DIAPOS EJERCICIO 03
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Dinámica IIDr. Jorge A. Olórtegui Yume, Ph.D.
CINEMATICA DEL CUERPO RIGIDO
Primera Parte
Escuela Académico Profesional de Ingeniería Mecánica
Universidad Nacional de Trujillo
Sesión No. 1
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Cinemática del Cuerpo Rígido – Parte I Dr. Jorge A. Olortegui Yume, Ph.D.2
PROYECTO No 1
http://discoverarmfield.com/media/filter/l/img/free_forced_vibration_sd4_13a.jpg
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Cinemática del Cuerpo Rígido – Parte I Dr. Jorge A. Olortegui Yume, Ph.D.3
PROYECTO No 1
http://discoverarmfield.com/en/products/view/sv/statics-vibrations
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Cinemática del Cuerpo Rígido – Parte I Dr. Jorge A. Olortegui Yume, Ph.D.4
PROYECTO No 2
http://web.stevens.edu/remotelabs/lab%20photos.html
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Cinemática del Cuerpo Rígido – Parte I Dr. Jorge A. Olortegui Yume, Ph.D.5
PROYECTO No 3
http://www.wavespectrum.us/education/zht1/zht1.html
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Cinemática del Cuerpo Rígido – Parte I Dr. Jorge A. Olortegui Yume, Ph.D.6
Movimiento de Estructuras en 3D
La pluma puede moverse hacia arriba y hacia abajo y porque esta abisagrada en punto del eje vertical alrededor del cual
también puede girar, está sometida a una rotación
alrededor de un punto fijo.
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Cinemática del Cuerpo Rígido – Parte I Dr. Jorge A. Olortegui Yume, Ph.D.7
ROTACION DE CUERPO RIGIDO ALREDEDOR DE PUNTO FIJO
TEOREMA DE EULER
Rotaciones Finitas
2 rotaciones alrededor de ejes diferentes que pasan por un mismo punto pueden componerse vectorialmente para dar una rotación resultante alrededor de un eje único que pasa por ese punto
•Teorema de Euler solo se cumple, si orden de rotaciones se mantiene•Rotaciones finitas no son vectores
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Cinemática del Cuerpo Rígido – Parte I Dr. Jorge A. Olortegui Yume, Ph.D.8
ROTACION DE CUERPO RIGIDO ALREDEDOR DE PUNTO FIJO
TEOREMA DE EULER
Rotaciones Finitas
2 rotaciones alrededor de ejes diferentes que pasan por un mismo punto pueden componerse vectorialmente para dar una rotación resultante alrededor de un eje único que pasa por ese punto
•Teorema de Euler solo se cumple, si orden de rotaciones se mantiene•Rotaciones finitas no son vectores
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Cinemática del Cuerpo Rígido – Parte I Dr. Jorge A. Olortegui Yume, Ph.D.9
ROTACION DE CUERPO RIGIDO ALREDEDOR DE PUNTO FIJO
TEOREMA DE EULER
Rotaciones Infinitesimales
Estas pueden considerarse como vectores
rθrθrθ 21 ddd
21 θθθ ddd
21 rrr ddd
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Cinemática del Cuerpo Rígido – Parte I Dr. Jorge A. Olortegui Yume, Ph.D.10
ROTACION DE CUERPO RIGIDO ALREDEDOR DE PUNTO FIJO
TEOREMA DE EULER
Eje Instantáneo de Rotación
21 θθθ ddd
dt
d
dt
d
dt
d 21 θθθ
21
θθθ
21 ωωω
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Cinemática del Cuerpo Rígido – Parte I Dr. Jorge A. Olortegui Yume, Ph.D.11
ROTACION DE CUERPO RIGIDO ALREDEDOR DE PUNTO FIJO
TEOREMA DE EULER
Velocidad
P
r
v
21 ωωω
rωωrω 21
21 vvv
rωrωrω 21
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Cinemática del Cuerpo Rígido – Parte I Dr. Jorge A. Olortegui Yume, Ph.D.
12
ROTACION DE CUERPO RIGIDO ALREDEDOR DE PUNTO FIJO
TEOREMA DE EULER
Aceleración angular
ωα
dt
d
dt
d
dt
d
dt
d ωωω
uuu
ωα
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Cinemática del Cuerpo Rígido – Parte I Dr. Jorge A. Olortegui Yume, Ph.D.13
ROTACION DE CUERPO RIGIDO ALREDEDOR DE PUNTO FIJO
TEOREMA DE EULER
Aceleración
v
dt
d
dt
d
dt
d
dt
d rωr
ωrωva
vωrαa
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Cinemática del Cuerpo Rígido – Parte I Dr. Jorge A. Olortegui Yume, Ph.D.14
ROTACION DE CUERPO RIGIDO ALREDEDOR DE PUNTO FIJO
Velocidad angular
ps
(rad/s)precesión -angular velocidadde componente:
(rad/s)spin -angular velocidadde componente:
(rad/s)angular d velocida:
p
s
p
s
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Cinemática del Cuerpo Rígido – Parte I Dr. Jorge A. Olortegui Yume, Ph.D.15
ROTACION DE CUERPO RIGIDO ALREDEDOR DE PUNTO FIJO
Cono espacialLugar geométrico descrito por el eje instantáneo de rotación mientras cuerpo rota observado desde un S.R.I.
Cono corporalLugar geométrico descrito por el eje instantáneo de rotación mientras cuerpo rota observado desde el cuerpo
conos dos estosa tangentees " "α
conos dos estos entre contacto de
ainstantane linea lacon coincide ""ω
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Cinemática del Cuerpo Rígido – Parte I Dr. Jorge A. Olortegui Yume, Ph.D.16
ROTACION DE CUERPO RIGIDO ALREDEDOR DE PUNTO FIJO
Cono espacialLugar geométrico descrito por el eje instantáneo de rotación mientras cuerpo rota observado desde un S.R.I.
Cono corporalLugar geométrico descrito por el eje instantáneo de rotación mientras cuerpo rota observado desde el cuerpo
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Cinemática del Cuerpo Rígido – Parte I Dr. Jorge A. Olortegui Yume, Ph.D.17
ROTACION DE CUERPO RIGIDO ALREDEDOR DE PUNTO FIJO
EXPERIMENTO: CENTRO INSTANTANEO DE ROTACIONRotor cilíndrico transparente conteniendo muchas partículas negras
Línea AO se fotografiaría nítida y “estática” a pesar del movimiento
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Cinemática del Cuerpo Rígido – Parte I Dr. Jorge A. Olortegui Yume, Ph.D.18
ROTACION DE CUERPO RIGIDO ALREDEDOR DE PUNTO FIJO
Velocidad angular
DERIVADA TEMPORAL DE UN VECTOR
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Cinemática del Cuerpo Rígido – Parte I Dr. Jorge A. Olortegui Yume, Ph.D.19
ROTACION DE CUERPO RIGIDO ALREDEDOR DE PUNTO FIJO
Ejemplo: El cono rueda y rota alrededor
del eje z a razón constante de z=8 rad/s.
Determinar la velocidad y aceleración angular del cono si éste rueda sin deslizar. Calcular también a velocidad y aceleración del punto A.
Solución:
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Cinemática del Cuerpo Rígido – Parte I Dr. Jorge A. Olortegui Yume, Ph.D.20
ROTACION DE CUERPO RIGIDO ALREDEDOR DE PUNTO FIJO
Ejemplo: Los engranes A y B están fijos, mientras que los engranes C y D están libres para rotar alrededor del eje S. Si el eje rota alrededor del
eje z a razón constante de 1=4
rad/s, determinar la velocidad y aceleración angular del engrane C
Solución:
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Cinemática del Cuerpo Rígido – Parte I Dr. Jorge A. Olortegui Yume, Ph.D.21
ROTACION DE CUERPO RIGIDO ALREDEDOR DE PUNTO FIJO
Ejemplo:
Solución:
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Cinemática del Cuerpo Rígido – Parte I Dr. Jorge A. Olortegui Yume, Ph.D.22
ROTACION DE CUERPO RIGIDO ALREDEDOR DE PUNTO FIJO
Ejemplo: En un instante determinado el “plato” satelital tiene movimiento angular
dado por 1=6 rad/s y 1=3 rad/s2
alrededor del eje z. En ese mismo instante = 25º , y el movimiento angular
alrededor del eje x es 2=2 rad/s y 2=1.5
rad/s2 Determinar la velocidad y aceleración del punto A en este instante.
Solución:
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Cinemática del Cuerpo Rígido – Parte I Dr. Jorge A. Olortegui Yume, Ph.D.23
BIBLIOGRAFIABÁSICA:• Bedford, F., 2007, “Engineering Mechanics: Dynamics”, Addison Wesley, 5th Edition, USA.• Hibbeler, R., 2009, “Engineering Mechanics: Dynamics”, Prentice Hall, 12th edition, USA.• Beer, F., Johnston, E. 1986, “Mecánica Vectorial para Ingenieros”, McGraw Hill, México D.F., Mexico• Meriam, J., 1984, “Dinámica”, Reverté, 2da Edición, Barcelona, España.• Thomson, W.T., Dahleh, M.D., 1997, “Teoria de Vibraciones con Aplicaciones”, Prentice Hall Iberoamericana, 5ta Edición, México.• Inman, D., 2007, “Engineering Vibration”, Prentice Hall, 3rd Edition, USA.• Moore, H., 2008, “Matlab for Engineers”, Prentice Hall, 2nd Edition, USA.
COMPLEMENTARIA:• Shames, I., 1999, “Mecánica para Ingenieros - Dinámica”, Prentice Hall, 4ta. Edición, SI, Madrid, España.• Nara, H., 1983, “Mecánica Vectorial para Ingenieros”, Limusa, México D.F., Mexico• Balachandran, B., Magrab, E., 2006, “Vibraciones”, Thomson, 5ta Edición, México• Rao, S.S., 2004, “Mechanical Vibrations”, Ed. Prentice Hall, 4th Edition, USA.
ESPECIALIZADA:• Hartog, D., 1974, “Mecánica de las Vibraciones”, Cecsa, Mexico. • Harris, C., Piersol, A., 2001, “Harri´s Shock and Vibration Handbook”, McGraw Hill Professional, 5th Edition. USA.