Didáctica de Las Matemáticas y Evaluación i
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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DEL CHOCÓ“DIEGO LUÍS CÓRDOBA”
FACULTAD DE EDUCACIÓN
PROGRAMA DE MATEMÁTICAS Y FÍSICA
MODALIDAD DISTANCIA
MODULO I
DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS Y EVALUACIÓN I
PREPARADO POR:
GUILLERMO GÓMEZ PEREA
ESPECIALISTA EN MATEMÁTICAS AVANZADAS
QUIBDÓ 2009
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TABLA DE CONTENIDO
INTRODUCCIÒN
CAPÍTULO I
GENERALIDADES PEDAGÓGICAS
PANORAMA DE LA EDUCACIÓN EN COLOMBIA
HACIA LA NECESIDAD DE CAMBIAR
CONCEPCIONES CLAVEZ EN LA DOCENCIA
LA EDUCACIÓN
FORMACIÒN
PEDAGOGÌA Y DIDÀCTICA
ENSEÑANZA
ESTANDARES DE COMPETENCIASLAS COMPETENCIAS
LOGROS
INDICADORES DE LOGROS
ENFOQUES
PROPUESTA PEDAGÓGICA CONSTRUCTIVISTA
CAPITULO II
ORIENTACIONES PARA LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS
DIFICULTADES EN LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS
Págs.5
8
11
19
2021
22
23
2426
272833
37
42
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CAPITULO III
TENDENCIA DE LA CLASE EN LA ACTUALIDAD
PLAN DE CLASE
FASE DE DIAGNÓSTICO
FASE DE DESARROLLO CONCEPTUAL
FASE DE APLICACIÓN Y FASE FINALCOMO INTEGRAR LOS DIFERENTES PENSAMIENTOSMATEMÁTICOS MEDIANTE LA COHERENCIA DE LOS ESTANDARES
COHERENCIA HORIZONTAL
SITUACIONES SIGNIFICATIVAS Y COMPRENSIVAS QUE PERMITEN
RELACIONAR LOS CITADOS ESTANDARES
ESTÁNDARES Y COHERENCIA VERTICAL
SITUACIONES SIGINIFICATIVAS Y COMPRENSIVAS QUE PERMITEN
RELACIONES DE LOS CITADOS ESTANDARES.
SITUACIONES SIGNIFICATIVAS Y COMPRENSIVAS QUE PERMITENRELACIONAR LOS CITADOS ESTANDARES.
CAPITULO IV
TRATAMIENTO METODOLOGICO DE ALGUNAS TEMATICAS
CLAVES
EL SISTEMA DE NUMERACIÓN POSICIONAL Y LAS OPERACIONES
BASICAS
SUGERENCIAS
4748
51
52
55
56
57
57
68
70
81
86
89
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LA CONSTRUCCIÓN DEL SISTEMA DE NUMERACION DECIMAL
GENERALIZACIÓN DEL SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL
ORIENTACIONES PARA LA SUMA
ORIENTACIONES PARA LA RESTA
ORIENTACIONES PARA LA MULTIPLICACIÒN
ORIENTACIONES PARA LA DIVISIÓN
CONSTRUCCIÓN DE OTROS SISTEMAS DE NUMERACIÓN
CONVERSIÓN DE CANTIDADES DE OTROS ORDENES EN
UNIDADES
EQUIVALENCIA ENTRE DIFERENTES SISTEMAS DE NUMERACIÓN
OPERACIONES EN OTROS SISTEMAS DE NUMERACION
LA SUMA EN DIFERENTES SISTEMAS DE NUMERACION
POSICIONAL
RESTA EN DIFERENTES SISTEMAS DE NUMERACION POSICIONALLA MULTIPLICACIÓN EN DIFERENTES SISTEMAS DE NUMERACION
POSICIONAL
PRODUCTOS FORMALES EN DIVERSOS SISTEMAS DE
NUMERACIÓN
LA DIVISIÓN EN DIFERENTES SISTEMAS DE NUMERACION
POSICIONAL
OTRAS UTILIDADES ACADÉMICAS DEL ÁBACO
CONVERSIÓN DE MEDIDAS DE TIEMPO A TRAVÉS DEL ÁBACO
ORIENTACIONES PARA AYUDAR A LOS NIÑOS A DESARROLLAR
9093
97
101103
107109
128
130
139
148
156
162
163
168
172
174
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LAS COMPETENCIAS RELATIVAS A LOS FRACCIONARIOS.
LA FRACCIÓN COMO PARTE DE LA UNIDAD O DE UN TODO.
LA FRACCIÓN COMO RAZÓN.
RELACIONANDO FRACCIONES, DECIMALES Y PORCENTAJES
HACIA LA OPERATIVIDAD CON FRACCIONES
EN LA SUMA
EN LA RESTA
EN LA MULTIPLICACIÓN
EXPERIENCIA CONCRETA QUE RELACIONA LA POTENCIACIÓN LA
RADICACIÓN Y LA LOGARITMACIÓN
GENERALIZACIÓN
LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
El Método de Cuatro Pasos de Polya.
BIBLIOGRAFIA
174
176
183
186192
193
198
202
204
209
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INTRODUCCIÓN
Los resultados de las pruebas ICFES y saber muestran bajos niveles de
competencias de los estudiantes en el área de las matemáticas.
Algunos sectores sociales y estamentos educativos consideran que en gran
parte esto se debe a que de un lado; se está evaluando por igual a estudiantes
conformaciones diversas y de otro lado los procesos de formación en
educación matemática en las clase menos favorecidas en Colombia no son las
mejores.
En la actualidad una de las estrategias utilizadas por el MEN para mejorar
calidad de la educación en las diferentes áreas del saber y el desarrollo
humano es el trabajo a través de estándares básicos de competencias, como
soporte metodológico y didáctico fundamental para la búsqueda de tales
propósitos.
Estas competencias han sido vistas, como lo que se espera que todos los
estudiantes aprendan en su paso por educación básica y media. No en el
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sentido tradicional que privilegiaba la transmisión y memorización de
contenidos, si no bajo la concepción de que los estudiantes “utilicen lossaberes, habilidades y actitudes en situaciones diversas para solucionar
creativamente diferentes tipos de problemas y comprendan mejor su entorno”.
El trabajo con los estándares requiere suficiente preparación por parte de los
docentes; de allí que en este trabajo se explicita importante fundamentación
conceptual, metodológica y didáctica para guiar con bastante éxito el proceso
de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas.
Aquí se describen con lujo de detalles como abordar la propuesta que
encarnan los estándares, de matemáticas, consistente en enseñar los 5
pensamientos matemáticos básicos de manera integrada, relacionándolos a
través del establecimiento de coherencia vertical y horizontal, para luego
matematizar la cotidianidad mediante situaciones problemas significativos y
comprensivos.
En este modulo de didáctica de las matemáticas uno, que es un documento de
trabajo; a demás de las características antes descritas se plantean variadas
alternativas teórico practicas para mejorar la comunicación de los saberes
matemáticos en los niveles de educación básica y media; dirigido
principalmente a estudiantes de la licenciatura de matemáticas y física, a los dela educación básica y a los docentes en ejercicios que de una u otra forma se
desempeñan en esta área.
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CAPITULO I
GENERALIDADES PEDAGÓGICAS
PANORAMA DE LA EDUCACIÓN EN COLOMBIA
Tradicionalmente se había entendido la enseñanza como el proceso mediante el
cual, quien sabía (el docente) transmitía información a quien no sabía (el
estudiante); en la actualidad hay consenso teórico al menos entre la gran mayoría
del personal docente, de que más allá de vaciar información como si se trata de
cambiar el contenido de un recipiente a otro, la enseñanza de la que se debe
ocupar la escuela a través de los docentes en la época actual, es un proceso
intencional y planeado mediante el cual quien enseña propicia las condiciones
para que quien aprenda desarrolle las potencialidades intelectuales y
competencias básicas para hacer uso de lo aprendido en cualquier contexto;
aunque en la práctica muy pocos docentes o tal vez ninguno actúa enconcordancia con este concepto ya que los procesos de enseñanza están
caracterizados por un alto nivel de reproduccionismo y compilación de
información, desarticuladas de la cotidianidad y con muy pocas posibilidades de
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que el estudiante pueda hacer uso creativo de esa información en contextos
diferentes al aprendido.
De allí que en la actualidad exista insatisfacción con la calidad de los aprendizajes
obtenidos por los estudiantes. Este hecho se verifica fácilmente exigiéndoles a
niños de primaria que: sumen, resten o multipliquen ciertas cantidades y se notará
que lo logran sin mayores tropiezos, pero cuando se les plantea un problema
donde ellos tengan que decidir las operaciones a realizar, generalmente tienen
muchas dificultades y en la mayoría de los casos resultan rajados como ha
sucedido en algunas investigaciones, pruebas saber e Icfes entre otras.
Para ningún docente es un secreto que cuando ocurre el encuentro docente –
discente cada parte realiza lo que cree es suficiente para el logro de sus objetivos
acorde con sus respectivos niveles de motivación, esto es, el docente hace lo
suyo y cree que lo demás es cosa del estudiante y este a su vez haciendo un gran
esfuerzo logra memorizar al menos parte de lo que le han presentado con el
objeto de responder cuando se le exija para poder ser promovido de un grado a
otro, hasta terminar el respectivo nivel de educación.
Así vistas las cosas es claro que le enseñanza y el aprendizaje en Colombia y
especialmente en la región chocoana siguen siendo necesidades intelectuales
básicas no satisfechas; si se entiende que la verdadera enseñanza es la que
asegura el aprendizaje y el aprendizaje ideal es el que sirve para la vida y se
adquiere en la vida misma.
Por esto y por muchos otros aspectos relacionados es que consideramos que
aunque indudablemente se ha avanzado mucho en la cualificación de los procesos
pedagógicos y didácticos aún se está lejos de ubicar estos procesos en un nivel
aceptable para la época, de allí que se esté proponiendo acciones
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Para que el docente interesado en mejorar sus prácticas cualifique sus saberes y
desempeños.
La problemática de los procesos de aprendizaje es similar en la gran mayoría
de las instituciones educativas del país y en especial en las de educación básica
y media; salvo las de vanguardia y sectores elitistas.
Pues el profesorado en la práctica comparte el dogma fundamental de la docencia.
“Para enseñar muy bien mí disciplina, es necesario y suficiente saberla muybien”1.
Solo un grupo minoritario de docentes estamos convencidos de que para enseñar
bien, es necesario el dominio de la disciplina pero no es suficiente. Y es mucho
menor el grupo que conociendo tal situación se esfuerza por mejorar la
comunicación de los saberes; mediante la pedagogía y la didáctica de su
disciplina.
Es claro que la diferencia más notoria entre una institución y otra en los procesos
de enseñanza y aprendizaje radica en el avance que se haya logrado en la
socio – cultura institucional de cada una.
El fracaso de los estudiantes en las instituciones, generalmente se debe a
diversas y complejas razones comunes que entre ellas se citan y que coinciden en
parte con los planteamientos del doctor Carlos Eduardo Vasco Uribe.
Hay estudiantes perezosos; desmotivados; incomprendidos; faltos de ayuda,
dirección, orientación, autoridad; bases conceptuales, métodos de estudio y de
aprendizaje entre otros.
A los docentes nos falta dominio disciplinar, pedagógico, y didáctico;
motivación, estímulos; conocimiento histórico y epistemológico de la disciplina.
1 Vasco, U. Carlos E. Pedagogía para la comprensión uni-pluri/versidad; vol.4, Nº 1, 2004
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Por lo que no existe colaboración eficaz para ayudar a enseñar a prender a los
estudiantes.
Las reglas institucionales y en general la socio – cultura institucional
desfavorece el avance de los estudiantes en su formación y las malas notas o
valoraciones insuficientes solo son señales que indican el estado del proceso.
Hoy no existe una propuesta convincente soportada en estudios serios sobre
cómo mejorar la situación académica actual en nuestra región.
Para Carlos Eduardo Vasco; avanzar en este proceso implica: ir más allá de
los buenos ejemplos; ya que son los malos ejemplos los que hunden.
Más allá de los discursos rimbombantes vacíos y floridos que usan los
directivos y que plantean los pedagogos en sus libros y conferencias, por
cuanto una vez el docente las detecta y observa la incongruencia entre la
teoría y la práctica, los subvalora restándoles importancia, vengan de donde
vengan.
Para él tampoco bastan los cursos de pedagogía y didáctica, y mucho
menos si estas son de carácter obligatorio por ser contraproducentes.
HACIA LA NECESIDAD DE CAMBIAR
Es claro que en la actualidad no existe satisfacción con los niveles de
competencias alcanzado por los estudiantes como resultado del proceso educativo
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docente; por lo que surge el interrogante ¿Qué hay que cambiar?, Bien se podría
responder con múltiples interrogantes nuevamente, ¿Cambiar el sistema de
gobierno?, ¿Cambiar la educación?,¿ Cambiar la escuela?,¿ Cambiar al docente?,
entre otros.
Si se analiza bien, cambiar uno de los anteriores aspectos implica
automáticamente cambiar otros, pero en esta obra estamos asumiendo tratar un
poco sobre la necesidad de cambiar la escuela, por cuanto este integra lo
general que es el sistema y la educación con lo especifico que es el desempeño
docente ; quien es en ultimas el motor del cambio educativo
CAMBIAR LA ESCUELA
La escuela en la que nos hemos educado no ha sido una institución de
convivencia armónica y placentera, se ha visto más bien, como un lugar de
enajenamiento y represión; en el que sin arte, ni gracia el encanto de la
niñez y la juventud, Sucumben bajo el peso de rigurosa disciplina, el
autoritarismo y extensos e incoherentes programas con los que se
pretende formar intelectuales enciclopédicos.
Pues, de los primeras 20 años de vida de una persona, el 75% de ese
tiempo transcurre en las instituciones escolar supuestamente aprendiendo de
quienes saben; donde la verticalidad del sistema hacen de este, un centro
de reclusión donde los estudiantes pagan penas de formación Para el
futuro, siendo el aula un tipo de celda de la que los niños sueñan con
evadirse.
La escuela debe convertirse en espacio de práctica de la democracia, de la
libertad, la recreación, de la apropiación del saber, de la defensa y
desarrollo armónico de la vida y el aula, a su vez debe ser un “taller del
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conocimiento” y de las expresiones de la cultura en relación armónica con
la realidad que la circunda.
Tradicionalmente se han utilizado técnicas y métodos, con los que se piensa
se está entregando conocimiento y se está adquiriendo el saber; sin
embargo en la mayoría de los casos al evaluar a los estudiantes, estos
parecen desconocer lo que ha ocurrido en la clase en relación con el
conocimiento.
Por todo lo anterior, renovar la práctica pedagógica resulta una necesidad y
representa un problema que resolver. Aunque estos procesos se han venido
mejorando, en la medida que se ha ido entendiendo que:
El maestro no tiene la verdad revelada, que tiene vacíos, errores,
deficiencias, necesidades y que está en proceso de formación
permanente.
El alumno no es una vasija para ser llenada, si no, que posee
conocimientos, criterios, puntos de vista, experiencia que aportan y quepor ello, debe devolvérsele el don de la palabra ; para que se
comunique.
Se debe cambiar de actitud frente al alumno en los procesos de
apropiación del conocimiento, poniéndose a su altura, sostener con el
una relación fraterna, eliminar el enfrenamiento que se deriva de la
concepción enseñanza - aprendizaje, comprometiéndose conjuntamente en
su formación cualitativa.
La actividad educativa es un proceso de creación y recreación de
conocimientos.
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Cuando los procesos de conocimiento, se dan en los contextos de las
necesidades e intereses del individuo y la comunidad; el aprendizaje se
construye más rápido y resulta más fácil.
A pesar de todos la intentos por mejorar la práctica pedagógica estamos
lejos de una escuela, donde los estudiantes no se quieran ir, porque
disfrutan desarrollando competencias ( saber, saber hacer, ser ) en la vida
para la vida ; aprendiendo a: pensar, actuar, analizar , aprender, investigar,
deducir, participar, soñar, jugar y enternecerse.
Hoy se propone renovar la práctica pedagógica mediante el proceso denominado
“TALLER” que dialécticamente consiste en partir de la práctica, teorizar y regresar
a la práctica con una visión enriquecida de la misma.
Implicando esto:
Partir del conocimiento que tiene el alumno, denominado saber social; después dehaberlo escuchado, se reflexiona sobre lo expuesto por él; luego se profundiza a
partir de su conocimiento, hacia una sistematización de los mismos; en un saber
que denominados: saber académico, motivándolo a que se comprometa a
ampliarlo y avanzar en el.
Como se ha dicho en muchas y diferentes formas, transformar la escuela en un
espacio maravilloso donde los individuos y la sociedad avancen hacia lo que
articula integralmente; a un filosofo, un científico y un artista, es una
necesidad real y sentida en la actualidad.
Para lo cual existen también múltiples propuestas, eso si que en teoría.
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A nuestra manera de ver y de pensar, uno de los mayores obstáculos y
reto a la vez, radica en que nadie se quiere comprometer a pagar el
precio del cambio.
“Hacer práctica, teorizar y volver a la práctica”
Ya que desde la teoría , se hacen planteamientos muy hermosos, pero los
expertos no están dispuestos a darse la pela; realizando un acompañamiento
durante un buen tiempo a los docentes, como se realiza en el mundo
médico, que durante un año los aspirantes a médicos, son acompañados
por especialistas del ramo, durante el internado; ni los docentes estamos
dispuestos a vivir la teoría producida por los expertos, re- teorizar y volver ala práctica .
Estamos inclinado a pensar, que tal vez la pedagogía “cuyo eje principal es
la formación humana” (Flores R, 2005) no ha respondido, mostrando en la
práctica, como se pueden desarrollar las citadas competencias; en un
ambiente de felicidad, gozo y disfrute.
Ya que hoy, donde se logran desarrollar estas competencias; es a costa de
sacrificio, responsabilidad, estrés, afanes, angustias, disciplina, esfuerzo y
compromiso con el deber ser, etc., situaciones todas estas, que sacan al individuo
de su estado natural, de tranquilidad y gozo.
Es claro también, que uno se mantiene allí, no por lo rico del proceso como se
espera en la teoría, sino tal vez por la motivación que genera la recompensa
que se obtendrá al final del proceso.
Pareciera que pensar en lo nuevo, hacer creatividad fuerte y cumplir con algunas
responsabilidades asumidas; estuvieran relacionadas con alguna clase de
ANGUSTIA y ese sería el precio que habría que pagar por los logros a obtener.
Es bueno asumir el reto, de incursionar mediante la investigación en procesos de
aprendizajes placenteros; que iniciándose en edades tempranas permanezcan
durante toda la vida.
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Hoy en la generación actual, es bien difícil la tarea, por cuanto los hábitos forman
el carácter y en ocasiones los buenos hábitos cuestan mucho más que los otros,
ya que vivimos en una sociedad que anhela el facilismo, que confunde la libertad
con el libertinaje, la autoridad con el autoritarismo y la exigencia con la imposición
entre otros, por lo que exigir el cumplimiento del deber ser; generan
enfrentamientos entre los estudiantes con sus padres y docentes, por lo que ello
implica salirse de la armonía y la paz que se trae de la niñez y que no todos
estamos dispuestos a abandonar.
Aunque la propuesta del doctor Carlos Eduardo Vasco hace mayor énfasis Al caso de la docencia universitaria, también aplica muy bien para todos los
niveles educativos, ya que el citado docente investigador es conocedor tanto de la
teoría como de la práctica en los diferentes niveles.
De su afirmación: “es necesario el cambio de las condiciones socio-culturales de
las instituciones”2.
Se debe generar una serie de cambios en la vida de las instituciones educativas
que contemplen entre otras las acciones siguientes:
Incentivar las labores docentes bien preparadas y exitosas.
Evitar en lo posible descargar de la labor docente a los que posean mejores
competencias pedagógicas.
Asignar tiempos razonables para preparación de clases, talleres y revisión de
trabajos de los alumnos.
2 Ibid, pag. 8
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Fomentar la formación continua y voluntaria de los docentes, desde cursos de
participación hasta doctorados tanto en las disciplinas como en la pedagogía,
didáctica y la historia de la epistemología de las disciplinas.
Extender y perfeccionar la evaluación, exaltación y critica pública y de los
estudiantes en torno a los docentes.
Reglamentar exigencias académicas y procesos de seguimiento tanto a
estudiantes como a docentes que garanticen la comprensión profunda de los
conceptos tratados por parte de los estudiantes.
Pero en claro que en las situaciones actuales del sistema educativo en Colombia;
obtener estas condiciones que realmente son necesarios aunque no suficientes.
Es una causa tal vez no perdida pero si lejana, parafraseando así el planteamiento
del autor.
Ya en cuanto al quehacer estrictamente del docente, en el sentido del cambio que
se debe generar; la propuesta plantea:
“cultivar una visión de la enseñanza de las disciplinas que tenga por meta la
comprensión profunda de las practicas, métodos, modelos, teorías y conceptos de
la disciplina por parte de los estudiantes” (Vasco U, 2004).
Desde una visión que pone “[la información precisa al servicio del entendimiento a
fondo de lo que se aprende” y “el deseo de comprender en profundidad como la
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principal motivación intrínseca para buscar evaluar, relacionar, y memorizar la
información]”3.
La pedagogía para la comprensión, acorde con los planteamientos del vasco
exige:
Desarrollar conceptos específicos de lo que significa comprensión.
Abordar la comprensión de lo educativo desde diferentes perspectivas o
dimensiones por ejemplo desde:
El aprendizaje de los conceptos dentro de una teoría en relación con otras
afines y contrastes.
La capacidad de expresar lo aprendido en diferentes formas, medios y
dispositivos y distintos públicos.
El saber hacer que se comunica mas por el trabajo conjunto con experto que
por clases y conferencias.
La relación que se establece entre lo que se aprende en cada disciplina con los
problemas de la vida practica; ya sean activos, políticos, técnicos económicos y
sociales.
Trascender las fronteras de las disciplinas para comprender los problemas
reales de la vida, abordándoles desde los diferentes ramas del saber.
3 Ibid, pag. 11
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Ayudar a profundizar a los estudiantes en la comprensión; conociendo con
relativa solvencia la historia de la disciplina y en particular la historia de los
temas que enseña en sus cursos, a demás de la epistemología social, los
signos lingüísticos y culturales.
Conocer los aspectos psicosocial de los jóvenes entre ellos la manera de
estudiar, aprender, sus conflictos, preocupaciones, sus modos de comunicarse;
sus intereses, necesidades, e inquietudes entre otros.
En síntesis la propuesta del autor plantea un cambio sociocultural de las
instituciones que contemple la conformación de una cultura de la comprensión
de los asuntos tratados en la escuela.
CONCEPCIONES CLAVEZ EN LA DOCENCIA
LA EDUCACIÓN
Para Rafael Flores Ochoa, “La educación se refiere a la interacción cultural, al
proceso social mediante el cual una sociedad asimila a sus nuevos miembros
incorporándolos a sus valores, reglas, pautas de comportamiento, saberes,
prácticas, ritos y costumbres que la caracterizan; además de actuar en ellos
sembrando inquietudes, generando espíritu crítico y creativo, que les permitarescatar de sí lo más valioso, sus talentos y capacidades innovadoras, su
potencial como persona, su comprensión y solidaridad. (R. Flórez).4
4 Flórez O. Rafael, Evaluación Pedagógica y Cognoción Mc Graw-Hill, Bogotá, 1999
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Para Lucio (1990) la educación es entendida como el proceso a través del cual
una sociedad, de manera intencional o difusa promueve el crecimiento de sus
individuos”5
De lo que se deduce que la función de la educación se centra en la socialización
y en el desarrollo de los talentos o potencialidades de los individuos. Implicando
esto que la escuela no debe limitarse a la adaptación social como ocurre con
frecuencia, sino ser promotora de desarrollo y avance en las personas.
LA FORMACIÓN
“La formación es el proceso de humanización, cualificación o avance que logran
las personas, sobre todo en sensibilidad, inteligencia, autonomía y solidaridad.
Para Humbold (2000) la formación se refiere a algo más interior que el
conocimiento producto de un aprendizaje, desde su óptica la formación es no solo
el resultado espiritual sino también el proceso interior en permanente desarrolloque abarca mucho más que el cultivo de las actitudes y talentos naturales del
individuo; Lo esencial de la formación, es convertir al ser humano en un ser
espiritual capaz de asumir sus propios deseos, necesidades e intereses privados a
través del trabajo y la reflexión hasta reconciliarse consigo mismo.
Así, la formación a diferencia del aprendizaje que surte efectos inmediatos es
un proceso a largo plazo, que toca lo más profundo e integro del ser; de allí que
algunos la definan como lo que queda cuando la información se olvida.Obsérvese que uno no puede ni enseñar ni aprender a ser creativo, responsable,
honrado, justo, solidario, inteligente, entre otros mediante un proceso de
5 Lucio A. Ricardo. La constitución del saber, aportes No. 41, 1990
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enseñanza puntual de momento sino , mediante un proceso integral a largo plazo;
en esto radica la diferencia entre formación y aprendizaje.
LA PEDAGOGÍA
Para (R. Flórez) “La pedagogía como disciplina en construcción está referida a
un conjunto de proposiciones que se configuran alrededor del concepto de
formación como principio de teorías, conceptos, métodos, modelos, estrategias y
cursos de acción pedagógica que pretenden entender y cualificar la enseñanza, el
aprendizaje, el currículo, las sesiones de clases y en las gestiones educativas”, en
síntesis dice también que la reflexión sobre los asuntos de la educación y lamanera de concebirla son los que constituyen la pedagogía (1990)”
La pedagogía es la encargada del estudio y el diseño de experiencias culturales
que conduzcan al progreso de la formación humana, de allí que ese sea su
principio, su fin y su eje fundamental. Como lo señala (Lyotare 19)
LA DIDÁCTICA
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Para R Flóres “la didáctica es un capítulo de la pedagogía el más instrumental y
operativo, pues se refiere a la metodología de enseñanza, al conjunto de métodos
y técnicas que permiten enseñar con eficiencia”
La didáctica no se entiende ni se aplica como un conjunto de técnicas
comunicativas aisladas de los principios y de la red conceptual que caracteriza a
cada teoría pedagógica, cada modelo pedagógico propone una didáctica diferente,
pero además de las directrices generales de la didáctica necesitan acoplarse y
asimilarse a las condiciones de cada ciencia específica.
Para Pedro Alejandro Suárez (2004)6 La didáctica responde al como de la
enseñanza, al quien del aprendizaje, al porque de la enseñanza y a los resultados
que van produciéndose en el proceso de aprender. La didáctica se constituye en
un puente entre la educabilidad y la enseñabilidad; dado que se apoya en la
primera para tener en cuenta las características del estudiante que va a aprender
y así disponer estrategias y medios acordes con su zona de desarrollo próximo; en
forma paralela recurre a la enseñabilidad para apoyarse en métodos y técnicas
propias del saber mismo para hacer las transposiciones didácticas necesarias; al
respecto Zambrano L (2001)7 plantea “el concepto de enseñabilidad hace
referencia a los que los didactas franceses denominan la didáctica de las
disciplinas”
En pleno acuerdo con las ponencias anteriores, en síntesis, entendemos la
didáctica como la estrategia operacional de la pedagogía que se despliega en la
ejecución de la enseñanza real y en este sentido su fin es el aprendizaje o en su
efecto la enseñanza que asegura el aprendizaje
6 Suárez Pedro Alejandro. Una Didáctica pertinente a estándares y competencias, CONACED, Bogotá, 2004
7 Zambrano Leal, Armando. Pedagogía, Educabilidad y Educabilidad de docentes. Antes gráficas del Valle,
Cali, 2001
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LA ENSEÑANZA
La enseñanza es una actividad educativa específica, intencional y planeada para
facilitar que determinados individuos se apropien y elaboren con creatividad cierta
porción del saber o alternativa de solución a algún problema en aras a su
formación personal (Suárez Pedro 2004)8 y en este sentido la calidad de la
enseñanza exige dominio del tema y competencia para enseñarlo, sapiencia parta
propiciar que el aprendizaje en un área particular del saber repercuta en la
estructura global del sujeto y produzca mayor nivel de formación humana.
Para R. Flórez también la enseñanza es un proceso que no se opone ni excluye el
aprendizaje, sino que la verdadera enseñanza es la que asegura el aprendizaje,
pero no el aprendizaje fijo de datos y de informaciones puntuales, sino cambios de
conceptos para orientarse y hacer camino para diseñar procedimientos para
solucionar problemas, y para secuenciar los pasos claves para alcanzar nuevosconocimientos explícitos, complejos producto de la reflexión. En fin la enseñanza
que forma no es la que acumula conocimiento en la memoria del aprendiz; sino la
que proporciona nuevos esquemas de acción lógica, crítica o real, la que abre
nueva perspectiva sobre el mundo o facilita la construcción de nuevas estrategias
y habilidades de pensamiento en algún campo de la vida, de la ciencia, de la
cultura o del trabajo profesional.
ESTANDARES BASICOS DE COMPETENCIAS.
8 Suárez Pedro Alejandro, Una Didáctica pertinente a estándares y competencias, CONACED, Bogotá, 2004
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En sentido general, se entiende por estándares básicos de competencias
matemáticas a los “criterios claros y de dominio público que permite valorar si la
formación de un estudiante en un área determinada cumple con las expectativas
sociales y nacionales de calidad” (MEN; 2006).
A demás constituyen uno de los parámetros de lo que todo niño, niña y joven
debe saber y saber hacer para lograr el nivel de calidad esperado.
Estos estándares son básicos en el sentido de que se refieren a “lo central,
Necesario y fundamental en relación con la enseñanza y el aprendizaje del área yde competencias en cuanto se refieren: al saber hacer reflexible que puede
actualizarse en distintos contextos y a la capacidad de usar los conocimientos en
situaciones distintas a aquella en la que se aprendieron.
Los estándares de matemáticas en su estructura presentan: procesos generales;
conceptos y procedimientos y contexto.
Los estándares relacionan las matemáticas con el desarrollo del pensamiento
racional (razonamiento lógico, abstracción, rigor y precisión) de los estudiantes,
esencial para el aprendizaje en ciencia y tecnología, pero además, para contribuir
a la formación de ciudadanos responsables y diligentes frente a las situaciones y
decisiones de orden local y nacional, por tanto, al sostenimiento o consolidación
de estructuras sociales democráticas
LAS COMPETENCIAS
Son un conjunto de conocimientos, actitudes, disposiciones y habilidades
(cognitivas, socio-afectivas y comunicativas), relacionadas entre sí para facilitar el
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desempeño flexible, y con sentido de una actividad en contextos relativamente
nuevos y retadores. (Tomado de Vasco, pp. 4-5 Documento de trabajo)
Los estándares en matemáticas buscan que a partir de la interacción permanente
entre el maestro y sus alumnos y entre éstos y sus compañeros, sean capaces, a
través de la exploración, de la abstracción, de clasificaciones, mediciones y
estimaciones, de llegar a resultados que les permitan comunicarse, hacer
interpretaciones y representaciones; en fin, descubrir que las matemáticas están
íntimamente relacionadas con la realidad y con las situaciones que los rodean, nosolamente en su institución educativa, sino también en la vida y fuera de ella.
De la concepción del doctor vasco, se deduce que ser competente exíge tres
elementos básicos: El saber que está relacionado Con los contenidos, el saber
hacer que se relaciona con las habilidades y el ser relacionado con las actitudes.
De allí que cuando se redactan logros por competencias se deben tener en
cuenta esos tres elementos. Pues los contenidos y las habilidades en matemáticas
son fáciles de explicitar, pero las actitudes no siempre lo son; por lo que se
recomienda que deben ser extraídas de las competencias ciudadanas para ser
trabajadas desde todas las áreas y que vienen dados en los lineamientos del
ministerio; Por lo que a continuación se tratan de manera breve.
COMPETENCIAS CIUDADANAS
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Las competencias ciudadanas son el conjunto de conocimientos y de habilidades
cognitivas, emocionales y comunicativas que, articulados entre sí, hacen posible
que el ciudadano actúe de manera constructiva en la cotidianidad. Retomando el
concepto de competencia como saber hacer, se trata de ofrecer a los niños y
niñas las herramientas necesarias para relacionarse con otros de una manera
cada vez más comprensiva y justa y para que sean capaces de resolver
problemas cotidianos. Las competencias ciudadanas permiten que cada persona
contribuya a la convivencia pacífica, participe responsable y constructivamente en
los procesos democráticos y respete y valore diferencias, tanto en su entorno
cercano, como en su comunidad, en su país o en otros países.
LOS LOGROS
Un logro es aquello que se desea potenciar y que se espera obtener mediante el
desarrollo de los procesos de formación del educando*. En este sentido un logro
es algo previsto, esperado, buscado, hacia lo cual se orienta la acción pedagógica,
también hace referencia al nivel en el cual los estudiantes alcanzan un
determinado estándar.
Se puede hablar de logros en dos momentos: Antes del proceso y después del
proceso, en el primer caso se habla de logros esperados y en el segundo de
logros alcanzados que no necesariamente están explícitos o previstos en laplaneación del proceso, como también se pueden detectar logros no alcanzados
previstos o no en el proceso.
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Hoy que se trabaja en busca del desarrollo de competencias, necesariamente los
logros deben contar con los tres elementos básicos del ser competente: el saber
(los contenidos), el saber hacer (las habilidades), el ser (las actitudes)
De allí que para la redacción de los logros basados en las competencias se
deben describir nítidamente; los saberes, las habilidades, y los valores.
Para la redacción de dichos logros existen tres propuestas más comúnmente
aceptadas en cuanto al manejo del verbo que son: expresar el verbo en futuro
“reconocerá”, expresarlo en infinitivo “reconocer” o anteponiéndole la palabra “que”
a la que indica la acción o proceso a desarrollar ejemplo: “que reconozca”
LOS INDICADORES DE LOGROS
Los indicadores “son comportamientos manifiestos, evidencias pistas o
conjugación de rasgos observables del desempeño humano que gracias a una
argumentación teórica bien fundamentada, permiten afirmar que aquello previsto
se ha alcanzado” Resolución 2343 (MEN 1998)
Los indicadores son los que permiten operacionalizar los logros, comparar estados
de un proceso, emitir juicios acerca de la pertinencia, la equidad y calidad de la
oferta educativa que hace una institución, una región o el país son también
referentes para la evaluación, ya que son señales del nivel al que se ha llegado
dentro del proceso deseable, dicha información debe ser usada para
retroalimentar los procesos y reorientar el trabajo pedagógico.
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“Así como se espera que un médico interprete los signos vitales y los síntomas de
una enfermedad para determinar el estado de una persona, se espera que el
educador en el contacto con los estudiantes detecte las señales de lo que está
sucediendo con sus procesos de aprendizaje y de formación integral”, de allí que
es importante establecer cortes especiales para indagar cómo va el proceso para
tomar decisiones adecuadas y oportunas
ENFOQUES PEDAGÓGICOS
La historia de la humanidad registra muchos cambios en torno a la manera deconcebir lo educativo, los modelos, corrientes o enfoques pedagógicos son los que
mejor describen esa realidad histórica.
Existen diversos formas de abordar el estudio de estos enfoques, de allí que
muchos autores realizan una clasificación inmensa. Pero los hermanos Miguel y
Julian de Zubiría, solo establecen tres grandes modelos según si la pedagogía
base es la tradicional o conductista, la pedagogía activa o la pedagogía cognitiva.
ENFOQUES INSTRUCCIONALES
Los hermanos de Zubiría llaman enfoques tradicionales a aquellas tendencias
pedagógicas que se fundamentan en la pedagogía tradicional. Cuya función es la
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transmisión de información de quien sabe (el docente), a quien no sabe (el
estudiante).
Para Miguel y Julian de Zubiria las características más relevantes de los enfoques
institucionales son los siguientes:
La función de la escuela es la de transmitir los saberes específicos y las
valoraciones aceptadas socialmente. inversos paradigmas pedagógicos el
conocimiento puede ser transmitido, construido o reconstruido en la escuela, la
corriente instruccional escoge entre estas opciones la primera ya que presupone
que los saberes son elaborados por fuera de la institución educativa y que llegan aella mediante la lección que dicta el docente, el estudiante es identificado como un
receptor que gracias a la imaginación y reiteración logrará reproducir los saberes
que le fueron transmitidos.
Podría pensarse que la pedagogía tradicional fue la práctica docente del pasado,
pero realmente esto es en teoría porque aunque ya nadie se cree tradicionalista
pedagógicamente hablando, la práctica muestra que las acciones pedagógicas de
la gran mayoría de los docentes incluyéndonos contienen altas dosis de
pedagogía tradicional.
Los contenidos curriculares están constituidos por las normas y las informaciones
socialmente aceptadas.
Acorde con este postulado, siendo la finalidad de la educación instruccional dotar
a sus estudiantes de los saberes enciclopédicos acumulados por los siglos, los
hechos, nombres, definiciones y operaciones específicas constituyen el arsenal de
los conocimientos que serían aprendidos.
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El aprendizaje tiene carácter acumulativo, sucesivo y continuo, por ello el
conocimiento debe secuenciarse instruccional o cronológicamente.
La pedagogía tradicional no atiende a la psicología genética para ello no importa si
se enseña a un niño, a un preadolescente, a un adolescente o a un adulto.
Los alumnos aprenden igual, el maestro debe enseñar igual y solo se debe enseñar
un contenido cuando la información previa ya haya sido aprendida e impartirlo
teniendo en cuenta el orden de aparición de los fenómenos en la realidad.
La exposición oral y visual del maestro, hecha de manera reiterada y severa, garantiza
el aprendizaje.
En este sentido el aprendizaje será efectivo en la medida en que repose en la
atención y en la reiteración pero para lograrlo el maestro debería repetir, corregir y
hacer corregir en tanto que el alumno deberá limitarse a imitar, atender y corregir.
La disciplina creará el ambiente para el aprendizaje, garantizarlo es asunto de
castigos severos a los infractores, los pellizcos, humillaciones y reglazos siguen
siendo armas esgrimidas por algunos docentes para imponer su autoridad y crear
las condiciones de aprendizaje
Las ayudas educativas deben ser lo más parecidas a lo real para facilitar la percepción
de manera que su presentación reiterada conduzca a la formación de imágenes
mentales que garanticen el aprendizaje
La finalidad de la evaluación será la de determinar hasta qué punto han quedado
impreso los conocimientos transmitidos.
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“Es decir, determinar la presencia de los contenidos transmitidos”
De allí que se piense actualmente que este proceder pedagógico apagó las
preguntas y motivaciones propias de la niñez generando el desinterés y la
incomprensión de la ciencia común entre los jóvenes y adultos de esta época.
ENFOQUES ACTIVOS
Los enfoques pedagógicos activos, surgen cuando se empezó a considerar el niño
como el sujeto y no como el objeto de la práctica educativa que había reinado en
los enfoques conductistas donde la autoridad y el maltrato eran elementos básicos
del proceso.
La teoría de Gestalt brindó un marco psicológico que condujo a resaltar la niñez
como un periodo evolutivo, diferenciando el pensamiento adulto del niño.
Al ser el niño el centro y el responsable en gran parte de su aprendizaje, de la
teoría de Darwin se trajo a la educación “la acción como fuente de aprendizaje” al
considerar que en los procesos de selección natural enunciados por Darwin lasespecies que sobrevivían, serían las que gracias a la acción se adaptan
generando mutaciones genéticas en sus descendientes, la pasividad de la especie
sería castigada con la desaparición y en el campo pedagógico la inactividad
conllevaría a la no aprensión del conocimiento.
La diferencia principal que se establece entre el tradicionalismo y los enfoques
activos consiste en que estos últimos identifican el aprendizaje con la acción, de
allí el planteamiento de Decroly “se aprende haciendo”. Las hermanos de Zubiría señalan como postulados los siguientes:
El fin de la escuela no puede estar limitado al aprendizaje; La escuela debe preparar
para la vida.
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Así la escuela debe permitirle al niño pensar y actuar a su manera, garantizando la
experiencia con libertad y autonomía que se requiere en la vida, dejando de ser
así la escuela, el medio artificial separado de la vida para convertir en un pequeño
mundo real y práctico que se pone a los niños en contacto con la naturaleza y la
realidad.
Si la escuela debe preparar para la vida, la naturaleza y la vida misma deben ser
estudiadas
Según Comenius lo que le hacía falta a la escuela era el conocimiento directo de
las cosas en vez de los libros muertos ¿por qué no abrir el libro vivo de la
naturaleza?
Los contenidos educativos deben organizarse partiendo de lo simple y concreto hacia
lo complejo y abstracto
Considerando la experiencia como la madre del saber, el activismo adapta una
secuenciación empirista, donde la manipulación y el contacto directo con los
objetos se presuponen garantizarán la formación de los conceptos.
Al considerar al niño como artesano de su propio conocimiento el activismo da
primacía al sujeto y a su experimentación.
Si el aprendizaje proviene de la experimentación y no de la recepción, el maestro,
el alumno y el saber deben cumplir funciones diferentes a las que el modelo
tradicional les asignaba.
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Los recursos didácticos serán entendidos como útiles de la infancia que al permitir
la manipulación y experimentación contribuirán a educar a los sentidos,
garantizando el aprendizaje y el desarrollo de las capacidades del individuo.
ENFOQUES CONTEMPORANEOS
Los llamados enfoques contemporáneos son todos aquellos enfoques basados en
la psicología y en la genética que han dado lugar a las actuales tendencias en
educación fundamentadas en la pedagogía cognitiva y conceptual.
PROPUESTA PEDAGÓGICA CONSTRUCTIVISTA
Desde los planteamientos de PIAGET se establece que la meta educativa es que
cada individuo acceda progresiva y secuencialmente a la etapa superior de su
desarrollo intelectual. De acuerdo con las necesidades y condiciones particulares,
el maestro debe crear un ambiente estimulante de experiencias que faciliten en el
niño su acceso a las estructuras cognitivas de la etapa inmediatamente superior.
Para Piaget el aprendizaje sigue siempre al desarrollo y la escuela en
consecuencia debe adecuarse al nivel de desarrollo de sus estudiante.
La tesis fundamental de Piaget está centrada en la tendencia al mayor equilibrio
porque según él, el desarrollo conceptual se da mediante un paso progresivo de
estado de Asimilación – Acomodación.
El soviético Liev Vygotski desarrolló una teoría llamada la integración Vygostkimaconsistente en reconocer parte de sus explicaciones tanto al asocianismo como al
maduracionismo.
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La teoría asociacionista considera al individuo como una tábula raza sobre la cual
se realizan las impresiones provenientes del exterior, es este sentido el
aprendizaje es igual al desarrollo ya que el niño estaría más o menos desarrollado
según se hayan incorporado a el mas o menos impresiones del exterior.
Para la tesis maduracionista el desarrollo es independiente del aprendizaje y es el
propio individuo que gracias a su proceso de maduración obtiene el desarrollo.
Vygotski en su teoría reconoce del asociacionismo la existencia de las ideas en el
mundo exterior al tiempo que se distancia de su consideración de que estasexistan en los objetos y que por consiguiente puedan obtenerse inductivamente de
los mismos y al maduracionismo le reconoce el que el individuo sea quien realiza
el proceso de aprendizaje pero se distancia de este en cuanto estos
conocimientos ya han sido construidos previamente por la cultura y por
consiguiente provienen del mundo exterior.
Por tanto para Vygotski el niño no construye sino que reconstruye los
conocimientos ya elaborados por la ciencia y la cultura y en dicho proceso el
lenguaje hace las veces de mediador (Zubiría Miguel 1998).
Para Vygotski el aprendizaje y el desarrollo son interdependientes, exaltando así
el papel de generador de desarrollo que cumple el aprendizaje.
La tesis pedagógica fundamental de Vygotski dice “ en la medida que un niño
puede hacer hoy con la ayuda de los adultos lo que podría hacer mañana por sí
solo estaría ascendiendo a una zona de desarrollo próximo” y en este sentido la
escuela podría contribuir así a la promoción de las capacidades intelectuales de
los estudiantes.
El concepto de “zona de desarrollo próximo entendido como “aquellas acciones
que el individuo solo puede realizar individualmente con la colaboración de otras
personas por lo general adultas, pero que gracias a esta interacción aprende a
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desarrollar de manera autónoma y voluntaria” le permitió formular a Vygotski su
conocida tesis sobre el doble desarrollo “En el desarrollo psíquico del niño toda
función aparece en escena dos veces, en dos planos, primero en el social y luego
en el psícológico; primero entre las personas como una categoría interpsíquica y
luego dentro del niño como una categoría intrapsíquica”
Los discípulos de vigostki evolucionaron su propuesta histórico cultural, con
aportes de la teoría de piaget, hasta obtener lo que llamaron social
constructivismo en la que se propone el desarrollo máximo y multifacético de las
capacidades e intereses del alumno; tal desarrollo está influido por la sociedad,
por la colectividad donde el trabajo productivo y la educación están íntimamenteunidos para garantizar a los alumnos no solo el espíritu colectivo, sino el
conocimiento científico – técnico y el fundamento de la práctica para la formación
científica de las nuevas generaciones. El desarrollo intelectual para esta
perspectiva no se identifica con el aprendizaje como creen los tradicionalistas, ni
se produce independiente del aprendizaje como lo creen algunos constructivistas y
basa los éxitos de la enseñanza en la interacción y la comunicación de los
alumnos y en el debate y la crítica argumentativa del grupo para lograr resultados
cognitivos y éticos colectivos y solución de problemas reales comunitario mediante
la interacción teórico práctica.
Desde el constructivismo se hace especial énfasis en la construcción de
aprendizajes significativos que Según Ausbel (citado por los Zubiría) el
aprendizaje puede ser: Significativo, en la medida que los nuevos conocimientos
se vinculen de una manera clara y estable con los conocimientos previos de los
cuales disponía el individuo. En cambio el aprendizaje repetitivo será aquel en el
cual no se logra establecer esta relación con los conceptos previos o si se hace,
es de una forma mecánica y por lo tanto poco duradera porque lo aprendido se
relaciona de manera arbitraria con la estructura cognitiva.
Desde el punto de vista de método existen también dos grandes posibilidades, el
aprendizaje receptivo que se da cuando se presenta de manera totalmente
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acabada el contenido final que va a ser aprendido y el aprendizaje por
descubrimiento que se da cuando no se le entrega al alumno el contenido en su
versión final, sino que este tiene que ser descubierto integrado antes de ser
asimila
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CAPITULO II
ORIENTACIONES PARA LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS
RETOS DE LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA
La disciplina en formación hoy llamada educación matemática, afronta el reto de
comprometer a la comunidad de educadores matemáticos con el dominio eficiente
de los saberes pedagógicos y didácticos que permitan la educabilidad y la
enseñabilidad de las matemáticas.
A nuestro criterio esto exige del docente, a demás del manejo eficiente de los
conceptos de la disciplina, comprensión profunda de los aspectos que a
continuación se explicitan:
Desde la perspectiva de la comunicación de los saberes y acorde con la propuesta
del ciclo de calidad del MEN descrito en el documento de los estándares básicosde competencias; se debe reconocer que:
Existen dos tipos básicos de conocimientos matemáticos; El conceptual que
“es un conocimiento teórico, producido por la actividad cognitiva, que tienen un
carácter declarativo y se asocia con el saber qué y el saber por qué, es sobre todo
reflexivo” y el conocimiento procedimental “es vinculado a la acción y está
relacionada con las técnicas y las estrategias para representar conceptos y para
aplicar o transformar dichas representaciones, con las habilidades y destrezas para
elaborar, comparar y ejercitar algoritmos. Este conocimiento ayuda a la construcción
y refinamiento del conocimiento conceptual y permite el uso eficaz, flexible y
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En contexto de los conceptos, proposiciones, teorías y métodos matemáticos, portanto está relacionado con el saber cómo” (MEN, 2005).
Una situación problema, se atiende como “el conjunto de problemas, proyectos,
investigaciones, construcciones, instrucciones y relatos que se elaboran en contextos
cotidianos y que en su tratamiento generan el aprendizaje de las matemáticas por
parte de los estudiantes”(MEN,2006)
Las actividades se refieren “al trabajo intelectual, personal y grupal de los estudiantes
tales como definir estrategias para interpretar, analizar, modelar y reformular
situaciones, formular preguntas y problemas, conjeturas o elaborar hipótesis, explicar
y justificar, refutar conjeturas e hipótesis, utilizar materiales manipulativos, producir,
interpretar y transformar representaciones verbales, graficas, algebraicas, tabulares,
etc.) calcular con lápiz o papel, emplear calculadoras y hojas de cálculos o programa
de computadores, comparar y discutir resultados; redactar y presentar informes etc.
El aprendizaje, “es un proceso activo que emerge de las interacciones entre
estudiantes y contextos, estudiantes y estudiantes, estudiantes y profesores en
el tratamiento de las situaciones matemáticas a través de múltiples actividades.
Por ello se enfatiza en el diseño de situaciones matemáticas que posibilitan a
los estudiantes tomar decisiones, exponer sus opiniones y ser receptivos a los
demás, generar discusión y desarrollar la capacidad de justificar las
afirmaciones con argumentos.
Cinco procesos generales de la actividad matemática que a continuación
se relacionan:
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Formular y resolver problemas .que proporcionan el contexto inmediato
donde el quehacer matemático cobra sentido, en la medida en que las
situaciones que se aborden estén ligados a experiencias cotidianas y por ende
sean significativas para los alumnos”. Además el tratamiento de pr oblemas
permite y exige el desarrollo de actitudes y habilidades de alto nivel porque
implica: el diseño de estrategias, cálculos, interpretar, analizar, verificar
modificar y originar otros problemas, entre otros.
Modelar procesos y fenómenos de la realidad. “Que es un sistema
figurativo mental, que reproduce o representa la realidad en forma
esquemática para hacerla más comprensible, en una imagen análoga que
permite volver cercana y concreta una idea o un concepto para su apropiación
y manejo” (MEN; 2006).
La comunicación. “Las matemáticas pueden construirse, refinarse y
comunicarse a través de diferentes lenguajes, con los que se expresan y
representan; se leen y se escriben, se hablan y se escuchan los conceptos,sentidos y pensamientos matemáticos”. (MEN; 2006).
Razonamiento. El razonamiento lógico que se evidencia inicialmente cuando
se perciben regularidades y relaciones, predicciones y conjeturas,
justificaciones y refutaciones, proposiciones e interpretaciones apoyándose en
contextos materiales y físicos, que más tarde serán abandonados para
trabajar con proposiciones, teorías argumentos y modelos gráficos.
Formular, comparar y ejercitación de procedimientos y algoritmos
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Para el MEN este proceso exige comprometer a los estudiantes en la
construcción y ejecución segura y rápida de procedimientos mecánicos de rutina,
también llamada algoritmos sin que se consideren rígidos hasta el punto que
inmovilicen la reflexión.
Existen tres contextos en el aprendizaje de las matemáticas .Para el MEN, el
contexto “es el lugar no solo físico, sino ante todo socio cultural; desde donde se
construye sentido y significado para las actividades y los contenidos matemáticos y
por tanto desde donde se establecen vínculos con la vida cotidiana de los estudiantesy su familia, con las demás de las instituciones educativas y en particular con las
demás ciencias y con otros ámbitos de las matemáticas mismas”.
El contexto inmediato, que es el generado por las paredes, ventanas,
muebles y materiales del aula y por la situación problema preparada por el
docente o demás aspectos de la clase.
El contexto institucional, que es llamado también contexto escolar
“conformado por las distintas actividades diarias, la arquitectura escolar, lastradiciones y saberes de los estudiantes docentes así como los demás
procesos institucionales”
Contexto extra escolar , también llamado sociocultural que es el “conformado
por todo lo que pasa fuera de la institución, en el ambiente de la comunidad
local, de región, el país y el mundo”.
Existen cinco tipos de pensamientos matemáticos básicos, que
recomienda tratar de manera independiente.
El pensamiento numérico y sistemas numéricos. Este abarca “la
comprensión y el uso de los significados de los números y la numeración, la
comprensión del sentido y significado de las operaciones y de las relaciones
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entre los números y el desarrollo de diferentes técnicas de cálculo y estimación”
(MEN, 2005).
El pensamiento espacial y los sistemas geométricos. Entendido este como
“el conjunto de los procesos cognitivos mediante las cuales se construyen y se
manipulan las representaciones mentales de los objetos del espacio en todas
sus dimensiones, las relaciones entre ellos, sus transformaciones y sus diversas
traducciones o representaciones materiales”. (MEN, 2005).
Pensamiento aleatorio y los sistemas de datos. “Es el que ayuda a tomardecisiones en situaciones de incertidumbre, de azar, de riesgo o ambigüedad
por falta de información confiable, en los que no es posible predecir lo que va a
pasar. Este pensamiento se apoya directamente en conceptos y procedimientos
de la teoría de probabilidades y de la estadística descriptiva y combinatoria”
(MEN, 2005).
Pensamiento variacional y los sistemas algebraicas y analíticos. Está
relacionado con “el reconocimiento, la percepción, la identificación y lacaracterización de la variación y el cambio en diferentes contextos, así como con
su descripción, modelación y representación en diferentes sistemas o registros
simbólicos ya sean verbales, iconos, gráficos o algebraicos” (MEN, 2005).
Incluye también la comprensión y uso de las funciones, el aprendizaje del
cálculo diferencial e integral, variación, cambio y modelación de procesos de la
vida cotidiana.
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DIFICULTADES EN LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS
El uso de la exposición como medio principal de la enseñanza y laequiparación de la inteligencia con la memoria; donde se ubica el profesorcomo eje principal del proceso educativo relegando al aluno a una posiciónpasiva.
Considerar las matemáticas como una asignatura impopular, muy exigente,importante pero difícil.
Mantener el divorcio entre las matemáticas y la realidad.
Desconexión entre la génesis y la comunicación de los saberes.
Falta de motivación y dificultad para explicar con claridad los conceptos.
La diferencia entre el ritmo de enseñanza del docente y el de aprendizaje delos estudiantes.
Enseñar sin atender las bases conceptuales y esquemas mentales de quien
aprende.
PRINCIPIOS DIDÁCTICOS
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Las orientaciones que se presentan a continuación no tienen el carácter de
reglas de aplicación absoluta sino que deben ser consideradas como guías que elprofesor deberá analizar y utilizar según su criterio.
Adquirir máximo dominio sobre las temáticas a desarrollar
Evitar al máximo la improvisación preparando los detalles básicos de la clase a
desarrollar
Quien enseña debe saber con claridad como aprendemos los seres humanos y
que la experiencia y la razón son básicos en ese proceso.
Los procesos cognitivos generalmente inician en la percepción, pero debe ser
seguidos de la experiencia para luego ser sometidos a juicio mediante la
socialización o proceso discursivo.
Reconocer que el interés de los estudiantes es el motor del aprendizaje por lo que
se hace necesario convertir las necesidades académicas de estos en sus intereses
para adelantar con éxito estos procesos.
Partir siempre de lo que los estudiantes ya conocen al respecto para enseñar de
acorde a eso
desarrollar actividades individuales y grupales que permitan conocer las
individualidades de los estudiantes y confrontar sus distintos puntos de vista en
busca de consensos
contextualizar los saberes de modo que los estudiantes le encuentren sentido a lo
que aprenden y además puedan aplicarlo en la solución de situaciones de susvidas
explorar distintas estrategias de enseñanza y conceder distintos tiempos para que
los estudiantes elabores sus construcciones
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impulsar distintos estilos de aprendizaje (reflexivo, activo, por descubrimiento,
etc.)
Asegurarse de que se diseñen talleres que privilegien aprendizaje autónomo
Diseñar y ejecutar proyectos de aula que den sentido a lo que los estudiantes
aprenden a través la contextualización y el aprendizaje por descubrimiento
Reconocer que la evaluación ante todo permite identificar las competencias
desarrolladas por los estudiantes a demás de las dificultades, con el objeto de
afianzarlos y superarlos respectivamente.
Crear situaciones que relacionen los saberes a enseñar y a aprender con el
mundo de la vida de quien aprende; de modo que el desenvolvimiento de dicha
situación, garantice la motivación y la comprensión del conocimiento subyacente.
“Iniciar explorando los sistemas concretos (bien conocidos) que ya utilizan los
niños para que a partir de allí construyan los sistemas conceptuales respectivos,
que luego serán expresados a través de sistemas simbólicos” (Vasco U. Carlos
E.).
Garantizar que los estudiantes vivan experiencias matemáticas concretas, de
modo que al identificar las regularidades pueden realizar generalizaciones yabstracciones.
Enfrentar a los niños a abundantes y diversas experiencias que exigen análisis,
interpretación, socialización y conclusión entre otros.
Acudir a la historia para hacer conocer el origen y circunstancia que generó la
necesidad de la construcción de dicho conocimiento.
Hacer del planteamiento y la resolución de problemas matemáticos un método y
un objeto.
“desarrollar de manera integrada los distintos pensamientos (numérico,
espacial, métrico, aleatorio y variacional) mediante el trabajo en el aula desde
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situaciones problemas incluyendo el desarrollo de múltiples actividades. (MEN,
2006).
No al método expositivo, recurriendo a la enseñanza viva; empleando situacionessencillas y familiares para luego marchar hacia la abstracción.
Promover el aprendizaje de las matemáticas como se aprende a hacer mesa,sillas, u objeto de madera .
Buscar situaciones motivadoras de la actividad creadora.
Hacer de la actividad matemática una acción forjadora de pensamiento y la
fundamentación científica vendrá después como añadidura.
La construcción rigurosa de las proposiciones matemáticas debe seguir aldescubrimiento intuitivo surgido de la observación y manipulación de loshechos concretos.
Concebir más la matemática como actividad que como acopio deconocimiento.
Dar más importancia a los procedimientos que contribuyen a desarrollarcapacidades en contra posición a los procedimientos de memorización yaplicación mecánica.
Privilegiar el método heurístico entendiéndolo como la búsqueda desituaciones de dinámicas motivadoras de la actividad creadora y descubridorade cuestiones matemáticas por los propios alumnos.
Los estudiantes deben aprender a materializar situaciones reales, matematizarsituaciones matemáticas debe ser al final pero no al comienzo.
El profesor debe verse como un vendedor; querer venderle matemáticas a los jóvenes .
Participación del alumno y el papel de guía del profesor.
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Ningún profesor enseña bien si sus alumnos no le aprenden.
Nadie aprende lo que no quiere aprender de verdad. “ no sé aprende más que
aquello que elabora uno mismo,” por ello, se necesita elaborar métodos
activos que agraden, en los que los alumnos participen del proceso.
No considerar la existencia de métodos de enseñanza infalibles.
La solución al problema metodológico es una combinación pertinente de los
distintos métodos con todas las adaptaciones que se consideren oportunasrealizar para la aplicación de la realidad viva en la clase.
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CAPITULO III
TENDENCIA DE LA CLASE EN LA ACTUALIDAD
Nunca ha existido, mi existirá una única propuesta para el desarrollo de las clases.
Lo cierto si es que fuese cual fue el enfoque o perspectiva en la que se base el
docente, la clase debe ser planeada; no hacerlo sería acto responsable.
En esta obra estamos presentando una alternativa que sin ser una formula
milagrosa, constituye una herramienta valiosa para avanzar en los procesos de
enseñanza y aprendizaje de las matemáticas.
La propuesta está fundamentada en una visión constructivista del aprendizaje, los
lineamientos curriculares del área y las estrategias para el desarrollo de
competencias matemáticas planteadas en la plan de mejoramiento de la calidadde la educación formulado por MEN; en la cual el trabajo por estándares básicos
de competencias es una de sus fortalezas curriculares y pedagógicas.
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PLAN DE CLASE
Desde nuestra visión proponemos:
Preámbulo
Definir el estándar principal que se va a trabajar.
Establecerle la coherencia vertical y horizontal a ese estándar y ese
resultado que bien puede ser una matriz o un documento corto escrito de
manera regular debe anexarse al plan general de clase.
A partir del estándar principal se determina el tema principal sobre el cual va
a recaer la mayor atención de la clase.
De los estándares relacionados mediante la coherencia horizontal se
determinan los temas con los cuales se va a integrar el tema principal
mediante una situación problema; los que aquí llamamos “Temas de
coherencia”.
Definido el estándar principal, realizada la coherencia horizontal y vertical,
definidos los temas principales y los de la coherencia, se procede a adquirirla fundamentación conceptual suficiente para enseñar dichos temáticas. Es
de aclarar que esto implica adquirir dominio amplio de las temáticas objetos
de enseñanza.
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Cuando ya el docente maneja hábilmente las temáticas, debe realizar un
análisis que le permita determinar qué deben saber anticipadamente los
estudiantes para poder comprender las temáticas que van a hacer objetos
de enseñanza.
Definido claramente lo anterior procede a realizar la sistematización de su
plan de clase que dará como resultado un documento guía para la clase.
Se pude iniciar así:
FASE INICIAL
Encabezamiento
Institución educativa _____________________________________________ Asignatura _____________________
Grado _________________________ Curso _____________________Tiempo probable ________________Nombre del profesor ______________________________________________Nombre del alumno (si es practicante) ________________________________
Competencias
Estándar principal: __________________________________________
_________________________________________________________ _________________________________________________________
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Temas:
Principal: _________________________________________________________
De la coherencia:____________________________________________________ __________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Habilidades en los temas (lo que los estudiantes deben saber hacer con loqueaprendan)_______________________________________________________
_______________________________________________________________ ______________________________________________________________
Actitudes: Que tienen que ver con lo aportes del área y los valores queestán inmersos en las competencias ciudadanas que se refieren a la formade ser que se forjará en la persona en proceso de formación_________
____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________
Logros:_________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________
Al redactar estos logros se sugiere escribir el verbo en futuro y en tercera persona
plural. Ejm: resolverán, reconocerán, identificarán, etc. El logro debe poseer los
tres elementos fundamentales de la competencia a saber: el saber que se
materializa en los contenidos, el hacer que se expresa en las habilidades que se
quiere que los estudiantes desarrollen el ser, que se evidencia en los valores
expresaos en las competencias ciudadanas, de allí que estas deben trabajarse al
interior de todas las áreas.
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Los indicadores de logros se redactan, para ser usados como una herramienta útil
de la evaluación, los cuales indicarán hasta donde se van con siguiendo los logros
que el docente se propuso.
Metodología
Aquí se describen los métodos, estrategias, actividades generales y recursos
didácticos a utilizar.
FASE DE DIAGNÓSTICO
En esta segunda fase de la planeación de la clase, se sugiere pensarla como si ya
estuviésemos en ella, se realizan aquí las actividades de evaluación que permitan
conocer los saberes y las habilidades que los estudiantes poseen respecto de lo
que se considera pre-requisito para comprender el nuevo tema a tratar, además
de revisar que saben estos sobre ese nuevo tema.
No se trata aquí de hacer múltiples preguntas de manera generalizada como se
acostumbraba, donde unos pocos responden y renglón seguido se continua con el
plan trazado sino más bien, diseñar y aplicar una evaluación diagnóstica que dé
cuenta de cuánto saben hacer con lo que saben, cómo lo saben y hasta donde lo
saben. Así pues entonces deben plantearse situaciones que les permita actuar
más allá de recitar definiciones o pareceres que en muchos casos no saben de
qué se trata lo que dicen.
Aplicada y analizada la evaluación diagnostica, de acuerdo si los resultados
evidencias deficiencias en los contenidos y habilidades que son prerrequisitos
para la comprensión del nuevo conocimiento, se procede a efectuar un proceso de
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nivelación, consistente en desarrollar actividades tendientes a superar las
deficiencias detectadas respeto a los pre requisitos.
Esta actividad nunca debe incluir lo correspondiente al nuevo tema. La información
que proporcione el diagnostico sobre el nuevo tema, solo servirá de soporte para
el proceso metodológico a desarrollar en la fase siguiente.
FASE DE DESARROLLO CONCEPTUAL
Esta fase de la planeación se organiza pensando en detalle cómo se va a
desarrollar la clase. Aquí es donde se organiza y se plasman una a una los pasos
a seguir, mediante la metodología que se considere conducirá a los estudiantes a
la construcción de los conceptos y el desarrollo de las habilidades propuestas.
Como es lógico el docente aquí debe obrar con la libertad que le permita asegurar
el aprendizaje por parte de los estudiantes y con el compromiso de guiarse por las
orientaciones pedagógicas y didácticas de esta disciplina.
En este sentido, en el documento No 3 de los estándares básicos de
competencias, en la página 16, se plantea que “el diseño curricular de cada
institución debe desarrollar de manera integrada los distintos pensamientos y no
de manera aislada. Esto se logra, si el trabajo en el aula se piensa desdesituaciones problemas, más que desde los contenidos. De esta forma es posible
aprovechar en cada situación las posibilidades de interrelacionar los estándares
correspondientes a los diferentes pensamientos”.
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De lo anterior se destaca como uno de los pilares metodológicos para el trabajo
con estándares de competencias básicas en matemáticas. Generar situaciones
problemas, significativos que garanticen el vinculo entre el conocimiento y
la cotidianidad (Contextualizar la temática) de modo que se despierte la
curiosidad y el interés del estudiante por conocer el concepto matemático a
tratar.
Este principio vale la pena articularlo con una recomendación hecha por el doctor
Carlos Eduardo Vasco a los docentes en el sentido; de que al enseñar
matemáticas, en cuanto sea posible se debe “partir de lo bien conocido para elestudiante, para que a partir de las regularidades que ellos detecten valla
construyendo el sistema conceptual respectivo para que después expresen
sus construcciones, ideas, conceptos, pareceres a través del sistema
simbólico”.
Estos planteamientos son coherentes con otro de Jean Piaget en el que sostiene
que según el origen del conocimiento, existen tres tipos: El conocimiento
físico, que son los que proceden de los sentidos, o la percepción. El
conocimiento lógico matemático, que es el que se establece mediante
relaciones y que es llamado conocimiento reflectivo; y por último el
conocimiento social, que es el convencional o determinado por convención
o acuerdo entre ciertos individuos.
La importancia de este concepto radica en que según él, se debe iniciar con el
conocimiento físico, a partir de ello trabajar el conocimiento conceptual y por
último el convencional.
Significa esto por ejemplo ,que si en el pre-escolar se van a enseñar los colores
utilizando unos bloques lógicos, se les debe entregar este material para que
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exploren mediante los sentidos (conocimiento físico).Cuando los niños son
capaces de establecer diferencias y semejanzas mediante la abstracción( allí se
está involucrando el conocimiento lógico) y solo cuando en virtud de las
diferencias y semejanzas se hace necesario clasificarlos, llamándolos de un
modo o de otro, se deben enseñar los nombres de los colores, formas o el
tamaño de acuerdo al caso; y es allí donde se involucra el conocimiento social
elaborado bajo acuerdo.
Sea cual sea, el enfoque asumido se recomienda de manera muy especial;
nunca iniciar el desarrollo de la clase con definiciones, esto se debeformalizar después de haber trabajado suficientemente los conceptos y
procedimientos y si es posible guiar a los niños para que los deduzcan.
Se recomienda también que durante el proceso se mantenga la evaluación,
mediante permanente control de aprendizaje al igual que la motivación.
FASE DE APLICACIÓN
En esta fase es donde los estudiantes ponen en práctica o afianzas lo aprendido
en la fase anterior. Para tal fin se plantean problemas y ejercicios que serán
resueltos por los estudiantes orientados por el docente.
En esta fase de aplicación se debe trabar iniciando por lo elemental, pero debeprofundizarse con situaciones contextuales y creativas.
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FASE FINAL
En la fase final el docente debe tener claro el nivel en que se hayan logrado las
competencias propuestas, es decir, saber dónde va el proceso para con base a
eso determinar compromisos de los estudiantes y definir las próximas acciones a
emprender en materia pedagógica y temática. Lógicamente esto se obtiene a
través de balances evaluativos y tareas de los estudiantes y del docente
COMO INTEGRAR LOS DIFERENTES PENSAMIENTOS MATEMÁTICOSMEDIANTE LA COHERENCIA DE LOS ESTANDARES
ACTIVIDAD Nº 1
A continuación se muestra de manera práctica como se integran coherentementelos diferentes estándares de un determinado grupo de grados mediante lacoherencia horizontal.
Tomemos un estándar del área y del grupo de grado de 1º a 3º del
pensamiento numérico.
Estándar:
Reconozco significados del número en diferentes contextos (medición,conteo, comparación, localización, entre otros).
COHERENCIAVERTICAL
De 4º a 5º:Identifico el uso de medidas relativas en diferentescontextos.
De 6º a 7º:Resuelvo y formulo problemas en diferentescontextos de medidas relativas y variación en lasmedidas.
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De 8º a 9º:Utilizo números reales en sus diferentes
representaciones y diversos contextos.
De 10º a 11º Analizo representaciones decimales de los númerosreales para diferenciar entre racionales eirracionales.
COHERENCIA HORIZONTAL
Pensamiento espacial:
Diferencio propiedades y atributos de objetos tridimensionales.
Dibujo y describo cuerpos y figuras tridimensionales en distintasposiciones.
Reconozco nociones de horizontalidad y verticalidad, paralelismo,perpendicularidad en distintos contextos.
Reconozco congruencia y semejanza entre figuras (ampliar y deducir).
Construyo y descompongo figuras a partir de condiciones dadas.
Pensamiento métrico:
Reconozco en los objetos propiedades que se pueden medir (longitud, área,volumen, capacidad, peso, masa).
Reconozco el uso de las magnitudes y sus unidades de medidas en
situaciones aditivas y multiplicativas.
Pensamiento aleatorio:
Clasifico y organizo datos de acuerdo a cualidades y atributos y lospresento en tablas.
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Represento datos relativos a mi entorno, usando objetos concretos,pictogramas o diagramas de barros.
Pensamiento variacional:
Construyo secuencias numéricas y geométricas utilizando propiedades delos números y de las figuras geométricas.
Reconozco y genero equivalencias entre expresiones numéricas y describocomo cambian los símbolos aunque el valor siga igual.
TEMA PRINCIPAL: Uso de los números del cero al nueve en distintos contextos.
TEMA DE LA COHERENCIA: Figuras y objetos tridimensionales, largo, ancho,
alto, posiciones de objetos, horizontalidad, verticalidad, paralelismo,
perpendicularidad, congruencia, semejanza, longitud, área, tabla de datos,
diagramas de barras, secuencias numéricas y geométricas, equivalencia entre
expresiones numéricas.
SITUACIONES SIGNIFICATIVAS Y COMPRENSIVAS QUE PERMITENRELACIONAR LOS CITADOS ESTANDARES
Cada tres niños adquieren una caja de cartón rectangular y un kid de bloques
lógicos que se muestra a continuación.
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La segunda acción consiste en familiarizarse con el material, además decuantificarlo, caracterizarlo y reconocer todos sus atributos.
Todo niño debe cuantificar el material
7 8 6 4
Reconocerán que la caja de cartón tiene largo – ancho – alto.
Alto
Ancho
Tiene 6 caras, 8 vértices o esquinas, 12 aristas.
Uso de números para contar
Largo
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Cualidades y atributos de cuerpos tridimensionales.
Usando una regla de miden las longitudes de todos los lados y se fija unaescala con un determinado número de centímetros por ejemplo:
Se bautizan las caras de la caja así:
Se acondiciona la caja para realizar operaciones de suma y resta. Dicha cajacon las condiciones que se ilustra a continuación se le llama cajatransformadora.
6
3
4
4 6
3 3
2
3
1
Uso del número como código
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Las actividades de suma y resta se realizan como se muestra a continuación:
2 se suman3
Entran Salen 5
Un niño introduce la primera cantidad otro pone, otra cantidad y el otro a los doscuentan el resultado.
Para el caso de la resta funciona como aparece a continuación:
Salen 2
Se pueden combinar suma y resta así:+7
-5
+
Se introducen 5-
uedan 3
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61
75 12
Después
Se dibujan figuras tridimensionales en diferentes posiciones y tamaños y sedescriben todas sus características y atributos:
se descomponen las figuras en sus diferentes caras.
se describen las relaciones de paralelismo, perpendicularidad, horizontalidad,
verticalidad, entre otras de una figura como la siguiente:
fg
a
d
h
bc
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se relacionan las aristas así:
allb, fllc, cllc, gllh, elld, illn,
a l f, b l