Diapositivas de probabilidad

BioestadsticaTema 5: Modelos probabilsticos

Bioestadstica. U. Mlaga.

Tema 5: Modelos probabilsticos

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Variable aleatoria

El resultado de un experimento aleatorio puede ser descrito en ocasiones como una cantidad numrica. En estos casos aparece la nocin de variable aleatoriaFuncin que asigna a cada suceso un nmero.

Las variables aleatorias pueden ser discretas o continuas (como en el primer tema del curso). En las siguientes transparencias vamos a recordar conceptos de temas anteriores, junto con su nueva designacin. Los nombres son nuevos. Los conceptos no.Tema 5: Modelos probabilsticos 2


Funcin de probabilidad (V. Discretas)

Asigna a cada posible valor de una variable discreta su probabilidad.

40% 35% 30% 25% 20% 15% 10% 5% 0% 0 1 2 3

Recuerda los conceptos de frecuencia relativa y diagrama de barras.

EjemploNmero de caras al lanzar 3 monedas.



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Funcin de densidad (V. Continuas)

DefinicinEs una funcin no negativa de integral 1.

Pinsalo como la generalizacin del histograma con frecuencias relativas para variables continuas.

Para qu lo voy a usar?Nunca lo vas a usar directamente. Sus valores no representan probabilidades.



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Para qu sirve la f. densidad?

Muchos procesos aleatorios vienen descritos por variables de forma que son conocidas las probabilidades en intervalos. La integral definida de la funcin de densidad en dichos intervalos coincide con la probabilidad de los mismos. Es decir, identificamos la probabilidad de un intervalo con el rea bajo la funcin de densidad.



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Funcin de distribucin

Es la funcin que asocia a cada valor de una variable, la probabilidad acumulada de los valores inferiores o iguales.Pinsalo como la generalizacin de las frecuencias acumuladas. Diagrama integral.

A los valores extremadamente bajos les corresponden valores de la funcin de distribucin cercanos a cero. A los valores extremadamente altos les corresponden valores de la funcin de distribucin cercanos a uno.

Lo encontraremos en los artculos y aplicaciones en forma de p-valor, significacin, No le deis ms importancia a este comentario ahora. Ya os ir sonando conforme avancemos.Tema 5: Modelos probabilsticos 6


Para qu sirve la f. distribucin?

Contrastar lo anmalo de una observacin concreta.

S que una persona de altura 210cm es anmala porque la funcin de distribucin en 210 es muy alta. S que una persona adulta que mida menos de 140cm es anmala porque la funcin de distribucin es muy baja para 140cm. S que una persona que mida 170cm no posee una altura nada extraa pues su funcin de distribucin es aproximadamente 0,5.

Relacinalo con la idea de cuantil. En otro contexto (contrastes de hiptesis) podremos observar unos resultados experimentales y contrastar lo anmalos que son en conjunto con respecto a una hiptesis de terminada.Intenta comprender la explicacin de clase si puedes. Si no, ignora esto de momento. Revisita este punto cuando hayamos visto el tema de contrastes de hiptesis.



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Valor esperado y varianza de una v.a. X

Valor esperadoSe representa mediante E[X] Es el equivalente a la media

Ms detalles: Ver libro.

VarianzaSe representa mediante VAR[X] o Es el equivalente a la varianza Se llama desviacin tpica a

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Ms detalles: Ver libro.Tema 5: Modelos probabilsticos 8


Algunos modelos de v.a.

Hay v.a. que aparecen con frecuencia en las Ciencias de la Salud.Experimentos dicotmicos. Bernoulli Contar xitos en experimentos dicotmicos repetidos: Binomial Poisson (sucesos raros) Y en otras muchas ocasiones Distribucin normal (gaussiana, campana,)

El resto del tema est dedicado a estudiar estas distribuciones especiales.Tema 5: Modelos probabilsticos 9


Distribucin de Bernoulli

Tenemos un experimento de Bernoulli si al realizar un experimentos slo son posibles dos resultados:X=1 (xito, con probabilidad p) X=0 (fracaso, con probabilidad q=1-p)

Lanzar una moneda y que salga cara.p=1/2

Elegir una persona de la poblacin y que est enfermo.p=1/1000 = prevalencia de la enfermedad

Aplicar un tratamiento a un enfermo y que ste se cure.p=95%, probabilidad de que el individuo se cure

Como se aprecia, en experimentos donde el resultado es dicotmico, la variable queda perfectamente determinada conociendo el parmetro p.Tema 5: Modelos probabilsticos 10


Ejemplo de distribucin de Bernoulli.

Se ha observado estudiando 2000 accidentes de trfico con impacto frontal y cuyos conductores no tenan cinturn de seguridad, que 300 individuos quedaron con secuelas. Describa el experimento usando conceptos de v.a. Solucin.La noc. frecuentista de prob. nos permite aproximar la probabilidad de tener secuelas mediante 300/2000=0,15=15% X=tener secuelas tras accidente sin cinturn es variable de Bernoulli X=1 tiene probabilidad p 0,15 X=0 tiene probabilidad q 0,85



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Ejemplo de distribucin de Bernoulli.

Se ha observado estudiando 2000 accidentes de trfico con impacto frontal y cuyos conductores s tenan cinturn de seguridad, que 10 individuos quedaron con secuelas. Describa el experimento usando conceptos de v.a. Solucin.La noc. frecuentista de prob. nos permite aproximar la probabilidad de quedar con secuelas por 10/2000=0,005=0,5% X=tener secuelas tras accidente usando cinturn es variable de Bernoulli X=1 tiene probabilidad p 0,005 X=0 tiene probabilidad q 0,995



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Observacin

En los dos ejemplos anteriores hemos visto cmo enunciar los resultados de un experimento en forma de estimacin de parmetros en distribuciones de Bernoulli.Sin cinturn: p 15% Con cinturn: p 0,5%

En realidad no sabemos en este punto si ambas cantidades son muy diferentes o aproximadamente iguales, pues en otros estudios sobre accidentes, las cantidades de individuos con secuelas hubieran sido con seguridad diferentes. Para decidir si entre ambas cantidades existen diferencias estadsticamente significativas necesitamos introducir conceptos de estadstica inferencial (extrapolar resultados de una muestra a toda la poblacin). Es muy pronto para resolver esta cuestin ahora. Esperemos a las pruebas de X2.Tema 5: Modelos probabilsticos 13


Distribucin binomial

Funcin de probabilidad n k nk P[ X ! k ] ! p q , 0 e k e n k Problemas de clculo si n es grande y/o p cercano a 0 o 1.

Media:

=n p

Varianza:

2

=npq



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Distribucin Binomial

Si se repite un nmero fijo de veces, n, un experimento de Bernoulli con parmetro p, el nmero de xitos sigue una distribucin binomial de parmetros (n,p).

Lanzar una moneda 10 veces y contar las caras.Bin(n=10,p=1/2)

Lanzar una moneda 100 veces y contar las caras.Bin(n=100,p=1/2) Difcil hacer clculos con esas cantidades. El modelo normal ser ms adecuado.

El nmero de personas que enfermar (en una poblacin de 500.000 personas) de una enfermedad que desarrolla una de cada 2000 personas.Bin(n=500.000, p=1/2000) Difcil hacer clculos con esas cantidades. El modelo de Poisson ser ms adecuado.



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Parecidos razonables

An no conocis la distribucin normal, ni de Poisson. De cualquier forma ah tenis la comparacin entre valores de p no muy extremos y una normal de misma media y desviacin tpica, para tamaos de n grandes (n>30). Cuando p es muy pequeo es mejor usar la aproximacin del modelo de Poisson.Tema 5: Modelos probabilsticos 16


Distribucin de Poisson

Tambin se denomina de sucesos raros. Se obtiene como aproximacin de una distribucin binomial con la misma media, para n grande (n>30) y p pequeo (p30) y p ni pequeo (np>5) ni grande (nq>5).

Est caracterizada por dos parmetros: La media, , y la desviacin tpica, . 2 Su funcin de densidad es:Bioestadstica. U. Mlaga.

1 f ( x) ! e W 2T

1 xQ 2 W


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N( , ): Interpretacin geomtrica

Podis interpretar la media como un factor de traslacin. Y la desviacin tpica como un factor de escala, grado de dispersin,Tema 5: Modelos probabilsticos 20


N( , ): Interpretacin probabilista

Entre la media y una desviacin tpica tenemos siempre la misma probabilidad: aprox. 68% Entre la media y dos desviaciones tpicas aprox. 95%Tema 5: Modelos probabilsticos 21


Algunas caractersticas

La funcin de densidad es simtrica, mesocrtica y unimodal.Media, mediana y moda coinciden.

Los puntos de inflexin de la fun. de densidad estn a distancia Si tomamos intervalos centrados en , y cuyos extremos estna distancia , a distancia 2 , a distancia 25 tenemos probabilidad 68% tenemos probabilidad 95% tenemos probabilidad 99%

de .

No es posible calcular la probabilidad de un intervalo simplemente usando la primitiva de la funcin de densidad, ya que no tiene primitiva expresable en trminos de funciones comunes. Todas las distribuciones normales N( , ), pueden ponerse mediante una traslacin , y un cambio de escala , como N(0,1). Esta distribucin especial se llama normal tipificada.Justifica la tcnica de tipificacin, cuando intentamos comparar individuos diferentes obtenidos de sendas poblaciones normales.



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Tipificacin

Dada una variable de media y desviacin tpica , se denomina valor tipificado,z, de una observacin x, a la distancia (con signo) con respecto a la media, medido en desviaciones tpicas, es decir

xQ z! W

En el caso de variable X normal, la interpretacin es clara: Asigna a todo valor de N( , ), un valor de N(0,1) que deja exctamente la misma probabilidad por debajo. Nos permite as comparar entre dos valores de dos distribuciones normales diferentes, para saber cul de los dos es ms extremo.Tema 5: Modelos probabilsticos 23


Tabla N(0,1)

Z es normal tipificada. Calcular P[Z

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