiente y , su segunda derivada y

Esta ecuacion se clasifica como lineal y de segundo orden.

k,m es constante y el miembro de la derecha sea cero laclasifica como homogenea de coeficientes constantes

Una posible solucion es:

y = Acosωt ∧ y = Asenωt

A y B dependen de las condiciones iniciales del movimiento.

Remplazando la solucion en la ecuacion se tiene:

(−mω2 + k)Acosωt = 0 =⇒ ω =√

y = −Aωsenωt + Aωsenωt

my + ky = 0

(−mω2 + k)Acosωt = 0 =⇒ ω =√

my + ky = 0

(−mω2 + k)Acosωt = 0 =⇒ ω =√

my + ky = 0

(−mω2 + k)Acosωt = 0 =⇒ ω =√

my + ky = 0

(−mω2 + k)Acosωt = 0 =⇒ ω =√

my + ky = 0

(−mω2 + k)Acosωt = 0 =⇒ ω =√

my + ky = 0

(−mω2 + k)Acosωt = 0 =⇒ ω =√

my + ky = 0

(−mω2 + k)Acosωt = 0 =⇒ ω =√

my + ky = 0

(−mω2 + k)Acosωt = 0 =⇒ ω =√

Las constantes de integracion A y B estan determinadas por eldesplazamiento A = y0 y por Bω = V0 al comenzar elmovimiento.

y = y0 ∗ cosωt + V0ω ∗ senωt

ωT = 2πω

f = 1/T = ω2π

Problemas de motores sobre estructuras

ωT = 2πω

f = 1/T = ω2π

ωT = 2πω

f = 1/T = ω2π

ωT = 2πω

f = 1/T = ω2π

Amortiguacion viscosa

Es proporcional a la magnitud de la velocidad y opuesta a ladireccion del movimiento.

Es una fuerza de friccion que se produce en un cuerporestringido su movimiento por un medio viscoso.

Se utiliza porque su analisis matematico es simple.

my + cy + ky = 0 (14)

La solucion a la ecuacion diferencial anterior esta dada por:

mCp2ept + cCpept + kCept = 0 (15)

mp2 + cp + k = 0 (16)

my + cy + ky = 0 (14)

mp2 + cp + k = 0 (16)

my + cy + ky = 0 (14)

mp2 + cp + k = 0 (16)

my + cy + ky = 0 (14)

mp2 + cp + k = 0 (16)

my + cy + ky = 0 (14)

mp2 + cp + k = 0 (16)

my + cy + ky = 0 (14)

mp2 + cp + k = 0 (16)

my + cy + ky = 0 (14)

mp2 + cp + k = 0 (16)

Sistema con amortiguacion crıtica

= − c

2m±√( c

)2− k

y(t) = C1ep1t + C2ep2t (18)(ccr2m

)2 − km = 0

cc r = 2√

km∧ 2k

p1 = p2 = −Ccr2m

Solucion 1

y1(t) = C1e−Ccr t2m

y2(t) = C2te−Ccr t2m

C2ty1(t)

= − c

2m±√( c

)2− k

y(t) = C1ep1t + C2ep2t (18)

(ccr2m

)2 − km = 0

cc r = 2√

km∧ 2k

p1 = p2 = −Ccr2m

Solucion 1

C2ty1(t)

= − c

2m±√( c

)2− k

)2 − km = 0

cc r = 2√

km∧ 2k

p1 = p2 = −Ccr2m

Solucion 1

C2ty1(t)

= − c

2m±√( c

)2− k

)2 − km = 0

cc r = 2√

km∧ 2k

p1 = p2 = −Ccr2m

Solucion 1

C2ty1(t)

= − c

2m±√( c

)2− k

)2 − km = 0

cc r = 2√

km∧ 2k

p1 = p2 = −Ccr2m

Solucion 1

C2ty1(t)

= − c

2m±√( c

)2− k

)2 − km = 0

cc r = 2√

km∧ 2k

p1 = p2 = −Ccr2m

Solucion 1

C2ty1(t)

= − c

2m±√( c

)2− k

)2 − km = 0

cc r = 2√

km∧ 2k

p1 = p2 = −Ccr2m

Solucion 1

C2ty1(t)

= − c

2m±√( c

)2− k

)2 − km = 0

cc r = 2√

km∧ 2k

p1 = p2 = −Ccr2m

Solucion 1

C2ty1(t)

= − c

2m±√( c

)2− k

)2 − km = 0

cc r = 2√

km∧ 2k

p1 = p2 = −Ccr2m

Solucion 1

C2ty1(t)

Superposicion de soluciones

y(t) = (C1 + C2t)e−Ccr t2m

Sistema sobre amortiguado c > cr respuesta no oscilatoria

La solucion esta dada por la ecuacion

y(t) = C1ep1t + C2ep2t (19)

Sistema subamortiguado c < ccr

= − c

m− c

se soluciona utilizando el metodo de euler que relaciona lasfunciones exponenciales y trigonometricas.

e ix = cosx + isenx (21)

e−ix = cosx − isenx (22)

y(t) = e−c

2mt(AcosωDt + BsenωDt) (23)

La frecuencia de amortiguacion del sistema esta dada por:

m− (

2m)2 (24)

= − c

m− c

y(t) = e−c

m− (

2m)2 (24)

= − c

m− c

y(t) = e−c

m− (

2m)2 (24)

= − c

m− c

y(t) = e−c

m− (

2m)2 (24)

= − c

m− c

y(t) = e−c

m− (

2m)2 (24)

= − c

m− c

y(t) = e−c

m− (

2m)2 (24)

= − c

m− c

y(t) = e−c

m− (

2m)2 (24)

ωD = ω√

1− ξ2 |= ω =√

k/m∧ξ =

Ccr(25)

y(t) = e−xiωt

(y0cosωDt +

v0 + y0ξω

ωDsenωDt

el periodo de vibracion con amortiguacion se obtiene:

TD = 2πωD

1−ξ2

Decremento logaritmico

δ = ln y1y2

= ξωTD = 2πξ2√

1−ξ2

ωD = ω√

1− ξ2 |= ω =√

k/m∧ξ =

Ccr(25)

y(t) = e−xiωt

(y0cosωDt +

v0 + y0ξω

ωDsenωDt

TD = 2πωD

1−ξ2

δ = ln y1y2

1−ξ2

ωD = ω√

1− ξ2 |= ω =√

k/m∧ξ =

Ccr(25)

y(t) = e−xiωt

(y0cosωDt +

v0 + y0ξω

ωDsenωDt

TD = 2πωD

1−ξ2

δ = ln y1y2

1−ξ2

ωD = ω√

1− ξ2 |= ω =√

k/m∧ξ =

Ccr(25)

y(t) = e−xiωt

(y0cosωDt +

v0 + y0ξω

ωDsenωDt

TD = 2πωD

1−ξ2

δ = ln y1y2

1−ξ2

ωD = ω√

1− ξ2 |= ω =√

k/m∧ξ =

Ccr(25)

y(t) = e−xiωt

(y0cosωDt +

v0 + y0ξω

ωDsenωDt

TD = 2πωD

1−ξ2

δ = ln y1y2

1−ξ2

ωD = ω√

1− ξ2 |= ω =√

k/m∧ξ =

Ccr(25)

y(t) = e−xiωt

(y0cosωDt +

v0 + y0ξω

ωDsenωDt

TD = 2πωD

1−ξ2

δ = ln y1y2

1−ξ2

Excitacion armonica en sistemas sin amortiguacion

my + ky = F0senωt (27)

La solucion de la anterior ecuacion esta dada por:

y(t) = yc(t) + yp(t) (28)

yc(t) es la solucion complementaria que sartisface la ecuacionhomogenea yp(t) es la solucion particular de la ecuacion nohomogenea:yc(t) = Acosωt + Bsenωtyp(t) = Ysenωt donde Y es la amplitud maxima.Al simplificar se obtiene:−mω2Y + ky = F0

Y = F0k−mω2 =

1−r2 a r = ωω

y(t) = yc(t) + yp(t) (28)

Y = F0k−mω2 =

1−r2 a r = ωω

y(t) = yc(t) + yp(t) (28)

Y = F0k−mω2 =

1−r2 a r = ωω

y(t) = yc(t) + yp(t) (28)

yc(t) es la solucion complementaria que sartisface la ecuacionhomogenea yp(t) es la solucion particular de la ecuacion nohomogenea:

yc(t) = Acosωt + Bsenωtyp(t) = Ysenωt donde Y es la amplitud maxima.Al simplificar se obtiene:−mω2Y + ky = F0

Y = F0k−mω2 =

1−r2 a r = ωω

y(t) = yc(t) + yp(t) (28)

yc(t) es la solucion complementaria que sartisface la ecuacionhomogenea yp(t) es la solucion particular de la ecuacion nohomogenea:yc(t) = Acosωt + Bsenωt

yp(t) = Ysenωt donde Y es la amplitud maxima.Al simplificar se obtiene:−mω2Y + ky = F0

Y = F0k−mω2 =

1−r2 a r = ωω

y(t) = yc(t) + yp(t) (28)

yc(t) es la solucion complementaria que sartisface la ecuacionhomogenea yp(t) es la solucion particular de la ecuacion nohomogenea:yc(t) = Acosωt + Bsenωtyp(t) = Ysenωt donde Y es la amplitud maxima.

Al simplificar se obtiene:−mω2Y + ky = F0

Y = F0k−mω2 =

1−r2 a r = ωω

y(t) = yc(t) + yp(t) (28)

yc(t) es la solucion complementaria que sartisface la ecuacionhomogenea yp(t) es la solucion particular de la ecuacion nohomogenea:yc(t) = Acosωt + Bsenωtyp(t) = Ysenωt donde Y es la amplitud maxima.Al simplificar se obtiene:

−mω2Y + ky = F0

Y = F0k−mω2 =

1−r2 a r = ωω

y(t) = yc(t) + yp(t) (28)

Y = F0k−mω2 =

1−r2 a r = ωω

y(t) = yc(t) + yp(t) (28)

Y = F0k−mω2 =

1−r2 a r = ωω

Ensamblando las soluciones resulta:

y(t) = Acosωt + Bsenωt +F0k

1−r2 senωtSi las condiciones en t = 0, y0 = 0, v0 = 0 las constantes deintegracion son:

A = 0, B = − rF0k

1−r2

y(t) =F0k

1−r2 (senωt − rsenωt)La respuesta es la superposicion de dos terminos armonicos defrecuencias diferentes.El movimiento resultante no es un armonico.En casos reales las fuerzas de amortiguacion estan siemprepresentes en el sistema eliminando el segundo termino de laecuacion. POr esa razon el termino que contiene ω se llamarespuesta transitoria.la respuesta permanente es:

y(t) =F0k

1−r2 senωt

Si las condiciones en t = 0, y0 = 0, v0 = 0 las constantes deintegracion son:

A = 0, B = − rF0k

1−r2

y(t) =F0k

1−r2 senωt

A = 0, B = − rF0k

1−r2

y(t) =F0k

1−r2 senωt

A = 0, B = − rF0k

1−r2

y(t) =F0k

1−r2 senωt

A = 0, B = − rF0k

1−r2

y(t) =F0k

1−r2 (senωt − rsenωt)

La respuesta es la superposicion de dos terminos armonicos defrecuencias diferentes.El movimiento resultante no es un armonico.En casos reales las fuerzas de amortiguacion estan siemprepresentes en el sistema eliminando el segundo termino de laecuacion. POr esa razon el termino que contiene ω se llamarespuesta transitoria.la respuesta permanente es:

y(t) =F0k

1−r2 senωt

A = 0, B = − rF0k

1−r2

y(t) =F0k

1−r2 (senωt − rsenωt)La respuesta es la superposicion de dos terminos armonicos defrecuencias diferentes.

El movimiento resultante no es un armonico.En casos reales las fuerzas de amortiguacion estan siemprepresentes en el sistema eliminando el segundo termino de laecuacion. POr esa razon el termino que contiene ω se llamarespuesta transitoria.la respuesta permanente es:

y(t) =F0k

1−r2 senωt

A = 0, B = − rF0k

1−r2

y(t) =F0k

1−r2 (senωt − rsenωt)La respuesta es la superposicion de dos terminos armonicos defrecuencias diferentes.El movimiento resultante no es un armonico.

En casos reales las fuerzas de amortiguacion estan siemprepresentes en el sistema eliminando el segundo termino de laecuacion. POr esa razon el termino que contiene ω se llamarespuesta transitoria.la respuesta permanente es:

y(t) =F0k

1−r2 senωt

A = 0, B = − rF0k

1−r2

y(t) =F0k

1−r2 (senωt − rsenωt)La respuesta es la superposicion de dos terminos armonicos defrecuencias diferentes.El movimiento resultante no es un armonico.En casos reales las fuerzas de amortiguacion estan siemprepresentes en el sistema eliminando el segundo termino de laecuacion. POr esa razon el termino que contiene ω se llamarespuesta transitoria.

la respuesta permanente es:

y(t) =F0k

1−r2 senωt

A = 0, B = − rF0k

1−r2

y(t) =F0k

1−r2 senωt

A = 0, B = − rF0k

1−r2

y(t) =F0k

1−r2 senωt

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