Diego Luis Aristizábal R., M. Sc. en Física · Laboratorio de Física de Oscilaciones, Ondas y...

Diego Luis Aristizábal R., M. Sc. en Física Profesor Asociado Escuela de Física

Universidad Nacional de Colombia

Roberto Fabián Retrepo A., M. Sc. en Física Profesor Asociado Escuela de Física Universidad Nacional de Colombia

Carlos Alberto Ramírez M., M. Sc. en Física Profesor Asociado Escuela de Física

Universidad Nacional de Colombia

Laboratorio de Física de Oscilaciones, Ondas y Óptica

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Reporte de datos experimentales

Objetivo General

• Representar adecuadamente los números que representan resultados experimentales.

Resumen

Medidas directas

Regla 1

Si se realiza una sola medida, se reportará la lectura obtenida acompañada de la incertidumbre en

la lectura del instrumento (ulectura) separadas con ±: x ± ulectura

La incetidumbre en la lectura del instrumento generalmente corresponde a la apreciación del instrumento (valor de la mínima división del instrumento si este es análogo o la última cifra signi-cativa reportada en la pantalla -display- si este es digital). En el caso de instrumentos análogos po-dría suceder que el observador logre estimar un poco más que la mínima división, en cuyo caso puede reportar ésta como la incertidumbre en la medida en lugar de la apreciación del instru-mento. Regla 2

Sí una cantidad se mide N veces con el mismo instrumento y procedimientos, y las medidas x1; x2;

x3; ...; xN se distribuyen alrededor de su valor medio (ecuación 1) de acuerdo a la de-nominada distribución normal o gaussiana, la desviación estándar σx (ecuación 2) caracterizará la

incertidumbre estadística de la medida y se garantizará que el 68% de las medidas de x estarán den-tro del rango ±σx. En otras palabras, si se hace cualquier otra medida usando los mismos méto-dos, la probabilidad es del 68% de que su resultado tenga una incertidumbre menor σx; o sea, de cada 100 medidas, alrededor de 68 deberán tener una incertidumbre menor que σx. Por lo tanto, es sensato adoptar a σx como la incertidumbre estadística de la medida de una cantidad x , siempre y cuando N medidas de estas se ditribuyan normalmente. (1) (2)

Nota 1

Es posible demostrar (esto corresponderá a un curso de estadística) que si todas las fuentes de in-certidumbre son aleatorias (es decir, se han eliminado los errores sistemáticos, o al menos reducido

∑=

=N

i

ixN

x1

1

x

x

( )∑=

−−

=N

i

ix xxN 1

2

1

1σ

Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias, Escuela de Física, Sede Medellín

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a su minima expresión) y los errores son pequeños, la distribución de las medidas obedecerá la distribución normal. Nota 2:

Hay razones para concluir que la mejor medida de la incertidumbre de la medición de una canti-

dad x de la que se obtuvieron N medidas es la desviación estándar dividida por el factor N 1/2. A esta cantidad se le denomina desviación estándar de la media (SDOM: Standard Deviation Of the Mean), (ecuación 3), (3) y es mejor medida de la incertidumbre estadística. Nota 3:

La incertidumbre que acompaña a la media (a la media aritmética) es la mayor de las dos canti-dades siguientes: la incertidumbre estadística o la incertidumbre en la lectura del instrumento (la cual se obtiene tal como se describió en la regla 1). También se podrían combinar las dos incer-tidumbres en forma geométrica, (ecuación 4), (4)

Medidas indirectas

Una vez obtenida la incertidumbre de las medidas directas, se calculan las de las medidas indirec-tas. Regla

Propagación de incertidumbre: Supóngase una medida indirecta que se obtiene a partir de medidas directas mediante la expresión matemática,

en donde f es una función de N variables independientes. La incertidumbre de y, uy viene dada por, (ecuación 5), (5)

( )( )∑

=

−−

=N

i

ix xxNN 1

2

1

1σ

( ) ( )2lectura

2uu x += σ

( )Nxxxfy ,,, 21 L=

2

1

∑=

∂∂

=N

i

x

i

y iu

x

fu


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en donde los uxi son las incertidumbres de las medidas directas. Es necesario decir que esta ex-

presión se puede aplicar sólo si las medidas directas de las cantidades x1; x2; …; xN son real-mente independientes (no están correlacionadas entre sí) y están libres de errores sistemáticos (es decir, si todos son errores aleatorios y bajo distribución normal). Reporte de las medidas

El resultado se reporta así,

Se debe tener presente que calcular la incertidumbre uy y reportarla junto al resultado, es una técnica diferente al simple uso de cifras signicativas. Debido a esto, las reglas estipuladas en la técnica de cifras signicativas no tienen que seguirse al realizar estos cálculos. Se recomienda que, mientras se realizan los cálculos intermedios, tanto con el resultado como con la incertidumbre , se mantengan todas las cifras de que disponga la calculadora o el computador (o al menos 2 dígi-tos "extras" más allá del número de cifras signicativas esperadas en el resultado). De esta mamera no se perderá información. Sólo al final de reportar el resultado, se aplicarán las siguientes nor-mas para el redondeo. Regla 1

Una convención de uso frecuente recomienda que la incertidumbre se exprese con una cifra signicativa. Regla 2

Una vez redondeada la incertidumbre, el resultado de la medición debe tener las mismas posi-ciones decimales que su incertidumbre. No tiene sentido dar cifras que se encuentren a la dere-cha de aquella que ya está afectada por la incertidumbre. Por ejemplo, si la medida de un inter-valo de tiempo después de calculada se obtuvo 8,358 9 s y su incetidumbre calculada fue igual a 0,03 s se deberá escribir el resultado así:

8,36 s ± 0,03 s

ya que la incertidumbre nos afirma que se empieza a dudar desde las centésimas (posición del 3 en la incertidumbre) de los segundos, por lo que sería contradictorio reportar las milésimas (y de ahí en adelante).

Ejemplo

Para medir la aceleración de la gravedad se hizo oscilar un péndulo simple con pequeñas oscila-ciones. Para obtener su período se midió con un cronómetro digital que marca hasta centésimas de segundo 10 veces el tiempo que inivirtió en hacer 10 oscilaciones siendo los resultados en s: 22,15; 21,83; 21,92; 22,24; 22,09; 21,40; 21,79; 22,38; 22,21; 21,67. Para medir su longitud

yuy ±



se realizaron 10 mediciones bajo condiciones de repetibilidad con una cinta métrica cuya minima division está en mm y se obtuvieron como resultados, en cm: 120,2; 119,2;118,3; 120,1;120,3; 118,7;120,4;119,7;118,7;120,2. Reportar la medida de la gravedad. Solución:

El modelo físico es el siguiente,

(6)

La medida de la longitud es directa y se reporta el promedio: La incertidumbre en la medida de la longitud tiene dos componentes: la debida a la lectura de la

cinta métrica, que se considerará igual a su apreciación, u1l=0,001 m, y la incertidumbre asociada con la repetibilidad de las medidas que corresponde a la desviación estándar de la media,

u1l=0,002 m. La combinación de estas es: La medida del tiempo para 10 oscilaciones es directa, y se reporta su promedio, La incertidumbre en la medida del tiempo tiene dos componentes: la debida a la lectura del

cronómetro, que se considerará igual a su apreciación, u1t=0,01 s y la incertidumbre asociada con

la repetibilidad de las medidas que corresponde a la desviación estándar de la media, u2t=0,095 s. La combinación de estas es:

2

24

2P

lg

g

lP

ππ =⇒=

m 8 195,1=l

( ) ( ) m 692 002,02

2

2

1 =+= lll uuu

s 968,21=t

( ) ( ) s 5 095,02

2

2

1 =+= ttt uuu


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La medida del periodo es indirecta,

su valor es,

y su incertidumbre se calcula mediante la ecuación (5),

La medida de la gravedad, ecuación (6) es,

Como es indirecta la incertidumbre se calcula mediante la ecuación (5),

y por lo tanto el resultado de la medida de la gravedad se reporta así,

Ejercicios

1. Se hacen seis mediciones del diámetro de una varilla delgada y se obtienen los siguientes resulta-dos : 0,251 cm; 0,248 cm; 0,250 cm; 0,249 cm; 0,250 cm; 0,252 cm ¿Cuál será el mejor valor y cómo estimaría la incertidumbre en esta medición? 2. Para medir el espesor de una moneda se siguen los siguientes dos procedimientos. Diga cuál per-mite obtener una mejor medida. a) Se mide el espesor de la moneda utilizando un vernier cuya apreciación es de 0,1 mm y se ob-tiene 1,3 mm.

10

tP =

s 8 196,210

s 968,21==P

s 55 009,010

== tP

uu

-2s m 456 755,9=g

m.s 02,048 2-

2

2

22

3

2

=

+

−= lPg u

Pu

P

lu

ππ

-2-2s m 02,0s m 76,9 ±

b) Se mide la altura de una pila de 20 monedas iguales utilizando una regla cuya apreciación es de 1 mm y se obtiene 26 mm. Luego se calcula el espesor de una moneda. 3. La velocidad de la luz es c = 299 797 km·s–1 ±1 km· s–1 . El tiempo de un destello de laser en ir desde la tierra a un reflector dejado en la Luna por los astronautas y regresar al laboratorio ha sido medido como t = 1, 935 472 s ± 1x10–6 s. ¿Qué distancia ha recorrido el destello de laser? 4. Para medir la aceleración de la gravedad g se empleó un péndulo simple y se realizaron las siguientes medidas: l= 92,9 cm ± 0,1 cm para su longitud y P = 1,936 s ± 0,004 s para su período (en pequeñas oscilaciones). Reportar el valor de g. Rp. g = 979 cm· s–2 ± 4 cm· s–2

5. Un carrito de longitud l desciende sobre un plano inclinado. Para medir la aceleración a con la

cual desciende se emplean dos fotogate separados una distancia sobre el plano igual a x. Los inter-

valos de tiempo que invierte el carrito en atravesar cada fotogate son respectivamente iguales a t1

y t2 . Las medidas obtenidas son las siguientes: l = 5,00 cm ± 0, 05 cm, x = 100,0 cm ± 0,2 cm,

t1 = 0, 054 s ± 0,001 s y t2 = 0,031 s ± 0,001 s. Reportar el valor de la aceleración.

Rp. a = 87 cm· s–2 ± 8 cm· s–2 Ayuda:

Mostrar primero que: 6. Para medir el índice de refracción n del vidrio, se mide el ángulo crítico de incidencia ϕc para una pieza de vidrio sumegida en aire, y se obtiene ϕc = 41

0 ± 10 . Reportar la medida del índice de refracción. Rp. n = 1,52 ± 0,03 Ayuda:

7. Una rendija de difracción se usa para medir la longitud de onda de la luz usando la ecuación d·sinϕ =λ , siendo ϕ la posición angular del primer mínimo de difracción, d el ancho de la rendija y λ la longitud de onda de la luz. El valor medido de ϕ es de 130 34’± 2’. Suponiendo que el valor de d es 1 420 x 10—9 m y que se puede ignorar su incertidumbre, ¿cuál es la incertidumbre abso-luta y la relativa en el valor de λ? Rp: 0; 8 nm, 0,24%

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−

=

2

1

2

2

211

2 ttx

la

csenn

ϕ1

=

Escuela de Fïsica Facultadde Ciencias UniversidadNacional de Colombia Sede Medellín

Escela de Física Correo: [email protected] Profesor Diego Luis Aristizábal R Correo: [email protected]

Referencias

[1] BIPM (Bureau International des Poids et Mesures), VIM 2008, [WEB] http://www.bipm.org/en/ publications/guides/vim.html [último acceso, julio 05 de 2010) France, 2010.

[2] SENA L. A., Unidades de las Magnitudes físicas y sus dimensiones, Editorial MIR, Moscú, 1979. [3] TAYLOR, J.R., An Introduction To Error Analysis, the study of uncertainties I physical measurements,

University Science Books, Edición 2, Sausalito, California, 1982. [4] MAIZTEGUI A.P., Introducción a las Mediciones de Laboratorio, Kapeluz, Buenos Aires, 1980.


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