DIFERENCIALES dx · POR el diferencial de dicha expresión, y en nuestro caso el diferencial de es...

Cálculo Diferencial e Integral, Áreas III y IV Prof. Jesús Calixto S.

57

LA INTEGRAL

DIFERENCIALES

Antes de comenzar a integrar funciones veamos un concepto necesario para esto, la diferencial de una función.

Recordemos que el símbolo ddx

, representa “la derivada con respecto de x” y no un cociente o quebrado de d

entre dx, por tal motivo no se pueden considerar como cosas separadas. El diferencial de una función ( )y f x

se define de la siguiente manera:

ó

( ) ( )

ddy y dxdx

ddf x f x dxdx

Dónde: dx = diferencial de x dy = diferencial de y

( )df x = diferencial de f x

EJEMPLOS Encontrar la diferencial de las siguientes funciones:

a) 22 7 2y x x

El diferencial de y será por definición 'dy y dx , es decir:

4 7dy x dx

b) 11

yx

, el diferencial de y es entonces

'dy y dx

2 2

( 1)(0) (1)(1) 1( 1) ( 1)

xdy dx dx

x x

2( 1)dxdy

x

c) 2( ) 1f x x , el diferencial de f x será:

2

2( ) ´( )2 1

xdf x f x dx dxx

2( )

1

x dxdf x

x

NOTA: La interpretación geométrica del diferencial de una función se verá más adelante.

www.calix

to.co

m.mx


58

EJERCICIOS Encontrar el DIFERENCIAL de las siguientes funciones

a) ( )1

xf xx

b) 2 3(7 2)y x

c) 2 6y a x d) 1

1y

x

e) 1( )9 4

f xx

f) ( ) ln senf x x

g) 2tan( 1)y x h) 4

1yx

i) 3yx

www.calix

to.co

m.mx


59

INTEGRALES

DEFINICIÓN

La integral (∫) de una función la definiremos como la operación inversa de la derivada ( ddx

), o del diferencial

de una función, es decir:

por ejemplo, consideremos la función 2 3f x x

2 3f x x , entonces su diferencial 2df x xdx y por la definición de integral

2( ) 2 3df x x dx x

Ahora consideremos la función 2( ) 5f x x 2( ) 5f x x , entonces su diferencial 2df x xdx y por la definición de integral

2( ) 2 5df x x dx x

Finalmente, consideremos la función 2 3( )4

f x x

2 3( )4

f x x , entonces su diferencial 2df x xdx y por la definición de integral

2 3( ) 24

df x x dx x

Como podrás ver en los tres cuadros anteriores el valor de 2x dx toma tres valores distintos (sólo conservan

todas 2x ) y podrían ser muchos más si consideramos a más funciones, esto obviamente no es coherente, por tal

motivo consideraremos el valor de 2x dx como:

22x dx x C

Dónde C recibe el nombre de constante de integración

INTEGRACIÓN DE FUNCIONES CON FÓRMULAS Para encontrar la integral de una función, al igual que en las derivadas tenemos fórmulas, prepara formulario y observa los siguientes ejemplos. Demostrar las siguientes integrales

Ejemplo 1.- 3 2 4 33 7(3 7 8) 84 3

x x dx x x x C

Escribimos Fórmula usada 3 2(3 7 8)x x dx du dv dw du dv dw

3 2 3 2(3 7 8) 3 7 8x x dx x dx x dx dx

3 23 7 8x dx x dx dx adv a dv tres veces

3 23 7 8x dx x dx dx 1

1

nn xx dx C

n

dos veces y dx x C

Observa

Observa

Observa

si , su diferencial es , entonces

www.calix

to.co

m.mx


60

La fórmula debes de interpretarla como:

4 33 23 7 8 3 7 8

4 3x xx dx x dx dx x C

4 3 4 33 73 7 8 84 3 4 3x x x xx C x C (Sólo se pone una C al final)

Ejemplo 2.- 2 553

x xxdx C

Escribimos Fórmula usada 125 (5 )xdx x dx sólo se usó algebra

1 12 2 1(5 ) (5 ) (5)( )

5x dx x dx recuerda 15 1

5 , se hizo esto porque (5 ) 5d x dx

1 12 21 15 5 5 5

5 5x dx x dx se reacomodo para aplicar

1

1

nn vv dv C

n

1 12 21 15 5 5 5

5 5x dx x dx

adv a dv

1 11 22 (5 )1 1(5 ) (5 )

5 5 1 12

xx dx C

1

1

nn vv dv C

n

32(5 ) 2 51 25 (5 ) 5

5 3 15 32

x x xx dx C x x C C

Ejemplo 3.- 2

2

3 2 1322 1

xx dx Cx

Como podrás darte cuenta la fórmula de integración más usada es 1

1

nn vv dv C

n

, que debes de

interpretarla como:

expresión algebráica diferencial de la expresión algebráicannv dv

En nuestro caso nos conviene ver a 2

3

2 1

x

x como una potencia, o sea 1

22

3

(2 1)

x

x y finalmente observa

las SUGERENCIAS que aparecen en la parte de debajo de tu formulario y estarás de acuerdo en que: 12

12

2

2

3 3 (2 1)(2 1)

x x xx

, entonces nuestra integral queda.

12

12

2

22

3 3 3 (2 1)(2 1)2 1

x xdx dx x x dxxx

, el 3 se puede salir de la integral según la fórmula

c dv c dv

www.calix

to.co

m.mx


61

es decir 1 12 22 23 (2 1) 3 (2 1)x x x x dx

observa que si le llamas a 22 1V x , su diferencial es:

4dv xdx , y al integrar aplicando la fórmula 1

1

nn vv dv C

n

, vemos que hace falta un 4 para

completar el dv, el cual lo ponemos de la siguiente manera:

14 1

4

122

(ésto es lo que falta)

13 (2 1) (4)4

dvv

x x dx

Finalmente como 14

no es necesario dentro de la integral (y está multiplicando) lo sacamos e

integramos.

1 12 21

2

12 22

1 12 2

(2 1) (2 1)1 3 33 (2 1) 44 4 41

v dv

x xx x dx C C

Es decir: 2

2

3 2 1322 1

xx dx Cx

EJERCICIOS Demuestra las siguientes integrales

a) 2

2 2dt Ctt

b) 23

x axaxdx C

c) 5/2 5/3 3/2

3/2 2/3 2 6 10( 2 5 3) 35 5 3

x x xx x x dx x C

www.calix

to.co

m.mx


62

d) 2

24 2 2 4x x dx x x Cx

e) 2 3

2

2 2( )2 6x xdx C

xx

f) 5/2 3/26 4(3 2)

5 3x xx x dx C

g) 3 36 5 6 5ln

3x x xdx x x C

x

h) 3/22( )

3a bx

a bx dx Cb

i) 2 a bydyC

ba by

www.calix

to.co

m.mx


63

j) 3

2 ( )( )

3a bt

a bt dt Cb

k)

3222

22

6

xx x dx C

l) 2 2

2 ( )( )

4a by

y a by dy Cb

m) 2 3/2

2 (2 3)2 3

6t

t t dt C

n) 3 2

2 4 4(2 1)3 2x xx x dx x C

o) 32

3

8 8438

xx dx Cx

www.calix

to.co

m.mx


64

p) 2 2 2

6 1(5 3 ) 5 3

zdzC

z z

q) 2

2 4( )3 2

x ax xa x dx ax C

r) 3/2 5/2

2 22 2( )3 5

ax xx a x dx x a C

s) 4 43

4 4 2a tt dt C

a t

t) 3 2

1( ) 2 ( )

dyC

a by b a by

u) 2 3 2 2

1( ) 4 ( )

xdx Ca bx b a bx

www.calix

to.co

m.mx


65

v) 2

33 2

13 ( )( )

t dt Cb a bta bt

w) 2 2 5 2 8

3 2 2( )2 5 8

a z abz b zz a bz dz C

x) 32

1 2( )3

nn n a bx

x a bx dx Cnb

y) 2

2

(2 3)2 3

3

x dxx x C

x x

z) 2 3

3

( 1) 2 333

x dx a x Cx x

www.calix

to.co

m.mx


66

INTEGRALES SENCILLAS Ya que sabes hasta ahorita por lo menos la diferencial de una función, podemos integrar algunas funciones sencillas, teniendo presente siempre, que la diferencial o derivada es la operación inversa de la derivada no lo olvides. A continuación te presentaremos las fórmulas más usadas a la hora de integrar.

( )du dv dw du dv du (observa tu formulario)

Es decir, la integral de varias expresiones que estén sumando o restando, es igual a integrar a cada una de las expresiones que están sumando o restando”

Ejemplo. 2 2(6 5 ) 6 5x x x dx x dx x dx x dx

a dv a dv (observa tu formulario)

Ejemplos. 2 26 6x dx x dx

5 5x dx dx

Es decir, la integral de una constante a, b, c, d (observa en tu formulario) POR algo que no es constante, es

igual a la constante (se sale del símbolo de la integral) POR la integral de lo que quedo.

Observa que en éstos dos ejemplos y en el anterior, todavía falta terminar de realizar las integrales, ya que hasta que no se tengan símbolos de integral ∫ se habrá terminado.

1

1

nn vv dv C

n

(observa tu formulario)

Es decir, la integral de una expresión algebraica (v) elevada a un exponente (n) POR el diferencial de la

expresión algebraica es igual a la expresión algebraica elevada a la n+1, entre éste mismo exponente n+1. Ejemplo.

123 (3 )x dx x dx , nuestra expresión algebraica es 3x y 1

2n

Si queremos aplicar ésta fórmula ten cuidado pues debemos tener una expresión algebraica elevada a la n

POR el diferencial de dicha expresión, y en nuestro caso el diferencial de 3x es 3dx , es decir nos hace falta

un 3 el cuál se puede escribir sin alterar la integral de la siguiente forma:

Recuerda en tu formulario en la parte inferior

hay sugerencias como:

www.calix

to.co

m.mx


67

321 1

2 2

32

(3 )1 13 (3 ) (3 ) 33 3

xx dx x dx x dx C

Como 3 31 13 3 1 3

( )3 ( ) 1

Simplificando ya totalmente nuestro resultado nos queda. (SUGERENCIAS)

321 1

2 2

32

(3 ) (2)3 3 2 31 1 13 (3 ) (3 ) 33 3 3 3 3

x x x x xx dx x dx x dx C C C

2 333

x xx dx C

dv v C

Es decir, la integral del diferencial de algo (v) es igual al algo más C, recuerda la integral es la operación inversa del diferencial o viceversa la diferencial es la operación inversa de la derivada. Ejemplo.

5 5 5x dx dx x C

Bueno, ahora hagamos unos ejemplos donde utilicemos las fórmulas antes analizadas.

EJEMPLOS Verificar las siguientes integrales

Ejemplo 1.-

RESULTAD

54 2 3

O

3(3 6 5) 2 55xx x dx x x C

Comencemos 4 2 4 2(3 6 5) 3 6 5x x dx x dx x dx dx

4 23 6 5x dx x dx dx 5 3

3 6 55 3x x x C

4

33 2 54x x x c

Ejemplo 2.-

RESULTADO

1 1 21 2

dx x Cx

12

12

1 1 (1 2 )(1 2 )1 2

dx dx x dxxx

Siempre se puede hacer esto en las integrales con constantes (números),

pero NO con variables

Observa tu formulario en las primeras 10 fórmulas no aparece alguna que considere a la raíz cuadrada por tanto se hace lo anterior, fíjate en las sugerencias

Expresión algebraica: Diferencial: www.ca

lixto.

com.m

x


68

1 12 2

12

1 1 1(1 2 ) (1 2 ) ( 2)2(1 2 )1 2

dx dx x dx x dxxx

12 1

12

(1 2 )1 12 11 2

xdx C

x

12

12

12

(1 2 )1 1 (1 2 )21 2

xdx C x C

x

1 1 21 2

dx x Cx

Ejemplo 3.-

RESUL

33

D

2

TA O

cos( )sen( )

3x

x x dx C

Como el diferencial es 23x dx , hace falta un 3, que se pone como ya se había explicado

3 2 3 2 31 3 1sen( ) sen( ) ( cos( ))33

x x dx x x dx x C

La integral del seno de una expresión algebraica ( 3x ) por el diferencial de la expresión algebraica (23x dx ) es igual a menos coseno de la expresión algebraica

33 2 cos( )

sen( )3

xx x dx C

EJERCICIOS Demuestra las siguientes integrales

1) 6

5 412 3

5 1(5 8) 86 6xx x x C

x

2) 532

3

24

3

34 6( ) 6ln( )5 2y ay

y ay dy y y cyy

3) 23

x axax dx C

Una expresión algebraica elevada a la

Por su diferencial de la expresión

www.calix

to.co

m.mx


69

4) 5/2 5/3 3/2

3/2 2/3 2 6 10( 2 5 3) 35 5 3

x x xx x x dx x C

5) 2

24 2 2 4x x dx x x Cx

6) 2 3

2

2 2( )2 6x xdx C

xx

7) 5/2 3/26 4(3 2)

5 3x xx x dx C

8) 2

2 2dt Ctt

9) 3 36 5 6 5ln

3x x xdx x x C

x

10) 3/22( )

3a bx

a bxdx Cb

www.ca

lixto.

com.m

x


70

11) 2 a bydyC

ba by

12) 3

2 ( )( )

3a bt

a bt dt Cb

13) 2 3

2 2 (2 )(2 )

6x

x x dx C

14) 2 2

2 ( )( )

4a by

y a by dy Cb

15) 2 3/2

2 (2 3)2 3

6t

t t dt C

16) 3 2

2 4 4(2 1)3 2x xx x dx x C

17) 32

3

8 8438

xx dx Cx

www.ca

lixto.

com.m

x


71

18) 2 2 2

6 1(5 3 ) 5 3

zdz Cz z

19) 2

2 4( )3 2

x ax xa x dx ax C

20) 3/2 5/2

2 22 2( )3 5

ax xx a x dx x a C

21) 4 43

4 4 2a tt dt C

a t

22) 3 2

1( ) 2 ( )

dyC

a by b a by

23) 2 3 2 2

1( ) 4 ( )

xdx Ca bx b a bx

24) 2

33 2

13 ( )( )

t dt Cb a bta bt

www.calix

to.co

m.mx


72

25) 2 2 5 2 8

3 2 2( )2 5 8

a z abz b zz a bz dz C

26) 32

1 2( )3

nn n a bx

x a bx dx Cnb

27) 2

2

(2 3)2 3

3

x dxx x C

x x

28) 2 3

3

( 1) 2 333

x dx a x Cx x

www.calix

to.co

m.mx


73

INTEGRALES DEFINIDAS

Una integral definida es cuando en el símbolo de integral tenemos 2 números por ejemplo 3

2

2

x dx , la cual

resolveremos de la siguiente forma: 33 3

2

2 23xx dx Ahora ya no se pone la constante de integración C, sino la línea vertical

3

2 que significa que el

resultado será evaluado en 3 menos el resultado en 2

3 332(3) (2) 27 8 19

3 3 3 3 3 3x u

Se pone 2u ya que la integral definida represente el área bajo la curva de 2x , es decir:

Ahora encontremos: 0

2

1

(4 5 1)x x dx

00 0 0

2 2

1 1 11

(4 5 1) 4 5x x dx x dx x dx dx

Encontremos por separado cada integral de las anteriores:

3 300 30

2 2

111

0 1 1 44 4 4 4 4 0 43 3 3 3 3xx dx x dx

2 200 20

111

0 1 1 55 5 5 5 5 0 52 2 2 2 2xx dx x dx

0

0

11

0 1 1dx x

Entonces finalmente tenemos: www.ca

lixto.

com.m

x


74

00 0 0

2 2

1 1 11

2

(4 5 1) 4 5

4 5 113 2 6

x x dx x dx x dx dx

u

INTEGRALES DEFINIDAS, ÁREA BAJO UNA CURVA Y ÁREA ENTRE DOS CURVAS Encuentra el valor de las siguientes integrales definidas

a) 2

0

(2 3)x dx b) 3

2

0

( 2)x dx c) 1

3

1

( 2 )x x dx

d) 4

0

( 3 )x x dx e) 23

8

3

0

( )x x dx f) 2

0

2sen( )x dx

g) 0

4cos( )x dx

h) 4

0

sec( ) tan( )x x dx

Encuentra el área bajo la curva dada, en el intervalo que se señala

a) 2( ) ; [1 , 4 ]f xx

b) 2( ) ; [ 0 , 4 ]xf x e

c) 2( ) 2 ; [ 0 ,2]f x x x d) ( ) sen( ); [ 0 , ]f x x

e) 2

1( ) ; [1 , 4 ]f x xx

f) 2 1( ) ; [ 0 ,1 ]

x

x

ef xe www.ca

lixto.

com.m

x


75

Encuentra el área entre el par de curvas que se dan.

a) 2( ) ( )f x x g x x (es lo mismo que se te diera 2óy x y x )

b) 26 3 2y x y x

c) 24y x y x

d) 21 1y x y x

e) 2 3 3y x x y

www.calix

to.co

m.mx

DIFERENCIALES dx · POR el diferencial de dicha expresión, y en nuestro caso el diferencial de es...

Documents

Transcript of DIFERENCIALES dx · POR el diferencial de dicha expresión, y en nuestro caso el diferencial de es...