INTRODUCCIN.

En la investigacin experimental, algunas veces no se pueden obtener todos los datos planeados a observar debido a motivos inherentes al diseo o a que en la construccin del mismo hay prdida de unidades experimentales, lo que conlleva a tener un diseo no ortogonal. Este hecho no tiene consecuencias cuando el diseo experimental es un completamente al azar, pero en el caso de los diseos de bloques y especficamente en el diseo de bloques incompletos al azar no se cumplen algunas propiedades importantes como el balanceamiento y esto conlleva a que cambia la estructura de bloques incompletos.

BLOQUES INCOMPLETOS BALANCEADOS.

Segn Hinkelman y Kempthorne (1994), los diseos experimentales se encuentran clasificados en un orden jerrquico de acuerdo al nmero de factores de control local o bloqueo. Cuando los diseos tienen un factor extrao", se dice que son Diseos de Bloques al Azar, los cuales de acuerdo a algunas caractersticas se clasifican en: Completos al Azar (BCA), al Azar Generalizado (BAG), Incompletos al azar (BI). Estos ltimos se caracterizan porque no todos los tratamientos pueden ser aplicados en cada bloque. Dentro del tipo de BI, cabe resaltar los diseos de Bloques Incompletos Balanceados, introducidos por Yates en 1936.

Anlisis Estadstico.Como es usual, suponemos que existe t tratamientos y b bloques. Se supone adems, que se prueban k tratamientos en cada bloque, que cada tratamiento sucede r veces en el diseo (o se repite r veces) y que hay un total de N= t.r = b.k observaciones. Ms an, el nmero de veces que cada par de tratamientos ocurre en el mismo bloque es:

Se dice que el diseo es simtrico si t = b. El parmetro debe ser un entero. Para deducir la relacin de , considrese cualquier tratamiento, por ejemplo el 1.Como el tratamiento 1 ocurre en r bloques, y hay otros k-1 tratamientos en cada uno de esos bloques, existen r.(k-1) observaciones en un bloque que contiene al tratamiento 1. Estas r. (k-1) observaciones deben representar al resto de los a-1 tratamientos veces. Por lo tanto, .(a-1) =r. (k-1).

Modelo Estadstico.El modelo Estadstico lineal, es como sigue:

Donde:

Los pasos a seguir para realizar el ANVA son como siguen:1)

2) Nivel de significancia .3) La funcin pivotal F con grados de libertad.4) Se rechaza Ho, si Fe (del cuadro del anva) es mayor Fo.5) Se halla:

Suma de cuadrados:

, Dnde. N = trSuma de cuadrados del total:

La suma de cuadrado puede ser dividida en tres sumas de cuadrados, esta es como sigue:SCT = SCTA + SCB + SCEDnde:SCTA = Es la suma de cuadrados de los tratamientos ajustados.

Dnde:

SCB = Es la suma de cuadrados de los bloques, y tienen b-1 g.l. Donde:

es el total de los j-esimo bloque.

SCE = Es la suma de cuadrados del error.

, y tienen N-t-b+1 grados de libertad.

CUADRO DEL ANVA:Fuente de VariacinGrados de LibertadSuma de CuadradosCuadrados MediosFe

Bloquesb-1SCBCMB=SCB/(b-1)CMB/CME

Tratamientos Corregidost-1SCTACMTA=SCTA/(t-1)CMTA/CME

Error ExperimentalN-t-b+1SCECME=SCE/(N-t-b+1)___

TotalN-1SCT______

6) Se realiza la decisin del caso segn el Fe obtenido.EVALUACION DE LOS EFECTOS DE LOS BLOQUES.En este caso no se puede usar el cuadro del ANVA anterior, porque las SCT se dividi en SCTA+SCB+SCE, por el cual el cuadrado medio de los bloques no es el correcto, esto implica que tenemos que ajustar o corregir los bloques y dejar los tratamiento sin ajustar. Los cuadrados de los bloques corregidos, se obtiene fcilmente si el diseo es simtrico, es decir t=b, esto es:

La suma de cuadrados de los bloques es: La suma de cuadrados de los tratamientos es:

CUADRO DEL ANVAFuente de VariacionGrados de LibertadSuma de CuadradosCuadrados MediosFe

Bloques Corregidosb-1SCBCCMBC=SCBC/(b-1)CMBC/CME

Tratamientost-1SCTrCMTr=SCTr/(t-1)CMTr/CME

Error ExperimentalN-t-b+1SCECME=SCE/(N-t-b+1)___

TotalN-1SCT ______

Si el Fe es mayor que Fo, se rechaza Ho, en consecuencia, si hay diferencia significa entre los bloques usados. En consecuencia se advierte que SCT SCTA+SCBC+SCE como consecuencia de la no ortogonalidad entre los bloques y los tratamientos.

Si el factor bajo estudio corresponde a un modelo de efectos fijos, las pruebas individuales de medias pueden ser tiles, si se emplean los contrastes ortogonales, estos contrastes se basan en los totales de los tratamientos ajustados o corregidos, esto significa las Qi en vez de los Yi.

Donde:

Son los coeficientes del contraste, talque Otro mtodo de comparacin mltiple, para comparar las medias de tratamientos corregidos, los estimadores mnimos cuadrados se obtienen de a siguiente manera.

El error estndar del tratamiento corregido es:

Es recomendable trabajar con la prueba de rangos mltiples de Duncan, para los cuales se siguen los pasos siguientes.i) Se ordenan los en forma ascendente.ii) De la tabla estadstica de Duncan con los grados de libertad de CME, n y , se obtienen.

Donde los se obtienen de la tabla correspondiente de Duncan.iii) Se realizan las comparaciones.

Ejemplo:Un ingeniero qumico cree que el tiempo de reaccin en un proceso qumico es funcin del catalizador empleado. De hecho 4 catalizadores estn siendo investigados. El procedimiento experimental consiste en seleccionar un lote de materia prima, cargar una planta piloto, aplicar cada catalizador a ensayos separados de dicha planta y observar el tiempo de reaccin. Debido a que las variaciones en los lotes de materia prima pueden afectar el comportamiento del catalizador, el ingeniero decide controlar este factor por medio de bloques. Sin embargo, cada lote es lo suficientemente grande para permitir el ensayo de 3 catalizadores nicamente. Por lo tanto, es necesario utilizar un diseo aleatoriazado por bloques incompletos. El diseo BIB, junto con las observaciones recopiladas aparece en la siguiente tabla. Hacer un anva con un 95% de seguridad.Tratamiento (catalizador)Bloque (Lote de Materia Prima)yi.

1234

A7374__71218

B__756772214

C737568__216

D75__7275222

y.j221224207218870

Solucin:Considrense los datos de la Tabla para el experimento de los catalizadores. ste es un diseo BIB con t = 4, b = 4, k = 3, r = 3, = 2 y N = 12.

= 0.05La funcin pivotal es una F con 3 y 5 grados de libertad.Se rechaza Ho, si Fe (del cuadro del anva) es mayor Fo=5,41.

Se halla:

CUADRO DEL ANVA:Fuente de VariacinGrados de LibertadSuma de CuadradosCuadrados MediosFe

Bloques 35518.333333328.2051282

Tratamientos Ajustados322.757.5833333311.6666667

Error Experimental53.250.65___

Total1181______

Como , se rechaza Ho por lo tanto existe diferencia significativa, esto implica que el catalizador empleado tiene un efecto significativo sobre el tiempo de reaccin.

Evaluamos los efectos de los bloques

La suma de cuadrados de los bloques es:

La suma de cuadrados de los tratamientos es:

Fuente de VariacinGrados de LibertadSuma de CuadradosCuadrados MediosFe

Bloques Corregidos366.083333322.027777833.89

Tratamientos311.66666673.888888895.98

Error Experimental53.250.65___

Total1181______

Como Fe = 33.89 es mayor que Fo = 5.41, se rechaza Ho, en consecuencia, si hay diferencia significa entre los bloques usados. Se advierte que SCT SCTA+SCBC+SCE como consecuencia de la no ortogonalidad entre los bloques y los tratamientos.

DISEOS POR BIB (BLOQUES INCOMPLETOS BALANCEADOS)

Cuando las comparaciones entre todos los tratamientos tienen la misma importancia, stas deben elegirse de manera que ocurran en forma balanceada dentro de cada bloque. Esto significa que cualquier par de tratamientos ocurren juntos el mismo nmero de veces que cualquier otro par. Por lo tanto, un diseo balanceado por bloques incompletos es un diseo por bloques incompletos en el que cualquier par de tratamientos ocurren juntos el mismo nmero de veces.

ANLISIS ESTADSTICO:

Como es usual, suponemos que existen a tratamientos y b bloques. Se supone adems, que se prueban k tratamientos en cada bloque, que cada tratamiento sucede r veces en el diseo (o se repite r veces) y que hay un total de N= a.r = b.k observaciones. Ms an, el nmero de veces que cada par de tratamientos ocurre en el mismo bloque es

= r. (k-1) a-1

Se dice que el diseo es simtrico si a = b.

El parmetro debe ser un entero. Para deducir la relacin de , considrese cualquier tratamiento, por ejemplo el 1.Como el tratamiento 1 ocurre en r bloques, y hay otros k-1 tratamientos en cada uno de esos bloques, existen r.(k-1) observaciones en un bloque que contiene al tratamiento 1. Estas r. (k-1) observaciones deben representar al resto de los a-1 tratamientos veces. Por lo tanto, .(a-1) =r. (k-1).

El modelo estadstico es:

Yij = + i + j + ij

En donde yij es la i-sima observacin del j-simo bloque, es la media general, i es el efecto del i_simo tratamiento, j es el efecto del j_simo bloque, y ij es la componente del error aleatorio NID (0, 2). La variacin total en los datos se expresa mediante la suma total de cuadrados corregidos (o ajustados).

SST = yij2 (y..2 N)La variabilidad total puede ser descompuesta

SST = SSTratamientos ajustada + SSBloques + SS

En donde corrige la suma de cuadrados de tratamiento para separar los efectos de tratamiento y de bloque. Esta correccin es necesaria porque cada tratamiento ocurre en un conjunto diferente de r bloques. Por esta razn las diferencias entre los totales de tratamientos no corregidos, y1., y2. ,ya. tambin son afectadas por las diferencias entre los bloques. La suma de cuadrados de los bloques es SS = ( b y.j2 k) __ (y..2 / N)

Bloques j=1

En donde y.j es el total del j-simo bloque. La SSBloques tiene b-1 grados de libertad. La suma de cuadrados de tratamiento corregida (o ajustada) es

aSS= k. Q2 a

tratamientos ajustada i i=1

En donde Qi es el total corregido del i_simo tratamiento, el cual se calcula mediante bQi = yi. ( nij .y.j ) k , i = 1,2,3.,aJ=1

Con nij =1 si el tratamiento i ocurre en el bloque j, nij = 0 en otro caso. Por lo tanto,

b (1/k). nij .y.j es el promedio de los totales dej=1

Los bloques en los que se aplica el tratamiento i. La suma de los totales de tratamiento corregidos siempre ser 0. La SSTratamientos ajustada tiene a -1 grados de libertad. La suma de cuadrados del error se calcula por diferencia

SS = SST SSTratamientosajustada - SSBloque

Y tiene N-a-b +1 grados de libertad

La estadstica apropiada para probar la igualdad de los efectos de tratamiento es

F = CMtratamientos CM

Ejemplo: Un ingeniero de alimentos experiment con el crecimiento de cepas patgenas S. aureus en el tomate en la etapa de almacenamiento a cuatro temperaturas diferentes (25c, 30c, 35c y 40c) en un Diseo de Bloques Incompleto Balanceado, porque slo dispona de dos cmaras de cultivo para el estudio, cada corrida del experimento fue un bloque que consista en dos cmaras de cultivo como unidades experimentales y se asignaron al azar dos temperaturas a las cmaras para cada corrida. Los siguientes datos son las tasas de crecimiento de las cepas patgenas.

Tratamientos (Temperaturas)Corridas (Bloques)

123456

Y.i

2524,65------- 29,17 ------- 28,90 ------- 82,72

30------24,3821,25 ------- ------- 25,53 71,16

35--------------- -------- 5,90 18,27 8,42 32,59

401,342,24 -------- 1,83 ------- ------ 5,41

Y.j25,9926,62 50,42 7,73 47,17 33,95 Y..= 191,88

SOLUCIN Antes de realizar los clculos matemticos, se definirn las hiptesis que se desean probar. Ho : 1 = 2 = 3 = 4 (No existe diferencia entre las temperaturas). H1 : 1 2 3 4 (Existe diferencia entre las temperaturas). Variable Respuesta: Tasa de crecimiento de la cepa de S. aureus.El significado verbal es:Ho : El nivel de temperatura no influye significativamente en la tasa de crecimiento de la cepa patgena S. aureusH1 : El nivel de temperatura influye significativamente en la tasa de crecimiento de la cepa patgena S. aureus.Datos a = 4b = 6 k = 2 r = 3 ,

N = ar = bk = (4)(3) = 12

CALCULOS:

La Suma Total de Cuadrados:

= (24.65)2 +(29.17)2+.+(1.83)2 (191.88)2 12

SST = 4441.1106 - 3068.1612SST = 1372.95

La Suma de Cuadrados de Bloque es: = [(25,99)2 + (26,62)2 + (50,42)2 + (7,73)2+ (47,17)2+ (33,95)2] / 2 (191,88)2/ 12 = 3681,8226 3068,1612

= 613,66

Para calcular la suma de cuadrados de tratamiento corregida que tome en cuenta los bloques, primero hay que determinar los totales de tratamientos corregidos:

Q1= (y1.) (25,99+ 50,42 + 47,17) = 82,72 61,79 = 20,93 Q2 = (y1.) (26,62+ 50,42+ 33,95) = 71,16 55,495 =15,66

Q3 = (y1.) (7,73 + 47,17 + 33,95) = 32,59 44,425 = -11,83

Q4 = (y1.) (25,99+ 26,62+ 7,73) = 5,41 30,17 = -24,76

Se calcula ahora la suma de cuadrados de tratamiento corregida:

=2. [(20,93)2 + (15,66)2 + (-11,83)2 + (-24,76)2]/ (1). (4) = 2(1436,307)/4 = 718,15

La suma de cuadrados del error se calcula por diferencia:

SS = SST SSTratamientos ajustada - SSBloque = 1372,95 718,15 613,66 = 41,14

Fo= 239.38= 17.46 13.71Tabla de Anlisis de Varianza

Fuente de VariacionSuma de cuadradosGrados de libertadMedia de cuadradoFo

Temperaturas(Corregidos)718,153239,3817,46

Bloques(No ajustados)613,665122,73

Error41,14313,71

Total1372,9511

Utilizando un nivel de significanca del 5% ( = 0.05), para encontrar el FTablas (TablasFisher) con 3 grados de libertad (a-1) en el numerador y 3 grados de libertad N- a- b +1 endenominador.

F,a-1,N-a-b+1 =F0.05,3,3 = 9.28

Comparando el F0 calculado en el anlisis de varianza y el FTablas , se puede observar que:

F0 > FTablas

17.46 > 9.28Por tanto, se rechaza la hiptesis nula (H0) y se acepta la hiptesis alternativa (H1).Lo que indica, que el nivel de temperatura influye significativamente en la tasa de crecimiento dela cepa patgena S.aureus en el tomate.

CONCLUSINDespus de realizar el anterior trabajo sobre los bloques incompletos balaceados es posible concluir que: Un diseo de bloques incompletos balanceados (BIB), es un arreglo de a smbolos en b conjuntos, cada uno con k (k < a) smbolos que satisfacen las siguientes condiciones: Smbolo aparece a lo ms una vez en cada conjunto. Todo smbolo aparece en exactamente r conjuntos. Cualquier par de smbolos aparecen exactamente conjuntos, donde es un entero positivo. Se dice que un bloque incompleto balanceado es simtrico si a = b, es decir, que el numero de tratamientos se igual a numero de bloques Mediante la realizacin del trabajo se logro Identificar cuando se presenta un diseo de bloques incompletos balanceados y su aplicacin en situaciones de investigacin o estudios relacionado a la ingeniera de alimentos

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN MARTNFACULTAD DE INGENIERA AGROINDUSTRIALDEPARTAMENTO ACADMICO DE INGENIERA AGROINDUSTRIAL

DISEO DE BLOQUES INCOMPLETOS BALANCEADOS

ASIGNATURA: CONTROL DE CALIDAD

DOCENTES: ING. EPIFANIO MARTINEZ MENA

ESTUDIANTE: JAIME ARRIAGA CRUZADO

CICLO: VIII. 2015-I.

FECHA : 1/06/2015.

TARAPOTO PER 2015